八年级上册数学 【几何模型三角形轴对称】试卷测试卷附答案(1)
八年级上册数学【几何模型三角形轴对称】试卷测试卷附答案(1)
一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）
1．如图1，△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90o，D、E 分别在 BC、AC 边上，连接 AD、BE 相
交于点 F，且∠CAD＝1
2
∠ABE．
(1)求证：BF＝AC；
(2)如图2，连接 CF，若 EF＝EC，求∠CFD 的度数；
(3)如图3，在⑵的条件下，若 AE＝3，求 BF 的长.
【答案】（1）答案见详解；（2）45°，（3）4.
【解析】
【分析】
（1）设∠CAD=x，则∠ABE=2x，∠BAF=90°-x，∠AFB=180°-2x-(90°-x)= 90°-x，进而得到∠BAF =∠AFB，即可得到结论；
(2)由∠AEB=90°-2x，进而得到∠EFC=（90°-2x）÷2=45°-x，由BF＝AB，可得：
∠EFD=∠BFA=90°-x，根据∠CFD=∠EFD-∠EFC，即可求解；
(3)设EF＝EC=x，则AC=AE+EC=3+x，可得BE=BF+EF=3+x+x=3+2x，根据勾股定理列出方程，即可求解.
【详解】
（1）设∠CAD=x，
∵∠CAD＝1
2
∠ABE，∠BAC＝90o，
∴∠ABE=2x，∠BAF=90°-x，
∵∠ABE+∠BAF+∠AFB=180°，
∴∠AFB=180°-2x-(90°-x)= 90°-x，
∴∠BAF =∠AFB，
∴BF＝AB；
∵AB＝AC，
∴BF＝AC；
（2）由（1）可知：∠CAD=x，∠ABE=2x，∠BAC＝90o，∴∠AEB=90°-2x，
∵EF＝EC，
∴∠EFC=∠ECF，
∵∠EFC+∠ECF=∠AEB=90°-2x，
∴∠EFC=（90°-2x ）÷2=45°-x ， ∵BF ＝AB ,
∴∠BFA=∠BAF=(180°-∠ABE)÷2=(180°-2x)÷2=90°-x ， ∴∠EFD=∠BFA=90°-x ，
∴∠CFD=∠EFD-∠EFC=(90°-x ）-(45°-x)=45°； （3）由（2）可知：EF ＝EC ， ∴设EF ＝EC =x ，则AC=AE+EC=3+x ， ∴AB=BF=AC=3+x ， ∴BE=BF+EF=3+x+x=3+2x ， ∵∠BAC ＝90o， ∴222AB AE BE +=， ∴2
2
2
(3)3(32)x x ++=+，
解得：11x =，23x =-（不合题意，舍去） ∴BF=3+x=3+1=4. 【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质定理和勾股定理，用代数式表示角度和边长，把几何问题转化为代数和方程问题，是解题的关键.
2．如图，ABC 中，A ABC CB =∠∠，点D 在BC 所在的直线上，点E 在射线AC 上，且AD AE =，连接DE ．
（1）如图①，若35B C ∠=∠=?，80BAD ∠=?，求CDE ∠的度数； （2）如图②，若75ABC ACB ∠=∠=?，18CDE ∠=?，求BAD ∠的度数；
（3）当点D 在直线BC 上(不与点B 、C 重合)运动时，试探究BAD ∠与CDE ∠的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)40°；（2）36°；（3）∠BAD 与∠CDE 的数量关系是2∠CDE=∠BAD ． 【解析】 【分析】
（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAC=110°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论；
（2）根据三角形的外角的性质得到∠E=75°-18°=57°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论；
（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β，分3种情况：①如图1，当点D 在点B 的左侧时，∠ADC=x°-α，②如图2，当点D 在线段BC 上时，
∠ADC=y°+α，③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC=y°-α，根据这3种情况分别列方程组即，解方程组即可得到结论．
【详解】
(1)∵∠B=∠C=35°，
∴∠BAC=110°，
∵∠BAD=80°,
∴∠DAE=30°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=75°，
∴∠CDE=∠AED-∠C=75°?35°=40°；
(2)∵∠ACB=75°,∠CDE=18°，
∴∠E=75°?18°=57°，
∴∠ADE=∠AED=57°，
∴∠ADC=39°,
∵∠ABC=∠ADB+∠DAB=75°，
∴∠BAD=36°.
（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β
①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC=x°﹣α
∴
y x a
y x aβ
?=+
?
=-+
?
①
②
，①-②得，2α﹣β=0，
∴2α=β；
②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC=y°+α
∴
y x a
y a xβ
?=+
?
+=+
?
①
②
，②-①得，α=β﹣α，
∴2α=β；
③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC=y°﹣α
∴
180
180
y a x
x y a
β?
?
?-++=
?
++=
?
①
②
，②-①得，2α﹣β=0，
∴2α=β．
综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE=∠BAD．【点睛】
考核知识点：等腰三角形性质综合运用.熟练运用等腰三角形性质和三角形外角性质，分类讨论分析问题是关键．
3．问题探究：
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．
（1）证明：AD=BE；
（2）求∠AEB的度数．
问题变式：
（3）如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．（Ⅰ）请求出∠AEB的度数；（Ⅱ）判断线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见详解；（2）60°；（3）（Ⅰ）90°；（Ⅱ）AE=BE+2CM，理由见详解.【解析】
【分析】
（1）由条件△ACB和△DCE均为等边三角形，易证△ACD≌△BCE，从而得到对应边相等，即AD=BE；
（2）根据△ACD≌△BCE，可得∠ADC=∠BEC，由点A，D，E在同一直线上，可求出
∠ADC=120°，从而可以求出∠AEB的度数；
（3）（Ⅰ）首先根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，可得AC=BC，CD=CE，
∠ACB=∠DCE=90°，据此判断出∠ACD=∠BCE；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD≌△BCE，即可判断出BE=AD，∠BEC=∠ADC，进而判断出∠AEB的度数为90°；（Ⅱ）根据DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，可得CM=DM=EM，所以DE=DM+EM=2CM，据此判断出AE=BE+2CM．
【详解】
解：（1）如图1，
∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
AC BC
ACD BCE CD CE
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；
（2）如图1，∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=120°，
∴∠BEC=120°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°；
（3）（Ⅰ）如图
2，
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∠CDE=∠CED=45°，∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC BC
ACD BCE CD CE
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠BEC=∠ADC，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=180-45=135°，
∴∠BEC=135°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°，
故答案为：90°；
（Ⅱ）如图2，∵∠DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，
∴CM=DM=EM，
∴DE=DM+EM=2CM，
∵△ACD≌△BCE（已证），
∴BE=AD，
∴AE=AD+DE=BE+2CM，
故答案为：AE=BE+2CM．
【点睛】
本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定方法和性质，等边三角形的性质以及等腰直角三角形的性质的综合应用．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
4．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且AD＝BD＝BC，求∠A的大小；（2）在图1中过点C作一条线段CE，使BD，CE是△ABC的三分线；在图2中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；
（3）在△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC 边上，且AD＝BD，DE＝CE，请直接写出∠C所有可能的值．
【答案】（1）∠A＝36°；（2）如图所示：见解析；（3）如图所示：见解析；∠C为20°或40°的角．
【解析】
【分析】
（1）利用等边对等角得到三对角相等，设∠A＝∠ABD＝x，表示出∠BDC与∠C，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出∠A的度数．
（2）根据（1）的解题过程作出△ABC的三等分线；45°自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形；第二种情形以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底角被分为45°和22.5°，再以22.5°作为等腰三角形的底角，易得此时所得的三个三角形恰都为等腰
三角形；
（3）用量角器，直尺标准作30°角，而后确定一边为BA，一边为BC，根据题意可以先固定BA的长，而后可确定D点，再分别考虑AD为等腰三角形的腰或者底边，兼顾A、E、C 在同一直线上，易得2种三角形ABC；根据图形易得∠C的值；
【详解】
（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵BD＝BC＝AD，
∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC，
设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝2x，∠C＝180?-x
2
，
可得2x＝180?-x
2
，
解得：x＝36°，
则∠A＝36°；
（2）根据（1）的解题过程作出△ABC的三等分线，如图1；
由45°自然想到等腰直角三角形，有两种情况，
①如图2，过底角一顶点作对边的高，形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形；
②如图3，以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底角被分为45°和22.5°，再以22.5°作为等腰三角形的底角，易得此时所得的三个三角形恰都为等腰三角形；
（3）如图4所示：
①当AD＝AE时，
∵2x+x＝30°+30°，
∴x＝20°；
②当AD＝DE时，
∵30°+30°+2x +x ＝180°， ∴x ＝40°；
综上所述，∠C 为20°或40°的角． 【点睛】
本题主要考查了三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
5．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段．．．．叫做这个三角形的三分线.
（1）图①是顶角为36?的等腰三角形，这个三角形的三分线已经画出，请你在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36?的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）；
（2）图③是顶角为45?的等腰三角形，请你在图③中画出顶角为45?的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数.
（3）ABC 中，30B ∠=?，AD 和DE 是ABC 的三分线，点D 在BC 边上，点E 在
AC 边上，且AD BD =，DE CE =，设c x ∠=?，则x 所有可能的值为_________. 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）20或40. 【解析】 【分析】
(1)作底角的平分线，再作底边的平行线，即可得到三分线；
(2)过底角定点作对边的高，形成一个等腰直角三角形和一个直角三角形，然后再构造一个等腰直角三角形，即可.
(3)根据题意，先确定30°角然后确定一边为BA ，一边为BC ，再固定BA 的长，进而确定D 点，分别考虑AD 为等腰三角形的腰和底边，画出示意图，列出关于x 的方程，即可得到答案. 【详解】 （1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）①当AD=AE 时，如图4， ∵DE CE =，c x ∠=?， ∴∠EDB=x °， ∴∠ADE=∠AED=2x °， ∵AD BD =， ∴∠BAD=∠B=30°， ∴30+30=2x+x ， 解得：x=20；
②当AD=DE 时，如图5， ∵DE CE =，c x ∠=?， ∴∠EDB=x °， ∴∠DAE=∠AED=2x °， ∵AD BD =， ∴∠BAD=∠B=30°， ∴30+30+2x+x=180， 解得：x=40.
③当AE=DE 时，则∠EAD=∠EDA=
1802(90)2
x
x -=-， ∴∠ADC=∠EDA+∠EDC=(90-x)+x=90° 又∵∠ADC=30+30=60°， ∴这种情况不存在.
∴x 所有可能的值为20或40.
故答案是：20或40
图4 图5 【点睛】
本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理的综合应用，分类讨论，画出图形，是解题的关键.
6．在等边ABC ?中，点O 在BC 边上，点D 在AC 的延长线上且OA OD =.
（1）如图1，若点O 为BC 中点，求COD ∠的度数； （2）如图2，若点O 为BC 上任意一点，求证AD AB BO =+.
（3）如图3，若点O 为BC 上任意一点，点D 关于直线BC 的对称点为点P ，连接
,AP OP ，请判断AOP ?的形状，并说明理由.
【答案】（1）30；（2）见解析；（3）AOP ?是等边三角形，理由见解析. 【解析】 【分析】
（1）根据三角形的等边三角形的性质可求1
302
CAO BAC ∠=
∠=?且,90AO BC AOC ⊥∠=?，根据OA OD =，等腰三角形的性质得到D ∠的度数，再通过
内角和定理求AOD ∠，即可求出COD ∠的度数.
（2）过O 作//OE AB ，OE 交AD 于E 先证明COE ?为等边三角形，再根据等边三角形的性质求120AEO ∠=?，120DCO ∠=?，再证明()AOE DOC AAS ???，得到
CD EA =，再通过证明得到EA BO =、AB AC =通过，又因为AD AC CD =+，通过等量代换即可得到答案.
（3）通过作辅助线先证明()ODF OPF SAS ???，得到OP OD =，又因为OA OD =，得到AO=OP ，证得AOP ?为等腰三角形，如解析辅助线，由（2）可知得
AOE DOC
???得到AOE DOC
∠=∠,通过角的关系得到60
AOP COE
∠=∠=°，即可证得AOP
?是等边三角形.
【详解】
（1）∵ABC
?为等边三角形
∴60
BAC
∠=?
∵O为BC中点
∴
1
30
2
CAO BAC
∠=∠=?
且,90
AO BC AOC
⊥∠=?
∵OA OD
=
∴AOD
?中，30
D CAO
∠=∠=?
∴180120
AOD D CAO
∠=?-∠-∠=?
∴30
COD AOD AOC
∠=∠-∠=?
（2）过O作//
OE AB，OE交AD于E
∵//
OE AB
∴60
EOC ABC
∠=∠=?
60
CEO CAB
∠=∠=?
∴COE
?为等边三角形
∴OE OC CE
==
180120
AEO CEO
∠=?-∠=?
180120
DCO ACB
∠=?-∠=?
又∵OA OD
=
∴EAO CDO
∠=∠
在AOE
?和COD
?中
AOE DOC
EAO CDO
OA OD
∠=∠
?
?
∠=∠
?
?=
?
∴()
AOE DOC AAS
???
∴CD EA
=
∵EA AC CE
=-
BO BC CO
=-
∴EA BO
=
∴BO CD
=，
∵AB AC
=，AD AC CD
=+
∴AD AB BO
=+
（3）AOP
?为等边三角形
证明过程如下：
连接,
PC PD，延长OC交PD于F ∵P D
、关于OC对称
∴,90 PF DF PFO DFO
=∠=∠=?在ODF
?与OPF
?中，
PF DF
PFO DFO
OF OF
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
∴()
ODF OPF SAS
???
∴OP OD
=,POC DOC
∠=∠
∵OA OD
=
∴AO=OP
∴AOP
?为等腰三角形
过O作//
OE AB，OE交AD于E
由（2）得AOE DOC
???
∴AOE DOC
∠=∠
又∵POC DOC
∠=∠
∴AOE POF
∠=∠
∴AOE POE POF POE ∠+∠=∠+∠
即AOP COE
∠=∠
∵AB ∥OE ，∠B=60° ∴60COE B ∠=∠=? ∴60AOP COE ∠=∠=° ∴AOP ?是等边三角形. 【点睛】
本题是考查了全等三角形和等边三角形的综合性问题，灵活应用全等三角形的性质得到边与角的关系，以及等边三角形的性质是解答此题的关键.
7．已知ABC 为等边三角形，E 为射线AC 上一点，D 为射线CB 上一点，AD DE =. （1）如图1，当点E 在AC 的延长线上且CD CE =时，AD 是ABC 的中线吗？请说明理由；
（2）如图2，当点E 在AC 的延长线上时，写出,,AB BD AE 之间的数量关系，请说明理由；
（3）如图3，当点D 在线段CB 的延长线上，点E 在线段AC 上时，请直接写出
,,AB BD AE 的数量关系.
【答案】（1）AD 是ABC 的中线，理由详见解析；（2）AB BD AE +=，理由详见解析；（3）AB AE BD =+. 【解析】 【分析】
（1）利用△ABC 是等边三角形及CD=CE 可得∠CDE=∠E=30°，利用AD=DE ，证明∠CAD=∠E =30°，即可解决问题．
（2）在AB 上取BH=BD ，连接DH ，证明AHD ≌△DCE 得出DH=CE ，得出AE=AB+BD ， （3）在AB 上取AF=AE ，连接DF ，利用△AFD ≌△EFD 得出角的关系，得出△BDF 是等腰三角形，根据边的关系得出结论AB=BD+AE ． 【详解】
（1）解：如图1，结论：AD 是△ABC 的中线．理由如下：
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠B=∠ACB=60°，
∵CD=CE，
∴∠CDE=∠E，
∵∠ACD=∠CDE+∠E=60°，
∴∠E=30°，
∵DA=DE，
∴∠DAC=∠E=30°，
∵∠BAC=60°，
∴∠DAB=∠CAD，
∵AB=AC，
∴BD=DC，
∴AD是△ABC的中线．
（2）结论：AB+BD=AE，理由如下：
如图2，在AB上取BH=BD，连接DH，
∵BH=BD，∠B=60°，
∴△BDH为等边三角形，AB-BH=BC-BD，∴∠BHD=60°，BD=DH，AH=DC，
∵AD=DE，
∴∠E=∠CAD，
∴∠BAC-∠CAD=∠ACB-∠E
∴∠BAD=∠CDE，
∵∠BHD=60°，∠ACB=60°，
∴180°-∠BHD=180°-∠ACB,
∴∠AHD=∠DCE，
∴在△AHD和△DCE，
BAD CDE
AHD DCE
AD DE
∠=∠
?
?
∠=∠
?
?=
?
∴△AHD≌△DCE（AAS），
∴DH=CE，
∴BD=CE，
∴AE=AC+CE=AB+BD．
（3）结论：AB=BD+AE，理由如下：
如图3，在AB 上取AF=AE ，连接DF ，
∵△ABC 为等边三角形， ∴∠BAC=∠ABC=60°， ∴△AFE 是等边三角形， ∴∠FAE=∠FEA=∠AFE=60°， ∴EF ∥BC ， ∴∠EDB=∠DEF ， ∵AD=DE ， ∴∠DEA=∠DAE ， ∴∠DEF=∠DAF ， ∵DF=DF ，AF=EF ， 在△AFD 和△EFD 中，
AD DE DF DF AF EF =??
=??=?
, ∴△AFD ≌△EFD （SSS ） ∴∠ADF=∠EDF ，∠DAF=∠DEF ，
∴∠FDB=∠EDF+∠EDB ，∠DFB=∠DAF+∠ADF ， ∵∠EDB=∠DEF ， ∴∠FDB=∠DFB ， ∴DB=BF ， ∵AB=AF+FB ， ∴AB=BD+AE ． 【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线，运用三角形全等找出对应的线段．
8．探究题：如图，AB ⊥BC ，射线CM ⊥BC ，且BC ＝5cm ，AB ＝1cm ，点P 是线段BC （不与点B 、C 重合）上的动点，过点P 作DP ⊥AP 交射线CM 于点D ，连结AD ．
（1）如图1，若BP ＝4cm ，则CD ＝ ；
（2）如图2，若DP 平分∠ADC ，试猜测PB 和PC 的数量关系，并说明理由； （3）若△PDC 是等腰三角形，则CD ＝ cm ．（请直接写出答案） 【答案】（1）4cm ；（2）PB ＝PC ，理由见解析；（3）4 【解析】 【分析】
（1）根据AAS 定理证明△ABP ≌△PCD ，可得BP ＝CD ；
（2）延长线段AP 、DC 交于点E ，分别证明△DPA ≌△DPE 、△APB ≌△EPC ，根据全等三角形的性质解答；
（3）根据等腰直角三角形的性质计算． 【详解】
解：（1）∵BC ＝5cm ，BP ＝4cm ， ∴PC ＝1cm ， ∴AB ＝PC ， ∵DP ⊥AP ， ∴∠APD ＝90°， ∴∠APB +∠CPD ＝90°，
∵∠APB +∠CPD ＝90°，∠APB +∠BAP ＝90°， ∴∠BAP ＝∠CPD ， 在△ABP 和△PCD 中，
B C BAP CPD AB PC ∠=∠??
∠=∠??=?
， ∴△ABP ≌△PCD ， ∴BP ＝CD ＝4cm ； （2）PB ＝PC ，
理由：如图2，延长线段AP 、DC 交于点E ，
∵DP 平分∠ADC ， ∴∠ADP ＝∠EDP ． ∵DP ⊥AP ，
∴∠DPA ＝∠DPE ＝90°， 在△DPA 和△DPE 中，
ADP EDP DP DP
DPA DPE ∠=∠??
=??∠=∠?
， ∴△DPA ≌△DPE （ASA ）， ∴PA ＝PE ． ∵AB ⊥BP ，CM ⊥CP ， ∴∠ABP ＝∠ECP ＝Rt ∠． 在△APB 和△EPC 中，
ABP ECP APB EPC PA PE ∠=∠??
∠=??=?
， ∴△APB ≌△EPC （AAS ）， ∴PB ＝PC ；
（3）∵△PDC 是等腰三角形，
∴△PCD 为等腰直角三角形，即∠DPC ＝45°， 又∵DP ⊥AP ， ∴∠APB ＝45°， ∴BP ＝AB ＝1cm ， ∴PC ＝BC ﹣BP ＝4cm ， ∴CD ＝CP ＝4cm ， 故答案为：4． 【点睛】
本题考查了三角形的全等的证明、全等三角形的性质以及等腰三角形的性质.做出辅助线证明三角形全等是本题的关键.
9．数学课上，张老师举了下面的例题：
例1 等腰三角形ABC 中，110A ∠=，求B 的度数.（答案：35）
例2 等腰三角形ABC 中，40A ∠=，求B 的度数.（答案：40或70或100） 张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下两题： 变式1: 等腰三角形ABC 中，∠A=100°，求B 的度数. 变式2: 等腰三角形ABC 中，∠A= 45° ，求B 的度数. （1）请你解答以上两道变式题.
（2）解（1）后，小敏发现，A ∠的度数不同，得到B 的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形ABC 中，设A x ∠=，当B 只有一个度数时，请你探索x 的取值范围. 【答案】（1）变式1: 40°；变式2: 90°或67.5°或45°；（2）90°≤＜180°或x=60° 【解析】 【分析】
(1)根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，分类讨论，即可得到答案；
(2)在等腰三角形ABC 中，当B 只有一个度数时，A ∠只能作为顶角时，或∠A=60°，进而可得到答案. 【详解】
变式1:∵等腰三角形ABC 中，∠A=100°， ∴∠A 为顶角，∠B 为底角， ∴∠B =
180100
2
-=40°； 变式2: ∵等腰三角形ABC 中，∠A= 45° ， ∴当AB=BC 时，∠B =90° ， 当AB=AC 时， ∠B =67.5° ， 当BC=AC 时 ∠B =45° ；
（2）等腰三角形ABC 中，设A x ∠=，
当90°≤x ＜180°，∠A 为顶角，此时，B 只有一个度数，
当x=60°时，三角形ABC 是等边三角形，此时，B 只有一个度数， 综上所述：90°≤x ＜180°或x=60° 【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质，分类讨论思想的应用，是解题的关键.
10．如图，在 ABC 中，已知 AB AC =，AD 是 BC 边上的中线，点 E 是 AB 边上一动点，点 P 是 AD 上的一个动点．
（1）若 37BAD ∠=，求 ACB ∠ 的度数；
（2）若 6BC =，4AD =，5AB =，且 CE AB ⊥ 时，求 CE 的长； （3）在（2）的条件下，请直接写出 BP EP + 的最小值． 【答案】（1）53ACB ∠=．（2）245CE =．（3）
24
5
. 【解析】 【分析】
（1）由已知得出三角形ABC 是等腰三角形，ACB ABC ∠∠=,AD 是BC 边的中线，有
AD BC ⊥，求出ABC ∠的度数，即可得出ACB ∠的度数.
（2）根据三角形ABC 的面积可得出CE 的长
（3）连接CP ，有BP=CP ，BP+EP=EP+CP ，当点E ，P ，C 在同一条直线上时BP+EP 有最小值，即CE 的长度. 【详解】
解：（1） AB AC =，
ACB ABC ∴∠=∠，
AD 是 BC 边上的中线，
90ADB ∴∠=，
37BAD ∠=，
903753ABC ∴∠=-=， 53ACB ∴∠=．
（2）
CE AB ⊥， 11
22
ABC S BC AD AB CE ∴=?=?，
6BC =，4=AD ，5AB =，
24
5CE ∴=．
（3） 24
5
【点睛】
本题考查的知识点主要有等腰三角形的“三线合一”，三角形的面积公式等，充分利用等腰三角形的“三线合一”是解题的关键.