求函数解析式的类型与方法归纳总结

函数的解析式

【教学目标】1.理解函数解析式的概念，

2. 掌握求函数解析式的常见类型及其方法。

【教学重点】掌握求函数解析式的常见类型及其方法。

【教学难点】一些简单实际问题中的函数的解析式表示。

一、知识要点：

1. 函数解析式的概念，

2. 求函数解析式的题型有：

（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；

（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法；

（3）已知函数图像，求函数解析式；

（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；

（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．

二、典例分析

1、定义法（或配凑法）

此方法是把所给函数的解析式，通过配方，凑项等方法使之变形为关于“自变量”的表达式，然后以x 代替“自变量”即得所求函数的解析式。

例1 已知21111f x x

??+=- ???，求()f x 的解析式。 解 把解析式按“自变量”11x

+变形得21111121f x x x ??????+=+-+ ? ? ???????，在上式中以x 代替11x ?

?+ ???

，得()()221f x x x x =-≠ 此方法是将函数的“自变量”或某个关系

式代之；以一个新的变量（中间变量），然后找出函数中间变量的关系，从而求出函数的解析式。

例2 已知

()1x f e x +=求()f x 解 令1x e +=t ，则()()()()()ln 11ln 11x t t f t t t =->∴=->即

()()()ln 11f x x x =->

3、待定系数法

此方法适用于所求函数的解析式表达式是多项式的情形，首先确定多项式的次数，写出它的一般表达式，然后由已知条件，根据多项式相等的条件确定待定系数。

例3 已知二次函数()f x 满足条件()01f =及()()12f x f x x +-=，求()f x 。

解 设()()20f x ax bx c a =++≠由()01f =，知c=1，

()()()()()221112f x f x a x b x c ax bx c ax a b ??+-=++++-++=++??

。由 ()()12f x f x x +-=，得22,22,0,1,1ax a b x a a b a b ++=∴=+=∴==-

4、解方程组法

此方法是将函数中解析式的变量（或关系式）进行适当的变量代换，得一个新的等式，然后与原式联立，解方程组，即可求出所求的函数。

例4 已知()12f x f x x ??+= ???

求()f x 。 解 在原式中将x 换成1x ，再与原式联立，得()()12112f x f x x f f x x x ???+= ?????????+= ????

?消去1f x ?? ???，得()2213x f x x

-= 5、赋值法

此方法是在函数定义域内，赋予变量一些特殊值，利用所给函数关系式进行化简，从而使问题获得解决。

例5 设()f x 是R 上的函数，且满足()01f =，并且对任意实数x ，y 有

()()()21f x y f x y x y -=--+，求()f x 的表达式。

解 对任意,x y ，有()()()21f x y f x y x y -=--+，∴令x=y ，得

()()()021f f x x x x =--+又()01f =，()21f x x x ∴=++。

6、、参数法

此方法是通过设参数、消参数得出函数的对应关系，从而求出

()f x 的表达式。 例6 已知()22cos 5sin f x x -=-求()f x 。

解 设所求函数()y f x =的参数表达式为22cos 5sin x t y t =-??=-?；()()

2cos 21sin 52t x t y ?=-?=-? ()()2

12+，消去参数t ，得248y x x =-+，即()[]248,1,3.f x x x x =-+∈

7、函数性质法

例7已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数，周期5T =，函数()(11)y f x x =-≤≤