北师大版高中数学必修一数学必修1 指数与指数函数测试题.docx

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2024-2025年北师大版数学必修第一册4.4-5指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(带答案)

§4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较§5信息技术支持的函数研究必备知识基础练知识点一指数函数、幂函数、对数函数增长的差异1．研究函数y＝0.5e x－2，y＝ln (x＋1)，y＝x2－1在[0，＋∞)上的增长情况．知识点二指数函数、幂函数、对数函数增长的比较2．下面对函数f(x)＝log12 x，g(x)＝(12)x与h(x)＝x－12在区间(0，＋∞)上的衰减情况的叙述正确的是( )A．f(x)的衰减速度逐渐变慢，g(x)的衰减速度逐渐变快，h(x)的衰减速度逐渐变慢B．f(x)的衰减速度逐渐变快，g(x)的衰减速度逐渐变慢，h(x)的衰减速度逐渐变快C．f(x)的衰减速度逐渐变慢，g(x)的衰减速度逐渐变慢，h(x)的衰减速度逐渐变慢D．f(x)的衰减速度逐渐变快，g(x)的衰减速度逐渐变快，h(x)的衰减速度逐渐变快3．当2<x<4时，2x，x2，log2x的大小关系是( )A．2x>x2>log2x B．x2>2x>log2xC．2x>log2x>x2 D．x2>log2x>2x4．函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象关于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2．(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数．(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)的大小．知识点三指数函数、幂函数、对数函数的实际应用5．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？(可用计算器)关键能力综合练1．四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 3x ，f 4(x )＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人对应的函数关系是( )A ．f 1(x )＝x 2B ．f 2(x )＝4xC ．f 3(x )＝log 3xD ．f 4(x )＝2x2．以下四种说法中，正确的是( ) A ．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B ．对任意的x >0，x a>log a x C ．对任意的x >0，a x >log a xD ．一定存在x 0，当x >x 0，a >1，n >0时，总有a x>x n>log a x 3．已知－1<α<0，则( )A ．0.2α>(12 )α>2αB ．2α>0.2α>(12 )αC ．(12 )α>0.2α>2αD ．2α>(12 )α>0.2α4．有一组实验数据如下表所示：A ．y ＝log a x (a >1)B ．y ＝ax ＋b (a >1)C ．y ＝ax 2＋b (a >0) D ．y ＝log a x ＋b (a >1) 5.如图给出了红豆生长时间t (月)与枝数y (枝)的关系图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( ) A．指数函数：y＝2tB．对数函数：y＝log2tC．幂函数：y＝t3D．二次函数：y＝2t26．(探究题)某校甲、乙食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知该年9月份两食堂的营业额又相等，则该年5月份( )A．甲食堂的营业额较高B．乙食堂的营业额较高C．甲、乙两食堂的营业额相同D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高7．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．8．某种病菌经30分钟繁殖为原来的2倍，且知这种病菌的繁殖规律为y＝e kt(k为常数，t为时间，单位：小时)，y表示病菌个数，则k＝________，经过5小时，1个病菌能繁殖为________个．9．(易错题)某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确的序号是________．核心素养升级练1．(多选题)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程f i(x)(i ＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x3，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，则以下结论正确的是( )A．当x>1时，甲走在最前面B．当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面C．丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲2．(情境命题—生活情境)某地区第1周、第2周、第3周患某种传染病的人数分别为52，54，58.为了预测以后各周的患病人数，甲选择了模型y＝ax2＋bx＋c，乙选择了模型y ＝p·q x＋r，其中y为患病人数，x为周数，a，b，c，p，q，r都是常数．结果第4周、第5周、第6周的患病人数分别为66，82，115，你认为谁选择的模型较好？§4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较§5信息技术支持的函数研究必备知识基础练1．解析：分别在同一个坐标系中画出三个函数的图象，如图所示，从图象上可以看出函数y＝0.5e x－2的图象首先超过了函数y＝ln (x＋1)的图象，然后又超过了函数y＝x2－1的图象，即存在一个x0满足0.5e x0－2＝x2－1，当x>x0时，ln (x ＋1)<x2－1<0.5e x－2.y＝ln (x＋1)增长最慢，y＝0.5e x－2增长最快．2．答案：C解析：由函数f(x)＝log12 x，g(x)＝(12)x与h(x)＝x－12在区间(0，＋∞)上的图象(图略)知函数f(x)，g(x)，h(x)的衰减速度均逐渐变慢，故选C.3．答案：B解析：在同一平面直角坐标系中画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图象(图略)，由图象，可知在区间(2，4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图象．所以当2<x<4时，x2>2x>log2x.4．解析：(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)因为f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x1<2，9<x2<10，所以x1<6<x2.由图可知g(6)>f(6).5．解析：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y＝40(x∈N＋)进行描述；方案二可以用函数y＝10x(x∈N＋)进行描述；方案三可以用函数y＝0.4×2x－1(x∈N＋)进行描述．要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析．画出三个函数的图象，如图所示，由图可知方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同．可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的．从每天所得回报看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元．下面再看累计的回报数．列表如下：因此，投资1～6天，应选择第一种投资方案；投资7天，应选择第一或第二种投资方案；投资8～10天，应选择第二种投资方案；投资11天(含11天)以上，应选择第三种投资方案．关键能力综合练1．答案：D解析：在同一平面直角坐标系中画出函数f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )，f 4(x )的图象(图略)，可知当x >4时，f 4(x )>f 1(x )>f 2(x )>f 3(x )，故选D.2．答案：D解析：对于A ，幂函数的增长速度受指数影响，指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较，而B ，C 中x a ，log a x ，a x的大小都受a 的影响，选D.3．答案：A解析：∵12 >0.2，－1<α<0，∴2α<(12 )α<0.2α.故选A.4．答案：C解析：通过所给数据可知y 随x 增大，其增长速度越来越快，而A 、D 中的函数增长速度越来越慢，B 中的函数增长速度保持不变，故选C.5．答案：A解析：由题中图象可知该函数模型为指数函数． 6．答案：A解析：设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m ，甲食堂的营业额每月增加a (a >0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x .由题意，可得m ＋8a ＝m ×(1＋x )8，则5月份甲食堂的营业额y 1＝m ＋4a ，乙食堂的营业额y 2＝m ×(1＋x )4＝m （m ＋8a ） .因为y 21 －y 22 ＝(m ＋4a )2－m (m ＋8a )＝16a 2>0，所以y 1>y 2，故该年5月份甲食堂的营业额较高．7．答案：y ＝x 2解析：当x 变大时，x 比ln x 增长要快，∴x 2要比x ln x 增长得要快． 8．答案：2ln 2 1 024解析：设病菌原来有1个，则半小时后为2个，得2＝e k2 ，解得k ＝2ln 2，y (5)＝e(2ln2)·5＝e10ln 2＝210＝1 024(个).9．答案：②③解析：由t ∈[0，3]的图象联想到幂函数y ＝x α(0<α<1).反映了C 随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t ∈[3，8]的图象可知，总产量C 没有变化，即第三年后停止生产，所以②③正确．核心素养升级练1．答案：BCD解析：路程f i (x )(i ＝1，2，3，4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为：f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 3，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝log 2(x ＋1).它们相应的函数模型分别是指数型函数、幂函数、一次函数和对数型函数模型．当x ＝2时，f 1(2)＝3，f 2(2)＝8，∴选项A 不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x ＝1时甲、乙、丙、丁四个物体重合，从而可知当0<x <1时，丁走在最前面，当x >1时，丁走在最后面，∴选项B 正确；结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，∴选项C 正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的物体一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体．∴选项D 正确．故选B 、C 、D.2．解析：依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ·12＋b ·1＋c ＝52，a ·22＋b ·2＋c ＝54，a ·32＋b ·3＋c ＝58，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝52，4a ＋2b ＋c ＝54，9a ＋3b ＋c ＝58，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，c ＝52，所以甲：y 1＝x 2－x ＋52，又⎩⎪⎨⎪⎧p ·q 1＋r ＝52， ①p ·q 2＋r ＝54， ②p ·q 3＋r ＝58， ③②—①，得p ·q 2－p ·q 1＝2， ④ ③—②，得p ·q 3－p ·q 2＝4， ⑤ ⑤÷④，得q ＝2.将q ＝2代入④式，得p ＝1. 将q ＝2，p ＝1代入①式，得r ＝50，所以乙：y 2＝2x＋50.计算当x ＝4时，y 1＝64，y 2＝66；当x ＝5时，y 1＝72，y 2＝82；当x ＝6时，y 1＝82，y 2＝114. 可见，乙选择的模型较好．。

第三章指数运算与指数函数—高一数学北师大版(2019)必修一单元检测卷(B卷)(含解析)

指数运算与指数函数—高一数学北师大版(2019)必修一单元检测卷（B卷）【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知是奇函数,则( )A.2 B.-1 C.1 D.-22.函数与的图象( )A.关于C.关于对称D.关于对称3.已知函数,则不等式的解集为( )A. B.C. D.4.已知函数是定义在R 上的奇函数，且，当时，，则( )A.5.设实数a ,b 满足,则的最大值为()A.2B.6.已知，，则的值为()D.57.在平面直角坐标系内，将函数，的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，则所得新函数的图象恒过定点( )e ()e 1x axf x =-a =3x y =23x y -=x ==1x =2x =()23x x f x -=-()()223f x f x <+()1,3-()(),13,-∞-+∞ ()3,1-()(),31,-∞-+∞ ()f x ()()2f x f x +=-()0,1x ∈()3x f x =112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭-1248a b -+=2a b -2+111552n n x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭*n ∈N (nx 1()2x f x a +=-(0a >1)a ≠()g xA. B. C. D.8.已知定义域为R 的偶函数和奇函数满足：.若存在实数a ，使得关于x 的不等式在区间上恒成立，则正整数n 的最小值为( )A.1B.2C.3D.4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列各式中成立的是( )A.，）B.D.（，）10.已知函数,其中且,则下列结论正确的是( )A.函数是奇函数B.函数的图象过定点C.函数在其定义域上有解D.当时,函数在其定义域上为单调递增函数11.已知定义在R 上的函数满足,,且在上单调递增,下列结论正确的是( )A.函数的图象关于直线对称B.函数的图象关于直线对称C.函数D.若方程有两个解,则12,x x 123x x +=(2,0)-(0,1)(2,1)-(0,1)-()f x ()g x ()()2x f x g x +=(())(())0nf x a g x a --≤[]1,277n n m ⎛⎫= ⎪⎝⎭0>0m >==()()12333222a b a b ---⎡⎤=⎢⎥⎣⎦0a >0b >()1xx f x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭0a >1a ≠()f x ()f x ()0,1()f x 0=1a >()f x ()f x ()()2f x f x =-()12f =-()f x [)1,+∞()1f x -2x =()()31y f x f x =-+-2x =()(122f x f x y -=+()()1221f x f x -+=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，，且，则______.13.已知函数,则满足不等式的实数a 的取值范围是___________.14.已知函数且在区间上单调递减，则实数a 的取值范围是__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（13分）正实数a ，b 满足：，若的值.16.（15分）设函数，其中.（1）若，为R 上的偶函数，求实数m 的值；（2）若，，且在R 上有最小值，求实数m 的取值范围.17.（15分）假设是定义在一个区间I 上的连续函数，且.对，记，，…，.若某一个函数满足，则有（其中，为关于x 的方程的两个根，s ，t 是可以由，来确定的常数）.（1）若，且满足.（ⅰ）求，的值；（ⅱ）求的表达式；（2）若函数的定义域为A ，值域为B ，且，且函数满足，求的解析式.18.（17分）已知函数2m n a +=256m n -=0a >1a ≠4m n a +=()1122x x f x --=-()()240f a f a +->2(2)1()x a x f x a --+=(0a >1)a ≠3,14⎛⎫- ⎪⎝⎭22334a b +=133m a a =+233b a b =+2233)()m n m n ++-()x x f x a mb =+,,a m b ∈R 2a =b =()f x 4a =2b =()f x ()G x (){|}G x x I I ∈⊂0x I ∀∈()()1100x G x G x ==()()()()22100x G x G G x G x ===()()()100n n n x G G x G x -== ()G x ()()()21000n n n G x pG x qG x ++=+n n n x s t αβ=+αβ2x px q =+0x 1x 02x =13x =()()()212222n n n G G G ++=-+2x 3x n x ()G x ()0,A B ==+∞()G x ()()()216n n n G x G x G x ++=-+()G x ()f x =(1)求的值；(2)求函数的值域；(3)若，且对任意的，求实数a的取值范围.19.（17分）已知函数，为偶函数.（1）求实数a 的值；（2）写出的单调区间（不需要说明理由）；（3）若对于任意，不等式恒成立，求实数k 的取值范围.()()22f f -+()f x ()()24221x ag x f x a =-+⎡⎤⎣⎦+21x x ∈R 、)()123x g x -<1()22xx f x a ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭()f x ()f x []3,1t ∈-22(22)(2)f t t f t k -+>-+答案以及解析1.答案：A解析：因为函数是奇函数,所以满足,,,此时,函数的定义域为,成立.故选：A 2.答案：C,故函数与的图象关于对称.故选：C.3.答案：A解析：解法一:,,选A.解法二:特值当时,,排除B,D,当时,,排除C,选A.4.答案：C解析：因为函数是定义在R 上的奇函数，所以，因为，所以，，所以，又当时，，所以故选：C.()()f x f x -=-==11-=2a =()2e e 1xxf x =-()(),00,-∞+∞ 1=3x y =23x y -=1x =()23x x f x -=-()()2231,3x f x x x x ∈⇒↑⇒<+⇒∈-R 0x =()()03f f <1x =()()15f f <()f x ()()f x f x -=-()()2f x f x +=-1177332222222f f ff f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭311122222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()0,1x ∈()3x f x =11122f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5.答案：A解析：令,则有,当且仅当时取等号,即当,时取等号,故选：A.6.答案：D解析：因为，所以，所以，所以.故选D.7.答案：A解析：方法一：将函数的图象向左平移1个单位长度，得到的图象，再向上平移1个单位长度，得到的图象，即.令，得，，故的图象恒过定点.方法二：因为（，），令，得，，所以的图象过定点.将点向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点，所以的图象恒过定点.8.答案：B解析：由题可得，又，联立可得的内层函数为（在上单调递增），外层函数为（在上单调递增），故由复合函数单调性知在上单调递增，故在上单调递增，故.若则22a b t a b t -=⇒=+2222182221622424a b b t b t t t +--+=+≥⇒≥⇒+≤⇒+≤=22222b t b +-=2a =0b =111552n n x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭222(1524)5n n x -=-+2221121115255544n n n n x --⎛⎫+=⎛++=+ ⎪⎝⎭⎫ ⎪⎝⎭(111111155555522n nnn n n nn x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++==⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()f x (1)f x +(1)1f x ++2()(1)11x g x f x a +=++=-20x +=2x =-(2)0g -=()g x (2,0)-1()2x f x a +=-0a >1a ≠10x +=1x =-0(1)21f a -=-=-()f x (1,1)--(1,1)--(2,0)-()g x (2,0)-()()()()2x f x g x f x g x --+-=-=()()2x f x g x +=()f x =()g x =()f x 2x u =[1,2]x ∈112y u u ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[2,4]u ∈()f x []1,211517(),()2248x x f x g x ---⎡⎤∈⋅=-⎢⎥⎣⎦[]1,2315(),48g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(),(),a f x n g x a ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩且n为正整数，只需即可.若综上，正整数n的最小值为2.故选B.9.答案：BCD解析：，故A错误；，故D正确.10.答案：ACD解析：函数,对选项A,,定义域为R,,所以函数是奇函数,故A正确.对选项B,,故B错误.对选项C,,定义域为R,令,解得,故C正确.对选项D,当时,,所以和在R上为增函数,所以函数在R上为单调递增函数,故D正确.故选：ACD.11.答案：ABD解析：因为,所以函数的图象关于直线对称,函数的图象关于直线对称,正确.令函数,则,即,所以函数的图象关于直线对称,B正确.77777n nn mm m-⎛⎫==⎪⎝⎭1431233=-=-====()()()112333266223a b a b a b----⎤==⎥⎦2x=A()()()31g x f x f x=-+-()()()413g x f x f x-=-+-15584na≤≤2n≥()(),af xng x a⎧≤⎪⎨⎪≥⎩a≤≤()1xx x xf x a a aa-⎛⎫=-=-⎪⎝⎭()x xf x a a-=-()()x xf x a a f x--=-=-()f x()000f a a=-=()x xf x a a-=-()0x xf x a a-=-=0x=1a>101a<<xy a=1xya⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1xxf x aa⎛⎫=- ⎪⎝⎭()()2f x f x=-()f x1x=()1f x-()()4g x g x=-()()31y f x f x=-+-2x=因为函数的图象关于直线对称,,且在上单调递增,所以因为,所以.令函数,则,即,所以函数的图象关于直线有两个解,,则,D 正确.12.答案：4解析：因为，，所以两式相乘得，则.将代入，得，所以.故答案为：4.13.答案：解析：因为,则,可知函数的图象关于点对称,且单调递增,不等式,化为,所以,则.14.答案：解析：函数可以看作由函数，复合而成，当时，外层函数单调递增，所以内层函数在，解得；当时，外层函数单调递减，所以内层函数在()f x 1x =()12f =-()f x [)1,∞+(f x x =2=x =()1f x -()()2f x f x =-()()31f x f x -=-()()()122f x f x h x -=+()()()()()32132222f x f x f x f x h x ----=+=+()()3h x h x =-()()()122f x f x h x -=+x =()()121f x f x -+=1x 2x 123x x +=22124m n a +-==82562m n a -==362m a =22m a =22m a =82m n a -=62n a -=()()44442622224m nmnm naaa aa +-=⋅=⋅=⨯==()2,-+∞()11222x x f x ---=-()()20f x f x -+=()f x ()1,0()f x ()()240f a f a +->()()()242f a f a f a >--=-22a a >-2a >-[)10,4,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦2(2)1()xa x f x a --+=t y a =2(2)1t x a x =--+1a >t y a =2(2)1t x a x =--+3,14⎛- ⎝1≥4a ≥01a <<t y a =2(2)1t x a x =--+3,14⎛⎫- ⎪⎝⎭或15.答案：8解析：最小次幂换元，设，，则条件化为，所以，，所以原式.16.答案：（1）（2）解析：（1）当，.又为R 上的偶函数，所以，所以.此时，则，所以为偶函数，符合题意.综上，.（2）当，时，.令，则在上有最小值，所以，得.所以实数m 的取值范围是.17.答案：（1）（ⅰ），；（ⅱ）；（2）解析：（1）（ⅰ）由题意可知，，又，，，（ⅱ）由题意可知，，13a x =13b y =224x y +=323m x xy =+323n y x y =+()()2232323232333333x xy y x y x xy y x y =+++++--()2222()()28x y x y x y =++-=+=≤≤4≥0a <≤1m =(,0)-∞2a =b =1()22xx f x m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x 1(1)2(1)222m f f m =+=-=+1m =1()22xx f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1()2()2xx f x f x ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭()f x 1m =4a =2b =()42x x f x m =+⋅20x t =>2()g t t mt =+(0,)+∞02m->0m <(,0)-∞21x =35x =()71233n n x ∴=-⋅-()2G x x=212n n n x x x ++=-+02x =13x =2102341x x x ∴=-+=-+=32121235x x x =-+=-+⨯=n n n x s t αβ=⋅+⋅又，为的两个根1，，又所以（2）由（ⅱ）可知，，因为值域为，；，又，，18.答案：(1)0；(2)；(3).解析：（1）.（2）.，则，则，所以，，函数的值域为.（3），令，则，，函数的对称轴为直线.①当时，函数在，，解得αβ22x x =-+2-()2nn x s t ∴=+-()012,23,x s t x s t =+=⎧⎨=+⨯-=⎩7,31,3s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩()71233n n x ∴=-⋅-()32n n n x s t =⋅-+⋅()0,B =+∞0s ∴=2n n x t ∴=⋅002x t t =⋅=()10022x G x t x ===()2G x x ∴=()1,1-11a -≤≤-()()22221112121433422012121415514f f -------+=+=+=-=++++()()212212121x x xf x -++==-++20x > 211x +>20221x <<+211121x -<-<+∴()f x ()1,1-()()()()()2224222122121x x a g x f x a f x a f x af x ⎛⎫=-+=--=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦++⎝⎭()t f x =()()22g x h t t at ==-()1,1t ∈-()h t t a =1a ≥()h t ()1,1-)()()()12113x g x h h -<--≤()()12123a a ∴+--≤a ≤②当时，函数在，，解得③当时，函数在上单调递减，在上单调递增，，所以，，解得，此时.综上，实数a 的取值范围为.19.答案：（1）；（2）递减区间是，递增区间是；（3）.解析：（1）函数的定义域为R ，由为偶函数，得，即，即，又不恒为0，所以.（2）函数，令，函数在上单调递增，当时，，而函数在上单调递增，因此在上单调递增，又函数是R 上的偶函数，因此在上单调递减，所以函数的递减区间是，递增区间是.（3）由（2）知函数是R 上的偶函数，且在上单调递增，不等式，，依题意，对于任意恒成立，1a ≤-()h t (1,1-)()()()12113x g x h h -<--≤()()12123a a ∴--+≤a ≥11a -<<()h t ()1,a -(),1a ()()()(121g x g x h h a ∴-<--)()()()121x g x h h a -<-()()()()2211231123h h a a a h h a a a ⎧--=++≤⎪⎨-=-+≤⎪⎩11a -≤≤-11a ≤≤11a -≤≤-1a =-(,0)-∞(0,)+∞51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭1()22xx f x a ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭()f x ()()0f x f x --=22220x x x x a a ---⋅-+⋅=(1)(22)0x x a -+-=22x x --1a =-1()()22x x f x =+20x u =>1y u u=+(1,)+∞1u >0x >2x u =(0,)+∞()f x (0,)+∞()f x ()f x (,0)-∞()f x (,0)-∞(0,)+∞()f x (0,)+∞2222(22)(2)(22)(2f t t f t k f t t f t -+>-+⇔-+>-2222t t -+>-2222(1)10t t -+=-+>22222222322t k t t t t k t t +<-+⇔+-<<-+2222322t t k t t +-<<-+[3,1]t ∈-当时，，当且仅当或时取等号，，所以实数k 的取值范围是.[3,1]t ∈-2222(1)31t t t +-=+-≤3t =-1t =22153223()33t t t -+=-+≥=53k <<51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭。

新北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试题(有答案解析)(2)

一、选择题1．设a ，b ，c 为正数，且3a =4b =6c ，则有（） A ．111c a b=+ B ．221c a b=+ C ．122c a b=+ D ．212c a b=+ 2．已知函数2()log x f x =，在[116，m ]上的值域为[0，4]，2m f ⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围是（） A ．[1,2]B ．[0,2]C ．[1,3]D ．[0,3]3．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学学习中和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，页常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数()22xy xx R =-∈的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．4．已知()f x ，()g x 分别为定义在R 上的偶函数和奇函数，且满足()()2xf xg x +=，若对于任意的[]1,2x ∈，都有()()20f x a g x a -⋅-≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．317,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．155,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．15,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．172,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[)1,1x ∈-时，()2f x x =，若函数()log1a g x x =+图象与()f x 的图象恰有10个不同的公共点，则实数a 的取值范围为（） A ．()4,+∞ B ．()6,+∞ C ．()1,4D ．()4,66．已知函数222,1()log (1),1x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则52f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（） A ．12-B ．-1C ．-5D ．127．已知函数()f x 是定义在R 上的单调递增的函数，且满足对任意的实数x 都有[()3]4x f f x -=，则()()f x f x +-的最小值等于（）.A ．2B ．4C ．8D ．128．如图是指数函数①y =x a ；②y =x b ；③y =c x ；④y =d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是（）A ．a <b <1<c <dB ．b <a <1<d <cC ．1<a <b <c <dD ．a <b <1<d <c9．已知()lg(10)lg(10)f x x x =++-，则()f x 是（） A ．偶函数，且在(0,10)是增函数 B ．奇函数，且在(0,10)是增函数 C ．偶函数，且在(0,10)是减函数D ．奇函数，且在(0,10)是减函数10．函数213()log 4f x x =-的单调减区间是（） A ．(]()2,02,-+∞ B ．(]2,0-和(2,)+∞ C ．(),20,2[)-∞-D ．(,2)-∞-和[0,2)11．设()lg (21)fxx a =-+是奇函数，则使f(x)<0的x 的取值范围是( )．A ．(－1,0)B ．(0, 1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)12．函数()log 1a f x x =+（且）．当(1,0)x ∈-时，恒有()0f x >，有（）．A ．()f x 在(,0)-∞+上是减函数B ．()f x 在(,1)-∞-上是减函数C ．()f x 在(0,)+∞上是增函数D ．()f x 在(,1)-∞-上是增函数二、填空题13．已知正实数a 满足8(9)a a a a =，则log 3a =____________.14．已知函数22()log ()f x ax x a =++的值域为R ，则实数a 的取值范围是_________ 15．函数()()cos1log sin f x x =的单调递增区间是____________.16．函数()y f x =的图象与2x y =的图象关于y 轴对称，若1()y f x -=是()y f x =的反函数，则12(2)y f x x -=-的单调递增区间是__________.17．定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数1,0(),0x x e x f x e m x -⎧->=⎨+<⎩是奇函数，则实数m 的值为______．18．设实数x 满足01x <<，且2log 4log 1x x -=，则x =______.19．若()34,0mnm n =≠，则4log 3=______.（用m n ，表示）20．函数22()log (2)f x x x =--的单调递增区间是_____________．三、解答题21．已知指数函数()f x 的图象经过点()1,3-，()()2()23x g x f a x f =-+在区间[]1,1-上的最小值是()h a . （1）求函数()f x 的解析式；（2）若3a ≥时，求函数()g x 的最小值()h a 的表达式；（3）是否存在m 、n ∈R 同时满足以下条件：①3m n >>；②当()h a 的定义域为[],n m 时，值域为22,n m ⎡⎤⎣⎦；若存在，求出m 、n 的值；若不存在，说明理由.22．（1）已知12x y +=，9xy =，且x y <，求11221122x y x y-+值；（2）求值：2(lg 2)lg5lg 20+⋅.23．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0，且a ≠1. （1）求f (x )的定义域；（2）判断f (x )的奇偶性，并予以证明；（3）当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的取值范围.24．已知函数()log [(1)(1)]a f x x x =+-（其中0a >且1a ≠） (1)求函数()f x 的定义域，并判断它的奇偶性；(2)若2a =，当12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域. 25．已知函数()log (1)a f x x =+，()log (1)(0a g x x a =->，且1)a ≠. （1）求函数()()f x g x -的定义域；（2）判断函数()()f x g x -的奇偶性，并说明理由；（3）当2a =时，判断函数()()f x g x -的单调性，并给出证明. 26．已知函数1()log a f x a x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，其中实数0a >且1a ≠. （1）当3a =时，求不等式()0f x >的解集；（2）若()f x 在区间[1,3]上单调递增，求a 的取值范围；【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】首先根据指对互化求出,,a b c ，再根据换底公式表示111,,a b c，最后根据对数运算法则化简. 【详解】设3a =4b =6c =k ，则a =log 3k ， b =log 4k ， c =log 6k ， ∴311log 3log k a k ==，同理1log 4k b =，1log 6k c=，而11log 2,log 3log 22k k k b c ==+， ∴1112c a b =+，即221c a b =+．故选：B 【点睛】本题考查指对数运算，换底公式，以及对数运算的性质，关键是灵活应用对数运算公式，公式1log log a b b a=是关键. 2．D解析：D 【分析】由对数函数的单调性可得[]1,16m ∈，再结合对数函数的性质即可得解. 【详解】由题意，函数2()log x f x =在(]0,1上单调递减，在[)1,+∞上单调递增，且()116416f f ⎛⎫==⎪⎝⎭，()10f =，结合该函数在1,16m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[0,4]可得[]1,16m ∈，所以1,822m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[]2lo 2g 0,32m m f ⎛⎫= ⎪⎝∈⎭.故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由对数函数的图象变换及单调性确定[]1,16m ∈，即可得解.3．A解析：A 【分析】分析函数()()22xf x xx R =-∈的奇偶性，结合()01f =可得出合适的选项.【详解】令()22=-xf x x ，该函数的定义域为R ，()()()2222xxf x x x f x --=--=-=，函数()22=-xf x x 为偶函数，排除B 、D 选项；又()010f =>，排除C 选项. 故选：A. 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置．（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）从函数的特征点，排除不合要求的图象.4．B解析：B 【分析】利用奇偶性求出()222x x f x -+=，()222x x g x --=，讨论()22x xh x -=+和()g x 的单调性求最值可得()()h x g x >恒成立，则不等式恒成立等价于()()max min g x a h x ≤≤. 【详解】()()2x f x g x +=，()()2x f x g x --+-=∴，()f x 是偶函数，()g x 分是奇函数，()()2x f x g x -=∴-，可得()222x xf x -+=，()222x xg x --=，则不等式为()()1222202x xx x a a --⎡⎤+-⋅--≤⎢⎥⎣⎦，令()22xxh x -=+，令2x t =，由对勾函数的性质可得1y t t=+在[]2,4单调递增，则()22xxh x -=+在[]1,2单调递增，则()()()()min max 5171,224h x h h x h ====，对于()222x x g x --=，因为2xy =单调递增，2x y -=-单调递增，()g x ∴在[]1,2单调递增，()()()()min max 3151,248g x g g x g ∴====， ()()h x g x ∴>恒成立，则不等式()()0h x a g x a --≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，解得()()g x a h x ≤≤，()()max min g x a h x ∴≤≤，即15582a ≤≤. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是利用奇偶性求出函数解析式，根据函数的单调性求出最值将不等式等价为()()max min g x a h x ≤≤即可求解.5．D解析：D 【分析】转化条件为函数()f x 是周期为2的周期函数，且函数()g x 、()f x 的图象均关于1x =-对称，由函数的对称性可得两图象在1x =-右侧有5个交点，画出图象后，数形结合即可得解. 【详解】因为函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数，又函数()log 1a g x x =+的图象可由函数log a y x =的图象向左平移一个单位可得，所以函数()log 1a g x x =+的图象的对称轴为1x =-，当[)1,1x ∈-时，()2f x x =，所以函数()f x 的图象也关于1x =-对称，在平面直角坐标系中作出函数()y f x =与()y g x =在1x =-右侧的图象，数形结合可得，若函数()log 1a g x x =+图象与()f x 的图象恰有10个不同的公共点，则由函数图象的对称性可得两图象在1x =-右侧有5个交点，则()()13log 415log 61a a a g g ⎧>⎪=<⎨⎪=>⎩，解得()4,6a ∈. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是函数的周期性、对称性及数形结合思想的应用.6．A解析：A 【分析】根据分段函数解析式，依次计算255log 122f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23log 2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即可得选项.【详解】因为函数222,1()log (1),1x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，所以2253log log 2122f ⎛⎫=<= ⎪⎝⎭，23log 2531222222f f⎡⎤⎛⎫∴=-=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：A. 【点睛】本题考查根据分段函数求解函数值，关键在于根据解析式分段求解，由内到外，准确认清自变量的所在的范围和适用的解析式.7．B解析：B 【分析】根据()3x f x -为定值，可假设()3xf x m =+，然后计算()()f x f x +-，并计算m 的值，然后使用基本不等式，可得结果. 【详解】由题可知：()3x f x -为定值故设()3xf x m -=，即()3xf x m =+又[()3]4x f f x -=，所以()341mf m m m =+=⇒= 则()31x f x =+()()3131x x f x f x -+-=+++则1()()32243x x f x f x +-=++≥= 当且仅当133xx =时，取等号所以()()f x f x +-的最小值为：4故选：B 【点睛】本题考查基本不等式的应用，还考查镶嵌函数的应用，难点在于()3xf x -为定值，审清题意，细心计算，属中档题.8．B解析：B 【分析】根据指数函数的图象与性质可求解. 【详解】根据函数图象可知函数①y =x a ；②y =x b 为减函数，且1x =时，②y =1b <①y =1a ，所以1b a <<，根据函数图象可知函数③y =c x ；④y =d x 为增函数，且1x =时，③y =c 1>④y =d 1，所以1c d >> 故选：B 【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，指数函数的图象，数形结合的思想，属于中档题.9．C解析：C 【分析】先判断函数的定义域关于原点对称，再由奇偶性的定义判断奇偶性，根据复合函数的单调判断其单调性，从而可得结论. 【详解】由100100x x +>⎧⎨->⎩，得(10,10)x ∈-，故函数()f x 的定义域为()10,10-，关于原点对称，又()()lg 10lg(10)()f x x x f x -=-++=，故函数()f x 为偶函数，而()()2lg(10)lg(10)lg 100f x x x x=++-=-，因为函数2100y x =-在()0,10上单调递减，lg y x =在()0,∞+上单调递增，故函数()f x 在()0,10上单调递减，故选C. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， ()()f x f x -=±(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，()()0f x f x -±=（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，()()1f x f x -=±（1 为偶函数，1- 为奇函数） .10．B解析：B 【分析】先分析函数的定义域，然后根据定义域以及复合函数的单调性判断方法确定出()f x 的单调递减区间. 【详解】因为240x ->，所以定义域为()()(),22,22,-∞--+∞，令()24u x x =-，13log y u =在()0,∞+上单调递减，当(),2x ∈-∞-时，()u x 单调递减，所以()f x 单调递增；当(]2,0x ∈-时，()u x 单调递增，所以()f x 单调递减；当()0,2x ∈时，()u x 单调递减，所以()f x 单调递增；当()2,x ∈+∞时，()u x 单调递增，所以()f x 单调递减；综上可知：()f x 的单调递减区间为(]2,0-和()2,+∞. 故选：B. 【点睛】本题考查对数型复合函数的单调区间的求解，难度一般.分析复合函数的单调性，注意利用判断的口诀“同增异减”，当内外层函数单调性相同时，整个函数为增函数，当内外层函数单调性相反时，整个函数为减函数.11．A解析：A 【解析】试题分析：由()lg (21)fxx a =-+为奇函数，则()()f xf x-=-，可得1a =-，即()lg 11f x x x =+-，又()0f x<，即lg110xx+-<，可变为0111x x <+-<，解得10x -<<．考点：函数的奇偶性，对数函数性质，分式不等式．12．D解析：D 【解析】试题分析：根据题意，当(1,0)x ∈-时，1(0,1)x +∈，而此时log 10a x +>，所以有01a <<，从而能够确定函数在(,1)-∞-上是增函数，在区间(1,)-+∞上是减函数，故选D ．考点：函数的单调性．二、填空题13．【分析】利用已知式两边同时取以e 为底的对数化简计算再利用换底公式代入计算即可【详解】正实数a 满足两边取对数得即故解得故故答案为：【点睛】本题解题关键是对已知指数式左右两边同时取以e 为底的对数化简计算解析：716-【分析】利用已知式两边同时取以e 为底的对数，化简计算ln a ，再利用换底公式ln 3log 3ln a a=代入计算即可. 【详解】正实数a 满足8(9)aaa a =，两边取对数得8ln ln(9)aaa a =，即ln 8ln(9)a a a a =，故()ln 8ln9ln a a =+，解得16ln ln 37a =-，故ln 3ln 37log 316ln 16ln 37a a ===--.故答案为：716-. 【点睛】本题解题关键是对已知指数式左右两边同时取以e 为底的对数，化简计算得到ln a 的值，再结合换底公式即突破难点.14．【分析】设值域为根据题意对分类讨论结合根的判别式即可求解【详解】设值域为函数的值域为当时值域为满足题意；当时须解得综上实数a 的取值范围是故答案为:【点睛】本题考查对数函数的性质复合函数的性质二次函数解析：10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】设2()u x ax x a =++值域为A ，根据题意(0,)A +∞⊆，对a 分类讨论，结合根的判别式，即可求解.【详解】设2()u x ax x a =++值域为A ，函数22()log ()f x ax x a =++的值域为,(0,)R A +∞⊆，当0a =时，2()log f x x =值域为R ，满足题意；当0a ≠时，须20140a a >⎧⎨∆=-≥⎩，解得102a <≤，综上，实数a 的取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故答案为:10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查对数函数的性质，复合函数的性质，二次函数的取值和根的判别式的关系，属于中档题.15．【分析】根据对数型复合函数单调性列不等式再根据正弦函数性质得结果【详解】单调递增区间为单调递减区间且所以故答案为：【点睛】本题考查对数型复合函数单调性以及正弦函数性质考查基本分析求解能力属基础题解析：[2,2),()2k k k Z ππππ++∈ 【分析】根据对数型复合函数单调性列不等式，再根据正弦函数性质得结果.【详解】()()cos1cos1(0,1)log sin f x x ∈∴=单调递增区间为sin y x =单调递减区间且sin 0x >，所以22,()2k x k k Z ππππ+≤<+∈，故答案为：[2,2),()2k k k Z ππππ++∈【点睛】本题考查对数型复合函数单调性以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.16．（﹣∞0）【分析】函数的图象与的图象关于轴对称可得由于是的反函数可得再利用对数函数的定义域与单调性二次函数的单调性复合函数的单调性即可得出【详解】解：函数的图象与的图象关于轴对称是的反函数解得或当时解析：（﹣∞，0）【分析】函数()y f x =的图象与2x y =的图象关于y 轴对称，可得()2-=x f x ．由于1()y f x -=是()y f x =的反函数，可得112()f x log x -=． 12221122(2)(2)[(1)1]y f x x log x x log x -=-=-=--，再利用对数函数的定义域与单调性、二次函数的单调性、复合函数的单调性即可得出．【详解】解：函数()y f x =的图象与2x y =的图象关于y 轴对称，()2x f x -∴=．1()y f x -=是()y f x =的反函数，112()f x log x -∴=．12221122(2)(2)[(1)1]y f x x log x x log x -=-=-=--，220x x ->，解得0x <或2x >．当(,0)x ∈-∞时，函数2()(1)1u x x =--单调递减，因此12(2)y f x x -=-单调递增． 12(2)y f x x -∴=-的单调递增区间是(,0)-∞．故答案为：(,0)-∞．【点睛】本题考查了反函数的求法、对数函数的定义域与单调性、二次函数的单调性、复合函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题.17．【分析】由奇函数定义求解【详解】设则∴此时时为奇函数故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查函数的奇偶性对于分段函数一般需要分类求解象这种由奇函数求参数可设求得参数值然后再验证这个参数值对也适用即可本题解析：1-．【分析】由奇函数定义求解．【详解】设0x >，则()1x f x e -=-，()x f x e m --=+，∴10x x e m e --++-=，1m =-．此时，0x <时，()1,x f x e =-()1()x f x e f x -=-=-，()f x 为奇函数．故答案为：1-．【点睛】方法点睛：本题考查函数的奇偶性，对于分段函数，一般需要分类求解．象这种由奇函数求参数，可设0x >，求得参数值，然后再验证这个参数值对0x <也适用即可．本题也可以由特殊值如(1)(1)f f -=-求出参数，然后检验即可．18．【分析】利用换底公式和对数运算法则可将方程转化为解方程求得或进而结合的范围求得结果【详解】即解得：或或故答案为：【点睛】本题考查对数方程的求解问题涉及到对数运算法则和换底公式的应用；考查基础公式的应解析：14【分析】利用换底公式和对数运算法则可将方程转化为222log 1log x x-=，解方程求得2log 2x =-或2log 1x =，进而结合x 的范围求得结果.【详解】22log 42log 2log x x x == 2222log 4log log 1log x x x x ∴-=-= 即()222log log 20x x +-=，解得：2log 2x =-或2log 1x = 14x ∴=或2x = 01x << 14x ∴= 故答案为：14【点睛】本题考查对数方程的求解问题，涉及到对数运算法则和换底公式的应用；考查基础公式的应用能力.19．【分析】利用换底公式化简即可【详解】设则故故答案为：【点睛】本题主要考查了指对数的互化以及换底公式的运用属于中档题解析：n m【分析】利用换底公式化简即可.【详解】设()34,0m n a m n ==≠,则34log ,log m a n a ==, 故344341log 3log log log 31log 4log log a a a a n a ma====. 故答案为：n m【点睛】本题主要考查了指对数的互化以及换底公式的运用,属于中档题.20．【分析】首先求出函数的定义域再根据复合函数同增异减求其单调减区间即可【详解】函数的定义域为：解得：或令为增函数当为增函数为增函数当为减函数为减函数所以增区间为故答案为：【点睛】本题主要考查复合函数的解析：()2,+∞【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数同增异减求其单调减区间即可.【详解】函数()f x 的定义域为：220x x -->，解得：2x >或1x <-.令22t x x =--，2log y t =为增函数.当2x >，t 为增函数，22()log (2)f x x x =--为增函数，当1x <-，t 为减函数，22()log (2)f x x x =--为减函数.所以增区间为(2,)+∞.故答案为：(2,)+∞【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，同增异减为解题的关键，属于中档题.三、解答题21．（1）1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）()126h a a =-；（3）不存在，理由见解析. 【分析】（1）设()x f x c =（0c >且1c ≠），由题意可得()13f -=，可求得c 的值，进而可求得函数()f x 的解析式；（2）令11,333xt ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，设()223k t t at =-+，分析当3a ≥时，函数()k t 的单调性，进而可得出()()min h a k t =，即可得解；（3）分析出函数()h a 在区间[],n m 上单调递减，可得出22126126n m m n⎧-=⎨-=⎩，将两个等式作差可得出6m n +=，结合3m n >>判断可得出结论.【详解】（1）设()xf x c =（0c >且1c ≠），因为指数函数()f x 的图象经过点()1,3-，()113f c -∴-==，即13c =，因此，()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）令()13x t f x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，[]1,1x ∈-，1,33t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，所以，设()223k t t at =-+，对称轴为t a =. 3a ≥，可知()k t 在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当3t =时，()k t 取最小值，即()g x 取最小值()()3126h a k a ==-；（3）由（2）知3m n >>时，()126h a a =-在[],n m 上单调递减，若此时()h a 的值域为22,n m ⎡⎤⎣⎦，则22126126n m m n ⎧-=⎨-=⎩，即()()()6m n m n m n -=-+，m n ≠，则0m n -≠，6m n ∴+=，又3m n >>，则6m n +>，故不存在满足条件的m 、n 的值.【点睛】方法点睛：（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴动区间定，不论哪种类型，解决的关键就是考查对称轴于区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）二次函数的单调性主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解.22．（1）2）1. 【分析】（1）求出x y -的值，再化简11221122x y x y -+即得解；（2）利用对数的运算法则化简求解.【详解】（1）因为222()()41249108x y x y xy -=+-=-⨯=，又x y <，所以x y -=-所以1111222221122()x yx y x y x y --====-+. （2）原式22(lg 2)lg5(1lg 2)(lg 2)lg5lg 2lg5=+⋅+=+⋅+lg2(lg2lg5)lg5lg2lg51=++=+=.【点睛】关键点点睛：解答指数对数运算题的关键是通过观察式子的特点，再熟练利用指数对数的运算法则和性质求解.23．（1）{x |－1＜x ＜1}；（2）f (x )为奇函数；证明见解析；（3）(0，1).【分析】（1）根据真数大于零，列出不等式，即可求得函数定义域；（2）计算()f x -，根据其与()f x 关系，结合函数定义域，即可判断和证明；（3）利用对数函数的单调性，求解分式不等式，即可求得结果.【详解】（1）因为f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，所以1010x x +>⎧⎨->⎩解得－1＜x ＜1. 故所求函数的定义域为{x |－1＜x ＜1}.（2）f (x )为奇函数.证明如下：由（1）知f (x )的定义域为{x |－1＜x ＜1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x ).故f (x )为奇函数.（3）因为当a ＞1时，f (x )在定义域{x |－1＜x ＜1}上是增函数，由f (x )＞0，得11x x+-＞1，解得0＜x ＜1. 所以x 的取值范围是(0，1).【点睛】本题考查对数型复合函数单调性、奇偶性以及利用函数性质解不等式，属综合中档题. 24．(1)(1,1)-，()f x 在(1,1)-内为偶函数；(2)[2,0]-.【分析】（1）由对数真数大于0可得定义域，由奇偶性定义判断奇偶性；（2）确定函数在12⎡⎤⎢⎥⎣⎦的单调性可得最大值和最小值，从而得值域．【详解】(1)由题意知：(1)(1)0x x +->，解得11x -<<，所以函数()f x 的定义域为(1,1)-由()log [(1)(1)]()a f x x x f x -=-+=，所以函数()f x 在(1,1)-内为偶函数.(2)由2a =，有()222()log [(1)(1)]log 1f x x x x=-+=-又因为12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以min 21()log 224f x f ⎛=-==- ⎝⎭，max 2()(0)log 10f x f ===，所以函数()f x在12⎡⎤⎢⎥⎣⎦内值域为[2,0]-. 【点睛】本题考查对数型复合函数的定义域，奇偶性，单调性，值域．掌握对数函数的性质是解题关键．本题还需掌握复合函数的单调性的判断：同增异减．25．（1）(1,1)-；（2）是奇函数，理由见解析；（3）单调递增，证明见解析.【分析】（1）由对数有意义的条件列出不等式组1010x x +>⎧⎨->⎩，解之即可；（2）由（1）知，函数()()f x g x -的定义域关于原点对称，再根据函数奇偶性的概念进行判断即可；（3）当2a =时，函数()()f x g x -单调递增.根据用定义证明函数单调性的“五步法”：任取､作差､变形､定号､下结论，即可得证.【详解】（1）10x +>，10x ->，11x ∴-<<，∴函数()()f x g x -的定义域为(1,1)-.（2）由（1）知，函数()()f x g x -的定义域关于原点对称，()()log (1)log (1)log (1)log (1)[()()]a a a a f x g x x x x x f x g x ---=-+-+=--+=--，∴函数()()f x g x -是奇函数.（3）当2a =时，函数()()f x g x -单调递增.理由如下：当(1,1)x ∈-时，1()()log 1ax f x g x x+-=-，设1211x x -<<<，则2121211222112121211211111[()()][()()]log log log (?)log 11111aa a a x x x x x x x x f x g x f x g x x x x x x x x x +++-+-----=-==---+-+-， 1211x x -<<<，2121x x x x ∴->-+，21122112110x x x x x x x x ∴+-->-+->， ∴21122112111x x x x x x x x +-->-+-，即211221121log 01a x x x x x x x x +-->-+-， 2211()()()()f x g x f x g x ∴->-，故当2a =时，函数()()f x g x -单调递增.【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的判断､对数的运算法则，熟练掌握用定义证明函数单调性和奇偶性的方法是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题.26．(1) 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭;(2) 103a <<【分析】 (1)代入3a =,根据对数函数的单调性求解即可.(2)先根据区间[1,3]结合定义域可求得a 的大致范围,从而确定log ay x =的单调性,再根据复合函数的单调性确定a 的取值范围即可.【详解】(1) 当3a =时, 31()log 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,故()0f x >即31log 30x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭,即131x ->, 14x >,解得104x <<.故()0f x >解集为10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭. (2)由定义域可知,10a x->,即1a x >在区间[1,3]上恒成立,故103a <<,所以log a y x =为减函数.又1y a x =-在区间[1,3]上为减函数,故1()log a f x a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[1,3]上为增函数.满足题意.故103a <<【点睛】本题主要考查了对数函数的不等式求解以及对数型复合函数的单调性求解参数的问题.属于中档题.。

北师大版高中数学必修一数学必修1 指数与指数函数测试题.docx

北师大版数学必修1 指数与指数函数测试题1、设0a >，将322a a a ⋅表示成分数指数幂，其结果是（）2、指数函数()(1)x f x a =-在R 上是增函数，则a 的取值范围是3、函数21,(0,1)x y a a a -=+>≠的图像过一个定点，则定点的坐标是4、已知b a ,∈R ，若b a 2324-=，则b a +＝5、已知3153-⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ，2153-⎪⎭⎫ ⎝⎛=b ，2134-⎪⎭⎫ ⎝⎛=c ，则a,b,c 三个数的大小关系是 6、若10<<<a b ，则在b a ，a b ，a a ，b b 中最大值是7、在下列图像中，二次函数bx ax y +=2与指数函数x aby )(=的图像只可能是（）8、函数42x y =-的值域是9、已知函数122)(++-=ax x x f 在区间(－∞，3)内递增，则a 的取值范围是 10、方程9131=-x 的解是 11、不等式x x 232212--<⎪⎭⎫⎝⎛的解集是12、已知函数x x m x f 24)(+=是奇函数．则m= 13、已知x∈[－3，2]，求f(x)＝14x －12x ＋1的最小值与最大值． 14、已知[]2,1,4329)(-∈+⨯-=x x f x x（1）设[]2,1,3-∈=x t x，求t 的最大值与最小值；（2）求)(x f 的最大值与最小值；15、定义在[－1,1]上的奇函数f(x)，已知当x ∈[－1,0]时， f(x)＝14x －2x a (a ∈R)． (1)求f(x)在[0,1]上的最大值；(2)若f(x)是[0,1]上的增函数，求实数a 的取值范围．。

北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试(包含答案解析)

一、选择题1．已知函数()()2log 2xf x m =+，则满足函数()f x 的定义域和值域都是实数集R 的实数m 构成的集合为（） A ．{}|0m m =B ．{}0|m m ≤C ．{}|0m m ≥D ．{}|1m m =2．若函数()()23log 5f x x ax a =+++，()f x 在区间(),1-∞上是递减函数，则实数a的取值范围为（） A ．[]3,2-- B ．[)3,2--C ．(],2-∞-D ．(),2-∞-3．函数()f x =的定义域是（） A ．(0,2)B ．[2,)+∞C ．(0,)+∞D ．(,2)-∞4．设()|lg |f x x =，且0a b c <<<时，有()()()f a f c f b >>，则（） A ．(1)(1)0a c --> B ．1ac >C ．1ac =D ．01ac <<5．函数()213log 23y x x =-++的单调递增区间是（）A ．(]1,1-B ．(1)∞－，C ．[) 1,3D ．(1)∞，＋ 6．一种放射性元素最初的质量为500g ，按每年10%衰减．则这种放射性元素的半衰期为（）年.（注：剩余质量为最初质量的一半，所需的时间叫做半衰期），（结果精确到0.1，已知lg 20.3010=，lg30.4771=）A ．5.2B ．6.6C ．7.1D ．8.37．设52a -=，5log 2b =，8log 5c =，则（） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<8．已知函数()f x 满足()()11f x f x -=+，当(],1-∞时，函数()f x 单调递减，设()41331=log ,log 3,92a f b f c f log ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<9．已知235log log log 0x y z ==<，则2x 、3y 、5z的大小排序为 A ．235x y z<<B ．325y x z <<C ．523z x y <<D ．532z y x<<10．函数()log (2)a f x ax =-（0a >且1a ≠）在[]0,3上为增函数，则实数a 的取值范围是（） A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．(0,1)C ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．[)3,+∞11．若函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+内单调递增，则实数m 的取值范围为（） A ．4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭12．已知0.22a =，0.20.4b =，0.60.4c =，则（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>二、填空题13．已知()(3),1log ,1aa x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，那么实数a 的取值范围是_________．14．函数()f x =的定义域为______.15．函数()22log 617y x x =-+的值域是__．16．已知函数()f x 满足()()1f x f x =-+，当()0,1x ∈时，函数()3xf x =，则13log 19f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______. 17．已知函数2()log x f x =，实数,a b 满足0a b <<，且()()f a f b =，若()f x 在2,a b ⎡⎤⎣⎦上的最大值为2，则1b a+=________. 18．32a b-=________（其中0a >，0b >）19．设函数122,1()1log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则满足()2f x ≤的x 的取值范围是_______________.20．已知函数()()log 21101a y x a a =-+>≠,的图象过定点A ，若点A 也在函数()2x f x b =+的图象上，则()2log 3f =________. 三、解答题21．已知函数()1,02,0x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩（Ⅰ）求()()()1ff f -的值；（Ⅱ）画出函数()f x 的图象，根据图象写出函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，求x 的取值范围．22．化简下列各式：（1）22.53105330.06438π-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（2）2lg 2lg3111lg 0.36lg1624++⋅+ 23．定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M >，都有()f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的“有上界函数”，其中M 称为函数()f x 的上界．已知函数11()139x xf x a ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）当12a =-时，求函数()f x 在(,0)-∞上的值域，并判断函数()f x 在(,0)-∞上是否为“有上界函数”，请说明理由；（2）若函数()f x 在[0,)+∞上是以4为上界的“有上界函数”，求实数a 的取值范围．24．（1）求函数()22log 32y x x =-+的定义域；（2）求函数221y x x =-+-，[]2,2x ∈-的值域；（3）求函数223y x x =--的单调递增区间.25．已知函数()log (1)a f x x =+，()log (1)(0a g x x a =->，且1)a ≠. （1）求函数()()f x g x -的定义域；（2）判断函数()()f x g x -的奇偶性，并说明理由；（3）当2a =时，判断函数()()f x g x -的单调性，并给出证明.26．已知函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，函数()2log g x x =. （1）若()22g mx x m ++的定义域为R ，求实数m 的取值范围；（2）当[]1,1x ∈-时，函数()()223y f x af x =-+⎡⎤⎣⎦的最小值为1，求实数a 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】若定义域为实数集R ，则20x m +>对于x ∈R 恒成立，可得0m ≥，若值域为实数集R ，令2x t m =+，则2log y t = 此时需满足2x t m =+的值域包括()0,∞+，可得0m ≤，再求交集即可. 【详解】若()()2log 2xf x m =+定义域为实数集R ，则20x m +>对于x ∈R 恒成立，即2x m >-对于x ∈R 恒成立，因为20x >，所以20x -<，所以0m ≥，令2x t m =+，则2log y t =若()()2log 2xf x m =+值域为实数集R ，则2x t m =+的值域包括()0,∞+，因为t m >，所以0m ≤，所以0m =，故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是要找到定义域为R 的等价条件即20x m +>对于x ∈R 恒成立，分离参数m 求其范围，值域为R 的等价条件即2x t m =+可以取遍所有大于0的数，由t m >，所以0m ≤，再求交集.2．A解析：A 【分析】判断复合函数的单调性，首先要分清楚内外层函数，根据复合函数“同增异减”原则，同时内层函数的值域要满足外层函数的定义域要求即可. 【详解】由题意知，()f x 在区间(),1-∞上是递减函数，由()()23log 5f x x ax a =+++可知，此复合函数外层函数为：()3log f x x =，在定义域上为增函数，内层函数为()25h x x ax a =+++，要使()f x 在区间(),1-∞上是递减函数，根据复合函数“同增异减”原则，内层函数为()h x 在区间(),1-∞上必须是递减函数，同时须保证最大值()10h ≥，所以()1210a h ⎧-≥⎪⎨⎪≥⎩，解得32a --≤≤. 故选：A. 【点睛】易错点睛：判断复合函数的单调性，根据复合函数“同增异减”原则，同时内层函数的值域要满足外层函数的定义域要求.3．A解析：A 【分析】根据函数的形式，直接列解析式有意义的不等式，求出函数的定义域. 【详解】由题意得，函数的定义域需满足02>0x x >⎧⎨-⎩，解得：02x <<所以函数的定义域是()0,2. 故选：A . 【点睛】方法点睛：常见的具体函数求定义域：(1)偶次根号下的被开方数大于等于0；(2)分母不为0；(3)对数函数中真数大于0.4．D解析：D 【分析】作出()f x 的图象，利用数形结合即可得到结论．【详解】∵函数()|lg |f x x =，作出()f x 的图象如图所示，∵0a b c <<<时，有()()()f a f c f b >>，∴0＜a ＜1，c ＞1，即f （a ）＝|lga |＝﹣lga ，f （c ）＝|lgc |＝lgc ，∵f （a ）＞f （c ）， ∴﹣lga ＞lgc ，则lga +lgc ＝lgac ＜0，则01ac <<. 故选：D ．【点睛】关键点点睛：利用对数函数的图象和性质，根据条件确定a ，c 的取值范围.5．C解析：C 【分析】由不等式2230x x -++>，求得函数的定义域()1,3-，令()223g x x x =-++，得到()g x 在区间(]1,1-上单调递增，在区间[1,3)上单调递减，结合复数函数的单调性的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，函数213()log 23y x x =-++有意义，则满足2230x x -++>，即223(3)(1)0x x x x --=-+<，解得13x，即函数的定义域为()1,3-，令()223g x x x =-++，则函数()g x 表示开口向下，对称轴方程为1x =的抛物线，所以函数()g x 在区间(]1,1-上单调递增，在区间[1,3)上单调递减，又由函数13log y x =在定义上是递减函数，结合复数函数的单调性的判定方法，可得函数213()log 23y x x =-++的递增区间为[1,3). 故选：C. 【点睛】函数单调性的判定方法与策略：定义法：一般步骤：设元→作差→变形→判断符号→得出结论；图象法：如果函数()f x 是以图象形式给出或函数()f x 的图象易作出，结合图象可求得函数的单调区间；导数法：先求出函数的导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间；复合函数法：先将函数(())y f g x =分解为()y f t =和()t g x =，再讨论这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判定.6．B解析：B 【分析】先根据题意列出关于时间的方程，然后利用指对互化以及对数换底公式并结合所给数据可计算出半衰期. 【详解】设放射性元素的半衰期为x 年，所以()500110%250x-=，所以()1110%2x-=，所以0.91log 2x =，所以109log 2x =，所以lg 2lg10lg9x =-，所以lg 212lg 3x =-，所以0.3010120.4771x =-⨯，所以 6.6x ≈，故选：B. 【点睛】思路点睛：求解和对数有关的实际问题的思路：（1）根据题设条件列出符合的关于待求量的等式；（2）利用指对互化、对数运算法则以及对数运算性质、对数换底公式求解出待求量的值.7．A解析：A 【分析】由551112,2332log -<<<，8152log >，即可得出a ，b ，c 的大小关系. 【详解】52112243--<=<，11325551152532log log log =<<=，12881582log log >=，a b c ∴<<.故选：A 【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，对数的运算性质，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.8．B解析：B 【分析】由()()11f x f x -=+可得函数()f x 关于直线1x =对称，根据对数的运算法则，结合函数的对称性，变形41log 2、13log 3、39log 到区间[)1,+∞内，由函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，即可得结果. 【详解】根据题意，函数()f x 满足()()11f x f x -=+，则函数()f x 关于直线1x =对称，又由当(],1-∞时，函数()f x 单调递减，则函数在[)1,+∞上单调递增，又由()44115log log 2222a f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()13log 313b f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，()()3log 92c f f ==，则有c a b <<，故选B.【点睛】在比较()1f x ，()2f x ，，()n f x 的大小时，首先应该根据函数()f x 的奇偶性（对称性）与周期性将()1f x ，()2f x ，，()n f x 通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．9．A解析：A 【解析】x y z ，，为正实数，且235log log log 0x y z ==<，111235235k k k x y z ---∴===，，，可得：1112352131,51k k k x y z---=>=>=>，．即10k -> 因为函数1kf x x -=（）单调递增，∴235x y z<<. 故选A.10．C解析：C 【分析】根据对数函数性质与复合函数的单调性求解．【详解】因为0a >且1a ≠，令2t ax =-，所以函数2t ax =-在[]0,3上为减函数，所以函数log a y t =应是减函数，()f x 才可能是增函数， ∴01a <<，因为函数()f x 在[]0,3上为增函数，由对数函数性质知230a ->，即23<a ，综上023a <<．故选：C ．【点睛】本题考查复合函数的单调性，掌握对数函数性质是解题关键，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题．11．C解析：C 【分析】求得函数()y f x =的定义域，利用复合函数法求得函数()y f x =的单调递增区间，根据题意可得出区间的包含关系，由此可求得实数m 的取值范围. 【详解】解不等式2450x x -++>，即2450x x --<，解得15x -<<，内层函数245u x x =-++在区间()1,2-上单调递增，在区间()2,5上单调递减，而外层函数12log y u =在定义域上为减函数，由复合函数法可知，函数()()212log 45f x x x =-++的单调递增区间为()2,5，由于函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+上单调递增，所以，32232225m m m m -≥⎧⎪-<+⎨⎪+≤⎩，解得423m ≤<.因此，实数m 的取值范围是4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查利用对数型复合函数在区间上的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题.12．A解析：A 【解析】分析：0.20.4b =， 0.60.4c =的底数相同，故可用函数()0.4xf x =在R 上为减函数，可得0.60.200.40.40.41<<=．用指数函数的性质可得0.20221a =>=，进而可得0.20.20.620.40.4>>．详解：因为函数()0.4xf x =在R 上为减函数，且0.2<0.4所以0.60.200.40.40.41<<= 因为0.20221a =>=．所以0.20.20.620.40.4>>．故选A ．点睛：本题考查指数大小的比较，意在考查学生的转化能力．比较指数式的大小，同底数的可利用指数函数的单调性判断大小，底数不同的找中间量1，比较和1的大小．二、填空题13．【分析】分类讨论和结合已知和对数函数及一次函数的单调性得a 的不等式组求解即可【详解】解：若当时当时此时的值域不为R 不符合题意；若当时当时要使函数的值域为R 需使解得综上所述故答案为：【点睛】本题考查分解析：31,2⎛⎤⎥⎝⎦【分析】分类讨论01a <<和1a >，结合已知和对数函数及一次函数的单调性，得a 的不等式组求解即可．【详解】解：若01a <<，当1≥x 时，log 0a x ≤，当1x <时，()3332a x a a a a --<--=-，此时f x （）的值域不为R ，不符合题意；若1a >，当1≥x 时，log 0a x ≥，当1x <时，要使函数f x （）的值域为R ，需使30log 13a a a a ->⎧⎨≤--⎩，解得332a a <⎧⎪⎨≤⎪⎩，312a ∴<≤，综上所述，312a <≤，故答案为：31,2⎛⎤⎥⎝⎦．【点睛】本题考查分段函数的值域及对数函数的性质，考查分类讨论思想与数学运算能力，是中档题.14．【分析】根据二次根式和对数式有意义的条件得到不等式组求解函数的定义域即可得结果【详解】根据题意可得：解得所以函数的定义域为故答案为：【点睛】该题考查的是有关求函数的问题涉及到的知识点有求给定函数的定解析：(2,3]【分析】根据二次根式和对数式有意义的条件，得到不等式组求解函数的定义域即可得结果. 【详解】根据题意可得：1220log (2)0x x ->⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得23x <≤，所以函数()f x =(2,3]，故答案为：(2,3]. 【点睛】该题考查的是有关求函数的问题，涉及到的知识点有求给定函数的定义域，在解题的过程中，注意二次根式和对数式需要满足的条件即可得结果.15．【分析】设转化为函数根据在上单调递增可求解【详解】设函数则函数∵在上单调递增∴当时最小值为故答案为：【点睛】本题考察了二次函数对数函数性质综合解决问题解析：[)3,+∞【分析】设()2261738t x x x =-+=-+，转化为函数2log y t =，[)8,t ∈+∞，根据2log y t =在[)8,t ∈+∞上单调递增，可求解．【详解】设()2261738t x x x =-+=-+函数()22log 617y x x =-+，则函数2log y t =，[)8,t ∈+∞， ∵2log y t =，在[)8,t ∈+∞上单调递增， ∴当8t =时，最小值为2log 83=，故答案为：[)3,+∞. 【点睛】本题考察了二次函数，对数函数性质，综合解决问题．16．【分析】由满足得到函数是以2为周期的周期函数结合对数的运算性质即可求解【详解】由题意函数满足化简可得所以函数是以2为周期的周期函数又由时函数且则故答案为：【点睛】函数的周期性有关问题的求解策略：求解解析：2719-【分析】由()fx 满足()()1f x f x =-+，得到函数()f x 是以2为周期的周期函数，结合对数的运算性质，即可求解. 【详解】由题意，函数()f x 满足()()1f x f x =-+，化简可得()()2f x f x =+，所以函数()f x 是以2为周期的周期函数，又由()0,1x ∈时，函数()3xf x =，且()()1f x f x =-+，则133339(log 19)(log 19)(log 192)(log )19f f f f =-=-+= 327log 193392727(log 1)(log )3191919f f =-+=-=-=-.故答案为：2719- 【点睛】函数的周期性有关问题的求解策略：求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期；解决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中为自变量所在区间，再利用奇偶性和单调性求解.17．4【分析】先画出函数图像并判断再根据范围和函数单调性判断时取最大值最后计算得到答案【详解】如图所示：根据函数的图象得所以结合函数图象易知当时在上取得最大值所以又所以再结合可得所以故答案为：4【点睛】解析：4 【分析】先画出函数图像并判断01a b <<<，再根据范围和函数单调性判断2x a =时取最大值，最后计算得到答案. 【详解】如图所示：根据函数2()log x f x =的图象得01a b <<<，所以201a a <<<．结合函数图象，易知当2=x a 时()f x 在2,a b ⎡⎤⎣⎦上取得最大值，所以()222log2f aa ==又01a <<，所以12a =，再结合()()f a f b =，可得2b =，所以2241b a+=+=. 故答案为：4 【点睛】关键点睛：解题关键在于，作出对数函数2()log x f x =的图象，得到01a b <<<，进而求解，属于中档题18．【分析】根据指数幂的运算法则即可求解【详解】根据指数幂的运算法则可得故答案为：【点睛】指数幂运算的一般原则：（1）由括号的先算括号里的无括号的弦做指数运算；（2）弦乘除后加减负指数幂化为正指数幂的倒解析：a【分析】根据指数幂的运算法则，即可求解. 【详解】212132()33113322a b aa a ba b----⨯===.故答案为：a . 【点睛】指数幂运算的一般原则：（1）由括号的先算括号里的，无括号的弦做指数运算；（2）弦乘除后加减，负指数幂化为正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数；（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来求解.19．【分析】根据分段函数分段解不等式最后求并集【详解】当时因为解得：∴当时解得：所以综上原不等式的解集为故答案为：【点睛】本题主要考查了解分段函数不等式涉及指数与对数运算属于基础题解析：[0,)+∞【分析】根据分段函数，分段解不等式，最后求并集. 【详解】当1x ≤时，1()2xf x -=，因为11x -≤，解得：0x ≥，∴01x ≤≤ ，当1x >时，2()1log 2f x x =-≤，2log 1x ≥-，解得：12x ≥，所以1x >，综上，原不等式的解集为[)0,+∞. 故答案为：[)0,+∞. 【点睛】本题主要考查了解分段函数不等式，涉及指数与对数运算，属于基础题.20．2【分析】先利用函数的解析式得出其图象必过哪一个定点再将该定点的坐标代入函数中求出最后即可求出相应的函数值得到结果【详解】因为函数的图象恒过定点将代入得所以所以则故答案为：【点睛】该题考查的是有关函解析：2 【分析】先利用函数log (21)1(0,1)a y x a a =-+>≠的解析式得出其图象必过哪一个定点，再将该定点的坐标代入函数()2xf x b =+中求出b ，最后即可求出相应的函数值2(log 3)f ，得到结果. 【详解】因为函数log (21)1(0,1)a y x a a =-+>≠的图象恒过定点(1,1)，将1,1x y ==代入()2xf x b =+，得121b +=，所以1b =-，所以()21xf x =-，则2log 32(log 3)21312f =-=-=，故答案为：2. 【点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，涉及到的知识点有对数型函数图象过定点问题，点在函数图象上的条件，已知函数解析式求函数值，属于简单题目.三、解答题21．（Ⅰ）2；（Ⅱ）图象见解析，单调递增区间为(),-∞+∞；（Ⅲ）14x >-．【分析】（Ⅰ）依次求出()1f -，()()1ff -，()()()1f f f -即可（Ⅱ）根据函数解析式即可画出图象，根据图象即可得出单调区间；（Ⅲ）分段讨论可解出不等式. 【详解】解：（Ⅰ）()1110f -=-+=，所以()()1011ff -=+=，所以()()()1122f f f -==；（Ⅱ）函数图象如下：由图可知，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，无单调递减区间；（Ⅲ）①当0x ≤时，102x -≤，所以()1f x x =+，1111222f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以()132122f x f x x ⎛⎫+-=+> ⎪⎝⎭，解得14x >-，所以014x -<≤； ②当102x <≤时，102x -<，所以()2xf x =，1111222f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()112122xf x f x x ⎛⎫+-=++> ⎪⎝⎭显然成立，所以102x <≤符合题意； ③当12x >时，102x ->，所以()2xf x =，12122x f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以()1212212x xf x f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫+-=+> ⎪⎝⎭显然成立，所以12x >符合题意，综上所述：x 的取值范围为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】关键点睛：本题考查函数不等式的求解，解题的关键是分段讨论x 的取值范围，根据不同范围函数的解析式求解. 22．（1）0；（2）1. 【分析】（1）根据指数幂的运算性质，准确运算，即可求解；（2）根据对数的运算性质，准确运算，即可求解. 【详解】（1）根据指数幂的运算性质，可得原式22.5311536427110008-⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎢⎥=--⎨⎬ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭ 1521335233431102⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⨯⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦531022=--=. （2）由对数的运算性质，可得原式242lg 2lg32lg 2lg311231lg 0.6lg 21lg lg 22410++==⨯++++ 2lg 2lg 32lg 2lg 311lg 2lg 3lg10lg 22lg 2lg 3++===++-++. 【点睛】本题主要考查了指数幂和对数的运算性质的化简、求值，其中解答中熟记指数幂与对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 23．（1）值域为3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，不是“有上界函数”；理由见解析；（2）(,2]-∞ 【分析】（1）把12a =-代入函数的表达式，令13xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得1t >，可求出2112y t t =-+的值域，即为()f x 在(,0)-∞的值域，结合“有上界函数”的定义进行判断即可；（2）由题意知，()4f x ≤对[0,)x ∈+∞恒成立，令13xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得(0,1]t ∈，整理得3a t t ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭对(0,1]t ∈恒成立，只需min 3a t t ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭即可.【详解】（1）当12a =-时，111()1239x xf x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令13xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0x <，1t ∴>，2112y t t =-+， 2112y t t =-+在(1,)+∞上单调递增，111232y -∴>+=，即()f x 在(,0)-∞的值域为3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭，故不存在常数0M >，使()f x M ≤成立． ∴函数()f x 在(,0)-∞上不是“有上界函数” （2）由题意知，()4f x ≤对[0,)x ∈+∞恒成立，令13xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0x ≥，(0,1]t ∴∈，214at t ∴++≤对(0,1]t ∈恒成立，即3a t t ⎛⎫≤-⎪⎝⎭对(0,1]t ∈恒成立，设3()g t t t=-，易知()g t 在(0,1]t ∈上递减， ()g t ∴在(0,1]t ∈上的最小值为(1)2g =．∴min ()2a g t ≤=，∴实数a 的取值范围为(,2]-∞ 【点睛】本题考查新定义，考查函数的值域与最值，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.24．（1）()(),12,-∞⋃+∞；（2）[]9,0-；（3）[]1,1-，[)3,+∞. 【分析】（1）解不等式2320x x -+>可求得函数()22log 32y x x =-+的定义域；（2）利用二次函数的基本性质可求得函数221y x x =-+-，[]2,2x ∈-的值域；（3）将函数223y x x =--的解析式表示为分段函数，利用二次函数的基本性质可求得原函数的单调递增区间. 【详解】（1）对于函数()22log 32y x x =-+，有2320x x -+>，解得1x <或2x >. 因此，函数()22log 32y x x =-+的定义域为()(),12,-∞⋃+∞；（2）当[]2,2x ∈-时，()[]222119,0y x x x =-+-=--∈-，因此，函数221y x x =-+-，[]2,2x ∈-的值域为[]9,0-；（3）解不等式2230x x -->，解得1x <-或3x >，所以，222223,12323,1323,3x x x y x x x x x x x x ⎧--<-⎪=--=-++-≤≤⎨⎪-->⎩.二次函数223y x x =--的图象开口向上，对称轴为直线1x =. 当1x <-时，函数223y x x =--单调递减；当13x -≤≤时，函数2y x 2x 3=-++在区间[]1,1-上单调递增，在区间[]1,3上单调递减；当3x >时，函数223y x x =--单调递增.综上所述，函数223y x x =--的单调递增区间为[]1,1-，[)3,+∞.【点睛】本题考查与二次函数相关问题的求解，考查了对数型复合函数的定义域、二次函数的值域以及含绝对值的二次函数单调区间的求解，考查计算能力，属于中等题. 25．（1）(1,1)-；（2）是奇函数，理由见解析；（3）单调递增，证明见解析. 【分析】（1）由对数有意义的条件列出不等式组1010x x +>⎧⎨->⎩，解之即可；（2）由（1）知，函数()()f x g x -的定义域关于原点对称，再根据函数奇偶性的概念进行判断即可；（3）当2a =时，函数()()f x g x -单调递增.根据用定义证明函数单调性的“五步法”：任取､作差､变形､定号､下结论，即可得证. 【详解】（1）10x +>，10x ->，11x ∴-<<，∴函数()()f x g x -的定义域为(1,1)-.（2）由（1）知，函数()()f x g x -的定义域关于原点对称，()()log (1)log (1)log (1)log (1)[()()]a a a a f x g x x x x x f x g x ---=-+-+=--+=--，∴函数()()f x g x -是奇函数.（3）当2a =时，函数()()f x g x -单调递增.理由如下：当(1,1)x ∈-时，1()()log 1a x f x g x x+-=-，设1211x x -<<<，则2121211222112121211211111[()()][()()]log log log (?)log 11111aa a ax x x x x x x x f x g x f x g x x x x x x x x x +++-+-----=-==---+-+-，1211x x -<<<，2121x x x x ∴->-+，21122112110x x x x x x x x ∴+-->-+->，∴21122112111x x x x x x x x +-->-+-，即211221121log 01ax x x x x x x x +-->-+-， 2211()()()()f x g x f x g x ∴->-，故当2a =时，函数()()f x g x -单调递增. 【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的判断､对数的运算法则，熟练掌握用定义证明函数单调性和奇偶性的方法是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题. 26．（1）()1,+∞；（2）a =【分析】（1）由220mx x m ++>恒成立，得关于m 的不等式组，求解得答案；（2）令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()223y t a a =-+-，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，根据二次函数的定义域和对称轴的关系分类讨论求最小值，进一步求得实数a 的值. 【详解】（1）()()2222log 2g mx x m mx x m ++=++， ∵()22g mx x m ++的定义域为R ，∴220mx x m ++>恒成立，当0m =时，不符合，当0m ≠时，满足2440m m >⎧⎨∆=-<⎩，解得1m ， ∴实数m 的取值范围为()1,+∞；（2）令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当[]1,1x ∈-时，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则函数()()223y f x af x =-+⎡⎤⎣⎦化为()222233y t at t a a =-+=-+-，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. ①当2a >时，可得当2t =时y 取最小值，且min 741y a =-=，解得32a =（舍去）； ②当122a ≤≤时，可得当t a =时y 取最小值，且2min 31y a =-=，解得a =a =③12a <时，可得当12t=时y取最小值，且min1314y a=-=，解得94a=（舍去），综上，a=【点睛】本题考查对数函数的定义域，考查不等式的恒成立问题，考查二次函数的最值，属于中档题.。

新北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试(有答案解析)

一、选择题1．设a ，b ，c 为正数，且3a =4b =6c ，则有（） A ．111c a b=+ B ．221c a b=+ C ．122c a b=+ D ．212c a b=+ 2．若lg 2a =，lg3b =，则5log 12等于（）A ．21a b a ++B ．21a b a +C ．21a b aD ．21a b a -3．设()|lg |f x x =，且0a b c <<<时，有()()()f a f c f b >>，则（）A ．(1)(1)0a c -->B ．1ac >C ．1ac =D ．01ac <<4．已知1311531log ,log ,363a b c π-===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．b a c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a <<5．5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+⎪⎝⎭，它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内所传信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比.按照香农公式，在不改变W 的情况下，将信噪比SN从1999提升至λ，使得C 大约增加了20%，则λ的值约为（参考数据：lg 20.3≈， 3.96109120≈）（） A ．7596B ．9119C ．11584D ．144696．设52a -=，5log 2b =，8log 5c =，则（） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<7．已知2log 0.8a =，0.7log 0.6b =，0.60.7c =，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．b c a <<8．设函数()21xf x =-，c b a <<，且()()()f c f a f b >>，则22a c +与2的大小关系是（） A ．222a c +> B ．222a c +≥ C ．222a c +≤ D ．222a c +<9．已知函数()a f x x 满足(2)4f =，则函数()log (1)a g x x =+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．10．已知偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，131(())4a f =，37(log )2b f =，13(log 5)c f =，则a ，b，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>11．已知1()44x f x x -=+-e ，若正实数a 满足3(log )14a f <，则a 的取值范围为（）A ．34a >B ．304a <<或43a >C ．304a <<或1a > D ．1a >12．已知函数()()213log f x x ax a =--对任意两个不相等的实数1x 、21,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，都满足不等式()()21210f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是（） A ．[)1,-+∞B ．(],1-∞-C ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭二、填空题13．已知18log 2a =，试用a 的式子表示2log 3=________． 14．函数f （x ）=lg （x 2-3x -10）的单调递增区间是______． 15．函数12()log (2)f x x =-的定义域为______.16．已知函数2223,1,()log (6),1x mx x f x x m x ⎧---≤=⎨+>⎩在(,)-∞+∞上是单调函数，则m 的取值范围是__.17．设log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，则log b ac =______.18．已知函数1(2)1,2(),2x a x x f x a x --+<⎧=⎨≥⎩，在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是_______．19．设函数()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使得00(1)()(1)f x f x f +=+，则称0x 为函数()f x 的“可拆点”.若函数22()log 1af x x=+在(0,)+∞上存在“可拆点”，则正实数a 的取值范围为____________. 20．7log 31lg 25lg 272++=________. 三、解答题21．已知函数21()log 1x f x x +=-. （1）求函数()f x 的定义域并证明该函数是奇函数；（2）若当(1,)x ∈+∞时，2()()log (1)g x f x x =+-，求函数()g x 的值域. 22．已知2()log (1)f x x =-.（1）若00(1)(1)0f x f x ++-=，求0x 的值；（2）记()()(6)g x f x f x =+-，①求()g x 的定义域D ，并求()g x 的最大值m ； ②已知322224log 2log 2b aba ab b++=++-，试比较b 与ma 的大小并说明理由. 23．已知函数()1,02,0xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩（Ⅰ）求()()()1ff f -的值；（Ⅱ）画出函数()f x 的图象，根据图象写出函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，求x 的取值范围． 24．已知12324xA x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，121log ,264B y y x x ⎧⎫==≤≤⎨⎬⎩⎭．（1）求A B ；（2）若{}11C x m x m =-≤≤+，若C A ⊆，求m 的取值范围． 25．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0，且a ≠1. （1）求f (x )的定义域；（2）判断f (x )的奇偶性，并予以证明；（3）当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的取值范围. 26．已知函数()()21log 01+=>-axf x a x 是奇函数（1）求a 的值与函数()f x 的定义域；（2）若()232log g x x =-对于任意[]1,4x ∈都有()22log>⋅g x g k x ，求k 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】首先根据指对互化求出,,a b c ，再根据换底公式表示111,,a b c，最后根据对数运算法则化简. 【详解】设3a =4b =6c =k ，则a =log 3k ， b =log 4k ， c =log 6k ， ∴311log 3log k a k ==，同理1log 4k b =，1log 6k c=，而11log 2,log 3log 22k k k b c ==+， ∴1112c a b =+，即221c a b =+．故选：B 【点睛】本题考查指对数运算，换底公式，以及对数运算的性质，关键是灵活应用对数运算公式，公式1log log a b b a=是关键. 2．C解析：C 【分析】利用对数的换底公式可将5log 12用a 、b 表示.根据对数的换底公式得，5lg12lg3lg4lg32lg 22log 12lg5lg10lg 21lg 21a ba+++====---，故选：C ．【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关对数的运算，解答本题的关键是熟记换底公式以及对数的运算性质，利用运算性质化简、运算，其中lg5lg10lg 2=-是题目的一个难点和易错点.3．D解析：D 【分析】作出()f x 的图象，利用数形结合即可得到结论．【详解】∵函数()|lg |f x x =，作出()f x 的图象如图所示，∵0a b c <<<时，有()()()f a f c f b >>，∴0＜a ＜1，c ＞1，即f （a ）＝|lga |＝﹣lga ，f （c ）＝|lgc |＝lgc ，∵f （a ）＞f （c ）， ∴﹣lga ＞lgc ，则lga +lgc ＝lgac ＜0，则01ac <<. 故选：D ．【点睛】关键点点睛：利用对数函数的图象和性质，根据条件确定a ，c 的取值范围.4．D解析：D 【分析】根据指数函数和对数函数性质，借助0和1进行比较．【详解】由对数函数性质知151log 16>，13log 03π<，由指数函数性质知13031-<<，∴b c a <<．故选：D ．方法点睛：本题考查指数式、对数式的大小比较，比较指数式大小时，常常化为同底数的幂，利用指数函数性质比较，或化为同指数的幂，利用幂函数性质比较，比较对数式大小，常常化为同底数的对数，利用对数函数性质比较，如果不能化为同底数或同指数，或不同类型的数常常借助中间值如0或1比较大小．5．B解析：B 【分析】根据题设条件列出方程，计算即可. 【详解】由题可知 ()()()22log 119991+20%log 1W W λ+⨯=+，即()221.2log 2000log 1λ⨯=+，所以()lg 1lg 20001.2lg 2lg 2λ+⨯=，即()()lg 1 1.2lg2000 1.23lg2 3.96λ+=⨯=⨯+≈，所以 3.961109120λ+≈≈，所以9119λ≈. 故选：B 【点睛】本题主要考查对属于对数函数，考查学生的运算能力.6．A解析：A 【分析】由551112,2332log -<<<，8152log >，即可得出a ，b ，c 的大小关系. 【详解】52112243--<=<，11325551152532log log log =<<=，12881582log log >=， a b c ∴<<.故选：A 【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，对数的运算性质，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.7．C解析：C 【解析】因为22log 0.8log 10a =<=，0.70.7log 0.6log 0.71b =>=，0.6000.70.71c <=<=，所以a c b <<，故选C.8．D【分析】运用分段函数的形式写出()f x 的解析式，作出()21xf x=-的图象，由数形结合可得0c <且0a >，21c <且21a >，且()()0f c f a ->，去掉绝对值，化简即可得到结论．【详解】()21,02112,0x xxx f x x ⎧-≥=-=⎨-<⎩，作出()21xf x =-的图象如图所示，由图可知，要使c b a <<且()()()f c f a f b >>成立，则有0c <且0a >，故必有21c <且21a >，又()()0f c f a ->，即为()12210c a--->，∴222a c +<．故选：D ．【点睛】本题考查指数函数单调性的应用，考查用指数函数单调性确定参数的范围，本题借助函数图象来辅助研究，由图象辅助研究函数性质是函数图象的重要作用，以形助数的解题技巧必须掌握，是中档题．9．C解析：C 【分析】由已知求出a ，得()g x 表达式，化简函数式后根据定义域和单调性可得正确选项．【详解】由恬24a =，2a =，222log (1),10()log (1)log (1),0x x g x x x x -+-<<⎧=+=⎨+≥⎩，函数定义域是(1,)-+∞，在(1,0)-上递减，在(0,)+∞上递增．故选：C ．【点睛】本题考查对数型复合函数的图象问题，解题方法是化简函数后，由定义域，单调性等判断．10．C解析：C偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增,化简1333(log 5)(log 5)(log 5)f f f =-=，利用中间量比较大小得解. 【详解】∵偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增1333(log 5)(log 5)(log 5)c f f f ∴==-=，∵1333170()1log log 542<<<<，133317(()(log )(log 5)42)f f f << ∴a b c <<. 故选：C 【分析】本题考查函数奇偶性、单调性及对数式大小比较，属于基础题.11．C解析：C 【分析】先判断1()44x f x x -=+-e 是R 上的增函数，原不等式等价于3log 14a <，分类讨论，利用对数函数的单调性求解即可. 【详解】因为1x y e -=与44y x =-都是R 上的增函数，所以1()44x f x x -=+-e 是R 上的增函数，又因为11(1)441f e -=+-=所以()3(log )114af f <=等价于3log 14a <，由1log a a =，知3log log 4aa a <, 当01a <<时，log a y x =在()0,∞+上单调递减，故34a <，从而304a <<；当1a >时，log ay x =在()0,∞+上单调递增，故34a >，从而1a >，综上所述， a 的取值范围是304a <<或1a >，故选C. 【点睛】解决抽象不等式()()f a f b <时，切勿将自变量代入函数解析式进行求解，首先应该注意考查函数()f x 的单调性．若函数()f x 为增函数，则a b <；若函数()f x 为减函数，则a b >．12．C解析：C 【分析】由题意可知，函数()()213log f x x ax a =--在区间1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递增，利用复合函数的单调性可知，内层函数2u x ax a =--在区间1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，且0>u 对任意的1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭恒成立，进而可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】因为()()21210f x f x x x ->-，所以()()213f x log x ax a =--在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上是增函数，令2u x ax a =--，而13log y u =是减函数，所以2u x ax a =--在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，且20u x ax a =-->在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上恒成立，所以212211022aa a ⎧≥-⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪----≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得112a -≤≤. 故选：C. 【点睛】本题考查利用对数型复合函数在区间上的单调性求参数，解题时还应注意真数要恒为正数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题13．【分析】根据换底公式和对数运算性质得运算化简即可得答案【详解】解：根据换底公式和对数的运算性质得：故答案为：【点睛】解本题的关键在于根据换底公式得再结合对数运算性质化简即可得答案解析：12aa- 【分析】根据换底公式和对数运算性质得18182181818log log 9112log 32log 22log 2=⨯=⨯运算化简即可得答案.【详解】解：根据换底公式和对数的运算性质得：18181818182181818181818log log 32log 3log 91log 211111112log 3log 22log 22log 22log 22log 222a a a a---==⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=.故答案为：12aa-. 【点睛】解本题的关键在于根据换底公式得182182log 31log 32log 2=⨯，再结合对数运算性质化简18182181818log log 9112log 32log 22log 2=⨯=⨯即可得答案. 14．（5+∞）【分析】确定函数的定义域考虑复合函数的单调性即可得出结论【详解】由x2-3x-10＞0可得x ＜-2或x ＞5∵u=x2-3x-10在（5+∞）单调递增而y=lgu 是增函数由复合函数的同增异减解析：（5，+∞）【分析】确定函数的定义域，考虑复合函数的单调性，即可得出结论．【详解】由x 2-3x-10＞0可得x ＜-2或x ＞5，∵u=x 2-3x-10在（5，+∞）单调递增，而y=lgu 是增函数由复合函数的同增异减的法则可得，函数f （x ）=lg （x 2-3x-10）的单调递增区间是（5，+∞）故答案为（5，+∞）．【点睛】本题考查对数函数的单调性和应用，考查学生的计算能力，属于中档题15．【分析】根据二次根式和对数式有意义的条件得到不等式组求解函数的定义域即可得结果【详解】根据题意可得：解得所以函数的定义域为故答案为：【点睛】该题考查的是有关求函数的问题涉及到的知识点有求给定函数的定解析：(2,3]【分析】根据二次根式和对数式有意义的条件，得到不等式组求解函数的定义域即可得结果. 【详解】根据题意可得：1220log (2)0x x ->⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得23x <≤，所以函数()f x =(2,3]，故答案为：(2,3]. 【点睛】该题考查的是有关求函数的问题，涉及到的知识点有求给定函数的定义域，在解题的过程中，注意二次根式和对数式需要满足的条件即可得结果.16．【分析】根据对数部分函数为单调递增所以整个函数为递增函数两段函数各自递增且左段的右端点小于等于右段的左端点即可求得的取值范围【详解】函数在上是单调函数因为当时为增函数所以整个函数在上是单调递增函数因解析：[5,4]--【分析】根据对数部分函数为单调递增,所以整个函数为递增函数.两段函数各自递增,且左段的右端点小于等于右段的左端点,即可求得m 的取值范围. 【详解】函数2223,1,()log (6),1x mx x f x x m x ⎧---≤=⎨+>⎩在(,)-∞+∞上是单调函数因为当1x >时, 2()log (6)f x x m =+为增函数,所以整个函数在(,)-∞+∞上是单调递增函数因而满足60x m +>对1x >恒成立,则6m ≥-. 当1x ≤时,2()23f x x mx =---为增函数,则14m -≥ 即2614(1)log (6)m mf m ≥-⎧⎪⎪-≥⎨⎪≤+⎪⎩,即2645log (6)0m m m m ≥-⎧⎪≤-⎨⎪+++≥⎩因为2()5log (6)g x x x =+++在(6,)-+∞为增函数,且(5)0g -=, 所以5m ≥-.综上可知54m -≤≤-,即[5,4]m ∈-- 故答案为:[5,4]-- 【点睛】本题考查了分段函数的单调性判断,根据函数单调性求参数的取值范围,属于中档题.17．【分析】根据题意由韦达定理得进而得再结合换底公式得【详解】解：因为､是方程的两个实根所以由韦达定理得所以所以所以故答案为：【点睛】本题解题的关键在于根据韦达定理与换底公式进行计算其中两个公式的转化是解析：【分析】根据题意由韦达定理得log log 5c c a b +=-，log log 3c c a b ⋅=-，进而得()2log log 37c c a b -=，再结合换底公式得1log log b acc b a==【详解】解：因为log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，所以由韦达定理得log log 5c c a b +=-，log log 3c c a b ⋅=-，所以()()22log log log log 4log log 37c c c c c c a b a b a b -=+-⋅=，所以log log c c b a -=所以11log log log 37log b c c acc b b a a===±-.故答案为：37± 【点睛】本题解题的关键在于根据韦达定理与换底公式进行计算，其中()()22log log log log 4log log c c c c c c a b a b a b -=+-⋅，1log log b acc b a=两个公式的转化是核心，考查运算求解能力，是中档题.18．【分析】根据分段函数单调性列出各段为增函数的条件并注意两段分界处的关系即可求解【详解】函数在R 上单调递增则需满足（1）当时函数单调递增；则（2）当时函数单调递增；则(3)函数在两段分界处满足即所以满解析：23a <≤【分析】根据分段函数单调性，列出各段为增函数的条件，并注意两段分界处的关系，即可求解. 【详解】函数1(2)1,2(),2x a x x f x a x --+<⎧=⎨≥⎩，在R 上单调递增则需满足（1）当2x <时，函数()f x 单调递增；则2a > （2）当2x ≥时，函数()f x 单调递增；则1a >(3)函数()f x 在两段分界处2x =，满足()21221a a --⨯+≤，即3a ≤所以满足条件的实数a 的范围是23a <≤ 故答案为：23a <≤ 【点睛】关键点睛：本题考查由函数的单调性求参数范围，解答本题的关键是分段函数在上单调递增，从图象上分析可得从左到右函数图象呈上升趋势，即函数()f x 在[)2+∞，上的最小值大于等于函数在(),2-∞上的最大值.则()21221a a --⨯+≤，这是容易忽略的地方，属于中档题.19．【分析】首先根据定义列出的等式转化为再根据分离常数和换元法求的取值范围【详解】函数为可分拆函数存在实数使得且设当时等号成立即故答案为：【点睛】思路点睛：本题是一道以新定义为背景的函数性质的综合应用题解析：[3【分析】首先根据定义，列出()()()0011f x f x f +=+的等式，转化为()()20202111x a x +=++，再根据分离常数和换元法，求a 的取值范围. 【详解】函数()22log 1af x x =+为“可分拆函数”，∴存在实数00x >，使得()2222200log log log 1211aa a x x =++++且0a >，()()222002111a a x x ∴=+++，()()()2220000002222000000021222422242222222211x x x x x x a x x x x x x x +++--++∴====-++++++++，设0422x t +=>，024t x -∴=， 2161622204204t a t t t t∴=-=-++++ ，20444t t ++≥=，当t =即32a ≤<. 故答案为：)32⎡⎣ 【点睛】思路点睛：本题是一道以新定义为背景的函数性质的综合应用题型，首先正确利用新定义，并正确表示()()20202111x a x +=++，利用01x >，转化为求函数的值域，即求a 的取值范围.20．4【分析】结合对数的基本运算化简求值即可【详解】解：故答案为：4【点睛】本题主要考查对数的基本运算性质熟记公式熟练运用对数的化简对数恒等式是最基本的要求属于基础题型解析：4 【分析】结合对数的基本运算化简求值即可. 【详解】解：7log 3211lg 25lg 27lg5lg 23lg5lg 23lg103422++=++=++=+=. 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查对数的基本运算性质，熟记公式，熟练运用对数的化简、对数恒等式是最基本的要求，属于基础题型.三、解答题21．（1）{1x x <-或}1x >，证明见解析；（2）()1,+∞. 【分析】（1）本题首先可通过求解101xx +>-得出函数()f x 的定义域，然后通过()()f x f x -=-证得函数()f x 是奇函数；（2）本题可根据题意将函数转化为2()log (1)g x x =+，然后通过当1x >时2log (1)1x +>即可求出函数()g x 的值域.【详解】（1）因为函数21()log 1x f x x +=-，所以101xx +>-，解得1x <-或1x >，则函数的定义域为{1x x <-或}1x >，且定义域关于原点对称，因为222111()log log log ()111x x x f x f x x x x --+-===-=---+-，所以函数()f x 为奇函数.（2）22221l ()()log (1)log (1)log (1)og 1g x x x f x x x x +=+-==-+-+，当1x >时，22log (1)log 21x +>=，函数2()log (1)g x x =+是增函数，故当(1,)x ∈+∞时，()1g x >，函数()g x 的值域为()1,+∞. 【点睛】方法点睛：判断或证明函数奇偶性，首先要判断函数的定义域是否关于原点对称，然后通过()()f x f x -=-判断函数是奇函数或者通过()()f x f x -=判断函数是偶函数.22．（1）12）①(1,5)，2m =；②b ma >，理由见解析. 【分析】（1）根据对数的运算性质解得01x = （2）将322224log 2log 2b aba ab b++=++-化为2222log (2)2a a a +-2222322log log 32log 2b b b b b b=+-+-<+-，利用22()2log x h x x x=+-为增函数可得(2)()h a h b <，2a b <，即ma b <.【详解】（1）由已知得，2020log log (2)0x x +-=，[]200log (2)0x x -=，∴00(2)1x x -=，200210x x --=，∴01x =02x >，∴01x = （2）①22()log (1)log (5)g x x x =-+-，由1050x x ->⎧⎨->⎩，得15x <<，∴()g x 的定义域(1,5)D =.由于[]222()log (1)(5)log [(3)4]g x x x x =--=--+， ∴当3x =时，max 2()log 42m g x ===， ②由223224log 2log 2abba a a b++=++-，得2222214log 2log log 322a b a b a b +-=+--+，即22222212log (2)2log log 3122ab a b a b +-=+--++22232log log 32b b b =+-+-，因为32222223log 3log 2log 3log log 02-=-=<，所以2222222322log (2)2log log 32log 22ab b a b b a b b+-=+-+-<+-，考虑函数22()2log xh x x x=+-，所以(2)()h a h b <，因2x ，2log x ，2x-都是增函数，所以()h x 为增函数，∴2a b <，∵2m =，故始终有b ma >成立. 【点睛】关键点点睛：令22()2log xh x x x=+-，转化为(2)()h a h b <，利用单调性求解是解题关键.23．（Ⅰ）2；（Ⅱ）图象见解析，单调递增区间为(),-∞+∞；（Ⅲ）14x >-．【分析】（Ⅰ）依次求出()1f -，()()1ff -，()()()1f f f -即可（Ⅱ）根据函数解析式即可画出图象，根据图象即可得出单调区间；（Ⅲ）分段讨论可解出不等式. 【详解】解：（Ⅰ）()1110f -=-+=，所以()()1011ff -=+=，所以()()()1122f f f -==；（Ⅱ）函数图象如下：由图可知，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，无单调递减区间；（Ⅲ）①当0x ≤时，102x -≤，所以()1f x x =+，1111222f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以()132122f x f x x ⎛⎫+-=+> ⎪⎝⎭，解得14x >-，所以014x -<≤；②当102x <≤时，102x -<，所以()2xf x =，1111222f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()112122xf x f x x ⎛⎫+-=++> ⎪⎝⎭显然成立，所以102x <≤符合题意； ③当12x >时，102x ->，所以()2xf x =，12122x f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以()1212212x xf x f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫+-=+> ⎪⎝⎭显然成立，所以12x >符合题意，综上所述：x 的取值范围为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】关键点睛：本题考查函数不等式的求解，解题的关键是分段讨论x 的取值范围，根据不同范围函数的解析式求解.24．（1）[1,5]A B ⋂=-；（2）(],3-∞. 【分析】（1）根据指数运算解不等式求出集合A ，利用对数的运算求出集合B ，由此能求出A B ；（2）由{}11C x m x m =-≤≤+和C A ⊆，对C 是否为空集分类讨论，列出不等式组，由此能求出m 的取值范围．【详解】解：（1）1{|232}{|25}4xA x x x ==-， 12{|log B y y x==，12}{|16}64x x x =-， [1,5]A B ∴=-.（2）{}11C x m x m =-≤≤+且C A ⊆，若,11,0C m m m =∅->+<若C ≠∅，则111512m m m m -≤+⎧⎪+⎨⎪--⎩，解得03m ≤≤，m ∴的取值范围是(],3-∞.【点睛】本题考查交集的运算以及根据集合间的包含关系求参数的取值范围，还涉及指对数的运算，属于基础题．25．（1）{x |－1＜x ＜1}；（2）f (x )为奇函数；证明见解析；（3）(0，1). 【分析】（1）根据真数大于零，列出不等式，即可求得函数定义域；（2）计算()f x -，根据其与()f x 关系，结合函数定义域，即可判断和证明；（3）利用对数函数的单调性，求解分式不等式，即可求得结果. 【详解】（1）因为f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，所以1010x x +>⎧⎨->⎩解得－1＜x ＜1.故所求函数的定义域为{x |－1＜x ＜1}. （2）f (x )为奇函数.证明如下：由（1）知f (x )的定义域为{x |－1＜x ＜1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x ). 故f (x )为奇函数.（3）因为当a ＞1时，f (x )在定义域{x |－1＜x ＜1}上是增函数，由f (x )＞0，得11x x+-＞1，解得0＜x ＜1. 所以x 的取值范围是(0，1). 【点睛】本题考查对数型复合函数单调性、奇偶性以及利用函数性质解不等式，属综合中档题. 26．（1）1a =，定义域为()(),11,-∞-+∞；（2）(),3-∞-.【分析】（1）由奇函数的定义可解得a 值；真数大于零解不等式可得定义域；（2）换元转换成二次不等式讨论，变量分离，再用基本不等式. 【详解】()21log 1ax f x x +=-是奇函数，∴()()f x f x -=-，∴2211log log 11ax axx x -+=----∴2211log log 11--=-++ax x x ax ，∴1111--=++ax x x ax ， ∴22211a x x -=-又0a >∴1a =∴()21log 1x f x x +=-，要使()f x 有意义，则101x x +>-，即1x <-或1x >， ∴()f x 的定义域为()(),11,-∞-+∞.（2）由()22log⋅>⋅g xg k x 得()()22234log 3log log x x k x -->⋅.令2log t x =∵[]1,4x ∈，∴[]2log 0,2t x =∈∴()()343-->t t kt ，对一切[]0,2t ∈恒成立， ①当0t =时，k ∈R ； ②当(]0,2t ∈时，()()343t t k t--<恒成立；即9415k t t<+-，∵9412t t+≥，当且仅当94t t =，即32t =时等号成立.∴9415t t+-的最小值为3-，所以3k <-综上，实数k 的取值范围为(),3-∞-. 【点睛】本题考查函数的奇偶性及不等式的恒成立问题，换元转化为二次不等式在特定区间上恒成立是解决问题的关键.。

北师大版高中数学必修一第三单元指数函数.docx

第三单元指数函数一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知3327a b ⋅=,则必有A.2ab =B.2a b +=C.3ab =D.3a b +=2.设集合{|124},{|1010}x xA xB x =<<=>,则A B 等于A.(1,2)B.(0,2)C.(0,1)D.(1,)+∞3.函数22015(0x y a a +=+>且1)a ≠的图象恒过定点A.(2,2016)-B.(2,2015)-C.(1,2016)-D.(1,2015)- 4.函数1()9()13x x f x x =+--的定义域为 A.(,2)-∞- B.[3,1)(1,)-+∞ C.[2,)+∞ D.[2,1)(1,)-+∞ 5.函数254x y =-的值域是A.[0,)+∞B.[0,5]C.[0,5)D.(0,5)6.已知 5.2 2.50.810.81,0.81, 5.2a b c ===,则 A.b a c << B.a b c << C.c a b << D.c b a << 7.函数|24|x y =-在区间(1,1)k k -+内不单调,则实数k 的取值范围是A.(,1)-∞B.(1,1)-C.(3,)+∞D.(1,3)8.已知函数()f x 满足:当6x ≥时,()2x f x -=,当6x <时,()(1)f x f x =+,则5()2f 的值是 A.264B.364C.2128D. 3128 9.已知函数()(0x f x a a =>且1)a ≠,若(3)f a a >,则实数a 的取值范围是A.1(0,)(1,)2+∞B.1(0,)(1,2)2C.1(0,)(1,)6+∞D.1(0,)(1,6)610.设a R ∈,则函数11()()3x f x a -=-的图象一定经过 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限11.设()f x 是定义在实数集R 上的函数,满足条件(1)y f x =-是奇函数,且当1x >-时,()21x f x =-,则41(2),(),()33f f f ---的大小关系是A.41(2)()()33f f f -<-<- B.14()(2)()33f f f -<-<- C.41()(2)()33f f f -<-<- D.41()()(2)33f f f -<-<- 12.定义运算:*如下:,*,x x y x y y x y≥⎧=⎨<⎩,若函数()(12)*(23)x x f x m =--+的图象与x 轴有两个交点,则实数m 的取值范围是.A.(1,)-+∞B.(1,1)-C.[1,)-+∞D.[1,1)- 二、填空题:本大题共四小题,每小题5分,共20分,请将答案填在答题卡的相应位置.13.函数x y e =的图象与函数y x =-的交点的个数为 14.若24737x y =,则1277x y += 15.若函数11()()22x f x =-在区间[2,](2)a a ->-上的最大值是最小值的7倍,则实数a = 16.设函数21(),()(0.5)x f x g x f x==,若关于x 的方程332()2x g x m +=+有实数解,则实数m 的取值范围是三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17(本小题满分10分)(Ⅰ)计算:22110.5332234(3)(5)(0.008)(0.02)(0.32)89----+÷⨯; (Ⅱ)化简:11123233333332(2)()b a a a a b aa a a-⋅-÷-⨯⋅18(本小题满分12分) 设函数53224,010()2128,1015x x x f x x -⎧⨯-≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩. (Ⅰ)求使()0f x =的实数x 的值;(Ⅱ)求函数()f x 取得最大值和最小值时对应的实数x 的值.19(本小题满分12分) 已设函数2()().5x axf x π-=(Ⅰ)若函数()f x 为偶函数,求实数a 的值;(Ⅱ)当6a =时,求函数()f x 的单调区间.20(本小题满分12分) 已知2442a a a -+=-,函数()33,x x f x x R -=-∈ (Ⅰ)求()f a 的取值范围;(Ⅱ)若()(1)0a a f e m f e -+-≥恒成立,求实数m 的最小值.21(本小题满分12分)讨论关于x 的方程1420()x x b b R +--=∈的实数根的个数.22(本小题满分12分)设函数()(2)2(3)x f x t t =-⋅+-,其中t 为常数且t R ∈.(Ⅰ)求(0)f 的值;(Ⅱ)求函数()()4xf xg x =在区间[0,1]上的最小值; (Ⅲ)若对任意实数[1,1]t ∈-,不等式()0f x >恒成立,求实数x 的取值范围.。

2024-2025年北师大版数学必修第一册指数函数的图象和性质的应用(带答案)

第2课时指数函数的图象和性质的应用必备知识基础练知识点一指数函数的定义域和值域 1．函数y ＝2x－1 的定义域是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，0] C ．[0，＋∞) D．(0，＋∞) 2．求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝35x －1；(2)y ＝(12)x2－2x －3；(3)y ＝4x －2x＋1.知识点二指数型不等式的解法 3．若0.72x －1≤0.7x2－4，则x 的取值范围是( )A ．[－1，3]B ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)C ．[－3，1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 4．(1)解不等式：(12 )3x －1≤2；(2)已知x x2－3x ＋1<a x ＋6(a >0，且a ≠1)，求x 的取值范围．知识点三指数型函数的单调性5．若函数f (x )＝(13 )|x －2|，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 6．若函数y ＝2－x2＋xx －1在区间(－∞，3)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．7．已知定义域为R 的函数f (x )＝a －23x ＋1 (a ∈R )是奇函数．(1)求a 的值；(2)判断函数f (x )在R 上的单调性，并证明你的结论； (3)求函数f (x )在R 上的值域．关键能力综合练1．函数f (x )＝1－2x＋1x ＋3的定义域为( )A ．(－3，0]B ．(－3，1]C.(－∞，－3)∪(－3，0] D ．(－∞，－3)∪(－3，1]2．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13 －x 2＋4x 的值域为( ) A ．[81，＋∞) B．⎣⎢⎡⎭⎪⎫181，＋∞ C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－181 D ．(－∞，－81]3．函数f (x )＝(15)x2＋xx在区间[1，2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－4B ．a ≤－2C ．a ≥－2D ．a >－44．已知集合A ＝{}x |y ＝3＋2x －x 2 ，B ＝{}y |y ＝e x＋a (a ∈R )，若A ∩B ＝∅，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，－1)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)5．函数f (x )＝(18)|x ＋2|的部分图象大致为( )6．(易错题)函数y ＝(14 )x ＋(12)x＋1的值域为( )A ．[34 ，＋∞) B．(34 ，＋∞)C ．(1，＋∞) D．[1，＋∞)7．不等式(13)x －4>3－2x的解集是________．8．若函数y ＝|2x－1|在(－∞，m ]上单调递减，则m 的取值范围是________． 9．(探究题)已知函数f (x )＝(13)xx2－4x ＋3(a ∈R ).(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )的最大值为3，求a 的值； (3)若f (x )的值域为(0，＋∞)，求a 的值．核心素养升级练1．(多选题)已知函数f (x )＝3x－(13 )x ，则f (x )( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．在R 上是增函数D ．在R 上是减函数2．(学科素养—逻辑推理与数学运算)已知函数f (x )＝4x－a ·2x＋4. (1)当a ＝5时，解关于x 的不等式f (x )>0； (2)当x ∈[0，1]时，求f (x )的最小值g (a ).第2课时指数函数的图象和性质的应用必备知识基础练1．答案：C解析：由2x－1≥0，得2x≥1，∴x ≥0.选C. 2．解析：(1)由5x －1≥0，得x ≥15 ，所以所求函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥15 . 由5x －1 ≥0，得y ≥1，所以所求函数的值域为[1，＋∞). (2)定义域为R .∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4， ∴(12)x2－2x －3≤(12 )－4＝16. 又∵(12)x2－2x －3>0，∴函数y ＝(12)x2－2x －3的值域为(0，16].(3)函数的定义域为R .y ＝(2x )2－2x ＋1＝(2x －12 )2＋34，∵2x >0，∴当2x＝12 ，即x ＝－1时，y 取最小值34 ，∴函数的值域为[34 ，＋∞).3．答案：A解析：∵函数y ＝0.7x在R 上为减函数，且0.72x －1≤0.7x2－4，∴2x －1≥x 2－4，即x 2－2x －3≤0. 解得－1≤x ≤3，故选A.4．解析：(1)∵2＝(12)－1，∴原不等式可以转化为(12 )3x －1≤(12 )－1.∵y ＝(12 )x在R 上是减函数，∴3x －1≥－1，∴x ≥0. 故原不等式的解集是{x |x ≥0}． (2)分情况讨论：①当0<a <1时，函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)在R 上是减函数，∴x 2－3x ＋1>x ＋6，∴x2－4x －5>0，解得x <－1或x >5；②当a >1时，函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)在R 上是增函数，∴x 2－3x ＋1<x ＋6，∴x 2－4x －5<0，解得－1<x <5.综上所述，当0<a <1时，x <－1或x >5；当a >1时，－1<x <5.5．答案：B解析：因为f (x )＝(13 )|x －2|为复合函数，则f (u )＝(13 )u，u (x )＝|x －2|，f (u )对u 是减函数，u (x )在[2，＋∞)为增函数，在(－∞，2]为减函数，由复合函数知，f (x )的单调递减区间是[2，＋∞).6．答案：a ≥6 解析：y ＝2－x2＋xx －1在(－∞，3)上单调递增，即二次函数y ＝－x 2＋ax －1在(－∞，3)上单调递增，因此需要对称轴x ＝a2≥3，解得a ≥6.7．解析：(1)若存在实数a 使函数f (x )为R 上的奇函数，则f (0)＝0，得a ＝1. 当a ＝1时，f (x )＝1－23x ＋1.∵f (－x )＝1－23－x ＋1 ＝1－2·3x1＋3x ＝1－2（3x＋1）－21＋3x ＝－1＋21＋3x ＝－f (x )，∴f (x )为R 上的奇函数．∴存在实数a ＝1，使函数f (x )为R 上的奇函数． (2)f (x )在R 上是增函数．证明如下：设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝23x 2＋1－23x 1＋1＝2(3x 1−3x 2)(3x 1+1)(3x 2+1)∵y ＝3x在R 上是增函数，且x 1<x 2， ∴3x 1<3x 2且(3x 1＋1)( 3x 2＋1)>0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2). ∴f (x )是R 上的增函数．(3)f (x )＝1－23x ＋1 中，3x＋1∈(1，＋∞)，∴23x＋1∈(0，2). ∴f (x )的值域为(－1，1).关键能力综合练1．答案：A解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3>0，解得－3<x ≤0，所以函数f (x )的定义域为(－3，0].故选A.2．答案：B解析：二次函数y ＝－x 2＋4x 开口向下，当x ＝2时，最大值为4，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13 t是单调递减函数，所以f (x )＝(13)－x 2+4x 的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫181，＋∞ .故选B.3．答案：C解析：记u (x )＝x 2＋ax ＝(x ＋a2 )2－a 24，其图象为抛物线，开口向上，对称轴为直线x＝－a 2.∵函数f (x )＝(15)x 2+xx 在区间[1，2]上是减函数，∴函数u (x )在区间[1，2]上是增函数．而u (x )在[－a2 ，＋∞)上单调递增，∴－a2 ≤1，解得a ≥－2，故选C.4．答案：D解析：由已知，集合A 即函数y ＝3＋2x －x 2的定义域，由不等式3＋2x －x 2≥0，即x 2－2x －3≤0，解得－1≤x ≤3，∴A ＝{}x |y ＝3＋2x －x 2 ＝{x |－1≤x ≤3}＝[－1，3]，集合B 即函数y ＝e x ＋a 的值域，因为指数函数y ＝e x的值域为(0，＋∞)，所以函数y ＝e x＋a 的值域为(a ，＋∞)，∴B ＝{}y |y ＝e x＋a ＝(a ，＋∞)，∵A ∩B ＝∅，∴a 的取值范围是[3，＋∞).故选D. 5．答案：B解析：令x ＝－2，得f (－2)＝1，排除C 、D ；令x ＝0，得f (0)＝164 ，排除A.故选B.6．答案：C解析：令t ＝(12 )x ，t ∈(0，＋∞)，则原函数可化为y ＝t 2＋t ＋1＝(t ＋12 )2＋34 .因为函数y ＝(t ＋12 )2＋34 在(0，＋∞)上是增函数，所以y >(0＋12 )2＋34＝1，即原函数的值域是(1，＋∞).故选C. 7．答案：(－4，＋∞) 解析：∵3－2x＝(13 )2x ，∴(13 )x －4>(13 )2x .又函数y ＝(13)x 是单调递减函数，∴x －4<2x ，∴x >－4.故不等式的解集为(－4，＋∞).8．答案：(－∞，0]解析：在平面直角坐标系中作出y ＝2x的图象，把图象沿y 轴向下平移1个单位得到y ＝2x－1的图象，再把y ＝2x－1的图象在x 轴下方的部分关于x 轴翻折，其余部分不变，如图实线部分，得到y ＝|2x－1|的图象．由图可知y ＝|2x－1|在(－∞，0]上单调递减，∴m ∈(－∞，0].9．解析：(1)当a ＝－1时，f (x )＝(13)－x2－4x ＋3，令h (x )＝－x 2－4x ＋3，由于h (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝(13 )t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2). (2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝(13 )g (x )，由于f (x )的最大值为3，所以g (x )的最小值为－1，当a ＝0时，f (x )＝(13)－4x ＋3，无最大值；当a ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞03a －4a＝－1 ，解得a ＝1，所以当f (x )的最大值为3时，a 的值为1.(3)由指数函数的性质，知要使y ＝(13 )g (x )的值域为(0，＋∞).应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，当a ＝0时，g (x )＝－4x ＋3，值域为R ，符合题意．当a ≠0时，g (x )为二次函数，其值域不为R ，不符合题意．故f (x )的值域是(0，＋∞)时，a 的值为0.核心素养升级练1．答案：AC解析：∵f (x )＝3x－(13)x ，x ∈R ，∴f (－x )＝3－x －3x ＝－f (x )，因此函数f (x )为奇函数．又y 1＝3x，y 2＝－(13 )x 均为R上的增函数，∴函数f (x )＝3x－(13)x 在R 上是增函数．故选AC.2．解析：(1)当a ＝5时，f (x )＝4x －5·2x ＋4，令t ＝2x >0，h (t )＝t 2－5t ＋4. 由t 2－5t ＋4>0，可得t >4或t <1，即x >2或x <0，故解集为(－∞，0)∪(2，＋∞). (2)令2x＝t ∈[1，2]，φ(t )＝t 2－at ＋4，对称轴：t ＝a2 .①当a2<1，即a <2时，g (a )＝φ(1)＝5－a ；②当1≤a 2≤2，即2≤a ≤4时，g (a )＝φ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2 ＝－a 24＋4；③当a2>2，即a >4时，g (a )＝φ(2)＝8－2a ；综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧5－a ，a <2－a24＋4，2≤a ≤48－2a ，a >4.。

北师大版高中数学必修一指数与指数函数同步练习

指数与指数函数同步练习一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、化简1111132168421212121212-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结果是（）A 、11321122--⎛⎫- ⎪⎝⎭B 、113212--⎛⎫- ⎪⎝⎭ C 、13212-- D 、1321122-⎛⎫- ⎪⎝⎭2、44等于（）A 、16aB 、8aC 、4aD 、2a3、若1,0a b ><,且b b a a -+=则b b a a --的值等于（） A 、6B 、2±C 、2-D 、24、函数()2()1xf x a =-在R 上是减函数，则a 的取值范围是（） A 、1>a B 、2<a C、a <、1a <<5、下列函数式中，满足1(1)()2f x f x +=的是( ) A 、 1(1)2x + B 、14x + C 、2x D 、2x -6、下列2()(1)x x f x a a -=+是（）A 、奇函数B 、偶函数C 、非奇非偶函数D 、既奇且偶函数7、已知,0a b ab >≠，下列不等式（1）22a b >；(2)22a b>；(3)ba 11<；(4)1133a b >；(5)1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭中恒成立的有（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个8、函数2121x x y -=+是（）A 、奇函数B 、偶函数C 、既奇又偶函数D 、非奇非偶函数9、函数121x y =-的值域是（）A 、(),1-∞B 、()(),00,-∞+∞ C 、()1,-+∞ D 、()(,1)0,-∞-+∞10、已知01,1a b <<<-,则函数x y a b =+的图像必定不经过（） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限11、2()1()(0)21x F x f x x ⎛⎫=+⋅≠ ⎪-⎝⎭是偶函数，且()f x 不恒等于零，则()f x ( )A 、是奇函数B 、可能是奇函数，也可能是偶函数C 、是偶函数D 、不是奇函数，也不是偶函数12、一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低%b ，则n 年后这批设备的价值为（）A 、(1%)na b -B 、(1%)a nb -C 、[1(%)]n a b -D 、(1%)n a b - 二、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填写在答题纸上） 13、若103,104x y ==，则10x y -= 。

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北师大版数学必修1 指数与指数函数测试题
1、设0a >，将322
a a a ⋅表示成分数指数幂，其结果是（）
2、指数函数()(1)x f x a =-在R 上是增函数，则a 的取值范围是
3、函数21,(0,1)x y a a a -=+>≠的图像过一个定点，则定点的坐标是
4、已知b a ,∈R ，若b a 232
4-=，则b a +＝ 5、已知31
53-⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ，2153-
⎪⎭⎫ ⎝⎛=b ，21
34-⎪⎭⎫ ⎝⎛=c ，则a,b,c 三个数的大小关系是 6、若10<<<a b ，则在b a ，a b ，a a ，b b 中最大值是
7、在下列图像中，二次函数bx ax y +=2与指数函数x a
b
y )(=的图像只可能是（）
8、函数42x y =-的值域是
9、已知函数122)(++-=ax x
x f 在区间(－∞，3)内递增，则a 的取值范围是
10、方程9
131=-x 的解是 11、不等式x x 23
2212--<⎪⎭⎫
⎝⎛的解集是
12、已知函数x x m x f 2
4)(+=是奇函数．则m=
13、已知x∈[－3，2]，求f(x)＝
14x －12x
＋1的最小值与最大值．
14、已知[]2,1,4329)(-∈+⨯-=x x f x x （1）设[]2,1,3-∈=x t x ，求t 的最大值与最小值；
（2）求)(x f 的最大值与最小值；
15、定义在[－1,1]上的奇函数f(x)，已知当x ∈[－1,0]时， f(x)＝14x －2
x a (a ∈R)． (1)求f(x)在[0,1]上的最大值；
(2)若f(x)是[0,1]上的增函数，求实数a 的取值范围．。

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