2015年高三一模数学(文)北京市石景山区试题Word版带解析

2015年石景山区高三统一测试数 学（文）本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{1,2}A =-，{}02B x Z x =∈≤≤，则A B =（ ）A ．{0}B ．{2}C ．{0,1,2}D ．φ 2．函数sin()1y x π=--的图象（ ） A ．关于2x π=对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于x π=对称3．两旅客坐火车外出旅游，希望座位 连在一起，且有一个靠窗，已知火车上 的座位的排法如图所示，则下列座位 号码符合要求的是（ ） A ．48，49 B ．62，63 C ．75，76 D ．84，854．如图，在66⨯的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量,,a b c 满足,(,)c xa yb x y R =+∈，则x y +=（ ）A ．0B ． 1 C． D ．135a b c5．阅读右面的程序框图，若输出的12y =， 则输入的x 的值可能为（ ） A ．1- B ．0 C ． 1 D ．56．函数 ))(()(b x a x x f --=（其中a b >） 的图象如右图所示，则函数()xg x a b =+ 的大致图象是（ ）AB C D7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线 画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中， 最长的棱的长度为（ ）A． B C ．3 D ．8．如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1， 点M 在棱AB 上，且AM 13=，点P 是平面 ABCD 上的动点，且动点P 到直线A 1D 1的距离 与点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．抛物线 C ．双曲线 D ．椭圆第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知角α的终边经过点(,6)P x -，且3tan 5α=-,则x 的值为 ．10．设变量,x y 满足约束条件20701x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则y x 的最大值为 ．11．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”.四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是 ． 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点 A (0,2)，B (2,0)-，C (1,0)，分别以△ABC 的 边向外作正方形与， 则直线的一般式方程为 ．AB AC 、ABEF ACGH FH MDAB CB 1A 1D 1 C 1P ． ．13．某学校拟建一块周长为400米的操场，如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操 一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域 尽可能大，矩形的长应该设计成 米．14．已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①2{(,)|+1}M x y y x ==； ②2{(,)|log }M x y y x ==；③{(,)|22}xM x y y ==-； ④{(,)|sin 1}M x y y x ==+． 其中是“垂直对点集”的序号是 ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,),*nS n n N n∈均在函数y x =的图象上． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若{}n b 为等比数列，且11231,8b b b b ==，求数列{}n n a +b 的前n 项和n T ．16．（本小题满分13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b c ，3A C π+=． （Ⅰ）求cos C 的值； （Ⅱ）求sin B 的值；（Ⅲ）若b =，求△ABC 的面积．已知高二某班学生语文与数学的学业水平测试成绩抽样统计如下表，若抽取学生n 人，成绩分为A （优秀）、B （良好）、C （及格）三个等级，设x ，y 分别表示语文成绩与数学成绩．例如：表中语文成绩为B 等级的共有20＋18＋4＝42人．已知x 与y 均为B 等级的概率是0.18．（Ⅰ）求抽取的学生人数；（Ⅱ）设该样本中，语文成绩优秀率是30%，求a ，b 值；（Ⅲ）已知10,8a b ≥≥，求语文成绩为A 等级的总人数比语文成绩为C 等级的总人数少的概率.18．（本小题满分14分）如图，已知AF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 为矩形，四边形ABCD 为直角梯形，∠DAB 90=，AB //CD ，AD =AF =CD =2，AB =4．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BCE ； （Ⅱ）求三棱锥A -CDE 的体积；（Ⅲ）线段EF 上是否存在一点M ，使得BM ⊥CE ? 若存在，确定M 点的位置；若不存在，请说明理由．ACDEFB如图，已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a ay b x的离心率2e =，短轴的右端点为B ，M （1，0）为线段OB 的中点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点M 任意作一条直线与椭圆C 相交于两点P ，Q 试问在x 轴上是否存在定点N ，使得∠PNM =∠QNM ？ 若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由．20．(本小题满分13 分)已知函数21()ln 22f x x ax x =--. （Ⅰ）若函数()f x 在定义域内单调递增，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若12a =-，且关于x 的方程1()2f x x b =-+在[1,4]上恰有两个不等的实根，求实数b 的取值范围；（Ⅲ）设各项为正数的数列{}n a 满足111,ln 2(*)n n n a a a a n N +==++∈， 求证：21nn a ≤-.2015年石景山区高三统一测试数 学（文）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分） （Ⅰ）依题意得nS n n=，即2=n S n ． 当n =1时，a 1=S 1=1 ……………1分 当n ≥2时，121n n n a S S n -=-=-； ……………3分 当n =1时，a 1=211⨯- =1所以21n a n =- ……………4分 (Ⅱ) 312328b b b b ==得到22b =，又11b =，2q ∴=，1112n n n b b q --∴==， ……………8分1212n n n a b n -∴+=-+，011(212)(412)(212)n n T n -=-++-++⋅⋅⋅+-+ 011(214121)(222)n n -=-+-+⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅+221n n =+-……………13分(Ⅰ)因为A B C ++=，3A C +=，所以2B C =． ……………………1分又由正弦定理，得sin sin b c B C =，sin sin b B c C=， 2sin cos sin C CC =，化简得，cos C = ………………………4分(Ⅱ)因为()0,C ∈，所以sin C =．所以sin sin 22sin cos 2B C C C ===． ………………………7分 （Ⅲ）因为2B C =，所以211cos cos22cos 12133B C C ==-=⨯-=-． ……………………9分所以sin sin()1()3A B C =+=+-=． ……………………11分因为b c ， b =92c =． ……………………12分所以△ABC 的面积119sin 222S bc A ==⨯． ………………………13分 17．（本小题共13分） (Ⅰ)由题意可知18n＝0.18，得n ＝100.故抽取的学生人数是100. ………………2分 (Ⅱ) 由（Ⅰ）知n ＝100，所以(79)/1000.3a =++，故a ＝14， ………………4分 而7＋9＋a ＋20＋18＋4＋5＋6＋b ＝100，故b ＝17. ………………6分 （Ⅲ）设“语文成绩为A 等级的总人数比语文成绩为C 等级的总人数少”为事件A ， 由(Ⅱ)易知a ＋b ＝31，且a ≥10，b ≥8， ………………7分 满足条件的（a ，b ）有 （10,21），（11,20），（12,19），（13,18）, （14,17）, （15,16）,（16,15）,（17,14）,（18,13）,（19,12）， （20,11）,（21,10）,（22,9）,（23,8），共有14组， ………………10分 其中b +11>a +16的有3组， ………………12分 则所求概率为3()14P A =. ………………13分（Ⅰ）过C 作CN ⊥AB ，垂足为N ，因为AD ⊥DC ，所以四边形ADCN 为矩形．所以AN =NB =2. 又因为AD =2，AB =4，所以AC =，CN 2=，BC =,所以AC 2+BC 2=AB 2，所以AC ⊥BC ； ………2分 因为AF ⊥平面ABCD ，AF //BE 所以BE ⊥平面ABCD ，所以BE ⊥AC ， ………3分 又因为BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，BE BC =B所以AC ⊥平面BCE ．………4分(Ⅱ) 因为AF ⊥平面ABCD ，AF //BE 所以BE ⊥平面ABCD1433A CDE E ACDACD V V EB S --∆==⋅=………8分（Ⅲ）存在，点M 为线段EF 中点，证明如下： …………9分 在矩形ABEF 中，因为点M ，N 为线段AB 的中点，所以四边形BEMN 为正方形， 所以BM ⊥EN ； …………10分 因为AF ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以AF ⊥AD . 在直角梯形ABCD 中，AD ⊥AB ，又AF AB =A ，所以AD ⊥平面ABEF ，又CN //AD ，所以CN ⊥平面ABEF ，又BM ⊂平面ABEF 所以CN ⊥BM ； …………12分 又 CNEN =N ，所以BM ⊥平面ENC ，又EC ⊂平面ENC ，所以BM ⊥CE.…………14分M N ACDEFB（Ⅰ）由题意知, 2b = …………………1分由2e =a = …………………3分 椭圆方程为22148x y +=． …………………4分 （Ⅱ）若存在满足条件的点N ，坐标为（t ，0），其中t 为常数. 由题意直线PQ 的斜率不为0，直线PQ 的方程可设为：1x my =+,()m R ∈ …………………5分 设1122(,),(,)P x y Q x y ,联立221,148x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得：22(12)460m y my ++-=, …………………7分221624(12)0m m ∆=++>恒成立，所以12122246,1212m y +y =y y =m m --++ ……8分 由PNM QNM ∠=∠知：+0PN QN k k = …………………9分1212,PN QN y yk k x t x t==--， 即12120y yx t x t+=--，即121211y y my t my t =-+-+-， …………………10分展开整理得12122(1)()0my y t y y +-+=，即222(6)4(1)0,1212m m t m m---+=++ …………………12分 即(4)0m t -=，又m 不恒为0，=4t ∴.故满足条件的点N 存在，坐标为(40),……14分20．（本小题共13分）（Ⅰ）函数的定义域为(0,)+∞，221()(0)ax x f x x x+-'=->， ……………2分 依题意()0f x '≥在(0)x >时恒成立，则22121(1)1x a x x-≤=--在(0)x >时恒成立， 当1x =时，21(1)1x--取最小值1-，(,1]a ∴∈-∞-. ………… 4分 （Ⅱ）已知条件等价于方程213ln 042x x x b -+-=在[1,4]上有两个不同的实根， 设213()ln ,[1,4]42g x x x x x =-+∈， xx x x g 2)1)(2()(--='，[1,2)x ∈时，0)(<'x g ，(2,4]x ∈时，0)(>'x g ,22ln )2()(min -==g x g 22ln 2)4(,45)1(-=-=g g ， ………… 6分 由0)4ln 43(412ln 243)4()1(<-=-=-g g ，得)4()1(g g < 则]45,22(ln --∈b ……………8分（Ⅲ）先证：当0x >时，ln 1x x ≤-. 令1()ln 1()x h x x x h x x-'=-+=，，可证(0,1)x ∈时()h x 单调递增，(1,)x ∈+∞时()h x 单调递减，1x =时0)(max =x h .所以0x >时，ln 1x x ≤-. ……………9分用以上结论，由,0>n a 可得1ln -≤n n a a .12212ln 1+=++-≤++=∴+n n n n n n a a a a a a ，故),1(211+≤++n n a a ……10分所以当2≥n 时，,21101≤++<-n n a a 211021≤++<--n n a a ，…，,211012≤++<a a 相乘得112110-≤++<n n a a . ………12分 又,11=a 故n n a 21≤+，即12-≤n n a . ……………13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】。