10312数学归纳法与数列的极限(答案)

第十二讲：数学归纳法与数列的极限

知识小结：

1,,,(1)(12,);()

(2)(1,2,),1;()(3)(1)(2)*,.n n n k k n k n N ===≥=+∈、数学归纳法用于证明一些与正整数有关的命题即通过对有限个正整数证明命题成立推广到对一切正整数命题都成立的思想方法主要步骤为

证明起始命题成立即或命题成立这是证明的基础假设时命题成立由假设条件推出当时命题成立这是递推的关键由、可知对于命题均成立注意数学归纳法的证明格式！数学归纳法的原理2(2),,1.

3,.,,.

n k n k ==+就像多米勒骨牌！

、证题的关键在于用好归纳假设在一般的情况下，由假设时命题成立为出发点推出命题成立即可、数学归纳法在证明过程中要用到许多数学知识综合性较强有时在解决问题时需要先通过归纳得出结论再用数学归纳法证明那么要求能正确地归纳

4.数列的极限：一般地，在无限增大的变化过程中，如果无穷数列{}n a 中的项无限趋近于一个常数A ，那么A 叫做数列{}n a 的极限，或叫做数列{}n a 收敛于A ，记作lim n n a A →∞

=。

注意点：1）只有无穷数列，当n 趋近于无穷大时，n a 无限趋近于某一常数；

2）对于数列{}n a ，当n 无穷增大时，n a 无限趋近于某一定值时c ，是通过n a c -无限趋近于零来描述的。这里n a c -无限趋近于零，是指不论取一个值多么小的正数（可以任意给定），总可以通过取n 充分大以后，使

n a c -充分接近于零，如果这个任意小的正数用ε来表示，那么当n 充分大时，总有n a c ε-<。

3）极限值只有一个值，如趋近于两个值一定没有极限。 5.极限的运算性质性质：lim ,lim ,(1)lim()lim lim .

(2)lim()lim lim .

lim (3)lim (0,0).lim n n n x n n n n n n x n n n n n n x n n n n n n

n x a A b B a b a b A B a b a b A B a a A B b b b B →∞

→∞

→∞

→∞

→∞

→∞

→∞

→∞

→∞

→∞→∞

==±=±=±⋅=⋅=⋅==≠≠1)如果则

注意：我们只研究极限存在的运算。

2）几个重要极限：0

lim ;lim 0;lim 1n

n n n C C C q n →∞→∞→∞

⎧⎪===⎨⎪⎩

不存在 1111q q q q <=>=-或

11101110lim 0k l k k k k l l n l l a b a n a n a n a b n b n b l b ---→∞-⎧⎪⎪++++⎪

=⎨++++⎪⎪⎪⎩

不存在 l k l k l k

=>< 6.无穷等比数列各项和的和的概念：我们把1q <的无穷等比数列前n 项和n S ，当n 无穷增大时的极限叫做无

穷等比数列各项的和，并用符号S 表示，即1

(1)1a S q q

=

<- 注意点：1）只有当1q <且0q ≠时，才能代入上述公式；

2）实际上可推出：lim n n S S →∞

=；

3）化循环小数为分数可分解成一个等比数列的各项和的形式，或者可直接化为分数：如9

0.919

⋅

=

=；12111

0.129090

⋅

-=

=； 111113

(1),1,1224

______.

111111

(1)(1)1111111111

11211123k k n n n n A B C k k k k k k k k k k k D n k n k k k k k

k k ++>+++++-+

++++++++++++++=++=+++++++++例题、选择题用数学归纳法证明不等式的过程中由推导时不等式左边增加了（）；（）；（）（）（）（）（）（）以上均错

解：当时，不等式左边为；当时，不等式左边为11111

111

.

1111

2"",1,______.

()()()()()21()()21(n n k k k k k k B k k k k k n x y x y n A n k k N B n k k N C n k k N D n k ***+++++++++-++++++++==∈≤∈=+∈=-，那么不等式的左边增加了，故选（）（）（）用数学归纳法证明命题当为正奇数时，能被整除在验证正确后归纳假设应写成假设时命题成立 假设时命题成立假设时命题成立 假设):,1,21(),.

(3),(),,1,,5,,______.

()6()6()4()4k N n n n k k N D n n k k N n k n A n B n C n D n **∈∴==-∈=∈=+=====时命题成立

解为正奇数在验证后归纳假设应写成时命题成立故选某个命题与正整数有关若当时该命题成立则可推出时该命题成立现已知当时该命题不成立那么当时该命题不成立 当时该命题成立当时该命题不成立 当时该命题成立n k n k 提示：逆否命题为“已知=+1不成立，推出=不成立”。

:,.C 解显然选否则不符合题设

例2、求极限：

11

1(1),______.

2:,lim ;,lim ;21,lim ,

1,(),(),

,().n n n n

n

n n n

n n n

n n a b a b a b b a b

a a a

b a a b a a b a a a b

b a b b a b a a b a b a b b a b ++→∞+→∞→∞→∞

+=+⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭>=====⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭

<==⎛⎫+ ⎪⎝⎭

>⎧⎪

==⎨⎪<⎩

n 已知、均为正数那么lim 解当时原式当时原式当时原式当时故原式或当时当时

||1,lim ||0.n n q q q →∞

<=提示:则极限问题的解题思路，很多时候就是想方设法拼凑出值。

2222222

1321(2)lim .1

1113(21)1

:lim lim

lim 1.1111n n n n

n n n n n n n n n

→∞→∞→∞→∞-⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭

+++-====+++求解原式 注意：和的极限要转化成极限和，和式的项数必须是有限的。

2(3)lim(21,______.

3

244n n k k k n n →∞

=-

-==→则的值等于解；， lim 2,1444n k k

n k →∞∴===即得， 提示：分子有理化。

1131

lim ,.

3(1)3

31

11

:lim lim ,1 1.3(1)33133,4 2.

n n n n n

n

n n n n a a a a a a +→∞+→∞→∞=+++==∴-<<+++⎛⎫

+ ⎪⎝⎭

-<<(4)已知求的取值范围解解不等式得