10312数学归纳法与数列的极限(答案)
第十二讲：数学归纳法与数列的极限知识小结：1,,,(1)(12,);()(2)(1,2,),1;()(3)(1)(2)*,.n n n k k n k n N ===≥=+∈、数学归纳法用于证明一些与正整数有关的命题即通过对有限个正整数证明命题成立推广到对一切正整数命题都成立的思想方法主要步骤为证明起始命题成立即或命题成立这是证明的基础假设时命题成立由假设条件推出当时命题成立这是递推的关键由、可知对于命题均成立注意数学归纳法的证明格式！数学归纳法的原理2(2),,1.3,.,,.n k n k ==+就像多米勒骨牌！、证题的关键在于用好归纳假设在一般的情况下，由假设时命题成立为出发点推出命题成立即可、数学归纳法在证明过程中要用到许多数学知识综合性较强有时在解决问题时需要先通过归纳得出结论再用数学归纳法证明那么要求能正确地归纳4.数列的极限：一般地，在无限增大的变化过程中，如果无穷数列{}n a 中的项无限趋近于一个常数A ，那么A 叫做数列{}n a 的极限，或叫做数列{}n a 收敛于A ，记作lim n n a A →∞=。
注意点：1）只有无穷数列，当n 趋近于无穷大时，n a 无限趋近于某一常数；2）对于数列{}n a ，当n 无穷增大时，n a 无限趋近于某一定值时c ，是通过n a c -无限趋近于零来描述的。
这里n a c -无限趋近于零，是指不论取一个值多么小的正数（可以任意给定），总可以通过取n 充分大以后，使n a c -充分接近于零，如果这个任意小的正数用ε来表示，那么当n 充分大时，总有n a c ε-<。
3）极限值只有一个值，如趋近于两个值一定没有极限。
5.极限的运算性质性质：lim ,lim ,(1)lim()lim lim .(2)lim()lim lim .lim (3)lim (0,0).lim n n n x n n n n n n x n n n n n n x n n n n n nn x a A b B a b a b A B a b a b A B a a A B b b b B →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞==±=±=±⋅=⋅=⋅==≠≠1)如果则注意：我们只研究极限存在的运算。
2）几个重要极限：0lim ;lim 0;lim 1nn n n C C C q n →∞→∞→∞⎧⎪===⎨⎪⎩不存在 1111q q q q <=>=-或11101110lim 0k l k k k k l l n l l a b a n a n a n a b n b n b l b ---→∞-⎧⎪⎪++++⎪=⎨++++⎪⎪⎪⎩不存在 l k l k l k=>< 6.无穷等比数列各项和的和的概念：我们把1q <的无穷等比数列前n 项和n S ，当n 无穷增大时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用符号S 表示，即1(1)1a S q q=<- 注意点：1）只有当1q <且0q ≠时，才能代入上述公式；2）实际上可推出：lim n n S S →∞=；3）化循环小数为分数可分解成一个等比数列的各项和的形式，或者可直接化为分数：如90.919⋅==；121110.129090⋅-==； 111113(1),1,1224______.111111(1)(1)111111111111211123k k n n n n A B C k k k k k k k k k k k D n k n k k k k kk k ++>+++++-+++++++++++++++=++=+++++++++例题、选择题用数学归纳法证明不等式的过程中由推导时不等式左边增加了（）；（）；（）（）（）（）（）（）以上均错解：当时，不等式左边为；当时，不等式左边为11111111.11112"",1,______.()()()()()21()()21(n n k k k k k k B k k k k k n x y x y n A n k k N B n k k N C n k k N D n k ***+++++++++-++++++++==∈≤∈=+∈=-，那么不等式的左边增加了，故选（）（）（）用数学归纳法证明命题当为正奇数时，能被整除在验证正确后归纳假设应写成假设时命题成立 假设时命题成立假设时命题成立 假设):,1,21(),.(3),(),,1,,5,,______.()6()6()4()4k N n n n k k N D n n k k N n k n A n B n C n D n **∈∴==-∈=∈=+=====时命题成立解为正奇数在验证后归纳假设应写成时命题成立故选某个命题与正整数有关若当时该命题成立则可推出时该命题成立现已知当时该命题不成立那么当时该命题不成立 当时该命题成立当时该命题不成立 当时该命题成立n k n k 提示：逆否命题为“已知=+1不成立，推出=不成立”。
:,.C 解显然选否则不符合题设例2、求极限：111(1),______.2:,lim ;,lim ;21,lim ,1,(),(),,().n n n nnn n nn n nn n a b a b a b b a ba a ab a a b a a b a a a bb a b b a b a a b a b a b b a b ++→∞+→∞→∞→∞+=+⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭>=====⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭<==⎛⎫+ ⎪⎝⎭>⎧⎪==⎨⎪<⎩n 已知、均为正数那么lim 解当时原式当时原式当时原式当时故原式或当时当时||1,lim ||0.n n q q q →∞<=提示:则极限问题的解题思路，很多时候就是想方设法拼凑出值。
22222221321(2)lim .11113(21)1:lim limlim 1.1111n n n nn n n n n n n n n→∞→∞→∞→∞-⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭+++-====+++求解原式 注意：和的极限要转化成极限和，和式的项数必须是有限的。
2(3)lim(21,______.3244n n k k k n n →∞=--==→则的值等于解；， lim 2,1444n k kn k →∞∴===即得， 提示：分子有理化。
1131lim ,.3(1)33111:lim lim ,1 1.3(1)33133,4 2.n n n n nnn n n n a a a a a a +→∞+→∞→∞=+++==∴-<<+++⎛⎫+ ⎪⎝⎭-<<(4)已知求的取值范围解解不等式得{}12121212123.,(1),,lim .11:1,,lim .(2)22(1)111,.(1)11nn n n nn n n n n n n n nn S a a q q n S S S S a n q S a n S a q S qq a q S qq→∞→∞≠-===∴=--≠==-+-例已知等比数列的首项为公比为前项和为求解当时当时2211,0,lim lim 1.1111,lim lim lim 0111n nn n nnn n n n n n nS q q S q q S q S q q →∞→∞→∞→∞→∞∴<≠==+⎛⎫⎪⎝⎭>===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭当时当时 2.1,(1);2,lim 1,(1,0);0,(1).n n n q Sq q S q →∞⎧=⎪⎪=<≠⎨⎪>⎪⎩当时综上所述当时当时1 1.1,1, 1.n q q q q q q q =≠<=>关键点：（1）等比数列中的一定要分情况讨论，或（2）求含有的极限，也要分三种情况讨论:例4、定义：将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称为原数列的一个子数列.已知无穷等比数列{}n a 的首项、公比均为12. （1）试求无穷等比子数列{}31k a -（*N k ∈）各项的和；（2）是否存在数列{}n a 的一个无穷等比子数列，使得它各项的和为17？若存在，求出所有满足条件的子数列的通项公式；若不存在，请说明理由；解：（1）依条件得：*31311(N )2k k a k --=∈ 则无穷等比数列31{}k a -各项的和为： 223122177128a ==-； （2）解法一：设此子数列的首项为1a ，公比为q ，由条件得：102q <≤，则1112q ≤-<，即 1121q<≤- 1111(1)[,)7147a q ∴=-∈ 而 *11(N )2m a m =∈ 则 111,88a q ==.所以，满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，它的首项、公比均为18，其通项公式为18nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，*N n ∈.解法二：由条件，可设此子数列的首项为1a ，公比为12m q =*(N )m ∈.由*N m ∈⇒10112m<-<⇒1111712m a a <=-………… ① 又若1116a ≤，则对每一*N m ∈都有11111161611187111222m m a ≤≤=<---………… ②从①、②得111167a <<⇒118a =； 则11181171122m m a ==--⇒1711288m q ==-=； 因而满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，此子数列是首项、公比均为18无穷等比子数列，通项公式为18nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，*N n ∈.例5：（1）（03年上海数学高考）已知)0,24(2,0(2,0(nC n B n A +-其中n 为正整数，设n S 表示ABC ∆外接圆的面积，则=∞→n n S lim 。
解：此题一般地考虑方法是先求出ABC ∆的外接圆的方程，然后得出圆的面积，最后求得n n S ∞→lim 的结果，但整个过程的计算比较烦琐，很容易导致计算出错。
但如果从极限的思想出发，首先考虑的是当∞→n 时这三个点的变化的位置，B A ,趋于原点，C 点趋于)0,4(C 然后看得圆的半径为2，从而所求圆的面积为π4。
（2）（07年上海数学高考卷（文）第12题）如图，A B ，是直线l 上的两点，且2=AB ．两个半径相等的动圆分别与l 相切于A B ，点，C 是这两个圆的公共点，则圆弧AC ，CB 与 线段AB 围成图形面积S 的取值范围是 ．解：当两圆半径r →∞时，点C 趋向直线AB 。
0.S ∴→当两圆相外切时， 1.r = 2114S π∴=⨯扇形，222.42S ππ∴=-⨯=- 0,22S π⎛⎤∴∈- ⎥⎝⎦例6、（09上海高考题）已知}{n a 是公差为d 的等差数列，}{n b 是公比为q 的等比数列。
证明数列极限的题目及答案
证明数列极限的题目及答案题目：证明数列＄a_n ＝＼frac{n}｛n ＋ 1}＄的极限为 1证明：首先，我们需要明确数列极限的定义。
对于数列＄＼｛a_n\｝＄，如果对于任意给定的正数＄＼epsilon$，总存在正整数＄N$，使得当＄n ＞ N$ 时，都有＄｜a_n L| ＜＼epsilon$ 成立，那么就称数列＄＼｛a_n\｝＄的极限为＄L$。
接下来，我们来证明数列＄a_n ＝＼frac{n}｛n ＋ 1}＄的极限为 1。
对于任意给定的正数＄＼epsilon$，要使＄｜a_n 1| ＜＼epsilon$，即＼＼begin{align}＼left|＼frac{n}｛n ＋ 1} 1\right|＆＜＼epsilon\＼＼left|＼frac{n}｛n ＋ 1} ＼frac{n ＋ 1}｛n ＋ 1}＼right|＆＜＼epsilon\＼＼left|＼frac{－1}｛n ＋ 1}＼right|＆＜＼epsilon\＼＼frac{1}｛n ＋ 1}＆＜＼epsilon\＼n ＋ 1 ＆＞＼frac{1}｛＼epsilon}＼＼n ＆＞＼frac{1}｛＼epsilon} 1＼end{align}＼所以，取＄N ＝＼left\frac{1}｛＼epsilon} 1\right$（这里＄＼cdot$ 表示取整），当＄n ＞ N$ 时，就有＄｜a_n 1| ＜＼epsilon$。
因此，根据数列极限的定义，数列＄a_n ＝＼frac{n}｛n ＋ 1}＄的极限为 1。
题目：证明数列＄b_n ＝＼frac{1}｛n}＄收敛于 0证明：给定任意正数＄＼epsilon$，要使＄｜b_n 0| ＜＼epsilon$，即＼＼begin{align}＼left|＼frac{1}｛n} 0\right|＆＜＼epsilon\＼＼frac{1}｛n}＆＜＼epsilon\＼n ＆＞＼frac{1}｛＼epsilon}＼end{align}＼所以，取＄N ＝＼left\frac{1}｛＼epsilon}＼right$，当＄n ＞N$ 时，就有＄｜b_n 0| ＜＼epsilon$。
证明数列极限的题目及答案
证明数列极限的题目及答案题目：证明数列 $\{a_n\}$ 有极限 $a$。
答案：一、定义在数学中，一个数列 $\{a_n\}$ 的极限是指：当 $n$ 无限增大时，数列$\{a_n\}$ 的值趋向于某个实数 $a$。
可以用以下符号表达这一定义：$$\lim_{n\to\infty}a_n=a$$二、证明为了证明数列 $\{a_n\}$ 有极限 $a$，需要使用 $\epsilon$-$N$ 方法。
其思路是：对于任意给定的正实数$\epsilon$，都存在一个自然数$N$，当 $n>N$ 时，$\{a_n\}$ 与实数 $a$ 的距离都小于 $\epsilon$。
具体步骤如下：1. 假设数列 $\{a_n\}$ 有极限 $a$。
2. 对于任意给定的正实数 $\epsilon$，考虑数列 $|a_n-a|$。
3. 根据极限的定义，存在自然数 $N$，使得当 $n>N$ 时，$|a_n-a|<\epsilon/2$。
4. 因为 $|a_n-a|=|(a_n-a_{N+1})+(a_{N+1}-a)|\leqslant|a_n-a_{N+1}|+|a_{N+1}-a|$，所以 $|a_n-a_{N+1}|\geqslant|a_n-a|-|a_{N+1}-a|$。
5. 当 $n>N$ 时，$|a_n-a_{N+1}|\geqslant|a_n-a|-\epsilon/2>\epsilon/2$。
6. 此时，令 $M=\max\{a_1,a_2,\cdots,a_N,a_{N+1}+2(\epsilon/2)\}$，则当 $n>N$ 时，$|a_n-a|\leqslant|a_n-a_{N+1}|+|a_{N+1}-a|\leqslant\epsilon$。
7. 由此可见，对于任意给定的正实数 $\epsilon$，存在自然数 $N$，当$n>N$ 时，$|a_n-a|<\epsilon$。
高三数学习题详解 第十二章 数列、数学归纳法与数列的极限 Word版含解析
第十二章数列、数学归纳法与数列的极限．数列基础练习．写出下面数列的一个通项公式：（），，，，错误！未指定书签。
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的最大项是第几项，值是多少？解：错误！未指定书签。
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是这个数列的第几项？解：错误！未指定书签。
，数列第项．．数列错误！未指定书签。
中，错误！未指定书签。
，对所有的错误！未指定书签。
，都有错误！未指定书签。
…错误！未指定书签。
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是此数列中的项吗？解：（）错误！未指定书签。
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．．已知数列错误！未指定书签。
的通项公式是错误！未指定书签。
，为使错误！未指定书签。
时，恒有错误！未指定书签。
成立，则正整数错误！未指定书签。
的最小值是多少？解：错误！未指定书签。
，故所求的最小的错误！未指定书签。
是．．递推数列与递推方法基础练习．求下列递推数列的通项公式：（）错误！未指定书签。
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证明数列极限的题目及答案
证明数列极限的题目及答案关键信息项题目编号：＿___________________题目内容：＿___________________证明方法：＿___________________答案步骤：＿___________________相关定理应用：＿___________________11 题目一设数列｛an} 满足 an ＝（1 ＋ 1/n)＾n，证明数列｛an} 收敛，并求出其极限。
证明：首先，我们来分析数列｛an} 的单调性。
设 bn ＝（1 ＋ 1/（n ＋ 1)）＾（n ＋ 1)，则 bn ／ an ＝（1 ＋ 1/（n ＋ 1)）＾（n ＋ 1) ／（1 ＋ 1/n)＾n通过化简可得：bn ／ an ＝（1 ＋ 1/（n ＋ 1)）（1 ＋ 1/（n ＋ 1)）＾n ／（1 ＋1/n)＾n因为（1 ＋ 1/（n ＋ 1)）＞ 1，且（1 ＋ 1/（n ＋ 1)）＾n ／（1 ＋ 1/n)＾n ＞ 1 （可以通过二项式展开比较）所以 bn ／ an ＞ 1，即 bn ＞ an ，所以数列｛an} 单调递增。
接下来，证明数列｛an} 有上界。
因为 an ＝（1 ＋ 1/n)＾n ＝ 1 ＋ C(n, 1) （1/n) ＋ C(n, 2) （1/n)＾2 ＋＋ C(n, n) （1/n)＾n而 C(n, k) ＝ n! ／（k! （n k)！），当k ≥ 2 时，C(n, k) （1/n)＾k ≤ 1 ／ k!所以an ≤ 1 ＋ 1 ＋ 1/2! ＋ 1/3! ＋＋ 1/n!而 1 ＋ 1 ＋ 1/2! ＋ 1/3! ＋收敛于 e所以数列｛an} 有上界。
综上，数列｛an} 单调递增且有上界，所以数列｛an} 收敛。
其极限为 e 。
111 题目二证明数列｛an}，其中 an ＝ 1 ／ n ，当 n 趋于无穷时，极限为 0 。
证明：对于任意给定的正数ε ，要找到一个正整数 N ，使得当 n ＞ N 时，｜an 0| ＜ε 。
g3.1031数列与函数的极限(2)'
g3.1031数列与函数的极限（2）一、知识回顾 1、函数的极限1） 当x →∞时函数f(x)的极限:○1a x f x =+∞→)(lim ；○2a x f x =-∞→)(lim ； ○3 a x f x =∞→)(lim 当自变量x 取正值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x 趋向于正无穷大时, 函数f(x)的极限是a,记作a x f x =+∞→)(lim ,(或x →+∞时,f(x)→a)当自变量x 取负值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x 趋向于负无穷大时, 函数f(x)的极限是a,记作a x f x =-∞→)(lim ,(或x →-∞时,f(x)→a)注：自变量x →+∞和x →-∞都是单方向的，而x →∞是双向的，故有以下等价命题=+∞→)(lim x f x a x f x =-∞→)(lim ⇔a x f x =∞→)(lim令1(1)()().f x f x x==，分别求lim (),lim (),lim ().x x x f x f x f x →+∞→-∞→∞2） 当x →x 0时函数f(x)的极限:○1a x f x x =-→)(lim 0； ○2a x f x x =+→)(lim 0； ○3a x f x x =→)(lim 0如果当x 从点x=x 0左侧（即x ＜x 0）无限趋近于x 0时，函数f(x)无限趋近于常数a 。
就说a 是函数f(x)的左极限，记作a x f x x =-→)(lim 0。
如果当x 从点x=x 0右侧（即x ＞x 0）无限趋近于x 0时，函数f(x)无限趋近于常数a 。
就说a 是函数f(x)的右极限，记作a x f x x =+→)(lim 0。
注：1a x f x x =→)(lim 0与函数f （x ）在点x 0处是否有定义及是否等于f （x 0）都无关。
2=-→)(lim 0x f x x a x f x x =+→)(lim 0⇔a x f x x =→)(lim 0。
数列专题复习及答案
数列、数列极限、数学归纳法综合复习一、填空题1、已知)(1562*∈+=N n n na n ，则数列{}n a 的最大项是 2、在等差数列{}n a 中，若46101290a a a a +++=，则101413a a -= 3、已知等比数列{}n a ，若151,4a a ==，则3a 的值为 4、数列{}n a 中，23=a ，15=a ，则数列1{}1n a +是等差数列，则=11a 5、在数列{}n a 和{}n b 中，n b 是n a 与1n a +的等差中项，12a =且对任意n N *∈都有031=-+n n a a ，则数列{}n b 的通项公式为 ___ _______6、设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =，k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =7、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4510,15S S ≥≤,则4a 的最大值为8、正数数列{}n a 中，已知12a =，且对任意的,s t N *∈,都有s t s t a a a ++=成立，则12231111n n a a a a a a ++++9、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且42358,26a a a a -=+=，记2nn S T n =，如果存在正 整数M ，使得对一切正整数n ，n T M ≤都成立．则M 的最小值是__________ 10、已知无穷等比数列12{},lim[3()]4,n n n a S a a a S →∞+++-=中，各项的和为且 则实数1a 的范围11、设正数数列{}n a 的前n项和为n S ，且存在正数t ，使得对于所有自然数n ，有2n a t+=成立，若n nt →∞<，则实数t 的取值范围为12、数列{n a }的通项公式为12(12)1()(3,)3n n nn a n n N -*⎧≤≤⎪=⎨≥∈⎪⎩，则=∞→n n S lim13、已知数列{}n a 的通项公式为121n n a -=+，则0121231nn n n n n a C a C a C a C ++++=14、数列{}n a 满足112(0)2121(1)2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，若761=a ，则2007a 的值为____15、在数列{}n a 中，如果对任意n N *∈都有211()n n n na a k k a a +++-=-为常数，则称{}n a 为等 差比数列，k 称为公差比. 现给出下列命题：⑴等差比数列的公差比一定不为0； ⑵等差数列一定是等差比数列；⑶若32nn a =-+,则数列{}n a 是等差比数列；⑷若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比. 其中正确的命题的序号为二、选择题16、等差数列}{n a 的公差为d ，前n 项的和为n S ，当首项1a 和d 变化时1182a a a ++是一个定值，则下列各数中也为定值的是 （ ）7.A S 8.B S 13.C S15.D S17、在等差数列}{n a 中，15100,517a a a >=，则数列}{n a 前n 项和n S 取最大值时，n的值为（ ）.12A .11B .10C .9D18、设}{n a 为等差数列，若11101a a <-，且它的前n 项和n S 有最小值，那么当n S 取得最小正值时，n =（ ）.11A .17B .19C .20D19、等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且56S S <,678S S S =>,则下列结论中错误的是（ ） .0A d < 7.0B a =95.C S S > 67.n D S S S 和均为的最大值20、已知数列{}n a 、{}n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，*11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列{}n c 的前10项和等于（ ）.A 55 .70B .85C .100D21、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若OB ＝1200a OA a OC ＋，且,,A B C 三点共线 （该直线不过原点O ），则200S =（ ）.A 100 .B 101 .C 200 .D 20122、已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且7453n n A n B n +=+，则使得n nab 为整数的正整数n 的个数是（ ） .2A .3B .4C .5D三、解答题23、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1a a =，13n n n a S +=+，*n N ∈．（1）设3nn n b S =-，求{}n b 的通项公式；（2）若1n n a a +≥，*n N ∈，求a 的取值范围．24、数列{}n a 满足a a =1，a a -=2（0>a ），且{}n a 从第二项起是公差为6的等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和．（1）当2≥n 时，用a 与n 表示n a 与n S ；（2）若在6S 与7S 两项中至少有一项是n S 的最小值，试求a 的取值范围；25、数列{}n a 中，112a =，点1(,2)n n n a a +-在直线y x =上，其中n N *∈； （1）设11,n n n b a a +=--{}n b 求证:数列是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项； （3）设分别为数列、n n T S {}n a 、{}n b 的前n 项和，是否存在实数λ，使得数列n n S T n λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列？若存在，试求出λ；若不存在，则说明理由。
归纳法证明数列极限的例题
归纳法证明数列极限的例题大家好，今天我们聊点看似复杂，但其实很简单的东西——数列的极限证明。
别慌，别慌，虽然听上去像是某种高级数学题目，其实只要弄清楚几个小窍门，搞定它一点不难。
其实这玩意儿就像是在找一个数列的“归宿”一样，数列在一堆数字中晃来晃去，最终总会收敛到某个固定的数值。
就像是你走了好久的路，最后终于找到了一个舒服的地方坐下来，休息了。
明白了吗？那么我们今天就聊聊怎么用“归纳法”来证明这些数列的极限问题。
你可能会问：啥是归纳法？这听上去有点复杂。
哈哈，别担心，归纳法其实就是“从小到大”的推理法，打个比方，像是我们看电影，前面的情节铺得好，最后的结局自然水到渠成。
你先验证一个简单的情况，然后一步一步推到更复杂的情形。
就像你玩跳远一样，先从小跳开始，跳得越来越远，最后跳得远得不行。
这个思路很简单，就是“从已知推到未知”。
你只要找到一个最简单的、能推得出来的情况，然后慢慢扩大范围，直到推到你想要的结果。
那么接下来我们看看怎么用归纳法证明数列的极限。
假设我们有一个数列 ( a_1,a_2, a_3, dots )，我们知道，这个数列最终会收敛到某个数 ( L )，也就是数列的极限。
那怎么证明这个极限呢？好啦，我们就用归纳法。
你得做第一步，找到一个基础情况。
就好像你做饭，第一步得先准备好材料，才能开始做菜。
比如，我们设 ( a_1 ) 是一个已经知道的值，接着假设 ( a_n ) 是符合某个规律的，那我们就可以猜测 ( a_{n+1 ) 也会接近这个极限。
然后，我们用数学推理一步一步证明，最后你就能得出结论：这个数列的极限就是 ( L )。
但问题来了，归纳法在数学上有点讲究。
你得确保你的假设是对的。
如果你说“从( a_1 ) 推到( a_n )”，你得确认 ( a_n ) 真的能代表数列的趋势。
举个例子，就像你说要把一个大西瓜分给大家，结果一刀下去，发现里面全是水，根本没肉。
这可就麻烦了。
所以，在归纳法中，你得小心，不要乱猜。
第二章 数列极限习题解答
第2章 数列极限§2.1 数列极限的概念一 基本内容一、数列极限的定义lim 0,0,n n n a A N n N a A εε→∞=⇔∀>∃>∍>⇒-<“”．在用-N ε定义证明极限时有两种方法． 1 分析法由不等式n a a ε-<寻找n 与ε的关系，从而求N 的方法称为分析法． 2 综合法由n a a -经放大得到n 的简易表达式，从而求出N 的方法称为综合法． 二、数列发散的定义0000lim 0, 0, , n n n a a N n N a a εε→∞≠⇔∃>∀>∃>∍-≥“”．数列{}n a 发散, lim n n a a a →∞⇔∀≠00, 0, (, )a U a εε⇔∀∃>∍“外有{}n a 的无穷多项”． 三、无穷小数列数列{}n a 称为无穷小lim 0n n a →∞⇔=．性质(1) 无穷小的和差仍是无穷小； (2) 无穷小的积仍是无穷小； (3) 无穷小与有界量的积仍是无穷小；(4) lim ()n n n a a a a →∞=⇔-为无穷小．二 习题解答1 设1(1)nn a n+-=，1,2,,0n a == ．(1) 对下列ε分别求出极限定义中相应的N ，10.1ε=，20.01ε=，30.001ε=；(2) 对123,,εεε可找到相应的N ，这是否证明了n a 趋于0？应该怎样做才对？(3) 对给定的ε，是否只能找到一个N ？ 解：(1) 因为1(1)20nn a a nn+--=-≤，所以2n ε>时，n a a ε-<，故10.1ε=时，20N =；20.01ε=时，200N =；30.001ε=时，2000N =．(2) 对123,,εεε可找到相应的N ，这不能证明n a 趋于0．必须是0ε∀>，2N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，0n a ε-<，才能证明n a 的极限为0．(3) 因为l i m 00,0,0n n n a N n N a εε→∞=⇔∀>∃>∍>⇒-<“”，而1n N >+时，亦有0n a ε-<，故N 的选取不唯一．2 按-N ε定义证明． (1) lim 11n n n →∞=+．证：因为11111n n n n -=<++，所以0ε∀>，取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n N >时， 11n n ε-<+，故lim11n n n →∞=+． (2) 2233lim212n n n n →∞+=-．证：因为222223323212124232n n n n n n n n n n+++-=<<--+-，所以0ε∀>，3n >取1m ax 3,N ε⎧⎫⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，当n N >时，2233212n n n ε+-<-，故2233lim 212n n n n →∞+=-． (3) !lim0nn n n→∞=．证：因为!12310nn n nn n n nn ⋅⋅⋅⋅-=<⋅⋅⋅⋅ ，所以0ε∀>，取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，!0nn nε-<，故!lim0nn n n→∞=．(4) lim sin0n nπ→∞=．证：因为sin 0sin n n n πππ-=<，所以0ε∀>，取N πε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n N>时，sin0nπε-<，故lim sin0n nπ→∞=．(5) lim0nn n a→∞=(1)a >．证：设1a h =+，则10a h >⇒>，且当2n >时，21(1)(1)2nna h n n h =+>-，于是2222440(1)(2)nnn n aan hn n hnh-=<=<-+-，所以0ε∀>，取24m ax 2,N h ε⎧⎫⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭， 当n N >时，0nn aε-<，故lim0nn n a→∞=．3 指出哪些是无穷小数列？ (1)l i n →∞解：因为1lim 0(0)n nαα→∞=>，所以lim0n →∞=．故是无穷小数列．(2)l i n →∞解：因为lim 1(1)n a →∞=>，所以lim 1n →=．故非无穷小数列．(3) 31limn n→∞．解：因为1lim 0(0)n nαα→∞=>，所以31lim 0n n →∞=．故31n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是无穷小数列． (4) 1lim3nn →∞．解：因为lim 0(||1)n n q q →∞=<，所以1lim03nn →∞=．故13n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是无穷小数列． (5)limn →∞．解：因为lim 0(||1)n n q q →∞=<，所以lim0n →∞=．故⎧⎫是无穷小数列．(6)lim n →∞解：因为lim 1(1)n a →∞=>，所以lim 1n →∞=．故非无穷小数列．4 证明：若lim n n a a →∞=，则k N +∀∈，lim n k n a a +→∞=．证：因为lim n n a a →∞=，所以0ε∀>，0N ∃>，n n N a a ε∍>⇒-<“”，于是当n N >时，k N +∀∈，n k a a ε+-<，故lim n k n a a +→∞=．5 用定义证明(1) 数列1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不以1为极限．证：取012ε=，则2N ∀>，取01n N =+，则11112N n N ->>+，故数列1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不以1为极限．(2) 数列{}(1)nn-发散．证：a R ∀∈，0a =时，取01ε=，则2N ∀>，取02n N =，则(1)021n n N --=>，当0a ≠时，取01ε=，则||N a ∀>，取02n N =，则(1)2||1n n a N a N --≥->>，故数列{}(1)nn -发散．6 证明数列{}n a 收敛于n a a a ⇔-为无穷小数列，并用此结论证明(1)lim 11nn n →∞⎧⎫-+=⎨⎬⎩⎭． 证：()⇒设{}n a 收敛于a ，则lim n n a a →∞=，即0,0,n N n N a a εε∀>∃>∍>⇒-<“”，于是lim 0n n a a →∞-=，即n a a -为无穷小数列．()⇐设n a a -为无穷小数列，则lim 0n n a a →∞-=，于是0,0,()0n N n N a a εε∀>∃>∍>⇒--<“”，即lim n n a a →∞=．因为(1)111nnn -+-=，而1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是无穷小数列，所以(1)lim 11n n n →∞⎧⎫-+=⎨⎬⎩⎭．7 证明若lim n n a a →∞=，则lim n n a a →∞=，举例说明反不成立．证：因为lim n n a a →∞=，所以0ε∀>，0N ∃>，n n N a a ε∍>⇒-<“”，此时亦有||||n n a a a a ε-<-<，故lim n n a a →∞=．反之不成立，例如：(1)n n a =-，lim 1n n a →∞=，但lim n n a →∞不存在．8 用-N ε语言证明．(1)l i 10n →∞=． 证：因为0-=<，所以0ε∀>，取21N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则n N >时，0ε<，故lim0n →∞-=．(2) 312lim0n nn→∞+++= ．证：因为33212(1)1022nn n n n nnnn+++++-=<=，所以0ε∀>，取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则n N >时，3120n n ε+++-< ，故312lim 0n n n →∞+++= ． (3) l i m 1n n a →∞=，其中1, n n n n a n n -⎧⎪⎪=⎩为偶数为奇数． 证：当2n k =时，1111n n a nn--=-=；当21n k =+时，111n a nn-=-==<，所以0ε∀>，取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则n N >时，1n a ε-<，故lim 1n n a →∞=．9 设,1n n a ∀≥-，lim 0n n a →∞=，用-N ε语言证明lim 1n →=．1n a =≤．证：因为lim 0n n a →∞=，所以0ε∀>，0N ∃>，n n N a ε∍>⇒<“”，1n a =，于是n N >1ε<，故lim1n →．10 利用上题结果求极限．(1))l i n n →∞．解：n -==，所以3322n-=)22999222n nn nn=<=，故)3lim2nn→∞-=．(2)l i)n→∞．解：=，所以1122-==12n=<，故1lim2n→∞=．(3)l in→∞解：因为==，所以11=-=<<1n=<．故lim1n→∞=．(4))l in→∞提示：．解：==，-=4n<=故lim0n→∞=．§2.2 收敛数列的性质一基本内容一、收敛数列的一般性质性质1 (唯一性) 若数列{}na收敛，则极限唯一．性质2 (有界性) 若数列{}na收敛，则必有界．性质3 (保号性) 若数列{}na收敛，且lim0nna A→∞=>，则0,0nN n N a∃>∍>⇒>“”．性质3'(保号性) 如果limnna A→∞=，又,0nn a∀>，则0A≥．性质4 (有序性) 设lim,nna A→∞=lim,nnb B→∞=(1) 若A B>，则0,n nN n N a b∃>∍>⇒>“”；(2) 若0,n nN n N a b∃>∍>⇒>“”，则A B≥．性质5 (夹逼性) 设lim limn nn na b l→∞→∞==，且数列{}n c满足0,n n nN n N a c b∃>∍>⇒≤≤“”，则{}n c 收敛，且lim n n c l →∞=．二、收敛数列的四则运算 定理1 若{},{}n n a b 收敛，则{}, {}, {}, (lim 0)n n n n n n n n n n a a b a b a b b b →∞⎧⎫+-⋅≠⎨⎬⎩⎭也收敛，且(1) lim{}lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞+=+；(2) lim{}lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞-=-；(3) lim{}lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞⋅=⋅；(4) lim limlim nn n n nnn a a b b →∞→∞→∞=．三、数列与其子列的关系数列{}k n 是自然数集的一个无穷子集，且严格单调上升，则数列12,,,,k n n n a a a 称为数{}n a 列的子列，记作{}kna ．定理2 数列{}n a 收敛{}n a ⇔的任一个子列都收敛，且极限相同．二 习题解答1 求下列极限． (1) 32331lim423n n n n n →∞++++．解：323323311311limlim2342344n n n n n nn n nn→∞→∞++++==++++．(2) 212lim n n n→∞+．解：221212limlim 0n n n nnn →∞→∞+⎛⎫=+= ⎪⎝⎭． (3) 11(2)3lim(2)3nn n n n ++→∞-+-+．解：111121(2)31333limlim(2)33213nn n n n n n n +++→∞→∞-⎛⎫+ ⎪-+⎝⎭==-+-⎛⎫+ ⎪⎝⎭．(4))l i n n →∞．解：)1limlimlim2n n n n →∞→∞→===．(5)l i 20n →∞+．解：lim lim limlim n n n n →∞→∞→→∞+++=++ 10=．(6) 22111222l i m 111333nn n →∞++++++． 解：2211122111112222lim lim 211111133333113n n n n nn →∞→∞⎛⎫- ⎪⎝⎭+++-==⎛⎫+++- ⎪⎝⎭-．2 设lim n n a a →∞=，lim n n b b →∞=，且a b <，证明0,n n N n N a b ∃>∍>⇒<“”．证：因为lim n n a a →∞=，lim n n b b →∞=，且a b <，所以取2b a ε-=，则110,2n b a N n N a a -∃>∍>⇒-<“”， 220,2n b a N n N b b -∃>∍>⇒-<“”，取12max{,}N N N =，则n N >时，2n n a b a b +<<，故结论成立．3 设{}n a 为无穷小数列,{}n b 有界,证明{}n n a b 为无穷小数列． 证：因为{}n b 有界，所以0,,n M n b M ∃>∍∀≤“”，又{}n a 为无穷小数列，所以0,0,n N n N a Mεε∀>∃>∍>⇒<“”，于是n N >时，n n a b M Mεε<⋅=，故{}n n a b 为无穷小数列．4 求下列极限． (1) 111l i m 1223(1)n n n →∞⎛⎫+++⎪⋅⋅+⎝⎭ ． 解：111lim 1223(1)n n n →∞⎛⎫+++⎪⋅⋅+⎝⎭ 11111lim 12231n n n →∞⎛⎫=-+-++- ⎪+⎝⎭1lim 111n n →∞⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭． (2)lim n →∞⋅ ．解：lim n →∞⋅ 2111222lim 22nn +++→∞== ．(3) 21321l i m 222nn n →∞-⎛⎫+++⎪⎝⎭ ． 解：设21321222n n n S -=+++ ，则13212122n n n S --=+++ ．于是 212222112222n n nn S --=++++- 1112112122123122212nn n nn n ----=+⋅-=---， 所以21321lim 3222nn n →∞-⎛⎫+++= ⎪⎝⎭． (4)l i n →解：因为=而2n ≥1≤=，又lim 1n →∞=，所以lim 1n →∞=．(5) 222111l i m (1)(2)n nn n →∞⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭ ． 解：因为2222211111(2)(1)(2)n n n nn n n++≤+++≤+ ，而21lim0(2)n n n →∞+=，21lim0n n n→∞+=，所以222111lim 0(1)(2)n nn n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭ ． (6)l i m n →∞⎛⎫++． 解：≤+++≤，而limlim1n n →∞→∞==，lim lim 1n n →∞→∞==，所以lim 1n →∞⎛⎫+++= ⎝． (7)l i m n →∞⎛⎫++⎝． 解：同上得lim 1n →∞⎛⎫++= ． (8)l i n n→∞．解：因为11n n++≤<=lim1n n→∞=．(9)l i n →解：lim1n →=，lim1n →∞，所以lim 1n →∞．5 设{}n a 与{}n b 一个是收敛数列，一个发散数列，证明{}n n a b ±是发散数列．又问{}n n a b ⋅和(0)n n n a b b ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭是否必为发散数列． 证：不妨设数列{}n a 发散，数列{}n b 收敛，假设数列{}n n a b ±收敛，则{}{}n n n n a b b a ±= 收敛，但{}n a 发散，矛盾，故{}n n a b ±发散．此结论对{}n n a b ⋅和(0)n n n a b b ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭不成立，例如1n a n =，n b =0n n a b =→，0n n a b =→．6 证明下列数列发散．(1) (1)1n n n ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭．证：因为n 为奇数时，lim (1)11nn nn →∞-=-+，n 为偶数时，lim (1)11nn n n →∞-=+， 所以(1)1nn n ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭发散． (2) {}(1)nn -．证：因为n 为奇数时，{}(1)nn -发散，所以{}(1)nn -发散．(3) cos4n π⎧⎫⎨⎬⎩⎭． 证：因为8n k =时，lim coslim cos 214n k n k ππ→∞→∞==，84n k =+时，lim coslim cos(21)14n k n k ππ→∞→∞=+=-，所以cos4n π⎧⎫⎨⎬⎩⎭发散．7 判断下列结论是否成立(若成立，给出证明；若不成立，举出反例) ． (1) 若{}21k a -和{}2k a 都收敛，则{}n a 收敛；(2) 若{}{}{}32313,,k k k a a a --都收敛,且极限相同,则{}n a 收敛． 解：(1)结论不成立，例如：(1)n n a =-，(2) 结论成立．实因：{}{}{}32313,,k k k a a a --都收敛，且极限相同，不妨设32313lim lim lim k k k n n n a a a a --→∞→∞→∞===，则113222313330,0,0,0,k k k K k K a a K k K a a K k K a a εεεε--⎧∃>∍>⇒-<⎪∀>∃>∍>⇒-<⎨⎪∃>∍>⇒-<⎩“”“”“”，取123max{,,}N K K K =，则n N >时，n a a ε-<，故{}n a 收敛．8 求下列极限． (1) 1321l i m 242n n n →∞-⋅⋅⋅．解：因为1n =时，12≤，假设n k =时结论成立，即13210242n n-<⋅⋅⋅< ，则1n k =+时，132121242(1)2(1)k k k k ++⋅⋅⋅<++2(1)k =+=<<，所以13210242n n-<⋅⋅⋅< 1321lim0242n n n→∞-⋅⋅⋅= ． (2) 1!lim!np n p n =→∞∑．解：因为1!!(2)(2)!(1)!!2(1)!!np n p n n n n n n =<<--+-+<-+∑，所以1!211!np p n n=<<+∑，故1!lim1!np n p n =→∞=∑．(3) l i m (1)n n n αα→∞⎡⎤+-⎣⎦，01α<<． 解：因为10α-<，所以11(1)n n αα--+<，从而111(1)(1)(1)(1)n n n nn nn ααααα---+=++<+=+，于是10(1)n n n ααα-<+-<，而1lim 0n n α-→∞=，所以lim (1)0n n n αα→∞⎡⎤+-=⎣⎦． (4) 22lim (1)(1)(1)nn ααα→∞+++ ，1α<．解：因为22(1)(1)(1)nααα+++22(1)(1)(1)(1)1nααααα-+++=- 1211n αα+-=-，所以221lim (1)(1)(1)1nn αααα→∞+++=- ．9 设12,,,m a a a 为m 个正数，证明{}12limm ax ,,,m n a a a →= ．证：设{}12max ,,,m a a a M = ，则M ≤，而lim 1n →∞=，所以{}12lim m ax ,,,m n M a a a →∞== ．10 设lim n n a a →∞=，证明(1) []limn n na a n→∞=．证：因为1[]n n n na na na -<≤，所以[]1n n n na a a n n-<≤，而lim n n a a →∞=，1lim n n a a n →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故[]lim n n na a n →∞=． (2) 若0a >，0n a >，则lim 1n →=．证：因为lim 0n n a a →∞=>，所以取2a ε=，则0,2n a N n N a a ∃>∍>⇒-<“”，从而322n a a a <<lim 1n →∞=．§2.3 数列极限存在的条件一 基本内容一、单调有界定理定义1 数列{}n a 1, n n n a a +⇔∀≥，数列{}n a 1, n n n a a +⇔∀≤．数列{}n a 1, n n n a a +⇔∀>(严格单调上升)， 数列{}n a 1, n n n a a +⇔∀<(严格单调下降)． 定理1 单调有界数列必有极限．推论 如果lim n n a a →∞=且{}n a 单调上升，则, n n a a ∀≤；如果lim n n a a →∞=且{}n a 单调下降，则, n n a a ∀≥．二、柯西收敛准则数列{}n a 收敛0, 0, ,m n N m n N a a εε⇔∀>∃>∍>⇒-<“”．> 0, 0, n+p n N p n N a a εε⇔∀∃>∍∀⇒-<“, >”． 数列{}n a 发散0000>0, >0, >, , - 0n +p n N n N p a a εε⇔∃∀∃∃∍≥0“”．二 习题解答1 利用1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭求下列极限．(1) 1l i m 1nn n →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭．解：1111lim 1lim 1n nn n n n e--→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭．(2) 11l i m 1n n n +→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭．解：1111lim 1lim 1lim 1n nn n n e n n n +→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． (3) 1l i m 11nn n →∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭． 解：11111lim 1lim 1lim 1111nn n n n e n n n +-→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭．(4) 1l i m 12nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭．解：12211lim 1lim 122n nn n n n →∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(5) 21l i m 1nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 解：212211lim 1lim 11nnnn n n n →∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪+=+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． (6) 211lim 1nn nn →∞⎛⎫++⎪⎝⎭， 提示：21111n n n +<-． 解：因为211111111nnnn n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≤++≤+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以211lim 1nn e n n →∞⎛⎫++= ⎪⎝⎭．2 试问下面的解题方法是否正确？求lim 2n n →∞．解：设2n n a =及lim n n a a →∞=，由于12n n a a -=，两边取极限()n →∞得2a a =，所以0a =．解：给出的解题方法错误．实因在{}n a 的极限存在时，才能设lim n n a a →∞=，而lim 2nn →∞发散，所以出现了错误的结论．3 证明下列数列极限存在，并求其值． (1)设1a =1n a +=1,2,n = ．解：因为12a =<，假设n k =时2k a <，则1n k =+时，12k a +==从而,2n n a ∀<．又1,n n n a a +∀=>，所以{}n a，于是由单调有界定理知{}n a 收敛．设lim n n a a →∞=，对等式1n a +=两边取极限得a =2a =，0a =(舍去)，故lim 2n n a →∞=．(2) 设1a =(0)c >，1n a +=1,2,n = ．解：因为12a =<，假设n k =时2k a <，则1n k =+时，1k a +=<2=从而,2n n a ∀<．又2,021(21)14n n n a a c ∀<<+-<+，于是2,n n n a a c ∀-<，所以1,n n n a a +∀=，即{}n a ．由单调有界定理知{}n a 收敛，设lim n n a a →∞=，对等式1n a +=两边取极限得a =，解之得2a =，2a =舍去)，故lim 2n n a →∞=(3) 设!nn ca n =(0)c >，1,2,n = ．解：当[]n c >时，()[]110123[][]1123[]nc n cca c c nc n+<=<⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ，而[]11lim0123[]c n cc n+→∞⋅=⋅⋅⋅⋅ ，故lim0!nn cn →∞=．4 利用11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为递增数列的结论，证明111nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎩⎭为递增数列．证：因为11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，所以2111,1121n n n n n ++⎛⎫⎛⎫∀+>+ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，于是11111111111nn n n n +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭21111121n n n +-⎛⎫⎛⎫<++ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭11111111221n n n n +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 121(1)(3)12(2)n n n n n +++⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭1221431244n n n n n n +++⎛⎫=+⋅ ⎪+++⎝⎭1112n n +⎛⎫<+ ⎪+⎝⎭，故111nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎩⎭．5 应用柯西收敛准则，证明下列数列{}n a 收敛． (1) 2s i n 1s i n 2s i n 222n nn a =+++．证：因为12sin(1)sin(2)sin()222n n n pn n n p +++++++++12111111111222222n n n pn p nn++++⎛⎫≤+++=-<<⎪⎝⎭ ，所以0ε∀>，取1max 1,N ε⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，当n N >时，0p ∀>，12sin(1)sin(2)sin()222n n n pn n n p ε+++++++++< ，故由柯西收敛准则知{}n a 收敛．(2) 222111123n a n=++++．证：因为222111(1)(2)()n n n p ++++++111(1)(1)(2)(1)()n n n n n p n p <+++++++-+111n n pn<-<+，所以0ε∀>，取1N ε=，当n N >时，0p ∀>，222111(1)(2)()n n n p ε+++<+++ ，故由柯西收敛准则知{}n a 收敛．6 证明：若单调数列{}n a 含有一个收敛子列，则{}n a 收敛．证：不妨设{}n a ，且有收敛子列{}kna ，记lim kn n aa →∞=，则{}kn a，且,kn k a a ∀≤．于是,kk n k a a a ∀≤≤，即{}n a 有上界，故由单调有界定理知结论成立．7 证明：若0n a >，且1lim 1n n n a r a →∞+=>，则lim 0n n a →∞=．证：因为0n a >，且1lim1n n n a r a →∞+=>，所以取012r ε-=，则110,2n n a r N n N r a +-∃>∍>⇒-<“”．即121n na a r +<+．因为改变数列的有限项不改变数列的敛散性，所以不妨设120,1n na n a r +∀><+，于是11211121201n nn n n n a a a a a a a a a r ----⎛⎫<=⋅⋅⋅⋅< ⎪+⎝⎭，而112li m 01n n a r -→∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭，故由夹逼性定理知lim 0n n a →∞=．8 证明：若{}n a 为递增(递减)有界数列，则{}lim sup n n n a a →∞=，{}()inf n a ．(1)n >又问逆命题是否成立．证：设{}n a ，因为{}n a 有界，从而有上确界，设{}sup n a a =，则,n n a a ∀≤，且0,0,N N a a εε∀>∃>∍>-“”，由单调性知n N >时，N n a a a a a εε-<≤≤<+，即n a a ε-<，故{}lim sup n n n a a a →∞==．同理可证{}n a 时，{}lim inf n n n a a →∞=．9 利用不等式11(1)()n n n b a n a b a ++->+-，(0)b a >>，证明111n n +⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为递减数列，并由此推出11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为有界数列．证：当0b a >>时，1n ∀≥有1111()()n n n n n n bab a b abab a ++---=-++++ ()(1)nb a n a >-+，于是1122(1)(1)()n nn n n b n bn a b a a aaa ++++⎛⎫>+-+=- ⎪⎝⎭．取111a n =++，11b n=+，则422(1)(1)(1)(2)2n b n n n n aan n n +++-=-++3232441144n n n n n n+++=>++，从而12n n ba++>，即()()1211111n n nn +++>++，故()111n n +⎧⎫+⎨⎬⎩⎭．而121111(11)4nn n n +⎛⎫⎛⎫+<+<+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭有界．10 证明：13, 1nn e n n ⎛⎫∀-+< ⎪⎝⎭．证：因为()111n n +⎧⎫+⎨⎬⎩⎭，且()11lim 1n ne n +→∞+=，又()11nn ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭， 且()1lim 1nn e n→∞+=，所以()()11111nn e nn++<<+，于是 ()()()1111111nn ne n nn +-+<+-+()3111nen n n n=+<<． 故结论成立．11 给定两个正数11,a b 11()a b <，令11,2n nn n a b a b +++==(1,2,)n = ，证明lim n n a →∞、lim n n b →∞存在且相等．证：因为11,2n nn n a b n a b +++∀=≥=，所以1,{}22n nn nn n n a b a a n a a a +++∀=≤=⇒ 且有上界1b ；1,{}n n n n b b b +∀=≥=⇒ 且有下界1a ，故由单调有界定理知lim n n a →∞、lim n n b →∞存在．设lim n n a a →∞=，lim n n b b →∞=，在等式12n nn a b a ++=两边取极限得2a b a +=，从而a b =，故结论成立．12 设{}n a 为有界数列，记{}1sup ,,n n n a a a += ，{}1inf ,,n n n a a a += ，证明 (1) {}n a 为递减有界数列，{}n a 为递增有界数列，且,,n m m n a a ∀≤．证：因为{}{}1121,sup ,,sup ,,n n n n n n n a a a a a a ++++∀=≥= ，所以{}n a ，而{}{}1121,inf ,,inf ,,n n n n n n n a a a a a a ++++∀=≤= ，所以{}n a ，于是当m n >时，n n m a a a ≤≤；当m n =时，n n m a a a ≤=；当m n <时，n m m a a a ≤≤．故结论成立．(2) 设lim , lim n n n n a a a a →∞→∞==，则a a ≤．证：在不等式n m a a ≤两边取极限即知结论成立．(3) {}n a 收敛a a ⇔=．证：()⇒设lim n n a →∞，则0,0N ε∀>∃>，2n n N a a ε∍>⇒-<“”，即,22n n N a a a εε∀>-<<+，从而2n a a ε≤+，2n a a ε≥-，于是022a a a a εεε⎛⎫≤-≤+--= ⎪⎝⎭，故由ε的任意性知a a=．总练习题21 求下列数列的极限．(1)l i n→解：因为3<=lim1n→∞=，所以由夹逼性定理知lim3n→=．(2)5l i mnnne→∞．解：因为5555016 0(11)n n nn n n n n n n ne C C C C <<=<++++5(1)(2)(3)(4)(5)6!nn n n n n n=-----，而5lim0(1)(2)(3)(4)(5)6!nnn n n n n n→∞=-----，所以由夹逼性定理知5lim0nnne→∞=．(3)l in→∞．解：limn→∞lim limn n→∞→∞=-lim lim0n n→→=-=．2 证明：(1) 2l i m0nnn q→∞=(1)q<．证：当0q=，结论显然成立，当0q≠时，由1q<知11q>，令11hq=+，则3331(1)(1)(2)6nnnhh C h n n nq=+>=--，于是2236(1)(2)n nn qn n n h<--．而2223366(1)(2)(1)(2)nn nn qn n n h n n n h-<<----，又236lim0(1)(2)nnn n n h→∞=--，所以2lim0nnn q→∞=．(2)lnlim0nnnα→∞=(1)α≥．证：因为2222ln22n nn nnαααααα<<=，而22lim0nnα→∞=，所以lnlim0nnnα→∞=．(3)l i0n→∞=．证：因为0<=111111223(1)n n nn n++++⋅⋅-<=，所以0<<且lim0n→∞=，故结论成立．3 设limnna a→∞=，证明(1) 12lim nna a aan→∞+++=，又问此等式能否反过来推出limnna a→∞=．证：因为limnna a→∞=，所以10,0Nε∀>∃>，12nn N a aε∍>⇒-<“”，固定1N，设112NM a a a a a a=-+-++-，则1n N>时，6n>12122na a a n N M M a nnn n εε+++--≤+⋅<+ ． 而lim0n M n→∞=，所以就上述2,0N ε∃>，22M n N n ε∍>⇒<“”，取12max{,}N N N =，则n N >时，1222na a a a nεεε+++-<+= ，故12limnn a a a a n→∞+++= ．反之不成立，例如(1)n n a =-，12lim0nn a a a n→∞+++= ，但{}n a 发散．(2) 若,0n n a ∀>，则lim n a →∞． 证：因为lim n n a a →∞=，所以当0a =时，由平均不等式得120na a a n+++≤，从而lim 0n a →∞=．当0a ≠时，11limn na a→∞=，则121111limnn a a a na→∞+++=，于是12lim111n nna a a a →∞=+++ ，而1212111nna a a nna a a +++≤+++，所以lim n a →∞=．4 应用上题结论证明下列各题．(1) 1112limn n n→∞+++= ．证：因为1lim0n n→∞=，所以1112lim0n n n→∞+++= ．(2)l i 1n →∞=(0)a >． 证：设1a a =，1,1n n a ∀>=，则lim 1n n a →∞=，于是limlim1lim n n x →→∞→∞==．(3) lim 1n →∞=．证：设11a =，1,1n n n a n ∀>=-，则lim 1n n a →∞=，于是limlim 1n n →∞→==．(4)l i 0n →=．证：设1n a n=，则lim 0n n a →∞=，于是limlim0n n →∞→∞==．(5) limn e →=．证：因为1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以(1)lim nn n n e n →∞+=，于是由3(2)题的结论得lim n e →∞．limn e →∞=，从而limlim lim1n n n n e n →→∞→∞==+．(6)1lim1n n→∞++= ． 证：因为lim 1n →∞=，所以lim1n n→∞=．(7) 若1limn n nb a b +→∞=，(0)n b >，则lim n a →∞=．证：设11a b =，11,n n n b n a b -∀>=，则1lim limn n n n n b a a b →∞→∞-==，于是limlimn n a →∞→==．5 证明：若{}n a 为递增数列，为{}n b 递减数列， 且lim ()0n n n a b →∞-=，则lim n n a →∞与lim n n b →∞都存在且相等．证：因为{}n a ，{}n b ，所以数列{}n n a b - ．又lim ()0n n n a b →∞-=，于是sup{}0n n a b -=，从而sup{}0n n n n n n a b a b a b -≤-=⇒≤．由此知{}n a 有上界1b ，{}n b 有下界1a ，故lim n n a →∞与lim n n b →∞都存在．设lim n n a a →∞=，lim n n b b →∞=，则lim lim lim ()lim n n n n n n n n n a a a a b b b →∞→∞→∞→∞==--==，综上可知结论成立．6 利用单调有界数列必有极限的证明下列极限收敛，并求其极限． (1) 116, n a a +==(1,2,,n = ．解：因为165a =>，假设n k =时，5k a >，则1n k =+时，1 5k a +=>=，所以{}n a 有下界5．又1, n n n a a +∀=<，所以{}n a ，由单调有界定理知{}n a 收敛．设lim n n a a →∞=，在等式1n a +=a =，解之得5a =，故lim 5n n a →∞=为所求．(2) 115, n a a +==(1,2,,n = ．解：因为156a =<，假设n k =时，6k a <，则1n k =+时，1 6n a +=,所以{}n a 有上界．又1 ,n n n a a +∀==>，从而{}n a ，由单调有界定理知{}n a 收敛．设lim n n a a →∞=，在等式1n a +=两边取极限得a =，解之得 6a =，故lim 6n n a →∞=为所求．(3) 112, n a a +==(1,2,,n = ．解：因为1122a +=<，假设n k =时，12k a +<，则1n k =+时，1 2k a +=<=，所以{}n a 有上界．又1 ,n n a +∀==>n a ==>，所以{}n a ，由单调有界定理知{}n a 收敛．设lim n n a a →∞=，在等式1n a +=a =12a +=， 故1lim 2n n a →∞+=为所求．(4) 11144, 23n n n a a a a +⎛⎫==+ ⎪+⎝⎭(1,2,,n = ．解：因为141a =>，假设n k =时，1k a >，则1n k =+时，114141123213k k k a a a +⎛⎫⎛⎫=+>+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭． 所以{}n a 有下界．又14141 2323n n n n n n n a a a a a a a +⎛⎫⎛⎫=+<+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()11122n n n n a a a a =+<+=，所以{}n a ，由单调有界定理知{}n a 收敛．设lim n n a a →∞=，在等式114 23n n n a a a +⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭两边取极限得1423a a a ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭， 解之得1a =，故lim 1n n a →∞=为所求．(5) 11313, 1n n n a a a a +-==+(1,2,,n = ．解：因为131a =>，假设n k =时，1k a >，则1n k =+时，131122111k k k k k k a a a a a a +-++-==>++．所以{}n a 有下界．又21313121111n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a +---+-==+-=++++2(1)1n n n n a a a a -=-<+，所以{}n a ，由单调有界定理知{}n a 收敛．设lim n n a a →∞=，在等式131 1n n n a a a +-=+取极限得31 1a a a -=+，解之得1a =， 故 lim 1n n a →∞=为所求．7 设数列{}n a 满足0M ∃>，对一切n ∀，21321n n n A a a a a a a M -=-+-++-≤ ，证明数列{}n a 与{}n A 都收敛．证：因为n ∀，21321n n n A a a a a a a M -=-+-++-≤ ，所以{}n A 有上界，又{}n A ，故由单调有界定理知{}n A 收敛．于是，由柯西收敛准则知，0,0N ε∀>∃>，,n p n n N A A p ε+∍>⇒-<∀“”，即12n n n p A A A ε++++++<L ．从而nN>时，21321()()()n p n n n n n n p n p a a a a a a a a +++++++--=-+-++-21321n n n n n p n p a a a a a a ε++++++-≤-+-++-< ，故由柯西收敛准则知{}n a 收敛．8 设0a >,0σ>,112a a a σ⎛⎫=+⎪⎝⎭,112n n n a a a σ+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,1,2,n = ．证明数列{}n a ．解：因为112a a a σ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭假设n k =时，k a >，则当1n k =+时 112k k k a a a σ+⎛⎫=+> ⎪⎝⎭所以{}n a 有下界．又11122n n n n a a a a σ+⎛⎫⎛=+<+ ⎪ ⎝⎝⎭ (()1122nn n n a a a a <+<+=，所以{}n a ，由单调有界定理知{}n a 收敛．设lim n n a a →∞=，在等式112n n n a a a σ+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭两边取极限得12a a aσ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解之得a = 故lim n n a →∞=为所求．9 设110a b >>，记112n n n a b a --+=，11112n n n n n a b b a b ----=+，2,3,n = ．证明数列{}n a 与{}n b ．证：因为11111122n n n n n n n n a b a b a b a b ------+=≥=+，所以,n n n a b ∀≥．于是n ∀，122n nn nn n a b a a a a +++=≤=，又 n ∀，12221111n nn n n nnnnna b b b a b a b b b +==≥=+++ ，从而{}n a 且有下界1b ，{}n b 且有上界1a ，故{}n a ，{}n b 收敛．设lim n n a a →∞=，lim n n b b →∞=，在等式112n n n a b a --+=，11112n n n n n a b b a b ----=+两边取极限得2a b a +=，2abb a b=+，从而得a b =．又111111111122n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b --------+=⋅===+ ， 所以11ab a b =，故lim lim n n n n a b →∞→∞==．10 按柯西收敛准则叙述数列{}n a 发散的充分必要条件，并用它证明下列数列{}n a 是发散的．(1) (1)n n a n =-； (2) sin2n n a π=．解：{}n a 发散0000,0,,N n m N ε⇔∃>∀>∃>，00n m a a ε∍->“”． (1) 取01ε=，则0N ∀>，取001,3n N m N =+=+，于是00,n m N >，且00041n m a a ε-=>=，故{}(1)n n -发散．(2) 取01ε=，则0N ∀>，取002,2n N m N ππ=+=-，于是00,n m N >，且00021n m a a ε-=>=，故sin 2n π⎧⎫⎨⎬⎩⎭发散．11 设lim n n b b →∞=，lim n n a a →∞=，记{}m ax ,n n n S a b =，{}m in ,n n n T a b =，1,2,n =L ．证明 (1) {}lim max , n n S a b →∞=； (2) {}lim min , n n T a b →∞=．提示：参考第一章总练习题1． 证：(1) 因为{}()m ax ,2n n n n n n n a b a b S a b -++==，所以{}()lim m ax , 2n n a b a b S a b →∞-++==．(2) 因为{}()m in ,2n n n n n n n a b a b T a b --+==，所以{}()lim m in , 2n n a b a b S a b →∞--+==．12 证明下列不等式． (1) k n ∀<，k N ∈，111112121112!3!nn n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>+-+--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1121111!k k n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 证：因为k n ∀<，122111111nn nn n n C C C n n n n ⎛⎫+=++++ ⎪⎝⎭ 1221111knnnkC C C nnn >++++21(1)1(1)(1)112!!kn n n n n k n n n k n---+=+⋅+⋅++ ， 所以()()()()111112121112!3!nnnn n +>+-+--+L()()()1112111!k k n n n-+---L ． (2) 证明：()()11111n n e n n++<<+．证：因为()111n n +⎧⎫+⎨⎬⎩⎭，且()11lim 1n ne n +→∞+=， 所以()111n e n+<+．又()11nn ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭，且()1lim 1nne n →∞+=，所以()11ne n +<．故()()11111nn e nn++<<+．(3) e e⋅<<．。
证明数列极限的题目及答案
证明数列极限的题目及答案关键信息项：1、数列的表达式：＿___________________2、所给定的极限值：＿___________________3、证明所使用的方法：＿___________________4、证明过程中的关键步骤和推理：＿___________________5、最终得出结论的依据：＿___________________11 题目设数列｛an} 满足 an ＝（n ＋ 1) ／ n ，证明当 n 趋向于无穷大时，数列｛an} 的极限为 1 。
111 证明对于任意给定的正数ε ，要找到一个正整数 N ，使得当 n ＞ N 时，｜an 1| ＜ε 成立。
＼＼begin{align}｜an 1| ＆＝＼left|＼frac{n ＋ 1}｛n} 1\right|＼＼＆＝＼left|＼frac{n ＋ 1 n}｛n}＼right|＼＼＆＝＼frac{1}｛n}＼end{align}＼为了使＼（＼frac{1}｛n} ＜ε\），即＼（n ＞＼frac{1}｛ε}＼）。
所以取＼（N ＝＼left\frac{1}｛ε}＼right ＋ 1\）（其中＼（＼cdot\）表示取整函数），当＼（n ＞ N\）时，有＼（n ＞＼frac{1}｛ε}＼），即＼（＼frac{1}｛n} ＜ε\），所以＼（｜an 1| ＜ε\）。
综上，根据数列极限的定义，当 n 趋向于无穷大时，数列｛an} 的极限为 1 。
12 题目设数列｛bn} 满足＼（bn ＝＼frac{1}｛n}＼），证明当 n 趋向于无穷大时，数列｛bn} 的极限为 0 。
121 证明对于任意给定的正数ε ，要找到一个正整数 N ，使得当 n ＞ N 时，＼（｜bn 0| ＜ε\）成立。
＼｜bn 0| ＝＼left|＼frac{1}｛n} 0\right| ＝＼frac{1}｛n}＼为了使＼（＼frac{1}｛n} ＜ε\），即＼（n ＞＼frac{1}｛ε}＼）。
12 数列的极限答案.doc
所以 lim(-)"=0.ZITCO 5所以lim ——-——二0.第二次课 课后作业1.根据极限的定义，证明下列极限:(3) lim(l -丄)=1解：\/£>0,要使丨1-丄-11 =丄<£,2n 2n只要n>— 取N=[—]则当n>N 时，恒有II-丄-1\<£,2n(4) lim 沁=0"T8 n解：0£〉0,要使 I 凹■-0l<£,n口口 丨 sinn I 1 1即 ----- < — <£•, n> —n n £只要取N = [-],£则当n>N 时，恒有I 竺巴-0l<£,n2 (5) lim ------- = 0 3〃+ 10 o解：V£>0,要使 I —_0I<£,3n + 10即i 」一I <2<£,只要3〃+ 10 3n2E取N =[刍], 贝!j 当"〉N 时,恒有I ——Q\<£, 3n + 10⑹ lim(|r =0解：0£>0,要使(£)"一01<£, 即 1(》"1<占<£,«>log 5-只要取N = [log5丄],£则当">“时，恒有i(|r-oi<f,(9) lim —尸—=—"乞'3丁"+1 3解：3。
,要使晶-*,只要取iv=[4],£则当朴时，恒有\晶-*,a/zzr _6n 2+(-l)n n 解：5n 2+n 6+(" =lim "Toon 6 5+~nn —解: 1 2 n I + Q + Q …+ Q }— a lim ( --------- -------- ) = lim 丄 1-b 1 — (1 0 X = 1 2/3 x = -l 1/2\x\<l 一X\x\解: 求下列极限:解：lim 伫巳=lim 匕丰=丄 宀。