2020年新高考数学基础题专练(解析版)

第3天 中档题专练（1）

一、单选题

1．（2019·安徽省淮北一中高一期中）若幂函数()f x 的图像过点(4,2)，则不等式()

2

()f x f x <的解集为

（ ）

A ．(,0)(1,)-∞?+∞

B ．(0,1)

C ．(,0)-∞

D ．(1,)+∞

【答案】D

【解析】设幂函数的解析式为()f x x α

=，

∵幂函数()f x 的图象过点(4,2)，∵24α=，

∵1

2

α=，∵12()f x x =，∵()f x 的定义域为[0,)+∞，且单调递增，

∵()2

()f x f x <等价于20

x x x ≥??>?

，解得1x >，

∵()2

()f x f x <的解集为(1,)+∞.

故选：D .

2．（2019·山东省郓城第一中学高考模拟（文））如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是（ ）

A ．221x y x =--

B ．2sin y x x =

C ．ln x

y x

=

D ．(

)

2

2x

y x x e -=

【答案】D 【解析】2sin y x x =为偶函数，其图象关于y 轴对称，∴排除B.

函数ln x

y x

=

的定义域为{}

011x x x <或，∴排除C . 对于2

21x y x =--，当2x =-时，()22

2210y -=---<，∴排除A

故选D

3．（2019·四川省高考模拟（理））函数y =2x sin2x 的图象可能是

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D

【解析】令()2sin 2x

f x x =， 因为,()2

sin 2()2sin 2()x x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，

所以()2sin 2x

f x x =为奇函数，排除选项A,B; 因为π(,π)2

x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.

4．（2019·广东省高考模拟（文））设函数()1x

2,x 12f x 1log x,x 1-≤?=->??

，则满足()f x 2≤的x 的取值范围是(

)

A ．[]

1,2- B ．[]0,2

C ．[)1,∞+

D ．[

)0,∞+ 【答案】D

【解析】当x 1≤时，1x 22-≤的可变形为1x 1-≤，x 0≥，0x 1∴≤≤． 当x 1>时，21log x 2-≤的可变形为1

x 2

≥，x 1∴≥，故答案为[)0,∞+． 故选D ．

5．（2019·山西省高考模拟（文））已知函数()x x

f x e

=，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 是奇函数，且在(,1)-∞-上是减函数 B ．函数()f x 是奇函数，且在(,1)-∞-上是增函数

C ．函数()f x 是偶函数，且在(,1)-∞-上是减函数

D ．函数()f x 是偶函数，且在(,1)-∞-上是增函数 【答案】A

【解析】由题意，函数()x x

f x e =

，可得其定义域为R ，又由()()x x

x x f x f x e e

---==-=-， 即()()f x f x -=-，所以函数()f x 是奇函数， 当(,1)x ∈-∞-时，()x x

x f x x e e

-=

=?，则()(1)x x x

f x e xe x e ='=++，则()0f x '<， 函数函数()f x 在(,1)-∞-上单调递减，故选A.

6．（2019·安徽省毛坦厂中学高考模拟（理））曲线()ln f x a x =在点()()

,P e f e 处的切线经过点()1,1--，则a 的值为（ ） A ．1 B ．2

C ．e

D ．2e

【答案】C

【解析】因为()ln f x a x =，所以()′

a

f x x

=，故()′

a

f

e e =

，又()f e a =， 所以曲线()ln f x a x =在点()(),P e f e 处的切线方程为()y a

a x e e

-=-，又该切线过点()1,1--，所以

1a

a a e

--=--，解得a e =.

故选C

7．（2019·广东省高考模拟（文））若曲线x

y e =在0x =处的切线，也是ln y x b =+的切线，则b =（ ）

A ．1-

B ．1

C ．2

D ．e

【答案】C

【解析】函数x y e =的导数为y '＝e x ，曲线x

y e =在x ＝0处的切线斜率为k ＝0e =1， 则曲线x

y e =在x ＝0处的切线方程为y ﹣1＝x ； 函数ln y x b =+的导数为y '＝1x ，设切点为（m ，n ），则1

m

＝1，解得m ＝1，n ＝2， 即有2＝ln1+b ，解得b ＝2． 故选A ．

8．（2019·海南省高考模拟（理））若直线2y kx =-与曲线13ln y x =+相切，则k =（ ）

A ．3

B ．

13

C ．2

D ．

12

【答案】A

【解析】设切点为00(,2)x kx -，

∵3y x '=，∵00

03,213ln ,

k x kx x ?=???-=+?①②

由∵得03kx =， 代入∵得013ln 1x +=， 则01x =，3k =， 故选A.

9．（2019·广东省高考模拟（理））若()f x lnx =与()2

g x x ax =+两个函数的图象有一条与直线y x =平行

的公共切线，则a =（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．3或1-

【答案】D

【解析】设在函数()ln f x x =处的切点设为（x,y ）,根据导数的几何意义得到1

11k x x

=

=?=，故切点为（1，0），可求出切线方程为y=x -1,直线和 ()2

g x x ax =+也相切，故21x ax x +=-, 化简得到()2

110x a x +-+=,只需要满足()2

1401 3.a a ?=--=?=-或

故答案为D.

10．（2019·江西省高考模拟（文））设函数()()3

2

22f x x a x x =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()

y f x =在点()1,3处的切线方程为（ ） A ．52y x =- B ．2y x =+ C ．58y x =-+

D ．4y x =-+

【答案】A

【解析】函数()()3

2

22f x x a x x =+-+，若()f x 为奇函数，

可得2a =，所以函数()3

2f x x x =+，可得()2

32f x x ='+，()13f =；

曲线()y f x =在点()1,3处的切线的斜率为：5，

则曲线()y f x =在点()1,3处的切线方程为：()351y x -=-．即52y x =-． 故选A ．

11．（2019·四川省高考模拟（文））若函数()3

=ln 3

f x x x x +-，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的倾斜角是（ ） A ．

6

π

B ．

3

π C ．

23

π D ．

56

π 【答案】B

【解析】根据题意，设切线的斜率为k ，其倾斜角是θ，

f （x ）3

x =

+lnx ﹣x ，则f ′（x ）=21x +-1，

则有k ＝f ′（1）=

则tanθ= 又由0≤θ＜π，则θ3

π

=，

故选B ．

12．（2019·湖北省高考模拟（理））已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线3y x =上，则sin2θ=（ ） A ．4

5

-

B ．

35

C ．

35

D ．

45

【答案】C

【解析】因为角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合， 终边在直线3y x =上，所以tan 3θ=， 则222

2sin cos 2tan 63

sin2sin cos tan 1105

θθθθθθθ====++． 故选C ．

13．（2020·山西省高一月考）为得到函数πcos 23y x ??

=+

??

?

的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向右平移

5π

6个长度单位 B ．向右平移

5π

12个长度单位 C ．向左平移5π

6

个长度单位

D ．向左平移5π

12

个长度单位

【答案】D 【解析】

55cos(2)sin(2)sin(2)sin 2()332612y x x x x πππππ=+=++=+=+，所以要的函数cos(2)3

y x π

=+的图

象，只需将函数sin 2y x =的图象向左平移512

π

个长度单位得到，故选D

14．（2019·北京高考模拟（文））若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（ ）

A ．sin(+)2

π

α B ．s(+

)2

co π

α C ．sin()πα+ D ．s()co πα+

【答案】D

【解析】角α的终边在第二象限，sin +

2πα?

?

??

?

＝cos α＜0，A 不符； s +2co πα?

? ???＝sin α-＜0，B 不符；

()sin πα+＝sin α-＜0，C 不符； ()s co πα+＝s co α-＞0，所以，D 正确

故选D

15．（2019·全国高考模拟（文））已知函数2

1

()sin cos 2

f x x x x =+，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的最大值为1

B ．()f x 的最小正周期为2π

C ．()y f x =的图像关于直线3

x π

=对称

D ．()y f x =的图像关于点7,012π??

???

对称 【答案】C

【解析】函数2

1()sin cos 2f x x x x =+

=1cos 231

sin 22

22

x x

sin （2x 6

π

-

）+1 对于A ：根据f （x ）＝sin （2x 6

π

-）+1可知最大值为2；则A 不对； 对于B ：f （x ）＝sin （2x 6

π

-）+1，T ＝π则B 不对； 对于C ：令2x 6

π-

=,223k k x k Z ，，故图像关于直线3

x π=对称则C 正确；

对于D ：令2x 6π

-=,2

12

k k x k

Z ，，故()y f x =的图像关于点7,112π??

???

对称则D 不对． 故选C ．

16．（2019·山东省高考模拟（理））已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πω?ω??

?

=+>>< ??

?

，其图像相邻两条对称轴之间的距离为2

π，且()f x 的图像关于点,012π??

- ???对称，则下列判断正确的是（）

A ．函数()f x 在,63ππ??

?

???

上单调递增 B ．函数()f x 的图像关于直线5

12

x π=对称

C ．当,66x ππ?∈-

?

???

?时，函数()f x 的最小值为

D ．要得到函数()f x 的图像，只需要2y x =将的图像向右平移6

π

个单位

【答案】D

【解析】函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）中，A =22T π=，∵T ＝π，ω2T

π==2， 又f （x ）的图象关于点（12

π

-，0）对称，∵ωx +φ＝2×（12

π

-

）+φ＝k π，

解得φ＝k π6π+

，k ∵Z ，∵φ6

π

=；

∵f （x ）=（2x 6

π

+）；

对于A ，x ∵[6π，3π

]时，2x 6π+∵[2π，

56π]，f （x ）是单调递减函数，错误．

对于B ，x 512π=时，f （512π）=（25126ππ?+）＝0，f （x ）的图象不关于x 512

π

=对称，错误；

对于C ，x ∵[6π-，6π]时，2x 6π+∵[6π-，2π]，sin （2x 6π+）∵[12-，1]，f （x ）的最小值为，C 错误；

对于D ，y =

x 向右平移

6

π

个单位，得y =（x 6π-）=（2x 3π-）的图象，

且y =（2x 3π-）=（3π-2x ）=（2x 6

π

+），∵正确；

故选：D ．

17．（2020·广东省高三月考（文））已知正方体的六个面的中心可构成一个正八面体,现从正方体内部任取一个点,则该点落在这个正八面体内部的概率为（ ） A ．

1

2

B ．

13

C ．

16

D ．

112

【答案】C

【解析】设正方体的棱长是1,

构成的八面体可以看作是由两个正四棱锥组成, 以上面一个正四棱锥为例, 它的高等于正方体棱长的一半

12

,

正四棱锥的底面边长根据勾股定理可知是

,

∵这个正四棱锥的体积是

111322212

??=； ∵构成的八面体的体积是211

126

?

=； ∵八面体的体积是V 1,正方体体积是V 2,V 1：V 2＝1：6

故从正方体内部任取一个点,则该点落在这个正八面体内部的概率为：1

6

； 故选：C

18．（2020·全国高一课时练习）已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，∵ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∵CEF =90°，则球O 的体积为

A ．

B ．

C ．

D

【答案】D 【解析】解法一:

,PA PB PC ABC ==?为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，

PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点， //EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CE

AC C EF =∴⊥平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，

APB PA PB PC ∴∠=90?,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，2R ==

34433R V R =

∴=π==π，故选D ．

解法二:

设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，

//EF PB ∴，且1

2

EF PB x =

=，ABC ?为边长为2的等边三角形，

CF ∴=又90CEF ∠=?1,2

CE AE PA x ∴===

AEC ?中余弦定理()2243cos 22x x EAC x

+--∠=

??，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，

D 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，22431

42x x x x +-+∴=，

221

2122

x x x ∴+=∴=

=

，PA PB PC ∴======2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两

垂直，2R ∴==2R ∴=

，344338

V R ∴=π=π?=，故选D. 19．（2020·六盘山高级中学高一期末）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知1AB =，D 在棱1BB 上，且1BD =，则AD 与平面11BB C C 所成角的正弦值为（ ）

A B C D 【答案】A

【解析】如下图所示，取BC 的中点E ，连接AE 、DE ，

在正三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，ABC ?为等边三角形，

AE ?平面ABC ，1AE BB ∴⊥，E 为BC 的中点，AE BC ∴⊥，

1

BB BC B =，AE ∴⊥平面11BB C C ，DE ?平面11BB C C ，AE DE ∴⊥.

所以，直线AD 与平面11BB C C 所成的角为ADE ∠，

1AB =，3

sin 602

AE AB ∴==

，AD ==

sin AE ADE AD ∴∠=

=

，即AD 与平面11BB C C 故选：A.

20．（2020·六盘山高级中学高一期末）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且1

2

EF =

，则下列结论中错误的是

A ．AC BE ⊥

B ．//EF ABCD 平面

C ．三棱锥A BEF -的体积为定值

D ．AEF BEF ??的面积与的面积相等 【答案】D

【解析】可证11AC D DBB AC BE ⊥⊥平面，从而，故A 正确；由

∵平面ABCD ，可知

//EF ABCD 平面，

B 也正确；连结BD 交A

C 于O ，则AO 为三棱锥A BEF -的高，，

三棱锥A BEF -的体积为为定值，C 正确；D 错误。选D 。