北大2011年自主招生数学题——求实数根
2011年北京大学等13所大学自主招生数学试题解答
的二次 函数 表达式 ， 后实 现 ２个解题 目标． 最
解 法 ２ 设 等差 数列 ｛ 的公 差 为 ｄ， ３ 口｝ 则 一ａ 一
ａ ＋ ４ ＝ 一 １ ４４ ，解 得 ＝４ ０ 则 通 项 。 ｄ ３ －ｄ ＝ ＞ ， ＝
ａ 一 ａ ４ （ｚ ３ ｄ一 ４ 一 ２ ． ３ － ，一 ） ｎ ５
１ ．解 法 １ 思路 提示 ） 两次运 用余 弦定 理 ． （
解 法 ２ 设题设 的平行 四边 形 的另一 条对 角 线 的 长 度等 于 ｚ， 运用 结论 “ 则 平行 四边 形两 条对 角线 长 的 平 方等 于 四边长 的平 方 和” ｚ ４ ６ 一２ ３ ＋５ ） 解 得 － （ ，
６ ．设 Ｃ 和 ｃ 是 平 面上 两 个不 重 合 的 固定 圆周 ， 。 设 ｃ是该 平 面上 的一个 动 圆 ， 与 ｃ 它 和 Ｃ 均 相 切 ， 。 问 Ｃ的 圆心轨 迹是 何种 曲线 ？请 证 明你 的结论 ． ７ ．求 ｌ 一１ ＋ ｌｚ一 １ ＋ … ＋ １ １ ｚ １ 的最 小 ｚ Ｉ ２ ｌ ０１ 一 ２ ｌ
ｆ ｖ一 ２ — ２ ｘ２ ｘ一 】。
≤ ２ ｉ ｑ Ｂ一 ｓｎＡ －
Ｃ
一
．
解 法 ２ 联 立 方程 组
一 － ５￣ ＋ ２ ５２ ｚ＋ ３ ．
消去
￣ ２ｓｎ —８ ｉ １Ｏ
－ —
２ 。ｓ－Ⅲ ｃ Ｃ
一
得
同理得 ６ ２ —１ ． ｚ ＋７ ２ —０
詈
１ ．已知平 行 四边 形 的 两 边 长 分别 是 ３和 ５ 一 条 对 ， 角线 长是 ６ 求 另一 条对 角线 的长 度． ，
① ×５ ＋② ×２ ７ １ 得 ｙ 一一６ １ － ， ６ ＋７ １ ＝０ ｘ １ 即 ｌ —１ ． ４ 所 以， 两交 点 Ａ、 都 在直 线 ６ Ｂ ｚ＋７ 一 １ ０上 ， ． ｙ —
清华北大自主招生模拟试题(数学)
自主招生模拟试题--03一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)1.设A 是整数集的一个非空子集,对于A k ∈,如果A k ∉-1,且A k ∉+1,那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定}8,7,6,5,4,3,2,1{=S ,由S 的三个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合个数为【 】． A.5 B.6 C.7 D.82.若函数1463)(23+++=x x x x f ,且1)(=a f ,19)(=b f ,则=+b a 【 】． A.2- B.0 C.1 D.23.如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是【 】．A.12B.18C.24D.364.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为)12)(1(21)(++=n n n n f 吨,但如果年产量超过150吨,将会给环境造成危害．为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限的年数为【 】．A.5B.6C.7D.8 5.若ABC ∆的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列,则sin cot cos sin cot cos A C AB C B++的取值范围是【 】．A.(0,)+∞B.51(0,)2+ C.5151(,)22-+ D.51(,)2-+∞ 6.若设集合}10,,2,1{ =A ,则满足“每个子集至少有2个元素,且每个子集中任意两个元素之差的绝对值均大于1.”的A 的子集个数为【 】．A.55B.89C.109D.133 二、填空题(本大题共4小题,每小题3分,共12分) 7.函数424236131y x x x x x =--+--+的最大值为____________.8.若函数x x a y sin )3cos (2-=的最小值为3-,则实数a 的取值范围是____________.9.甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6 局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23,乙在每局中获胜的概率为13,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为____________.10.多面体上,位于同一条棱两端的顶点称为相邻的,如图,正方体的一个顶点A 在平面α内,其余顶点在α的同侧,正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到α的距离分别为1,2和4,P 是正方体的其余四个顶点中的一个,则P 到平面α的距离可能是:①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7以上结论正确的有______________.（写出所有正确结论的编号．．） 三、解答题(本大题共5小题,每小题14分,共70分)11.设b x ax x f ++=4)(2)0(<a ,方程0)(=x f 的两实根为21,x x ,方程x x f =)(的两实根为βα,. (1)若1||=-βα,求b a ,的关系式；(2)若b a ,均为负整数,且1||=-βα,求)(x f 的解析式； (3)若21<<<βα,求证:7)1)(1(21<++x x .12.已知正实数12,,n a a a …,的和为1,求证:222211212231112n n n n n a a a a a a a a a a a a --++++≥++++…. 13.设AB 是抛物线px y 22=)0(>p 的一条过焦点的弦,且AB 与x 轴不垂直,点P 是y 轴上异于坐标原点O 的一点,且满足B A P O ,,,四点共圆,设B A P ,,的纵坐标依次为210,,y y y ,求210y y y +的值.14.在直角坐标平面内,设x 轴,y 轴正方向上的单位向量分别是i ,j,该坐标平面内的点n A ,n B 满足以下两个条件:①1OA j = ,且1+n n A A ＝i ＋j ；②i OB 31=,且1+n n B B ＝2()33n i ⨯.(1)求n OA 及n OB 的坐标；(2)若四边形11++n n n n A B B A 的面积是n a ,求n a 的表达式；(3)是否存在正整数M ,对*N n ∈都有n a ＜M 成立？若存在,求M 的最小值；若不存在,说明理由． 15.设ABC ∆的内切圆半径为1,三边长a BC =,b CA =,c AB =.若a ,b ,c 都是整数,求证:ABC ∆为直角三角形.自主招生模拟试题答题纸ABCDA 1B 1C 1D 1第10题图α一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)题号 1 2 3 4 5 6 答案二、填空题(本大题共4小题,每小题3分,共12分)题号7 8 9 10 答案三、解答题(本大题共5小题,每小题14分,共70分)11.12.13.14.15.参考答案一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)1.设A 是整数集的一个非空子集,对于A k ∈,如果A k ∉-1,且A k ∉+1,那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定}8,7,6,5,4,3,2,1{=S ,由S 的三个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合个数为【 】． A.5 B.6 C.7 D.8解析:依题可知,由S 的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”,这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案:62.若函数1463)(23+++=x x x x f ,且1)(=a f ,19)(=b f ,则=+b a 【 】． A.2- B.0 C.1 D.2()()()()()()()()()()()()()()()()()()3323333222223223614=13110,3131101,1311019,11123613=06380365=0f x x x x x xg y y y g y f a a a f b b b g a g b g a a b a a a a b a ab b a b b b b a =+++++++=+=++++==++++=⇒++∴+⇒+=-⎧+++⎪⇒+-+++++=⎨++-⎪⎩- 法一：设，则为奇函数且为单调递增函数，且=-9,=9,=-9=g -b-1,法二：易得()()()22260,380,0.D ab b a b a b ++>++>∴+<选。
2011年清华自主招生数学试题和答案解析
2011年高水平大学自主招生选拔学业能力测试数学注意事项：1. 答卷前，考试务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设复数z 满足|z|<1且15|z+|2z=，则|z |=（ ） A 45 B 34 C 23 D 12解析：设|z |a bi =+代入15|z+|2z =整理得22221174a b a b ++=+，又|z |<1，所以2214a b +=，|z |=12=（2）在正四棱锥P-ABCD 中，M 、N 分别为PA 、PB 的中点，且侧面与底面所成二面角的正切.则异面直线DM 与AN 所成角的余弦值为（ ） A13 B 16 C 18 D 112解析：设2AB =,容易算出2PB =,以底面中心为原点建立空间坐标系，1111(1,1,0),(1,1,0),(,,(,,222222D A M N ------，由1cos 6|DM AN ||DM ||AN |θ⋅==⋅uuu u r uuu ruuuu r uuu r （3）过点(1,1)-的直线l 与曲线3221y x x x =--+相切，且(1,1)-不是切点，则直线l 的斜率是（ ）A 2B 1C 1-D 2-解析：32221(),()322y x x x f x f x x x '=--+==--，设切点(),()t f t ，()()()y f t f t x t '-=-，把(1,1)-代入且1t ≠-得到1t =，所以2k =-（4）若23A B π+=,则22cos cos A B +的最小值和最大值分别为（ ）A.312-， B.1322，C.11D.112， 解析：2222211cos cos cos cos ()1cos(2)323A B A A A ππ+=+-=++，选B （5）如图，1O e 和2O e 外切于点C ，1O e ，2O e 又都和O e 内切，切点分别为,A B . 设AOB ACB αβ∠=∠=，，则（ ） A cos sin02αβ+= B sin cos02αβ-=C sin 2sin 0βα+=D sin 2sin 0βα-= 解析：连接12O O 过点C ，设12CAO CBO ∠=∠∠=∠，，12O C O C 、，则+1+2=+21+22=βαπ∠∠∠∠,即2=βαπ-，只有D 是错的。
2012北大自主招生数学试题
2012北⼤⾃主招⽣数学试题2012北⼤⾃主招⽣数学试题(理科)1.求x 的取值范围,使得()21f x x x x =+++-是增函数.2.1的实数根的个数.3.已知22(2)(2)0x x m x x n -+-+=的4个根组成⾸项为14的等差数列,求m n -.4.已知锐⾓ABC ?的外接圆的圆⼼为O ,求O 到三⾓形三边的距离之⽐.5.已知点(2,0),(0,2)A B -,若点C 是圆2220x x y -+=上的动点,求ABC ?⾯积的最⼩值.6.在1,2,,2012中取⼀组数,使得任意两数之和不能被其差整除,最多能取多少个数？7.设点A 、B 、C 分别在边长为1的正三⾓形的三边上,求222AB BC CA ++的最⼩值.8.若关于x 的⽅程sin 4sin 2sin sin 3x x x x a -=在[0,)π有唯⼀解的a ,求实数a 的范围.9.求证:若圆内接五边形的每个⾓都相等,则它为正五边形.10.求证:对于任意的正整数n ,(1n 的形式,其中s N +∈.2012年清华等五校⾃主招⽣试题??通⽤基础测试数学⼀、选择题1.若P 为ABC ?内部任⼀点(不包括边界),且()(2)0PB PA PB PA PC -+-=,则ABC ?必为( )A.直⾓三⾓形B.等边三⾓形C.等腰直⾓三⾓形D.等腰三⾓形2.圆锥的轴截⾯SAB 是边长为2的等边三⾓形,O 为底⾯中⼼,M 为SO 的中点,动点P 在圆锥底⾯内(包括圆周).若MA MP ⊥,则P 点形成的轨迹的长度为( )C.3D.32 3.某种型号的计算器上有⼀个特殊的按键,在计算器上显⽰正整数n 时按下这个按键,会等可能的将其替换为0,1,2,,1n -中的任意⼀个数.如果初始时显⽰2011,反复按这个按键使得最终显⽰0,那么这个过程中,9,99,999都出现的概率是( ) A.4110 B.5110 C.6110 D.7110 4.已知,R αβ∈,直线1sin sin sin cos x y αβαβA.0B.1C.1-D.25.若正整数集合A k 的最⼩元素为1,最元素为2007,并且各元素可以从⼩到⼤排成⼀个公差为k 的等差数列,则并集1759A A 中的元素个数为A.119B.120C.151D.1546.三⾓式111cos 0cos1cos1cos 2cos88cos89+++化简为 A.cot1csc1 B.tan1csc1 C.cot1sec1 D.tan1sec17．设k<3,k≠0，则⼆次曲线2213x y k k -=-与22152x y +=必有 (A)不同的顶点；(B)不同的准线；(C)相同的焦点；(D)相同的离⼼率．8.若P 为椭圆221169x y +=l 在第⼀象限上的动点，过点P 引圆x 2＋y 2=9的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，则S MON ?的最⼩值为( )(A)92;(B)(C)274;(D) 9. 设x 1、x 2是实系数⼀元⼆次⽅程ax 2＋bx ＋c=0的根，若x 1是虚数，212x x 是实数,则 248200711111222221x x x x x S x x x x x =++++++ ? ? ? ?的值为A.0B.?1003C.1004D.?100410.函数f:R →R ，对任意的实数x 、y ，只要x+y≠0，就有f(xy)=()()f x f y x y++成⽴,则函数f(x)(x ∈R)的奇偶性为(A)⼀定是奇函数； (B)⼀定是偶函数; (C)既是奇函数，⼜是偶函数； (D)既不是奇函数，⼜不是偶函数．⼆、解答题11. 系统内有2k?1(k ∈N+)个元件，每个元件正常⼯作的概率为p(012.已知2n n x x f x x n =++++(*n N ∈),求证:当n 为偶数时,⽅程()0n f x =⽆解;当n 为奇数时,⽅程()0n f x =有唯⼀解n x ,且2n n x x +<. 13．已知锐⾓三⾓形ABC中，BE⊥AC于点E,CD⊥AB于点D，且BC=25，CE＝7,BD=15，若BE、CD交于点H，联结DE，以DE为直径作圆，该圆与AC交于另⼀点F，求AF的长度．14.已知有n(n≥2)位乒乓球选⼿，他们互相进⾏了若⼲场乒乓球双打⽐赛，并且发现任两名选⼿作为队友恰好只参加过⼀次⽐赛，试求n的所有可能值·15．已知动点P在y轴上投影为H,A(?2,0),B(2,O)，满⾜2AP BP PH.2||(1)求点P的轨迹⽅程C;(2)已知⼀条直线过点B，且与曲线C交于x轴下⽅两点C、D，M为CD中点，求M与点Q(0，?2)连线的斜率取值范围．2012年名牌⼤学⾃主招⽣考试试题(3)适⽤⾼校：北京理⼯⼤学、同济⼤学等⼗三校⼀、选择题1．正四⾯体的4个⽽上分别写若l,2,3,4,将4个这样的均匀正四⾯体投掷于桌⽽上，与桌⾯接触的4个⾯上的4个数的乘积被4整除的概率是( )(A)18 (B)964(C)116 (D)1316 2．设a>0,b ＞0，c ＞0，且a+b+c=1，则22a b c 的最⼤值为( )(A)613 (B)43123 (C)34123 (D)6123．已知F 1、F 2分别为双曲线22221x y a b-=的左、右焦点,P 为双曲线左⽀上的任意⼀点, 若221||||PF PF 的最⼩值为8a, 则双曲线的离⼼率的取值范围为( ) (A)(l ，+∞); (B)(0,3]； (C)(1,2]； (D)(1,3]4．如果关于x 的⽅程2x 2+3ax+a 2?a ＝0⾄少有⼀个根等于l 的根，那么实数a 的值( )(A)不存在；(B)有⼀个；(C)有三个；(D)有四个．5.5个顶点不共⾯的五边形叫空间五边形,空间五边形的5条边所在直线中,互相垂直的直线对⾄多有( )(A)5对; (B)6对; (C)7对; (D)8对.6．已知定义在实数集R 上的函数f(x),其值域也是R,井且时任意x 、y ∈R ．都有f[xf(y)]=xy,则|f(2007)等于( )(A)0; (B)1; (C)20072; (D)20077．若k 是正位数,且0242401020054010401040104010333C C C C +?+?++?能被2k 整除,则k 的最⼤值为( )(A)2004; (B)2005; (C)2006; (D)2008.8.已知⾮零向量AB 与AC 满⾜0||||AB AC BC AB AC ??+= ,且12||||AB AC AB AC =则ABC ?为( ) (A)三边均为不相等的三⾓形; (B)直⾓三⾓形; (C)等腰⾮等边三⾓形; (D)等边三⾓形.x 、y 、z 的⽅程组333(6),(6),(6),y x z y x z -=-=-=的实数解的组数有( )(A)有⼀组解； (B)有两组解; (C)有⽆穷多组解； (D)⽆法确定10．在欧⾮杯排球赛中，欧洲的参赛队伍⽐⾮洲的参赛队伍多9⽀,每两⽀球队赛⼀场，胜者得1分，败者得0分,若欧洲球队所得总分为⾮洲球队所得总分的9倍，则⾮洲球队的各⽀球队中得分的最⼤可能值是( )(A)8; (B)9; (C)10; (D)11.⼆、解答题11.在m(m≥2)个不同数的排列P 1 P 2 ?P m 中, 若1≤i(1)求a 4、a 5，并写出a n 的表达式；(2)令b n =11n n n n a a a a +++,求证：2n<12n b b b +++ <2n+3,n=1,2，…12.在ABC ?中，⾓A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c, 已知sinA ＋sinC=msinB(m ∈R)，且4(A?C)+4cosB+cos2B=1.(1)求证：b 2=4ac;(2)当m=54， b=1时,求a 、c 的值； (3)若⾓B 为最⼤内⾓(即B≥A 且B≥C)．求实数m 的取值范围.13．已知a、b为实数，i为虚数单位．且关于z的⼆次⽅程4z2+(2a+i)z?8b(9a+4)?2(a+2b)i=0⾄少有⼀个实根．求这个实根的最⼤值．14.双曲线C的渐近线⽅程为x±2y=0,点A(5,0)到双曲线C上动点P(1)求双曲线⽅程；(2)若过点B(1,0)的直线l交双曲线C上⽀⼀点M，下⽀⼀点N，且4MB=5BN,求直线l的⽅程．15．由抛物线x=y2＋2与点(3,1)处的法线及x轴、y轴所围成⼀个平⾯图形．(1)求此平⾯图形的⾯积；(2)求该平⾯图形绕x轴旋转所成旋转体的体积．2013年“北约”⾃主招⽣试题⼀、以⼆、在6×6的表中停放3辆完全相同的红⾊车和3辆完全相同的⿊⾊车，每⼀⾏、每⼀列都只有⼀辆车，每辆车占⼀格，共有多少种停放⽅法？三、已知x2=2y+5,y2=2x+5，求x3?2x2y2+y2的值。
北京大学自主招生数学试题及答案
南方球队总得分为 =189
北方球队总得分为 =21
南方球队内部比赛总得分 =105
北方球队内部比赛总得分 =15
北方胜南方得分=21-15=6
北方球队最高得分=5+6=11
因为11×15=165<189
所以南方球队中至少有一支得分超过11分．
冠军在南方球队中
当x=8时
所有球队总得分为 =300
4 排球单循坏赛 南方球队比北方球队多9支 南方球队总得分是北方球队的9倍 求证 冠军是一支南方球队（胜得1分 败得0分）
解：设北方球队共有x支，则南方球队有x+9支
所有球队总得分为
南方球队总得分为
北方球队总得分为
南方球队内部比赛总得分
北方球队内部比赛总得分
解得：
因为 为整数
x=6或x=8
当x=6时
南方球队总得分为 =270
北方球队总得分为 =30
南方球队内部比赛总得分 =136
北方球队内部比赛总得分 =28
北方胜南方得分=30-28=2
北方球队最高得分=7+2=9
因为9×17=153<270
所以南方球队中至少有一支得分超过9分．
冠军在南方球队中
综上所述，冠军是一支南方球队
5 （理科）O-XYZ坐标系内xoy平面系内 绕y轴旋转一周构成一个不透光立体 在点(1,0,1)设置一光源xoy平面内有一以原点为圆心的圆C被光照到的长度为2π，求C上未被照到的长度。
北京大学自主招生数学试题及答案
1 求证：边长为1的正五边形对角线长为
略解：三角形ABE∽三角形DAE，则：
2．已知六边形AC1BA1CB1中AC1=AB1,BC1=BA1,CA1=CB1,∠A+∠B+∠C=∠A1+∠B1+∠C1，
一道自主招生题的引申
・ １・ ３
解
取 ： ， ６ ． 得 ≤１ 取 ＝ Ｔ得 １，
一
（ 引理 的证 明可 用 和差化 积或 复数 的方 法 ， ） 略． 记 ）＝ ｃｓ ｏ ｏ ＋ｂｉｘ＋ｃｏ３ ， ｓ ｎ ｃｓｘ 由引理 １ 得 ，
若 ６＝０ 则 ｇ（ ）＝ 一ｔ＋１为 减 函 数 ， ， ｔ 而
ｇ１ （ ）＝０ 则 ６＝ ， ０也 满足要 求． 若 ｂ ０， ｇ ￡是 开 口向上 的二 次 函数 ， 称 ＞ 则 （） 对
轴为 ｔ ＝
＞． ｏ当
≥１ 即 ０＜ ≤了 ， ６ １时 ｇ （）
，
Байду номын сангаас
在 ［一１ １ 上为减 函数 ， ｇ １ ０ 这 样 的 ６也 满 ，］ 而 （ ）＝ ，
生考 试 中稳 操胜 券．
法 较 多 ， 解法 简 洁 易 懂 ， 考 生对 分 类 讨 论 思 想 此 但
一
道 自 主
●王 建伟
招 生 题 的 引 申
（－ 科技技术大学 安徽合肥 ２ｏ２ ） ｑ国 ３０ ６ （） ２ 取 ＝０ 得 ｔ＋ ≥ 一１ 若 口＋ｂ： 一１ 贝 ， ｚ ６ ． ，４
ｂｏ ｘ ｃｏ３． ｃｓ ＋ ｃｓｘ 已知对任 意实数 ， ２ 有
有 数 组 （ ｂ ｃ． ， ，）
） 一１ ≥
值 数 为ｎ）（， （一． 的 对 （６ 唯 ） ，＝ ）
恒成立 ， ０ ＋ 的最大值 ， 求 ＋ｂ ｃ 及取得最大值 的所
第 ６期
王建伟 ： 一道 自主招生题 的 引申
另 地 ，（一１ ２＋ ｂ ０ 故 ６ 一１ ４ ｇ ）＝ ２ ＞ ， ≥ ￣ ．
若 一１ ≤０ 则 ｇ（ ） 开 口 向下 的 二 次 函 ≤ｂ ， ￡是
2008-2011北京大学(北约)自主招生数学试题(全附答案)
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答案： 1、 不妨设角 ADC 为 a,那么角 ABC=π-a。 由余弦定理可得 AC=根号（9+16-24cosa)=根号(1+4+4cosa) 从而可解出 cosa=5/7.即有 sina=2(根号 6)/7. 代入 cosa=5/7,可得 AC=根号（55/7). 所以圆的半径就是 AC/2sina. 2、设 13=a1+md,25=a1+nd,41=a1+kd. 那么我们可得 a1+(m+499(k+m-2n))d=2009. 而实际上这道题是有漏洞的，因为 (m+499(k+m-2n))可能是负的，也就是当这是递减的等差数列的时候，那么 2009 就不在这个 数列中了。 3、 挺简单，设 a=tanx+（根 3）,b=cotx+(根号 3）,假设均为有理数。 那么由(a-（根号 3） ） （b-（根号 3） ）=1 可得（a+b）根号 3=ab+2.若 a+b 非零，除过来就矛盾了。 所以必有 a+b=0，此时 ab+2 也是 0. 显然与 a，b 是有理数矛盾。 4、b=0 的时候可知得有|a|≤1.,此时 a+b≤1.下面考虑 b 不等于 0 的情况。 代入+1 和-1 后得出的式子可以化成|a|≤b+1.....(1)（必有 b≥-1) 对称轴的位置是 x=-a/4b.当对称轴在[-1,1]外的时候 那么 1≤|-a/4b|≤(b+1)/4|b|. 分类讨论后就可以得出 b≤1/3.此时 a+b≤b+1+b≤5/3. 若对称轴在[-1,1]内，则可得 a^2≤8（b-b^2)......(2) 这里注意到(b+1)^2-8(b-b^2)=(3b-1)^2≥0.故只需要(2)式成立,就必有 (1)式也成立。此时用柯西不等式 (a+b-1/2)^2≤（a^2+8(b-1/2)^2)(1+1/8)≤9/4 那么就有了 a+b≤2.等号成立的充要条件是 a=4/3,b=2/3,易验证这是成立的. 比较三种情况，显然 2 是 a+b 的最大值， 5、设优秀有 a 人，及格 b 人，不及格 c 人。 则 a+b+c=333 ① 6a+4b+0c≤1000（这里都取各层次里的最少人，故用小于等于） 即 6a+4b≤1000 即 3a+2b≤500 由①得 2a+2b=666-2c 即 a+666-2c≤500 即 a+166≤2c 若 a≥167 则这 167 人至少共解出 167*6=1002 道题，矛盾 故 a≤166 故 a+166≤166+166≤2c 即 c≥166 所以 c≥166≥a 即不及格得人数大于等于优秀的人数
北大清华自主招生面试考题(完整版)
北大清华自主招生面试考题(完整版)北大清华自主招生面试考题(完整版)梧桐夜雨1.马克思在《资本论》中论述机器夺走了工人的饭碗时写道：“蒸汽机一开始就是人力的对头”。
请谈谈你的看法。
2.近期房产税、车船税、“馒头税”等均引发社会热议，请谈谈你对纳税与公民权利关系的理解。
3.哈佛大学图书馆墙上写有这样一句话：“请享受无法回避的痛苦”，谈谈你的理解。
4.假如用一种植物比喻中国人的国民性，你会选择什么？为什么？5.有人说：“智慧比体力更重要，成功的关键在于如何使用智慧”，请谈谈你的看法。
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8.“穷则独善其身，达则兼济天下”，在今天是否还适用？9.目前一些人富裕了但并没感到幸福，谈谈你的看法。
10.有人认为“三纲”(君臣、父子、夫妻)无益，“五常”(仁义礼智信)可取。
试述你的观点。
11.近来续写《红楼梦》又成为社会热点话题。
你认为后人可以续写、仿写、改写经典名著吗？12.古人云“诗画同源”，“诗是无形画，画是有形诗”。
请谈谈你的见解。
13.请从世界历史和国际政治的角度，分析“只有永远的利益，没有永远的朋友”这句话的含义。
14.今年是辛亥革命100周年，海峡两岸将共同举行隆重庆典。
你认为大陆和台湾看待辛亥革命的角度和意义会有什么不同？15.网络带来丰富的信息，但也存在着许多虚假报道和伪装成民意的倾向性意见，你认为政府如何才能从网络上获取真实的社情民意？16.日本政府最近称，由于中国的GDP已经超过日本，所以要大幅削减对华援助，你如何看待此事？17.在鲁迅的小说《祝福》中，“我”作为一个现代知识分子，为什么不告诉祥林嫂“人死后是没有灵魂的”？18.牛顿第一定律可以被实验验证吗？19.“火”被古人当成一种物质元素，今天我们如何认识“火”？20.诗曰：“我看青山多妩媚，料青山看我应如是”，说说你的理解。