2014届江苏省南通市高三第二次调研测试数学试题(含答案解析)扫描版
江苏省南通市2014届高三数学 Word版含答案
A BCD MNO（第14题图）2014年高考模拟试卷(2)南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 .1．已知集合{}lg M x y x ==，{}21N x y x ==-，则M ∩N ＝ ． 2．复数(1i)i z =-(i 为虚数单位)的共轭复数为 ．3．已知函数22,0,(),0x x x f x ax bx x ⎧+≤=⎨+>⎩为奇函数，则a b += ．4．在某个容量为300的样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的15，则中间一组的频数为 .5．如图是一个算法的程序框图，其输出的结果是 ．6．已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>，若()0,()232f f ππ==,则实数ω的最小值为 ．7．数列{}n a 满足11()2n n a a n *++=∈N ,112a =-,n S 是{}n a 的前n 项和,则2011S = .8．若()0,3m ∈，则直线(2)(3)30m x m y ++--=与x 轴、y 轴围成的三角形的面积小于98的概率为 ．9．若中心在原点、焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线方程 为30x y +=，则此双曲线的离心率为 ．10．若不等式xy y x k29422≥+对一切正数x ，y 恒成立，则整数k 的最大值为 ．11．已知点,,,P A B C 是球O 表面上的四个点，且,,PA PB PC 两两成60角，1cm PA PB PC ===，则球的表面积为 2cm ．12．已知点G 、H 分别为ABC ∆的重心（三条中线的交点）、垂心（三条高所在直线的交点），若46AC AB ==，，则HG BC ⋅的值为 ．13. 若关于x 的方程43210x ax ax ax ++++=有实数根，则实数a 的取值范围为 ．14. 如图，已知正方形ABCD 的边长为1，过正方形中心O 的直线MN 分别交正方形的边AB ，CD 于点M ，N ，则当MNBN取最小值时，CN = ．二、解答题：本大题共6小题，共90分.15.（本小题满分14分）设函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，函数()2y f x π=+为偶函数．（1）求()f x 的解析式；(第5题图)b ←2b Y 输出b 开始 a ←1,b ←1 a ≤3 a ←a +1结束 N（2）若α为锐角，3()2125f απ+=，求sin 2α的值．16.（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，060DAB ∠=，平面PCD ⊥底面ABCD ，E 是AB 的中点，G 为PA 上的一点．（1）求证：平面GDE ⊥平面PCD ；（2）若//PC 平面DGE ，求PGGA 的值．17.（本小题满分14分）近日我渔船编队在钓鱼岛附近点A 周围海域作业，在B 处的海监15船测得A 在其南偏东45方向上，测得渔政船310在其北偏东15方向上，且与B 的距离为43海里的C 处．某时刻，海监15船发现日本船向在点A 周围海域作业的我渔船编队靠近，上级指示渔政船310立刻全速前往点A 周围海域执法，海监15船原地监测．渔政船310走到B 正东方向D 处时，测得距离B 为42海里．若渔政船310以23海里/小时的速度航行，求其到达点A 所需的时间．18. (本小题满分16分)已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，且经过点3(1,)2P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设F 是椭圆C 的右焦点，M 为椭圆上一点，以M 为圆心，MF 为半径作圆M ．问点M 的横坐标在什么范围内取值时，圆M 与y 轴有两个交点?B C DAPA B C D E G（3）设圆M 与y 轴交于D 、E 两点，求弦长DE 的最大值．19.（本小题满分16分）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若()f x y x=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”；若2()f x y x =在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”.我们把所有 “一阶比增函数”组成的集合记为A ，所有“二阶比增函数”组成的集合记为B . （1）设函数32()2(2)(1)(0,)f x ax a x a x x a R =--+->∈. ①求证：当0a =时，()f x A B ∈；②若()f x A ∈，且()f x B ∉，求实数a 的取值范围； （2）对定义在(0,)+∞上的函数()f x ，若()f x B ∈，且存在常数k ，使得(0,),()x f x k ∀∈+∞<，求证:()0f x <.20.（本小题满分16分）若数列{}n b 满足：对于N n *∈，都有2n n b b d +-=（常数），则称数列{}n b 是公差为d 的准等差数列．（1）若⎩⎨⎧+-=.9414为偶数时，当为奇数时；，当n n n n c n 求准等差数列{}n c 的公差，并求{}n c 的前19项的和19T ；（2）设数列{}n a 满足：1a a =，对于N n *∈，都有12n n a a n ++=．①求证：{}n a为准等差数列，并求其通项公式；②设数列{}n a的前n项和为n S，试研究：是否存在实数a，使得数列{}n S有连续的两项都等于50?若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相．．．．．．．．．．．应的答题区域内作答．．．．．．．．．．A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，AB 是半圆的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，2CD =，DE AB ⊥，垂足为E ，且E 是OB 的中点，求BC 的长．B ．（选修４－２：矩阵与变换） 已知矩阵2143A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，2246B -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． （1）求矩阵A 的逆矩阵；（2）求满足AX B =的二阶矩阵X ．C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）已知曲线C 的参数方程为2sin ,[0,2)cos x y ααπα=⎧∈⎨=⎩，曲线D 的极坐标方程为sin()24πρθ+=-．（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程； （2）曲线C 与曲线D 有无公共点？试说明理由．D ．（选修４－５：不等式选讲）已知x ，y ，z 均为正数．求证：111yx z yzzx xy xy z++?+．22．甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是35，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．（1）求乙得分的分布列和数学期望；（2）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．23．设数集{}121,,,,n A x x x =-，其中120n x x x <<<<，2n ≥，向量集{}(,),,B a a x y x A y A ==∈∈.若12,a B a B ∀∈∃∈使得120a a ⋅=，则称A 具有性质P .（1）若1a >，数集{}1,1,A a =-，求证：数集A 具有性质P ； （2）若2b >，数集{}1,1,2,A b =-具有性质P ，求b 的值； （3）若数集{}121,,,,n A x x x =-（其中120n x x x <<<<，2n ≥）具有性质P ，11x =，2x q =(q 为常数，1q >)，求数列{}k x 的通项公式k x *(,)k N k n ∈≤.2014年高考模拟试卷(2)参考答案南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1.(]0,1；2.1i -；3.0；4.50；5. 16；6.3；7. 502；8. 23；9. 10； 10. 3；11.32π； 12. 203-.解析：2211()()()()33HG BC AG AH BC AG BC AC AB AC AB AC AB ⋅=-⋅=⋅=+⋅-=-203=-．另解：注意到题中的ABC ∆形状不确定，因此可取特殊情形90ACB ∠=，则点H 即为点A ，由此可迅速得到答案 ； 13. [)2,2,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦； 14.512-. 二、解答题15. 解：（1）由题设：1,22T T ππ=∴=，22Tπω∴==，()2y f x π=+为偶函数，∴函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，s i n()1πϕ∴+=或sin()1πϕ+=-，0ϕπ<<，2πϕ∴=，()sin(2)cos22f x x x π∴=+=；（2）3()2125f απ+=，3cos()65πα∴+=，α为锐角，4sin()65πα∴+=24sin 2()2sin()cos()66625πππααα∴+=++=，27c o s 2()2c o s ()16625ππαα∴+=+-=-， 241732473sin 2sin[2()]()6325225250ππαα+∴=+-=⨯--⨯=．16． （1）证明：设菱形ABCD 的边长为1，E 是AB 的中点，060DAB ∠=，PG211312cos60424DE ∴=+-⨯=， 222DE AE AD ∴+=，DE AE ∴⊥，DE CD ∴⊥，平面PCD ⊥底面ABCD ，平面PCD 底面ABCD CD =，DE ABCD ⊂，DE ∴⊥平面PCD ，又DE GED ⊂平面,∴平面GDE ⊥平面PCD ；（2）解：连接AC ，交DE 于H ，连接GH ，则//PC 平面DGE ，,PC PAC ⊂平面平面PCA 平面GDE GH =，//PC GH∴，2PG CH DCGA HA AB∴===. 17. 解：由题设，43,42,75,45,120,BC BD CBD ABD ABC ==∠=∠=∠= 在CBD ∆中，由余弦定理得，483224342cos752(62)CD =+-⨯⨯=+，在CBD ∆中，由正弦定理得，42sin 752,sin sin sin 7522(62)BD CD C C =∴==+，,090,45,1B D B C C C A <∴<<∴=∴=， 在ABC ∆中，由正弦定理得，sin sin120BC ACA =， s i n 12043s i n 1206(62)s i n s i n 15BC AC A ∴===+∴渔政船310从C 处到达点A 所需的时间为6(62)23+小时．18.解：(1)椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且经过点3(1,)2P ，2222121914a b a a b ⎧-=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，即22223401914a b a b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩， ∴椭圆C 的方程为22143x y +=；(2)易求得(1,0)F ．设00(,)M x y ，则2200143x y +=， 圆M 的方程为22220000()()(1)x x y y x y -+-=-+，令0x =，化简得2002210y y y x -+-=，20044(21)0y x ∆=-->……①．将22003(1)4x y =-代入①，得20038160x x +-<，解出0004442233x x x -<<≤≤∴-≤<，又-2，；(3)设1(0,)D y ，2(0,)E y ，其中12y y <．由(2)，得222210000046444(21)38163()33DE y y y x x x x =-=--=--+=-++，当043x =-时，DE 的最大值为833．19. （1）①证明：当0a =时，2()4(0)f x x x x =->，()41f x y x x ∴==-在(0,)+∞上为增函数，()f x A ∴∈； 2()14f x y x x==-在(0,)+∞上为增函数，()f x B ∴∈，()f x A B ∴∈；②解：32()2(2)(1)(0,)f x ax a x a x x a R =--+->∈，()f x B ∉，∴由①知0a ≠，()f x A ∈，2()2(2)(1)f x y ax a x a x∴==--+-在(0,)+∞上为增函数， 020a a a>⎧⎪∴-⎨≤⎪⎩，02a ∴<≤（*） ()f x B ∉，2()12(2)f x a y ax a x x-==+--在(0,)+∞上不是增函数，2()12(2)f x a y a x a x x-==+--在(0,)+∞上是增函数⇔12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，121212121()()()()0a a x x x x a f x f x x x ----=<， 结合（*）有12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，1210a x x a-->，01a ∴<≤结合（*）有2()12(2)f x a y a x a x x-==+--在(0,)+∞上不是增函数⇔12a <≤，∴实数a 的取值范围是12a <≤； （2）（用反证法）假设0(0,)x ∃∈+∞，0()0f x ≥，则：㈠若0()0f x >，记020()0f x m x =>， ()f x B ∈，2()f x y x∴=在(0,)+∞上为增函数， ∴当0x x >时，0220()()f x f x m x x >=，所以2()f x mx >， ∴一定可以找到一个10x x >，使得211()f x mx k >>，这与()f x k <矛盾；㈡若0()0f x =，则020()0f x x =，()f x B ∈，在(0,)+∞上为增函数，0x x ∴>时，0220()()0f x f x x x >=，即()0f x >，同㈠可得矛盾；()0f x ∴<.20. 解：（1）数列⎩⎨⎧+-=.9414为偶数时，当为奇数时；，当n n n n c nn 为奇数时，2[4(2)1](41)8n n c c n n +-=+---=，n 为偶数时，2[4(2)9](49)8n n c c n n +-=++-+=， ∴准等差数列{}n c 的公差为8，19(375)10(1781)983122T +⨯+⨯=+=； （2）①n a a n n 21=++ （*∈N n ）（i ）)1(221+=+++n a a n n （ii ）（ii ）-（i ）得22=-+n n a a （*∈N n ）． 所以，{}n a 为公差为2的准等差数列．当n 为偶数时，a n n a a n -=⨯⎪⎭⎫⎝⎛-+-=2122，当n 为奇数时，解法一：12121-+=⨯⎪⎭⎫⎝⎛-++=a n n a a n ；解法二：()[]11)1(2)1(21-+=----=--=-a n a n n a n a n n ；解法三：先求n 为奇数时的n a ，再用（i ）求n 为偶数时的n a 同样给分．⎩⎨⎧--+=∴为偶数） （为奇数）（n a n n a n a n ,,1②解：当n 为偶数时，()2212212222221222n n n n a n n n a S n =⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅=；当n 为奇数时，()2212121212221212121⨯⎪⎭⎫⎝⎛---+-⋅-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++⋅=n n n a n n n a S n 21212-+=a n ． 当k 为偶数时，50212==k S k ，得10=k ．由题意，有10502192129=⇒=-+⨯=a a S ；或1050211121211-=⇒=-+⨯=a a S ． 所以，10±=a ．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21. A. 解：连接OD ，则OD DC ⊥．在Rt OED ∆中，1122OE OB OD ==，30ODE ∴∠=．在Rt ODC ∆中，30DCO ∴∠=，由2DC =，则23tan 303OB OD DC ===，243cos30332CD OC ===， 所以233BC OC OB =-=． B ．解：（1）2143A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，21det()243A -∴==-， ∴矩阵A 的逆矩阵131312222422122A --⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦（2）AX B =，1X A B -∴=31221022460221⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦． C. 解：（1）由2sin ,[0,2)cos x y ααπα=⎧∈⎨=⎩得 21,[1,1]x y x +=∈- （2）由sin()24πρθ+=-得曲线D 的普通方程为20x y ++=2201x y x y ++=⎧⎨+=⎩得230x x --=解得113[1,1]2x ±=∉-,故曲线C 与曲线D 无公共点.D. 证明：因为x ，y ，z 都是为正数，所以12()y yx x yzzxz xyz+=+ ，同理可得22,yz z x zx xy x xyyz y+? ， 当且仅当x y z ==时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111yx z yzzxxyxy z++?+． 22. 解：（1）设乙答题所得分数为X ，则X 的可能取值为15,0,15,30-．353101(15)12C P X C =-==； 21553105(0)12C C P X C ===；12553105(15)12C C P X C ===； 353101(30)12C P X C ===．乙得分的分布列如下：X15- 0 15 30P112 512 512 112155115(15)01530121212122EX =⨯-+⨯+⨯+⨯=．（2）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A ，乙入选为事件B .则 223332381()()()555125P A C =+=，511()12122P B =+=． 故甲乙两人至少有一人入选的概率4411031()1.1252125P P A B =-⋅=-⨯= 23. （1）证明：数集{}1,1,A a =-时，列表如下：1a (1,1)-- (1,1)- (1,)a - (1,1)-(1,1) (1,)a (,1)a - (,1)a (,)a a 2a(1,1)-(1,1)(,1)a(,)a a(1,1)-(,1)a -(1,)a(1,)a -(1,1)-由表知：12,a B a B ∀∈∃∈使得120a a ⋅=，∴数集A 具有性质P ；（2）选取1(,2)a b =，B 中与1a 垂直的元素必有形式(1,)t -，2b t ∴=，2b >，{}1,1,2,t A b ∈=-，2t ∴=，2(2)2b ∴==；（3）由（1）（2）猜测1k k x q -=*(,)k N k n ∈≤. 记{}21,1,,,m m A x x =-，2,3,,m n =.先证明:若1m A +具有性质P ，则m A 也具有性质P .任取1(,),a s t s =、m t A ∈.当s 、t 中出现1-时,显然有2a 满足120a a ⋅=; 当1s ≠-且1t ≠-时，1s ≥、1t ≥.因为1m A +具有性质P ,所以有211111(,),,m a s t s t A +=∈，使得120a a ⋅=, 从而1s 和1t 中有一个是1-，不妨设11s =-.假设1t ∈1m A +且1t ∉m A ，则11m t x +=.由1(,)(1,)0m s t x +⋅-=， 得11m m s tx x ++=≥，与m s A ∈矛盾.1t ∴∈m A .从而m A 也具有性质P现用数学归纳法证明猜测: 1k k x q -=*(,)k N k n ∈≤. ①当n =1和2时，结论显然成立;②假设n=m 时, {}21,1,,,m m A x x =-有性质P ，则1k k x q -=，1,2,,k m =； 当n=1m +时,若{}1211,1,,,,m m m A x x x ++=-有性质P ，则{}21,1,,,m m A x x =-也有性质P ，{}1111,1,,,,m m m A q q x -++∴=-. 取11(,)m a x q +=，并设2(,),a s t =满足120a a ⋅=，即10m x s qt ++=. 由此可得1s =-或1t =-. 若1t =-，则1m q x q s+=≤矛盾；1s ∴=-，1m x qt +=，又11m m x q -+>，{}1111,1,,,,m m m t A q q x -++∈=-，1q >1m t q -∴=，1m m x q +∴=.综合①②知，1k k x q -=*(,)k N k n ∈≤.。
2014年江苏省南通市中考数学试卷及答案解析
10．（3 分）如图，一个半径为 r 的圆形纸片在边长为 a（h
）的等边三角形内任意运
动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．πr2
二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）
11．（3 分）我国第一艘航母“辽宁舰”最大排水量为 67500 吨，这个数据用科学记数法可
第 3 页 共 26 页
22．（8 分）九年级（1）班开展了为期一周的“敬老爱亲”社会活动，并根据学生做家务的 时间来评价他们在活动中的表现，老师调查了全班 50 名学生在这次活动中做家务的时间， 并将统计的时间（单位：小时）分成 5 组： A.0.5≤x＜1 B.1≤x＜1.5 C.1.5≤x＜2 D.2≤x＜2.5 E.2.5≤x＜3；并制成两幅不完整 的统计图（如图）：
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）圆柱形容器的高为
cm，匀速注水的水流速度为
cm3/s；
（2）若“几何体”的下方圆柱的底面积为 15cm2，求“几何体”上方圆柱的高和底面积．
26．（10 分）如图，点 E 是菱形 ABCD 对角线 CA 的延长线上任意一点，以线段 AE 为边作
一个菱形 AEFG，且菱形 AEFG∽菱形 ABCD，连接 EB，GD．
第 6 页 共 26 页
2014 年江苏省南通市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．（3 分）﹣4 的相反数（ ）
A．4
B．﹣4
C．
D．
【解答】解：﹣4 的相反数 4． 故选：A． 2．（3 分）如图，∠1＝40°，如果 CD∥BE，那么∠B 的度数为（ ）
数学_2014-2015学年江苏省南通市某校高三(上)第二次学情调研数学试卷(理科)(含答案)
2014-2015学年江苏省南通市某校高三（上）第二次学情调研数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1. 若集合A ={0, 1}，集合B ={0, −1}，则A ∪B =________．2. 复数Z 满足(1+i)Z =|1−i|，是Z 的虚部为________．3. 抛物线y =−4x 2的准线方程是________．4. 若ac >0且bc <0，直线ax +by +c =0不通过第________象限．5. 椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2．若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为________．6. 已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的体积为________．7. △ABC 中，若sin(π−A)=35，tan(π+B)=125，则cosC ＝________．8.如图所示为函数f(x)=2sin(ωx +ϕ)(ω>0, π2≤ϕ≤π)的部分图象，其中A ，B 两点之间的距离为5，那么f(−1)=________．9. 若双曲线x 2a 2−y 2b 2=λ(λ≠0)的一条渐近线方程是y =2x ，则离心率e 的值为________． 10. 下列有关命题的说法正确的是________．①命题“若x 2=1，则x =1”的否命题为：“若x 2=1，则x ≠1”；②已知x >0时，(x −1)f′(x)<0，若△ABC 是锐角三角形，则f(sinA)>f(cosB)； ③命题“若x =y ，则sinx =siny”的逆否命题为真命题；④命题“∃x ∈R 使得x 2+x +1<0”的否定是：“∀x ∈R 均有x 2+x +1>0”．11. 已知A(−2, 0)，B(2, 0)，点P 在圆(x −3)2+(y −4)2=r 2(r >0)上，满足PA 2+PB 2=40，若这样的点P 有两个，则r 的取值范围是________．12. 定义在R 上的函数f(x)满足：f′(x)>1−f(x)，f(0)=6，f′(x)是f(x)的导函数，则不等式e x f(x)>e x +5（其中e 为自然对数的底数）的解集为________．13. O 为△ABC 的外接圆圆心，AB =10，AC =4，∠BAC 为钝角，M 是边BC 的中点，则AM →⋅AO →=________．14. 已知函数y =f(x)是定义域为R 的偶函数． 当x ≥0时，f(x)={516x 2(0≤x ≤2)(12)x +1(x >2)，若关于x 的方程[f(x)]2+af(x)+b =0，a ，b ∈R 有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知向量a →=(sinx, 34)，b →=(cosx, −1)． (1)当a → // b →时，求cos 2x −sin2x 的值；(2)设函数f(x)=2(a →+b →)⋅b →，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =√3，b =2，sinB =√63，求 f(x)+4cos(2A +π6)（x ∈[0, π3]）的取值范围．16.在正四面体ABCD 中，点F 在CD 上，点E 在AD 上，且DF:FC =DE:EA =2:3．证明：（1）EF // 平面ABC ； （2）直线BD ⊥直线EF ．17. 某小区想利用一矩形空地ABCD 建造市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一个水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD =60m ，AB =40m ，且△EFG 中，∠EGF =90∘，经测量得到AE =10m ，EF =20m ．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点G 作一条直线交AB ，DF 于M ，N ，从而得到五边形MBCDN 的市民健身广场．（1）假设DN =x(m)，试将五边形MBCDN 的面积y 表示为x 的函数，并注明函数的定义域； （2）问：应如何设计，可使市民健身广场的面积最大？并求出健身广场的最大面积． 18. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，短轴两个端点为A ，B ，且四边形F 1AF 2B 是边长为2的正方形．(1)求椭圆的方程；(2)若C ，D 分别是椭圆长的左、右端点，动点M 满足MD ⊥CD ，连接CM ，交椭圆于点P ．证明：OM →⋅OP →为定值．(3)在(2)的条件下，试问x 轴上是否存异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线DP ，MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数f(x)=x ⋅lnx ，g(x)=ax 3−12x −23e ．（1）求f(x)的单调增区间和最小值；（2）若函数y =f(x)与函数y =g(x)在交点处存在公共切线，求实数a 的值；（3）若x ∈(0, e 2]时，函数y =f(x)的图象恰好位于两条平行直线l 1:y =kx ；l 2:y =kx +m 之间，当l 1与l 2间的距离最小时，求实数m 的值．20. 已知函数f(x)=ax 2+bx +1(a ，b 为实数，a ≠0，x ∈R)，F(x)={f(x),x >0−f(x),x <0．（1）若f(−1)=0，且函数f(x)的值域为[0, +∞)，求F(x)的表达式；（2）设mn <0，m +n >0，a >0，且函数f(x)为偶函数，判断F(m)+F(n)是否大于0？ （3）设g(x)=lnx+1e x，当a =b =1时，证明：对任意实数x >0，[F(x)−1]g′(x)<1+e −2（其中g′(x)是g(x)的导函数）．第Ⅱ卷（理科加试）（总分40分，考试时间30分钟）21. 将曲线y =2sin4x 经矩阵M 变换后的曲线方程为y =sinx ，求变换矩阵M 的逆矩阵． 22. 以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为{x =1+tcosαy =tsinα (t 为参数，0<α<π)，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=4cosθ．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，当α变化时，求|AB|的最小值． 23. 已知动圆过定点F(0, 2)，且与定直线L:y =−2相切． （1）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（2）若AB 是轨迹C 的动弦，且AB 过F(0, 2)，分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，证明：AQ ⊥BQ ．24. 设x =3是函数f(x)=(x 2+ax +b)e 3−x ，(x ∈R)的一个极值点． （1）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求f(x)的单调区间； （2）设a >0，g(x)=(a 2+254)e x，若存在ξ1，ξ2∈[0, 4]，使得|f(ξ1)−g(ξ2)|<254成立，求实数a 的取值范围．2014-2015学年江苏省南通市某校高三（上）第二次学情调研数学试卷（理科）答案1. {−1, 0, 1}2. −√223. y =116 4. 四 5. √556.2√23π 7. 1665 8. 2 9. √5或√52 10. ②③ 11. (1, 9) 12. (0, +∞) 13. 2914. (−52, −94)∪(−94, −1) 15. 解：(1)∵ a → // b →， ∴ 34cosx +sinx =0，∴ tanx =−34，cos 2x −sin2x =cos 2x −2sinxcosxsin 2x +cos 2x=1−2tanx 1+tan 2x=85.(2)f(x)=2(a →+b →)⋅b →=√2sin(2x +π4)+32， 由正弦定理得，asinA =bsinB ，可得sinA =√22， ∵ a <b ， ∴ A <B , ∴ A =π4，f(x)+4cos(2A +π6)=√2sin(2x +π4)−12，∵ x ∈[0,π3]，∴ 2x +π4∈[π4,11π12]，所以√32−1≤f(x)+4cos(2A +π6)≤√2−12.16. 证明：（1）因为点F 在CD 上，点E 在AD 上，且DF:FC =DE:EA =2:3，… 所以EF // AC ，… 又EF ⊄平面ABC ， AC ⊂平面ABC ，所以EF // 平面ABC ．…（2）取BD 的中点M ，连AM ，CM ，因为ABCD 为正四面体，所以AM ⊥BD ，CM ⊥BD ，… 又AM ∩CM =M ，所以BD ⊥平面AMC ，… 又AC ⊂平面AMC ，所以BD ⊥EF ，… 又EF // AC ，所以直线BD ⊥直线EF ．…17. 当DN =20m 时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为2000m 2．18. 解：(1)∵ 四边形F 1AF 2B 是边长为2的正方形， ∴ F 1F 2=2OA =2√2， ∴ b =c =√2， ∴ a 2=b 2+c 2=4, ∴ 椭圆方程为x 24+y 22=1；(2)C(−2, 0)，D(2, 0)，设M(2, y 0)，P(x 1, y 1)， 则OP →=(x 1,y 1)，OM →=(2,y 0) 直线CM:y =y 04(x +2)，即y =y 04x +12y 0，代入椭圆方程x 2+2y 2=4，得(1+y 028)x 2+12y 02x +12y 02−4=0.∵ x 1=−124(y 02−8)y 02+8，∴ x 1=−2(y 02−8)y 02+8，∴ y 1=8yy 02+8，∴ OP →=(−2(y 02−8)y 02+8，8yy 02+8).∴ OP →⋅OM →=−4(y 02−8)y 02+8+8y 02y 02+8=4y 02+32y 02+8=4（定值）.(3)设存在Q(m, 0)满足条件，则MQ ⊥DP ，MQ →=(m −2,−y 0)，DP →=(−4y 02y 02+8,8y 0y 02+8)则由MQ →⋅DP →=0得 −4y 02y 02+8(m −2)−8y 02y 02+8=0，从而得m =0.∴ 存在Q(0, 0)满足条件.19. 解：（1）因为f ′(x)=lnx +1，由f ′(x)>0，得x >1e ，所以f(x)的单调增区间为(1e ，+∞)，又当x ∈(0,1e)时，f ′(x)<0，则f(x)在(0,1e)上单调减，当x ∈(1e ，+∞)时，f ′(x)>0，则f(x)在(1e ，+∞)上单调增， 所以f(x)的最小值为f(1e)=−1e．（2）因为f ′(x)=lnx +1，g′(x)=3ax 2−12，设公切点处的横坐标为x ∘，则与f(x)相切的直线方程为：y =(lnx ∘+1)x −x ∘， 与g(x)相切的直线方程为：y =(3ax ∘2−12)x −2ax ∘3−23e ， 所以{lnx ∘+1=3ax ∘2−12−x ∘=−2ax ∘3−23e ， 解之得x ∘lnx ∘=−1e ，由（1）知x ∘=1e，所以a =e 26．（3）若直线l 1过(e 2, 2e 2)，则k =2，此时有lnx ∘+1=2（x ∘为切点处的横坐标）， 所以x ∘=e ，m =−e ，当k >2时，有l 2:y =(lnx ∘+1)x −x ∘，l 1:y =(lnx ∘+1)x ，且x ∘>2， 所以两平行线间的距离d =√1+(lnx +1)2，令ℎ(x)=xlnx −(lnx ∘+1)x +x ∘，因为ℎ′(x)=lnx +1−lnx ∘−1=lnx −lnx ∘， 所以当x <x ∘时，ℎ′(x)<0，则ℎ(x)在(0, x ∘)上单调减； 当x >x ∘时，ℎ′(x)>0，则ℎ(x)在(x ∘，e 2)上单调增，所以ℎ(x)有最小值ℎ(x ∘)=0，即函数f(x)的图象均在l 2的上方， 令t(x)=x 2ln 2x+2lnx+2，则t′(x)=2xln 2x+4xlnx+4x−2xlnx−2x(ln 2x+2lnx+2)2=2xln 2x+2xlnx+2x (ln 2x+2lnx+2)2>0，所以当x >x ∘时，t(x)>t(x ∘)， 所以当d 最小时，x ∘=e ，m =−e ． 20. 解：（1）因为f(−1)=0，所以a −b +1=0， 因为f(x)的值域为[0, +∞)，所以{a >0△=b 2−4a =0，所以b 2−4(b −1)=0⇒b =2，a =1，所以f(x)=(x +1)2， 所以F(x)={(x +1)2，&x >0−(x +1)2，&x <0；（2）因为f(x)是偶函数，所以b =0，即f(x)=ax 2+1， 又a >0，所以F(x)={ax 2+1，&x >0−ax 2−1，&x <0，因为mn <0，不妨设m >0，则n <0，又m +n >0，所以m >−n >0，此时F(m)+F(n)=am 2+1−an 2−1=a(m 2−n 2)>0， 所以F(m)+F(n)>0；（3）因为x >0，所以F(x)=f(x)=ax 2+bx +1， 又a =b =1，则F(x)−1=x 2+x ， 因为g(x)=lnx+1e x，所以g ′(x)=1x−lnx−1e x则原不等式证明等价于证明“对任意实数x >0，(x 2+x)⋅1x−lnx−1e x<1+e −2，即1+x e x⋅(1−xlnx −x)<1+e −2．先研究 1−xlnx −x ，再研究1+x e x．①记m(x)=1−xlnx −x ，x >0，m′(x)=−lnx −2， 令m′(x)=−lnx −2=0，得x =e −2，当x ∈(0, e −2)时，m′(x)>0，m(x)单增；当x ∈(e −2, +∞)时，m′(x)<0，m(x)单减． 所以，m(x)的最大值m(e −2)=1+e −2，即1−xlnx −x ≤1+e −2． ②记n(x)=1+x e x，x >0，n′(x)=−xe x <0，所以n(x)在(0, +∞)单减， 所以，n(x)<n(0)=1，即1+x e x<1．综上①、②知，g(x)=1+x e x(1−xlnx −x)≤1+x e x(1+e −2)<1+e −2．即原不等式得证，对任意实数x >0，[F(x)−1]g ′(x)<1+e −2． 21. 解：设将曲线y =sinx 变换为y =2sin4x 对应的变换矩阵为N =[ab cd]，由[a b cd][xy ]=[x′y′]，则{x′=ax +byy′=cx +dy， ∵ 将曲线y =sinx 变换为y =2sin4x ， 对应的坐标关系为： {x =4x′y =y′2，∴ {x′=x4y′=2y，∴ { a =14b =0c =0d =2， 矩阵N =[14002]．变换矩阵M 的逆矩阵为[14002]．22. 解：（1）由ρsin 2θ=4cosθ，得(ρsinθ)2=4ρcosθ， ∴ 曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x ．（2）将直线l 的参数方程代入y 2=4x ，得t 2sin 2α−4tcosα−4=0． 设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2， 则t 1+t 2=4cosαsin 2α，t 1t 2=−4sin 2α，∴ |AB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√(4cosαsin 2α)2+16sin 2α=4sin 2α， 当α=π2时，|AB|的最小值为4．23. 解：（1）依题意，圆心的轨迹是以F(0, 2)为焦点，L:y =−2为准线的抛物线上 因为抛物线焦点到准线距离等于4，所以圆心的轨迹是x 2=8y（2）∵ 直线AB 与x 轴不垂直，设AB:y =kx +2．A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．由{y =kx +2y =18x 2.可得x 2−8kx −16=0，x 1+x 2=8k ，x 1x 2=−16抛物线方程为y =18x 2，求导得y′=14x ． 所以过抛物线上A 、B 两点的切线斜率分别是 k 1=14x 1，k 2=14x 2，k 1⋅k 2=14x 1⋅14x 2=116x 1⋅x 2=−1所以，AQ ⊥BQ 24. 解：（1）∵ f(x)=(x 2+ax +b)e 3−x∴ f′(x)=(2x +a)e 3−x −(x 2+ax +b)e 3−x =−[x 2+(a −2)x +b −a]e 3−x ， 由题意得：f′(3)=0，即32+3(a −2)+b −a =0，b =−2a −3， ∴ f(x)=(x 2+ax −2a −3)e 3−x 且f′(x)=−(x −3)(x +a +1)e 3−x 令f′(x)=0得x 1=3，x 2=−a −1．∵ x=3是函数f(x)=(x2+ax+b)e3−x，(x∈R)的一个极值点∴ x1≠x2，即a≠−4故a与b的关系式b=−2a−3，(a≠−4)．①当a<−4时，x2=−a−1>3，由f′(x)>0得单增区间为：(3, −a−1)；由f′(x)<0得单减区间为：(−∞, 3)，(−a−1, +∞)；②当a>−4时，x2=−a−1<3，由f′(x)>0得单增区间为：(−a−1, 3)；由f′(x)<0得单减区间为：(−∞, −a−1)，(3, +∞)．（2）由（1）知：当a>0时，x2=−a−1<0，f(x)在[0, 3]上单调递增，在[3, 4]上单调递减，∴ f(x)min=min{f(0),f(4)}=−2(a+3)e3，f(x)max=f(3)=a+6．∴ f(x)在[0, 4]上的值域为[−2(a+3)e3, a+6]．又g(x)=(a2+254)e x，在x∈[0, 4]上单调递增，∴ g(x)在x∈[0, 4]上的值域为[a2+254，(a2+254)e4]．由于(a2+254)−(a+6)=(a−12)2≥0，∴ 若存在ξ1，ξ2∈[0, 4]，使得|f(ξ1)−g(ξ2)|<254成立，必需{a>0(a2+254)−(a+6)<254，解得0<a<3．∴ a的取值范围是(0, 3)．。
2014南通高三期末统考数学试题及答案
2014届高三期末测试数学参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 复数i z =（其中i 是虚数单位）的虚部为 ▲ ． 2. 某同学在7天内每天参加体育锻炼的时间（单位：分钟）用茎叶图表示如图，图中左列表示时间的十位数，右列表示时间的个位数.则这 7天该同学每天参加体育锻炼时间（单位：分钟）的平均数为 ▲ . 3. 函数()221()4x xf x -=的值域为 ▲ ．4. 分别在集合A ={1，2，3，4}和集合B ={5，6，7，8}中各取一个数相乘，则积为偶数的概率为 ▲ ． 5. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 的中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为0x =，则双曲线C 的 离心率为 ▲ . 6． 如图是计算101121k k =-∑的值的一个流程图，则常数a 的取 值范围是 ▲ ．7. 函数y =()πsin 23x -的图象可由函数y = sin x 的图象作两次变换得到，第一次变换是针对函数y =sin x 的图象而言的，第二次变换是针对第一次变换所得图象而言的．现给出下列四个变换： A. 图象上所有点向右平移π6个单位；B. 图象上所有点向右平移π3个单位；C. 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）；D. 图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）.请按顺序写出两次变换的代表字母： ▲ .（只要填写一组）8. 记max{a ，b }为a 和b 两数中的较大数．设函数()f x 和()g x 的定义域都是R ，则“()f x 和()g x都是偶函数”是“函数{}()max ()()F x f x g x =，为偶函数”的 ▲ 条件．（在“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”和“既不充分也不必要”中选填一个） 9. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：2248190x y x y +--+=关于直线l ：250x y +-=对称的圆C 2的方程为 ▲ ．10. 给出以下三个关于x 的不等式：①2430x x -+<，②311x >+，③2220x m x m ++<．若③的解6 7 8 5 5 6 3 4 0 1集非空，且满足③的x 至少满足①和②中的一个，则m 的取值范围是 ▲ ． 11. 设π02βα<<<，且113cos cos()ααβ=-=，，则tan β的值为 ▲ ．12. 设平面向量a ，b满足3-a b a ·b 的最小值为 ▲ ．13. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线22491x y+=上的点到原点O 的最短距离为 ▲ ． 14. 设函数()y f x =是定义域为R ，周期为2的周期函数，且当[)11x ∈-，时，2()1f x x =-；已知函数lg ||0()10x x g x x ≠⎧⎪=⎨=⎪⎩，，，． 则函数()f x 和()g x 的图象在区间[]510-，内公共点的个数为 ▲ ．【填空题答案】1. 252. 723. (]04，4. 345. 26. (]1921，7. BD （DA ） 8. 充分不必要 9. 221x y += 10.[)10-， 11.12. 513. 16- 14. 15二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．设向量a (cos sin )αα=，，b (cos sin )ββ=，，其中0πβα<<<．（1）若⊥a b，求+a 的值；（2）设向量c (0=，且a + b = c ，求αβ，的值．【解】（1）因为a (cos sin )αα=，，b (cos sin )ββ=，，所以11==，a b ． ……………2分因为⊥a b ，所以a ·b = 0．…………………………………………………………4分于是22234=++⋅=a a b b，故2=a ． ……………………6分（2）因为a + b ()(cos cos sin sin 0αβαβ=++=，，所以cos cos 0sin sin αβαβ+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，………………………………………………………………8分由此得()cos cos παβ=-，由0πβ<<，得0ππβ<-<，又0πα<<，故παβ=-． ………………………………………………………10分代入sin sin αβ+=，得s i n s i n αβ==．……………………………………12分而0πβα<<<，所以2ππαβ==，．……………………………………………14分EADCFP东北16．如图，在三棱锥P —ABC 中，平面P AC ⊥平面ABC ，60BAC ∠= ，E ，F 分别是AP ，AC 的中点，点D 在棱AB 上，且AD AC =． 求证：（1）//EF 平面PBC ；（2）平面DEF ⊥平面P AC ．【证】（1）在△P AC 中，因为E ，F 分别是AP ，AC 的中点，所以EF // PC ．………2分 又因为EF ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ， 所以//EF 平面PBC ．………………5分（2）连结CD ．因为60BAC ∠= ，AD AC =，所以△ACD 为正三角形．因为F 是AC 的中点，所以DF AC ⊥．………………………………………7分 因为平面P AC ⊥平面ABC ，DF ⊂平面ABC ，平面P AC I 平面ABC AC =， 所以DF ⊥平面P AC ． …………………………………………………………11分 因为DF ⊂平面DEF ，所以平面DEF ⊥平面P AC ．…………………………14分17．如图，港口A 在港口O 的正东120海里处，小岛B 在港口O 的北偏东60 的方向，且在港口A北偏西30 的方向上．一艘科学考察船从港口O 出发，沿北偏东30 的OD 方向以20海里/小时 的速度驶离港口O ．一艘给养快艇从港口A 以60海里/小时的速度驶向小岛B ，在B 岛转运补 给物资后以相同的航速送往科考船．已知两船同时出发，补给装船时间为1小时． （1）求给养快艇从港口A 到小岛B 的航行时间； （2）给养快艇驶离港口A 后，最少经过多少时间能和科考船相遇？【解】（1）由题意知，在△OAB 中，OA =120，3060AOB OAB ∠=∠=o o ，．于是60AB =，而快艇的速度为60海里/小时，所以快艇从港口A 到小岛B 的航行时间为1小时． ………………………………5分 （2）由（1）知，给养快艇从港口A 驶离2小时后，从小岛B 出发与科考船汇合． 为使航行的时间最少，快艇从小岛B 驶离后必须按直线方向航行，设t 小时后恰与科考船在C 处相遇．…………………………………………………………………7分在△OAB 中，可计算得OB =而在△OCB 中，6020(2)30BC t OC t BOC ==+∠=o ，，，………………………9分 由余弦定理，得2222cos BC OB OC OB OC BOC =+-⋅⋅∠， 即([]222(60)20(2)220(2)t t t =++-⨯+亦即285130t t +-=，解得1t =或138t =-（舍去）．……………………………12分故23t +=．即给养快艇驶离港口A 后，最少经过3小时能和科考船相遇？………………………14分18．设公差不为零的等差数列{}n a 的各项均为整数，S n 为其前n 项和，且满足2371574a a S a =-=，． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）试求所有的正整数m ，使得+12m m ma a a +为数列{}n a 中的项． 【解】（1）因为{}n a 是等差数列，且77S =，而17747()72a a S a +==，于是41a =．………2分 设{}n a 的公差为d ，则由23154a a a =-得(12)(1)5134d d d --=--， 化简得282790d d -+=，即(3)(83)0d d --=，解得3d =或38d =，但若38d =，由41a =知不满足“数列{}n a 的各项均为整数”，故3d =．………5分于是4(4)311n a a n d n =+-=-．……………………………………………………7分（2）因为+12(3)(6)189m m m m m m m ma a a a a a a a +++==++，3113(4)1n a n n =-=-+， ……10分 所以要使+12m m m a a a +为数列{}n a 中的项，18ma 必须是3的倍数， 于是m a 在1236±±±±，，，中取值，但由于1m a -是3的倍数，所以1m a =或2m a =-．由1m a =得4m =；由2m a =-得3m =． …………………………………………13分 当4m =时，+1213471m m m a a a a +⨯==；当3m =时，+123142m m m a aa a +⨯==-． 所以所求m 的值为3和4．…………………………………………………………16分 另解：因为2+12(38)(35)(311)9(311)18311311m m m a a m m m m a m m +---+-+==-- 1823332323113(4)1m m m m ⨯⨯=-+=-+--+，所以要使+12m m m a a a +为数列{}n a 中的项，233⨯⨯必须是3的倍数， 于是3(4)1m -+只能取1或2-．（后略）19. 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，短半轴长为2，椭圆C 上1．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且π2AOB ∠=．①求证：原点O 到直线AB 的距离为定值； ②求AB 的最小值．【解】（1）由题意，可设椭圆C 的方程为22221(0)y x a b a b+=>>，焦距为2c ，离心率为e ． 于是2b =．设椭圆的右焦点为F ，椭圆上点P 到右准线距离为d ， 则AFe AF e d d=⇒=⋅，于是当d 最小即P 为右顶点时，PF取得最小值， 所以1a c -=． (3)分因为2221221a c a b b c a b c ⎧⎧-==⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪==+⎩⎩，，，， 所以椭圆方程为22154x y +=．………………………………………………………5分（2）①设原点O 到直线AB 的距离为h ，则由题设及面积公式知OA OB h AB⋅=．当直线OA的斜率不存在或斜率为0时，2OA OB ⎧=⎪⎨=⎪⎩或2OB OA ⎧=⎪⎨=⎪⎩．于是d =．………………………………………………………………7分 当直线OA 的斜率k 存在且不为0时，则22222115454x y xk x y kx⎧⎪+=⇒+=⎨⎪=⎩，， 解得2222211541A A x k k y k ⎧=⎪+⎪⎪⎨⎪=⎪+⎪⎩，． 同理222221115411154BB x k k y k ⎧=⎪+⎪⎪⎨⎪=⎪+⎪⎩………………………………………9分 在Rt △OAB 中，22222222OA OB OA OB h AB OA OB ⋅⋅==+， 则222222222222222111111115544545411111k k k OA OB k h OA OB OA OB k k k k+++++==+=+=+⋅++++()()221111454511945201k k +++==+=+，所以h =．综上，原点O 到直线AB．……………………………………11分 另解：()()()()()()222222222222222111111111554411111111141114k kk k OA OB k k h OA OB k k k k k kkk ++⋅++++⋅===+++++++++++2221299992020k k k k ++==++，所以h =．②因为h 为定值，于是求AB 的最小值即求OA OB ⋅的最小值．22OA OB ⋅()()()()22222221112111411112040054204k k k k kk k k ++++=⋅=++++，令221t k k =+，则2t ≥， 于是22OA OB ⋅=()220401202011412041204120400t t t t t ++=⋅=-+++， …………………14分 因为2t ≥，所以()22116002018181OA OB ⋅⋅-=≥，当且仅当2t =，即1k =±，OA OB ⋅取得最小值409，因而min 40AB ==所以AB．…………………………………………………………16分 20．设函数()2ln f x a x bx =-，其图象在点()()22P f ，处切线的斜率为3-．（1）求函数()f x 的单调区间（用只含有b 的式子表示）；（2）当2a =时，令()()g x f x kx =-，设1x ，2x ()12x x <是函数()0g x =的两个根，0x 是1x ，2x 的等差中项，求证：0()0g'x <（()g'x 为函数()g x 的导函数）． 【解】（1）函数()f x 的定义域为()0+∞，．()2a f x bx '=-，则()243af b '=-=-，即86a b =-．于是()()2286bx b f x x-+-'=．……………………………………………………2分①当0b =时，()60f x x-'=<，()f x 在()0+∞，上是单调减函数； ②当0b <时，令()0f x '=，得x =， 所以()f x在(0上是单调减函数，在)+∞上是单调增函数； ③当0b >时，若304b <≤，则()0f x '<恒成立，()f x 在()0+∞，上单调减函数；若3b >，令()0f x '=，得x =，所以()f x在(0上单调增函数，在)+∞上单调减函数； 综上，若0b <，()f x的单调减区间为(0，单调增区间为)+∞； 若304b ≤≤，()f x 的单调减区间为()0+∞，；若34b >，()f x的单调增区间为(0，单调减区间为)+∞．……………………………………8分（2）因为286a a b ==-，，所以1b =，即()22ln g x x x kx =--．因为()g x 的两零点为1x ，2x ，则211122222ln 02ln 0x x kx x x kx ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，， 相减得：()()()221212122ln ln 0x x x x k x x -----=， 因为 12x x ≠，所以()()1212122ln ln x x k x x x x -=-+-，于是()()1200012122ln ln 242x x g'x x k x x x x x -=--=-+- ()()()112211212121212221222ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤-⎢⎥-⎡⎤=--=-⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥⎣⎦+⎢⎥⎣⎦． ……………………………………14分令()1201x t t x =∈，，，()()214ln 2ln 11t t t t t t ϕ-=-=--++，则()()()()222141011t 't t t t t ϕ--=-=<++，则()t ϕ在()01，上单调递减，则()()10t ϕϕ>=，又1220<，则()00g'x <．命题得证．………………16分C21A. 如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ．若DA = DC ，求证：AB = 2 BC ． 【证】连结OD ，BD ，因为AB 是圆O 的直径，所以902ADB AB OB ∠==o，．因为DC 是圆O 的切线，所以90CDO ∠=o ．因为AD = DC ，所以A C ∠=∠．于是△ADB ≅△CDO ，从而AB = CO ，即2OB = OB + BC ，得OB = BC ．故AB = 2 BC ．……………………………………10分21B. 已知矩阵A 的逆矩阵A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-212143411，求矩阵A 的特征值． 【解】因为A 1-A =E ，所以A =(A 1-)1-．因为A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-212143411，所以A =(A 1-)1-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1232． …………………………………5分 于是矩阵A 的特征多项式为f (λ)1232----=λλ= λ2－3λ－4， ………………………8分令f (λ) = 0，解得A 的特征值λ1 = －1，λ2 =4 ．………………………………………10分21C. 在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆5cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩，（ϕ为参数）的左焦点，且与直线423x t y t=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，（t 为参数）平行的直线的普通方程．【解】椭圆的普通方程：221259x y +=，左焦点(40)F -，………………………………………3分直线的普通方程：220x y -+=. …………………………………………………………6分 设过焦点(40)F -，且与直线220x y -+=平行的直线为20x y λ-+= 将(40)F -，代入20x y λ-+=， 4.λ=所求直线的普通方程为240x y -+=．…………………………………………………10分 21D. 已知实数x ，y 满足：| x + y |31<，1|2|6x y -<，求证：| y |518<．【证】3|||3|2()(2)2|||2|y y x y x y x y x y ==+--++-≤．…………………………………5分 由题设知| x + y |1<，1|2|x y -<， 从而1153||2366y ⨯+=≤．故| y |518<．…………………………………………………10分22．从棱长为1的正方体的8个顶点中任取不同2点，设随机变量ξ是这两点间的距离．（1）求概率(P ξ=；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ )．【解】（1）从正方体的8个顶点中任取不同2点，共有28C 28=种．因为正方体的棱长为1 正方体每个面上均有两条对角线，所以共有2612⨯=条．因此(123287P ξ==． ……………………………………………3分（2）随机变量ξ的取值共有1正方体的棱长为1，而正方体共有12条棱，于是()1231287P ξ===．………………………5分从而(()(331111777P P P ξξξ=-=-=--=． …………………………………7分所以随机变量ξ的分布列是…………………………………………………………………8分因此331()1E ξ=⨯=． …………………………………………10分23．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：24y x =，F 为其焦点，点E 的坐标为(2，0)，设M为抛物线C 上异于顶点的动点，直线MF 交抛物线C 于另一点N ，链接ME ，NE 并延长分别交 抛物线C 与点P ，Q ．（1）当MN ⊥Ox 时，求直线PQ 与x 轴的交点坐标；（2）当直线MN ，PQ 的斜率存在且分别记为k 1，k 2时，求证：122k k =． 【解】（1）抛物线C ：24y x =的焦点F (1，0) ．当MN ⊥Ox 时，直线MN 的方程为 1x =．将1x =代入抛物线方程24y x =，得2y =±．不妨设(12)M ，，(12)N -，， 则直线ME 的方程为2+4y x =-，由2244y x y x =-+⎧⎨=⎩，解得1x =或4x =，于是得(44)P -，．同理得(44)Q ，，所以直线PQ 的方程为4x =．故直线PQ 与x 轴的交点坐标(4，0)．………………………………………………4分 （2）设直线MN 的方程为1x my =+，并设11223344()()()()M x y N x y P x y Q x y ，，，，，，，． 由2214404x my y my y x=+⎧--=⎨=⎩，得， 于是124y y =-①，从而221212144y y x x =⋅=②．设直线MP 的方程为2x t y =+， 由2224804x t y y my y x=+⎧--=⎨=⎩，得， 所以138y y =-③，134x x =④． 同理248y y =-⑤，244x x =⑥．由①②③④⑤⑥，得323241412424y y x x y y x x ====，，，．431212214312122211y y y y y y k k ---===⋅=，即122k k =．…………………………………………………………………………10分。
南通市2014届高三数学最后一卷参考答案与评分建议
(第10题图)(第9题图) 南通市2014届高三数学参考答案与评分建议 数学I参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．． 1．已知集合A ={1，k -1}，B ={2，3}，且A ∩B ={2}，则实数k 的值为 ▲ ．答案：3． 2．若复数z 满足i z =2(i 为虚数单位)，则z = ▲ ．答案：-2i ． 3．不等式组0,0,2x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤所表示的平面区域的面积为 ▲ ．答案：2．4．函数y =sin 2x 的最小正周期为 ▲ ．答案：π．5．若正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥A -BDA 1的体积为 ▲ ．答案：16．6．已知函数23,0,()1,0,x x f x x x ->⎧=⎨+⎩≤若f (x )=5，则x = ▲ ．答案：8或-2．7．设函数f (x )=log 2x (0<x <5)，则f (x )<1的概率为 ▲ ．答案：25． 8．某鲜花店对一个月的鲜花销售数量(单位：支)进行统计，统计时间是4月1日至4月30日，5天一组分组统计，绘制了如图的鲜花销售数量频率分布直方图．已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且第二组的频数为180，那么该月共销售出的鲜花数(单位：支)为 答案：1200．9．如图是一个算法流程图．若输入A =3，B =5，则输出A ，B 的值分别为▲ ．答案：5，3．10．已知向量a ，b ，c在正方形网格中的位(第8题图)(,)λμλμ=+∈R c a b ，则λμ+= ▲ ．答案：53-．11．已知实数x ，y ，满足xy =1，且x >2y >0，则2242x y x y +-的最小值为 ▲ ．答案：4．12．设t ∈R ，[t ]表示不超过t 的最大整数．则在平面直角坐标系xOy 中，满足[x ]2+[y ]2=13的点P (x ，y )所围成的图形的面积为 ▲ ．答案：8．13．设函数f (x )满足f (x )=f (3x )，且当x ∈[1,3)时，f (x )=ln x ．若在区间[1,9)内，存在3个不同的实数x 1，x 2，x 3，使得312123()()()f x f x f x x x x ===t ，则实数t 的取值范围为 答案：ln31(,)93e． 14．设各项均为正整数的无穷等差数列{a n }，满足a 54=2014，且存在正整数k ，使a 1，a 54，a k 成等比数列，则公差d 的所有可能取值之和为 ▲ ．答案：92．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡．．．指定区域内作答．．．．．．．．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在△ABC 中，|AB AC -|=3，|BC BA -|=5，|CA CB -|=7． (1)求C 的大小；(2)设D 为AB 的中点，求CD 的长．解：(1)依题意BC =3，CA =5，AB =7．······························1分 由余弦定理，得222cos 2CB CA AB C CB CA+-=⋅⋅=12-． ····················4分因0<C <π，···············6分 故C =23π．·······················8分(2)由余弦定理，得13cos 14A =．··············11分 在△ADC 中，AD =72，CD 2=AC 2+AD 2-2AC ×AD ×cos A =194，于是CD．·· 14分16．（本小题满分14分）如图，AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆上，四边形ABCD 为矩形，AB ∥EF ，∠BAF =3π，M 为BD 的中点，平面ABCD ⊥平面ABEF ．求证：(1)BF ⊥平面DAF ； (2)ME ∥平面DAF ．(第15题图)BAC解：(1)因四边形ABCD 为矩形，故DA ⊥AB ．因平面ABCD ⊥平面ABEF ，且DA ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面ABEF =AB ， 故DA ⊥平面ABEF ． ·············3分，因BF ⊂平面ABEF ，故DA ⊥BF ． ··········4分 因AB 为直径，故BF ⊥AF ．因DA ，AF 为平面DAF 内的两条相交直线，故BF ⊥平面DAF ．·····················7分 (2)因∠BAF =3π，AB ∥EF ，故EF =12AB ．··················································8分 取DA 中点N ，连NF ，MN ，因M 为BD 的中点， 故MN ∥AB ，且MN =12AB ，于是四边形MNFE 为平行四边形，所以ME ∥NF ．··· 1分 因NF ⊂平面DAF ，ME ⊄平面DAF ，故ME ∥平面DAF ．·····14分注：第(2)问，亦可先证明ME ∥平面MOE ．17．（本小题满分14分）图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD 是矩形，弧CmD 是半圆，凹槽的横截面的周长为4．若凹槽的强度T 等于横截面的面积S 与边AB 的乘积，设AB =2x ，BC =y ． (1)写出y 关于x 函数表达式，并指出x 的取值范围； (2)求当x 取何值时，凹槽的强度T 最大．解：(1)易知半圆CmD 的半径为x ，故半圆CmD 的弧长为πx ． 所以，4=2x +2y +πx ，得4(2)2xy -+π=．····················································4分 依题意，知：0<x <y ，得404x <<+π． 所以，4(2)2x y -+π=(404x <<+π)．·······················································7分 (2)依题意，T =AB S ⋅=212(2)2x xy x -π=238(43)x x -+π． ······························9分令2163(43)T x x '=-+π=0，得16912x =π+∈4(0,)4+π，另一解舍去．··············11分(第17题图)图1图2所以当16912x =π+，凹槽的强度最大．·····················································14分注：x 的范围写为404x <≤+π，不扣分． 18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=(a >b >0)过点(1，1)．(1)，求椭圆的方程； (2)若椭圆上两动点P ，Q ，满足OP ⊥OQ ．(2)若椭圆上两动点P ，Q ，满足OP ⊥OQ ．①已知命题：“直线PQ 恒与定圆C 相切”是真命题，试直接写出圆C 的方程；(不需要解答过程)②设①中的圆C 交y 轴的负半轴于M 点，二次函数y =x 2-m 的图象过点M ．点A ，B在该图象上，当A ，O ，B 三点共线时，求△MAB 的面积S 的最小值．解：(1)由e =，所以::a b c =．························································2分 设椭圆方程为222212x y b b+=，将(1，1)代入得221112b b +=，所以223,32b a ==，椭圆方程为222133x y +=．··················5分 (2)①221x y +=．··················································································9分 ②由题意，二次函数为y =x 2-1．········· 10分 设直线AB 的方程为y =kx ．由21y x y kx⎧=-⎨=⎩，消去y 得，210x kx --=． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12x x k +=，121x x =-．······································12分所以2112S OM x x =⋅-= ·····························14分 当0k =时，△MAB 的面积S 的最小值为1． ··········16分19．（本小题满分16分）设数列{a n }，a 1=1，1133n n n a a +=+．数列{b n }，13n n n b a -=．正数数列{d n }，2221111n n n d b b +=++． (1)求证：数列{b n }为等差数列；(2)设数列{b n }，{d n }的前n 项和分别为B n ，D n ，求数列{b n D n +d n B n -b n d n }的前n 项和S n ．解：(1)由1133n n n a a +=+，得11331n n n n a a -+=+． 又13n n n b a -=，所以11n+n b b +=．·······························································3分 又b 1=a 1=1，所以数列{b n }是以1为首项，1为公差的等差数列．·····················4分 (2)由(1)得1(1)1n b n n =+-⨯=，B n =(1)2n n +．·············································6分 因2221111n n n d b b +=++， 故222221121)111(1)(1)nn n d n n n n ++=++=+++（21[1](1)n n =++． 由d n >0，得11111(1)1n d n n n n =+=+-++．于是，111n D n n =+-+． ·································10分 又当n ≥2时，b n D n +d n B n -b n d n =(B n -B n -1)D n +(D n -D n -1)B n -(B n -B n -1)(D n -D n -1)=B n D n -B n -1D n -1， 所以S n =(B n D n -B n -1D n -1)+(B n -1D n -1-B n -2D n -2)+…+(B 2D 2-B 1D 1)+B 1D 1=B n D n ．··········14分 因S 1=b 1D 1+d 1B 1-b 1d 1=B 1D 1也适合上式，故对于任意的n ∈N *，都有S n =B n D n ． 所以S n =B n D n =(1)2n n +⋅1(1)1n n +-+=321(2)2n n +． ···············16分 20．（本小题满分16分）设函数f (x )=ax 2+e x (a ∈R )有且仅有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)． (1)求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a 满足f (x 1)=231e x ?如存在，求f (x )的极大值；如不存在，请说明理由． 解：(1)()f x '=2ax +e x ．显然a ≠0，x 1，x 2是直线y =12a-与曲线y =g (x )=e x x两交点的横坐标．··············2分由()g x '=1ex x-=0，得x =1．列表：·························································4分 此外注意到： 当x <0时，g (x )<0；当x ∈[0，1]及x ∈(1，+∞)时，g (x )的取值范围分别为[0，1e ]和(0，1e )．于是题设等价于0<12a -<1e⇒a <e 2-，故实数a 的取值范围为(-∞，e2-)．········6分(2)存在实数a 满足题设．证明如下： 由(1)知，0< x 1<1<x 2，1()f x '=2ax 1+1e x =0，故f (x 1)=121+e x ax =111e e 2x x x -=231e x ，故11231e 1e e 02x x x --=．····························8分 记R (x )=23e 1e e 2x x x --(0<x <1)，则()R x '=2e (1)1e 02x x x x --<，于是，R (x )在(0，1)上单调递减． 又R (23)=0，故R (x )有唯一的零点x =23． 从而，满足f (x 1)=231e x 的x 1=23．所以，a=1231e 3e 24x x -=-．·····························12分 此时f (x )=2233e e 4x x -+，()f x '=233e e 2x x -+，又(0)f '>0，(1)f '<0，(2)f '>0，而x 1=23∈(0，1)， 故当a =233e 4-时，f (x )极大=f (x 1)=232e 3．·······················································16分南通市2014届高三数学临门一脚数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请．选定其中两小题．．．．．．．，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4－1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，⊙O 是三角形△ABC 的外接圆，AB =AC ，延长BC 到点D ，使得CD =AC ，连结AD 交⊙O 于点E ，连结BE 与AC 交于点F ，求证BE 平分∠ABC ．解：因CD =AC ，故∠D =∠CAD ．因AB =AC ，故∠ABC =∠ACB ． 因∠EBC =∠CAD ，故∠EBC =∠D ．因∠ABC =∠ABE +∠EBC ，∠ACB =∠D +∠CAD ．故∠ABE =∠EBC ，即BE 平分∠ABC ． ···················································10分B ．[选修4－2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵14a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，A 的两个特征值为12λ=，2λ=3． (1)求a ，b 的值；(2)求属于2λ的一个特征向量α．解：(1)令2()()(4)(4)4014abf a b a a b λλλλλλλ--==--+=-+++=-，于是 1λ+2λ=a +4，1λ⋅2λ=4a +b ．解得a =1，b =2． ············································5分(2)设α=x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则A α=1214⎡⎤⎢⎥-⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=24x y x y +⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦=3x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=33x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故23,43,x y x x y y +=⎧⎨-+=⎩解得x =y ．于是，α=11⎡⎤⎢⎥⎣⎦．···············································10分(第21A 题图)C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）圆C 的参数方程为12cos ,2sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)，设P 是圆C 与x 轴正半轴的交点．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设过点P 的圆C 的切线为l ，求直线l 的极坐标方程．解：由题设知，圆心(1C ，(2,0)P ，∠CPO =60°，故过P 点的切线的倾斜角为30°． ····························································3分 设(,)M ρθ是过P 点的圆C 的切线上的任一点，则在△PMO 中， ∠MOP =θ，030OMP θ∠=-，0150OPM ∠=． 由正弦定理得sin sin OM OPOPM OMP=∠∠，于是002sin150sin(30)ρθ=-， 即0cos(60)1 ρθ+=（或0sin(30)1ρθ-=）即为所求切线的极坐标方程．·········10分D ．[选修4－5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a 、b 、c 均为正实数，且a +b +c =1解：因 a 、b 、c ＞0，故 2 111++)2≤((a +1)+(b +1)+(c +1))(1+1+1)=12，························································3分，a =b =c =13时，取“=”．··········································10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）(1)计算：2013320145C A +；(2)观察下面一组组合数等式：101C C n n n -=；2112C C n n n -=；3213C C n n n -=；…由以上规律，请写出第k (k ∈N *)个等式并证明．解：(1)原式=2074．·····················································································5分(2)等式为：11C C k k n n k n --=，k ∈N *． ····························································7分证明：C k n k =!!()!kn k n k -=(1)!(1)!((1)(1))!n n k n k -----=11C k n n --．·······························10分23．（本小题满分10分）数列{a n }，{b n }满足a 1=b 1，且对任意正整数n ，{a n }中小于等于n 的项数恰为b n ； {b n }中小于等于n 的项数恰为a n ． (1)求a 1；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)首先，容易得到一个简单事实：{a n }与{b n }均为不减数列且a n ∈N ，b n ∈N ． 若a 1=b 1=0，故{a n }中小于等于1的项至少有一项，从而b 1≥1，这与b 1=0矛盾． 若a 1=b 1≥2，则{a n }中没有小于或等于1的项，从而b 1=0，这与b 1≥2矛盾． 所以，a 1=1．························································································4分 (2)假设当n =k 时，a k =b k =k ，k ∈N *．若a k +1≥k +2，因{a n }为不减数列，故{a n }中小于等于k +1的项只有k 项， 于是b k +1=k ，此时{b n }中小于等于k 的项至少有k +1项(b 1，b 2，…，b k ，b k +1)， 从而a k ≥k +1，这与假设a k =k 矛盾．若a k +1=k ，则{a n }中小于等于k 的项至少有k +1项(a 1，a 2，…，a k ，a k +1)， 于是b k ≥k +1，这与假设b k =k 矛盾． 所以，a k +1=k +1．所以，当n =k +1时，猜想也成立．综上，由(1)，(2)可知，a n =b n =n 对一切正整数n 恒成立．所以，a n =n ，即为所求的通项公式．························································10分。
2014届江苏省南通市高三第二次调研测试数学试题(含答案解析)扫描版
（方法 2）取 AB 的中点 M，连 EM，CM． ……………… 2 分 因为 E 是 PB 的中点，所以 EM // PA． 因为 AB∥CD，AB＝2DC，所以 CM // AD．……………… 4 分
E
B
D
C
（第 16 题）
因为 EM ⊄ 平面 PAD， PA ⊂ 平面 PAD， 所以 EM∥平面 PAD．同理，CM∥平面 PAD． 因为 EM I CM = M ， EM ，CM ⊂ 平面 CEM， 所以平面 CEM∥平面 PAD． 而 CE ⊂ 平面 PAD， 故 CE∥平面 PAD． ……………………… 7分 （2） （接（1）中方法 1）因为 PD＝AD，且 F 是 PA 的中点，所以 DF ⊥ PA ． 因为 AB⊥平面 PAD，DF ⊂ 平面 PAD，所以 DF ⊥ AB ． 10 分 因为 CE∥DF，所以 CE ⊥ PA ， CE ⊥ AB ． 因为 PA，AB ⊂ 平面 PAB， PA I AB = A ，所以 CE ⊥ 平面 PAB． 因为 CE ⊂ 平面 PBC， 所以平面 PBC⊥平面 PAB． 14 分 ………………………… ………………………
16． 【证】 （1） （方法 1）取 PA 的中点 F，连 EF，DF．…… 2 分 因为 E 是 PB 的中点，所以 EF // AB，且 EF = 1 AB ． 2 因为 AB∥CD，AB＝2DC，所以 EF∥CD，……………… 4 分
EF = CD ，于是四边形 DCEF 是平行四边形，
从而 CE∥DF，而 CE ⊄ 平面 PAD， DF ⊂ 平面 PAD， 故 CE∥平面 PAD． …………………… 7 分 P F A M
(
)
因为 14 − x ∈ [4， 8] ，而 1 ≤ a ≤ 4 ， 所以 4 a ∈ [4 ， 8] ，故当且仅当 14 − x = 4 a 时，y 有最小值为 8 a − a − 4 . 令8 a − a − 4≥ 4 ， 解得 24 − 16 2 ≤ a ≤ 4 ， 所以 a 的最小值为 24 − 16 2 ≈ 1.6 ． ……… 14 分
江苏省南通市2014届高三第二次调研测试数学试卷
南通市2014届高三第二次调研测试 数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1． 已知集合{}{}31A x x x x =<-≥，则A =R ð ▲ ．【答案】{}13x x -<≤．2． 某学校有8个社团，甲、乙两位同学各自参加其中一个社团，且他俩参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个社团的概率为 ▲ ． 【答案】18．3． 复数i 1iz =-（其中i 为虚数单位）的模为▲ ． ．4．从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的 方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则 该样本中产品的最大编号为 ▲ ． 【答案】76．5． 根据如图所示的伪代码，最后输出的a 的值为 ▲ ．【答案】48．6． 若12log 11a a <-，则a 的取值范围是 ▲ ．【答案】()4+∞，．7． 若函数32()fx x ax bx =++为奇函数，其图象的一条切线方程为3y x =-，则b 的值为 ▲ ． 【答案】3-．8. 设l ，m 表示直线，m 是平面α内的任意一条直线．则“l m ⊥”是“l α⊥”成立的▲条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个）（第5题）【答案】充要．9． 在平面直角坐标系xOy 中，设A 是半圆O ：222x y +=（0x ≥）上一点，直线OA 的倾斜角为45°，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，过H 作OA 的平行线交半圆于点B ，则直线AB 的方程是 ▲ ．10y +--=．10．在△ABC 中，D 是BC 的中点，AD ＝8，BC ＝20，则AB AC ⋅的值为 ▲ ． 【答案】－36．11．设x ，y ，z 是实数，9x ，12y ，15z 成等比数列，且1x ，1y ，1z成等差数列，则x z z x +的值是 ▲ ． 【答案】3415．12．设π6是函数()()sin 2f x x ϕ=+的一个零点，则函数()f x 在区间()02π，内所有极值点之和为▲ ． 【答案】14π313． 若不等式(mx －1)［3m 2－( x + 1)m －1］≥0对任意(0)m ∈+∞，恒成立，则实数x 的值为 ▲ ． 【答案】114．设实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2 ≤c ≤1，则a ＋b ＋c 的最小值为 ▲ ． 【答案】12-．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，已知916AB AC AB BC ⋅=⋅=-，．求： （1）AB 的值； （2）sin()sin A B C-的值．PABCDE （第16题）【解】（1）（方法1）因为916AB AC AB BC ⋅=⋅=-，， …………………………… 4分所以91625AB AC AB BC ⋅-⋅=+=，即()25AB AC CB +=， 亦即225AB =，故5AB =． …………………………… 7分（方法2）设A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ， 则由条件得cos 9cos 16bc A ac B ==，． …………………………… 3分两式相加得(cos cos )91625c b A a B +=+=，即225c =，故5AB c ==． ……………… 7分（方法3）设A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ， 则由条件得cos 9cos 16bc A ac B ==，． …………………………… 3分由余弦定理得()()2222221191622b c a c a b +-=+-=，，两式相加得225c =，故5AB c ==． …………………………… 7分（2）sin()sin cos cos sin sin sin A B A B A BC C--=………………………… 10分 由正弦定理得s i n ()c o sc o s s i n A B a B bA C c --=22cos cos 169725ac B bc A c c --===． ………… 14分16．（本小题满分14分）在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥平面P AD ， PD ＝AD ，AB ＝2DC ，E 是PB 的中点．求证：（1）CE ∥平面P AD ；（2）平面PBC ⊥平面P AB ．【证】（1）（方法1）取P A 的中点F ，连EF ，DF ．…… 2分 因为E 是PB 的中点，所以EF // AB ，且12EF AB =．PABCDE（第16题）FM 因为AB ∥CD ，AB ＝2DC ，所以EF ∥CD ，……………… 4分 EF CD =，于是四边形DCEF 是平行四边形，从而CE ∥DF ，而CE ⊄平面P AD ，DF ⊂平面P AD ， 故CE ∥平面P AD ． …………………… 7分 （方法2）取AB 的中点M ，连EM ，CM ． ……………… 2分 因为E 是PB 的中点，所以EM // P A ．因为AB ∥CD ，AB ＝2DC ，所以CM // AD ．……………… 4分 因为EM ⊄平面P AD ，PA ⊂平面P AD ， 所以EM ∥平面P AD ．同理，CM ∥平面P AD ． 因为EMCM M =，EM CM ⊂，平面CEM ，所以平面CEM ∥平面P AD ．而CE ⊂平面P AD ，故CE ∥平面P AD ．……………………… 7分（2）（接（1）中方法1）因为PD ＝AD ，且F 是P A 的中点，所以DF PA ⊥． 因为AB ⊥平面P AD ，DF ⊂平面P AD ，所以DF AB ⊥． ……………………… 10分因为CE ∥DF ，所以CE PA ⊥，CE AB ⊥． 因为PA AB ⊂，平面P AB ，PAAB A =，所以CE ⊥平面P AB ．因为CE ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面P AB ． ………………………… 14分17．（本小题满分14分）为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y （单位：毫克/立方米）随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为161048154102x xy x x ⎧-⎪-=⎨⎪-<⎩，≤≤，，≤． 若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知,当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天?（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a （14a ≤≤）个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a 的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）． 【解】（1）因为一次喷洒4个单位的净化剂， 所以浓度644048()4202410x x f x y x x ⎧-⎪-==⎨⎪-<⎩，≤≤，，≤．则当04x ≤≤时，由64448x--≥，解得0x ≥，所以此时04x ≤≤．…………………… 3分当410x <≤时，由2024x -≥解得8x ≤，所以此时48x <≤．综合得08x ≤≤，若一次投放4个单位的制剂，则有效净化时间可达8天． …………… 7分（2）设从第一次喷洒起，经x （610x ≤≤）天， 浓度()1161616()25110(14)428(6)1414a a g x x a x a x a x x x ⎡⎤=-+-=-+-=-+--⎢⎥----⎣⎦．…… 10分 因为14[48]x -∈，，而14a ≤≤，所以[48]，，故当且仅当14x -=时，y有最小值为4a --.令44a --≥，解得244a -≤，所以a的最小值为24 1.6-≈．……… 14分18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，设曲线C 1：1(0)x y a b ab+=>>所围成的封闭图形的面积为C 1上的点到原点O．以曲线C 1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C 2．（1）求椭圆C 2的标准方程；（2）设AB 是过椭圆C 2中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线．M 是l 上的点（与O 不重合）．①若MO ＝2OA ，当点A 在椭圆C 2上运动时，求点M 的轨迹方程； ②若M 是l 与椭圆C 2的交点，求△AMB 的面积的最小值．【解】（1）由题意得2ab ⎧=⎪= 又0a b >>，解得28a =，21b =．因此所求椭圆的标准方程为2218x y +=． ………………………… 4分 （2）①设()M x y ，，()A m n ，，则由题设知：2OM OA =，0OA OM ⋅=．即22224()0x y m n mx ny ⎧+=+⎨+=⎩，，解得22221414m y n x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，． ………………………8分 因为点()A m n ，在椭圆C 2上，所以2218m n +=， 即()()222182y x +=，亦即221432x y +=．所以点M 的轨迹方程为221432x y +=． ………………………10分 ②（方法1）设()M x y ，，则()(0)A y x λλλλ-∈≠R ，，， 因为点A 在椭圆C 2上，所以222(8)8y x λ+=，即22288y x λ+= （i ）又2288x y += （ii ）（i ）+（ii ）得()2228119x y λ+=+， ………………………13分所以()228116||()||99AMB S OM OA x y λλλ∆=⋅=+=+≥.当且仅当1λ=±（即1AB k =±）时，()min 169AMB S ∆=. ………………………16分（方法2）假设AB 所在的直线斜率存在且不为零，设AB 所在直线方程为y ＝kx (k ≠0)．解方程组2218x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，得22818A x k =+，222818A k y k =+， 所以22222222888(1)181818A Ak k OA x y k k k +=+=+=+++，222232(1)418k AB OA k +==+. 又22181x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，解得2228+8M k x k =，228+8M y k =，所以2228(1)+8k OM k +=．…………… 12分（解法1）由于22214AMBS AB OM =⋅△2222132(1)8(1)418+8k k k k ++=⨯⨯+222264(1)(18)(+8)k k k +=+ ()2222264(1)18+82k k k +++≥222264(1)2568181(1)4k k +==+， 当且仅当22188k k +=+时等号成立，即k ＝±1时等号成立，此时△AMB 面积的最小值是S △AMB ＝169． ……………15分当k ＝0，S △AMB 116129=⨯=>；当k 不存在时，S △AMB 116229=⨯=>．综上所述，△AMB 面积的最小值为169． ……………16分（解法2）因为22222211118(1)8(1)18+8k k OA OM k k +=++++22218+898(1)8k k k ++==+， 又22112OA OM OA OM +⋅≥，于是169OA OM ⋅≥， 当且仅当22188k k +=+时等号成立，即k ＝±1时等号成立．（后同方法1）19．(本小题满分16分)设数列{a n }的首项不为零，前n 项和为S n ，且对任意的r ，t ∈N *，都有()2r t SrS t=．（1）求数列{a n }的通项公式（用a 1表示）；（2）设a 1=1，b 1=3，()1*2n n b b S n n -=∈N ≥，，求证：数列{}3log n b 为等比数列； （3）在（2）的条件下，求121nk n k k b T b -==-∑． 【解】（1）因为110a S =≠，令1t =，r n =，则()2r t SrS t=，得21nS n S =，即21n S a n =．… 2分当2n ≥时，11(21)n n n a S S a n -=-=-，且当1n =时，此式也成立． 故数列{a n }的通项公式为1(21)n a a n =-． …………… 5分（2）当11a =时，由（1）知1(21)21n a a n n =-=-，S n ＝n 2．依题意，2n ≥时，121n n b n b S b --==， ……… 7分于是233131log log 2log (2)n n n b b b n n --==∈N ≥，，且31log 1b =，故数列{}3log n b 是首项为1，公比为2的等比数列． …………… 10分（3）由（2）得113log 122n n n b --=⨯=，所以12*3()n n b n -=∈N ． ……… 12分于是()()()22121222212222231131113131313+131k k k k k k k k k b b --------+-===------． ……… 15分所以()211122222111112313131k k n nnk n k k k b T b ----====-=-----∑∑． ……… 16分20．(本小题满分16分)设函数()e ()x f x ax a a =-+∈R ，其图象与x 轴交于1(0)A x ，，2(0)B x ，两点，且x 1＜x 2．（1）求a 的取值范围； （2）证明：0f '<（()f x '为函数()f x 的导函数）； （3）设点C 在函数()y f x =的图象上，且△ABCt =，求(1)(1)a t --的值．【解】（1）()e x f x a '=-．若0a ≤，则()0f x '>，则函数()f x 是单调增函数，这与题设矛盾．……………………… 2分所以0a >，令()0f x '=，则ln x a =．当ln x a <时，()0f x '<，()f x 是单调减函数；ln x a >时，()0f x '>，()f x 是单调增函数；于是当ln x a=时，()f x 取得极小值． ……………………… 4分因为函数()e ()x f x ax a a =-+∈R 的图象与x 轴交于两点1(0)A x ，，2(0)B x ，(x 1＜x 2)， 所以(ln )(2ln )0f a a a =-<，即2e a >．. 此时，存在1ln (1)e 0a f <=>，；存在33ln ln (3ln )3ln a a f a a a a a >=-+，3230a a a >-+>，又由()f x 在(ln )a -∞，及(ln )a +∞，上的单调性及曲线在R 上不间断，可知2e a >为所求取值范围. ……………………………… 6分（2）因为1212e 0e 0xx ax a ax a ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，， 两式相减得2121e e x x a x x -=-．记21(0)2x x s s -=>，则()121221212221e e e e 2(e e )22x x x x x x s sx x f s x x s ++-+-'⎡⎤=-=--⎣⎦-，…………… 8分设()2(e e )s s g s s -=--，则()2(e e )0s s g s -'=-+<，所以()g s 是单调减函数， 则有()(0)0g s g <=，而122e02x x s+>，所以()1202x x f +'<． 又()e x f x a '=-是单调增函数，且122x x +>所以0f '<． ………………………………………… 11分（3）依题意有e 0i x i ax a -+=，则(1)e 0i x i a x -=>⇒112i x i >=（，）．于是122e x x +=，在等腰三角形ABC 中，显然C = 90°，…………………… 13分所以12012()2x x x x x +=∈，，即00()0y f x =<， 由直角三角形斜边的中线性质，可知2102x x y -=-， 所以21002x x y -+=，即1221212e ()022x x x xa x x a +--+++=，所以2112()022x x a x x a --+++=，即2112(1)(1)[(1)(1)]022x x a x x ----+-+=．因为110x -≠，则()2211111110212x x x a x ----++=-，t =，所以221(1)(1)022a at t t -++-=， …………………………………… 15分即211a t =+-，所以(1)(1) 2.a t --= …………………………………… 16分南通市2014届高三第二次调研测试数学Ⅱ（附加题）（第21—A 题）21A ．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上一点，过D 作直线DP // AC ，交AB 于点E ，交圆O在A 点处的切线于点P ．求证：△P AE ∽△BDE ．【证明】因为P A 是圆O 在点A 处的切线，所以∠P AB ＝∠ACB ． 因为PD ∥AC ，所以∠EDB ＝∠ACB ， 所以∠P AE ＝∠P AB ＝∠ACB ＝∠BDE ．又∠PEA ＝∠BED ，故△P AE ∽△BDE ．…………………… 10分21B ．选修4—2：矩阵与变换已知二阶矩阵M 有特征值1λ=及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦e ，且M 11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦．求矩阵M ．【解】设ab cd ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，则由 1 111a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11a b c d -=⎧⎨-=-⎩，． 再由1311⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ab c d ，得31a b c d +=⎧⎨+=⎩．，联立以上方程组解得a ＝2，b ＝1，c ＝0，d ＝1，故2101⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ．……………………… 10分21C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，设动点P ，Q 都在曲线C ：12cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，（θ为参数）上，且这两点对应的参数分别为θ＝α与θ＝2α(0＜α＜2π)，设PQ 的中点M 与定点A (1，0)间的距离为d ，求d 的取值范围．【解】由题设可知P ( 1 + 2cos α，2sin α )，Q ( 1 + 2cos2α，sin2α )，………………………… 2分于是PQ的中点M ()1cos cos 2sin sin 2αααα+++，． ………………………… 4分从而ABCDD 1A 1B 1C 1E（第22题）()()2222cos cos 2sin sin 222cos d MA ααααα==+++=+ ………………………… 6分因为0＜α＜2π，所以－1≤cos α＜1， ………………………… 8分于是0≤d 2＜4，故d 的取值范围是[)02，． ………………………… 10分21D ．选修4—5：不等式选讲已知：2a x ∈≥，R ．求证：|1|||x a x a -++-≥3． 证明：因为|m|+|n|≥|m －n|， 所以|1|||1(x a x a x a x a a -++--+---≥||=|．………………………………………… 8分又a ≥2，故21|a -|≥3． 所以|1||x ax a-++-≥．…………………………………………………………………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题．．卡指定区域．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，112AD AA AB ==，点E 是棱AB 上一点．且AE EB λ=．（1）证明：11D E A D ⊥；（2）若二面角D 1—EC —D 的大小为π4，求λ的值．【证】（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴， DD 1为z 轴建立空间直角坐标系． 不妨设AD =AA 1＝1，AB ＝2，则D (0，0，0)，A (1，0，0)，B (1，2，0)，C (0，2，0)，A 1(1，0，1)，B 1(1，2，1)，C 1(0，2，1)，D 1(0，0，1)．因为AEEB ＝λ，所以()2101E λλ+，，，于是()112111D E A D λλ=-=+，，，(－1，0，－1)．所以()11211(101)01D E A D λλ⋅=-⋅--=+，，，，．故D 1E ⊥A 1D ． ……… 5分（2）因为D 1D ⊥平面ABCD ，所以平面DEC 的法向量为n 1＝(0，0，1)． 又()21201CE λλ=+，-，，1CD =(0，－2，1)．设平面D 1CE 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，则n 2·()2201CE x y λλ=+-=+，n 2·120CD y z =-+=，所以向量n 2的一个解为()22121λλ-+，，．因为二面角D 1—EC —D 的大小为π4，则1212|||⋅=n n|n n ．解得λ=±233－1．又因E 是棱AB 上的一点，所以λ＞0，故所求的λ值为233－1． (10)分23.（本小题满分10分）设数列{a n }共有n （3n n ∈N ≥，）项，且11n a a ==，对每个i (1≤i ≤1n -，i ∈N )，均有{}11122i i a a +∈，，． （1）当3n =时，写出满足条件的所有数列{a n }（不必写出过程）； （2）当8n =时，求满足条件的数列{a n }的个数． 【解】（1）当3n =时，131a a ==． 因为{}211122a a ∈，，，{}321122a a ∈，，，即{}21122a ∈，，，{}211122a ∈，，， 所以212a =或21a =或22a =．故此时满足条件的数列{a n }共有3个：1112，，； 1，1，1； 1，2，1． ……… 3分（2）令b i ＝a i +1a i(1≤i ≤7)，则对每个符合条件的数列{a n }，满足条件：77181111i i i i i a a b a a +=====∏∏，且b i ∈{}1122，， (1≤i ≤7)．反之，由符合上述条件的7项数列{b n }可唯一确定一个符合条件的8项数列{a n }．………7分记符合条件的数列{b n }的个数为N ．显然，b i (1≤i ≤7)中有k 个2；从而有k 个12，7－2k 个1．当k 给定时，{b n }的取法有77C C k kk -种，易得k 的可能值只有0，1，2，3，故1122337675741C C C C C C 393N =+++=．因此，符合条件的数列{a n }的个数为393． ……… 10分。
2024-2025学年江苏省南通市高三(上)调研数学试卷(9月份)(含答案)
2024-2025学年江苏省南通市高三（上）调研数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A，B，若A={−1,1}，A∪B={−1,0,1}，则一定有( )A. A⊆BB. B⊆AC. A∩B=⌀D. 0∈B2.已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1，命题q：∃x>0，x3=x，则( )A. p和q都是真命题B. ￢p和q都是真命题C. p和￢q都是真命题D. ￢p和￢q都是真命题3.函数f(x)=(e x+e−x)sinx−2x在区间[−2,2]的大致图象为( )A. B. C. D.4.设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则( )A. 若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥αB. 若l//m，m//n，l⊥α，则n⊥αC. 若l//m，m⊥α，n⊥α，则l⊥nD. 若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l//m5.在正三棱台ABC−A1B1C1中，AB=4，A1B1=2，A1A与平面ABC所成角为π4，则该三棱台的体积为( )A. 523B. 283C. 143D. 736.设a=2π，b=log2π，c=π，则( )A. c<b<aB. b>c>aC. a>c>bD. a>b>c7.若函数f(x)={log2(x+1),−1<x≤3x+ax,x>3，在(−1,+∞)上单调递增，则a的取值范围是( )A. [−3,9]B. [−3,+∞)C. [0,9]D. (−∞,9]8.设函数f(x)=(x2+ax+b)lnx，若f(x)≥0，则a的最小值为( )A. −2B. −1C. 2D. 1二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中最小值为4的是( )A. y=lnx+4lnxB. y=2x+22−xC. y=4|sinx|+1|sinx|D. y=x2+5x2+110.定义在R上的偶函数f(x)，满足f(x+2)−f(x)=f(1)，则( )A. f(1)=0B. f(1−x)+f(1+x)=0C. f(1+2x)=f(1−2x)D. ∑20i=1f(i)=1011.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为AC，A1B的中点，则( )A. MN//平面ADD1A1B. MN⊥AC1C. 直线MN与平面AA1C1C所成角为π4D. 平面MND1经过棱A1B1的三等分点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2014年江苏省南通市中考数学试卷(含答案和解析)
2014年江苏省南通市中考数学试卷一、选择题〔本大题共10小题，每题3分，共30分〕1．〔3分〕〔2014•南通〕﹣4的相反数〔〕A．4B．﹣4 C．D．﹣2．〔3分〕〔2014•南通〕如图，∠1=40°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为〔〕A．160°B．140°C．60°D．50°3．〔3分〕〔2014•南通〕已知一个几何体的三视图如下图，则该几何体是〔〕A．圆柱B．圆锥C．球D．棱柱4．〔3分〕〔2014•南通〕假设在实数范围内有意义，则x的取值范围是〔〕A．x ≥B．x≥﹣C．x ＞D．x ≠5．〔3分〕〔2014•南通〕点P〔2，﹣5〕关于x轴对称的点的坐标为〔〕A．〔﹣2，5〕B．〔2，5〕C．〔﹣2，﹣5〕D．〔2，﹣5〕6．〔3分〕〔2014•南通〕化简的结果是〔〕A．x+1 B．x﹣1 C．﹣x D．x7．〔3分〕〔2014•南通〕已知一次函数y=kx﹣1，假设y随x的增大而增大，则它的图象经过〔〕A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限8．〔3分〕〔2014•南通〕假设关于x 的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是〔〕A．a≥1 B．a＞1 C．a≤﹣1 D．a＜﹣19．〔3分〕〔2014•南通〕如图，△ABC中，AB=AC=18，BC=12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD=AG，DG=6，则点F到BC的距离为〔〕A．1B．2C．12﹣6 D．6﹣610．〔3分〕〔2014•南通〕如图，一个半径为r的圆形纸片在边长为a〔〕的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是〔〕A．B．C．D．πr2二、填空题〔本大题共8小题，每题3分，共24分〕11．〔3分〕〔2014•南通〕我国第一艘航母“辽宁舰”最大排水量为67500吨，这个数据用科学记数法可表示为_________吨．12．〔3分〕〔2014•南通〕因式分解a3b﹣ab=_________．13．〔3分〕〔2014•南通〕如果关于x的方程x2﹣6x+m=0有两个相等的实数根，那么m=_________．14．〔3分〕〔2014•南通〕已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是〔﹣4，0〕，〔2，0〕，则这条抛物线的对称轴是直线_________．15．〔3分〕〔2014•南通〕如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，连接AC，∠DAC=∠BAC．假设BC=4cm，AD=5cm，则AB=_________cm．16．〔3分〕〔2014•南通〕在如下图〔A，B，C三个区域〕的图形中随机地撒一把豆子，豆子落在_________区域的可能性最大〔填A或B或C〕．17．〔3分〕〔2014•南通〕如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD=_________°．18．〔3分〕〔2014•南通〕已知实数m，n满足m﹣n2=1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于_________．三、解答题〔本大题共10小题，共96分〕19．〔10分〕〔2014•南通〕计算：〔1〕〔﹣2〕2+〔〕0﹣﹣〔〕﹣1；〔2〕[x〔x2y2﹣xy〕﹣y〔x2﹣x3y〕]÷x2y．20．〔8分〕〔2014•南通〕如图，正比例函数y=﹣2x与反比例函数y=的图象相交于A〔m，2〕，B两点．〔1〕求反比例函数的表达式及点B的坐标；〔2〕结合图象直接写出当﹣2x＞时，x的取值范围．21．〔8分〕〔2014•南通〕如图，海中有一灯塔P，它的周围8海里内有暗礁．海伦以18海里/时的速度由西向东航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上；航行40分钟到达B处，测得灯塔P在北偏东30°方向上；如果海轮不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？22．〔8分〕〔2014•南通〕九年级〔1〕班开展了为期一周的“敬老爱亲”社会活动，并根据学生做家务的时间来评价他们在活动中的表现，老师调查了全班50名学生在这次活动中做家务的时间，并将统计的时间〔单位：小时〕分成5组：≤x＜1 B.1≤x＜1.5 C.1.5≤x＜2 D.2≤x＜2.5 E.2.5≤x＜3；并制成两幅不完整的统计图〔如图〕：请根据图中提供的信息，解答以下问题：〔1〕这次活动中学生做家务时间的中位数所在的组是_________；〔2〕补全频数分布直方图；〔3〕该班的小明同学这一周做家务2小时，他认为自己做家务的时间比班里一半以上的同学多，你认为小明的判断符合实际吗？请用适当的统计知识说明理由．23．〔8分〕〔2014•南通〕盒中有x个黑球和y个白球，这些球除颜色外无其他差异．假设从盒中随机取一个球，它是黑球的概率是；假设往盒中再放进1个黑球，这时取得黑球的概率变为．〔1〕填空：x=_________，y=_________；〔2〕小王和小林利用x个黑球和y个白球进行摸球游戏．约定：从盒中随机摸取一个，接着从剩下的球中再随机摸取一个，假设两球颜色相同则小王胜，假设颜色不同则小林胜．求两个人获胜的概率各是多少？24．〔8分〕〔2014•南通〕如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．〔1〕假设CD=16，BE=4，求⊙O的直径；〔2〕假设∠M=∠D，求∠D的度数．25．〔9分〕〔2014•南通〕如图①，底面积为30cm2的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h〔cm〕与注水时间t〔s〕之间的关系如图②所示．请根据图中提供的信息，解答以下问题：〔1〕圆柱形容器的高为_________cm，匀速注水的水流速度为_________cm3/s；〔2〕假设“几何体”的下方圆柱的底面积为15cm2，求“几何体”上方圆柱的高和底面积．26．〔10分〕〔2014•南通〕如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EC，GD．〔1〕求证：EB=GD；〔2〕假设∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．27．〔13分〕〔2014•南通〕如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E为AB上一点，AE=1，M为射线AD上一动点，AM=a〔a为大于0的常数〕，直线EM与直线CD交于点F，过点M作MG⊥EM，交直线BC于G．〔1〕假设M为边AD中点，求证：△EFG是等腰三角形；〔2〕假设点G与点C重合，求线段MG的长；〔3〕请用含a的代数式表示△EFG的面积S，并指出S的最小整数值．28．〔14分〕〔2014•南通〕如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C，顶点为D，抛物线的对称轴DF与BC相交于点E，与x轴相交于点F．〔1〕求线段DE的长；〔2〕设过E的直线与抛物线相交于M〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕，试判断当|x1﹣x2|的值最小时，直线MN与x轴的位置关系，并说明理由；〔3〕设P为x轴上的一点，∠DAO+∠DPO=∠α，当tan∠α=4时，求点P的坐标．2014年江苏省南通市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题〔本大题共10小题，每题3分，共30分〕1．〔3分〕〔2014•南通〕﹣4的相反数〔〕A．4B．﹣4 C．D．﹣考点：相反数．分析：根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．解答：解：﹣4的相反数4．故选A．点评：此题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．2．〔3分〕〔2014•南通〕如图，∠1=40°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为〔〕A．160°B．140°C．60°D．50°考点：平行线的性质．专题：计算题．分析：先根据邻补角的定义计算出∠2=180°﹣∠1=140°，然后根据平行线的性质得∠B=∠2=140°．解答：解：如图，∵∠1=40°，∴∠2=180°﹣40°=140°，∵CD∥BE，∴∠B=∠2=140°．故选B．点评：此题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．3．〔3分〕〔2014•南通〕已知一个几何体的三视图如下图，则该几何体是〔〕A．圆柱B．圆锥C．球D．棱柱考点：由三视图判断几何体．分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，从而得出答案．解答：解：俯视图为圆的几何体为球，圆锥，圆柱，再根据其他视图，可知此几何体为圆柱．故选A．点评：此题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力．4．〔3分〕〔2014•南通〕假设在实数范围内有意义，则x的取值范围是〔〕A．x≥B．x≥﹣C．x＞D．x≠考点：二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．分析：根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．解答：解：由题意得，2x﹣1＞0，解得x＞．故选C．点评：此题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．5．〔3分〕〔2014•南通〕点P〔2，﹣5〕关于x轴对称的点的坐标为〔〕A．〔﹣2，5〕B．〔2，5〕C．〔﹣2，﹣5〕D．〔2，﹣5〕考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．分析：根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P〔x，y〕关于x轴的对称点P′的坐标是〔x，﹣y〕，进而得出答案．解答：解：∵点P〔2，﹣5〕关于x轴对称，∴对称点的坐标为：〔2，5〕．故选：B．点评：此题主要考查了关于x轴对称点的坐标性质，正确记忆坐标变化规律是解题关键．6．〔3分〕〔2014•南通〕化简的结果是〔〕A．x+1 B．x﹣1 C．﹣x D．x考点：分式的加减法．专题：计算题．分析：将分母化为同分母，通分，再将分子因式分解，约分．解答：解：=﹣===x，故选D．点评：此题考查了分式的加减运算．分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．7．〔3分〕〔2014•南通〕已知一次函数y=kx﹣1，假设y随x的增大而增大，则它的图象经过〔〕A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限考点：一次函数图象与系数的关系．分析：根据“一次函数y=kx﹣3且y随x的增大而增大”得到k＜0，再由k的符号确定该函数图象所经过的象限．解答：解：∵一次函数y=kx﹣1且y随x的增大而增大，∴k＜0，该直线与y轴交于y轴负半轴，∴该直线经过第一、三、四象限．故选：C．点评：此题考查了一次函数图象与系数的关系．函数值y随x的增大而减小⇔k＜0；函数值y随x的增大而增大⇔k＞0；一次函数y=kx+b图象与y轴的正半轴相交⇔b＞0，一次函数y=kx+b图象与y轴的负半轴相交⇔b＜0，一次函数y=kx+b图象过原点⇔b=0．8．〔3分〕〔2014•南通〕假设关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是〔〕A．a≥1 B．a＞1 C．a≤﹣1 D．a＜﹣1考点：解一元一次不等式组．分析：将不等式组解出来，根据不等式组无解，求出a的取值范围．解答：解：解得，，∵无解，∴a≥1．故选A．点评：此题考查了解一元一次不等式组，会根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值．一般方法是先解不等式组，再根据解集求出特殊值．9．〔3分〕〔2014•南通〕如图，△ABC中，AB=AC=18，BC=12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD=AG，DG=6，则点F到BC的距离为〔〕A．1B．2C．12﹣6 D．6﹣6考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质．分析：首先过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N，延长GF交BC于点H，易证得△ADG∽△ABC，然后根据相似三角形的性质以及正方形的性质求解即可求得答案．解答：解：过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N，延长GF交BC于点H，∵AB=AC，AD=AG，∴AD：AB=AG：AB，∵∠BAC=∠DAG，∴△ADG∽△ABC，∴∠ADG=∠B，∴DG∥BC，∵四边形DEFG是正方形，∴FG⊥DG，∴FH⊥BC，AN⊥DG，∵AB=AC=18，BC=12，∴BM=BC=6，∴AM==12，∴，∴，∴AN=6，∴MN=AM﹣AN=6，∴FH=MN﹣GF=6﹣6．故选D．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．10．〔3分〕〔2014•南通〕如图，一个半径为r的圆形纸片在边长为a〔〕的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是〔〕A．B．C．D．πr2考点：扇形面积的计算；等边三角形的性质；切线的性质．专题：计算题．分析：过圆形纸片的圆心O1作两边的垂线，垂足分别为D，E，连AO1，则在Rt△ADO1中，可求得．四边形ADO1E的面积等于三角形ADO1的面积的2倍，还可求出扇形O1DE的面积，所求面积等于四边形ADO1E的面积减去扇形O1DE的面积的三倍．解答：解：如图，当圆形纸片运动到与∠A的两边相切的位置时，过圆形纸片的圆心O1作两边的垂线，垂足分别为D，E，连AO1，则Rt△ADO1中，∠O1AD=30°，O1D=r，．∴．由．∵由题意，∠DO1E=120°，得，∴圆形纸片不能接触到的部分的面积为=．故选C．点评：此题考查了面积的计算、等边三角形的性质和切线的性质，是基础知识要熟练掌握．二、填空题〔本大题共8小题，每题3分，共24分〕11．〔3分〕〔2014•南通〕我国第一艘航母“辽宁舰”最大排水量为67500吨，这个数据用科学记数法可表示为 6.75×104吨．考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将67500用科学记数法表示为：6.75×104．故答案为：6.75×104．点评：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．〔3分〕〔2014•南通〕因式分解a3b﹣ab=ab〔a+1〕〔a﹣1〕．考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有2项，可采用平方差继续分解．解答：解：a3b﹣ab=ab〔a2﹣1〕=ab〔a+1〕〔a﹣1〕．故答案是：ab〔a+1〕〔a﹣1〕．点评：此题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．13．〔3分〕〔2014•南通〕如果关于x的方程x2﹣6x+m=0有两个相等的实数根，那么m=9．考点：根的判别式．分析：因为一元二次方程有两个相等的实数根，所以△=b2﹣4ac=0，根据判别式列出方程求解即可．解答：解：∵关于x的方程x2﹣6x+m=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=0，即〔﹣6〕2﹣4×1×m=0，解得m=9点评：总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：〔1〕△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；〔2〕△=0⇔方程有两个相等的实数根；〔3〕△＜0⇔方程没有实数根．14．〔3分〕〔2014•南通〕已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是〔﹣4，0〕，〔2，0〕，则这条抛物线的对称轴是直线x=﹣1．考点：抛物线与x轴的交点．分析：因为点A和B的纵坐标都为0，所以可判定A，B是一对对称点，把两点的横坐标代入公式x=求解即可．解答：解：∵抛物线与x轴的交点为〔﹣1，0〕，〔3，0〕，∴两交点关于抛物线的对称轴对称，则此抛物线的对称轴是直线x==﹣1，即x=﹣1．故答案是：x=﹣1．点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，以及如何求二次函数的对称轴，对于此类题目可以用公式法也可以将函数化为顶点式来求解，也可以用公式x=求解，即抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点是〔x1，0〕，〔x2，0〕，则抛物线的对称轴为直线x=．15．〔3分〕〔2014•南通〕如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，连接AC，∠DAC=∠BAC．假设BC=4cm，AD=5cm，则AB=8cm．考点：勾股定理；直角梯形．分析：首先过点D作DE⊥AB于点E，易得四边形BCDE是矩形，则可由勾股定理求得AE的长，易得△ACD是等腰三角形，则可求得CD与BE的长，继而求得答案．解答：解：过点D作DE⊥AB于点E，∵在梯形ABCD中，AB∥CD，∴四边形BCDE是矩形，∴CD=BE，DE=BC=4cm，∠DEA=90°，∴AE==3〔cm〕，∵AB∥CD，∴∠DCA=∠BAC，∴BE=5cm，∴AB=AE+BE=8〔cm〕．故答案为：8．点评：此题考查了梯形的性质、等腰三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．16．〔3分〕〔2014•南通〕在如下图〔A，B，C三个区域〕的图形中随机地撒一把豆子，豆子落在A区域的可能性最大〔填A或B或C〕．考点：几何概率．分析：根据哪个区域的面积大落在那个区域的可能性就大解答即可．解答：解：由题意得：S A＞S B＞S C，故落在A区域的可能性大，故答案为：A．点评：此题考查了几何概率，解题的关键是了解那个区域的面积大落在那个区域的可能性就大．17．〔3分〕〔2014•南通〕如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD=60°．考点：圆周角定理；平行四边形的性质．专题：压轴题．分析：由四边形OABC为平行四边形，根据平行四边形对角相等，即可得∠B=∠AOC，由圆周角定理，可得∠AOC=2∠ADC，又由内接四边形的性质，可得∠B+∠ADC=180°，即可求得∠B=∠AOC=120°，∠ADC=60°，然后又三角形外角的性质，即可求得∠OAD+∠OCD的度数．解答：解：连接DO并延长，∵四边形OABC为平行四边形，∴∠B=∠AOC，∵∠AOC=2∠ADC，∴∠B=2∠ADC，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B=∠AOC=120°，∵∠1=∠OAD+∠ADO，∠2=∠OCD+∠CDO，∴∠OAD+∠OCD=〔∠1+∠2〕﹣〔∠ADO+∠CDO〕=∠AOC﹣∠ADC=120°﹣60°=60°．故答案为：60°．点评：此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质、平行四边形的性质以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．18．〔3分〕〔2014•南通〕已知实数m，n满足m﹣n2=1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于﹣12．考点：配方法的应用；非负数的性质：偶次方．专题：计算题．分析：已知等式变形后代入原式，利用完全平方公式变形，根据完全平方式恒大于等于0，即可确定出最小值．解答：解：∵m﹣n2=1，即n2=m﹣1，∴原式=m2+2m﹣2+4m﹣1=m2+6m+9﹣12=〔m+3〕2﹣12≥﹣12，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于﹣12，故答案为：﹣12．点评：此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键．三、解答题〔本大题共10小题，共96分〕19．〔10分〕〔2014•南通〕计算：〔1〕〔﹣2〕2+〔〕0﹣﹣〔〕﹣1；〔2〕[x〔x2y2﹣xy〕﹣y〔x2﹣x3y〕]÷x2y．考点：整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．分析：〔1〕先求出每一部分的值，再代入求出即可；〔2〕先算括号内的乘法，再合并同类项，最后算除法即可．解答：解：〔1〕原式=4+1﹣2﹣2=1；〔2〕原式=[x2y〔xy﹣1〕﹣x2y〔1﹣xy〕]÷x2y=[x2y〔2xy﹣2〕]÷x2y=2xy﹣2．点评：此题考查了零指数幂，负整数指数幂，二次根式的性质，有理数的混合运算，整式的混合运算的应用，主要考查学生的计算和化简能力．20．〔8分〕〔2014•南通〕如图，正比例函数y=﹣2x与反比例函数y=的图象相交于A〔m，2〕，B两点．〔1〕求反比例函数的表达式及点B的坐标；考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：计算题．分析：〔1〕先把A〔m，2〕代入y=﹣2x可计算出m，得到A点坐标为〔﹣1，2〕，再把A点坐标代入y=可计算出k的值，从而得到反比例函数解析式；利用点A与点B关于原点对称确定B点坐标；〔2〕观察函数图象得到当x＜﹣1或0＜x＜1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方．解答：解：〔1〕把A〔m，2〕代入y=﹣2x得﹣2m=2，解得m=﹣1，所以A点坐标为〔﹣1，2〕，把A〔﹣1，2〕代入y=得k=﹣1×2=﹣2，所以反比例函数解析式为y=﹣，点A与点B关于原点对称，所以B点坐标为〔1，﹣2〕；〔2〕当x＜﹣1或0＜x＜1时，﹣2x＞．点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．21．〔8分〕〔2014•南通〕如图，海中有一灯塔P，它的周围8海里内有暗礁．海伦以18海里/时的速度由西向东航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上；航行40分钟到达B处，测得灯塔P在北偏东30°方向上；如果海轮不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：易证△ABP是等腰三角形，过P作PD⊥AB，求得PD的长，与6海里比较大小即可．解答：解：过P作PD⊥AB．AB=18×=12海里．∵∠PAB=30°，∠PBD=60°∴∠PAB=∠APB∴AB=BP=12海里．∵6＞8∴海轮不改变方向继续前进没有触礁的危险．点评：此题主要考查了方向角含义，正确作出高线，转化为直角三角形的计算是解决此题的关键．22．〔8分〕〔2014•南通〕九年级〔1〕班开展了为期一周的“敬老爱亲”社会活动，并根据学生做家务的时间来评价他们在活动中的表现，老师调查了全班50名学生在这次活动中做家务的时间，并将统计的时间〔单位：小时〕分成5组：≤x＜1 B.1≤x＜1.5 C.1.5≤x＜2 D.2≤x＜2.5 E.2.5≤x＜3；并制成两幅不完整的统计图〔如图〕：请根据图中提供的信息，解答以下问题：〔1〕这次活动中学生做家务时间的中位数所在的组是C；〔2〕补全频数分布直方图；〔3〕该班的小明同学这一周做家务2小时，他认为自己做家务的时间比班里一半以上的同学多，你认为小明的判断符合实际吗？请用适当的统计知识说明理由．考点：频数〔率〕分布直方图；扇形统计图；中位数．专题：图表型．分析：〔1〕可根据中位数的概念求值；〔2〕根据〔1〕的计算结果补全统计图即可；〔3〕根据中位数的意义判断．解答：解：〔1〕C组的人数是：50×40%=20〔人〕，B组的人数是：50﹣3﹣20﹣9﹣1=7〔人〕，把这组数据按从小到大排列为，由于共有50个数，第25、26位都落在1.5≤x＜2范围内，则中位数落在C 组；故答案为：C；〔2〕根据〔1〕得出的数据补图如下：〔3〕符合实际．设中位数为m，根据题意，m的取值范围是1.5≤m＜2，∵小明帮父母做家务的时间大于中位数，∴他帮父母做家务的时间比班级中一半以上的同学多．点评：此题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．23．〔8分〕〔2014•南通〕盒中有x个黑球和y个白球，这些球除颜色外无其他差异．假设从盒中随机取一个球，它是黑球的概率是；假设往盒中再放进1个黑球，这时取得黑球的概率变为．〔1〕填空：x=2，y=3；〔2〕小王和小林利用x个黑球和y个白球进行摸球游戏．约定：从盒中随机摸取一个，接着从剩下的球中再随机摸取一个，假设两球颜色相同则小王胜，假设颜色不同则小林胜．求两个人获胜的概率各是多少？考点：列表法与树状图法；概率公式．分析：〔1〕根据题意得：，解此方程即可求得答案；〔2〕首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两球颜色相同、颜色不同的情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：〔1〕根据题意得：，解得：；故答案为：2，3；〔2〕画树状图得：∵共有20种等可能的结果，两球颜色相同的有8种情况，颜色不同的有12种情况，∴P〔小王胜〕==，P〔小林胜〕==．点评：此题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24．〔8分〕〔2014•南通〕如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理．分析：〔1〕先根据CD=16，BE=4，得出OE的长，进而得出OB的长，进而得出结论；〔2〕由∠M=∠D，∠DOB=2∠D，结合直角三角形可以求得结果；解答：解：〔1〕∵AB⊥CD，CD=16，∴CE=DE=8，设OB=x，又∵BE=4，∴x2=〔x﹣4〕2+82，解得：x=10，∴⊙O的直径是20．〔2〕∵∠M=∠BOD，∠M=∠D，∴∠D=∠BOD，∵AB⊥CD，∴∠D=30°．点评：此题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；25．〔9分〕〔2014•南通〕如图①，底面积为30cm2的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h〔cm〕与注水时间t〔s〕之间的关系如图②所示．请根据图中提供的信息，解答以下问题：〔1〕圆柱形容器的高为14cm，匀速注水的水流速度为5cm3/s；〔2〕假设“几何体”的下方圆柱的底面积为15cm2，求“几何体”上方圆柱的高和底面积．考点：一次函数的应用．专题：应用题．分析：〔1〕根据图象，分三个部分：满过“几何体”下方圆柱需18s，满过“几何体”上方圆柱需24s﹣18s=6s，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需42s﹣24s=18s，再设匀速注水的水流速度为xcm3/s，根据圆柱的体积公式列方程，再解方程；解答：解：〔1〕根据函数图象得到圆柱形容器的高为14cm，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为11cm，水从满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了42s﹣24s=18s，设匀速注水的水流速度为xcm3/s，则18•x=30•3，解得x=5，即匀速注水的水流速度为5cm3/s；故答案为14，5；〔2〕“几何体”下方圆柱的高为a，则a•〔30﹣15〕=18•5，解得a=6，所以“几何体”上方圆柱的高为11cm﹣6cm=5cm，设“几何体”上方圆柱的底面积为Scm2，根据题意得5•〔30﹣S〕=5•〔24﹣18〕，解得S=24，即“几何体”上方圆柱的底面积为24cm2．点评：此题考查了一次函数的应用：把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题．26．〔10分〕〔2014•南通〕如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EC，GD．〔1〕求证：EB=GD；〔2〕假设∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．考点：相似多边形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质．分析：〔1〕利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等后即可证得两条线段相等；〔2〕连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，根据∠DAB=60°得到BP AB=1，然后求得EP=2，最后利用勾股定理求得EB的长即可求得线段GD的长即可．解答：〔1〕证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG=∠BAD，∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，∴∠EAB=∠GAD，∵AE=AG，AB=AD，∴△AEB≌△AGD，∴EB=GD；〔2〕解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，∵∠DAB=60°，∴∠PAB=30°，∴BP AB=1，AP==，AE=AG=，∴EP=2，∴EB===，点评：此题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应边的比相等，对应角相等．27．〔13分〕〔2014•南通〕如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E为AB上一点，AE=1，M为射线AD上一动点，AM=a〔a为大于0的常数〕，直线EM与直线CD交于点F，过点M作MG⊥EM，交直线BC于G．〔1〕假设M为边AD中点，求证：△EFG是等腰三角形；〔2〕假设点G与点C重合，求线段MG的长；〔3〕请用含a的代数式表示△EFG的面积S，并指出S的最小整数值．考点：四边形综合题．分析：〔1〕利用△MAE≌△MDF，求出EM=FM，再由MG⊥EM，得出EG=FG，所以△EFG是等腰三角形；〔2〕利用勾股定理EM2=AE2+AM2，EC2=BE2+BC2，得出CM2=EC2﹣EM2，利用线段关系求出CM．〔3〕作MN⊥BC，交BC于点N，先求出EM，再利用△MAE∽△MDF求出FM，得到EF的值，再由△MNG∽△MAE得出MG的长度，然后用含a的代数式表示△EFG的面积S，指出S的最小整数值．解答：〔1〕证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠MDF=90°，∵M为边AD中点，∴MA=MD在△MAE和△MDF中，∴△MAE≌△MDF〔ASA〕，∴EM=FM，又∵MG⊥EM，∴EG=FG，∴△EFG是等腰三角形；〔2〕解：如图1，∴BE=AB﹣AE=3﹣1=2，BC=AD=4，∴EM2=AE2+AM2，EC2=BE2+BC2，∴EM2=1+a2，EC2=4+16=20，∵CM2=EC2﹣EM2，∴CM2=20﹣1﹣a2=19﹣a2，∴CM=．〔3〕解：如图2，作MN⊥BC，交BC于点N，∵AB=3，AD=4，AE=1，AM=a∴EM==，MD=AD﹣AM=4﹣a，∵∠A=∠MDF=90°，∠AME=∠DMF，∴△MAE∽△MDF∴=，∴=，∴FM=，∴EF=EM+FM=+=，∵AD∥BC，∴∠MGN=∠DMG，∵∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠DMG=90°，∴∠AME=∠DMG，∴∠MGN=∠AME，∵∠MNG=∠MAE=90°，∴△MNG∽△MAE∴=，∴=，∴MG=，∴S=EF•MG=××=+6，当a=时，S有最小整数值，S=1+6=7．点评：此题主要考查了四边形的综合题，解题的关键是利用三角形相似求出线段的长度．28．〔14分〕〔2014•南通〕如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C，顶点为D，抛物线的对称轴DF与BC相交于点E，与x轴相交于点F．〔1〕求线段DE的长；〔2〕设过E的直线与抛物线相交于M〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕，试判断当|x1﹣x2|的值最小时，直线MN与x轴的位置关系，并说明理由；〔3〕设P为x轴上的一点，∠DAO+∠DPO=∠α，当tan∠α=4时，求点P的坐标．考点：二次函数综合题．分析：〔1〕根据抛物线的解析式即可求得与坐标轴的坐标及顶点坐标，进而求得直线BC的解析式，把对称轴代入直线BC的解析式即可求得．〔2〕设直线MN的解析式为y=kx+b，依据E〔1，2〕的坐标即可表示出直线MN的解析式y=〔2﹣b〕x+b，根据直线MN的解析式和抛物线的解析式即可求得x2﹣bx+b﹣3=0，所以x1+x2=b，x1 x2=b﹣3；根据完全平方公式即可求得∵|x1﹣x2|====，所以当b=2时，|x1﹣x2|最小值=2，因为b=2时，y=〔2﹣b〕x+b=2，所以直线MN∥x轴．〔3〕由D〔1，4〕，则tan∠DOF=4，得出∠DOF=∠α，然后根据三角形外角的性质即可求得∠DPO=∠ADO，进而求得△ADP∽△AOD，得出AD2=AO•AP，从而求得OP的长，进而求得P点坐标．解答：解：由抛物线y=﹣x2+2x+3可知，C〔0，3〕，令y=0，则﹣x2+2x+3=0，解得：x=﹣1，x=3，∴A〔﹣1，0〕，B〔3，0〕；∴顶点x=1，y=4，即D〔1，4〕；∴DF=4设直线BC的解析式为y=kx+b，代入B〔3，0〕，C〔0，3〕得；，解得，∴解析式为；y=﹣x+3，当x=1时，y=﹣1+3=2，∴E〔1，2〕，∴EF=2，∴DE=DF﹣EF=4﹣2=2．〔2〕设直线MN的解析式为y=kx+b，∵E〔1，2〕，∴2=k+b，∴k=2﹣b，∴直线MN的解析式y=〔2﹣b〕x+b，。
江苏省南通市2023届高三第二次调研测试(暨苏北八市二模、浙江9+1高中联盟学校联考)数学
2023本试卷共6页，22小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。
2． 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案 不能答在试卷上。
3． 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新 答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4． 考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。
1． 若M ，N 是U 的非空子集，M ∩ N M ，则A ．M NB ．N MC ．U M ND ．U N M2． 若i z ( 1 2 i ) 2，则zA ．4 3iB ．4 3iC ． 4 3iD ． 4 3i3． 已知( x 3 22x) n 的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为A ．60B ．80C ．D ．4． 古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A 是球体建筑物与 水平地面的接触点（切点），地面上B ，C 两点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同 侧．若在B ，C 处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC 100 m ，则该 球体建筑物的高度约为（cos10° ≈ 0.985）A ．49.25 mB ．50.76 mC ．56.74 mD ．58.60 m5． 在▱ABCD 中，12BE BC ，13AF AE．若AB mDF nAE ，则m nA ．12B ．34C ．56D ．436． 记函数f ( x ) sin ( ω x π4) ( ω > 0 )的最小正周期为T ．若ππ2T ，且f ( x ) ≤ | f ( π3) |，则ωA ．34B ．94C ．154D ．2747． 已知函数f ( x )的定义域为R ，y f ( x ) e x 是偶函数，y f ( x ) e x 是奇函数，则f ( x )的最小值为A ．eB ．2C ．D ． e8． 已知F 1，F 2分别是双曲线C ：22221(00)y x a b a b，的左、右焦点，点P 在双曲线上，PF 1⊥PF 2，圆O ：22229()4x y a b ，直线PF 1与圆O 相交于A ，B 两点，直线PF 2与圆O 相交于M ，N 两点．若四边形AMBN 的面积为9b 2，则C 的离心率为A ．54B ．85C ．D 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第 6 页 共 15 页
亦
AB 5 ．
即
2 AB 25，故 Nhomakorabea…………………………… 7 分
（方法 2）设 A，B，C 的对边依次为 a，b，c， 则 由 条 件 …………………………… 3 分 ……………… 得
bc cos A 9 ， ac cos B 16 ．
两式相加得 c(b cos A a cos B) 9 16 25 ， 即 c 2 25 ， 故 AB c 5 ． 7分 （方法 3）设 A，B，C 的对边依次为 a，b，c， 则 由 条 件
高考资源网
x
1≤ x 3 ．
2． 1 ． 8 3．
2． 2
4． 76． 5． 48． 6．
4 ，+ ．
7． 3 ． 8. 充要． 9．
3x y 3 1 0 ．
10．－36． 11． 34 ． 15
12． 14 π 3 13． 1 14． 1 ． 2
二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．请在答题卡指定区域 内作答. 解答时应写出文字 ．．．．．．． 说明、证明过程或演算步骤．
度
1 x a 2 x
x
a a x
x
a a ．…… )10 分 x
1 8
8] ，而 1 ≤ a ≤ 4 ， 因为 14 x [4，
所以 4 a [4 ， 8] ，故当且仅当 14 x 4 a 时，y 有最小值为 8 a a 4 . 令 8 a a 4≥ 4 ， 解得 24 16 2 ≤ a ≤ 4 ， 所以 a 的最小值为 24 16 2 1.6 ． ……… 14 分
16． 【证】 （1） （方法 1）取 PA 的中点 F，连 EF，DF．…… 2 分 因为 E 是 PB 的中点，所以 EF // AB，且 EF 1 AB ． 2 因为 AB∥CD，AB＝2DC，所以 EF∥CD，……………… 4 分
EF CD ，于是四边形 DCEF 是平行四边形，
从而 CE∥DF，而 CE 平面 PAD， DF 平面 PAD， 故 CE∥平面 PAD． …………………… 7 分 P F A M
15． 【解】 （1） （方法 1） 因为 AB AC 9 ，AB BC 16 ，
4分
……………………………
所以 AB AC AB BC 9 16 25 ，即 AB AC CB 25 ，
第 8 页 共 15 页
2ab 4 2， 18． 【解】 （1）由题意得 ab 又 a b 0 ，解得 a 2 8 ， b 2 1 ． 2 2 ． 2 2 3 a b
17． 【解】 （1）因为一次喷洒 4 个单位的净化剂，
64 4 ， 0 ≤ x ≤ 4 ， 所以浓度 f ( x) 4 y 8 x 20 2 x ， 4 x ≤10 ．
则当 0 ≤ x ≤ 4 时， 由 3分
64 解得 x ≥ 0 ， 所以此时 0 ≤ x ≤ 4 ． …………………… 4≥ 4 ， 8 x
当 4 x ≤10 时，由 20 2 x ≥ 4 解得 x ≤ 8 ，所以此时 4 x ≤ 8 ． 综合得 0 ≤ x ≤ 8 ， 若一次投放 4 个单位的制剂， 则有效净化时间可达 8 天． …………… 7分 （2）设从第一次喷洒起，经 x（ 6 ≤ x ≤ 10 ）天， 浓
g(x
（
sin( A B) sin A cos B cos Asin B sin C sin C
由 正
sin( A B) a cos B b cos A ac cos B bc cos A 16 9 7 ． ………… 14 分 2 25 c2 c sin C c
第 1 页 共 15 页
第 2 页 共 15 页
第 3 页 共 15 页
第 4 页 共 15 页
第 5 页 共 15 页
南通市 2014 届高三第二次调研测试 数学学科参考答案及评分建议
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案直接填写在答题卡相应位 ．．．．．． 置上 ． ．． 1．
得
bc cos A 9 ， ac cos B 16 ．
…………………………… 3 分
由余弦定理得 1 b2 c 2 a 2 9 ，1 c 2 a 2 b2 16 ， 2 2 两
AB c 5 ．
式
相
加
得
c 2 25
，
故
…………………………… 7 分 2 ） ………………………… 10 分 弦 定 理 得
第 7 页 共 15 页
（方法 2）取 AB 的中点 M，连 EM，CM． ……………… 2 分 因为 E 是 PB 的中点，所以 EM // PA． 因为 AB∥CD，AB＝2DC，所以 CM // AD．……………… 4 分
E
B
D
C
（第 16 题）
因为 EM 平面 PAD， PA 平面 PAD， 所以 EM∥平面 PAD．同理，CM∥平面 PAD． 因为 EM CM M ， EM ，CM 平面 CEM， 所以平面 CEM∥平面 PAD． 而 CE 平面 PAD， 故 CE∥平面 PAD． ……………………… 7分 （2） （接（1）中方法 1）因为 PD＝AD，且 F 是 PA 的中点，所以 DF PA ． 因为 AB⊥平面 PAD，DF 平面 PAD，所以 DF AB ． 10 分 因为 CE∥DF，所以 CE PA ， CE AB ． 因为 PA，AB 平面 PAB， PA AB A ，所以 CE 平面 PAB． 因为 CE 平面 PBC， 所以平面 PBC⊥平面 PAB． 14 分 ………………………… ………………………