人教版高中数学必修基础知识-填空版

必修一

（一）集合 1.集合的概念

(1)集合是数学中的一个不加定义的原始概念，它是指某些指定对象的全体.集合中的每个对象叫做这个集合的元素，它具有三个性质，即 、 和 . （2）根据集合所含元素个数的多少，集合可分为 、 和空集；根据集合所含元素的性 质，集合又可为点集、数集等.空集是不含任何元

素的集合，用?表示.

（3）我们约定用 表示自然数集，用 表示正整数集，用 表示整数集，用 表示有理数集，用 表示实数集.

（4）集合的表示方法有 、 和图示法(venn 图). 2.集合间的基本关系 （1）集合与元素的关系

表示元素和集合之间的关系，有属于“∈”和不属于“?”两种情形. （2）集合与集合之间的关系

集合与集合之间有包含、真包含、不包含、相等等几种关系.

若有限集A 中有n 个元素，集合A 的子集个数为 ，非空子集的个数为 ，真子集的个数为 ，非空真子集的个数为 . 3.集合的运算

集合与集合之间有交、并、补集三种运算. 4.集合运算中两组常用的结论

（1）①__________)(=?B A C U ；②;__________)(=?B A C U （2）①________?=?A B A ；②________?=?B B A . （二）函数的概念 （1）函数的定义

设A ，B 是 ，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x 在集合B 中都有 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作(),y f x x A =∈.其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的 ；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}()|f x x A ∈叫做函数的 .值域是集合B 的 .

③·映射：设A ，B 是两个集合，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素在集合B 中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应就称为从集合A 到集合B 的映射，记作:f A B →.函数实际上是一种特殊的映射.而映射是一种特殊的对应：一对一，多对一.

（2）函数的三要素： 、 及 称为函数的三要素.在函数的三要素中其

决定性作用的是 及 ，定义域及对应关系确定了，这个函数就唯一确定了. （3）相等函数：定义域相同，并且对应关系完全一致的两个函数就称为相等函数. 2.函数的表示方法

函数的表示方法主要有三种：解析法、图象法、列表法.

分段函数：在定义域的不同部分上有不同的解析式，这样的函数称为分段函数. （三）函数单调性 1.增函数、减函数

设函数()f x 的定义域为I ：

如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当 时，都有 ，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数；

如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当 时，都有 ，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数. 2.单调性、单调区间

如果函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间. 3.利用定义判断（证明）函数单调性的一般步骤： ① ② ；③ ④ 4.数最值的几何意义是对应函数图像上点的纵 坐标的 或 ，即图像的 或 .

5函数的最值与求函数的值域从概念上看是不同的，函数值域的一些边界值不一定是函数值，函数的最值是函数值域中的一个值，函数取得最值时，一定有相应的x 值. 6判断函数单调性的常见方法

①定义法；②图象法；③导数法. 7求函数最值或值域的方法

①单调性法；②配方法；③换元法；④判别式法；⑤图象法；⑥不等式法等. 8一些重要函数的单调性

1

y x x

=+

的单调区间： 增区间 ；减区间 .

()0,0b

y ax a b x

=+

>>的单调区间： 增区间 ；减区间 . （四）函数奇偶性 (1)奇函数、偶函数

如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做偶函数.

如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做奇函数.

(2)奇偶性

如果函数()f x 是奇函数或偶函数，那么就说函数()f x 具有奇偶性.

(3)奇函数、偶函数的性质

①奇函数、偶函数的定义域皆关于 对称（此条件是函数具有奇偶性的必要不充分条件）；

②奇函数的图象关于 对称，偶函数的图象关于 对称； ③若奇函数()f x 在x =0处有定义，那么一定有 . ④在定义域的公共部分内，两个偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍是 数；两个奇函数的和、差仍是 ；奇数个奇函数的积为 ；偶数个奇函数的积为 ；一个奇函数与一个偶函数的积为 ；一个奇函数与一个偶函数（均不恒为零）的和与差 .

⑤奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.

（五）基本函数：一次二次函数

1.(0)y kx b k =+≠叫做一次函数，它的定义域和值域皆为R

2.函数性质

①当k >0时，为 函数，当k <0时，为 函数； ②当b =0时，函数(0)y kx k =≠为正比例函数； 3.函数的解析式的三种形式：

①一般式 ； ②顶点式 ； ③零点式 ； 4.二次函数的图象与性质

①()2

22

424b ac b f x ax bx c a x a a -?

?=++=++

??

?(0)a ≠的图象是一条抛物线，顶点坐标为 ，对称轴方程为 ，当0a >时开口向上, 当0a <时开口向下；

②()2

400,0b ac ?=->?=?<时，抛物线与x 轴有 交点.

③单调性：当0a >时，()f x 在 减函数； 在 上是增函数.0a <，相反.

④奇偶性：()0当时，为b f x = 函数；()0当时，b f x ≠为 函数； （六）指数函数 1.幂的有关概念

正整数指数幂：=??434

21Λn

a a a a n a ； 零指数幂：0

a =1( ) ； 负整数指数幂：p

a

-= (0,a p N +

≠∈)；

正分数指数幂：m n

a = (0,1a m n N n +

>∈>、且); 负分数指数幂：m n a

-=

(0,1a m n N n +

>∈>、且);

0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 2.幂的运算法则（0,0,a b r s Q >>∈、）

r s a a = ；()r s a = ；()r ab =

4.指数函数()x

f x a =具有性质：

()()()(),1(0,1)f x y f x f y f a a a +==>≠

（七）对数函数

1.定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是b

a N =，那么数

b 称以a 为底N 的对数，记作log a b N =，其中a 称对数的底，N 称真数.

①以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ，②以无理数( 2.71828)e e =为底的对数称自然对数，N e log 记作N ln 2.基本性质：

①真数N 为正数（负数和零无对数）， ②log 10a =， ③log 1a a =， ④对数恒等式：log a N

a

N =.

3.运算性质：如果,0,0,1,0>>≠>N M a a 则

①log ()log log a a a MN M N =+； ②log log log a

a a M

M N N

=-； ③log log n a

a M n M

=.

4.换底公式：

log log log m a m N

N a =

(0,1,0,1,0),a a m m N >≠>≠> ①log log 1a b b a ?=，

②log log m n

a a n

b b m

=

. 5. 对数函数x y a log =具有性质： )()()(xy f y f x f =+ 6.函数的图像与性质

（八）幂函数：,y x =2

y x =3

,y x =1

y x

=1

2y x =的图像 1.当0a >时，幂函数()y x

R α

α=∈有下列性质：(1)在第一象限内，1α>时图像为

型抛物线，图像下凸,01α<<时图像为 型抛物线,图像上凸. (2)图像都通过点 ；

(3)在第一象限内，随x 的 ； 2.当a<0时，幂函数()y x

R α

α=∈有下列性质：

(1)在第一象限内，函数图像为 型，函数值随x 的增大而 ，图像是向下凸； (2)图像都通过点 ；

(3)在第一象限内，图像向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近； （九）函数图像变换 1．平移变换

⑴水平平移：()()0y f x a a =±> 的图象，可由()y f x = 的图象向左()+ 或向右

()- 平移

a 个单位而得到；

⑵竖直平移：()()0y f x b b =±> 的图象可由()y f x = 的图象向上()+ 或向下()- 平移b 个单位而得到；注：对于左、右平移变换，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减. 2．对称变换

⑴()y f x =-与()y f x =的图象关于 对称; ⑵()y f x =-与()y f x =的图象关于 对称; ⑶()y f x =--与()y f x =的图象关于 对称; ⑷()1y f x -=与()y f x =的图象关于 对称;

⑸()y f x =的图象可将()y f x =的图象在x 轴下方的部分以 轴为对称轴翻折上去，其余部分不变;

⑹()y f x = 的图象可将()y f x =()0x ≥的部分作出，再利用偶函数的图象关于y 轴对称，作出0x < 的部分. 3.伸缩变换

⑴()()0y Af x A => 的图象，可将()y f x = 图象上所有点的纵坐标变为原来的 倍，横坐标不变而得到;

⑵()()0y f ax a => 的图象，可将()y f x = 图象上所有点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变而得到.

（十）函数的应用

1．函数零点的定义：对于函数()()()

使成立的叫做函数

=∈=

,0

y f x x D f x

()()

y f x x D

=∈的零点 .

2.二分法定义：对于区间[],a b上连续，且()()0

f a f b<的函数()

y f x

=,通过不断把函

f x的零点所在的区间，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似数()

值的方法，叫做二分法.注：该法一般求的是近似解.

3．解函数应用题，一般可按以下四步进行．

(1)阅读理解，认真审题．

(2)引进数学符号，建立数学模型．

(3)利用数学的方法将得到的常规数学问题给出解答，求得结果．

(4)转译成具体问题做出回答．

必修二

（一）多面体和旋转体

1．多面体和旋转体的概念

（1）棱柱：有两个面，其余各面都是，并且每相邻两个四边形的公共边都，由这些面围成的多面体叫做棱柱．

（2）棱锥：有一个面是，其余各面都是，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．

（3）棱台：用一个去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台．

（4）圆柱：以为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．

（5）圆锥：以为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．

（6）圆台：①用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.②圆台还可以看成是以为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体.

（7）球：以为旋转轴，旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球．2．多面体和旋转体的面积和体积公式

（1）圆柱的侧面积：；

（2）圆锥的侧面积：；

（3）圆台的侧面积：；

（4）球的表面积：；

（5）柱体的体积：；

（6）锥体的体积：；

（7）台体的体积：；

（8）球的体积： .

（二）画法

1．我们把形成的投影，叫做中心投影，中心投影的投影线．

2．我们把形成的投影，叫做平行投影，平行投影的投影线

是 ．

在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做 ，否则叫做 ．

3．光线从几何体的 ，得到投影图叫做几何体的主视图；光线从几何体的 ，得到投影图叫做几何体的左视图；光线从几何体的 ，得到投影图叫做几何体的俯视图；几何体的主视图、左视图和俯视图统称为几何体的三视图．

一般地，一个几何体的左视图和主视图 一样，俯视图与正视图 一样，侧视图与俯视图 一样．

一般地，左视图在主视图的右边，俯视图在主视图的下边． 4．斜二测画法的步骤：

（1）在已知图形中取 的x 轴和y 轴，两轴交于点O ．画直观图时，把它们画成对应的x '轴与y '轴，两轴交于点O '，且使x O y '''∠= （或 ），它们确定的平面表示水平平面．

（2）已知图形中 于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成 于x '轴或y '轴的线段．

（3）已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中 ，平行于y 轴的线段，长度为 ．

（三）点线面位置关系 1．四个公理

公理1 如果一条直线上的 ，那么这条直线在此平面内； 公理2 过 ，有且只有一个平面； 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们 过 该点的公共直线；

公理4 的两条直线互相平行； 2．异面直线

（1）我们把 的两条直线叫做异面直线． （2）空间两条直线的位置关系：

????

???

? 直　线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线 直

　线：同一平面内，没有公共点； 直

　线：不同在任何一个平面内，没有公共点.（3）已知两条异面直线a 、b ，经过空间任一点O 作直线a '∥a ，b '∥b ，我们把a '与b '所成的 叫做异面直线a

与b所成的角（或夹角）．

（4）定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角．

3．空间中直线与平面之间的位置关系：

（1）——有无数个公共点；

（2）——有且只有一个公共点；

（3）——没有公共点；

直线与平面的情况统称为直线在平面外．

4．平面与平面之间的位置关系：

（1）——没有公共点；

（2）——有一条公共直线．

（四）平行问题

1．定义：，则称此直线l与平面α平面，记作；

直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与平行，则该直线与此平面平行；

用符号表示：．

2．直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过与该直线平行；

用符号表示：．

3．平面与平面平行的判定定理：一个平面内的

另一个平面平行，则这两个平面平行；

用符号表示:

几个结论：

①如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行；

②平行于同一平面的两个平面平行；

③如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行；

4．平面与平面平行的性质定理：

；

且符号表示：．

5．直线与平面垂直的性质定理：

用符号表

示： ．

（五）垂直问题

1．定义：如果直线l 和平面α内的 都垂直，那么直线l 和平面α垂直，记作 ．

2．直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的 都垂直，则该直线与此平面垂直．

用符号表示：

3．直线与平面垂直的性质定理： ． 用符号表示： ． 4．平面与平面垂直的判定定理：

用符号表示： ．

5．平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．用符号表示：

． 几个结论：

①如果两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线必垂直于第三个平面； ②如果两个平面互相垂直，那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．

（六）角问题

1．已知两条异面直线a 、b ，经过空间任一点O 作直线a '∥a ，b '∥b ，我们把a '与b '所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）两异面直线所成角范围02π?? ???

，． 2．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．

一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．

直线和平面所成角范围02π??

????

，．

3．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．

在二面角α-l -β的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角．

二面角的大小可以用它的平面角来衡量．平面角是直角的二面角叫做直二面角． 二面角范围[0]π，．

（七）直线的概念与方程 1、直线倾斜角的概念：当直线l 与x 轴相交时,我们取 为基准, x 轴的 与直线l 所成的角α叫做直线l 的倾斜角.并规定:直线l 与x 轴 时,它的倾斜角为ο

0.直线的倾斜角的取值范围是 .

2、直线斜率的概念：把一条直线倾斜角的 叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示.直线倾斜角α与斜率k 的关系式为 .当k= 时,直线平行于x 轴或者与x 轴重合;当k 0时,直线的倾斜角为锐角;当k<0时,直线的倾斜角为 ;倾斜角为 的直线没有斜率.

3、两点斜率公式 ：直线上两点A(1x ,1y ),B(2x ,2y ),当1x =2x 时,直线的斜率 , 当1x ≠2x 时,直线的斜率为_______=k .

4、直线方程的点斜式:设直线l 经过点),(000y x P ,且斜率为k ,则方程 称

为直线方程的点斜式.当直线的斜率不存在时,不能够用点斜式来表示,直线方程此时为 5、直线方程的斜截式：直线方程b kx y +=由直线的斜率k 和它在y 轴上的截距b 确定,所以方程b kx y +=被称为直线方程的斜截式.斜率不存在时,直线方程斜截式不存在. 6、直线方程的两点式：已知经过两点),)(,(),,(2121222111y y x x y x P y x P ≠≠的直线方程为

1

21

121x x x x y y y y --=--称为直线方程为直线方程的两点式.直线两点式方程的前提是直

线的斜率存在且斜率不为0.

7、直线方程的截距式直线在 上的截距为a,在

上的截距为b,则直线方程 称为直线方程的截距式.应用截距式的前提有．

斜．率存在且不为．．．．．．0,．．还要求直线不能过原点．．．．．．．．．．.．

8、直线方程的一般式：二元一次方程)0,(0不同时为B A C By Ax =++表示的直线方程称为直线方程的一般形式.当0≠B 时,可变形为 ,它表示一条斜率为 且在y 轴上截距为 的直线; （八）直线的关系和距离

1、直线平行的条件： 两条不重合的直线21l l 、， 根据两条直线平行的定义及性质可知

1l 2

12αα=?l α

21//l l 21k k 、21k k =21k k 、21l l 、21,αα2

1l l ⊥ο90||21=-?αα据两条直线的斜率判断两条直线垂直的情况分为两类,一是:其中一条

直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为 ;二是:两条直线的斜率都存在,且乘积为 .

3、直线0:1111=++C y B x A l ,直线0:2222=++C y B x A l ,重合的条件是: 平行的条件是 . 垂直的条件是: .

4、两条直线交点的求法：直线0:1111=++C y B x A l ,直线0:2221=++C y B x A l .两条直线相交的条件是 ，直线的交点的坐标为方

程组 的解.

5、两点间的距离公式：平面内任意两点A ),(11y x ,B ),(22y x 之间的距离为|AB|= , 当21x x =时|AB|= ; 当21y y =时|AB|= .

6、点到直线的距离公式 ：平面内任意一点P ),(00y x 到任意一条直线0:=++C By Ax l 的距离为 ,特别的,当B=0时 ,当A=0时 .

7、两平行线的距离：直线0:1111=++C y B x A l 与0:2112=++C y B x A l 平行,则 . （九）圆的方程

1.圆的标准方程的意义

当圆心位置和半径的大小确定后,圆就唯一确定了，根据圆的定义和两点间的距离公式，得到圆的标准方程 ，圆心 ，半径r (r>0），所以判断点

与圆的位置关系，只需判断 与半径的大小关系即可。 2.圆的一般方程

方程

022=++++F Ey Dx y x ，则可变形为 44)2()2(2222F E D F y D x -+=

+++,只有当

时，才表示圆，圆心（ ），半径 ,当

F E D 422-+＝ 时，表示点（ ），若F E D 42

2-+<0， 。

（十）直线和圆圆和圆位置关系 1.点和圆的位置关系

①点到圆心距离 半径，点在圆上； ②点到圆心的距离 半径，点在圆内； ③点到圆心的距离 半径，点在圆外. 2.直线与圆有三种位置关系

①直线与圆 ，有两个公共点； ②直线与圆 ，只有一个公共点； ③直线与圆 ，没有公共点； 3. 判断直线与圆的位置关系的方法有两种

①设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，若 ，直线与圆相交； 若 ，直线与圆相切； 若 ，直线与圆相离。 ②直线与圆的方程组成方程组，

若方程组有 解，则直线与圆相交； 若方程组有 解，则直线与圆相切； 若方程组 解，则直线与圆相离.

4. 判断圆与圆的位置关系:设两圆的半径分别为21,r r ，两圆的圆心距为d ，则 时，两圆外离； 时，两圆外切； 时，两圆相交； 时，两圆内切； 时，两圆内含.

必修三

（一）算法

1.算法通常是指用 计算机 来解决的某一类问题的 程序或步骤 ，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.

2.程序框图又称 流程图 ，是一种用规定的 图形 、 指向线 及 文字说明 来准确、直观地表示算法的图形．几种常用的图形符号的名称及作用如下：

3.算法的三种基本逻辑结构是 、 和 .

4.输入语句、输出语句分别用来实现算法的 输入 和 输出 功能．其一般格式为： 输入语句： 输出语句：

5.

赋值语句的功能是给变量 赋初值或计算 ，其一般格式是： 变量=表达式 。 6

7.的最大公约数的算法。将两个数中较大的数减去较小的数，将差与较小的数比较，再重复以上过程，直到两个数相等时为止，这时这两个相等的数就是m ，n 的最大公约数。

8.秦九韶算法：一种求多项式的值的算法。方法是将多项式通过加括号变形，如

32()456((4)5)6f x x x x x x x =-+-=-+-.

这样计算的好处，一是大大减少了乘法的次数，二是每次计算都是相同的过程——将上

次的结果乘以x 再加下一个系数，这样很容易用计算机来实现。注意计算时若有系数为0的项要补上该项 （二）统计 一、抽样方法

1.简单随机抽样适用范围：

2.系统抽样的适用范围：

3.分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法就叫做分层抽样．

(2)抽取数量的计算：各层抽取的数量之比，等于各层的数量之比.

如各层分别有300，200，400个个体，则从各层中抽取的个体数量之比为300∶200∶400，即3∶2∶4.(3)适用范围：总体容量N 较大，且个体差异明显(有明显的层次). 二、用样本估计总体

1.用样本频率分布估计总体频率分布 (1)频率分布直方图的做法

① ；

② ，组距与组数的确定没有固定的标准，常常需要一个尝试和选择的过程(试题中一般有规定)；

③数据分组：计算各小组的频数和频率，列出频率分布表；

④画频率分布直方图：图中纵轴表示 ，各小矩形的面积= . (2)茎叶图：当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留所有信息，而且可以随时记录，这对数据的记录和表示都能带来方便。 2.用样本的数字特征估计总体

(1)众数：出现次数最多的数.若用频率分布直方图来估计众数，则可用最高矩形的横坐标的中点表示.众数可能不只一个.中位数：将数据从小到大排列，则处于正中间的一个数叫做中位数.若数据个数为偶数，则取中间两个数的平均数作为中位数.平均数：

12n x ,x ,,x L 的平均数为:12n

x x x x .n

++=

L

(2)标准差：12n x ,x ,,x L 的标准差为

222121

n s [(x x )(x x )(x x )n

=

-+-++-L 2s 表示.标准差(或方差)越小，说明数据 ；标准差越大说明数据 . 三、变量间的相关关系

线性相关与最小二乘法回归直线^

y bx a =+：()

x,y 叫做回归中心，回归直线必定经过回归中心. （三）概率

一、随机事件的概率

1.概率的相关概念

(1)事件；(2)频数与频率；

(3)概率：

(4)互斥事件：

对立事件：

2.概率的性质:

(1)0≤P(A)≤1.

(2)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.

(3)若A，B互斥，则有P(A+B)= .

(4)若A，B对立，则P(___

A)= .

二、古典概型

1.基本事件：

①任何两个基本事件都是互斥的；②任何一个事件都可以表示成基本事件的和 .

2.古典概型：

满足以下两个条件的概率模型：

①；

②．

3.古典概型概率公式：

P(A)=

三、几何概型

1.定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则

称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．

2.几何概型概率计算：

P(A)=

必修四

（一）角的概念

1.任意角

(1)终边相同的角：所有与α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S=

(2)终边在x轴正半轴上的角的集合：

终边在x轴负半轴上的角的集合：

终边在y轴正半轴上的角的集合：

终边在y轴负半轴上的角的集合：

终边在x轴上的角的集合：

终边在y轴上的角的集合：

2.弧度制

(1)定义： 叫做1弧度的角.(2)计算：如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α弧度数的绝对值是

其中，α的正负由角α的终边的旋转方向决定. 注意：弧长公式：

扇形面积公式：Ｓ= = (3)换算:360°=2π, 180°=π

1°=

180π

rad ≈ 1rad=180()π

°≈ °

(4)一些特殊角的弧度数及函数值

度:0°,30°,45°,60°,90°,120°,135°,150°,180°,270°,360°. 弧度：0，

6π，4π，3π，2

π，23π，34π，56π

，π，32π，2π.

要熟记这些特殊角的正弦、余弦、正切三种三角函数值.

3.三角函数的定义

（1）初中直角三角形中的定义；

（2）坐标法定义：设α是一个任意角，在它的终边任取异于原点的一点(,)P x y ，令22r x y =

+，则 ， ，

4. 三角函数值的符号：口诀：一全二正弦，三切四余弦．注：一二三四指象限，提到的函数为正值，未提到的为负值．

5.三角函数线：设任意角α的终边与单位圆交于点P .过点P 作x 轴的垂线，垂足为M .过点(1,0)A 作单位圆的切线，设它与α的终边或其反向延长线（当α为第二、三象限角时）相交于点T ，则有：sin α= ，cos α= ，tan α= . （二）诱导公式及同角关系式 1.同角三角函数的基本关系式：

平方关系：2

2

sin cos 1αα+= 商数关系：sin tan cos α

αα

=. 2.诱导公式记忆口诀：

,2

k k π

α±∈Z 口诀：“奇变偶不变，符号看象限”. （三）三角函数性质

1.五点法作图的原理：在确定正弦函数在[0,2]π上图象的形状时，起关键作用的五个点是 ，

余弦的是 . 2.作正切函数的图象关键是三点两线，即三点

是 ，两线是 . 3.三角函数的图象和性质：

4.三角函数的奇偶性

函数的定义域是否为关于原点对称的点集是判断函数奇偶性的必要条件，必须优先考虑，然后再进行化简判断.

5.五点法作函数)sin(?ω+=x A y 的图象

分别令x ω?+取30,

,,

,222

π

π

ππ，求出相应的x 值与y 值，然后描点，再用光滑的

曲线连结，即可得到一个周期的图象，通过左右平移，就得到)sin(?ω+=x A y 在R 上

的图象.

6.,,A ω?的物理意义：

A 叫 ，决定图象最高（低）点的位置；x ω?+叫 ，?叫 ，影响图

象的零值点； 影响其周期，2T π

ω

=.通常情况下0,0A ω>>，?可正可负，也可

为0.

7.由sin y x =的图象可有两条途径得到

)sin(?ω+=x A y 的图象：

① 先相位变换，再周期和振幅变换；

②先周期或振幅变换，再相位变换，此时横坐标的平移量为?

ω

个单位. （四）三角恒等变换

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式，

二倍角的正弦、余弦、正切公式(如上知识结构).

2.辅助角公式：

sin cos)

y a x b x x?

=+=+，

其中cos?=sin?=

3.注意拼角、拆角的技巧：

如()

ααββ

=+-，

22

αβαβ

β

+-

=-，

22

αβαβ

α

+-

=+，()()

222

αββα

αβ

-

=+-+，

2()()

ααβαβ

=++-等.

4.注意公式的“三用”：正用，逆用，变形用.

sin()cos cos()sin

αββαββ

+-+

sin[()]sin

αββα

=+-=

tan tan tan()(1tan tan)

αβαβαβ

+=+-等

（五）平面向量的概念

1.向量的基本概念

（1）叫做向量.

(2)向量AB

u u u r

的大小，也就是向量AB

u u u r

的长度（或称模），记作AB

u u u r

，a

r

的模为a

r

. (3) 叫做零向量，记作 .

，叫做单位向量．

叫做平行向量，也叫向量．

规定：零向量与任一向量平行．叫做相等向量．