切比雪夫大数法则
大数定律
随机变量的其它特征数: 随机变量的其它特征数:矩
1.原点矩:对于正整数k,若 )<+∞,称 1.原点矩:对于正整数k,若E(Xk)<+∞,称Exk 原点矩 k, k=1,2,...,为随机变量X k=1,2,...,为随机变量X的k阶原点矩， 为随机变量 阶原点矩， 简称k阶矩. 简称k阶矩. 2.中心矩:对于正整数k,若E[(X2.中心矩:对于正整数k,若E[(X-EX)k]<+∞, 中心矩 k, k=1,2,...,为随机变量 为随机变量X 称E(X-EX)k k=1,2,...,为随机变量X的 E(Xk阶中心矩. 阶中心矩. EX和DX分别是一阶原点矩和二阶中心矩 分别是一阶原点矩和二阶中心矩. 注: EX和DX分别是一阶原点矩和二阶中心矩.
分位数和中位数
定义 ： 设连续随机变量 X 的分布函数为 F ( x )， 密度函数为 p ( x )， 对任意 α ( 0 < α < 1)， 假如 xα 满足条件 F ( xα ) = ′ 假如 xα 满足条件 ′ 1 F ( xα ) =
∫p ( x ) dx = α
∞
xα
则 xα 称为 X 分布的 α 分位数 ， 或称 α 下侧分位数 。
几个常见的大数定律
定理（切比雪夫大数定律） 定理（切比雪夫大数定律） 设随机变量序列 {Xn}相互独立，且均存在有限方差， {Xn}相互独立，且均存在有限方差，且方差 相互独立 其中常数C 无关， D(Xn) ≤C (n=1,2,...), 其中常数C与n 无关， 则对任意的ε>0 ，有 则对任意的ε>0
对任意给定的 ε > 0， 上式右端随着 n → ∞ 而趋向于零 。
大数定律
设随机变量序列{X 定义 设随机变量序列{Xn}，如果存在一个常 使得对任意的ε> ε>0 数a，使得对任意的ε>0，有
切比雪夫不等式及大数定律 PPT课件
P{20 X 100 20} P{| X 100 | 20}
10 1 202 0.975
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
例2 在每次试验中事件A发生的概率为0.5 .试用切比
雪夫不等式估计在1000次独立的试验中,事件A发生的 的次数在450至550次之间的概率.
1
2
(x
)2
f
( x)dx
2 2
.
证毕.
例1 已知随机变量 X 的数学期望为 E( X ) 100 , 方差为 D( x) 10 2 ,试估计 X 落在( 80 , 120 )内的概率.
解: 由切比雪夫不等式有: P{80 X 120} P{80 100 X 100 120 100}
由切比雪夫不等式 ，对任意 0,
有：
0
P{|
1 n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
E( Xi ) |
}
1 1 n
C
2
D( n
i 1
Xi)
n 2
.
从而：lim n
P{|
1 n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
E(Xi
)
|
0}
0
证毕 .
推论： 设相互独立的随机变量 X1, X2L , Xn,L 服从相同
即在进行精密测量时，为减少测量误差，可以重复 测量多次，然后用测量值的平均值来代替实际的真值. 当测量次数充分大时，这一平均值与其真值差的绝对 值大于任一小的正数几乎是不可能的,这样就保证了测 量的精度.
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
的分布，且 E( Xi ) , D( Xi ) 2, i 1, 2L ,
切比雪夫不等式及大数定律
的数学期望
方差
E(X )
D( X ) 2 存在，则对任意的
0, 有： P
即有 P X
证:
仅就连续型随机变量的
X
2
2 1 2
2
（5）
（4）
f (x)
情形进行证明.
设 X 的概率密度函数为
f (x)则有来自P X PX
|x|
f
( x)dx
|x|
(
x
2
)2
f ( x)dx
1
2
(x
)2
f
( x)dx
2 2
.
证毕.
例1 已知随机变量 X 的数学期望为
E( X ) 100 ,
方差为
D( x) 10 ,2 试估计 X 落在( 80 , 120 )内的概率.
解:
由切比雪夫不等式有:
P{80 X 120}
P{80 100 X 100 120 100}
即在进行精密测量时，为减少测量误差，可以重复 测量多次，然后用测量值的平均值来代替实际的真值. 当测量次数充分大时，这一平均值与其真值差的绝对 值大于任一小的正数几乎是不可能的,这样就保证了测 量的精度.
p
p
p
n
N
因此，只能求其次，去求证下面两式成立：
（2）
P| fn p | 0 或
（3）
lim P
n
|
fn
p |
0
或
为此 , 先来证明概率论中一个重要的不等式——
P| fn p | 1
lim
n
P|
fn
p
|
1
切比雪夫不等式.
一 . 切比雪夫不等式
切比雪夫大数法则
切比雪夫大数法则（Chebyshev's Law）是概率论中的一个重要定理，它描述了在任意概率分布下随机变量与其均值之间的关系。
该定理由俄罗斯数学家切比雪夫（Pafnuty Chebyshev）于1867年提出。
切比雪夫大数法则的表述如下：
对于任意一个随机变量，无论其概率分布是什么样的，至少有（1 - 1/k^2）的观测值落在以均值为中心的k倍标准差的范围内，其中k是大于1的任意实数。
简单来说，这个定理告诉我们，对于任意一个概率分布，无论其形状如何，至少有大部分（具体比例由k的大小决定）的数据点会落在均值附近的一个范围内。
而且，随着k值的增大，这个范围也会变得更宽，包含更多的观测值。
切比雪夫大数法则的应用范围广泛，特别是在统计学和概率论中，它提供了一种对数据的分布进行估计和推断的方法。
虽然该法则给出了一个宽泛的范围，但在某些情况下，它可能没有提供很具体的信息。
因此，在实际应用中，需要结合其他的统计方法和技术进行更精确的分析。
切比雪夫不等式与大数定理优选PPT文档
（
.
）
E(X) E(X)
E(X)
易知 D(X )越大Ｘ的取值越分散．
下面仅对连续型Ｘ证明定理结论：
对 于 任 意 ε, 正 数
P{XE(X)ε} f (x)dx l: xE( X )
l:
(xE(X))2
xE(X)
2
f(x)dx
(xE(X))2
2
f(x)dx
12
(xE(X)2 )f(x)dx D (
limP fn p0 D弱是 弱B是是存1D弱41下 1D是是下易易41D1DP弱弱88888aoiiiii切切eeeee大相大相n在大面相相面知知大大29222rfdddddn次n14111比比数 互数 互 ， 数 仅互 互 仅 数 数:::::u:,iiii独88888t1nnnn雪雪y定独 定独则定对 独独对定定i6nDDDDDOOOO立数 事 C夫夫理立 理立对理连 立立连理理MSeeeee越 越kkkkh重ccccctaaaa不不ae， ，于续 ，，续22222......大大ttttyb复（（（（（oooo等等.服 服任型 服服型yvvvvＸＸs试辛辛辛辛辛为 实 oooo式式p从 从意Ｘ 从从Ｘh,,,,的的验钦钦钦钦钦e的 RRRR与与同 同正证 同同证或 v取取,uuuu中定定定定定大大由 一 一整明 一一明ssss(值值事理理理理理ssss上 0数数分分数定分分定iiiin越越aaaa件））））） 定定布 布理 布布理ln 分分（（（（（ 理理i1的 的结 的的结f散散弱弱弱弱弱m )A 随 随论 随随论．．分 大大大大大P 机 机： 机机：数数数数数. k定定定定定n布 f1A n )理理理理理A X ,11111及 的的的的的k,推推推推推p(广广广广广其 伯 ））））） 中 X 努 1,1X利 2,..X 大 .n相数 可 互定 得 独理 上 立立 面 均 . 刻 结 服
切比雪夫不等式与大数定律
第六讲切比雪夫不等式与大数定律主讲教师叶宏副教授概率论与数理统计的研究内容是随机现象的统计规律性，而随机现象的规律性是通过大量的重复试验才呈现出来的.研究大量的随机现象，常常采用极限方法，利用极限定理进行研究. 极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种:大数定律与中心极限定理.设随机变量X 的期望E (X )与方差D (X )存在，则对于任意实数ε> 0,2)()|)((|εεX D X E X P ≤≥-切比雪夫不等式或2)(1)|)((|εεX D X E X P -≥<-理论价值证明大数定律等等实用价值估计概率例已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700 . 利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率.解：设每毫升白细胞数为X ，则EX =7300, DX =7002≤P (5200 X 9400)≤= P (-2100 X -E (X ) 2100)≤≤= P ( |X -E (X )| 2100)≤≤=P (5200-7300 X -7300 9400-7300)≤2)2100()(1X D -≥98911=-=估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率不小于8/92)(1)|)((|εεX D X E X P -≥<-2)()|)((|εεX D X E X P ≤≥-22140.5{6}_____X Y P X Y +≥≤例设随机变量和的数学期望分别为－和，方差分别为和，而相关系数为－，则{6}{()()6}P X Y P X Y E X Y +≥=+-+≥由切比雪夫不等式()()()220,E X Y E X E Y +=+=-+=解: ()()()2cov(,)D X Y D X D Y X Y +=++()()2()()3XY D X D Y D X D Y ρ=++=2()1612D X Y +≤=大数定律大量的随机现象中平均结果的稳定性大数定律的客观背景：大量抛掷硬币正面出现频率伯努利大数定律设n A 是n 次独立重复试验中事件A 发生的次数, p 是每次试验中A 发生的概率,则0>∀ε有0lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-∞→εp n n P A n 或1lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛<-∞→εp n n P A n 依概率收敛频率p伯努利大数定律的意义理论价值给概率的统计定义提供了理论依据在概率的统计定义中, 事件A发生的频率“稳定于”事件A在一次试验中发生的概率实用价值如命中率等在n足够大时, 可以用频率近似代替p. 这种稳定称为依概率稳定.切比雪夫大数定律且具有相同的数学期望和方差,2,1,)(,)(2===k X D X E k k σμ则0>∀ε有01lim 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-∑=∞→εμn k k n X n P 或11lim 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛<-∑=∞→εμn k kn X n P ,,,,21n X X X 相互独立，设随机变量序列辛钦大数定律且具有数学期望(),1,2,k E X k μ==,,,,21n X X X 相互独立同分布，设随机变量序列当n 足够大时, 算术平均值几乎是一常数.具有相同数学期望和方差的独立随机变量序列的算术平均值依概率收敛于数学期望.算术均值数学期望近似代替可被定理的意义平均数法则12~(2),(,,),,1_______n n i X E X X n Y X n→∞=∑ 例设总体为其简单随机样本则时依概率收敛于12,,,n X X X 因为独立同分布，22212,,,n X X X 所以也独立同分布，22()i i i E X DX EX =+（）2111=()422+=因此根据大数定律有∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于21.2i EX =。
3-5切比雪夫不等式与大数定律
切比雪夫不等式与大数定律
主要内容（2学时）
一、切比雪夫不等式
二、依概率收敛简介
三、大数定律（难点） 1、切比雪夫大数定律
2、伯努利大数定律
3、辛钦大数定律
一、切比雪夫不等式
1、马尔科夫不等式
设X 是只取非负值的随机变量,且具有数学期望E ( X ), 则 对于任意正数 , 有 P{ X } E( X )
证 : nA代表n重伯努利试验中A发生的次数, nA
第i次试验中A发生 1 令X i 0 第i次试验中A没发生 (i 1, 2, ..., n)
B(n, p)
则
nA X1 X 2 ... X n
Xi
B(1, p) E( X i ) p, D( X i ) p(1 p) nA 1 n 1 n 又 X Xi = , E( X ) E( X i ) p n i 1 n n i 1
（证明见下页）
说明：
重要性在于: 不知道X的分布( f ( x ), pk )情况下,通过 E ( X )估计事件{ X }的概率下限.
证 : 以连续型X 证明, 设X的概率密度为f ( x ). X 只取非负值, 故x 0时, f ( x ) 0
E( X )
0
xf ( x )dx x f ( x )dx
P(0.01n X 0.75n 0.01n) P( X E ( X ) 0.01n)
D( X ) 0.1875n 1875 1 1 2 1 2 (0.01n) 0.0001n n
依题意，取 1
1875 0.9 n 1875 解得 : n 18750 1 0.9
切比雪夫大数定理
83 6 P(| X 1000 | 60) 1 2 0.7685 108 60
6
例2 设每次试验中，事件 A 发生的概率为 0.75, 试用 Chebyshev 不等式估计, n 多大 时, 才能在 n 次独立重复试验中, 事件 A 出 现的频率在0.74 ~ 0.76 之间的概率大于 0.90? 解 设 X 表示 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数 , 则 X ~ B(n,0.75)
14
例2：从某工厂的产品中任取200件来检查，结果发现 其中有6件次品，能否相信该工厂产品的次品率 p 1% ? 解：假设该工厂的次品率 p 1% ，则检查200件产品 其中次品率 X 6 的概率
x X P( X 6) C 200 (0.01) x (0.99) 200 x 1 C 200 (0.01) X (0.09) 200 X 200 5
并且方差是一致有上界的，即存在常数C，使得
DX i C, i 1,2,..., n,..., 则对于任意的正数
，有
1 n 1 n lim P(| X i EX i | ) 1 n n i 1 n i 1
10
证：我们用切比雪夫不等式证明该定理。
1 n 1 n E ( X i ) EX i n i 1 n i 1
因为n=200很大，且p=0.01较小，所以可按近似公式计 算，我们有 200 0.01 2 ；从而得到
2 x 2 P( X 6) 1 e 1 (0.1353 0.2707 0.2707 0.1804 x 0 x! 0.0902 0.0361) 0.0166