第8讲 一次方程(组)
第08讲一元一次方程的概念与解法(8大考点)(解析版)
第08讲（4大考点7种解题方法）一、方程和一元一次方程的概念1）方程：含有未知数的等式。
如何判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．例：3x=5y+2；100x=200；3x 2+2y=3等2）一元一次方程：只含有一个未知数（元，隐含未知数系数不为0），未知数的次数是1（次），等号两边都是整式（整式：未知数的积，而非商）的方程。
如何判断一元一次方程：①整式方程；②只含一个未知数，且未知数的系数不为0；③未知数的次数为1. 例：3112=+x ；3112=+x ；3m-2n=5；3m=5；6x 2-12=0 二、方程的解与解方程1)方程的解：使方程两边相等的未知数的值解方程：求方程的解的过程三、等式的性质1）等式两边同加或同减一个数（或式子），等式仍然成立。
即：c b c a ±=±=，则若b a （注：此处字母可表示一个数字，也可表示一个式子）2）等式两边同乘一个数（或式子），或同除一个不为零的数（式子），等式仍然成立。
即：⎩⎨⎧≠÷=÷⨯=⨯=0c c b c a c b c a b a ，，则若（此处字母可表示数字，也可表示式子） 例：3x+7=2-2x 3x+7+2x=2-2x+2x 3x+7+2x-7=2-2x+2x-7 5x=-5 5x ÷5=-5÷5 x=-13）其他性质：①对称性：若a=b ，则b=a ；②传递性：若a=b ，b=c ，则a=c 。
四、合并同类项解一元一次方程（1）合并同类项：将同类项合并在一起的过程方法：1）合并同类项；2）系数化为1五、移项解一元一次方程（1）移项例：2x-3=4x-72x-3+3=4x-7+3（利用等式的性质） （左边的﹣3变到右边变成了+3）2x=4x-4考点考向2x-4x=4x-4-4x （利用等式的性质） （右边的4x 变到左边变成了－4x ）-2x=-4 x=24−− x=2①我们发现，利用等式两边同加或同减一个数（式子），等式不变的性质，可以将方程化为同类项在同一边的情形（即未知数在一边，数值在另一边）。
第八讲 一元一次方程复习
所以他说此方程无解。你觉得他做得对 吗？为什么？ 那“因为ac=bc，所以a=b‖推理对吗？
6.若
(m 2) x
m 1
5 是一元一次方程，则m
的值是多少？
7、解下列方程
(1)3( x 5) 2( x 2) 5( x 7) 3 2 x (3) [ ( 1) 2] x 2 2 3 4 2 x 1 2(2 x 1) 5(2 x 1) (5) 40 2 3 6 x 1 x2 (2) 2 2 5 x 3 2 x 0.1 (4) 1 0.3 0.2
去分母时，方程右边的-1没有乘3，因 而得方程的解为x=2，试求a 的值，并 正确的解方程.
3 3 已知5( x ) 3 2, 求代数式7 2007( x ) 2006 2006 的值.
解：
3 5( x 2006) 2 3 3 5( x )5 2006 3 x 1 2006
(
a0
)
知识点练习一 1.下列说法中正确的是 （ A ） A.方程是等式 B.等式是方程 C.含有字母的等式是方程 D.不含有字母的方程是等式 ２.若关于x的方程2x2m-3+m=0是一元一次方程， 则m=_____，方程的解是＿＿。 方程的解是指能使方程左右两 边相等的未知数的值。 １.什么是方程的解， 知识点复习二 什么是解方程？ 解方程是指求出方程 的解的 过程。
2、已知 x = y，下列 变形中不一定正确的是 需注意的是“两边都乘， （ D） 不要漏乘”；“同除一 A.x-5=y-5 B.-3x=-3y 个非0的数” x y C.mx=my D. 2 2 c c
知识点复习四、 5.解一元一次方程的一般步骤有哪些？ 它的根据是什么？ 1、去分母：不要漏乘分母为1的项。 2、去括号：注意符号 3、移项：①将含有未知数的项移到等式的 一边； 将常数项 移到另一边；②注意“变号”
中考数学第一轮考点系统复习第二章方程(组)与不等式(组)第8讲一元一次不等式(组)及其应用(练本)课
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谢谢观独具赏方为先
匠心可成锋 Y o u m a d e m y d a y !
我们，还在路上……
场最多能购买50个甲种奖品.
(2)学校计划购买甲、乙两种奖品共100个，且此次购买奖品的费用不超过2 000元.正逢商场促销，所有商品一律八折销售，求学校在商场最多能购买 多少个甲种奖品.
解：设学校在商场购买m个甲种奖品，则购买(100－m)个乙种奖品. 根据题意，得30×0.8m＋20×0.8(100－m)≤2 000， 解得m≤50. 答：学校在商场最多能购买50个甲种奖品.
解：设购进电视机x台，则购进洗衣机(100－x)台.
根据题意，得
x
1 (100 x)， 2
1800x 1500(100 x) 161800，
解得 33 1 x 39 1 .
3
3
∵x为整数，
∴x可以取34，35，36，37，38，39，
∴商店共有6种进货方案.
11.学校准备为“趣味数学”比赛购买奖品.已知在商场购买3个甲种奖品和2 个乙种奖品共需130元，购买6个甲种奖品和5个乙种奖品共需280元.
3倍，购进A，B两种风扇的总金额不超过1 170元.根据以上信息，小丹共
有哪些进货方案？ 解：设购进A型风扇m台，则购进B型风扇(100－m)台.
根据题意，得
m 3(100 m),
10m
16(100
m)
解得71 2
1170，
3
m 75.
∵m为正整数，∴m可以取72，73，74，75，∴小丹共有4种进货方案：
12.(2020·德州)若关于x的不等式组
第8讲二元一次方程组的含参问题ppt课件
y=5① by=2②
，由于甲看错了①中
a，得到方程组的解为
x=
y=5
6
，乙看
错了方程组②中的
b，得到方程组的解为
x=4
y=3
，若按照正确的
a，b
计算，请求出方程组的
解．
【答案】解：把
x= y=5
6
代入
3x＋by＝2
中得：b＝4，
把
x=4
y=3
代入
ax－y＝5
中得：a＝2，
原方程组为
2x 3x
．
【变 1】对 x，y 定义一种新运算“※”，规定：x※y＝mx＋ny(其中 m，n 均为非零常数)，若
1※1＝4，1※2＝3，则 2※1 的值是( )
A．3
B．5
C．9
D．11
【答案】C
【变 2】规定“△”为有序实数对的运算，如果(a，b)△(c，d)＝(ac＋bd，ad＋bc)．如果
对任意实数 a，b 都有(a，b)△(x，y)＝(a，b)，则(x，y)为( )
当两个二元一次方程组同解时，可利用两个不含有字母参数的二元一次方程组成方程组， 并求出方程组的解，然后利用这个解得到关于字母参数的方程组，解方程组进而求得字母参 数的值．
【例
2】已知方程组
3x mx
y=8 y=n
和
x 2
ny=m x y=7
有相同的解，则
m＝_________，n＝_________．
y=5
的解
x
和
y
相等，则
a
的值为(
A．1
B．2
C．3
【答案】C
) D．4
【变
6】已知方程组
第8讲 列方程解应用题
1．(2012·云南)某企业为严重缺水的甲、乙两所学校捐 赠矿泉水共2000件，已知捐给甲校的矿泉水件数比捐给乙 校件数的2倍少400件，求该企业捐给甲、乙两所学校的矿 泉水各多少件．
解：设该企业捐给乙校的矿泉水件数是x，则捐给甲校 的矿泉水件数是2x－400，依题意得方程(2x－400)＋x＝ 2000，解得x＝800，2x－400＝1200.即该企业捐给甲校的 矿泉水1200件，捐给乙校的矿泉水800件
【点评】 (1)现实生活中存在大量的实际应用 问题，需要用一元二次方程的知识去解决，解决 这类问题的关键是在充分理解题意的基础上，寻 求问题中的等量关系，从而建立方程．(2)解出 方程的根要结合方程和具体实际选择合适的根， 舍去不合题意的根．
4．(2014·新疆)如图，要利用一面墙(墙长为25米)建 羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三 个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为 多少米．
A．438(1＋x)2＝389 B．389(1＋x)2＝438 C．389(1＋2x)＝438 D．438(1＋2x)＝389
5．(2014·随州)某小区2012年屋顶绿化面积为2000平
方米，计划2014年屋顶绿化面积要达到2880平方米
．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个
增长率是 20%
(1)若每副乒乓球拍的价格为x元，请你用含x的代数 式表示该校购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总费用；
(2)若购买的两种球拍数一样，求x.
解：(1)(4000＋25x)元 (2)购买每副乒乓球拍用去了 x 元，则购买每副羽毛球拍 用去了(x＋20)元，由题意得20x00＝20x0＋0＋2205x，解得 x1＝40，x2＝－40，经检验，x1，x2 都是原方程的根， 但 x＞0，∴x＝40.即每副乒乓球拍的价格为 40 元
第8讲 一元一次不等式(组)及其应用
元/千克，B种水果收购单价15元/千克.
(1)求A，B两种水果各购进多少千克.
(2)已知A种水果运输和仓储过程中质量损失4%，若合作社计划
A种水果至少要获得20%的利润，不计其他费用，求A种水果的
最低销售单价.
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解:(1)设A种水果购进x千克，B种水果购进y千克，
③从反面求解确定;④借助数轴确定.
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变式4－1 [2025·预测]若关于x的不等式组
+1
＜ －1，
3
2
＜4
无
解，则m的取值范围是_________.
m≤2
【解析】
−1
解不等式
＜ －1，得x＞8.
3
2
∵不等式组无解，∴4m≤8，解得m≤2.
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4－2 ≥ 0，
＋2＝110，
＝50，
由题意，得
解得
＝30.
2＋3＝190，
答:脐橙树苗的单价为50元/棵，黄金贡柚树苗的单价为30元/棵.
(2)设可以购买脐橙树苗m棵，则购买黄金贡柚树苗(1 000－m)棵，
由题意，得50m＋30(1 000－m)≤38 000，解得m≤400.
答:最多可以购买脐橙树苗400棵.
正数
同一个负数，必须__________________，所得的不等式成立.
改变不等号的方向
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3.一元一次不等式
(1)一元一次不等式:不等号的两边都是整式，而且只含有一个
未知数，未知数的最高次数是_________次，这样的不等式叫
人教版初中数学中考考点系统复习 第8讲 一元一次不等式(组)及其应用
；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为
.
自主解答： （Ⅰ）x≤1 （Ⅱ）x≥－3 （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图所示.
（Ⅳ）－3≤x≤1
解不等式（组）的注意事项 1.去分母时，不能漏乘不含分母的项； 2.去分母时，整个分子要用括号括起来，防止出现符号错误； 3.系数化为1时，不等式两边同时除以或乘同一个负数，不等号方向要改变； 4.用数轴表示解集时，不要忽略“实心圆点”与“空心圆圈”的区别.
次不等式组.
知识点3 一元一次不等式（组）的解法
一元一次不 等式的解法
不等式组 的解法
（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；
（5）系数化为1
一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集，并表示在数轴
上，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集.用数轴表
示解集时注意⑩ 实心点 和⑪ 空心圈 的意义
每个排球的进价是每个篮球的进价的90%，用3600元购买排球的个数要比用 3600元购买篮球的个数多10个. （1）问每个篮球、排球的进价各是多少元？ （2）该文体商店计划购进篮球和排球共100个，且排球个数不低于篮球个数的 3倍，篮球的售价定为每个100元，排球的售价定为每个90元.若该批篮球、排 球都能卖完，问该文体商店应购进篮球、排球各多少个才能获得最大利润？最 大利润是多少？
不等号
㉓＞
㉔＜
㉕≥
㉖≤
【温馨提示】 已知一元一次不等式（组）的解集，确定待定字母的取值范围的方法：①
逆用不等式（组）的解集确定；②分类讨论确定；③从反面求解确定；④借助 数轴确定.
考点1 不等式的性质及一元一次不等式（组）的解法 考点精讲
第08讲 实际问题与一元一次方程
第08讲 实际问题与一圆一次方程考点·方式·破译1．会思路实际问题中地数量关系,从而建立数学模型•2．熟练掌握运用方程解决实际问题•经典·考题·赏析【例１】（贵阳）由调查地统计,个体服装店销售衣服只要高出进价地20%便可盈利,但老板们常以高出进价50%～100％标价,假如购买一件衣服标价为300圆地服装,应在什么范围内还价？【解法指导】市场营销中涉及地数量关系：⑴商品利润＝商品售价－商品进价：⑴商品利润率＝商品进价商品利润。
⑶商品售价＝进价×（1+利润率）解：设原进价为x 圆,由题意得①当利润为50%时：（1+50%)x ＝400 解得x ＝3800②当利润为100%时：（1+100%)x ＝400 解得x ＝200所以：3800×（1+20%）＝320（圆） 200×（1+20%）＝240（圆）答：应在240～320圆范围内还价•【变式题组】01．（黑龙江）某超市推出如下地优惠方案：⑴一次性购物不超过100圆不享受优惠。
⑵一次性购物超过100圆但不超过300圆一律九折。
⑶一次性购物超过300圆一律八折•王波两次购物分别付款80圆，252圆•假如王波一次性购买与上两次相同地商品,则应付款（ ）A ．288圆B ．322圆C ．288或316圆D ．332或363圆02．（北京市海淀区）白云商场购进某种商品地进价是每件8圆售价是每件10圆•为了扩大销售量把每件商品地售价降低百分之x 出售要求卖出一件所获得地利润是降价前所获得地利润地百分之90,则x 等于（ ）A ．1B ．1.8C ．28D ．2903．（菏泽）某书店把一本新书按标价地九折出售,仍可获利20%,若该书地进价为21圆,则标价为（ ）A ．26圆B ．27圆C ．28圆D ．29圆【例２】（南京）某停车场收费标准如下：中型汽车地停车费为6圆/辆,小型汽车地停车费为4圆/辆,某天有45辆中小型车中，小型汽车,这些车共缴纳停车费230圆,停车场中，小型汽车各有多少辆？【解法指导】本题中地等量关系：缴费停车总数＝中型停车费+小型停车费•解：设中型车辆有x 辆,则小型车辆有(50－x )辆,由题意得6x +4(50－x )＝230,解得x ＝15 50－x ＝35答：中小型车辆分别是15辆，35辆•【变式题组】01．(东营)学校计划将若干名学生平均分成24个读书小组,若每个小组比原计划多1人,则要比原计划少分出6个小组,那么学生总数是（ ）A ．144 人B ．72人C ．48 人D ．36人02．(湖南)某学校在对口援助边远山区学校活动中,原计划赠书3000册,由于学生地积极响应,实际赠书3780册其中初中部比原计划多赠了20%,高中部比原计划多赠了30%,问该校初，高中原计划各赠书多少册？03．(佛山)小敏准备用21圆钱买笔和笔记本,已知每只笔3圆,每本笔记本2圆2角,他买了两本笔记本之后,还可以买几支笔（ ）A ．1支B ．2支C ．3支D ．4支【例3】(北京)京津城际铁路于2008年8月1日开通运营,预计高速列车在北京，天津间单程直达运行地时长为半小时•某次试车时,试验列车有北京到天津地行驶时长比预计时长多用了6分,由天津返回北京地行驶时长与预计时长相同•假如这次试车时,由天津返回北京比去天津市平均每小时多行驶40千米,那么这次是车是由北京到天津地平均速度是每小时多少千米？【解法指导】在行程问题中,通常要运用“路程＝速度×时长”关系探求数量关系和相等关系解：设这次试车时,由北京到天津地平均速度是每小时x 千米,由天津返回北京地平均速度是每小时(x +40)千米由题意得2160630=+x （x +40）解得x ＝200答：这次试车时,由北京到天津地平均速度是每小时200千米•【变式题组】01．(长沙)汽车在中途受阻耽误了6分钟,然后将时速由原来地每小时40千米提为每小时50千米,那么要想将耽误地时长补上,则需要这样走（ ）A ．10千米B ．20千米C ．40千米D ．50千米02．(南昌)某市出租车地收费标准时：起步价5圆,（即路程不超过3km 地车费为5圆）,3km 后每千米收费1.2圆,某人乘出租车共付了11圆,那么此人坐车行驶地路程最多是（ ）A ．8kmB ．9kmC ．6kmD ．10km03．(南宁) 小李骑自行车从A 地到B 地,小明骑自行车从B 地到A地二人都均速前进,已知二人在上午8时同时出发,到上午10时,两人还相距36km ,到中午12时,二人又相距36km ,求A ，B 两地间地路程•【例４】(课本变形题)有一些相同地房间需要粉刷墙面,一天3名一级技工去粉刷8个房间,结果其中有50平方米墙面未来地及粉刷。
数学竞赛专题讲座七年级第8讲绝对值与一元一次方程(含答案)
第八讲 绝对值与一元一次方程绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程．解绝对值方程的基本方法有：一是设法去掉绝对值符号．将绝对值方程转化为常见的方程求解；一是数形结合，借助于图形的直观性求解．前者是通法，后者是技巧．解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义，去绝对值的符号法则，非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法．纯粹数学，就其本质而言，是逻辑思想的诗篇．——爱因斯坦爱因斯坦（1879~1955），生于德国，近代最伟大的理论物理学家，相对论的创立者，曾获得诺贝尔物理学奖．例题讲解【例1】方程5665-=+x x 的解是 ． (重庆市竞赛题)思路点拨 设法去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来求解．【例2】 适合81272=-++a a 的整数a 的值的个数有( )．A ．5B ．4C ． 3D ．2 （希望杯邀请赛试题）思路点拨 用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征，借助数轴也许能找到简捷的解题途径．链接：形如d cx b ax +=+的绝对值方程可变形为)(d cx b ax +±=+且0≥+d cx ，才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值时应检验．【例3】解方程：413=+-x x ； (天津市竞赛题)思路点拨 从内向外，根据绝对值定义性质简化方程．形如e d c b ax =+++的方程，含有多层的绝对值，可从外向内逐层去掉绝对值符号，将原方程化为形如d cx b ax +=+的方程求解．【例4】解下列方程： (1)113+=--+x x x (北京市“迎春杯”竞赛题) (2)451=-+-x x ． (“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨 解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论，采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论；有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解．【例5】已知关于x 的方程a x x =-+-32，研究a 存在的条件，对这个方程的解进行讨论．思路点拨 方程解的情况取决于a 的情况，a 与方程中常数2、3有依存关系，这种关系决定了方程解的情况，因此，探求这种关系是解本例的关键．运用分类讨它法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具，读者可从两个思路去解．题中给出了条件，但没有明确的结论，这是一种探索性数学问题，它给我们留有自由思考的余地和充分展示思维的广阔空间，我们应从问题的要求出发，进行分析、收集和挖掘题目提供的各种信息，进行全面研究．【例6】方程431=-++x x 的整数解有（ ）．A ．2个B ．3个C ．5个D ．无穷多个 （希望杯邀请赛试题）思路点拨 用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征，借助数轴也许能找到简洁的解题途径．基础训练一、基础夯实1.方程3(│x │-1)= ||5x +1的解是_______;方程│3x-1│=│2x+1│的解是____. 2.已知│3990x+1995│=1995,那么x=______.3.已知│x │=x+2,那么19x 99+3x+27的值为________.4.关于x 的方程│a │x=│a+1│-x 的解是x=0,则a 的值是______;关于x 的方程│a │x=│a+1│-x 的解是x=1,则有理数a 的取值范围是________.5.使方程3│x+2│+2=0成立的未知数x 的值是( ). A.-2 B.0 C. 23D.不存在 6.方程│x-5│+x-5=0的解的个数为( ).A.不确定B.无数个C.2个D.3个 (“祖冲之杯”邀请赛试题)7.已知关于x 的方程mx+2=2(m-x)的解满足│x-12|-1=0,则m 的值是( ). A.10或25 B.10或-25C.-10或25D.-10或-25(2000年山东省竞赛题) 8.若│2000x+2000│=20×2000,则x 等于( ).A.20或-21B.-20或21C.-19或21D.19或-21 (2001年重庆市竞赛题)9.解下列方程:(1)││3x-5│+4│=8; (2)│4x-3│-2=3x+4;(3)│x-│2x+1││=3; (4)│2x-1│+│x-2│=│x+1│.10.讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况.二、能力拓展11.方程│││x-2│-1│=2的解是________.12.若有理数x满足方程│1-x│=1+│x│,则化简│x-1│的结果是_______.13.若a>0,b<0,则使│x-a│+│x-b│=a-b成立的x的取值范围是______.(武汉市选拨赛试题)14.若0<x<10,则满足条件│x-3│=a•的整数a•的值共有_____•个,•它们的和是____.15.若m是方程│2000-x│=2000+│x│的解,则│m-2001│等于( ).A.m-2001B.-m-2001C.m+2001D.-m+200116.若关于x的方程│2x-3│+m=0无解,│3x-4│+n=0只有一个解,│4x-5│+•k=0有两个解,则m、n、k的大小关系是( ).A.m>n>kB.n>k>mC.k>m>nD.m>k>n17.适合关系式│3x-4│+│3x+2│=6的整数x的值有( )个.A.0B.1C.2D.大于2的自然数18.方程│x+5│-│3x-7│=1的解有( ).A.1个B.2个C.3个D.无数个19.设a、b为有理数,且│a│>0,方程││x-a│-b│=3有三个不相等的解,•求b的值. (“华杯赛”邀请赛试题)20.当a满足什么条件时,关于x的方程│x-2│-│x-5│=a有一解?有无数多个解?无解?三、综合创新21.已知│x+2│+│1-x│=9-│y-5│-│1+y│,求x+y的最大值与最小值.(第15届江苏省竞赛题)22.(1)数轴上两点表示的有理数是a、b,求这两点之间的距离;(2)是否存在有理数x,使│x+1│+│x-3│=x?(3)是否存在整数x,使│x-4│+│x-3│+│x+3│+│x+4│=14?如果存在,•求出所有的整数x;如果不存在,说明理由.答案：1.±107、2或0 2.0或-1 3.54.-1,a≥0 提示:由│a+1│=│a│+1得a×1≥0,即a≥05.D6.B7.A8.D9.(1)x=3或x=13;(2)x=9或x=-37;(3)x=-43或x=2;(4)提示:分x<-1、-1≤x<12、 •12≤x≤2、x≥2四种情况分别去掉绝对值符号解方程,当考虑到12≤x≤2时,•原方程化为(2x-1)-(x-2)=x+1,即1=1,这是一个恒等式,说明凡是满足12≤x≤2的x值都是方程的解.10.当k<0时,原方程无解;当k=0时,原方程有两解:x=-1或x=-5;当0<k<2时,原方程化为│x+3│=2±k,此时原方程有四解:x=-3±(2±k);当k=2时,原方程化为│x+•3│=2±2,此时原方程有三解:x=1或x=-7或x=-3;当k>2时,原方程有两解:x+3=±2(•2+k).11.±5 12.1-x 13.b≤x≤a 提示:利用绝对值的几何意义解.14.7、21提示:当0<x<3时,则有│x-3│=3-x=a,a的解是1,2;当3≤x<10时,则有│x-3│=x-3=a,a的解为0,1,2,3,4,5,615.D 提示:m≤0 16.A 17.C 提示:-2≤3x≤4 18.B19.提示:若b+3、b-3都是非负的,而且如果其中一个为零,则得3个解;如果都不是零,则得4个解,故b=3.20.提示:由绝对值几何意义知:当-3<a<3时,方程有一解;当a=±3时,•方程有无穷多个解;当a>3或a<-3时,方程无解.21.提示:已知等式可化为:│x+2│+│x-1│+│y+1│+│y-5│=9,•由绝对值的几何意义知,当-2≤x≤1且-1≤y≤5时,上式成立, 故当x=-2,y=-1时,x+y有最小值为-3;当x=1,y=5时,x+y的最大值为6.22.(1)│a-b│;(2)不存在;(3)x=±3,±2,±1,0.提高训练1．若方程32100210021002=-x 的解分别是1x 、2x ，则21x x +=______．（希望杯邀请赛试题）2．方程11213=++--x x x 的解是______． （希望杯邀请赛试题）3．已知：有理数x 、y 、z 满足0<xy ，0>yz ，并且3=x ，2=y ，21=+z ，则z y x ++=______． (北京市迎春杯竞赛题)4．已知13+=x x ，则=++20092)94864(x x ________． （广东省竞赛题）5．方程133=+-x x 的解是_________． （山东省竞赛题）6．满足方程123422-=--x x 的所有解的和为______． (新加坡竞赛题)7．若关于x 的方程a x =--12有三个整数解，则a 的值为（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．3 （重庆市竞赛题） ★8．如果关于x 的方程a x x =-++11有实根，那么实数a 的取值范围是（ ）．A ．0≥aB ．0>aC ．1≥aD ．2≥a （CASIO 杯武汉市选拔赛试题）9．用符号“⊕”定义一种新运算：对于有理数a 、b 0(≠a ，)1≠a ，有a ⊕b =a a b a -+220042003，已知2004⊕x =2，求x 的值． （北京市迎春杯竞赛题）。
一次方程组教案(3篇)
第1篇课时：2课时年级：八年级教材：《数学》人教版八年级上册教学目标：1. 让学生掌握一次方程组的解法，能够灵活运用解法解决实际问题。
2. 培养学生观察、分析、解决问题的能力，提高学生的逻辑思维能力。
3. 培养学生合作交流的能力，使学生能够在团队中共同解决问题。
教学重点：1. 一次方程组的解法2. 解一次方程组的应用教学难点：1. 一次方程组的解法2. 解一次方程组的应用教学过程：第一课时一、导入新课1. 复习上节课所学的内容，引导学生回顾一次方程的概念。
2. 引入本节课的主题：一次方程组。
二、新课讲解1. 介绍一次方程组的概念：含有两个或两个以上未知数的一次方程组成的方程组叫做一次方程组。
2. 讲解一次方程组的解法：（1）代入法：将一个方程的解代入另一个方程中，求出另一个未知数的值。
（2）加减消元法：将两个方程相加或相减，消去其中一个未知数，求解另一个未知数。
3. 通过例题讲解一次方程组的解法，引导学生掌握解题步骤。
三、课堂练习1. 出示几道一次方程组的应用题，让学生独立完成。
2. 教师巡视指导，解答学生的疑问。
四、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，强调一次方程组的解法。
2. 布置课后作业，巩固所学知识。
第二课时一、复习导入1. 复习上节课所学的一次方程组解法。
2. 引导学生回顾一次方程组的应用。
二、新课讲解1. 讲解一次方程组的应用：（1）实际问题：将实际问题转化为数学问题，列出一元一次方程组求解。
（2）选择题、填空题：运用一次方程组的解法解决选择题、填空题。
2. 通过例题讲解一次方程组的应用，引导学生掌握解题思路。
三、课堂练习1. 出示几道一次方程组的应用题，让学生独立完成。
2. 教师巡视指导，解答学生的疑问。
四、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，强调一次方程组的应用。
2. 布置课后作业，巩固所学知识。
教学反思：1. 本节课通过讲解一次方程组的解法和应用，使学生掌握了求解一次方程组的方法。
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第8讲 一次方程（组）一、【知识要点】1. 方程：含有未知数的等式叫做方程。
练习：“代数式23x -的值比代数式34+-x x 的值小3”列出方程得： . 2. 移项：将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形叫做移项。
练习：(1) 如果 2x + 7 = 10，那么 2x = 10 .(2) 如果 7x = 6 – 4x ，那么 7x = 6.3. 方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。
一元方程的解也可称为方程的根。
4. 方程组的解：使方程组中每个方程左右两边的值都相等的所有未知数的值，叫做该方程组的解．★方程两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，方程的解不变。
★方程两边都乘以或都除以同一个不为零的数，方程的解不变。
练习：(1) 方程 8x = 7x + 3 的解是 .(2) 方程 3x = 5 – 2x 的根是 .5. 解方程：求方程的解或判定方程无解的过程，叫做解方程。
6. 等式的基本性质：等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式；等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不是零)，所得的结果仍是等式．7. 一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程。
★一元一次方程变形后，可以化为()0≠=a b ax 的形式，它的解为a b x =. 练习：在方程(1) x + y = 2，(2) x 2 + x = 0，(3)931=-x x ，(4)3132+=-y y 中，属于一元一次方程的有 个。
8. 解一元一次方程的步骤：（1）去分母；(2)去括号；(3)移项；(4) 合并同类项；(5)系数化为1。
练习：解方程：161213=--+x x 9. 解二元一次方程的方法：消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有 消元和 消元法两种.二、【典型例题】1. 把方程2133123+-=-+x x x 去分母正确的是（ ） A ．)1(318)12(218+-=-+x x x B . )1(3)12(3+-=-+x x xC ．)1(18)12(18+-=-+x x xD ．)1(33)12(23+-=-+x x x2. 古尔邦节，6位朋友均匀地围坐在圆桌旁共度佳节．圆桌半径为60cm ，每人离圆桌的距离均为10cm ，现又来了两名客人，每人向后挪动了相同的距离，再左右调整位置，使8人都坐下，并且8人之间的距离与原来6人之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．设每人向后挪动的距离为x ，根据题意，可列方程（ ）AA ．2π(6010)2π(6010)68x +++= B ．2π(60)2π6086x +⨯= C ．2π(6010)62π(60)8x +⨯=+⨯ D ．2π(60)82π(60)6x x -⨯=+⨯3. 有一种足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的，如图所示，黑皮可看做正五边形，白皮可看做正六边形，设白皮有x 块， 则黑皮有（32-x ）块，每块白皮有六条边，共6x 条边，因每块白皮有三条边和黑皮连在一起， 故黑皮共有3x条边，要求白皮、黑皮的块数，列出的方程正确的是（ ）A.3x=32-xB.3x=5（32-x ）C.5x=3（32-x ）D.6x=32-x4. 三个同学对问题“若方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩，求方程组111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解。
”提出各自的想法。
甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替换的方法来解决”。
参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 。
510x y =⎧⎨=⎩5. 解关于x 的方程()23a x a +=-解：当a +≠20，即a ≠-2时，方程有唯一解：32a x a -=+ 当a +=20，即a =-2时，原方程可化为：05x =-，方程无解总结：此方程为什么不存在无穷解呢？因为只有当方程可化为00x =时，方程才能有无穷解，而当a +=20时，a -≠30；a -=30时，a +≠20，a 不可能既等于-2又等于3。
所以不存在无穷解。
6. 解方程组：2536x y x y +=-=⎧⎨⎩，． 解方程组：⎩⎨⎧=+-=-1223532y x y x答案：⎩⎨⎧==32y x 答案：31xy ==-⎧⎨⎩，．7. 求使方程组24562x y m x y m +=+⎧⎨+=+⎩的解x 、y 都是正数的m 的取值范围。
解：解方程组,得826x m y m =-⎧⎨=-⎩ ,由题意,得80260m m ->⎧⎨->⎩解得3<m<8.8. m 取何整数值时，方程组210320mx y x y +=⎧⎨-=⎩的解x 和y 都是整数？9. 已知()43600270x y z xyz x y z --=⎧≠⎨+-=⎩，求22222223657x y z x y z ++++的值.10. 甲、乙两人共同解方程组⎩⎨⎧-=-=+ ②by x ①y ax 24155,由于甲看错了方程①中的a ,得到方程组的解为⎩⎨⎧-=-=13y x ；乙看错了方程②中的b ,得到方程组的解为⎩⎨⎧==45y x 。
试计算20072006101⎪⎭⎫ ⎝⎛-+b a 的值.11. 芜湖供电公司分时电价执行时段分为平、谷两个时段，平段为8：00~22：00，14小时，谷段为22：00~次日8：00，10小时．平段用电价格在原销售电价基础上每千瓦时上浮0．03元，谷段电价在原销售电价基础上每千瓦时下浮0.25元，小明家5月份实用平段电量40千瓦时， 谷段电量60千瓦时，按分时电价付费42.73元．(1)问小明该月支付的平段、谷段电价每千瓦时各为多少元?(2)如不使用分时电价结算， 5月份小明家将多支付电费多少元?解：(1)设原销售电价为每千瓦时x 元，根据题意得：40(0.03)60(0.25)42.73x x ⨯++⨯-=40 1.2601542.73x x ++-=10042.7313.8x =+0.5653x =．∴当0.5653x =时，0.030.5953x +=;0.250.3153x -=．答:小明家该月支付平段电价为每千瓦时0.5953元、谷段电价每千瓦时0.3153元(2) 1000.565342.7313.8⨯-=(元)答:如不使用分时电价结算，小明家5月份将多支付13.8元．12. 为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的．该市自来水收费价格见价目表．若某户居民1月份用水38m ，则应收水费：264(86)20⨯+⨯-=元．（1）若该户居民2月份用水312.5m ，则应收水费______元；（2）若该户居民3、4月份共用水315m （4月份用水量超过3月份），共交水费44元，则该户居民3，4月份各用水多少立方米？解：（1）应收水费 264(106)8(12.510)48⨯+⨯-+⨯-=元．（2）当三月份用水不超过36m 时，设三月份用水3m x ，则226448(1510)44x x +⨯+⨯+--=解之得411x =<，符合题意．当三月份用水超过36m 时，但不超过310m 时，设三月份用水3m x ，则264(6)2x x ⨯+-+⨯+⨯+⨯--=解之得36x =<（舍去） 所以三月份用水34m ．四月份用水113m ．13. 某出租汽车公司有出租车100辆， 平均每天每车消耗的汽油费为80元，为了减少环境污染，市场推出一种“CNG ”的改烧汽油为天然汽的装置，每辆车改装价格为4000元，公司第一次改装了部分车辆后核算：已改装后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费用的320，公司第二次再改装同样多的车辆后,所有改装后的车辆每天的燃料费点剩下未改装车辆每天燃料费用的25，问： （1）公司共改装了多少辆出租车？ 改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了百分之多少？（2）若公司一次性全部将出租车改装， 多少天后就可以从节省的燃料费中收回成本？解:(1)设公司第一次改装了y 辆车,改装后的每辆出租车每天的燃料费比改装前的燃料费下降的百分数为x,依题意,得3(1)80(100)802022(1)80(1002)805y x y y x y ⎧-⨯=-⨯⎪⎪⎨⎪-⨯=-⨯⎪⎩化简,得31(100)(1002)205y y -=-解得240%520xy⎧==⎪⎨⎪=⎩答:公司共改装了20辆车,改装后的每辆出租车每天的燃料费比改装前的燃料费下降了40%.(2)设一次性改装后,m天可以收回成本,则100×80×40%×m=4 000×100,解,得m=125.答:125天后就可以从节省的燃料费中收回成本.14.某电视台在黄金时段的2min 广告时间内，计划插播长度为15s和30s的两种广告，15s广告每播1次收费0.6万元，30s广告每1播次收费1万元，若要求每种广告播放不少于2次，问：（1）两种广告的播放次数有几种安排方式？（2）电视台选择哪种方式播放收益较大？解:(1)设15s广告播放x次,30s广告播放y次,由题意,得:15x+30y=120,则x=8-2y.∵x,y为不小于2的正整数,∴42xy=⎧⎨=⎩或23xy=⎧⎨=⎩∴有两种播放次数方式,即15s广告播放4次,30s广告播放2次;或15s 广告播放2次,30s广告播放3次.(2)若x=4,y=2,则0.6×4+1×2=4.4(万元).若x=2,y=3,则0.6×2+1×3=4.2(万元)∴电视台选择15s广告播放4次,30s广告播放2次的方式收益较大.注:此题也可以用列表或试值等方法解答.。