上海市松江、闵行区2018届高三下学期质量监控(二模)数学试题 Word版含解析

闵行区、松江区2017-2018学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1. 双曲线的渐近线方程为，则_____________．【答案】【解析】试题分析：双曲线的渐近线为，因为与重合，所以．考点：双曲线的渐近线．2. 若二元一次方程组的增广矩阵是，其解为则______.【答案】【解析】由题意可知，二元一次方程组的解为：，即：，据此可得：.3. 设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则______．【答案】【解析】，复数在复平面内对应的点位于实轴上，则复数的虚部为零，，解得：.4. 定义在上的函数的反函数为，则________.【答案】【解析】求解指数方程：可得：，由反函数的定义与性质可得.5. 直线的参数方程为（为参数），则的一个法向量为__________.【答案】不唯一【解析】消去参数可得直线的普通方程为：，整理为一般式即：，则直线的法向量可以是(不唯一，与之平行即可).6. 已知数列，其通项公式为，，的前项和为，则_________.【答案】【解析】由数列的通项公式可得数列为等差数列，且，则其前n项和，故，则.7. 已知向量、的夹角为，，，若，则实数的值为___________.【答案】【解析】由题意可得：，且，则：，据此有：，解得：.8. 若球的表面积为，平面与球心的距离为，则平面截球所得的圆面面积为__________．【答案】【解析】设球的半径为，则，解得：，设截面圆的半径为，则,则平面截球所得的圆面面积.9. 若平面区域的点满足不等式，且的最小值为，则常数_______. 【答案】【解析】绘制不等式表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点处取得最小值，即：.若约束条件中含参数，可行域无法确定，此时一般是依据所提供的可行域的面积或目标函数的最值，来确定含有参数的某不等式所表示的坐标系中的某区域，从而确定参数的值10. 若函数没有最小值，则的取值范围是____________.【答案】【解析】分类讨论：当时，，函数没有最小值，当时，应满足有解，故，综上可得，的取值范围是.11. 设，那么满足的所有有序数组的组数为___________.【答案】【解析】分类讨论：① ，则这四个数为或，有组；② ，则这四个数为或，有组；③ ，则这四个数为或或，有组；综上可得，所有有序数组的组数为.点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．12. 设，为的展开式的各项系数之和，，，表示不超过实数的最大整数.则的最小值为___________. 【答案】【解析】利用赋值法，令可得：，，利用数学归纳法证明：，当时，成立，假设当时不等式成立，即，当时：据此可知命题成立，则，，，故，的几何意义为点到点的距离，如图所示，最小值即到的距离，由点到直线距离公式可得的最小值为.点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。

对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。

但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝。

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13. “”是“”成立的 ( )．A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】B【解析】若，可能，充分性不成立，若且，则，必要性成立，综上可得：“”是“且”成立的必要非充分条件.本题选择B选项.14. 如图，点分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，平面的法向量为，设二面角的大小为，则 ( )．A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可知，平面的一个法向量为：，由空间向量的结论可得：.本题选择C选项.点睛：(1)本题求解时关键是结合题设条件进行空间联想，抓住条件有目的推理论证.(2)利用空间向量求线面角有两种途径：一是求斜线和它在平面内射影的方向向量的夹角(或其补角)；二是借助平面的法向量．15. 已知等比数列的前项和为，则下列判断一定正确的是 ( )．A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】利用排除法：考查等比数列：，，，，满足，但是，选项A错误；.....................满足，但是，选项B错误；该数列满足，但是，选项C错误；本题选择D选项.16. 给出下列三个命题:命题1：存在奇函数和偶函数,使得函数是偶函数；命题2：存在函数、及区间，使得、在上均是增函数, 但在上是减函数；命题3：存在函数、（定义域均为），使得、在处均取到最大值，但在处取到最小值.那么真命题的个数是 ( )．A. B. C. D.【答案】D【解析】对于命题1，取，，满足题意；对于命题2，取，，满足题意；对于命题3，取，，满足题意；即题中所给的三个命题均为真命题，真命题的个数是.本题选择D选项.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17. 如图所示，在棱长为的正方体中，分别是的中点.（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成的角的大小.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）由题意可得平面，且，又的底，，转换顶点可得（2）取中点，连接，.由题意可得为异面直线与所成的角.由余弦定理计算可得异面直线与所成的角为.试题解析：（1）因为所给的几何体为正方体，所以平面，且，又的底，高为到的距离等于2，所以，所以（2）取中点，连接，.由于，所以为异面直线与所成的角.在中，，，，由余弦定理，得，即,所以异面直线与所成的角为.18. 已知函数，（1）当，且时，求的值；（2）在中，分别是角的对边，，，当，时，求的值.【答案】(1)；(2)2.【解析】试题分析：（1）整理函数的解析式可得，则，结合题意求解三角方程可得. （2）由题意可知，结合可得，由余弦定理得，结合题意可得. 试题解析：（1）由已知，得，所以，即，又，所以.（2）因为，所以，又因为，所以而，故，所以由余弦定理得，即，又，解得.19. 某公司利用线上、实体店线下销售产品，产品在上市天内全部售完.据统计，线上日销售量、线下日销售量（单位：件）与上市时间天的关系满足：，产品每件的销售利润为(单位：元)（日销售量线上日销售量线下日销售量）.（1）设该公司产品的日销售利润为，写出的函数解析式；（2）产品上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于元？【答案】(1)(2)第5天至第15天该公司日销售利润不低于元. 【解析】试题分析：（1）由题意分类讨论，分别求得销售量，然后与相应的利润相乘可得利润函数的解析式为（2）结合(1)中的利润函数分类讨论求解二次不等式可得第5天至第15天给该公司带来的日销售利润不低于元.试题解析：（1）由题意可得：当时，销售量为，销售利润为：；当时，销售量为，销售利润为：；当时，销售量为，销售利润为：；综上可得：（2）当时，由，解得；当时，由，解得；当时，由，无解.故第5天至第15天给该公司带来的日销售利润不低于元.点睛：(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型.(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．20. 已知椭圆：，其左、右焦点分别为，上顶点为，为坐标原点，过的直线交椭圆于两点，.（1）若直线垂直于轴，求的值；（2）若，直线的斜率为，则椭圆上是否存在一点，使得关于直线成轴对称？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）设直线:上总存在点满足，当的取值最小时，求直线的倾斜角.【答案】(1)5；(2)答案见解析；(3).【解析】试题分析：（1）由题意可得，则，结合勾股定理可得，，则.（2）由题意可得椭圆方程为，且，的坐标分别为，由对称性可求得点坐标为，该点不在椭圆上，则椭圆上不存在满足题意的点.（3）由题意可得椭圆方程为，且，的坐标为，设直线的y轴截距式方程，与椭圆方程联立有，由题意可知点是线段的中点，据此计算可得，当且仅当时取等号.则直线的倾斜角.试题解析：（1）因为，则，即，设椭圆的半焦距为，则，在直角中，，即解得，，所以.（2）由，，得，因此椭圆方程为，且，的坐标分别为，直线的方程为，设点坐标为，则由已知可得：，解得，而，即点不在椭圆上，所以，椭圆上不存在这样的点，使得关于直线成轴对称.（3）由，得椭圆方程为，且，的坐标为，所以可设直线的方程为，代入得：，因为点满足，所以点是线段的中点，设的坐标为，则，因为直线上总存在点满足，所以，且，所以，当且仅当，即时取等号.所以当时，，此时直线的倾斜角.点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21. 无穷数列，若存在正整数，使得该数列由个互不相同的实数组成，且对于任意的正整数，中至少有一个等于，则称数列具有性质.集合.（1）若，，判断数列是否具有性质；（2）数列具有性质，且，求的值；（3）数列具有性质，对于中的任意元素，为第个满足的项，记，证明：“数列具有性质”的充要条件为“数列是周期为的周期数列，且每个周期均包含个不同实数”.【答案】(1)具有；(2)2；(3)答案见解析.【解析】试题分析：（1）由题意可知是周期为2的周期数列，对于任意的正整数，，满足性质的条件，故数列具有性质.（2）由条件可知，考虑后面连续三项，由反证法可知.同理可得. （3）充分性：由数列是周期为的周期数列，每个周期均包含中个不同元素.则由周期性得，于是数列为常数列，显然满足性质.必要性：取足够大的使包含中所有个互不相同的元素，考虑后的连续项，由反证法可知中任意元素，必等于中的某一个，再由数列性质中的条件得，，则数列为常数列，为常数列，据此可得数列是周期为的周期数列，且每个周期均包含个不同实数.试题解析：（1）因为，，是由2个不同元素组成的无穷数列，且是周期为2的周期数列，故，是周期为2的周期数列，对于任意的正整数，，满足性质的条件，故数列具有性质. （2）.由条件可知，考虑后面连续三项，若，由及性质知中必有一数等于2，于是中有两项为2，故必有1或3不在其中，不妨设为，考虑中最后一个等于的项，则该项的后三项均不等于，故不满足性质中条件，矛盾，于是.同理.（3）充分性：由数列是周期为的周期数列，每个周期均包含中个不同元素.对于中的任意元素，为第个满足的项，故由周期性得，于是，数列为常数列，显然满足性质.必要性：取足够大的使包含中所有个互不相同的元素，考虑后的连续项，对于中任意元素，必等于中的某一个，否则考虑中最后一个等于的项，该项不满足性质中条件，矛盾.由的任意性知这个元素恰好等于中个互不相同的元素，再由数列性质中的条件得，，于是对于中的任意元素，存在，有，即数列为常数列，而数列满足性质，故为常数列，从而是周期数列，故数列是周期为的周期数列，且每个周期均包含个不同实数.2。