不定积分中的拆项积分法
医学高等数学课件 第3-1不定积分的第一类换元积分法
——第一类换元积分法
第一类换元法
定理. 公式
设 f (u) 有原函数 , u g(x)可导, 则有换元
f (u)du u g(x)
即
f [g(x)] g(x)dx f (g(x))d g(x)
(也称换元法 , 凑微分法)
例1.求 cos 5xdx
解:
cos 5xdx
)
ln(1 ex ) C
ln(1 ex ) ln[ex (ex 1)] 两法结果一样
例8. 求 sin2 xdx
解:
sin2
xdx
1
cos 2
2xdx
1dx 2
1 4
cos
2xd
(2x)
1 x 1 sin 2x C 24
sin3 xdx sin2 x sin xdx (1 cos2 x)d cos x
cos x 1 cos3 x C 3
例9.求 sec6xdx.
解: 原式 = (tan2 x 1)2dsetacn2 xdx
(tan4 x 2 tan2 x 1) dtan x
1 tan5 x 2 tan3 x tan x C
5
3
例10. 求
解: 原式 = sin 4 x cos2 x cos x dx sin 4 x(1 sin 2 x) d sin x
1. 真分式 P(x) (即n m) Q(x)
(1) Q(x)的因式(x a)n,
P(x) 可拆分为 A1
Q( x)
xa
(x
A2 a)2
(x
An a)n
;
(2) Q(x)的因式(x2 px q)n, ( p2 4q 0)
可拆分为 A1x B1 x2 px q
不定积分表
之马矢奏春创作卷终公式表注解四基本不定积分表序言：微积分创建之初,牛顿与莱布尼茨分享荣誉.虽其间发生很多在优先权上的争论,但最终依然走向了发展之正轨.在微积分公式体系上,莱布尼茨对之要求甚严,并总结其基本微分表和基本积分表.如今随微积分之发展,公式表逐渐全面,分类亦几乎覆盖各种不定积分.积分表的编订对积分运算可以说是需要,亦是数学发展之需要结果.本表给出经常使用不定积分的计算公式和运算方法,以及每个积分的简要推演方法,其中引入了除一般之换元法,凑微分法,分部积分法之外,亦引入虚数单元,并使用虚数单元推演某些复杂的不定积分运算.而对简单的不定积分运算和基本的微分公式之反用,或均不在此给出推演方法,或仅以推演步伐简要之说明.本表收录公式16组,151式.公式一基本初等函数的不定积分18式：三角函数反三角函数上述公式均为基本初等函数之不定积分,其中部份公式均可以由分部积分公式给出,特另外,对正切函数,余切函数,正割函数与余割函数的不定积分,使用了诸多三角变换完成.公式二 含ax b +的积分（要指出a 非零）10式：对其中的第二式,是利用换元积分完成的.对第一者,可以利用凑的方式,我们考虑分式11x b ax b a ax b ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭,则得其积分是显的：111()ln ||x b b dx x d ax x ax b aC ax b a a ax b a a ⎛⎫⎛⎫=-=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰⎰.而第二式依然采用类似的方式,可借由带余多项式除法算得：22211()2x x ax b ab b ax b a ax b ax b ⎡⎤=+-+⎢⎥+++⎣⎦,然后利用第一个积分式即可获得结论.对分母是二次多项式或者更高者,经常分成多个低次多项式之和,这两个积分即是沿用了此结论所获得的.我们注意第一式中有111111()(/)/b x ax b a x x b a a x x b a a⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭,积分即得.对第二式依然可用分离拆项的方式：221()11()()ax b ax a b x ax b bx b x ax b +-=-++,然后积分即可,而一般对拆项,经常使用待定系数的方法完成.公式三 9式第一式的证明用凑微分的方式即可完成.而有了第一式的结论,第二式可用分部积分完成计算.我们有：其中,对上式右侧的23a 再次使用凑微分的方法,即可得解：同理利用分部积分可以将第三式拆开,并以第二式证明之.利用凑微分的方式,我们显然有不定积分1Ca =,本组公式可以考虑用此公式,并使用分部积分即可证明一式：二式同理使用分部积分,并利用一式的结论即可证明.该公式是重要的不定积分之一,不定积分等式.可是该积分是欠好计算的,首先分部积分就不容易得出结果,而另一方面我们也无法进行一个显然的凑微分,因此对这一类带有根号式的积分,往往是先强行换失落根号,再作观察.因此令22,t b t t x dx dta a -=⇒==,于是22212()a t dt dt tb t a t b ==--⎰⎰,显然看到的是这个不定积分的结果需要讨论b 的正负来决定之后使用的不定积分公式：如果b 是负的,那么显然会使用反三角,如果b 是正的,则可能使用三角换元：然后将t 带入上式得原积分212,0dt C b t b ==+>-⎰.另外对负的b ,有：即原积分,0C b=<.该不定积分公式对负数的b 计算是很容易的.注意到微分公式,故上面公式均可以分部积分公式指出. 公式四 含有22x a ±的积分3式 一式用凑微分的方式以及微分公式21(arctan )1d x x =+容易得出.第二式是利用分部积分公式给出的递推式的形式：通过这个递推关系逐步下降分母的幂直到一式的情形,然后带入一式即可得解.三式是有理分式的不定积分,通常是将之拆分为两个容易计算的分式,则不难得出结果：公式五 含有2(0)ax b a +>的积分7式 除开显然的32()3ax ax b dx bx C +=++⎰不列为公式表所用之公式外,其余均与2ax b +有关,不外在下面公式的推理中,我们可以肯定的是推理可能是不惟一的,因此某些推理也是可能涉及了该公式的.是一个需要分类讨论的积分.显然的可以发现这个被积函数的形式与反正切是有关的,不外反正切的分母是加法运算,因此如果这里b 是负的,那么就不能适用反正切,这招致了积分需要分类讨论之. 该公式的证明中再一次的遇到了22dxx a -⎰形式的不定积分,虽然这里我采纳的是换元为三角函数的方法,而其实不是使用公式四中利用有理函数积分的性质来推理,可是三角换元计算不定积分是值得深入探讨和学习的计算方法,也许在这个公式中体现不出来,可是在某些场所下,三角换元无疑是强年夜的.一式是显然的.在这组公式中,除一式之外,后者在各种场所的运用还是相对频繁的.二式、三式都是典范的有理函数的不定积分问题,可以采用分离常数的方法来求解,其推理及其陈说如下： 类似的对之后的不定积分,依然可以拆项：可是对最后一式,拆项显然是不理想的,分子也不具备变量以进行凑微分,因此从分母考虑：接着带入公式（45）即得所证.公式六 含有2(0)ax bx c a ++>的积分2式先给出最基本的积分：该积分的证明需要分情形处置.一般来说,如果分母的二次式对应的二次方程是有根的,那么其不定积分可以考虑因式分解的方式拆分成两个分式之和,而对无实数解的情形,可以考虑配方的方式,并利用反三角函数的微分公式获得该不定积分的证明,不外在此我将使用另一种方式证明上述公式,我将在此引入虚数单元i ,并规定21i =-：这里的,R S 为20ax bx c ++=的两根,则：如果240b ac ->,那么R S -=则积分式即为否则为R S -==,则积分酿成：这里值得注意的是辐角arg 的取值问题,我们选择,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭这个区间并考虑反正切暗示,则这时候辐角中所给之复数必需保证实部恒正或恒负,但由判别式240b ac -<依然无法断言2ax b +之正负,这对反正切的暗示是晦气的,因此考虑对辐角进一步转化,一个方便的方法是对分式上下乘以1个虚数单元,则：将该式与Constant C =,得：虽然此方法比力复杂,可是可以说明的是,以复数进行实数的不定积分是可能的.以拆项的方式来拆分为两个不定积分,这是及其显然的： 公式七0)a >的积分14式0)a >的不定积分,通常会考虑的变换是221tan sec x x +=,特别是呈现在分母中的根式,这样做的好处不单可以抵消根式,同时可以处置并约分失落分母中的积分变量,以年夜幅度化简积分运算.不外在很多时候,我们也经常考虑双曲换元来完成,这是因为对正切与正割之间的关系式运算在某些时候没有双曲函数简便.下面几个公式都是可以通过换元获得的：第一式是典范的反双曲三角函数的微分,以及反双曲三角函数的界说式所得,事实上,我们设arsinh cosh cosh dx y x dx ydy dy y =⇒=⇒=因此对第一个不定积分式,采纳凑的方式即刻得之.二式也是典范的双曲换元获得的等式：其中,将ar sinh 2211tanh1x x y aa y a a =回带,即得之所证.三、四均是由微分公式d .然而如果对三式没有直接观察到亦无妨以双曲换元的得出：于是四式也可如法炮制：五式、六式可以凑得之：2xd =⎰,2xd ⎛⎫=⎰,再以分部积分得： 这样就完成了五式和六式.一式三角换元是显然的.但值得注意的是双曲正弦与对数之间的关系是：二式以双曲换元获得积分44cosh a xdx ⎰,以降幂进行变形,所得积分的计算是容易的：在得出结果之后,再以（二）倍角公式将2x 和x 还原为x 即得二式右侧.三式凑的方式即得其之所证.四式以分部积分,并二式,即得之所证.先以换元的方式将一式转化为三角积分或者双曲积分.转化三角积分时,以正切与正割的恒等式可得22sec 1csc tan sec a ydy ydy a y y a=⎰⎰,转化双曲积时,以双曲正弦或双曲余弦的恒等式可得2cosh 1csch sinh cosh a ydy ydy a y y a =⎰⎰,最后以余割或双曲余割的积分获得结果. 二式典范的转化为三角积分2222sec 1sec 1csc cot tan sec tan a ydy ydy y ydy a y y a y a==⎰⎰⎰,这是典范的余割函数的导数公式1(csc )'csc cot sin tan x x x x x =-=-. 注意到2xd a =⎝⎭⎰,带入一式.又注意到1x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭带入（50）式.公式八0)a >的积分6式利用最值公式对分母配方,得：首配方,再凑微分,并公式（56）,得：这里的推理虽然是相对复杂的,可是对一些好算的数值计算,这个推理过程会获得年夜年夜的简化.在这两个积分的基础上,下面的积分相对是容易计算的：用凑微分的方式进行变换：剩下的计算是容易的.依然是配方,与（64）分歧的是,根号下的加号酿成了减号,从而适用反三角的暗示.依然是配方,与（65）分歧的是,根号下的加号酿成了减号,从而适用反三角的暗示.用凑微分的方式进行变换,其方法同于（66）.在（64）（67）,（65）（68）和（66）（69）的比力中我们可以发现,对任意非零的实数a ,除后面的对数部份外,其暗示形式都是一样的,例如我们以（64）（67）为例,将两个公式和在一起写,并把对数部份写成对应的反三角形式的不定积分之后,则可以写成：其相似度可见一斑,那么我们将会询问这是为何.这里我将再度引入虚数单元i ,并规定其满足21i =-,借助欧拉公式和双曲三角函数的界说,我们考察正弦函数获得的是这样一个结果：sin sinh 2ix ixe e x i i ix --=-=-,令之为y 并反解之,得arcsin x y =的同时,也获得了另一个结果：arsinh()x i yi =-,也就是说获得一个转化等式arcsin arsinh()i y yi =,这个结果是令人感到惊奇的,如果在上述积分中我们无视a 为正数之情形,并对负的a 直接使用反双曲的结果,同时引入虚数单元i ,根据负数的平方根即是其绝对值开根后与虚数单元作乘积这一规定,即得：这与直接使用反正弦的结果是一样的.这个结果标明,（64）（67）,（65）（68）和（66）（69）是可以统一的.公式九0)a >的不定积分14式0)a >型的不定积分,此处继公式七之讨论,以及公式七和公式九的推演思想,给出根号下取负号的不定积分.在（50）~（55）六式中,引入虚数单元,并ai 替换a 即可证明上面六式的正确性.不外对（70）式要注意取值的正负直接令双曲正弦通过双曲恒等式转化成了双曲余弦函数. 在12arsinh ln(x C x C a =+=+中取ai 替换a 得： 在（56）~（59）四式中,引入虚数单元,并ai 替换a 即可证明上面四式的正确性.在（60）~（63）四式中,引入虚数单元,并ai 替换a 即可证明上面四式的正确性.其中对较为特殊的（80）和（83）中,我们注意以虚数单元替换之后,原本的对数表达式酿成了附带虚数单元的表达式： 于是：公式十 0)a >的不定积分14式（84）（86）（87）均以凑的方式即可证明,其中（84）利用了反正弦函数的微分公式,（86）（87）实际上就是幂函数的复合所得,因此可以考虑凑出根式内的微分,然后以幂函数的积分公式计算最终结果.（85）以三角换元完成计算：对（88）（89）各自使用分部积分即可完成演算：将上式所得最后的第三项分式进行处置,将其中一个a 乘进根式里,再与第一项合并即可.（89）式在处置的思想上是与之一致的,考虑分部积分,然后利用三角换元或者之前已经给出的不定积分式处置：显然使用三角换元是容易的：（92）式的证明与（56）式的推理类似,虽然我在前面指出（56）式的思路使用三角换元是显然的,可是真正处置起是来略微方便的：因此如果我们在已经建立了积分公式2arsinh 2a x C a =+的情形下,供认并使用这个积分公式来推导（92）式会比独自在证明（92）容易很多：在上述实数积分中引入虚数单元i 并供认21i =-,则令自变量以ix 替换之,则可立刻得：这样就完全可将（92）式与（56）式统一为同一公式.而同理的,可以在（57）（58）（59）中均引入虚数单元,则（93）（94）（95）的证明可以年夜幅度化简：在关于22x a +的积分中指出22222222222ln ||arsinh x a x a a dx x a a C x x x a x a x dx C x x a ⎧++-=+++⎪⎪⎨⎪++=-++⎪⎩⎰⎰,即公式（62）和公式（63）,同上之所证,利用虚数及公式（62）（63）可证明（96）（97）：公式十一 含x ax b -±-,()()x a x b --,0,0a b >>的积分4式：由分部积分公式得：其中：带回上式得()()ln ||||22x a x a b a b a dx x b x a x b C x b x b ----⎛⎫=-+-+-+ ⎪--⎝⎭⎰即为（98）式之所证.（98）式的给出,亦可使用还原的方式证明,考虑到不定积分自己具有根号,其干扰运算性太强,考虑强行抹消根号,于是令22222()1(1)x a a bt tdt t x dx a b x b t t --=⇒=⇒=----：对上式第二项中积分,可令,则获得,然后以三角函数处置,得：接着是计算式中的诸三角函数,可利用三角恒等式,如果限定了k 为锐角,亦可借助直角三角形,我在此选择后者：最后把x a t x b-=-,即得： 同理对（99）式换元之后,亦可解之,但鉴于计算复杂,这里不用换元的方法,我依然采纳分部积分的方式：其中：带回则完成证明.根据反三角的计算公式,考虑到根式恒正,因此上式中的反三角亦可写作：因此写作arcsinC =+⎝⎭亦是正确的.亦可通过公式（67）C =来计算,获得：通过一个简单的验证即可知上面的三种结果都是正确的： 换言之,arcsin ⎝⎭以及2()arcsin x a b a b -+- 当我们获得该结论之后,对第（100）式的证明方法就很多了,最简单的就是通过已建立的公式（68）来完成对不定积分公式（100）,其推理在（99）之中已经给出.由公式（68）：2C ,得：上式所给出三个不定积分的形式,均是正确的.公式十二 含三角函数的不定积分23式除基本初等三角函数之外,本组公式总结更为复杂的三角积分,其中包括了递推关系,凑微分以及分部积分等方法来完成其推理.（102）,（103）以降幂公式变形,再以基本初等函数的积分直接积分获得.（104）~（105）实质上就是导数公式的逆,因此我们如果要证明,只需以导数公式指出即可：先以凑微分对积分变量进行替换,紧接着以分部积分对之变形,当等式左右两侧都呈现相同的项时,通过移项的方式获得不定积分（108）的递推关系.（109）与之同理.依然可以考虑用同样的步伐完成（110）和（111）式,这是因为正割函数、余割函数与正切函数、余切函数都有恒等式的关系,因此与其使用弦函数来完成不定积分的运算,不如使用割函数更为明了.对正切函数、余切函数高次幂的不定积分,鉴于一次切函数的不定积分需要对数表达式,二次切函数会单出一个积分变量,招致积分是困难的,不外下面等式给出了切函数积分的一种算法,其中它们的幂都是取整数的：上面证明的分部积分是对正弦凑微分获得的,如果对余弦凑微分,则同理可获得以积化和差公式是容易证明的.典范的采纳万能变换,转化为有理函数的不定积分问题.因此我们很自然的会采用换元：tan 2x t =,于是由万能变换公式,得2222sin ,(2arctan )11t x dx d t dt t t ===++,于是所求的不定积分（117）即为2222112221t dt dt t at bt a a b t+=++++⎰⎰,这是典范的二次真分式的有理函数积分的问题,通过考虑判定式是否为正来讨论对应之二次方程是否有两个实数根,以方便拆分,如果没有实数根则配方,并利用反三角暗示,否则就拆为两个分式之和或者差,以对数的形式暗示.另外,借助已建立的公式（48）：亦可给出证明,且我们说过公式（48）指出判别式在为负数的情形下,借助虚数可以证明上下两个不定积分是等价的,因此我们对（117）之证明实际上也只需指出一个成立即可.（118）同理.证明是容易的.在现行的积分公式表中,（117）和（118）两式是被分成四个公式来处置的,考虑到三角函数与对数具有统一性,故在此将之合并为两式.由降幂公式得21cos21cos2sin ,cos 22x x x x -+==,再由万能代换得221tan cos21tan x x x-=+,令tan x t =,则： 从（117）至（120）,可见万能代换公式是很方便的一个公式,它将所有三角函数转化为有理分式成了可能,然后借助有理函数的不定积分来完成积分运算.从这一点看,万能代换公式无疑是很强年夜的.分部积分得：同理可证（122）.固然考虑万能代换也是可能的,不外要注意的是万能代换对公式（121）和（122）来说,比力繁杂.而公式（123）和（124）的推理思路与（121）和（122）相同,依然是通过分部积分完成推理,不外注意的是,可以使用（121）和（122）已经建立的结论.公式十三 含反三角函数的积分9式以上为弦函数的反函数之不定积分,其中（125）和（128）很容易就通过分部积分公式的获得：arcsin arcsin arcsin x x x dx x x C a a a =-=+⎰,（128）式与之同理.下面推导（126）和（127）,对（129）和（130）是可以类比的：对（127）,注意到使用换元arcsin x t a=之后,积分运算下的被积函数酿成正弦函数的平方和余弦函数之乘积,它自身是正弦三次方的微分,因此可以考虑分部积分公式,也就是232333333arcsin sin cos (sin )sin sin x x dx a t t tdt a td t a t t a tdt a===-⎰⎰⎰⎰,最后对正弦三次方的不定积分,可以采纳凑微分的方式,先凑出余弦函数的微分,然后对剩下的正弦二次方以恒等式换作余弦函数,最后以幂函数的不定积分一举收官,完成推理：另一方面,我们在建立了（125）,（126）,（127）之后,用反三角恒等式直接将反正弦化作反余弦,不定积分的计算也是可行的： 且如此计算比重新建立更为方便和简洁.对（130）以分部积分完成,（131）与（132）令arctan x t a=即可得出结论.公式十四 含指数函数的积分9式 以基本不定积分公式,ln x x x xa e dx e C a dx C a =+=+⎰⎰所建立起来的不定积分组,并对之进一步拓展.这是显然的.均以分部积分即可.可是某些时候我们所关心的其实不是这些积分之自己,而是关心这样一个特殊的关于t 的函数ln x t a a ,显然可以看到当t 为正整数时,函数暗示的是x a 的t 阶导函数,而如果t 为负整数,则暗示的是函数的t 重不定积分——这样的函数是关于求导次数的函数,我们把求导次数作连续延拓获得了一个对一切实数t 展开的新的连续函数,这个函数在微积分里被称作函数x a 的次导函数,该函数直接反应出了函数的非整数阶导数.以分部积分作推导,不难有下面两个等式：等式组可以看作是关于sin(),cos()ax ax e bx dx e bx dx ⎰⎰的方程组,解之即得.对（140）的证明,如下：移项并整理,得将④带入③,得⑤带入②,得所以移项并整理：（141）的证明与之类似.公式十五 含对数函数的积分4式 以基本不定积分ln ||,ln ln dx x C xdx x x x C x=+=-+⎰⎰展开的积分公式组.（142）凑微分.（143）分部积分可直接推得,而（144）也是分部积分,可是我们依然优先给出递推关系,然后利用递推关系进一步推得结果.由于对数函数的递推结果相对较简单,因此可以写成和的形式.而（145）的推导比（144）相对更为简单,因此这里先给出（145）：（145）的积分结果是简单的.可以看到,当这个积分我们不竭进行下去的时候,对数函数的幂会逐次下降,知道为零次,积分最终将酿成幂函数的积分问题.公式十六双曲函数的积分6式根据双曲函数的界说可直接获得.推理同正切函数和余切函数,先将双曲切函数转为弦函数,然后以凑微分的方式一举完成证明.以双曲之降幂公式即可.。
不定积分---精品管理资料
一、不定积分的解题技巧引例：不定积分∫（1—x）cos2xdx∫(1—x）cos2xdx=∫cos2xdx—∫xcos2xdx=（1/2）∫cos2xd2x—(1/4)∫2xcos2xd2x=(1/2）sin2x—（1/4）∫2xdsin2x=（1/2）sin2x-（1/2）xsin2x (1/4)∫sin2xd2x=（1/2）sin2x—(1/2)xsin2x-（1/4)cos2x C∫（1-x）cos2xdx求导行：1-x —1 0积分行：cos2x 1/2＊sin2x —1/4*cos2x所以：∫（1—x）cos2xdx =(1—x)*1/2*sin2x—（—1）＊（-1/4＊cos2x) C注：分步积分的时候，∫a*bdx哪个放到d后面去(那个先反过来求导)？这里遵循一个原则：对，反，幂,三，指.越后的先放到d里去如∫x^2 cosxdx x^2是幂函数，cosx是三角函数。
所以，要这样化∫x^2dsinx而不是1/3∫cosxdx^3引例2：∫1/（1 x^4）dx 原式＝1/2（(1 x^2 1-x^2）/1 x^4）=0。
5（1 x^2/1 x^4) 0.5（1—x^2/1 x^4)=0。
5（1 x^—2/x^—2 x^2）〈就是分子分母同除x的平方〉如果是不定积分，两类换元法和拼凑法一般来说结合使用灵活系数比较大不过你要相信考试不定积分形式比较简单方法比较独到,绝对不是“暴力“积出来的，一想到你的方法越做越陷入死路,我想因该要变通。
第二,对于有独特的因子你要留意。
定积分,比不定积分要难一些,因为很多函数是没有初等函数的，方法是拼凑法和化为二元再交换顺序，其中拼凑发很关键,我们要掌握.例题大家平时做题目就很容易发现方法与技巧一、换元法1。
凑微分使用凑微分法的难处在于如何“凑"出一个函数的微分。
对于这个问题一方面要求熟悉一些常见函数的微分形式，另一方面，对于那些不易观察的，则不妨从被积函数中拿出一个表达式，求其微分，从而决定如何凑微分。
第3-1不定积分的第一类换元积分法
sin
3
xdx sin x sin xdx (1 cos x)d cos x
2 2
1 3 cos x cos x C 3
sec 6 xdx . 例10.求
解: 原式 = (tan 2 x 1) 2 d tan x d x sec 2
(tan 4 x 2 tan 2 x 1) dtan x
2
x a
2
2
ln |
x2 a2 x a | C1
t a
(C C1 ln a)
x
公式15：
ln x x a C (a 0)
2 2
例17. 求
解:
1 x2 2x 2
dx .
原式
1 ( x 1) 1
2 2
d (x 1)
(由公式2)
1 ln a x ln a x 2a
1 ax C ln C 2a a x
例7. 求
dln x 1 d(1 2 ln x) 解: 原式 = 1 2 ln x 2 1 2 ln x
dx . 例8. 求 x 1 e 解法1 (1 e x ) e x d(1 e x ) dx dx x x 1 e 1 e x ln(1 e x ) C
2 3 1 5 tan x tan x tan x C 3 5
例12. 求 sin 4 x cos 3xdx
1 解: 利用公式 sin cos [sin( ) sin( )] 2 1 原式= (sin 7 x sin x)dx 2 1 1 cos 7 x cos x C 14 2
不定积分
一、不定积分的解题技巧引例：不定积分∫(1-x)cos2xdx∫(1-x)cos2xdx=∫cos2xdx-∫xcos2xdx=(1/2)∫cos2xd2x-(1/4)∫2xcos2xd2x=(1/2)sin2x-(1/4)∫2xdsin2x=(1/2)sin2x-(1/2)xsin2x (1/4)∫sin2xd2x=(1/2)sin2x-(1/2)xsin2x-(1/4)cos2x C ∫(1-x)cos2xdx求导行：1-x -1 0积分行：cos2x 1/2*sin2x -1/4*cos2x所以：∫(1-x)cos2xdx=(1-x)*1/2*sin2x-(-1)*(-1/4*cos2x) C注：分步积分的时候，∫a*bdx哪个放到d后面去（那个先反过来求导）？这里遵循一个原则：对，反，幂，三，指。
越后的先放到d里去如∫x^2 cosxdx x^2是幂函数，cosx是三角函数。
所以，要这样化∫x^2dsinx而不是1/3∫cosxdx^3引例2：∫1/(1 x^4)dx原式＝1/2((1 x^2 1-x^2)/1 x^4)=0.5(1 x^2/1 x^4) 0.5(1-x^2/1 x^4)=0.5(1 x^-2/x^-2 x^2)<就是分子分母同除x的平方>如果是不定积分,两类换元法和拼凑法一般来说结合使用灵活系数比较大不过你要相信考试不定积分形式比较简单方法比较独到,绝对不是“暴力“积出来的,一想到你的方法越做越陷入死路,我想因该要变通.第二,对于有独特的因子你要留意.页脚内容1定积分,比不定积分要难一些,因为很多函数是没有初等函数的,方法是拼凑法和化为二元再交换顺序,其中拼凑发很关键,我们要掌握.例题大家平时做题目就很容易发现方法与技巧一、换元法1.凑微分使用凑微分法的难处在于如何“凑”出一个函数的微分。
对于这个问题一方面要求熟悉一些常见函数的微分形式,另一方面,对于那些不易观察的,则不妨从被积函数中拿出一个表达式,求其微分,从而决定如何凑微分。
不定积分的例题分析及解法
不定积分的例题分析及解法这一章的基本概念是原函数、不定积分、主要的积分法是利用基本积分公式,换元积分法和分部积分法。
对于第一换元积分法,要求熟练掌握凑微分法和设中间变量)(x u ϕ=，而第二换元积分法重点要求掌握三角函数代换，分部积分法是通过“部分地”凑微分将⎰υud 转化成⎰du υ,这种转化应是朝有利于求积分的方向转化。
对于不同的被积函数类型应该有针对性地、灵活地采用有效的积分方法，例如)(x f 为有理函数时，通过多项式除法分解成最简分式来积分,)(x f 为无理函数时,常可用换元积分法。
应该指出的是：积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强,而且业已证明，有许多初等函数是“积不出来"的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如dx x x ⎰sin ；dx e x ⎰-2；dx x ⎰ln 1;⎰-x k dx 22sin 1（其中10<<k ）等。
这一方面体现了积分运算的困难，另一方面也推动了微积分本身的发展,在第7章我们将看到这类积分的无限形式的表示。
一、疑难分析（一）关于原函数与不定积分概念的几点说明(1）原函数与不定积分是两个不同的概念，它们之间有着密切的联系.对于定义在某区间上的函数)(x f ，若存在函数)(x F ，使得该区间上每一点x 处都有)()(x f x F ='，则称)(x F 是)(x f 在该区间上的原函数，而表达式C C x F ()(+为任意常数)称为)(x f 的不定积分。
(2）)(x f 的原函数若存在，则原函数有无限多个,但任意两个原函数之间相差某个常数，因此求)(x f 的不定积分⎰dx x f )(时，只需求出)(x f 的一个原函数)(x F ，再加上一个任意常数C 即可，即⎰+=C x F dx x f )()(。
（3）原函数)(x F 与不定积分⎰dx x f )(是个体与全体的关系,)(x F 只是)(x f 的某个原函数，而⎰dx x f )(是)(x f 的全部原函数，因此一个原函数只有加上任意常数C 后，即C x F +)(才能成为)(x f 的不定积分,例如3,21,1222-++x x x 都是x 2的原函数，但都不是x 2的不定积分，只有C x +2才是x 2的不定积分（其中C 是任意常数）。
不定积分习题
习题课（六）内容： 不定积分的概念及积分方法基本要求：1．理解原函数与不定积分的概念。
2．掌握不定积分的性质及不定积分与导数的关系。
3．掌握不定积分的积分方法。
4．会求简单的有理函数、无理函数、三角函数有理式的不定积分。
内容与方法精讲：一． 原函数与不定积分的概念1． 原函数定义：在区间I 上，若)()(x f x F ='（即dx x f x dF )()(=），称函数)(x F 是函数)(x f 在区间I 上的一个原函数。
2． 原函数存在的条件：若函数)(x f 在区间I 上连续。
则)(x f 在区间I 上有原函数。
3． 不定积分：函数)(x f 在区间I 上的所有原函数C x F +)(称为)(x f 在区间I 上的不定积分，记作⎰+=C x F dx x f )()(.4． 不定积分与导数的关系：（1） 先积分再求导（或微分）⎰=')(])([x f dx x f ，或 ⎰=dx x f dx x f d )(])([； （2） 先求导（或微分）再积分C x F dx x F +='⎰)()(，或 ⎰+=C x F x dF )()(. 5． 不定积分的线性性：（1）⎰⎰=dx x f k dx x kf )()(；（2）⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([.二．基本积分公式（略） 三．不定积分的方法1． 拆项积分法：利用不定积分的线性性，将一个复杂的不定积分拆成若干个基本积分公式中的积分，从而进行积分。
（关键体现在拆项上，例如：通过有理化；利用三角公式；在分子上加一项，减一项等都是常用的手段）。
2． 凑微分法：C x F x d x f dx x x f +=='⎰⎰)]([)()]([)()]([ϕϕϕϕϕ.主要用来解决复合函数的积分（确切地说是复合函数与之间变量导数之积的积分）。
不定积分
一、不定积分的解题技巧引例：不定积分∫(1-x)cos2xdx∫(1-x)cos2xdx=∫cos2xdx-∫xcos2xdx=(1/2)∫cos2xd2x-(1/4)∫2xcos2xd2x=(1/2)sin2x-(1/4)∫2xdsin2x=(1/2)sin2x-(1/2)xsin2x (1/4)∫sin2xd2x=(1/2)sin2x-(1/2)xsin2x-(1/4)cos2x C∫(1-x)cos2xdx求导行：1-x -1 0积分行：cos2x 1/2*sin2x -1/4*cos2x所以：∫(1-x)cos2xdx =(1-x)*1/2*sin2x-(-1)*(-1/4*cos2x) C注：分步积分的时候，∫a*bdx哪个放到d后面去（那个先反过来求导）？这里遵循一个原则：对，反，幂，三，指。
越后的先放到d里去如∫x^2 cosxdx x^2是幂函数，cosx是三角函数。
所以，要这样化∫x^2dsinx而不是1/3∫cosxdx^3引例2：∫1/(1 x^4)dx原式＝1/2((1 x^2 1-x^2)/1 x^4)=0.5(1 x^2/1 x^4) 0.5(1-x^2/1 x^4)=0.5(1 x^-2/x^-2 x^2)<就是分子分母同除x的平方>如果是不定积分,两类换元法和拼凑法一般来说结合使用灵活系数比较大不过你要相信考试不定积分形式比较简单方法比较独到,绝对不是“暴力“积出来的,一想到你的方法越做越陷入死路,我想因该要变通.第二,对于有独特的因子你要留意.定积分,比不定积分要难一些,因为很多函数是没有初等函数的,方法是拼凑法和化为二元再交换顺序,其中拼凑发很关键,我们要掌握.例题大家平时做题目就很容易发现方法与技巧一、换元法1.凑微分使用凑微分法的难处在于如何“凑”出一个函数的微分。
对于这个问题一方面要求熟悉一些常见函数的微分形式,另一方面,对于那些不易观察的,则不妨从被积函数中拿出一个表达式,求其微分,从而决定如何凑微分。
不定积分拆项
不定积分拆项
在积分中，拆项是指将被积函数进行拆分或分解，使得积分可以更容易计算。
不定积分的拆项有多种方法，以下介绍其中几种常见的拆项方法：
1. 分式拆分：对于有分式形式的被积函数，可以通过分式拆分将其拆解为几个简单分式的和或差，从而更容易计算。
例如，对于有理函数 $\frac{1}{x(x+1)}$ 可以使用分式拆分方法将其拆解为 $\frac{A}{x} + \frac{B}{x+1}$ 的形式，再进行不定积分。
2. 部分分数拆分：对于有理函数，可以使用部分分数拆分方法将其拆解为若干个部分分数的和或差，从而更容易计算。
部分分数拆分的基本思想是将有理函数表示为一个多项式的形式再进行拆解。
例如，将 $\frac{2x+1}{x^2+4x+3}$ 拆解为
$\frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+3}$ 的形式，再进行不定积分。
3. 倒代换：对于某些特殊的被积函数，可以通过倒代换（反代换）的方式进行拆项。
倒代换是指通过变量代换将被积函数转化为另一个较为简单的表达式，再进行不定积分。
例如，对于$\int \frac{1}{x\sqrt{1+x}} dx$ 可以使用倒代换 $u =
\sqrt{1+x}$，将被积函数转化为 $\int \frac{2}{u^2-1} du$ 的形式，再进行不定积分。
以上是不定积分中常用的拆项方法，拆项的具体方法需要根据被积函数的具体形式和特点选择适合的拆项方法进行处理。
不定积分运算法则
dx
化和
1 1 sin x x
dx
法则
1dx
1 x
dx
sin
xdx
公式1/3/6
x ln x cos x C
3
1 3 x2
2
dx
化和化幂
2 4
1 2x3 x3 dx
法则
2
4
1dx 2 x3 dx x3dx
(7) cos xdx sin x C;
(8)
1 cos2
x
dx
sec2
xdx
tan
x
C;
(9)
1 sin2
x
dx csc2
xdx
cot
x C;
13
不定积分运算法则(P226)
(1) [ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)dx;
(3)
1 u
u
'
dx
ln
|
u
|
C
(4) au u ' dx a u C; ln a
(5) eu u 'dx eu C; 22
(6)sin xdx cos x C; (6) sin u u 'dx cosu C;
(7) cos xdx sin x C; (7) cosu u 'dx sin u C;
2
x
1 x
sin
x