中考专题专题复习——相似三角形(含详解)

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专题22 相似三角形(归纳与讲解)(解析版)

专题22 相似三角形【专题目录】技巧1：巧用“基本图形”探索相似条件技巧2：巧作平行线构造相似三角形技巧3：证比例式或等积式的技巧 (1)基本性质：a b ＝cd ad ＝bc ； (2)合比性质：a b ＝cda ＋b b ＝c ＋dd；技巧1：巧用“基本图形”探索相似条件2．相交线型．3．子母型．4．旋转型．12与3．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于点F.求证：AB AC ＝DF AF.【类型】四、旋转型4．如图，已知∠DAB ＝∠EAC ，∠ADE ＝∠ABC.求证：(1)△ADE ∽△ABC ； (2)AD AE ＝BD CE.参考答案1．(1)证明：∵ED∥BC，∵ED ∥BC，∴∠DE B ＝∠EBC.h△BDE表示△BDE中DE边上的高，∵DE＝6，∴BC＝10.2．解：相似．理由如下：因为EOBO＝DOCO，∠BO E＝∠COD，∠DOE＝∠COB，所以△BOE∽△COD，△DOE∽△COB.所以∠EBO＝∠DCO，∠DEO＝∠CBO.因为∠ADE＝∠DCO＋∠DEO，∠ABC＝∠EBO＋∠CBO，所以∠ADE＝∠ABC.又因为∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC.3．证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∴∠BAC＝∠A DB＝90°.又∵∠CBA ＝∠ABD(公共角)， ∴△ABC ∽△DBA. ∴AB AC ＝DBDA，∠BAD ＝∠C. ∵AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点， ∴DE ＝EC.∴∠BDF ＝∠CDE ＝∠C. ∴∠BDF ＝∠BAD. 又∵∠F ＝∠F ， ∴△DBF ∽△ADF. ∴DB AD ＝DF AF .∴AB AC ＝DF AF.(第3题)点拨：当所证等积式或比例式运用“三点定型法”不能定型或能定型而不相似，条件又不具备成比例线段时，可考虑用中间比“搭桥”，称为“等比替换法”，有时还可用“等积替换法”，例如：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，D E ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，求证：AE·AB ＝AF·AC.可由两组“射影图”得AE·AB ＝AD 2，AF·AC ＝AD 2，∴AE·AB ＝AF·AC. 4．证明：(1)∵∠DAB ＝∠EAC ，∴∠DAE ＝∠BAC.又∵∠ADE ＝∠ABC ，∴△ADE ∽△ABC. (2)∵△ADE ∽△ABC ，∴AD AE ＝ABAC.∵∠DAB ＝∠EAC ，∴△ADB ∽△AEC.∴AD AE ＝BDCE .技巧2：巧作平行线构造相似三角形【类型】一、巧连线段的中点构造相似三角形1．如图，在△ABC 中，E ，F 是边BC 上的两个三等分点，D 是AC 的中点，BD 分别交AE ，AF 于点P ，Q ，求BP PQ QD.【类型】二、过顶点作平行线构造相似三角形2．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，F 为底边AB 上一点，BF AF ＝32，取CF 的中点D ，连接AD并延长交BC 于点E ，求BEEC的值．【类型】三、过一边上的点作平行线构造相似三角形3．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，在边AB 上取一点D ，在AC 上取一点E ，使AD ＝AE ，直线DE 和BC 的延长线交于点P.求证：BP CP ＝BDEC.【类型】四、过一点作平行线构造相似三角形4．如图，在△ABC 中，点M 为AC 边的中点，点E 为AB 上一点，且AE ＝14AB ，连接EM 并延长交BC 的延长线于点D.求证：BC ＝2CD.参考答案1．解：如图，连接DF ，∵E ，F 是边BC 上的两个三等分点，∴BE ＝EF ＝FC.∵D 是AC 的中点，∴AD ＝CD. ∴DF 是△ACE 的中位线． ∴DF ∥AE ，且DF ＝12AE.∴DF ∥PE. ∴∠BEP ＝∠BFD. 又∵∠EBP 为公共角，∴△BEP ∽△BFD.∴BE BF ＝BPBD.∵BF ＝2BE ，∴BD ＝2BP.∴BP ＝PD.∴DF ＝2PE. ∵DF ∥AE ，∴∠APQ ＝∠FDQ ，∠PAQ ＝∠DFQ. ∴△APQ ∽△FDQ.∴PQ QD ＝APDF .设PE ＝a ，则DF ＝2a ，AP ＝3a. ∴PQ QD ＝AP DF ＝3 2.∴BP PQ QD ＝53 2.2．解：如图，过点C 作CG ∥AB 交AE 的延长线于点G.∵CG ∥AB ，∴∠DAF ＝∠G. 又∵D 为C F 的中点，∴CD ＝DF.在△ADF 和△GDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DAF ＝∠G ，∠ADF ＝∠CDG ，DF ＝CD ，∴△ADF ≌△GDC(AAS )．∴AF ＝CG. ∵BF AF ＝32，∴AB AF ＝52.∵AB ∥CG ，∴∠CGE ＝∠BAE ，∠BCE ＝∠ABE. ∴△ABE ∽△GCE. ∴BE EC ＝AB CG ＝AB AF ＝52.3．证明：如图，过点C 作CF ∥AB 交DP 于点F ，∴∠PFC ＝∠PDB ，∠PCF ＝∠PBD. ∴△PCF ∽△PBD.∴BP CP ＝BDCF.∵AD ∥CF ，∴∠ADE ＝∠EFC. ∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED.∵∠AED ＝∠CEP ，∴∠EFC ＝∠CEP.∴EC ＝CF. ∴BP CP ＝BD EC. 4．证明：(方法一)如图①，过点C 作CF ∥A B ，交DE 于点F ，又∵∠AME ＝∠CM F ， ∴AE BE ＝CD BD ＝13，即BD ＝3CD. 又∵BD ＝BC ＋CD ， ∴BC ＝2CD.(第4题②)(方法二)如图②，过点C 作CF ∥DE ，交AB 于点F ， ∴AE AF ＝AM AC. 又∵点M 为AC 边的中点， ∴AC ＝2AM. ∴2AE ＝AF.∴AE ＝EF. ∴BC ＝2CD.由EF ∥CD ，易证得△EFM ∽△DCM ， EF MF∴EF ＝12CD.∴BC ＝2CD.(第4题④)(方法四)如图④，过点A 作AF ∥BD ，交DE 的延长线于点F ， ∴∠F ＝∠D ，∠FAE ＝∠B. ∴△AEF ∽△BED. ∴AE BE ＝AF BD . ∵AE ＝14AB ，＝1BE.＝1BD.12．如图，已知△ABC 的边AB 上有一点D ，边BC 的延长线上有一点E ，且AD ＝CE ，DE 交AC 于点F ，3．如图，在▱ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F.求证：DC AE ＝CF AD.4．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，M 为BC 的中点，DM ⊥BC 交CA 的延长线于D ，交AB 于E.求证：AM2＝MD·ME.【类型】三、构造相似三角形法5．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.求证：BP·CP＝BM·CN.【类型】四、等比过渡法6．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE.求证：(1)△DEF∽△BDE；(2)DG·DF＝DB·EF.7．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D.求证：CE2＝DE·PE.【类型】五、两次相似法8．如图，在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，∠ABC 的平分线BE 交AC 于E ，交AD 于F.求证：BF BE ＝ABBC.9．如图，在▱ABCD 中，AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，垂足分别为M ，N.求证：1011BP12．如图，已知AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线EP 交BC 的延长线于点P.求证：PD 2＝PB·PC.参考答案12而解决问题．3．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴A E ∥D C ，∠A ＝∠C. ∴∠CDF ＝∠E.∴△FCD ∽△DAE.∴DC AE ＝CFAD .4．证明：∵DM ⊥BC ，∠BAC ＝90°，∴∠B＋∠BEM＝90°，∠D＋∠DEA＝90°.∵∠BEM＝∠DEA，∴∠B＝∠D.又∵M为BC的中点，∠BAC＝90°，∴BM＝AM.∴∠B＝∠BAM.∴∠BAM＝∠D.即∠EAM＝∠D.56．证明：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵DE∥BC，∴∠ABC＋∠EDB＝180°，∠ACB＋∠FED＝180°.∴∠FED＝∠EDB.又∵∠EDF＝∠DBE，∴△DEF∽△BDE.(2)由△DEF∽△BDE得DEBD＝EFDE.即DE2＝DB·EF.又由△DEF∽△BDE，得∠GED＝∠EFD.∵∠GDE＝∠EDF，∴△GDE∽△EDF.∴DG DE ＝DEDF .即DE 2＝DG·DF. ∴DG·DF ＝DB·EF.7．证明：∴BG∴AP ，PE∴AB ，∴∴AEP ＝∴DEB ＝∴AGB ＝90°. ∴∴P ＋∴PAB ＝90°， ∴PAB ＋∴AB G ＝90°.89．证明：(1)∵四边形ABCD 为平行四边形，∴∠B ＝∠D.∵AM ⊥BC ，AN ⊥CD ， ∴∠AMB ＝∠AND ＝90°. ∴△AMB ∽△AND.(2)由△AMB ∽△AND 得AM AN ＝AB AD ，∠BAM ＝∠DAN.又AD ＝BC ，∴AM AN ＝ABBC .∵AM ⊥BC ，AD ∥BC ，∴∠MAD ＝∠AMB ＝90°.∴∠B ＋∠BAM ＝∠MAN ＋∠NAD ＝90°.∴∠B ＝∠MAN. ∴△AMN ∽△BAC.∴AM AB ＝MN AC .10．证明：∵AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠AED ＝90°. 又∵∠BAD ＝∠DAE ，1112．证明：如图，连接PA ，∵EP 是AD 的垂直平分线， ∴PA ＝PD.∴∠PD A ＝∠PAD.∴∠B ＋∠BAD ＝∠DAC ＋∠CAP. 又∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠DAC.∴∠B ＝∠CAP. 又∵∠APC ＝∠BPA ， ∴△PAC ∽△PBA.∴PA PB ＝PCPA .A 3243A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C【提示】根据平行线分线段成比例定理，由DE∴BC 得AD AEDB EC=，然后利用比例性质求EC 和AE的值即可【详解】∴//DE BC ， ∴AD AE DB EC =，即932AE=， ∴6AE =，∴628AC AE EC =+=+=．故选C ．例（A AB ACAB BCA B C D 例4、如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 和AC 的中点，15BCED S =四边形，则ABC S ∆=（）A．30B．25C．22．5D．20【答案】D：S∆例得mA【解析】∴∴ABE=∴DCE, ∴AEB=∴CED,∴∴ABE∴∴DCE,∴AB BE CD CE=.∴BE=90m，EC=45m，CD=60m，∴()906012045AB m ⨯== 故选A.【物高问题】【题型】六、位似图形的概念与性质例6、如图，∴ABC 与∴DEF 位似，点O 为位似中心．已知OA ∴OD =1∴2，则∴ABC 与∴DEF 的面积比为（）A 8A ．20cmB ．10cmC ．8cmD ．3.2cm【答案】A【提示】根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解. 【详解】解：设投影三角尺的对应边长为xcm , ∴三角尺与投影三角尺相似, ∴8：x ＝2：5, 12BD ADE 与ABC 的周长之比为（A ABC ADE ∽，相似三角形的对应边成∴∴∴ABC ADE ∽， ∴∴AD ：AB =1：3， ∴13ADE ABC C C ∆∆=：：，即ADE 与ABC 的周长比为1：3．故选：D ．【点睛】题目主要考查相似三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理及其性质是解题关键．2．如图，在ABC 中，高BD 、CE 相交于点.F 图中与AEC △一定相似的三角形有（）A ADB ，△∴FEB ，△A ∠=∠∴ADB ， ABD =∠，又90AEC BEC =∠=∴FEB ，ACE =∠，∴FDC △，【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．3ABC 中，D 、A ∴∴ADE ∴∴ABC ，∴∴ADE 与∴ABC 的周长之比为1：2，∴∴ADE 与∴ABC 的面积之比为1：4，即14．故选：B ．【点睛】此题考查的是相似三角形的性质，三角形中位线定理，掌握相似三角形的周长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解决此题关键．4．如图，D 是ABC 的边BC 上的一点，那么下列四个条件中，不能够判定∴ABC 与∴DBA 相似的是（）ABC ∴DBA ，故选项ABC ∴DBA ，故选项B 不符合题意；ACB 与BAD ∠是否相等，所以无法判定两三角形相似，故选项B B ∠=∠，ABC ∴DBA ，故选项【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．ABC ∴A B C '''，是它们的对应角平分线，若的面积比是（）3 B ．C ．3【答案】B【分析】根据相似三角形的性质：【详解】ABC ∴A B C '''，AD 和A D ''是它们的对应角平分线，8AD =，12A D ''=，∴两三角形的相似比为： :8:122:3AD A D '=='，则ABC 与'''A B C 的面积比是：4：9．故选：B【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．二、填空题6．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB ＝3m，AC＝10m，则建筑物CD的高是_____m．7．如图所示，要使ABC ADE～，需要添加一个条件∠=∠【答案】ADE B【分析】根据已有条件，加上一对角相等就可以证明ABC与ADE相似，依据是：两角对应相等的两个三角形相似．【详解】解：添加ADE B∠=∠，A A∠=∠ABC ADE∴～故答案为：ADE B∠=∠．【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定方法，牢记三角形相似的判定方法是做出本题的关键．8(1)(2)(2)（（（2）解：∴∴ADE∴∴ABC，∴AD DEAB BC=，243BC=，∴BC=6．【点睛】本题考查了三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．相似三角形（提升测评）一、单选题1．如图，在菱形ABCD 中，点E 在AD 边上，EF ∴CD ，交对角线BD 于点F ，则下列结论中错误的是（）DE DFEF DFEF DFEF DF【点睛】此题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．2．如图1为一张正三角形纸片ABC ，其中D 点在AB 上，E 点在BC 上．今以DE 为折线将B 点往右折后，BD 、BE 分别与AC 相交于F 点、G 点，如图2所示．若10AD =，16AF =，14DF =，8BF =，则CG 的长度为多少？（）A．7B．8C．9D．10，解：∴3A．B．4C D．2【答案】B【分析】先过点A 作AC x ⊥轴于点C ，过点B 作BD x ⊥轴于点D ，构造相似三角形，再利用相似三角形的性质列出比例式，计算求解即可．【详解】解：过点A 作AC x ⊥轴于点C ，过点B 作BD x ⊥轴于点D ，则90ACO ODB ∠=∠=︒，90B BOD ∠+∠=︒，A 的坐标是AC ＝1，122DB=，即:B 的纵坐标是故选：B ． 4的A ．AD AFBD EF= B ．AF DFAE EB= C ．=AD AEAB ACD ．CAF FE DEB = 【答案】D∥找到对应线段成比例或相似三角形对应线段的比相等，判断即可．【分析】根据DF BE∥，DE BC【详解】解：DF BE∥，AD AF∴=，BD EF故A选项比例式正确，不符合题意；DF BE∥，∴△∽△，ADF ABE5【答案】9x，根据同时同地物高与影长成正比列出比例式求出x，然后加【分析】设地面影长对应的树高为m上墙上的影长CD即为树的高度．x，【详解】解：设地面影长对应的树高为m由题意得，140.5x =，解得8x =，墙上的影子CD 长为1m ， ∴树的高度为()819m +=．故答案为：9．【点睛】本题考查利用投影求物高．熟练掌握同时同地物高与影长成正比是解题的关键．616AD BC ，FCG ，2， CFG 的面积之比AD BC ，:(2)2:5x a a x ∴+-=，67x a ∴=，68,77AE a EG a ∴==， :3:4AE EG =，∴DEG ∆与ADE ∆的面积之比是4:3，∴DEG ∆与CFG ∆的面积之比是16:7．故答案为：16:7．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握并运用：相似三角形对应边成比例、相似三角形的面积比等于相似比的平方等性质，是解此题的关键．三、解答题7，H(1)(2)(2)，证出ADK FGK ，得出比例式求出（）由正方形的性质求出出AM =4，FM =2，∴AMF 12CH AF =，根据勾股定理求出（）解：∴四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形，∴AD =CD =BC =1，CG =FG =CE =3，,AD BC GF BE ∥∥，∴G =90°，∴DG =CG -CD =2，AD GF ∥，∴ADK FGK ，∴DK ：GK =AD ：GF =1：3，∴3342GK DG ==，∴312tan32GKGFKFG∠===；（2）解：∴正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，∴AB=BC=1，CE=EF=3，∴E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，如图所示：则∴∴∴在∴8．如图所示，BEF的顶点AF，满足（（CEB ， BCE ∠∴=，ABCD 是矩形，∴BC DAB ∠，ACB =∠，BCE ACB ∠∠+=∴即∴90FAD DAC ∠∠∴+=︒，90DAB ∠=︒，90BAC DAC ∠∠∴+=︒，FAD BAC ∠∠∴=，在Rt ABC 中，tanBCBACAB∠===，30BAC∴∠=︒，30FAD∠∴=︒；（2）由（1）得9030ABC BAC∠∠=︒=︒，，CEB，ABCE，313，3，FAE中，【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，解答的关键是结合图形及相应的性质求得∠。

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C E
E D
A
B
C
三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.
★平行线分线段成比例定理
1．平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.
用符号语言表示：AD∥BE∥CF, AB DE , BC EF , AB DE . BC EF AC DF AC DF
相似三角形基本知识
知识点一：放缩与相似 1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。
注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。 ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．
AC2=AB×BC，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的
比叫做黄金比。其中 AC
5 1 AB ≈0.618 AB 。
2
2）黄金分割的几何作图：已知：线段 AB.求作：点 C 使 C 是线段 AB 的黄金分割点.
作法：①过点 B 作 BD⊥AB，使
am
a：b＝m：n（或 b n ） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比 a：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
ac
3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 b d
ac
4、比例外项：在比例 b d （或 a：b＝c：d）中 a、d 叫做比例外项。

相似三角形知识点归纳(全)精选全文完整版

可编辑修改精选全文完整版《相似三角形》—中考考点归纳与典型例题知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质（1）定义：在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b =． ②()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项核心内容：bc ad = （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即AC BC AB AC ==简记为：12长短＝＝全长注：①黄金三角形：顶角是360的等腰三角形②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形（3）合、分比性质：a c abcd b d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a ccd a a b d c b a 等等．（4）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a那么ban f d b m e c a =++++++++ ．知识点3 比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE =====或或或或等. 特别在三角形中：由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或知识点4 相似三角形的概念（1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上 ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．（2）三角形相似的判定方法1、平行法：（图上）平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.2、判定定理1：简述为：两角对应相等，两三角形相似．AA3、判定定理2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．SAS4、判定定理3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似．SSS5、判定定理4：直角三角形中，“HL ” 全等与相似的比较：三角形全等三角形相似两角夹一边对应相等(ASA) 两角一对边对应相等(AAS) 两边及夹角对应相等(SAS) 三边对应相等(SSS)、(HL ）两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例“HL ”如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则∽＝＝＞AD 2=BD ·DC ，∽＝＝＞AB 2=BD ·BC ，∽＝＝＞AC 2=CD ·BC .知识点5 相似三角形的性质E BD DB C(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例． (2)相似三角形周长的比等于相似比．(3)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．知识点6 相似三角形的几种基本图形：（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。

相似三角形(解析版)

4.3相似三角形一、相似图形及比例线段1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形. 要点：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等；二、相似三角形在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k 就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”一、单选题 1．若ABC A B C '''，40A ∠=︒，110B ∠=︒，则'C ∠的度数为（）A ．30°B ．40°C ．70°D ．110°【解答】A【提示】若ABC A B C '''∽△△，则说明点A 的对应点为点'A ，点B 的对应点B '，点C 的对应点为点C ',且对应角相等.【详解】因为ABC A B C '''∽△△，所以'C C ∠=∠.因为40A ∠=︒，110B ∠=︒，所以30C ∠=︒，所以'30C ∠=︒故选A.【点睛】考核知识点：相似比.熟记相似三角形性质:对应角相等，是关键. 2．若ABCA B C ''''，3BC =，'' 1.8B C =，则A B C '''与ABC 的相似比为（）A ．5∶3B ．32∶C ．23∶D ．35∶ 【解答】D【提示】根据相似三角形的对应角相等、对应边成比例可得：A B C '''与ABC 的相似比为1.83B C BC =''. 【详解】因为ABC A B C '''∽△△，3BC =，'' 1.8B C =，所以A B C '''与ABC 的相似比为1.8335B C BC ''==. 故选D.【点睛】考核知识点：相似比.熟记相似三角形性质是关键. 3．如图，已知ADEACB ，若AB=10，AC=8，AD=4，则AE 的长是（）A ．4B ．3.2C ．20D ．5【解答】D【提示】根据相似三角形对应边成比例直接建立等式求解即可．【详解】由相似三角形的性质可得：AD AEAC AB=，则·41058AD AB AE AC ⨯===，故选：D ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟记相似三角形对应边成比例是解题关键．4．如果ABC DEF ∆∆∽，A 、B 分别对应D 、E ，且:1:2AB DE =，那么下列等式一定成立的是（） A ．:1:2BC DE =B ．ABC ∆的面积：DEF ∆的面积1:2=C ．A ∠的度数：D ∠的度数1:2= D ．ABC ∆的周长：DEF ∆的周长1:2= 【解答】D【提示】相似三角形对应边的比等于相似比，面积之比等于相似比的平方,对应角相等.【详解】根据相似三角形性质可得：A ：BC 和DE 不是对应边，故错；B ：面积比应该是1:4，故错；C:对应角相等，故错；D ：周长比等于相似比，故正确. 故选：D【点睛】考核知识点：相似三角形性质.理解基本性质是关键.5．如图所示，△ACB ∽△A′CB′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为（）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40° 【解答】B【提示】根据相似三角形性质求出∠ACB=∠A′CB′，都减去∠A′CB 即可．【详解】解：∵△ACB ∽△A′CB′，∴∠ACB=∠A′CB′，∴∠ACB-∠A′CB=∠A′CB′-∠A′CB ， ∴∠ACA′=∠BCB′， ∵∠BCB′=30°， ∴∠ACA′=30°，故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．6．如图，在△ABC 中，∠A ＝75°，AB ＝6，AC ＝8，将△ABC 沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A ．B ．C ．D ．【解答】D【提示】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【详解】A 、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误； B 、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误； C 、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误． D 、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；故选D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．7．在△ABC 中，已知AB ＝5，BC ＝4，AC ＝8.若△ABC ∽△A1B1C1，△A1B1C1的最长边的长为16，则其他两边的长分别为( )A ．A1B1＝8，B1C1＝10B ．A1B1＝10，B1C1＝8C ．A1B1＝5，B1C1＝8D ．A1B1＝10，B1C1＝4【解答】B【详解】分析：根据相似三角形对应边的比相等解答即可．详解：∵两个三角形中最长边和最长边是对应边，△ABC ∽△A1B1C1，∴111111AB BC ACA B B C AC == ，∴111154816A B B C ==，∴A1B1＝10，B1C1＝8．故选B ．点睛：本题主要考查学生对两个三角形相似的性质的理解及运用．掌握相似三角形的性质是解题的关键．8．若ABC DEF △△，且ABC 与DEF 的相似比为m ，DEF 与ABC 的相似比为n ，则（.）： A ．m n = B ．0m n += C ．1⋅=m n D ．1m n ⋅=-【解答】C【提示】根据题意，可判定ABC 与DEF 的相似比为m ，则DEF 与ABC 的相似比为其倒数，所以两者积为1.【详解】解：∵ABC 与DEF 的相似比为m ， ∴DEF 与ABC 的相似比为1m ，即1n m=， ∴1⋅=m n 故答案为C.【点睛】此题主要考查相似三角形相似比的性质，熟练掌握，即可解题.9．△ABC ∽△A′B′C′，已知AB ＝5，A′B′＝6，△ABC 面积为10，那么另一个三角形的面积为( ) A ．15B ．14.4C ．12D ．10.8【解答】B【提示】利用相似三角形的性质得出两三角形的面积比，进而求出即可．【详解】解：∵△ABC ∽△A′B′C′，AB ＝5，A′B′＝6， ∴A'B'C'2536ABC S S =， ∵△ABC 面积为10， ∴解得：S △A′B′C′＝14.4．故选B ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，利用相似比与面积比的关系得出是解题关键．10．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 平分∠ABC ，DE ∥BC ，那么在下列三角形中，与△EBD 相似的三角形是（）A ．ABCB ．ADEC ．DABD ．BDC 【解答】C【提示】由于∠A=36°，AB=AC ，易求∠ABC=∠C=72°，而BD 是角平分线，易求∠ABD=∠CBD=36°，又DE ∥BC ，那么有∠EDB=∠CBD=36°，即∠A=∠BDE ，∠ABD=∠DBE ，从而可证△ABD ∽△DBE ．【详解】∵∠A=36°，AB=AC ， ∴∠ABC=∠C=72°，又∵BD 是∠ABC 的平分线， ∴∠ABD=∠CBD=36°， ∵DE ∥BC ，∴∠EDB=∠CBD=36°，即∠A=∠BDE ，∠ABD=∠DBE ， ∴△ABD ∽△DBE ，故选C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理．解题的关键是求出相关角的度数．二、填空题11．已知111ABC A B C △△，相似比为23，111222A B C A B C △△，相似比为54，则222ABC A B C △△，其相似比为________. 【解答】56【提示】根据相似三角形的性质可得1123AB A B =，112254A B A B =，故可得2256AB A B =. 【详解】因为111ABC A B C ∽△△，相似比为23，所以1123AB A B =，因为111222A B C A B C ∽△△，相似比为54，所以112254A B A B =，所以2256AB A B =，即所求相似比为56. 故答案为56【点睛】考核知识点：相似三角形的性质.根据相似三角形性质和比例性质求解是关键.12．ΔABC 与△DEF 中，65A ∠=︒，42B ∠=︒，65D ∠=︒，73F ∠=︒，3AB =，5AC =，6BC =，6DE =，10DF =，12EF =，则△DEF 与△ABC________【解答】相似【提示】根据相似三角形的判定方法解答即可. 【详解】∵65A ∠=︒，42B ∠=︒， ∴∠C=180°-65°-42°=73°. ∵65D ∠=︒，73F ∠=︒， ∴∠A=∠D, ∠C=∠F, ∴△DEF 与△ABC 相似. 故答案为相似.【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法，相似三角形的判定方法有：①对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形；②平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；③两角相等的两个三角形相似；④两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似判定即可；⑤三边对应成比例的两个三角形相似.13．已知ABC 的三边分别是4，5，6，则与它相似'''A B C 的最长边为12，则'''A B C 的周长是________．【解答】30【提示】由于A B C '''的最大边为12，所以边长12对应的边只能是ABC 中边长为6的边，进而再由对应边成比例即可求解．【详解】∵△ABC ∽△A′B′C′，且其最大边为12，所以边长12对应的边只能是△ABC 中边长为6的边，∴△′B′C′的另两边的长为8，10，故△′B′C′的周长为8+10+12=30. 故答案为:30.【点睛】考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解决问题的关键. 14．若ABC DEF ∽，50B ∠=，70C ∠=，则D ∠的度数为________．【解答】60【提示】根据三角形的内角和定理求出∠A ，再根据相似三角形的对应角相等可得∠D=∠A ．【详解】∵50B ∠=，70C ∠=∴180180507060,A B C ∠=-∠-∠=--= ∵△ABC ∽△DEF ， ∴60.D A ∠=∠=故答案为60.【点睛】考查相似三角形的性质，掌握相似三角形对应角相等是解题的关键.15．如图，在△ ABC 中， DE ∥ BC ， AD ＝3cm ， BD ＝2cm ，则△ ADE 与△ ABC 相似比是_____；若 DE ＝4cm ，则 BC ＝________．【解答】 3：5203cm ；【详解】∵AD=3cm ，BD=2cm ， ∴AB=AD+DB=5cm. ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，且相似比为：35AD AB =； ∴35DE AD BC AB ==，即435BC =， ∴BC=203. 故答案为（1）35；（2）203.点睛：本题解题的要点是根据“平行于三角形一边的直线截另外两边（或两边的延长线），所得新三角形与原三角形相似”由DE ∥BC 得到△ADE ∽△ABC ，这样利用相似三角形的性质即可求得所求量了.16．在ABC 中，5AB AC ==，6BC =，点E 、F 分别在AB 、BC 边上，将BEF 沿直线EF 翻折后，点B 落在对边AC 的点为'B ，若'B FC 与ABC 相似，那么BF =________．【解答】3或3011【提示】由于对应边不确定,所以本题应分两种情况进行讨论:①△ABC ∽△B ' FC;②△ABC ∽△F B 'C.【详解】①当△ABC ∽△B 'FC 时:根据△ABC 是等腰三角形,则△B 'FC 也是等腰三角形, 则B 'FC=∠C=∠B,设BF=x,则CF=6-x, B 'F=B 'C=x,根据△ABC ∽△B 'FC ,得到:B F CFAB BC'=,得到656x x -=,解得x=3011;②当△ABC ∽△F B 'C 则FC=B 'F=BF,则x=6-x,解得x=3. 因而BF=3或3011. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质,对应边的比相等,注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键.17．如图，已知ADE ABC ∽，相似比为2:3，则:BC DE 的值为________．【解答】3:2【提示】由于△ADE ∽△ABC ，且已知了它们的相似比，因此两三角形的对应边的比等于相似比．由此可求出BC 、DE 的比例关系．【详解】∵△ADE ∽△ABC ，且相似比为2：3， ∴BC ：DE=3：2，故答案为3：2．【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（2）相似三角形周长的比等于相似比；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．18．如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在边BC 上，连接AD ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转到AE ，使得∠DAE=∠BAC ，连接DE 交AC 于F ，请写出图中一对相似的三角形：________（只要写出一对即可）．【解答】△ABD ∽△AEF(或△ABD ∽△DCF 或△DCF ∽△AEF 或△ADE ∽△ABC) 【详解】分析：先根据等腰三角形的性质，由AB=AC 得∠B=∠C ，再利用旋转的性质得∠ADE=∠E=∠B=∠C ，且∠BAD=∠CAE ，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ABD ∽AEF ．详解：∵AB=AC ， ∴∠B=∠C ，∵线段AD 绕点A 逆时针旋转到AE ，使得∠DAE=∠BAC ，∴∠ADE=∠E=∠B=∠C，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽AEF．故答案为△ABD∽AEF．点睛：本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．三、解答题19．根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由（1）AB=12，BC=15，AC=24，A′B′=25，B′C′=40，C′A′=20（2）AB=3，BC=4，AC=5，A′B′=12，B′C′=16，C′A′=20【解答】(1)见解析;(2)见解析.【提示】（1）通过计算得出两个三角形三边成比例，即可得出结论．（2）通过计算得出两个三角形三边成比例，即可得出结论．【详解】解：（1）∵AB123BC153AC243C'A'205A'B'255B'C'405 ======，，，∴△ABC∽△C′A′B′（2）∵AB31BC41AC51 A'B'124B'C'164A'C'204 ======，，∴△ABC∽△A′B′C′．【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，通过计算得出三边成比例是解题的关键．20．如图，在△ABC中，D、E两点分别在AC、AB两边上，∠ABC=∠ADE，AB=7，AD=3，AE=2.7,求AC的长．【解答】6.3.【详解】试题分析：已知∠ABC=∠ADE，∠A=∠A，则可推出△ABC∽△ADE，根据相似三角形的相似比即可求得AC的长．试题解析：在△ABC和△ADE中，∵∠ABC=∠ADE，∠A=∠A∴△ABC∽△ADE.∴AB ACAD AE=，即AB AE7 2.7AC 6.3AD3⋅⨯===.考点：相似三角形的判定和性质．21．如图，在正方形网格上有△ABC 和△DEF ．（1）这两个三角形相似吗？为什么？（2）请直接写出∠A 的度数；（3）在上边的网格内再画一个三角形，使它与△ABC 相似，并求出其相似比．【解答】（1）相似，理由见解析；（2）45º；（3）见解析【提示】（1）根据勾股定理列式求出AB 、AC 、BC 、DE 、DF 、EF 的长度，然后根据三边对应成比例，两三角形相似解答；（2）取AC 的中点O ，连接BO ，根据网格结构可以判断∠ABO=90°，△ABO 是等腰直角三角形，即可得解；（3）把△ABC 三边扩大2倍，然后利用网格结构作出即可．【详解】（1）AB=22152=+， AC=22026=21+， BC=5， DE=1，DF=22152=+， EF=22222=2+， ∵5AB AC BCDE EF DF===， ∴△ABC ∽△DEF ；（2）如图，取AC 的中点O ，连接BO ，则△ABO 是等腰直角三角形， ∴∠A=45°；（3）如图，△A′B′C′与△ABC 相似，它们的相似比是2．【点睛】本题考查了利用相似变换作图，熟练掌握相似三角形的判定与性质，网格结构的特点是解题的关键．22．已知：如图AB//CD//EF ，AC 、BD 相交于点O ，E 在AC 上，F 在BD 上，且AE:EC=2:3，BD=10.（1）求BF 的长；（2）当AB=12，CD=8时，求EF 的长.【解答】（1）4 （2）4【提示】（1）根据平行线分线段成比例定理得出BF ：FD 的值，从而得出BF 与FD 的数量关系，再再结合BF+DF=BD=10求出BF 的值.（2）先证明~,~OEF OAB OEF OCD 从而得出两组关于EF 的比例式，再根据和比的性质对比例式进行变形得出23AB EF AE CD EF EC -==+，代入AB 和CD 的值即可求出EF. 【详解】解：（1）∵AB//CD//EFAE BF EC DF∴= :2:3AE EC =23BF DF ∴= 23DF BF ∴= 10BD = 10DF BD BF BF ∴=-=-2(10)3BF BF ∴-=4BF ∴=（2）AB CD EF ‖‖~,~OEF OAB OEF OCD ∴,AB OA CD OC EF OE EF OE ∴== ,AB EF OA OE CD EF OC OE EF OE EF OE--++∴== ,AB EF AE CD EF EC EF OE EF OE-+==23AB EF AE CD EF EC -∴==+ 3()2()AB EF CD EF ∴-=+12,8AB CD ==3(12)2(8)EF EF ∴-=+4EF ∴=【点睛】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，比例的性质.（1）中能根据平行线分线段成比例得出BF 与FD 的数量关系是解决此问的关键；（2）中的难度在于能根据和比的性质将比例式进行变形，建立EF 有关的比例式和AE:EC 之间的等量关系.23．如图，直线EF 分别交ABC 的边AB ，AC 于点F ，E ，交BC 的延长线于点D ，已知BF BA BC BD ⋅=⋅.求证：AE CE DE EF ⋅=⋅.【解答】见解析【提示】由对应线段成比例且夹角相等可证ABC DBF ∽△△，根据两组对应角相等即证AEF DEC ∽△△，由相似三角形对应线段成比例的性质可得结论.【详解】证：BF BA BC BD ⋅=⋅，∴AB BC BD BF =，又ABC DBF ∠=∠，∴ABC DBF ∽△△，∴A D ∠=∠.又AEF DEC ∠=∠，∴AEF DEC ∽△△，∴AE EF DE EC=，即AE CE DE EF ⋅=⋅. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，综合利用其判定和性质进行证明是解题的关键. 24．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E 分别在BC ，AB 上，且∠BDE ＝∠CAD.求证：△ADE ∽△ABD.【解答】证明见解析.【详解】试题分析：由等腰三角形的性质得出∠B=∠C，由三角形的外角性质和已知条件得出∠ADE=∠C，因此∠B=∠ADE，再由公共角∠DAE=∠BAD，即可得出△ADE∽△ABD.试题解析：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠ADB＝∠C＋∠CAD＝∠BDE＋∠ADE，∠BDE＝∠CAD，∴∠ADE＝∠C，∠B＝∠ADE.∵∠DAE＝∠BAD，∴△ADE∽△ABD.25．点D、E分别是△ABC两边AB、BC所在直线上的点，∠BDE＋∠ACB＝180°，DE＝AC，AD ＝2BD．(1) 如图1，当点D、E分别在AB、CB的延长线上时，求证：BE＝BD(2) 如图2，当点D、E分别在AB、BC边上时，BE与BD存在怎样的数量关系？请写出你的结论，并证明【解答】（1）证明见解析；（2）BE=3BD【提示】（1）在BD上找一点M，连接EM，使EM=ED，如图1.证明EMB ACB≅可得EB=AB，利用AD=2BD，AB=AD-BD即可得结论；（2）在AB上找一点M，连接EM，使EM=ED，如图2.证明EBM ABC可得BE EMAB AC=由AD=2BD,可得AB=AD+BD=3BD代入，即可得结论.【详解】（1）在BD上找一点M，连接EM，使EM=ED，如图1.则∠BDE=∠EMD.∵∠BDE+∠ACB=180°，∴∠EMB=∠ACB.∵DE=AC,∴EM=AC在△EMB 和△ACB 中，EBM ABC EMB ACB EM AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()EMB ACB AAS ∴≅∴EB=AB∵AD=2BD ，∴AB=AD-BD=BD.∴BE=BD ；(2) BE=3BD ，理由如下：在AB 上找一点M ，连接EM ，使EM=ED ，如图 2.则∠MDE=∠EMD.∵DE=AC,∴EM=AC.∵∠BDE+∠ACB=180, ∠EDM+∠BDE=180，∴∠EMD=∠ACB∵∠EBM=∠ABC,EBMABC ∴ BE EM AB AC∴= ∵AD=2BD,∴AB=AD+BD=3BD3BE AC BD AC∴=. ∴BE=3BD【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质以及相似三角形的判定及性质，掌握三角形全等的判定方法及相似三角形的判定及性质是解题的关键.。

(完整word版)九年级数学相似三角形知识点及习题

相似三角形要点一、本章的两套定理第一套（比例的有关性质）： b a n d b m c a n d b n m d c b a =++++++⇒≠+++=== :)0(等比性质涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。

二、有关知识点：1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。

2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。

3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。

4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。

5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型斜三角形直角三角形全等三角形的判定 SASSSS AAS （ASA ） HL 相似三角形的判定两边对应成比例夹角相等三边对应成比例两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。

6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

7.相似三角形的性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。

(2)相似三角形的对应边成比例。

(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

(4)相似三角形的周长比等于相似比。

(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。

8.相似三角形的传递性如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2三、注意1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A ”型和“ X ”型。

初三最详细相似三角形解答题以及答案

一．解答题（共7小题）1．（2003•常德）如图1，D是△ABC的BC边上的中点，过点D的一条直线交AC于F，交BA的延长线于E，AG∥BC 交EF于G，我们可以证明EG•DC=ED•AG成立（不要求考生证明）．（1）如图2，若将图1中的过点D的一条直线交AC于F，改为交CA的延长线于F，交BA的延长线于E，改为交BA于E，其它条件不变，则EG•DC=ED•AG还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说出理由；（2）根据图2，请你找出EG、FD、ED、FG四条线段之间的关系，并给出证明；（3）如图3，若将图1中的过点D的一条直线交AC于F，改为交CA的反向延长线于F，交BA的延长线于E，改为交BA于E，其它条件不变，则（2）得到的结论是否成立？2．（2003•厦门）如图，BD、BE分别是∠ABC与它的邻补角∠ABP的平分线，AE⊥BE，AD⊥BD，E、D为垂足．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）若=3，F、G分别为AE、AD上的点，FG交AB于点H，且=3，求证：△AHG是等腰三角形．3．（2003•金华）如图所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC；（2）当，求的值；（3）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．4．（2003•绍兴）已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题：（1）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与边OA，OB交于点C，D．①在图甲中，证明：PC=PD；②在图乙中，点G是CD与OP的交点，且PG=PD，求△POD与△PDG的面积之比；（2）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，一直角边与边OB交于点D，OD=1，另一直角边与直线OA，直线OB分别交于点C，E，使以P，D，E为顶点的三角形与△OCD相似，在图丙中作出图形，试求OP的长．5．（2002•盐城）已知：如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC的中点，E为AC上一点，点G在BE上，连接DG并延长交AE于F，若∠FGE=45°．（1）求证：BD•BC=BG•BE；（2）求证：AG⊥BE；（3）若E为AC的中点，求EF：FD的值．6．（2002•黄冈）已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明成立（不要求考生证明）．若将图中的垂线改为斜交，如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过点E作EF∥AB交BD于点F，则：（1）还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（2）请找出S△ABD，S△BED和S△BDC间的关系式，并给出证明．7．如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，AB=AC，AE⊥AC且AE=AD，连BE交AC于F．（1）如图1，若CD=AD，试猜想BF与EF的数量关系；（2）如图2，若CD≠AD，问题（1）BF与EF的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请说明理由；（3）如图2，在第（2）问的条件下，取BC中点M，问线段MF与线段BD之间是否存在某种确定的数量关系？若存在，证明你的结论，若不存在，说明理由．答案与评分标准一．解答题（共7小题）1．（2003•常德）如图1，D是△ABC的BC边上的中点，过点D的一条直线交AC于F，交BA的延长线于E，AG∥BC 交EF于G，我们可以证明EG•DC=ED•AG成立（不要求考生证明）．（1）如图2，若将图1中的过点D的一条直线交AC于F，改为交CA的延长线于F，交BA的延长线于E，改为交BA于E，其它条件不变，则EG•DC=ED•AG还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说出理由；（2）根据图2，请你找出EG、FD、ED、FG四条线段之间的关系，并给出证明；（3）如图3，若将图1中的过点D的一条直线交AC于F，改为交CA的反向延长线于F，交BA的延长线于E，改为交BA于E，其它条件不变，则（2）得到的结论是否成立？考点：相似三角形的判定与性质。

中考数学总复习《相似三角形综合压轴题》专项提升练习(附答案)

中考数学总复习《相似三角形综合压轴题》专项提升练习(附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题．【证明体验】如图1，在四边形ABCD 中点P 为AB 上一点90DPC A B ∠=∠=∠=︒，求证：AD BC AP BP ⋅=⋅．【思考探究】（2）如图2，在四边形ABCD 中点P 为AB 上一点，当DPC A B β∠=∠=∠=时，上述结论是否依然成立？说明理由．【拓展延伸】（3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在ABC 中22AB =45B ∠=︒以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △，点D 在BC 上，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD ∠=︒，若5CE =CD 的长．2．综合实践问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在ABC 中90,4B AB BC ∠=︒==分别取AB ，AC 的中点D ，E ，作ADE ．如图2所示，将ADE 绕点A 逆时针旋转，连接BD ，CE ．(1)探究发现旋转过程中线段BD 和CE 的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (2)性质应用如图3，当DE 所在直线首次经过点B 时，求CE 的长． (3)延伸思考如图4，在Rt ABC △中90,8,6ABC AB BC ∠=︒==，分别取AB ，BC 的中点D ，E ．作BDE ，将BDE 绕点B 逆时针旋转，连接AD ，CE ．当边AB 平分线段DE 时，求tan ECB ∠的值．3．如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，DME A B α∠=∠=∠=且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．(1)写出图中两对相似三角形；(2)连接FG ，如果45α=︒，42AB =3AF =，求FG 的长．4．如图，在ABC 中6cm AB =，12cm BC =和90B ．点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，设移动时间为()s t ．(1)当2t =时，求PBQ 的面积； (2)当t 为多少时，PBQ 的面积是28cm ？ (3)当t 为多少时，PBQ 与ABC 是相似三角形？5．下面是小新同学在“矩形折叠中的相似三角形”主题下设计的问题，请你解答．如图，已知在矩形ABCD 中点E 为边AB 上一点（不与点A 、点B 重合），先将矩形ABCD 沿CE 折叠，使点B 落在点F 处，CF 交AD 于点H ．(1)观察发现：写出图1中一个与AEG △相似的三角形：______．（写出一个即可）(2)迁移探究：如图2，若4AB =，6BC =当CF 与AD 的交点H 恰好是AD 的中点时，求阴影部分的面积． (3)如图③，当点F 落在边AD 上时，延长EF ，与FCD ∠的角平分线交于点M ，CM 交AD 于点N ，当FN AF ND =+时，请直接写出ABBC的值．6．【阅读】如图1，若ABD ACE ∽，且点B 、D 、C 在同一直线上，则我们把ABD △与ACE △称为旋转相似三角形．(1)【理解】如图2，ABC 和ADE 是等边三角形，点D 在边BC 上，连接CE ．求证：ABD △与ACE △是旋转相似三角形．(2)【应用】如图3，ABD △与ACE △是旋转相似三角形AD CE ，求证：③ABC ADE △△∽；③AC DE =；(3)【拓展】如图4，AC 是四边形ABCD 的对角线90,D B ACD ∠=︒∠=∠，25,20BC AC ==和16AD =，试在边BC 上确定一点E ，使得四边形AECD 是矩形，并说明理由．7．综合与实践如图1，已知纸片Rt ABC △中90BAC ∠=︒，AD 为斜边BC 上的高（AD BC ⊥于点D ）．观察发现（1）请直接写出图中的一组相似三角形．（写出一组即可）实践操作第一步：如图2，将图1中的三角形纸片沿BE 折叠（点E 为AC 上一点），使点A 落在BC 边上的点F 处；第二步：BE 与AD 交于点G 连接GF ，然后将纸片展平．猜想探究（2）猜想四边形AEFG 是哪种特殊的四边形，并证明猜想．（3）探究线段GF ，BE ，GE 之间的数量关系，并说明理由．8．如图1，已知AD 是ABC 的角平分线，可证AB BDAC CD=．证明思路是如图2，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明AB BDAC CD=．(1)利用图2证明AB BDAC CD=； (2)如图3，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，D 是边BC 上一点．连接AD ，将ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．若1AC =，AB=2，求DE 的长．9．【教材原题】如图③，在ABC 中DE BC ∥，且3AD =，2DB =图中的相似三角形是__________，它们的相似比为__________ ；【改编】将图③中的ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到如图③所示的位置，连接BD 、CE ．求证：ABD ACE ∽△△；【应用】如图③，在ABC 和ADE 中90BAC DAE ∠=∠=︒，30ABC ADE ∠=∠=︒点D 在边BC 上，连接CE ，则ACE △与ABD △的面积比为__________．10．问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD 是ABC 的角平分线，可证AB BDAC CD=小慧的证明思路是：如图2，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明．(1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明AB BDAC CD=； (2)基础训练：如图3，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，D 是边BC 上一点．连接AD ，将ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．若1AC =，2AB =求DE 的长；(3)拓展升华：如图4，ABC 中6AB = ，AC=4，AD 为BAC ∠的角平分线，AD 的中垂线EF 交BC 延长线于F ，当3BD =时，求AF 的长．11．定义：两个相似三角形，如果它们的一组对应角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“阳似三角形”、如图1，在ABC 与AED △中ABC AED ∽△△．所以称ABC 与AED △为“阳似三角形”，连接EB DC ，，则DCEB为“阳似比”．(1)如图1，已知R ABC 与Rt AED △为“阳似三角形”，其中90CBA DEA ∠=∠=︒，当30BAC ∠=︒时，“阳似比”DCEB=______； (2)如图2，二次函数234y x x =-++交x 轴于点A 和B 两点，交y 轴于点C ．点M 为直线12y x =在第一象限上的一个动点，且OMB △与CNB 为“阳似三角形”，连接CM ③当点N 落在二次函数图象上时，求出线段OM 的长度； ③若32CN =34BM MC +的最小值．12．已知在Rt ABC △中90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ．(1)在图1中写出其中的两对相似三角形．(2)已知1BD =，DC=2，将CBD △绕着点D 按顺时针方向进行旋转得到C BD '，连接AC '，BC ． ③如图2，判断AC '与BC 之间的位置及数量关系，并证明； ③在旋转过程中当点A ，B ，C '在同一直线上时，求BC 的长．13．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“和谐四边形”，这条对角线叫“和谐线”．(1)如图1，在44⨯的正方形网格中有一个网格Rt ABC △和两个网格四边形ABCD 与四边形ABCE ，其中是被AC 分割成的“和谐四边形”的是______．(2)如图2，BD 平分ABC ∠，43BD =10BC =，四边形ABCD 是被BD 分割成的“和谐四边形”，求AB 长； (3)如图3，A 为抛物线24y x =-+的顶点，抛物线与x 轴交于点B ，C ．在线段AB 上有一个点P ，在射线BC 上有一个点Q ．P 、Q 5/秒，5个单位/秒的速度同时从B 出发分别沿BA ，BC 方向运动，设运动时间为t ，当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．在第一象限的抛物线上是否存在点M ，使得四边形BQMP 是以PQ 为和谐线分割的“和谐四边形”，若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．14．【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题：ABC 中D 是BC 的中点，E 是AB 上一点，延长DE 、CA 交于点F ，DE=EF ，AB=5，求AE 的长．小白的想法是：过点E 作EH BC ∥交AC 于H ，再通过相似三角形的性质得到AE 、BE 的比，从而得出AE 的长．请你按照小白的思路完成解答．【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题：ABC 中AD 平分BAC ∠交BC 于D ，E 为AB 边上一点，AE=AD ，H 、Q 为BC 上两点，CQ DH =和DQ mDH =，G 为AC 上一点，连接EQ 交HG 、AD 于F 、P ，180EFG EAD ∠+∠=︒猜想并验证EP 与GH的数量关系．15．【温故知新】（1）九（1）班数学兴趣小组认真探究了课本P 91第13题：如图1，在正方形ABCD 中E 是AD 的中点，F 是CD 上一点，且3CF DF =，图中有哪几对相似三角形?把它们表示出来，并说明理由．③小华很快找出ABE DEF △△∽，他的思路为：设正方形的边长4AB a =，则2,AE DE a DF a ===，利用“两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可证明，请你结合小华的思路写出证明过程； ③小丽发现图中的相似三角形共有三对，而且可以借助于ABE 与DEF 中的比例线段来证明EBF △与它们都相似．请你根据小丽的发现证明其中的另一对三角形相似；【拓展创新】（2）如图2，在矩形ABCD 中E 为AD 的中点，EF EC ⊥交AB 于F ，连结FC ．()AB AE > ③求证：AEF ECF ∽△△；③设2,BC AB a ==，是否存在a 值，使得AEF △与BFC △相似．若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．参考答案：1．（3）52．(1)2BD CE =(2)6CE =(3)1tan 2ECB ∠=3．(1)DMG ③DBM △，EMF ③EAM △ (2)53FG =4．(1)8(2)2秒或4秒(3)当t 为3或1.2秒钟，使PBQ 与ABC 相似．5．(1)FHG △或DHC （写出一个即可）(2)阴影部分的面积是23 (3)AB BC 的值为357．（1）ABC DBA ∽ ABC CAD ∽ DBA DAC ∽（其中一个即可，答案不唯一）；（2）四边形AEFG是菱形，（3）212GF GE BE =⋅ 8． 5 9．【教材原题】ADE ABC △△∽，35【应用】13 10．5(3)611．23105337 12．(1)BCD ACD ∽ BCD BAC ∽△△ CAD BAC △∽△（任写两对即可）(2)③2AC BC '= AC BC '⊥ ③BC 2595+2595-+13．(1)四边形ABCE ；(2)10AB =或245； (3)1118t = 2881t = 1825t = 180169t =．14．阅读理解 54AE =；解决问题，猜想：12EP m GH m +=+． 15．③存在 3。

中考数学复习---相似三角形综合压轴题练习(含答案解析)

中考数学复习---相似三角形综合压轴题练习（含答案解析）一．平行线分线段成比例（共1小题）1．（2022•襄阳）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE 交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为．【答案】5【解答】解：如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE交BC于点T．∵AE平分∠BAC，FM⊥AB，FN⊥AC，∴FM＝FN，∴＝＝＝3，∴AB＝3AD，设AD＝DC＝a，则AB＝3a，∵AD＝DC，DT∥AE，∴ET＝CT，∴＝＝3，设ET＝CT＝b，则BE＝3b，∵AB+BE＝3，∴3a+3b＝3，∴a+b＝，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝5a+5b＝5，故答案为：5．二．相似三角形的性质和判定2．（2022•鞍山）如图，在正方形ABCD中，点E为AB的中点，CE，BD交于点H，DF⊥CE于点F，FM平分∠DFE，分别交AD，BD于点M，G，延长MF交BC于点N，连接BF．下列结论：①tan∠CDF＝；②S△EBH：S△DHF ＝3：4；③MG：GF：FN＝5：3：2；④△BEF∽△HCD．其中正确的是.（填序号即可）．【答案】①③④【解答】解：如图，过点G作GQ⊥DF于点Q，GP⊥EF于点P．设正方形ABCD的边长为2a．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，∵AE＝EB＝a，BC＝2a，∵DF⊥CE，∴∠CFD＝90°，∴∠ECB+∠DCF＝90°，∵∠DCF+∠CDF＝90°，∴∠CDF＝∠ECB，∴tan∠CDF＝，故①正确，∵BE∥CD，∴＝＝＝，∵EC＝＝＝a，BD＝CB＝2a，∴EH＝EC＝a，BH＝BD＝a，DH＝BD＝a，在Rt△CDF中，tan∠CDF＝＝，CD＝2a，∴CF＝a，DF＝a，∴HF＝CE﹣EH﹣CF＝a﹣a﹣a＝a，∴S△DFH＝•FH•DF＝×a×a＝a2，∵S△BEH＝S△ECB＝××a×2a＝a2，∴S△EBH：S△DHF＝a2：a2＝5：8，故②错误．∵FM平分∠DFE，GQ⊥EF，GP⊥FE，∴GQ＝GP，∵＝＝，∴＝，∴BG＝DG，∵DM∥BN，∴＝＝1，∴GM＝GN，∵S△DFH＝S△FGH+S△FGD，∴×a×a＝××GP+×a×GQ，∴GP＝GQ＝a，∴FG＝a，过点N作NJ⊥CE于点J，设FJ＝NJ＝m，则CJ＝2m，∴3m＝a，∴m＝a，∴FN＝m＝a，∴MG＝GN＝GF+FN＝a+a＝a，∴MG：GF：FN＝a：a：a＝5：3：2，故③正确，∵AB∥CD，∴∠BEF＝∠HCD，∵＝＝，＝＝，∴＝，∴△BEF∽△HCD，故④正确．故答案为：①③④．3．（2022•眉山）如图，四边形ABCD为正方形，将△EDC绕点C逆时针旋转90°至△HBC，点D，B，H在同一直线上，HE与AB交于点G，延长HE与CD的延长线交于点F，HB＝2，HG＝3．以下结论：①∠EDC＝135°；②EC2＝CD•CF；③HG＝EF；④sin∠CED＝．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解答】解：∵△EDC旋转得到△HBC，∴∠EDC＝∠HBC，∵ABCD为正方形，D，B，H在同一直线上，∴∠HBC＝180°﹣45°＝135°，∴∠EDC＝135°，故①正确；∵△EDC旋转得到△HBC，∴EC＝HC，∠ECH＝90°，∴∠HEC＝45°，∴∠FEC＝180°﹣45°＝135°，∵∠ECD＝∠ECF，∴△EFC∽△DEC，∴，∴EC2＝CD•CF，故②正确；设正方形边长为a，∵∠GHB+∠BHC＝45°，∠GHB+∠HGB＝45°，∴∠BHC＝∠HGB＝∠DEC，∵∠GBH＝∠EDC＝135°，∴△GBH∽△EDC，∴，即，∵△HEC是等腰直角三角形，∴，∵∠GHB＝∠FHD，∠GBH＝∠HDF＝135°，∴△HBG∽△HDF，∴，即，解得：EF＝3，∵HG＝3，∴HG＝EF，故③正确；过点E作EM⊥FD交FD于点M，∴∠EDM＝45°，∵ED＝HB＝2，∴，∵EF＝3，∴，∵∠DEC+∠DCE＝45°，∠EFC+∠DCE＝45°，∴∠DEC＝∠EFC，∴，故④正确综上所述：正确结论有4个，故选：D．4．（2022•东营）如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，点M，N分别是边BC、CD上的动点，∠BAC＝∠MAN＝60°，连接MN、OM．以下四个结论正确的是（）①△AMN是等边三角形；②MN的最小值是；③当MN最小时S△CMN＝S菱形ABCD；④当OM⊥BC时，OA2＝DN•AB．A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CB＝AD＝CD，AB∥CD，AC⊥BD，OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACD＝60°，∴△ABC和△ADC都是等边三角形，∴∠ABM＝∠ACN＝60°，AB＝AC，∵∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN＝60°﹣∠，∴△BAM≌△CAN（ASA），∴AM＝AN，∴△AMN是等边三角形，故①正确；当AM⊥BC时，AM的值最小，此时MN的值也最小，∵∠AMB＝90°，∠ABM＝60°，AB＝2，∴MN＝AM＝AB•sin60°＝2×＝，∴MN的最小值是，故②正确；∵AM⊥BC时，MN的值最小，此时BM＝CM，∴CN＝BM＝CB＝CD，∴DN＝CN，∴MN∥BD，∴△CMN∽△CBD，∴＝＝＝，∴S△CMN＝S△CBD，∵S△CBD＝S菱形ABCD，∴S△CMN＝×S菱形ABCD＝S菱形ABCD，故③正确；∵CB＝CD，BM＝CN，∴CB﹣BM＝CD﹣CN，∴CM＝DN，∵OM⊥BC，∴∠CMO＝∠COB＝90°，∵∠OCM＝∠BCO，∴△OCM∽△BCO，∴＝，∴OC2＝CM•CB，∴OA2＝DN•AB，故④正确，故选：D．5．（2022•绍兴）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝90°，AB ＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（）A．B．C．10D．【答案】A【解答】解：如右图1所示，由已知可得，△DFE∽△ECB，则，设DF＝x，CE＝y，则，解得，∴DE＝CD+CE＝6+＝，故选项B不符合题意；EB＝DF+AD＝+2＝，故选项D不符合题意；如图2所示，由已知可得，△DCF∽△FEB，则，设FC＝m，FD＝n，则，解得，∴FD＝10，故选项C不符合题意；BF＝FC+BC＝8+7＝15；如图3所示：此时两个直角三角形的斜边长为6和7；故选：A．6．（2022•连云港）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB＝AD；③GE ＝DF；④OC＝2OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①④⑤D．②③④【答案】B【解答】解：由折叠性质可得：DG＝OG＝AG，AE＝OE＝BE，OC＝BC，∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，∴∠FGE＝∠FGO+∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG+∠OEC＝90°，∴∠FGE+∠GEC＝180°，∴GF∥CE，故①正确；设AD＝2a，AB＝2b，则＝OG＝AG＝a，AE＝OE＝BE＝b，∴CG＝OG+OC＝3a，在Rt△CGE中，CG2＝GE2+CE2，（3a）2＝a2+b2+b2+（2a）2，解得：b＝a，∴AB＝AD，故②错误；在Rt△COF中，设OF＝DF＝x，则CF＝2b﹣x＝2a﹣x，∴x2+（2a）2＝（2a﹣x）2，解得：x＝a，∴DF＝×a＝a，2OF＝2×a＝2a，在Rt△AGE中，GE＝＝a，∴GE＝DF，OC＝2OF，故③④正确；无法证明∠FCO＝∠GCE，∴无法判断△COF∽△CEG，故⑤错误；综上，正确的是①③④，故选：B．7．（2022•遂宁）如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B，连接EC、GA，交于点O，GA与BC交于点P，连接OD、OB，则下列结论一定正确的是（）①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD＝45°；A．①③B．①②③C．②③D．①②④【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD、四边形BEFG是正方形，∴AB＝BC，BG＝BE，∠ABC＝90°＝∠GBE，∴∠ABC+∠CBG＝∠GBE+∠CBG，即∠ABG＝∠EBC，∴△ABG≌△CBE（SAS），∴∠BAG＝∠BCE，∵∠BAG+∠APB＝90°，∴∠BCE+∠APB＝90°，∴∠BCE+∠OPC＝90°，∴∠POC＝90°，∴EC⊥AG，故①正确；取AC的中点K，如图：在Rt△AOC中，K为斜边AC上的中点，∴AK＝CK＝OK，在Rt△ABC中，K为斜边AC上的中点，∴AK＝CK＝BK，∴AK＝CK＝OK＝BK，∴A、B、O、C四点共圆，∴∠BOA＝∠BCA，∵∠BPO＝∠CPA，∴△OBP∽△CAP，故②正确，∵∠AOC＝∠ADC＝90°，∴∠AOC+∠ADC＝180°，∴A、O、C、D四点共圆，∵AD＝CD，∴∠AOD＝∠DOC＝45°，故④正确，由已知不能证明OB平分∠CBG，故③错误，故正确的有：①②④，故选：D．8．（2022•金华）如图是一张矩形纸片ABCD，点E为AD中点，点F在BC上，把该纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，A′E与BC相交于点G，B′A′的延长线过点C．若＝，则的值为（）A．2B．C．D．【答案】A【解答】解：连接FG，CA′，过点G作GT⊥AD于点T．设AB＝x，AD＝y．∵＝，∴可以假设BF＝2k，CG＝3k．∵AE＝DE＝y，由翻折的性质可知EA＝EA′＝y，BF＝FB′＝2k，∠AEF＝∠GEF，∵AD∥CB，∴∠AEF＝∠EFG，∴∠GEF＝∠GFE，∴EG＝FG＝y﹣5k，∴GA′＝y﹣（y﹣5k）＝5k﹣y，∵C，A′，B′共线，GA′∥FB′，∴＝，∴＝，∴y2﹣12ky+32k2＝0，∴y＝8k或y＝4k（舍去），∴AE＝DE＝4k，∵四边形CDTG是矩形，∴CG＝DT＝3k，∴ET＝k，∵EG＝8k﹣5k＝3k，∴AB＝CD＝GT＝＝2k，∴＝＝2．解法二：不妨设BF＝2，CG＝3，连接CE，则Rt△CA'E≌Rt△CDE，推出A'C ＝CD＝AB＝A'B'，＝＝1，推出GF＝CG＝3，BC＝8，在Rt△CB'F，勾股得CB'＝4则A'B'＝2，故选：A．9．（2022•乐山）如图，等腰△ABC的面积为2，AB＝AC，BC＝2．作AE∥BC且AE＝BC．点P是线段AB上一动点，连结PE，过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F，M是线段EF的中点．那么，当点P从A点运动到B 点时，点M的运动路径长为（）A．B．3C．2D．4【答案】B【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H．当点P与A重合时，点F与C重合，当点P与B重合时，点F的对应点为F″，点M的运动轨迹是△ECF″的中位线，M′M″＝CF″，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH，∵AE∥BC，AE＝BC，∴AE＝CH，∴四边形AHCE是平行四边形，∵∠AHC＝90°，∴四边形AHCE是矩形，∴EC⊥BF″，AH＝EC，∵BC＝2，S△ABC＝2，∴×2×AH＝2，∴AH＝EC＝2，∵∠BEF″＝∠ECB＝∠ECF″，∴∠BEC+∠CEF″＝90°，∠CEF″+∠F″＝90°，∴∠BEC＝∠F″，∴△ECB∽△F″CE，∴EC2＝CB•CF″，∴CF″＝＝6，∴M′M″＝3故选：B．10．（2022•海南）如图，菱形ABCD中，点E是边CD的中点，EF垂直AB交AB的延长线于点F，若BF：CE＝1：2，EF＝，则菱形ABCD的边长是（）A．3B．4C．5D．【答案】B【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H，如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝CD，AB∥CD．∵EF⊥AB，DH⊥AB，∴DH∥EF，∴四边形DHFE为平行四边形，∴HF＝DE，DH＝EF＝．∵点E是边CD的中点，∴DE＝CD，∴HF＝CD＝AB．∵BF：CE＝1：2，∴设BF＝x，则CE＝2x，∴CD＝4x，DE＝HF＝2x，AD＝AB＝4x，∴AF＝AB+BF＝5x．∴AH＝AF﹣HF＝3x．在Rt△ADH中，∵DH2+AH2＝AD2，∴．解得：x＝±1（负数不合题意，舍去），∴x＝1．∴AB＝4x＝4．即菱形ABCD的边长是4，故选：B．11．（2022•黑龙江）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F 是CD上一点，OE⊥OF交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP．则下列结论：①AE⊥BF；②∠OPA＝45°；③AP﹣BP＝OP；④若BE：CE ＝2：3，则tan∠CAE＝；⑤四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的．其中正确的结论是（）A．①②④⑤B．①②③⑤C．①②③④D．①③④⑤【答案】B【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，AC⊥BD，∠ABD＝∠DBC＝∠ACD＝45°．∴∠BOE+∠EOC＝90°，∵OE⊥OF，∴∠FOC+∠EOC＝90°．∴∠BOE＝∠COF．在△BOE和△COF中，，∴△BOE≌△COF（ASA），∴BE＝CF．在△BAE和△CBF中，，∴△BAE≌△CBF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF．∵∠ABP+∠CBF＝90°，∴∠ABP+∠BAE＝90°，∴∠APB＝90°．∴AE⊥BF．∴①的结论正确；②∵∠APB＝90°，∠AOB＝90°，∴点A，B，P，O四点共圆，∴∠APO＝∠ABO＝45°，∴②的结论正确；③过点O作OH⊥OP，交AP于点H，如图，∵∠APO＝45°，OH⊥OP，∴OH＝OP＝HP，∴HP＝OP．∵OH⊥OP，∴∠POB+∠HOB＝90°，∵OA⊥OB，∴∠AOH+∠HOB＝90°．∴∠AOH＝∠BOP．∵∠OAH+BAE＝45°，∠OBP+∠CBF＝45°，∠BAE＝∠CBF，∴∠OAH＝∠OBP．在△AOH和△BOP中，，∴△AOH≌△BOP（ASA），∴AH＝BP．∴AP﹣BP＝AP﹣AH＝HP＝OP．∴③的结论正确；④∵BE：CE＝2：3，∴设BE＝2x，则CE＝3x，∴AB＝BC＝5x，∴AE＝＝x．过点E作EG⊥AC于点G，如图，∵∠ACB＝45°，∴EG＝GC＝EC＝x，∴AG＝＝x，在Rt△AEG中，∵tan∠CAE＝，∴tan∠CAE＝＝＝．∴④的结论不正确；⑤∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB＝OC＝OD，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝90°，∴△OAB≌△OBC≌△OCD≌△DOA（SAS）．∴．∴．由①知：△BOE≌△COF，∴S△OBE＝S△OFC，∴．即四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的．∴⑤的结论正确．综上，①②③⑤的结论正确．故选：B．12．（2022•辽宁）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是OD的中点，连接CE并延长交AD于点G，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到CF，连接EF，点H为EF的中点．连接OH，则的值为．【答案】【解答】解：以O为原点，平行于AB的直线为x轴，建立直角坐标系，过E 作EM⊥CD于M，过F作FN⊥DC，交DC延长线于N，如图：设正方形ABCD的边长为2，则C（1，1），D（﹣1，1），∵E为OD中点，∴E（﹣，），设直线CE解析式为y＝kx+b，把C（1，1），E（﹣，）代入得：，解得，∴直线CE解析式为y＝x+，在y＝x+中，令x＝﹣1得y＝，∴G（﹣1，），∴GE＝＝，∵将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到CF，∴CE＝CF，∠ECF＝90°，∴∠MCE＝90°﹣∠NCF＝∠NFC，∵∠EMC＝∠CNF＝90°，∴△EMC≌△CNF（AAS），∴ME＝CN，CM＝NF，∵E（﹣，），C（1，1），∴ME＝CN＝，CM＝NF＝，∴F（，﹣），∵H是EF中点，∴H（，0），∴OH＝，∴＝＝．故答案为：．13．（2022•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，点P为斜边AB上的一个动点（点P不与点A、B重合），过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D和点E，连接DE，PC交于点Q，连接AQ，当△APQ为直角三角形时，AP的长是．【答案】3或2【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，∴∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝2×2＝4，∴AC＝＝＝2，当∠APQ＝90°时，如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，∴∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝2×2＝4，∴AC＝＝＝2，∵∠APQ＝∠ACB＝90°，∠CAP＝∠BAC，∴△CAP∽△BAC，∴，即，∴AP＝3，当∠AQP＝90°时，如图2，∵PD⊥AC，PE⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形DPEC是矩形，∴CQ＝QP，∵∠AQP＝90°，∴AQ垂直平分CP，∴AP＝AC＝2，综上所述，当△APQ为直角三角形时，AP的长是3或2，故答案为：3或2．14．（2022•绍兴）如图，AB＝10，点C是射线BQ上的动点，连结AC，作CD ⊥AC，CD＝AC，动点E在AB延长线上，tan∠QBE＝3，连结CE，DE，当CE＝DE，CE⊥DE时，BE的长是．【答案】或5【解答】解：如图，过点C作CT⊥AE于点T，过点D作DJ⊥CT交CT的延长线于点J，连接EJ．∵tan∠CBT＝3＝，∴可以假设BT＝k，CT＝3k，∵∠CAT+∠ACT＝90°，∠ACT+∠JCD＝90°，∴∠CAT＝∠JCD，在△ATC和△CJD中，，∴△ATC≌△CJD（AAS），∴DJ＝CT＝3k，AT＝CJ＝10+k，∵∠CJD＝∠CED＝90°，∴C，E，D，J四点共圆，∵EC＝DE，∴∠CJE＝∠DJE＝45°，∴ET＝TJ＝10﹣2k，∵CE2＝CT2+TE2＝（CD）2，∴（3k）2+（10﹣2k）2＝[•]2，整理得4k2﹣25k+25＝0，∴（k﹣5）（4k﹣5）＝0，∴k＝5和，∴BE＝BT+ET＝k+10﹣2k＝10﹣k＝5或，故答案为：5或．15．（2022•甘肃）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为cm．【答案】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6cm，∠ABC＝∠C＝90°，AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC，∵AE＝2cm，∴BE＝AB﹣AE＝6﹣2＝4（cm），∵G是EF的中点，∴EG＝BG＝EF，∴∠BEG＝∠ABD，∴∠BEG＝∠BDC，∴△EBF∽△DCB，∴＝，∴＝，∴BF＝6，∴EF＝＝＝2（cm），∴BG＝EF＝（cm），故答案为：．16．（2022•新疆）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边BC的延长线上，点F在边AB上，以点D为中心，将△DCE绕点D顺时针旋转90°与△DAF 恰好完全重合，连接EF交DC于点P，连接AC交EF于点Q，连接BQ，若AQ•DP＝3，则BQ＝．【答案】【解答】解：如图，连接DQ，∵将△DCE绕点D顺时针旋转90°与△DAF恰好完全重合，∴DE＝DF，∠FDE＝90°，∴∠DFE＝∠DEF＝45°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC＝45°＝∠BAC，∴∠DAC＝∠DFQ＝45°，∴点A，点F，点Q，点D四点共圆，∴∠BAQ＝∠FDQ＝45°，∠DAF＝∠DQF＝90°，∠AFD＝∠AQD，∴DF＝DQ，∵AD＝AB，∠BAC＝∠＝45°，AQ＝AQ，∴△ABQ≌△ADQ（SAS），∴BQ＝QD，∠AQB＝∠AQD，∵AB∥CD，∴∠AFD＝∠FDC，∴∠FDC＝∠AQB，又∵∠BAC＝∠DFP＝45°，∴△BAQ∽△PFD，∴，∴AQ•DP＝3＝BQ•DF，∴3＝BQ•BQ，∴BQ＝，故答案为：．17．（2022•苏州）如图，在矩形ABCD中，＝．动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN．动点M，N同时出发，点M运动的速度为v1，点N运动的速度为v2，且v1＜v2．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形MA′B′N．若在某一时刻，点B的对应点B′恰好与CD的中点重合，则的值为．【答案】【解答】解：如图，设AD交A′B′于点Q．设BN＝NB′＝x．∵＝，∴可以假设AB＝2k，CB＝3k，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝3k，CD＝AB＝2k，∠C＝∠D＝90°，在Rt△CNB′中，CN2+CB′2＝NB′2，∴（3k﹣x）2+k2＝x2，∴x＝k，∴NB′＝k，CN＝3k﹣k＝k，由翻折的性质可知∠A′B′N＝∠B＝90°，∴∠DB′Q+∠CB′N＝90°，∠CB′N+∠CNB′＝90°，∴∠DB′Q＝∠CNB′，∵∠D＝∠C＝90°，∴△DB′Q∽△CNB′，∴DQ：DB′：QB′＝CB′：：NB′＝3：4：5，∵DB′＝k，∴DQ＝k，∵∠DQB′＝∠MQA′，∠D＝∠A′，∴△DQB′∽△A′QM，∴A′Q：A′M：QM＝DQ：DB′：QB′＝3：4：5，设AM＝MA′＝y，则MQ＝y，∵DQ+QM+AM＝3k，∴k+y+y＝3k，∴y＝k，∴＝＝＝，解法二：连接BB′，过点M作MH⊥BC于点H．设AB＝CD＝6m，CB＝9m，设BN＝NB′＝n，则n2＝（3m）2+（9m﹣n）2，∴n＝5m，CN＝4m，由△BB′C∽△MNH，可得＝2m，∴AM＝BH＝3m，∴＝＝＝，故答案为：．18．（2022•湖北）如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时t的值为．【答案】2+2【解答】解：如图，连接AP，由图2可得AB＝BC＝4cm，∵∠B＝36°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠C＝72°，∵AP平分∠BAC，∴∠BAP＝∠PAC＝∠B＝36°，∴AP＝BP，∠APC＝72°＝∠C，∴AP＝AC＝BP，∵∠PAC＝∠B，∠C＝∠C，∴△APC∽△BAC，∴，∴AP2＝AB•PC＝4（4﹣AP），∴AP＝2﹣2＝BP，（负值舍去），∴t＝＝2+2，故答案为：2+2．19．（2022•随州）如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，E，F分别为AB，AD的中点，连接EF．如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°），使EF⊥AD，连接BE并延长交DF于点H．则∠BHD的度数为，DH的长为．【答案】90°，．【解答】解：如图，设EF交AD于点J，AD交BH于点O，过点E作EK⊥AB于点K．∵∠EAF＝∠BAD＝90°，∴∠DAF＝∠BAE，∴＝，∴△DAF∽△BAE，∴∠ADF＝∠ABE，∵∠DOH＝∠AOB，∴∠DHO＝∠BAO＝90°，∴∠BHD＝90°，∵AF＝3，AE＝4，∠EAF＝90°，∴EF＝＝5，∵EF⊥AD，∴•AE•AF＝•EF•AJ，∴AJ＝，∴EJ＝＝＝，∵EJ∥AB，∴＝，∴＝，∴OJ＝，∴OA＝AJ+OJ＝+＝4，∴OB＝＝＝4，OD＝AD﹣AO＝6﹣4＝2，∵cos∠ODH＝cos∠ABO，∴＝，∴DH＝．故答案为：90°，．20．（2022•娄底）如图，已知等腰△ABC的顶角∠BAC的大小为θ，点D为边BC上的动点（与B、C不重合），将AD绕点A沿顺时针方向旋转θ角度时点D落在D′处，连接BD′．给出下列结论：①△ACD≌△ABD′；②△ACB∽△ADD′；③当BD＝CD时，△ADD′的面积取得最小值．其中正确的结论有（填结论对应的应号）．【答案】①②③【解答】解：由题意可知AC＝AB，AD＝AD′，∠CAD＝∠BAD′，∴△ACD≌△ABD′，故①正确；∵AC＝AB，AD＝AD′，∠BAC＝∠D′AD＝θ，∴＝，∴△ACB∽△ADD′，故②正确；∵△ACB∽△ADD′，∴＝（）2，∵当AD⊥BC时，AD最小，△ADD′的面积取得最小值．而AB＝AC，∴BD＝CD，∴当BD＝CD时，△ADD′的面积取得最小值，故③正确；故答案为：①②③．21．（2022•牡丹江）如图，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC边上，DE与AC相交于点F，AH⊥DE，垂足是G，交BC于点H．下列结论中：①AC＝CD；②AD2＝BC•AF；③若AD＝3，DH＝5，则BD＝3；④AH2＝DH•AC，正确的是．【答案】②③【解答】解：①∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵∠ADC＝∠B+∠BAD，而∠BAD的度数不确定，∴∠ADC与∠CAD不一定相等，∴AC与CD不一定相等，故①错误；②∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵∠B＝∠AED＝45°，∴△AEF∽△ABD，∴＝，∵AE＝AD，AB＝BC，∴AD2＝AF•AB＝AF•BC，∴AD2＝AF•BC，故②正确；④∵∠DAH＝∠B＝45°，∠AHD＝∠AHD，∴△ADH∽△BAH，∴＝，∴AH2＝DH•BH，而BH与AC不一定相等，故④不一定正确；③∵△ADE是等腰直角三角形，∴∠ADG＝45°，∵AH⊥DE，∴∠AGD＝90°，∵AD＝3，∴AG＝DG＝，∵DH＝5，∴GH＝＝＝，∴AH＝AG+GH＝2，由④知：AH2＝DH•BH，∴（2）2＝5BH，∴BH＝8，∴BD＝BH﹣DH＝8﹣5＝3，故③正确；本题正确的结论有：②③故答案为：②③．22．（2022•丹东）如图，四边形ABCD是边长为6的菱形，∠ABC＝60°，对角线AC与BD交于点O，点E，F分别是线段AB，AC上的动点（不与端点重合），且BE＝AF，BF与CE交于点P，延长BF交边AD（或边CD）于点G，连接OP，OG，则下列结论：①△ABF≌△BCE；②当BE＝2时，△BOG的面积与四边形OCDG面积之比为1：3；③当BE＝4时，BE：CG＝2：1；④线段OP的最小值为2﹣2．其中正确的是．（请填写序号）【答案】①②【解答】解：①∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝AD＝CD，∴∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝60°，在△ABF和△BCE中，，∴△ABF≌△BCE（SAS），故①正确；②由①知：△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝6，∵AF＝BE＝2，∴CF＝AC﹣AF＝4，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，OB＝OD，OA＝OC，∴△AGF∽△CBF，S△BOG＝S△DOG，S△AOD＝S△COD，∴，∴，∴AG＝3，∴AG＝，∴S△AOD＝2S△DOG，∴S△COD＝2S△DOG，∴S四边形OCDG＝S△DOG+S△COD＝3S△DOG＝3S△BOG，故②正确；③如图1，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴△CGF∽△ABF，∴，∴，∴CG＝3，∴BE：CG＝4：3，故③不正确；④如图2，由①得：△ABF≌△BCE，∴∠BCE＝∠ABF，∴BCE+∠CBF＝∠ABF+∠CBF＝∠ABC＝60°，∴∠BPC＝120°，作等边三角形△BCH，作△BCH的外接圆I，则点P在⊙I上运动，点O、P、I共线时，OP最小，作HM⊥BC于M，∴HM＝＝3，∴PI＝IH＝，∵∠ACB+∠ICB＝60°+30°＝90°，∴OI＝＝＝，∴OP最小＝OI﹣PI＝﹣2，故④不正确，故答案为：①②．三．相似三角形的应用23．（2022•衢州）希腊数学家海伦给出了挖掘直线隧道的方法：如图，A，B是两侧山脚的入口，从B出发任作线段BC，过C作CD⊥BC，然后依次作垂线段DE，EF，FG，GH，直到接近A点，作AJ⊥GH于点J．每条线段可测量，长度如图所示．分别在BC，AJ上任选点M，N，作MQ⊥BC，NP⊥AJ，使得＝＝k，此时点P，A，B，Q共线．挖隧道时始终能看见P，Q处的标志即可．（1）CD﹣EF﹣GJ＝km．（2）k＝．【答案】1.8；．【解答】解：（1）CD﹣EF﹣GJ＝5.5﹣1﹣2.7＝1.8（km）；（2）连接AB，过点A作AZ⊥CB，交CB的延长线于点Z．由矩形性质得：AZ＝CD﹣EF﹣GJ＝1.8，BZ＝DE+FG﹣CB﹣AJ＝4.9+3.1﹣3﹣2.4＝2.6，∵点P，A，B，Q共线，∴∠MBQ＝∠ZBA，又∵∠BMQ＝∠BZA＝90°，∴△BMQ∽△BZA，∴＝k＝＝＝．故答案为：1.8；．24．（2022•温州）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA，OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD，测得MC＝8.5m，CD ＝13m，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2：3，则点O，M之间的距离等于米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于米．【答案】10，（10+）【解答】解：解法一：如图，过点O作OP∥BD，交MG于P，过P作PN ⊥BD于N，则OB＝PN，∵AC∥BD，∴AC∥OP∥BD，∴＝，∠EGF＝∠OPM，∵OA＝OB，∴CP＝PD＝CD＝6.5，∴MP＝CM+CP＝8.5+6.5＝15，tan∠EGF＝tan∠OPM，∴OM＝×15＝10；∵DB∥EG，∴∠EGF＝∠NDP，∴sin∠EGF＝sin∠NDP，即＝，∴OB＝PN＝，以点O为圆心，OA的长为半径作圆，当OB与OM共线时，叶片外端离地面的高度最大，其最大高度等于（10+）米．解法二：如图，设AC与OM交于点H，过点C作CN⊥BD于N，∵HC∥EG，∴∠HCM＝∠EGF，∵∠CMH＝∠EFG＝90°，∴△HMC∽△EFG，∴＝＝，即＝，∴HM＝，∵BD∥EG，∴∠BDC＝∠EGF，∴tan∠BDC＝tan∠EGF，设CN＝2x，DN＝3x，则CD＝x，∴x＝13，∴x＝，∴AB＝CN＝2，∴OA＝OB＝AB＝，在Rt△AHO中，∵∠AHO＝∠CHM，∴sin∠AHO＝＝，∴＝，∴OH＝，∴OM＝OH+HM＝+＝10（米），以点O为圆心，OA的长为半径作圆，当OB与OM共线时，叶片外端离地面的高度最大，其最大高度等于（10+）米．故答案为：10，（10+）．49。

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E ABD C中考专题专题复习——相似三角形1．如果532x =，那么x 的值是（） A ． 310 B ．215 C ．152 D ．1032．如果4:7:2x =，那么x 的值是（）A ．14B ．78 C ．67 D ．723．已知：四条线段a 、b 、c 、d 之间有如下关系a ∶b= c ∶d ，且a =12，b=8，c=15，则线段d= 10 ．4．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，则下列比例式一定成立的是（）A ．AE DE EC BC =B ．AE CF AC BC = C ．AD BF ABBC=D ．DE DF BCAC=5．如图，在ΔABC 中,D 、E 分别是AB 、AC 边上的中点，连接DE ，那么ΔADE 与ΔABC 的面积之比是A ．1:16B ．1:9C ．1:4D ．1:26．如图，在△ABC 中，D 、E 两点分别在AB 、AC 边上，且DE ∥BC .若3:2:=BC DE ，则ABC ADE S S ∆∆:为的值为 A. 4:9 B. 9:4 C. 3:2 D. 3:27．已知：ABC ∆中，E D ,分别是AC AB ,的中点，16=∆ABC S 2cm ，则=∆ADE S （）A ．216cm B ．212cmC ．28cmD ． 24cm8．已知ABC DEF △∽△，AB :DE =2:1，且ABC △的周长为16，则DEF △的周长为 A ．4 B ．6C ．8D ．32（第2题）E D CBA9. 如果两个相似三角形的相似比是1:2，那么这两个相似三角形的周长比是．10. 如图，在△ABC 中，DE ∥AB 分别交AC ，BC 于点D ，E ，若AD =2，CD =3，则△CDE 与△CAB 的周长比为 .11．已知两个相似三角形的周长比是1:3，它们的面积比是 12．如果两个相似三角形的相似比是1︰2，那么它们的面积比是_______．13．如图，平行四边形ABCD 中，E 为DC 的中点，DEF △的面积为2，则△ABF 的面积为A ．2B ．C ．6D ．814. 已知:2:3,a b = 那么下列等式中成立的是A ．32a b =B ．23a b =C ．52a b b +=D ．13a b b -=15. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE ∥BC ，若AD =6，BD =2，AE =9，则EC 的长是A ．8B ．6C ．4D ．316．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE ∥BC ，若 AD ：DB =1：2，AE =2，则AC = ．17.如图，在ABC ∆中，D 是AB 边上一点，连接CD . 要使ACD ∆与ABC ∆相似, 应添加的条件是 . (只需写出一个条件即可)18．如图，在等边ABC △中，P 为BC 上一点，D 为AC 上一点，且60APD ∠=︒,2BP =,43CD =，则ABC △的边长为（）Ａ．3Ｂ．4Ｃ．5Ｄ．6AB CDA BCＰＤ60DCBAE DCBAAC E B6题图19.已知：如图，在ABC △中，D 是AC 上一点，联结BD ，且∠ABD =∠ACB . （1）求证：△ABD ∽△ACB ；（2）若AD =5，AB = 7，求AC 的长.20．如图，等边△ABC 的边长为3，点P 为BC 边上一点，且BP =1，点D 为AC 上一点；若∠APD =60°，则CD 长是Ａ．43 Ｂ．23 Ｃ．21 Ｄ．3221．如图，在△ABC 中，∠C ＝90º，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于点＝6，DE ＝3，则AE的长为A ．3B ．4C ．5D ．622．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC =60°，AC D 为CB 延长线上一点，且BD =2AB ．求AD 的长．23. 如图，在ABC △中，90C =∠，在AB 边上取一点D ，使BD BC =，过D 作DE AB ⊥交AC 于E ，86AC BC ==，．求DE 的长．ADBD CBAEDA B24. 已知：如图，在△ABC 中，D 、E 两点分别在AC 、AB 两边上，ABC ADE ∠=∠，3,7==AD AB ， 2.7AE =,求AC 的长．25.已知：如图，在△ABC 中，AB =AC = 5，BC = 8， D ，E 分别为BC ，AB 边上一点，∠ADE =∠C ．（1）求证：△BDE ∽△CAD ；（2）若CD =2，求BE 的长．26.如图，在Rt △ABC 中，∠CAB =90°，AD 是∠CAB 的平分线，tan B =21，则CD ∶DB =27. 已知:如图,在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ，BE=2AE ，且AD=6sin ∠BCE=13. 求CE 的长.F EDC B AABCDM28.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为边AD 延长线上的一点，且D 为AE 的黄金分割点，即12AD AE =，BE 交DC 于点F，已知1AB =，求CF 的长 .29.（本小题满分6分）已知：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB=2，DC=5，BC=3，AC 与BD 相交于点M ，且DM=207. （1）求证：△AMB ∽△CMD ；（2）求∠BDC 的正弦值.30．如图，在矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于点F ．（1）求证：ΔABE ∽ΔDFA ；（2）若AB=6，AD=12，BE=8，求DF 的长．31．如图，直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F 在AC 上， ∠DFC ＝∠AEB ．（1）求证：△ADF ∽△CAE ；（2）当AD ＝8，DC ＝6，点E 、F 分别是BC 、 AC 的中点时，求直角梯形ABCD 面积．（第18题）FEDCBA32．已知Rt △ABC 中，AC =3，BC = 4，过直角顶点C 作CA 1⊥A B ，垂足为A 1，再过A 1作A 1C 1⊥BC ，垂足为C 1，过C 1作C 1A 2⊥AB ，垂足为A 2，再过A 2作A 2C 2⊥BC ，垂足为C 2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA 1，A 1C 1，C 1A 2，…，则CA 1= ，8999C A A C .33．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB 和△DCE 的顶点都在格点上．求证：△ACB ∽△DCE .34. 如图，已知每个小方格都是边长为1的正方形，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形. 图中的△ABC 是一个格点三角形.（1）请你在第一象限内画出格点△AB 1C 1，使得△AB 1C 1∽△ABC ，且△AB 1C 1与△ABC 的相似比为3：1；（2）写出B 1、C 1两点的坐标.35. 如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则 tan ∠ACB 的值为（）.x87 6 5 432 11 2 3 4 5 6 7 8 BC A 0 yA ．1B ．13C ．12D ． 2236．如图，将△ABC 的三边分别扩大一倍得到△111A B C（顶点均在格点上），若它们是以P 点为位似中心的位似图形，则P 点的坐标是（）. A ．(4,3)-- B ．(3,3)-- C ．(4,4)-- D ．(3,4)--37．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．已知，ABC △的顶点都在格点上，︒=∠90C ,8=AC ,4=BC ,若在边AC 上以某个格点E 为端点画出长是52的线段EF ，使线段另一端点F 恰好落在边BC 上，且线段EF 与点C 构成的三角形与ABC △相似，请你在图中画出线段EF （不必说明理由）．38．如图，将△ABC 的三边分别扩大一倍得到△111A B C （顶点均在格点上），若它们是以P 点为位似中心的位似图形，则P 点的坐标是（）.A ．(4,3)--B ．(3,3)--C ．(4,4)--D ．(3,4)--39．如图，A ，B ，C 三点均为格点，△ABC 与△A ′B ′C ′关于y 轴对称.(1) 画出△A ′B ′C ′；(2) 如果△ABC 边上任意一点M 的坐标为()x y ，，那么它的对应点M ' 的坐标是．第18题ACBxyCABAC40. 如图，在5×6的网格图中，△ABC 的顶点A 、B 、C 在格点（每个小正方形的顶点）上，请在网格图中画一个．．△1A 1B 1C ，使△1A 1B 1C ∽△ABC （相似比不为1），且点1A 、1B 、1C 必须在格点上．。