最新北师大版初三数学二次函数练习题

二次函数的图像与性质同步检测一、选择题1．抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是（ ）A ．（-1，2）B ．（-1，-2）C ．（1，2）D ．（1，-2）2．函数k y x=与2y kx k =-+（k ≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A ． B.C ．D.3．在下列二次函数中，其图象对称轴为x =-2的是（ ）A ．22y x =+（）B ．222y x =-C ．222y x =-- D ．222y x =-（） 4．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，下列结论：①二次三项式2ax bx c ++的最大值为4；②4a +2b +c ＜0；③一元二次方程21ax bx c ++=的两根之和为-1；④使y ≤3成立的x 的取值范围是x ≥0．其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．在同一直角坐标系中，函数2y kx k =-和y =kx +k （k ≠0）的图象大致是（ ）A. B. C.D.6．如图图形中，阴影部分面积相等的是（ ）A ．甲 乙B ．甲 丙C ．乙 丙D ．丙 丁7．王芳将如图所示的三条水平直线1m ，2m ，3m 的其中一条记为x 轴（向右为正方向），三条竖直直线4m ，5m ，6m 的其中一条记为y 轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了抛物线263y ax ax =--，则她所选择的x 轴和y 轴分别为（ ）A ．1m ，4mB ．2m ，3mC ．3m ，6mD ．4m ，5m8．已知抛物线y =ax 2+bx +c 开口向下，顶点坐标（3，-5），那么该抛物线有（ ） A ．最小值-5 B ．最大值-5 C ．最小值3 D ．最大值39．抛物线222y x x =-+-经过平移得到2y x =-，平移方法是（ ）A ．向右平移1个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位C ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位D ．向左平移1个单位，再向下平移1个单位10．若（2，5）、（4，5）是抛物线2y ax bx c =++上的两个点，则它的对称轴是（ ）A ．b x a=- B ．x =1 C ．x =2 D ．x =3 11．若点A （2，1y ），B （-3，2y ），C （-1，3y ）三点在抛物线24y x x m =--的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ）A ．123y y y ＞＞B ．213y y y ＞＞C ．231y y y ＞＞D ．312y y y ＞＞ 12．若函数222x y x x c-=-+的自变量x 的取值范围是全体实数，则c 的取值范围是（ ） A ．c ＞1 B ．c =1 C ．c ＜1 D ．c ≤113．二次函数2y x x m =-+（m 为常数）的图象如图所示，当x =a 时，y ＜0；那么当x =a -1时，函数值（ ）A ．y ＜0B ．0＜y ＜mC ．y ＞mD ．y =m14．直角坐标平面上将二次函数2212y x =---（）的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其顶点为（ ）A ．（0，0）B ．（1，-2）C ．（0，-1）D ．（-2，1）15．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y （元）与每件销售价x （元）之间的关系满足22201558y x =--+（），由于某种原因，价格只能15≤x ≤22，那么一周可获得最大利润是（ ）A ．20B ．1508C ．1558D ．1585二、填空题16．已知二次函数22y m x =-（）的图象开口向下，则m 的取值范围是17．黄冈中学是百年名校，百年校庆上的焰火晚会令很多人记忆犹新．有一种焰火升高高度为h （m ）与飞行时间t （s ）的关系式是252012h t t =-++，若这种焰火在点燃升空后到最高处引爆，则从点火到引爆所需时间为 s ．18．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点P （a ，bc ）在第 象限．19．二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，给出下列说法：①ac ＞0；②2a +b =0；③a +b +c =0；④当x ＞1时，函数y 随x 的增大而增大；⑤当y ＞0时，-1＜x ＜3．其中，正确的说法有 （请写出所有正确说法的序号）．20．已知抛物线2y ax bx c =++（a ＜0）过A （-2，0）、O （0，0）、B （-3，1y ）、C （3，2y ）四点，则1y 与2y 的大小关系是三、解答题21．已知抛物线2142y x x =--+，（1）用配方法确定它的顶点坐标、对称轴；（2）x 取何值时，y 随x 增大而减小？（3）x 取何值时，抛物线在x 轴上方？22．用配方法把函数23610y x x =--+化成2y a x h k =-+（）的形式，然后指出它的图象开口方向，对称轴，顶点坐标和最值．23．已知m ，n 是关于x 的方程2260x ax a -++=的两实根，求2211y m n =-+-（）（）的最小值．24．把抛物线212y x =平移得到抛物线m ，抛物线m 经过点A （-6，0）和原点O （0，0），它的顶点为P ，它的对称轴与抛物线212y x =交于点Q ．（1）求顶点P 的坐标；北师大版数学九年级下册第2章第2节二次函数的图像与性质同步检测1．答案：C解析：解答：∵顶点式2y a x h k =-+（），顶点坐标是（h ，k ）， ∴抛物线y =（x -1）2+2的顶点坐标是（1，2）．故选：C ．分析：利用抛物线顶点式的特点直接写出顶点坐标．此题考查了求抛物线的顶点坐标的方法．熟记二次函数的顶点式的形式是解题的关键．2．答案：B解析：解答：由解析式2y kx k =-+可得：抛物线对称轴x =0；A ．由双曲线的两个分支分别位于二、四象限，可得k ＜0，则-k ＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y 轴的交点为y 轴的负半轴上；本图象与k 的取值相矛盾，故A 错误；B ．由双曲线的两个分支分别位于一、三象限，可得k ＞0，则-k ＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，本图象符合题意，故B 正确；C ．由双曲线的两个分支分别位于一、三象限，可得k ＞0，则-k ＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，本图象与k 的取值相矛盾，故C 错误；D ．由双曲线的两个分支分别位于一、三象限，可得k ＞0，则-k ＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，本图象与k 的取值相矛盾，故D 错误． 故选：B ．分析：此题可以先根据反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看一看是否一致．解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的特点判断k 的取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与y 轴的交点是否符合要求．3．答案：A解析：解答：22y x =+（）的对称轴为x =-2，故A 正确；222y x =-的对称轴为x =0，故B 错误；222y x =--的对称轴为x =0，故C 错误；222y x =-（）的对称轴为x =2，故D 错误．故选：A ．分析：根据二次函数的性质求出各个函数的对称轴，依次进行判断，选出正确的选项．本题考查的是二次函数的性质，正确求出二次函数图象的对称轴是解题的关键．4．答案：B解析：解答：∵抛物线的顶点坐标为（-1，4），∴二次三项式2ax bx c ++的最大值为4，故①正确；∵x =2时，y ＜0，∴4a +2b +c ＜0，故②正确；根据抛物线的对称性可知，一元二次方程21ax bx c ++=的两根之和为-2，故③错误； 使y ≤3成立的x 的取值范围是x ≥0或x ≤-2，故④错误，故选：B ．分析：此题考查的是二次函数的图象、二次函数的最值、二次函数与不等式，掌握二次函数的性质、正确获取图象信息是解题的关键．①根据抛物线的顶点坐标确定二次三项式2ax bx c ++的最大值；②根据x =2时，y ＜0确定4a +2b +c 的符号；③根据抛物线的对称性确定一元二次方程21ax bx c ++=的两根之和；④根据函数图象确定使y ≤3成立的x 的取值范围．5．答案：D解析：解答：A ．由一次函数y =kx +k 的图象可得：k ＞0，此时二次函数2y kx k =-的图象应该开口向上，错误；B ．由一次函数y =kx +k 图象可知，k ＞0，此时二次函数2y kx k =-的图象顶点应在y 轴的负半轴，错误；C ．由一次函数y =kx +k 可知，y 随x 增大而减小时，直线与y 轴交于负半轴，错误；D ．正确．故选：D ．分析：先根据一次函数的图象判断k 的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．本题考查的是一次函数和二次函数的图象，解答此类题要熟练掌握一次函数y =kx +b 在不同情况下所在的象限，以及二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标． 6．答案：B解析：解答：甲：直线443y x =-+与x 轴交点为（3，0），与y 轴的交点为（0，4），则阴影部分的面积为12×3×4=6； 乙：阴影部分为斜边为4的等腰直角三角形，其面积为12×4×2=4；丙：抛物线2229y x =-与x 轴的两个交点为（-3，0）与（3，0），顶点坐标为（0，-2），则阴影部分的面积为12×6×2=6； 丁：此函数是反比例函数，那么阴影部分的面积为12×6=3； 因此甲、丙的面积相等，故选：B ．分析：甲、丙：根据函数解析式求出图象与x 轴，y 轴的交点坐标，再计算阴影部分的面积；乙：可判断出阴影部分为斜边为4的等腰直角三角形，据此计算阴影部分的面积；丁：利用反比例函数系数k 的几何意义求出阴影部分的面积．此题考查了函数图象与坐标轴交点坐标的求法以及图形面积的求法，熟练掌握各类函数的图象特点是解决问题的关键． 7．答案：A解析：解答：∵抛物线263y ax ax =--的开口向上，∴a ＞0，∵2263339y ax ax a x a =--=---（）， ∴抛物线的对称轴为直线x =3，∴应选择的y 轴为直线4m ；∵顶点坐标为（3，-3-9a ），抛物线263y ax ax =--与y 轴的交点为（0，-3），而-3-9a ＜-3，∴应选择的x 轴为直线1m ，故选：A ．分析：根据抛物线开口向上可知a ＞0，将抛物线配方为2339y a x a =---（），可得抛物线的对称轴为x =3，顶点纵坐标为-3-9a ，由此结合图象得到答案．此题考查了二次函数的图象，理解二次函数的图象与各系数的关系是解题的关键，注意数形结合思想的运用． 8．答案：B解析：解答：因为抛物线开口向下和其顶点坐标为（3，-5），所以该抛物线有最大值-5．故选：B ．分析：由抛物线的开口向下和其顶点坐标为（3，-5），根据抛物线的性质可以做出判断． 9．答案：C解析：解答：∵222211y x x x =-+-=---（）的顶点坐标为（1，-1），平移后抛物线2y x =-的顶点坐标为（0，0），∴平移方法为：向左平移1个单位，再向上平移1个单位．故选：C ．分析：由抛物线222211y x x x =-+-=---（）得到顶点坐标为（1，-1），而平移后抛物线2y x =-的顶点坐标为（0，0），根据顶点坐标的变化寻找平移方法．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．10．答案：D解析：解答：因为抛物线与x 轴相交于点（2，5）、（4，5），根据抛物线上纵坐标相等的两点，其横坐标的平均数就是对称轴， 所以，对称轴242x +==3； 故选：D ．分析：因为点（2，5）、（4，5）是该抛物线上关于对称轴对称的两点，所以只需求出两对称点横坐标的平均数即可．此题考查了二次函数的对称性．11．答案：C解析：解答：∵二次函数24y x x m =--中a =1＞0，∴开口向上，对称轴为x =2b a-=2， ∵A （2，1y ）中x =2，∴1y 最小，又∵B （-3，2y ），C （-1，3y ）都在对称轴的左侧，而在对称轴的左侧，y 随x 得增大而减小，所以23y y ＞．∴231y y y ＞＞．故选：C ．分析：首先求出二次函数24y x x m =--的图象的对称轴，然后判断出A （2，1y ），B （-3，2y ），C （-1，3y ）在抛物线上的位置，最后根据二次函数的增减性求解．解答此题的关键是（1）找到二次函数的对称轴；（2）掌握二次函数20y ax bx c a =++≠（）的图象性质．12．答案：A解析：解答：由题意，得△=224c 0--（）＜，解得c ＞1．故选：A ．分析：先根据分式的意义，分母不等于0，得出220x x c -+≠，再根据二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象性质，可知当二次项系数a ＞0，△＜0时，有y ＞0，此时自变量x 的取值范围是全体实数．要使得此题函数式子有意义，必须满足分母不等于0．难点在于分母是关于自变量x 的二次函数，要使自变量x 的取值范围是全体实数，必须满足△＜0．13．答案：C解析：解答：当x =a 时，y ＜0，则a 的取值范围是12x a x ＜＜，又对称轴是x =12， 所以a -1＜0，当x ＜12时，y 随x 的增大而减小， 当x =0时，函数值是m ．因而当x =a -1＜0时，函数值y 一定大于m ．故选：C ．分析：根据对称轴及函数值判断a 的取值范围，从而得出a -1＜0，因为当x ＜12时，y 随x 的增大而减小，所以当x =a -1＜0时，函数值y 一定大于m ．此题主要考查二次函数的对称轴，以及增减性．14．答案：C解析：解答：由题意得原抛物线的顶点为（1，-2），∵图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，∴新抛物线的顶点为（0，-1）．故选：C ．分析：易得原抛物线顶点，把横坐标减1，纵坐标加1即可得到新的顶点坐标．此题考查二次函数的平移问题；用到的知识点为：二次函数图象的平移与顶点的平移一致． 15．答案：C解析：解答：∵一周利润y （元）与每件销售价x （元）之间的关系满足22201558y x =--+（），且15≤x ≤22，∴当x =20时，y 1558=最大值．故选：C ．分析：因为该二次函数的开口方向向下，所以当x -20=0时，y 取最大值．此题考查了二次函数的最值．此题要注意x 的取值范围，在15≤x ≤22范围内求解．二、填空题16．答案：m ＜2解析：解答：∵二次函数22y m x =-（）的图象开口向下， ∴m -2＜0，∴m ＜2，故答案为：m ＜2．分析：由图象的开口方向知m -2＜0，确定m 的取值范围．考查了二次函数的性质，二次项系数决定了开口方向，大于零开口向上，小于零开口向下．17．答案：4解析：解答：根据题意，得焰火引爆处为抛物线的顶点处，顶点处的横坐标即代表从点火到引爆所需时间， 则t =1205-⨯-=4s ， 故答案为：4．分析：根据关系式可知焰火的运行轨迹是一个开口向下的抛物线，已知焰火在升到最高时引爆，即到达抛物线的顶点时引爆，顶点横坐标就是从点火到引爆所需时间．利用二次函数的性质，结合图象与实际问题的联系进行解答．18．答案：一解析：解答：从图象得出，二次函数的对称轴在y 轴的右侧，且开口向上，∴a ＞0，2b a-＞0，所以b ＜0， ∵二次函数的图象与y 轴交于y 轴的负半轴，∴c ＜0，∴a ＞0，bc ＞0，则点P （a ，bc ）在第一象限．故答案为：一．分析：只要根据二次函数的图象及性质判断出a 及bc 的符号，就可得出点P （a ，bc ）所在象限．此题考查了二次函数图象的对称轴、开口方向与y 轴的交点与系数的关系． 19．答案：②⑤解析：解答：∵抛物线的开口向下，与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，∴a ＜0，c ＞0，∴ac ＜0，∴①错误； 由图象可知：12b a-=， ∴2a +b =0，∴②正确；当x =1时，y =a +b +c ＞0，∴③错误；由图象可知：当x ＞1时，函数y 随x 的增大而减小，∴④错误；根据图象，当-1＜x ＜3时，y ＞0，∴⑤正确；正确的说法有②⑤．故答案为：②⑤分析：①由图象开口向下和与y 轴的交点位置，求出a ＜0，c ＞0判断；②由抛物线的顶点的横坐标12b a-=判定；③把x =1代入抛物线，根据纵坐标y 的值判断；④根据图象的性质（部分图象的延伸方向）判断；⑤根据图象在x 轴的上方时，y ＞0，即可求出．注意：根据抛物线的开口方向即可得到a 的正负，根据抛物线与y 轴的交点的纵坐标即可求出c 的值，根据顶点的横坐标得出2a 和b 的关系式，把x =1或（-1）代入即可求出a +b +c 和a -b +c 的值．20．答案：12y y ＞解析：解答：∵抛物线与x 轴交于A （-2，0）、O （0，0）两点，∴抛物线对称轴为x =202-+=-1， ∵B （-3，1y ）、C （3，2y ），点B 离对称轴较近，且抛物线开口向下，∴12y y ＞．故答案为：12y y ＞．分析：由已知得抛物线与x 轴交于A （-2，0）、O （0，0）两点，开口向下，对称轴为x =202-+=-1，可知B 、C 两点在对称轴的两边，点B 离对称轴较近，再根据抛物线图象进行判断．此题考查了二次函数的增减性．熟练掌握：当二次项系数a ＞0时，在对称轴的左边，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右边，y 随x 的增大而增大；a ＜0时，在对称轴的左边，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右边，y 随x 的增大而减小．三、解答题21．答案：（-1，92）｜直线x =-1 答案：x ＞-1答案：-4＜x ＜2解析：解答：（1）∵2142y x x =--+=12-228x x +-（）=12-2 [(1)9]x +-=12-29(1)2x ++， ∴它的顶点坐标为（-1，92），对称轴为直线x =-1； （2）∵抛物线对称轴是直线x =-1，开口向下，∴当x ＞-1时，y 随x 增大而减小；（3）当y =0时，12-29(1)2x ++=0 解得1x =2，2x =-4，而抛物线开口向下，∴当-4＜x ＜2时，抛物线在x 轴上方．分析：（1）用配方法写成顶点式，根据顶点式的坐标特点求顶点坐标及对称轴；（2）对称轴是x =-1，开口向下，根据对称轴及开口方向确定函数的增减性；（3）令y =0，确定函数图象与x 轴的交点，结合开口方向判断x 的取值范围．注意：抛物线的顶点式适合与确定抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，最大（小）值，增减性等；抛物线的交点式适合于确定函数值y ＞0，y =0，y ＜0．22．答案：向下｜x =-1｜（-1，13）｜最大值13解析：解答：∵2236103113y x x x =--+=-++（）， ∴开口向下，对称轴x =-1，顶点坐标（-1，13），最大值13．分析：这个函数的二次项系数是-3，配方法变形成2y a x h k =++（）的形式，配方的方法是把二次项，一次项先分为一组，提出二次项系数-3，加上一次项系数的一半，就可以变形成顶点式的形式．二次函数的顶点式是：2y a x h k =-+（）（a ≠0，且a ，h ，k 是常数），它的对称轴是x =h ，顶点坐标是（h ，k ）．23．答案：8解析：解答：依题意△=2446a a -+（）≥0， 即260a a --≥，∴a ≤-2或a ≥3，由m +n =2a ，mn =a +6，2222y m n m n =+-++（）2222m n mn m n =+--++（）（）24610a a =--23494()44a =--，∴a =3时，y 的最小值为8．故答案为：8．分析：根据方程有两个根，利用根的判别式求出a 的取值范围，再根据根与系数的关系求出m +n 与mn 的值，然后把2211y m n =-+-（）（）整理成m +n 与mn 的形式，代入进行计算求解．此题考查了二次函数的最值问题，根的判别式，利用根的判别式求出a 的取值范围是解题的关键．24．答案：（-3，92-）答案：先向左平移3个单位，再向下平移92个单位 答案：272解析：解答：（1）平移的抛物线解析式为1(6)2y x x =+=2132x x + =219(3)22x +-，所以顶点P 的坐标为（-3，92-）；（2）把抛物线212y x =先向左平移3个单位，再向下平移92个单位即可得到抛物线219(3)22y x =+-； （3）图中阴影部分的面积=OPQ 127S 3922∆=⨯⨯=．分析：（1）先利用交点式确定平移后的抛物线解析式，然后配成顶点式得到P 点坐标；（2）利用顶点的平移过程得到抛物线的平移过程；（3）根据平移得到图中阴影部分的面积OPQ S ∆=，然后根据三角形面积公式计算．此题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，所以a 不变．求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，求出解析式．。