幂函数学案3节

第4章幂函数、指数函数和对数函数

4.1幂函数的性质与图象（1）

【教学目标】

1、 在理解幂函数概念的基础上，通过对幂函数性质的研究，学生学会研究简单函数的基本思路与

基本方法。

2、 在研究幂函数性质的基础上，学生体验根据函数的性质用描点法作出函数的大致图象，并理解

作幂函数图象的一般过程，培养学生数形结合的思想。

3、在探究幂函数性质与图象过程中，学生逐步锻炼从特殊到一般、从观察到归纳的数学能力。 【教学重点】幂函数的性质与图象 【教学难点】幂函数性质的总结 【新知学习】

引入：函数反映了客观世界中变量间的相互关系。通过上一章对函数定义域、值域的确定，函数的

奇偶性、单调性和最值的讨论，使我们初步了解了研究一个函数的基本内容和思想方法。

问题：1）在初中阶段我们学过哪些函数？

正比例函数(1x y =)，反比例函数(1-=x y )， 二次函数(2x y =)， 2）这三个函数是否可以写成统一的形式呢？}2,1,1{,-∈=k x y k 3）若我们将k 推广到有理数，我们又可以得到哪些新的函数呢？

函数2

1x y =

，3

2x y =

等等。——引出幂函数

幂函数：一般地，函数k x y =（k 是常数，Q k ∈）叫做幂函数。 问题：1）为什么k 属于Q ，而不是R 呢？

在初中阶段我们学过的指数运算都是在有理数范围内运算的。

2）下面哪些是幂函数？ ①x

y 2= ②x y 2= ③2

3-

=x y ④3

2x y =

⑤2

1x y =

⑥22-=x y

(7) y=x 3

+2；(8) y= -x 2

总结判断一个函数是幂函数要求：

①底数都是自变量x ②指数是常量 ③ 幂的系数是1 ④函数为单项式

2

21

()(2)m

m f x m m x +-=+∙练习1：已知函数，m 为何值时，()f x 是

正比例函数？反比例函数？幂函数？

练习2：求过点

(2的幂函数解析式

下面我们就选择几个有代表性的k 值，来讨论这些函数的性质。 ● 探究实践 1．研究函数2

3-=x

y 的定义域、奇偶性、单调性，并作出它的大致图象。

2.研究函数3

2x y =

的定义域、奇偶性、单调性、最值，并作出它的大致图象。

问题：通过上述对幂函数的研究，你认为如何研究一个函数呢？

研究函数的定义域及其基本性质，并可根据函数性质作出函数的大致图象。

练习：研究下列幂函数的定义域、奇偶性、单调性、最值，并作出它们的图象。

●归纳总结： 根据上述研究的结果，归纳一般的结论：（完成下列表格）

● 课堂小结：1、研究一个函数的基本内容：研究函数的定义域及其基本性质。

2、 作出函数图象的基本思路：根据函数的基本性质描点作函数图象。

3、 幂函数在(0, +∞)上的性质可分为两大类：k ＞0和k ＜0

4、 幂函数的作图步骤是：根据幂函数的性质作出在(0, +∞)上的图象，

再根据其奇偶性作出在(-∞,0)上的图象。

练习：作出下列函数的大致图像

211133

34

2

,,,,y x y x y x y x y x -

-

=====

问题1.比较下列各组数中两个值的大小（在横线上填上“<”或“>”） (1) 2

1

14.3________2

1π (2) 3)1.1(-_______()3

2.1-

(3) 125.1-________122.1- 问题2.判断下列式子中a 的取值范围

3344

0.5a >

223

3

(2)

(24)a ->+

问题3.设}3,2,1,2

1,31,21,1,2{----∈α，已知幂函数α

x y =为偶函数，且在),0(+∞上

递减，试确定满足条件的幂函数，并作出它们的大致图像。

问题4.幂函数y=(m 2-3m-3)x m 在区间()+∞,0上是减函数，求m 的值。

问题5.已知(a+1)

2

1-<(3-2a)

2

1-

,试求a 的取值范围。

第4章幂函数、指数函数和对数函数

4.1幂函数的性质与图象（2）

【教学目标】

1、通过学习与实践，学生熟练掌握幂函数的概念及其图像、性质。

2、学生在运用幂函数性质的过程中，培养数形结合的数学思想。 【教学重点与难点】

幂函数的概念及其图像、性质的运用。 【新知学习】 一、复习回顾

2、 在同一张图中指数K 的大小比较

二、实践巩固

（1） 对图像及性质的应用

1、 函数,()n y x n Z =∈的图像关于原点对称，且通过原点，则n 是___________

图像关于y 轴对称且与坐标轴无公共点，则n 是_______ 2、 已知幂函数()f x 的图像经过点，求f(4)=_________ 3、 当01x <<时，幂函数n y x =的图像位于直线y=x 的下方，则n____________ 4、 幂函数(1)(,,,,p

m n

y x m n p N m n -=∈且互质）

的图像在第一、二象限且不过原点，试确定p,m,n 分别是奇数还是偶数？

5、 已知函数2

23

()n

n y x n Z --=∈的图像与坐标轴都无公共点且图像关于y 轴对称，求n 的值。

（2） 利用性质比大小及解不等式 例1：比较下列各式的大小（a>b>0）