陕西省西安市蓝田县2020-2021学年高二下学期期末数学(理)试题

陕西省西安市蓝田县2020-2021学年高二下学期期末数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．1817161211⨯⨯⨯⨯⨯等于（ ） A ．818AB ．918AC ．1018AD ．1118A 2．复数23i z i+=在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．用反证法证明“,20x x ∀∈>R ”时，应假设（ ）A ．00,20x x ∃∈≤RB ．00,20x x ∃∈<R C ．,20x x ∀∈≤RD ．00,20x x ∃∈>R 4．在一组样本数据()()()(112212,,,,,,2,,,,n n n x y x y x y n x x x ≥不全相等)的散点图中，若所有样本点(),(1,2,,)i i x y i n =都在直线31y =x+上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）A ．3B ．0C ．1-D ．1 5．完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（ ） A ．5种 B ．4种 C ．9种 D ．20种 6．下列求导运算的正确是（ ）A ．(sin )cos (a a a '=为常数)B ．(sin 2)2cos 2x x '=C ．(cos )sin x x '=D ．()5615x x --=-' 7．已知随机变量ξ服从正态分布()22018,(0)N σσ>，则(2018)P ξ<等于（ ） A ．11009 B ．12018 C ．14 D ．128．某人有3个电子邮箱，他要发5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有（ ） A ．8种 B ．15种 C ．53种 D ．35种 9．已知具有线性相关关系的两个变量x ，y 的一组数据如下表：根据上表，利用最小二乘法得到y 关于x 的线性回归方程为10.5ˆyx a =+，则a 的值为（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.510．盒中装有10个乒乓球，其中6个新球，4个旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次取出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为（ ）A ．35B ．110C ．59D ．2511．周末，某高校一学生宿舍有甲乙丙丁四位同学分别在做不同的四件事情，看书、写信、听音乐、玩游戏，下面是关于他们各自所做事情的一些判断：①甲不在看书，也不在写信； ②乙不在写信，也不在听音乐；③如果甲不在听音乐，那么丁也不在写信； ④丙不在看书，也不在写信.已知这些判断都是正确的，依据以上判断，乙同学正在做的事情是（ ）A ．玩游戏B ．写信C ．听音乐D ．看书12．在下面的四个图象中，其中一个图象是函数()3221()11()3f x x ax a x a =++-+∈R 的导数()y f x ='的图象，则(1)f -等于（ ）A ．13 B ．73 C ．13-或53 D ．13-二、填空题13．设函数()f x 可导，若0(1)(1)lim 13x f x f x∆→+∆-=∆，则(1)f '=__________． 14．已知随机变量1~6,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()E X 的值为__________．15．由曲线2y x=与直线1y =x -及1x=所围成的封闭图形的面积为__________． 16．已知定义域为R 的偶函数()f x 的导函数为()f x '，对任意[0,)x ∈+∞，均满足：()2()0xf x f x '+>.若2()()g x x f x =，则不等式g(2)g(1)x x <-的解集是__________．三、解答题17．求下列函数的导数：（1）()(1sin )(14)f x x x =+-；（2）()21x x f x x =-+. 18．已知5名同学站成一排，要求甲站在中间，乙不站在两端，记满足条件的所有不同的排法种数为m .（I ）求m 的值；（II ）求342m x ⎫⎪⎭的展开式中的常数项.19．已知函数()f x 对任意实数,x y 都有()()+()+2f x+y =f x f y xy ，且(1)1f =. （I ）求(2), (3), (4)f f f 的值，并猜想()()f n n +∈N 的表达式；（II ）用数学归纳法证明（I ）中的猜想.20．中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”.为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研.人社部从网上年龄在15～65岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图如图所示, 支持“延迟退休年龄政策”的人数与年龄的统计结果如表：（I ）由以上统计数据填写下面的22⨯列联表；（II ）通过计算判断是否有95 %的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的态度有差异.参考公式：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++ 21．已知函数21()ln 2()2f x ax x a R =--∈ （1）当1a =时，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性.22．某小组共有10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动1次的有2人、2次的有4人、3次的有4人.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会. （I）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（II）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望.参考答案1．A【分析】根据排列数的定义求解.【详解】8181817161211A ⨯⨯⨯⨯⨯=，故选A.【点睛】 本题考查排列数的定义.2．D【分析】把复数化简为一般形式即可求解.【详解】 因为23(23)32i i i z i i i i++⋅===-⋅，所以复数对应的点为(3,2)-，在第四象限，故选D. 【点睛】本题考查复数的运算及复数的几何意义.3．A【分析】根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即可得出正确选项．【详解】根据反证法的步骤，假设是对原命题的否定，P （x 0）成立的否定是使得P （x 0）不成立，即用反证法证明“∀x ∈R ，2x ＞0”，应假设为∃x 0∈R ，02x ≤0故选A ．【点睛】本题考查反证法的概念，全称命题的否定，注意 “ 改量词否结论”4．D【分析】根据回归直线方程可得相关系数．【详解】根据回归直线方程是31y =x+可得这两个变量是正相关，故这组样本数据的样本相关系数为正值，且所有样本点（x i ，y i ）（i ＝1，2，…，n ）都在直线上，则有|r |＝1，∴相关系数r ＝1．故选D ．【点睛】本题考查了由回归直线方程求相关系数，熟练掌握回归直线方程的回归系数的含义是解题的关键．5．C【分析】分成两类方法相加.【详解】会用第一种方法的有5个人，选1个人完成这项工作有5种选择；会用第二种方法的有4个人，选1个人完成这项工作有4种选择；两者相加一共有9种选择,故选C.【点睛】本题考查分类加法计数原理.6．B【解析】【分析】根据常用函数的求导公式.【详解】因为(sin )0a '=（a 为常数），(sin 2)cos 2(2)2cos 2x x x x '=⋅'=，(cos )sin x x '=-，()565x x --=-'，所以，选项B 正确.【点睛】本题考查常用函数的导数计算.7．D【分析】根据正态分布的性质求解.【详解】因为随机变量ξ服从正态分布()22018,(0)N σσ>，所以分布列关于2018ξ=对称， 又所有概率和为1，所以1(2018)2P ξ<=. 故选D.【点睛】本题考查正态分布的性质.8．C【解析】 由题意得，每一封不同的电子邮件都有三种不同的投放方式，所以把5封电子邮件投入3个不同的邮箱，共有5333333⨯⨯⨯⨯=种不同的方法，故选C.9．B【解析】【分析】 回归直线经过样本中心点(),x y .【详解】样本中心点为()5,54 ，因为回归直线经过样本中心点，所以5410.55a =⨯+， 1.5a = . 故选B.【点睛】本题考查回归直线的性质.10．C【解析】试题分析：在第一次取出新球的条件下，盒子中还有9个球，这9个球中有5个新球和4个旧球， 故第二次也取到新球的概率为59考点：古典概型概率11．D【解析】【分析】根据事情判断其对应关系进行合情推理进而得以正确分析【详解】由于判断都是正确的，那么由①知甲在听音乐或玩游戏；由②知乙在看书或玩游戏；由③知甲听音乐时丁在写信；由④知丙在听音乐或玩游戏，那么甲在听音乐，丙在玩游戏，丁在写信，由此可知乙肯定在看书故选：D ．【点睛】本题考查了合情推理，考查分类讨论思想，属于基础题．12．D【分析】先求导，根据二次函数性质确定导函数图像，再求解.【详解】因为导函数()()()2221f x x ax a a R =++-∈'， 所以导函数的图像是开口向上的抛物线，所以导函数图像是从左至右第三个，所以0a < ，又()00f '=，即210a -=，所以1a =-，所以()()()()()()322111*********f -=⨯-+-⨯-+-⨯-+=-. 故选D.【点睛】本题主要考查函数求导及二次函数的性质.13．3【分析】根据导数的定义求解.【详解】 因为0(1)(1)lim13x f x f x∆→+∆-=∆， 所以0(1)(1)l 13im 1x f x f x ∆→+∆-=∆，即1(1)13f '=， 故(1)3f '=.【点睛】本题考查导数的定义.14．32【解析】 【分析】根据二项分布的期望公式求解. 【详解】因为随机变量X 服从二项分布1~6,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()13642E X =⨯=. 【点睛】本题考查二项分布的性质. 15．12ln 22- 【分析】转化为定积分求解. 【详解】 如图：,曲线2y x=与直线1y =x -及1x=所围成的封闭图形的为曲边形ABC , 因为ABC ABCD ACD S S S =- , 曲线2y x =与直线1y =x -及1x=的交点分别为(1,2)，(2,1) 且212ABCDS dx x =⎰，21(1)ACD S x dx =-⎰，所以，()22222111121(1)2ln 2ABCS dx x dx x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭⎰⎰()221112ln 22ln122112ln 2222⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--⨯--⨯-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.由曲线2y x =与直线1y =x -及1x=所围成的封闭图形的面积为12ln 22-. 【点睛】本题考查定积分的意义及计算. 16．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】先根据已知得出函数的单调性，再根据单调性解不等式. 【详解】因为()f x 是R 上的偶函数，所以()()2g x x f x =是R 上的偶函数，()()'20xf x f x +> ()()220x f x xf x ∴+>'()()()()()'2220g x x f x xf x x f x '∴'==+>()()2g x x f x ∴= 在[)0,R +∞ 上单调递增， 21x x ∴<- ，即(x+1)(3 x-1)<0解得113x -<< ，解集为1-13⎛⎫⎪⎝⎭，. 【点睛】本题主要考查函数与单调性的关系，注意构造的新函数的奇偶性及单调性的判断. 17．（1）'()4cos 4sin 4cos f x x x x x ==-+--；（2）21'()2ln 2(1)x f x x =-+. 【分析】(1)利用积的导数和和差的导数法则求导.(2)利用商的导数和积的导数的法则求导. 【详解】(1)f'(x)=(1+sin x)'(1-4x)+(1+sin x)(1-4x)'=cos x(1-4x)-4(1+sin x)=cos x-4xcos x-4-4sin x. (2)f(x)=1x x +-2x =1-11x +-2x ,则f'(x)=21(1)x +-2x ln 2. 【点睛】本题主要考查对函数求导，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力. 18．（I ）12；（II ）672. 【分析】（I ）先考虑特殊要求，再排列其他的；（II ）根据二项式定理展开式的通项公式求解. 【详解】（I ）所有不同的排法种数132312m C A =•=.（II ）由（I ）知，39422mx x ⎫⎫=⎪⎪⎭⎭，92x ⎫∴⎪⎭的展开式的通项公式为932192r r r r T C x -+=⋅⋅，令9302r-=，解得3r =， ∴展开式中的常数项为3392672C ⋅=.【点睛】本题考查排列与二项式定理.19．（I ）2()f n n =；（II ）证明见解析.【解析】 【分析】（I ）根据(2),(3),(4)f f f 的值猜想()()f n n N +∈的表达式；（II ）分1n =和1n k =+两步证明. 【详解】 （I ）()()()()2? 11f x y f x f y xy f +=++=，，()()2111124f f ∴=+=++=， ()()321412219f f =+=++⨯⨯=，()()4319123116f f =+=++⨯⨯=，∴猜想()2f n n =.（II ）证明：当1n =时，()11f =，猜想成立； 假设()1n k k =≥时，猜想成立，即()2f k k =，则当1n k =+时，()()()()221121211f k f k f k k k k +=++⨯=++=+， 即当1n k =+时猜想成立.综上，对于一切()2n N f n n +∈=均成立.【点睛】本题考查抽象函数求值与归纳猜想. 20．（I ）列联表见解析；（II ）有. 【分析】（I ）先根据频率分布直方图算出各数据，再结合支持“延迟退休年龄政策”的人数与年龄的统计结表求解；（II ）算出观测值与3.841比较. 【详解】（I ）由统计数据填写的22⨯列联表如下：（II ）计算观测值22100(3554515) 6.25 3.84180205050K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，∴有95 %的把握认为以45岁为分界点的同人群对“延迟退休年龄政策”的态度有差异.【点睛】本题考查频率分布直方图与独立性检验.21．（1）32y =-. （2）0a ≤时，递减区间为(0,)+∞；当0a >时，()f x在(0,递减，在,)+∞递增. 【解析】 【分析】（1）求导数，利用导数的几何意义求曲线f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （2）先求出函数的导数，通过讨论a 的取值范围求出函数的单调区间． 【详解】（1）当1a =时，函数()21ln 22f x x x =--，()1f x x x'=-， ∴()10f '=，()312f =-， ∴曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为32y =-（2）()21(0)ax f x x x->'=.当0a ≤时，()0f x '<，()f x 的单调递减区间为()0,+∞； 当0a >时，()f x在⎛ ⎝⎭递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭递增 【点睛】本题考查利用导数研究切线方程、函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，是一道基础题． 22．（I ）1445；（II ）89.【分析】（I ）和为4次有两种情况，一个是1次一个是3次与两个都是2次；（II ）随机变量X 的所有可能取值有三种，为0,1,2，分别求出其概率即可求解. 【详解】（I ）由已知得：11224421014()45C C C P A C +==， 所以，事件A 发生的概率为1445. （II ）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2；计算22224421013(0)45C C C P X C ++===， 111124442108(1)15C C C C P X C +===， 11242108(2)45C C P X C ===；所以，随机变量X 的分布列为：随机变量X 的数学期望为：13888()0124515459E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查随机事件的概率、分布列及其期望.。