2019-2020学年福建省莆田市城厢区南门中学八年级(上)开学数学试卷(解析版)

2019-2020学年福建省莆田市城厢区南门中学八年级（上）开学数学试卷一、选择题（共10小题）1. 在实数−3、0、−√2、3中，最小的实数是（ ） A.−3 B.0C.−√2D.32. 若3×32m ×33m ＝311，则m 的值为（ ） A.2 B.3C.4D.53. 如果x 2+kx +25是一个完全平方式，那么k 的值是( ) A.5 B.±5C.10D.±104. 已知不等式组{x +8<4x −1x >m 的解集是x >3，则m 的取值范围是（ ）A.m <3B.m >3C.m ≤3D.m ≥35. 将一张长与宽的比为2:1的长方形纸片按如图①、②所示的方式对折，然后沿图③中的虚线裁剪，得到图④，最后将图④的纸片再展开铺平，则所得到的图案是（ ）A. B. C. D.6. 如图，下列能判定AB // CD 的条件有（ ）个． （1）∠B +∠BCD ＝180∘；（2）∠1＝∠2；（3）∠3＝∠4；（4）∠B ＝∠5．A.1B.2C.3D.47. 线段CD 是由线段AB 平移得到的．点A(−1, 4)的对应点为C(4, 7)，则点B(−4, −1)的对应点D 的坐标为（ ） A.(2, 9) B.(5, 3)C.(1, 2)D.(−9, −4)8. 若(x +k)(x −5)的积中不含有x 的一次项，则k 的值是（ ） A.0 B.5C.−5D.−5或59. 下列说法错误的是（ ）A.有一个外角是锐角的三角形是钝角三角形B.有两个角互余的三角形是直角三角形C.直角三角形只有一条高D.任何一个三角形中，最大角不小于60度10. 根据下列已知条件，能唯一画出△ABC 的是( )A.AB =3，BC =4，AC =8B.AB =4，BC =3，∠A =30∘C.∠A =60∘，∠B =45∘，AB =4D.∠C =90∘，AB =6二、填空题（共6小题）内角和与外角和之比是5:1的多边形是________边形．若点(2, m −1)在第四象限，则实数m 的取值范围是________．计算（________．如图，AB // CD ，AC ⊥BC ，∠BAC ＝65∘，则∠BCD ＝________度．已知△ABC≅△A′B′C′，AB＝6，BC＝7，CA＝8，则△A′B′C′的周长是________．如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE=________度．三、解答题计算：√9+√83−|1−√2|解方程组：{x−2y=7 1−3x=y−12先化简，再求值：[(x−y)2+(x+y)(x−y)]÷2x，其中x=3，y=1．如图，已知∠BAP与∠APD互补，∠1＝∠2，试说明∠E＝∠F．已知：如图，∠1＝∠2，AB＝AD，∠B＝∠D，请问△ABC≅△ADE吗？并加以证明．数学课上，张老师举了下面的例题：例1等腰三角形ABC中，∠A＝110∘，求∠B的度数．（答案：35∘）例2等腰三角形ABC中，∠A＝40∘，求∠B的度数，（答案：40∘或70∘或100∘）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式等腰三角形ABC中，∠A＝80∘，求∠B的度数．（1）请你解答以上的变式题．（2）解（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝x∘，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．某商店收银台现有零钱1元、5元、10元三种纸币，共计130张，合计300元，其中10元纸币比5元纸币少10张．假设一元纸币数量为x张，5元纸币数量为y张．（1）根据题意，填写下表中的空格：________________-10130钱数（元）________5________________-10）300（2）求出x、y的值；（3）现有一名顾客拿一张100元纸币要向收银员换取1元或5元的零钱，要求1元的张数不超过5元的张数，求收银员在分配1元、5元的张数时共有哪几种方案？如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90∘，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD．(1)求证：BE=AD；(2)求证：AC是线段ED的垂直平分线；(3)△DBC是等腰三角形吗？并说明理由．已知如图，在平面直角坐标系中，点B(m, 0)，A(n, 0)分别是x轴上两点，且m，n满足(m−3)2+|n−1|= 0，点P(0, ℎ)是y轴正半轴上的动点.(1)求三角形△ABP的面积（用含ℎ的代数式表示）；(2)过点P作DP⊥PB，CP⊥PA，且PD=PB，PC=AP.①连接AD，BC相交于点E，再连PE，求∠BEP的度数；②连CD与y轴相交于点Q，当动点P在y轴正半轴上运动时，直接写出PQ的长度.参考答案与试题解析2019-2020学年福建省莆田市城厢区南门中学八年级（上）开学数学试卷一、选择题（共10小题）1.【答案】A【考点】实数大小比较【解析】先估算出−√2的大小，然后再比较即可．【解答】∵ 1<2<4，∵ 1<√2<2．∵ −1>−√2>−2．∵ 3>2，∵ −3<−2．∵ −3<−2<−√2<0<3．∵ 其中最小的实数是−3．2.【答案】A【考点】同底数幂的乘法【解析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加可得1+2m+3m＝11，再解即可．【解答】∵ 3×32m×33m＝311，∵ 31+2m+3m＝311，∵ 1+2m+3m＝11，m＝2，3.【答案】D【考点】完全平方公式【解析】这里首末两项是x和5这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和5的积的2倍，故k=±2×5=±10．【解答】解：由于(x±5)2=x2±10x+25=x2+kx+25.∵ k=±10．故选D．4.【答案】C【考点】解一元一次不等式组【解析】先用含有m的代数式把原不等式组的解集表示出来，然后和已知的解集比对，得到关于m的不等式，从而解答即可．【解答】{x+8<4x−1x>m由①得，x>3由②得，x>m∵ 不等式组解集是x>3∵ m≤3．5.【答案】A【考点】剪纸问题【解析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．【解答】解：严格按照图中的顺序向右翻折，向右上角翻折，剪去右上角，展开得到结论．故选A.6.【答案】利用同旁内角互补，判定两直线平行，故（1）正确；利用内错角相等，判定两直线平行，∵ ∠1＝∠2，∵ AD // BC，而不能判定AB // CD，故（2）错误；利用内错角相等，判定两直线平行，故（3）正确；C【考点】平行线的判定【解析】在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．【解答】利用同旁内角互补，判定两直线平行，故（1）正确；利用内错角相等，判定两直线平行，∵ ∠1＝∠2，∵ AD // BC，而不能判定AB // CD，故（2）错误；利用内错角相等，判定两直线平行，故（3）正确；利用同位角相等，判定两直线平行，故（4）正确．故选：C．7.【答案】C【考点】坐标与图形变化-平移轨迹【解析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．【解答】解：平移中，对应点的对应坐标的差相等，设D的坐标为(x, y)；根据题意：有4−(−1)=x−(−4)；7−4=y−(−1)，解可得：x=1，y=2；故D的坐标为(1, 2)．故选C．8.【答案】B【考点】多项式乘多项式【解析】根据多项式乘多项式的运算法则，展开后令x的一次项的系数为0，列式求解即可．【解答】解：(x+k)(x−5)=x2−5x+kx−5k=x2+(k−5)x−5k，∵ 不含有x的一次项，∵ k−5=0，解得k=5．故选B．9.【答案】C【考点】三角形的外角性质三角形内角和定理三角形的角平分线、中线和高【解析】各选项中只有C是错误的，任何三角形每一边上都可以做出该边的高，而不是只有一条高．【解答】解：A、有一个外角是锐角，说明在内角中一定有个钝角，所以正确；B、有两个角互余，即相加等于90∘，则另外一个角为90∘，所以正确；C、任何三角形每一边上都可以做出该边的高，所以错误；D、任何一个三角形中，最大角不小于60度正确，若最大角小于60∘，则内角和就不够180∘，所以正确．故选C．10.【答案】C【考点】全等三角形的判定【解析】要满足唯一画出△ABC，就要求选项给出的条件符合三角形全等的判定方法，不符合判定方法的画出的图形不一样，也就是三角形不唯一，而各选项中只有C选项符合ASA，是满足题目要求的，于是答案可得．【解答】解：A、因为AB+BC<AC，所以这三边不能构成三角形；B、因为∠A不是已知两边的夹角，无法确定其他角的度数与边的长度；C、已知两角以及两角的夹边，可以根据ASA来画一个三角形；D、只有一个角和一个边无法根据此作出一个三角形．故选C．二、填空题（共6小题）【答案】十二【考点】多边形内角与外角【解析】根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180∘，结合比例式列出方程，然后解方程即可得解．【解答】设多边形的边数为n，则[(n−2)⋅180∘]：360∘＝5:1，∵ (n−2)⋅180∘＝5×360∘，解得n＝12．【答案】m<1【考点】点的坐标解一元一次不等式【解析】根据第四象限内点的坐标特点列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】∵ 点(2, m−1)在第四象限，∵ m−1<0，解得m<1．【答案】ab3)2＝a2b6【考点】幂的乘方与积的乘方【解析】根据积的乘方求出，再根据幂的乘方求出即可．【解答】(ab3)2＝a2⋅(b3)2＝a2b6，【答案】25【考点】平行线的性质三角形内角和定理【解析】要求∠BCD 的度数，只需根据平行线的性质求得∠B 的度数．显然根据三角形的内角和定理就可求解． 【解答】∵ 在Rt △ABC 中，∠BAC ＝65∘，∵ ∠ABC ＝90∘−∠BAC ＝90∘−65∘＝25∘． ∵ AB // CD ，∠BCD ＝∠ABC ＝25∘． 【答案】 21【考点】全等三角形的性质 【解析】直接利用全等三角形的性质得出对应边相等进而求出答案． 【解答】∵ △ABC ≅△A′B′C′，AB ＝6，BC ＝7，CA ＝8， ∵ A′B′＝6，B′C′＝7，C′A′＝8，∵ △A′B′C′的周长是：6+7+8＝21． 【答案】 90【考点】全等三角形的性质与判定 【解析】由图可得，△ABC 与△DEF 均是直角三角形，由已知可根据HL 判定两三角形全等，再根据全等三角形的对应角相等，不难求解． 【解答】解：∵ △ABC 与△DEF 均是直角三角形，BC =EF ，AC =DF ， ∵ Rt △ABC ≅Rt △DEF(HL)， ∵ ∠ABC =∠DEF .∵ ∠DEF +∠DFE =90∘， ∵ ∠ABC +∠DFE =90∘． 故答案为：90. 三、解答题 【答案】原式＝3+2−(√2−1)＝5−√2+1＝6−√2． 【考点】 实数的运算 【解析】原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用立方根定义计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果． 【解答】原式＝3+2−(√2−1)＝5−√2+1＝6−√2． 【答案】方程组整理得：{x =2y +76x +y =3 ，把①代入②得：12y +42+y ＝3， 解得：y ＝−3，把y ＝−3代入①得：x ＝1， 则方程组的解为{x =1y =−3．【考点】代入消元法解二元一次方程组 【解析】方程组整理后，利用代入消元法求出解即可． 【解答】方程组整理得：{x =2y +76x +y =3 ，把①代入②得：12y +42+y ＝3， 解得：y ＝−3，把y ＝−3代入①得：x ＝1， 则方程组的解为{x =1y =−3．【答案】解：原式=(x 2−2xy +y 2+x 2−y 2)÷2x =(2x 2−2xy)÷2x =x −y ，则当x =3，y =1时， 原式=3−1=2． 【考点】整式的混合运算—化简求值 【解析】首先利用完全平方公式和平方差公式对括号内的式子进行化简，然后进行整式的除法计算即可化简，然后代入求值． 【解答】解：原式=(x 2−2xy +y 2+x 2−y 2)÷2x =(2x 2−2xy)÷2x =x −y ，则当x =3，y =1时， 原式=3−1=2． 【答案】∵ ∠BAP 与∠APD 互补（已知），∵ AB // CD （同旁内角互补，两直线平行）， ∵ ∠BAP ＝∠APC （两直线平行，内错角相等）， 又∵ ∠1＝∠2（已知），∵ ∠BAP −∠1＝∠APC −∠2，即∠3＝∠4， ∵ AE // PF （内错角相等，两直线平行）， ∵ ∠E ＝∠F （两直线平行，内错角相等）． 【考点】平行线的判定与性质 【解析】根据已知可得出AB // CD ，进而由∠1＝∠2可证得∠3＝∠4，故能得出AE // FP ，即能推出要证的结论成立． 【解答】∵ ∠BAP 与∠APD 互补（已知），∵ AB // CD（同旁内角互补，两直线平行），∵ ∠BAP＝∠APC（两直线平行，内错角相等），又∵ ∠1＝∠2（已知），∵ ∠BAP−∠1＝∠APC−∠2，即∠3＝∠4，∵ AE // PF（内错角相等，两直线平行），∵ ∠E＝∠F（两直线平行，内错角相等）．【答案】∵ ∠1＝∠2，∵ ∠DAE＝∠BAC，在△DAE与△BAC中{∠DAE=∠BACAB=AD∠B=∠D，∵ △ABC≅△ADE(ASA)．【考点】全等三角形的判定【解析】根据全等三角形的判定定理解答即可．【解答】∵ ∠1＝∠2，∵ ∠DAE＝∠BAC，在△DAE与△BAC中{∠DAE=∠BACAB=AD∠B=∠D，∵ △ABC≅△ADE(ASA)．【答案】若∠A为顶角，则∠B＝(180∘−∠A)÷2＝50∘；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝180∘−2×80∘＝20∘；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝80∘；故∠B＝50∘或20∘或80∘；分两种情况：①当90≤x<180时，∠A只能为顶角，∵ ∠B的度数只有一个；②当0<x<90时，若∠A为顶角，则∠B＝(180−x2)∘；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝(180−2x)∘；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x∘．当180−x2≠180−2x且180−2x≠x且180−x2≠x，即x≠60时，∠B有三个不同的度数．综上所述，可知当0<x<90且x≠60时，∠B有三个不同的度数．【考点】等腰三角形的性质【解析】（1）由于等腰三角形的顶角和底角没有明确，因此要分类讨论；（2）分两种情况：①90≤x<180；②0<x<90，结合三角形内角和定理求解即可．【解答】若∠A为顶角，则∠B＝(180∘−∠A)÷2＝50∘；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝180∘−2×80∘＝20∘；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝80∘；故∠B＝50∘或20∘或80∘；分两种情况：①当90≤x<180时，∠A只能为顶角，∵ ∠B的度数只有一个；②当0<x<90时，若∠A为顶角，则∠B＝(180−x2)∘；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝(180−2x)∘；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x∘．当180−x2≠180−2x且180−2x≠x且180−x2≠x，即x≠60时，∠B有三个不同的度数．综上所述，可知当0<x<90且x≠60时，∠B有三个不同的度数．【答案】x,y,y,x,y,10(y由题意得{x+y+y−10=130x+5y+10(y−10)=300解得{x=100y=20．设换取1元的张数为a、5元的张数为b，由题意得a+5b＝100，且a<b，则a＝0、5、10、15，对应b＝20、19、18、17，也就是共有4种方案：①0张1元，20张5元；②5张1元，19张5元；③10张1元，18张5元；④15张1元，17张5元．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程二元一次方程组的应用——行程问题【解析】（1）根据题意直接列出代数式填表即可；（2）根据表格列出方程组解答即可；（3）设换取1元的张数为a、5元的张数为b，根据题意列出方程，进一步与1元的张数不超过5元的张数，结合求得答案即可．【解答】根据题意，填表如下：由题意得{x +y +y −10=130x +5y +10(y −10)=300 解得{x =100y =20．设换取1元的张数为a 、5元的张数为b ，由题意得 a +5b ＝100，且a <b ，则a ＝0、5、10、15，对应b ＝20、19、18、17， 也就是共有4种方案： ①0张1元，20张5元； ②5张1元，19张5元； ③10张1元，18张5元； ④15张1元，17张5元． 【答案】 证明：(1)∵ ∠ABC =90∘，∵ ∠ABD +∠DBC =90∘， ∵ CE ⊥BD ，∵ ∠BCE +∠DBC =90∘， ∵ ∠ABD =∠BCE ， ∵ AD // BC ，∵ ∠DAB =∠EBC ， 在△DAB 和△EBC 中， {∠ABD =∠BCE ，AB =BC ，∠DAB =∠EBC ，∵ △DAB ≅△EBC(ASA). ∵ AD =BE.(2)∵ E 是AB 的中点，即AE =BE ， ∵ BE =AD ， ∵ AE =AD ，又∵ ∠BAD =90∘， ∠BAC =∠DAC =45∘，∵ △ADE 是等腰直角三角形，∵ AC 是∠DAE 的角平分线， ∵ AC 是线段ED 的垂直平分线． 解：(3)△DBC 是等腰三角形, 证明如下：∵ △DAB ≅△EBC ， ∵ DB =EC∵ △AEC ≅△ADC ， ∵ EC =DC ， ∵ DB =DC ，∵ △DBC 是等腰三角形． 【考点】全等三角形的性质与判定 等腰直角三角形 等腰三角形的判定与性质 全等三角形的性质【解析】（1）利用已知条件证明△DAB ≅△EBC(ASA)，根据全等三角形的对应边相等即可得到AD =BE ； （2）分别证明AD =AE ，CE =CE ，根据线段垂直平分线的逆定理即可解答；（3）△DBC 是等腰三角形，由△DAB ≅△EBC ，得到DB =EC ，又有△AEC ≅△ADC ，得到EC =DC ，所以DB =DC ，即可解答． 【解答】 证明：(1)∵ ∠ABC =90∘，∵ ∠ABD +∠DBC =90∘， ∵ CE ⊥BD ，∵ ∠BCE +∠DBC =90∘， ∵ ∠ABD =∠BCE ， ∵ AD // BC ，∵ ∠DAB =∠EBC ， 在△DAB 和△EBC 中， {∠ABD =∠BCE ，AB =BC ，∠DAB =∠EBC ，∵ △DAB ≅△EBC(ASA). ∵ AD =BE.(2)∵ E 是AB 的中点，即AE =BE ， ∵ BE =AD ，∵ AE =AD ，又∵ ∠BAD =90∘， ∠BAC =∠DAC =45∘，∵ △ADE 是等腰直角三角形， ∵ AC 是∠DAE 的角平分线， ∵ AC 是线段ED 的垂直平分线． 解：(3)△DBC 是等腰三角形, 证明如下：∵ △DAB ≅△EBC ， ∵ DB =EC∵ △AEC ≅△ADC ， ∵ EC =DC ， ∵ DB =DC ，∵ △DBC 是等腰三角形．【答案】解：(1)∵ (m −3)2+|n −1|=0， ∵ (m −3)2=0，|n −1|=0， ∵ m −3=0，n −1=0， 解得，m =3，n =1， 则A(1,0)，B(3,0)， 则AB =3−1=2，三角形△ABP 的面积=12×2×ℎ=ℎ.(2)①如图，连接BD ，∵ ∠CPA =∠BPD =90∘， ∵ ∠CPB =∠APD ， 在△CPB 和△APD 中，{PC =PA ，∠CPB =∠APD ，PB =PD ，∵ △CPB ≅△APD(SAS)， ∵ ∠PDA =∠CBP ， 又∠PED =∠AEB ，∵ ∠BED =∠BPD =90∘， ∵ 点P ，E ，B ，D 四点共圆， ∵ ∠BPD =90∘，PD =PB ， ∵ ∠BDP =45∘，∵ ∠BEP =180∘−45∘=135∘；②如图，过D 作DG ⊥y 轴于G ，∵ ∠BPD =90∘，∵ ∠OPB +∠GPD =90∘， ∵ ∠POB =90∘，∵ ∠OPB +∠OBP =90∘， ∵ ∠GPD =∠OBP ， 在△DGP 和△POB 中， {∠GPD =∠OBP ，∠DGP =∠POB ，PD =PB ，，∵ △DGP ≅△POB(AAS)，∵ DG =OP =ℎ，PG =OB =3， ∵ D(ℎ, 3+ℎ)，过C 作CH ⊥y 轴于H ，同理可得，△CHP ≅△POA(AAS)， ∵ CH =PO =ℎ，PH =OA =1， ∵ C(−ℎ, ℎ−1)，设直线CD 的解析式为：y =kx +b ， 把C ，D 两点的坐标代入得： {ℎk +b =3+ℎ，−ℎk +b =ℎ−1，，解得，{k=2ℎ，b =ℎ+1，则直线CD 的解析式为：y =2ℎx +ℎ+1，∵ Q(0, ℎ+1)，∵ PQ =OQ −OP =ℎ+1−ℎ=1. 【考点】全等三角形的性质与判定 四点共圆待定系数法求一次函数解析式 三角形的面积 非负数的性质：偶次方 非负数的性质：绝对值圆内接四边形的性质【解析】（1）根据非负数的性质分别求出m、n，根据三角形的面积公式解答即可；（2）①连接BD，证明△CPB≅△APD，根据全等三角形的性质得到∠APD＝∠CBP，证明P、E、B、D四点共圆，根据圆内接四边形对角互补可得结论；②线段PQ的长度不变，且PQ＝1，证明△DGP≅△POB和△CHP≅△POA，分别表示C、D两点的坐标，利用待定系数法求直线CD的解析式，可得Q的坐标，可得PQ的长．【解答】解：(1)∵ (m−3)2+|n−1|=0，∵ (m−3)2=0，|n−1|=0，∵ m−3=0，n−1=0，解得，m=3，n=1，则A(1,0)，B(3,0)，则AB=3−1=2，三角形△ABP的面积=12×2×ℎ=ℎ.(2)①如图，连接BD，∵ ∠CPA=∠BPD=90∘，∵ ∠CPB=∠APD，在△CPB和△APD中，{PC=PA，∠CPB=∠APD，PB=PD，∵ △CPB≅△APD(SAS)，∵ ∠PDA=∠CBP，又∠PED=∠AEB，∵ ∠BED=∠BPD=90∘，∵ 点P，E，B，D四点共圆，∵ ∠BPD=90∘，PD=PB，∵ ∠BDP=45∘，∵ ∠BEP=180∘−45∘=135∘；②如图，过D作DG⊥y轴于G，∵ ∠BPD=90∘，∵ ∠OPB+∠GPD=90∘，∵ ∠POB=90∘，∵ ∠OPB+∠OBP=90∘，∵ ∠GPD=∠OBP，在△DGP和△POB中，{∠GPD=∠OBP，∠DGP=∠POB，PD=PB，，∵ △DGP≅△POB(AAS)，∵ DG=OP=ℎ，PG=OB=3，∵ D(ℎ, 3+ℎ)，过C作CH⊥y轴于H，同理可得，△CHP≅△POA(AAS)，∵ CH=PO=ℎ，PH=OA=1，∵ C(−ℎ, ℎ−1)，设直线CD的解析式为：y=kx+b，把C，D两点的坐标代入得：{ℎk+b=3+ℎ，−ℎk+b=ℎ−1，，解得，{k=2ℎ，b=ℎ+1，则直线CD的解析式为：y=2ℎx+ℎ+1，∵ Q(0, ℎ+1)，∵ PQ=OQ−OP=ℎ+1−ℎ=1.。