2011年高考文科数学试题及答案(全国卷)1

2011年高考文科数学试题及答案（全国卷）

一、选择题

1．设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则=?（M N ）e（）

A ．{}12，

B ．{}23

， C ．{}2，4 D ．{}1，4

2．函数2(0)y x x =≥的反函数为

A ．2()4x y x R =∈

B ．2(0)

4x y x =≥

C ．24y x =()x R ∈

D ．2

4(0)y x x =≥

3．若向量a,b 满足

2

1.,1-

=→

→

→

→==

b a b

a ,则=→→+

b a 2（）

A ．2

B ．3

C ．5

D ．7

4．若变量x 、y 满足约束条件6

321x y x y x +≤??

-≤??≥?

，则23z x y -+的最小值为（） A ．17 B ．14 C ．5 D ．3 5．下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（）

A ．1a b >+

B ．1a b >-

C ．22

a b >

D ．33

a b >

6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差为22,24k k d S S +=-=，则k=

A ．8

B ．7

C ．6

D ．5

7．设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π

个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（）

A ．1

3 B ．3

C ．6

D ．9

8．已知二面角l αβ--，点,,A AC l α∈⊥C 为垂足，点,B BD l β∈⊥，D 为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD=（）

A ．2

B ．3

C ．2

D ．1

9．4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（）

A ．12种

B ．24种

C ．30种

D ．36种

10．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则

5()

2f -=

A ．-12

B ．1

4- C ．14 D ．1

2

11．设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12

C C =

A ．4

B ．42

C ．8

D ．82

12．已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成0

60，二面角的平面

β截该球面得圆N ，若该球的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为

A ．7π

B ．9π

C ．11π

D ．13π

二填空题

13．（1-x ）10的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为: ．

14．已知a ∈（

3,

2π

π），tan 2,

cos αα=则= 15．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 与

BC 所成角的余弦值为 。

16．已知F 1、F 2分别为双曲线C : 2

9x - 227y =1的左、右焦点，点A ∈C ，

点M 的坐标为（2，0），AM 为∠F 1AF 2∠的平分线．则|AF 2| = ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17．（本小题满分l0分）（注意：在试题卷上作答无效）

设等比数列{}n a

的前n 项和为n S ,已知26,a =13630,a a +=求n a 和n S 。 18．（本小题满分2分）（注意：在试题卷上作答无效）

△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．己知

s i n c s i n

2s i n s i n ,

a A C a C

b B +-=

（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若

75,2,A b a c ==求与

19．（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作答无效）

根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立。

（I ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种概率； （II ）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率。

20．（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作答无效）

如图，四棱锥S ABCD -中， AB CD ,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形，

2,1AB BC CD SD ====．

（I ）证明：SD ⊥平面SAB ；

（II ）求AB 与平面SBC 所成的角的大小。

21．（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作答无效） 已知函数

{}

32()3(36)124f x x ax a x a a R =++---∈

（I ）证明：曲线()0y f x x ==在处的切线过点（2，2）；

（II ）若0()f x x x =在处取得极小值，0(1,3)x ∈，求a 的取值范围。 22．（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作答无效）

已知O 为坐标原点，F 为椭圆2

2

:1

2y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F

且斜率为-2的直线l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++= （Ⅰ）证明：点P 在C 上；

（II ）设点P 关于O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上。

参考答案 一、选择题

1—6 DBBCAD 7—12 CCBACD 二、填空题

13．0 14．5

5-

15．23 16．6

三、解答题

17．解：设{}n a 的公比为q ，由题设得

12116,630.a q a a q =??+=? …………3分

解得113,2,

2, 3.a a q q ==???

?==??或

…………6分

当

113,2,32,3(21);n n

n n a q a S -===?=?-时 当11

2,3,23,3 1.n n n n a q a S -===?=-时 …………10分 18．解：

（I ）由正弦定理得222

2.a c ac b +-= …………3分

由余弦定理得222

2cos .b a c ac B =+-

故

2

cos ,45.2B B =

=?因此

…………6分

（II ）sin sin(3045)A =?+?

sin 30cos 45cos30sin 4526.4

=??+??

+=

…………8分

故

sin 26

13,sin 2A a b B +=?

==+

sin sin 602 6.sin sin 45C c b B ?=?

=?=?

…………12分

19．解：记A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；

B 表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；

C 表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；

D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；

E 表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买。

（I ）()0.5,()0.3,,P A P B C A B ===+ …………3分 ()()()()0.8.P C P A B P A P B =+=+=

…………6分

（II ）,()1()10.80.2,D C P D P C ==-=-= …………9分

12

3()0.20.80.384.P E C =??= …………12分

20．解法一：

（I ）取AB 中点E ，连结DE ，则四边形BCDE 为矩形，DE=CB=2，

连结SE ，则, 3.SE AB

SE ⊥= 又SD=1，故222

ED SE SD =+，

所以DSE ∠为直角。 …………3分

由,,AB DE AB SE DE

SE E ⊥⊥=，

得AB ⊥平面SDE ，所以AB SD ⊥。 SD 与两条相交直线AB 、SE 都垂直。 所以SD ⊥平面SAB 。

…………6分

（II ）由AB ⊥平面SDE 知， 平面ABCD ⊥平面SED 。

作,SF DE ⊥垂足为F ，则SF ⊥平面ABCD ，

3.2SD SE SF DE ?=

=

作FG BC ⊥，垂足为G ，则FG=DC=1。 连结SG ，则S G B C ⊥， 又,BC FG SG

FG G ⊥=，

故BC ⊥平面SFG ，平面SBC ⊥平面SFG 。 …………9分 作FH SG ⊥，H 为垂足，则FH ⊥平面SBC 。

37SF FG FH SG ?==，即F 到平面SBC 的距离为21.7

由于ED//BC ，所以ED//平面SBC ，E 到平面SBC 的距离d 也有21

.

7

设AB 与平面SBC 所成的角为α，

则2121

sin ,arcsin .77d EB αα=

==

…………12分

解法二：

以C 为坐标原点，射线CD 为x 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C —xyz 。

设D （1，0，0），则A （2，2，0）、B （0，2，0）。

又设(,,),

0,0,0.S x y z x y z >>>则 （I ）(2,2,),(,2,)AS x y z BS x y z =--=-，(1,,)DS x y z =-， 由||||AS BS =得

222222(2)(2)(2),

x y z x y z -+-+=+-+

故x=1。

由

22

||11,DS y z =+=得 又由222

||2(2)4,BS x y z =+-+=得

即

2213410,,.

22y z y y z +-+===故 …………3分

于是

1333

3

3(1,,),(1,,),(1,,)22222

2S AS BS =--=

-，

13

(0,,),0,0.

22DS DS AS DS BS =?=?=

故,,,DS AD DS BS AS BS S ⊥⊥=又

所以SD ⊥平面SAB 。

（II ）设平面SBC 的法向量(,,

)a m n p =， 则,,0,0.a BS a CB a BS a CB ⊥⊥?=?=

又33

(1,,),(0,2,0),

22BS CB =-=

故33

0,2220.m n p n ?-+

=???=?

…………9分

取p=2得(3,0,2),(2,0,0)a AB =-=-又。

21

cos ,.7||||

AB a AB a AB a ?=

=? 故AB 与平面SBC 所成的角为

21

arcsin

.7

21．解：（I ）

2

'()3636.f x x ax a =++- …………2分

由(0)124,'(0)36f a f a =-=-得曲线()0y f x x ==在处的切线方程为 由此知曲线()0y f x x ==在处的切线过点（2，2） …………6分

（II ）由

2'()02120.f x x ax a =++-=得 （i ）当2121,()a f x --≤≤-时没有极小值； （ii ）当21

21,'()0a a f x >-<--=或时由得 221221,21,

x a a a x a a a =--+-=-++-

故02.x x =由题设知2

121 3.a a a <-++-<

当21a >-时，不等式

2

1213a a a <-++-<无解。 当21a <--时，解不等式

25

12132 1.2a a a a <-++-<-

<<--得

综合（i ）（ii ）得a 的取值范围是5

(,21).

2--- …………12分

22．解：（I ）F （0，1），l 的方程为21y x =-+，

代入2

2

1

2y x +=并化简得

242210.x x --=

…………2分

设112233(,),(,),(,),A x y B x y P x y

则

122626

,,44x x -+=

=

1212122

,2()21,2x x y y x x +=

+=-++= 由题意得

3123122

(),() 1.2x x x y y y =-+=-

=-+=-

所以点P 的坐标为

2

(,1).2-

- 经验证，点P 的坐标为

2

(,1)2-

-满足方程

2

2

1,

2y x +=故点P 在椭圆C 上。

…………6分

（II ）由

2(,1)2P -

-和题设知， 2

(,1)2Q

PQ 的垂直一部分线1l 的方程为

2

.2y x =-

①

设AB 的中点为M ，则

21(

,)

42M ，AB 的垂直平分线为2l 的方程为

21.24y x =

+

②

由①、②得12,l l 的交点为

21

(,)

88N -

。

…………9分

222212222221311||()(1),2888

32

||1(2)||,2

32

||,4

221133||(

)(),48288

311

||||||,8

NP AB x x AM MN NA AM MN =-

++--==+-?-==

=++-==+=

故|NP|=|NA|。

又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|， 所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|，

由此知A 、P 、B 、Q 四点在以N 为圆心，NA 为半径的圆上 …………12分