2017年黑龙江省哈尔滨市南岗区中考数学一模试卷---副本

2017年黑龙江省哈尔滨市南岗区中考数学一模试卷一、选择题〔此题共10个小题，每题3分，共30分〕1．〔3分〕实数的相反数是〔〕A．﹣B．C．﹣D．2．〔3分〕以下计算中正确的选项是〔〕A．a+a2=2a2B．2a•a=2a2C．〔2a2〕2=2a4D．6a3﹣3a2=3a63．〔3分〕以下图形中，是轴对称图形的是〔〕A．B．C．D．4．〔3分〕如图，是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其俯视图是〔〕A．B．C．D．5．〔3分〕假设点A〔x1，1〕、B〔x2，2〕、C〔x3，﹣3〕在双曲线y=﹣上，则〔〕A．x1＞x2＞x3B．x1＞x3＞x2C．x3＞x2＞x1D．x3＞x1＞x26．〔3分〕如图，点O为坐标原点，点A的坐标为〔3，0〕，点B的坐标为〔0，4〕，⊙D过A，B，O三点，点C为上的一点〔不与O、A两点重合〕，连接OC，AC，则cosC的值为〔〕A．B．C．D．7．〔3分〕如图，已知AB∥CD∥EF，那么以下结论中正确的选项是〔〕A．=B．=C．=D．=8．〔3分〕如图，在⊙O中，CD是直径，点A，点B在⊙O上，连接OA、OB、AC、AB，假设∠AOB=40°，CD∥AB，则∠BAC的大小为〔〕A．30°B．35°C．40°D．70°9．〔3分〕如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为〔〕A． B．2 C．3 D．210．〔3分〕王老师从家门口骑车去单位上班，先走平路到达A地，再上坡到达B 地，最后下坡到达工作单位，所用的时间与路程的关系如下图．假设王老师下班时，还沿着这条路返回家中，回家途中经过平路、上坡、下坡的速度不变，那么王老师回家需要的时间是〔〕A．15分钟B．14分钟C．13分钟D．12分钟二、填空题〔每题3分，共计30分〕11．〔3分〕据媒体公布，我国国防科技大学研制的“天河二号”以每秒3386×1013次的浮点运算速度第五次蝉联冠军，已知3386×1013的结果近似为3430000，用科学记数法把近似数3430000表示成a×10n的形式，则n的值是．12．〔3分〕假设代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．13．〔3分〕计算﹣的结果是．14．〔3分〕把多项式ax2﹣2ax+a分解因式的结果是．15．〔3分〕一个质地均匀的小正方体，6个面分别标有数字1，1，2，1，5，5，假设随机投掷一次小正方体，则朝上一面的数字是1的概率为．16．〔3分〕二次函数y=x2﹣bx+c的图象上有两点A〔3，﹣8〕，B〔﹣5，﹣8〕，则此抛物线的对称轴是直线x=．17．〔3分〕某商场有一款春季大衣，如果打八折出售，每件可盈利200元，如果打七折出售，每件还可以盈利50元，那么这款大衣每件的标价是元．18．〔3分〕如图，AB切⊙O于点B，OA=2，∠OAB=30°，弦BC∥OA，劣弧的弧长为．〔结果保留π〕19．〔3分〕假设一个等腰三角形的两条边的边长之比3：2，则这个等腰三角形底角的正切值为．20．〔3分〕如图，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=30°，点D是BC上一点，连接AD，过点A作AG⊥AD，点F在线段AG上，延长DA至点E，使AE=AF，连接EG，CG，DF，假设EG=DF，点G在AC的垂直平分线上，则的值为．三、解答题21．〔7分〕先化简，再求代数式〔+x﹣1〕÷的值，其中x=tan30°．22．〔7分〕在8×8的正方形网格中，有一个Rt△AOB，点O是直角顶点，点O、A、B分别在网格中小正方形的顶点上，请按照下面要求在所给的网格中画图．〔1〕在图1中，将△AOB先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到△A1O1B1，画出平移后的△A1O1B1；〔其中点A、O、B的对应点分别为点A1，O1，B1〕〔2〕在图2中，△AOB与△A2O2B2是关于点P对称的图形，画出△A2O2B2，连接BA2，并直接写出tan∠A2BO的值．〔其中A，O，B的对应点分别为点A2，O2，B2〕23．〔8分〕某校团委要组织班级歌咏比赛，为了确定一首喜欢人数最多的歌曲作为每班必唱歌曲，团委提供了代号为A，B，C，D四首备选曲目让学生选择〔每个学生只选课一首〕，经过抽样调查后，将采集的数据绘制如下两幅不完整的统计图，请根据图1，图2所提供的信息，解答以下问题：〔1〕在抽样调查中，求选择曲目代号为A的学生人数占抽样总人数的百分比；〔2〕请将图2补充完整；〔3〕假设该校共有1530名学生，根据抽样调查的结果，估计全校选择曲目代号为D的学生有多少名？24．〔8分〕如图1，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，经过点O的直线与边AB相交于点E，与边CD相交于点F．〔1〕求证：OE=OF；〔2〕如图2，连接DE，BF，当DE⊥AB时，在不添加其他辅助线的情况下，直接写出腰长等于BD的所有的等腰三角形．25．〔10分〕为了响应“足球进校园”的号召，某体育用品商店计划购进一批足球，第一次用6000元购进A品牌足球m个，第二次又用6000元购进B品牌足球，购进的B品牌足球的数量比购进的A品牌足球多30个，并且每个A品牌足球的进价是每个B品牌足球的进价的．〔1〕求m的值；〔2〕假设这两次购进的A，B两种品牌的足球分别按照a元/个，a元/个两种价格销售，全部销售完毕后，可获得的利润不低于4800元，求出a的最小值．26．〔10分〕如图1，已知AB为⊙O的直径，点C为的中点，点D在上，连接BD、CD、BC、AD、BC与AD相交于点E．〔1〕求证：∠C+∠CBD=∠CBA；〔2〕如图2，过点C作CD的垂线，分别与AD，AB，⊙O相交于点F、G、H，求证：AF=BD；〔3〕如图3，在〔2〕的条件下，连接BF，假设BF=BC，△CEF的面积等于3，求FG的长．27．〔10分〕如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴相交于点A，B〔4，0〕，与y轴相交于点C，直线y=﹣x+3经过点C，与x轴相交于点D．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕点P为第一象限抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点E，PE与线段CD相交于点G，过点G作y轴的垂线，垂足为点F，连接EF，过点G作EF 的垂线，与y轴相交于点M，连接ME，MD，设△MDE的面积为S，点P的横坐标为t，求S与t的函数关系式；〔3〕在〔2〕的条件下，过点B作直线GM的垂线，垂足为点K，假设BK=OD，求：t值及点P到抛物线对称轴的距离．2017年黑龙江省哈尔滨市南岗区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题〔此题共10个小题，每题3分，共30分〕1．〔3分〕〔2017•南岗区一模〕实数的相反数是〔〕A．﹣B．C．﹣D．【分析】根据相反数的定义，可得答案．【解答】解：的相反数是﹣，故选：C．【点评】此题考查了实数的性质，在一个数的前面加上符号就是这个数的相反数．2．〔3分〕〔2017•南岗区一模〕以下计算中正确的选项是〔〕A．a+a2=2a2B．2a•a=2a2C．〔2a2〕2=2a4D．6a3﹣3a2=3a6【分析】根据合并同类项，单项式的乘法，积的乘方，可得答案．【解答】解：A、不是同类项不能合并，故A不符合题意；B、系数乘系数，同底数的幂相乘，故B符合题意；C、积的乘方等于乘方的积，故C不符合题意；D、不是同类项不能合并，故D不符合题意；故选：B．【点评】此题考查了单项式的乘法、合并同类项，积的乘方，熟练运用法则计算是解题关键．3．〔3分〕〔2017•南岗区一模〕以下图形中，是轴对称图形的是〔〕A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，故本选项符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选B．【点评】此题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．4．〔3分〕〔2017•南岗区一模〕如图，是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其俯视图是〔〕A．B．C．D．【分析】找出从几何体的上面看所得到的图形即可．【解答】解：俯视图是矩形中间有一个圆，圆与两个长相切，故选：D．【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象．5．〔3分〕〔2017•南岗区一模〕假设点A〔x1，1〕、B〔x2，2〕、C〔x3，﹣3〕在双曲线y=﹣上，则〔〕A．x1＞x2＞x3B．x1＞x3＞x2C．x3＞x2＞x1D．x3＞x1＞x2【分析】把点的坐标分别代入函数解析式，可求得x1、x2、x3的值，可求得答案．【解答】解：∵点A〔x1，1〕、B〔x2，2〕、C〔x3，﹣3〕在双曲线y=﹣上，∴1=﹣，2=﹣，﹣3=﹣，解得点x1=﹣1，x2=﹣，x3=，∴x3＞x2＞x1，故选C．【点评】此题主要考查函数图象上的点与函数的关系，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．6．〔3分〕〔2017•南岗区一模〕如图，点O为坐标原点，点A的坐标为〔3，0〕，点B的坐标为〔0，4〕，⊙D过A，B，O三点，点C为上的一点〔不与O、A 两点重合〕，连接OC，AC，则cosC的值为〔〕A．B．C．D．【分析】直接利用圆周角定理结合勾股定理得出AB的长，进而求出答案．【解答】解：连接AB，∵点A的坐标为〔3，0〕，点B的坐标为〔0，4〕，∴AO=3，BO=4，∴AB=5，∵∠C=∠OBA，∴cosC的值为：cos∠OBA==．故选：D．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及解直角三角形，正确作出辅助线是解题关键．7．〔3分〕〔2017•南岗区一模〕如图，已知AB∥CD∥EF，那么以下结论中正确的选项是〔〕A．=B．=C．=D．=【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴=，A错误；=，B错误；=，∴=，C正确；=，D错误，故选：C．【点评】此题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．8．〔3分〕〔2017•南岗区一模〕如图，在⊙O中，CD是直径，点A，点B在⊙O 上，连接OA、OB、AC、AB，假设∠AOB=40°，CD∥AB，则∠BAC的大小为〔〕A．30°B．35°C．40°D．70°【分析】在等腰△OAB中利用等边对等角求得∠OBA的度数，然后根据平行线的性质可得∠COB=∠OBA，最后利用圆周角定理即可求解．【解答】解：∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA===70°，又∵CD∥AB，∴∠COB=∠OBA=70°，∴∠BAC=∠COB=35°．故选B．【点评】此题考查了元周角定理以及等腰三角形的性质定理，求得∠COB的度数是关键．9．〔3分〕〔2016•宜宾〕如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC 绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为〔〕A． B．2 C．3 D．2【分析】通过勾股定理计算出AB长度，利用旋转性质求出各对应线段长度，利用勾股定理求出B、D两点间的距离．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D 处，∴AE=4，DE=3，∴BE=1，在Rt△BED中，BD==．故选：A．【点评】题目考查勾股定理和旋转的基本性质，解决此类问题的关键是掌握旋转的基本性质，特别是线段之间的关系．题目整体较为简单，适合随堂训练．10．〔3分〕〔2017•南岗区一模〕王老师从家门口骑车去单位上班，先走平路到达A地，再上坡到达B地，最后下坡到达工作单位，所用的时间与路程的关系如下图．假设王老师下班时，还沿着这条路返回家中，回家途中经过平路、上坡、下坡的速度不变，那么王老师回家需要的时间是〔〕A．15分钟B．14分钟C．13分钟D．12分钟【分析】依据图象分别求出平路、上坡路和下坡路的速度，然后根据路程，求出时间即可．【解答】解：先算出平路、上坡路和下坡路的速度分别为、和〔千米/分〕，所以他从单位到家门口需要的时间是2÷+1÷+1÷=15〔分钟〕．故选：A．【点评】此题考查了一次函数的应用，通过考查一次函数的应用来考查从图象上获取信息的能力．二、填空题〔每题3分，共计30分〕11．〔3分〕〔2017•南岗区一模〕据媒体公布，我国国防科技大学研制的“天河二号”以每秒3386×1013次的浮点运算速度第五次蝉联冠军，已知3386×1013的结果近似为3430000，用科学记数法把近似数3430000表示成a×10n的形式，则n的值是6．【分析】直接利用科学记数法的表示方法分析得出n的值．【解答】×106，则n=6．故答案为：6．【点评】此题主要考查了科学记数法的表示，正确理解n的意义是解题关键．12．〔3分〕〔2017•南岗区一模〕假设代数式在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是x≠3．【分析】先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：由题意得x﹣3≠0，解得x≠3，故答案为：x≠3．【点评】此题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．13．〔3分〕〔2017•南岗区一模〕计算﹣的结果是2．【分析】原式各项化简后，合并即可得到结果．【解答】解：原式=3﹣=2，故答案为：2【点评】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握最简二次根式及合并同类二次根式的定义是解此题的关键．14．〔3分〕〔2017•南岗区一模〕把多项式ax2﹣2ax+a分解因式的结果是a〔x ﹣1〕2．【分析】原式提取a，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式=a〔x2﹣2x+1〕=a〔x﹣1〕2．故答案为：a〔x﹣1〕2【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解此题的关键．15．〔3分〕〔2017•南岗区一模〕一个质地均匀的小正方体，6个面分别标有数字1，1，2，1，5，5，假设随机投掷一次小正方体，则朝上一面的数字是1的概率为．【分析】由一个质地均匀的小正方体，6个面分别标有数字1，1，2，1，5，5，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵一个质地均匀的小正方体，6个面分别标有数字1，1，2，1，5，5，∴随机投掷一次小正方体，则朝上一面的数字是1的概率为：=．故答案为：．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16．〔3分〕〔2017•南岗区一模〕二次函数y=x2﹣bx+c的图象上有两点A〔3，﹣8〕，B〔﹣5，﹣8〕，则此抛物线的对称轴是直线x=﹣1．【分析】由于两点的纵坐标相等，故对称轴是两点横坐标之和的一半【解答】解：∵函数y=x2﹣bx+c的图象上有两点A〔3，﹣8〕，B〔﹣5，﹣8〕，且两点的纵坐标相等，∴A、B是关于抛物线的对称轴对称，∴对称轴为：x==﹣1，故答案为：﹣1【点评】此题考查二次函数的性质，解题的关键是正确理解对称点的特征，此题属于基础题型．17．〔3分〕〔2017•南岗区一模〕某商场有一款春季大衣，如果打八折出售，每件可盈利200元，如果打七折出售，每件还可以盈利50元，那么这款大衣每件的标价是1500元．【分析】设这款大衣每件的标价是x元，根据成本=售价﹣利润即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设这款大衣每件的标价是x元，根据题意得：0.8x﹣200=0.7x﹣50，解得：x=1500．故答案为：1500．【点评】此题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系成本=售价﹣利润列出关于x的一元一次方程是解题的关键．18．〔3分〕〔2013•苏州〕如图，AB切⊙O于点B，OA=2，∠OAB=30°，弦BC∥OA，劣弧的弧长为π．〔结果保留π〕【分析】连接OB，OC，由AB为圆的切线，利用切线的性质得到三角形AOB为直角三角形，根据30度所对的直角边等于斜边的一半，由OA求出OB的长，且∠AOB为60度，再由BC与OA平行，利用两直线平行内错角相等得到∠OBC为60度，又OB=OC，得到三角形BOC为等边三角形，确定出∠BOC为60度，利用弧长公式即可求出劣弧BC的长．【解答】解：连接OB，OC，∵AB为圆O的切线，∴∠ABO=90°，在Rt△ABO中，OA=2，∠OAB=30°，∴OB=1，∠AOB=60°，∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=60°，又OB=OC，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC=60°，则劣弧长为=π．故答案为：π【点评】此题考查了切线的性质，含30度直角三角形的性质，以及弧长公式，熟练掌握切线的性质是解此题的关键．19．〔3分〕〔2017•南岗区一模〕假设一个等腰三角形的两条边的边长之比3：2，则这个等腰三角形底角的正切值为2或．【分析】作AD⊥BC于点D，则BD=CD=BC，分①AB：BC=3：2和②AB：BC=2：3两种情况分别依据等腰三角形性质和勾股定理及正切函数的定义求解可得．【解答】解：如图，作AD⊥BC于点D，则BD=CD=BC，①假设AB：BC=3：2，设AB=3x，则BC=2x，∴BD=x，∴AD===2x，则tanB===2；②假设AB：BC=2：3，设AB=2x，则BC=3x，∴BD=x，∴AD===x，则tanB===，故答案为：2或．【点评】此题主要考查解直角三角形、等腰三角形的性质、勾股定理及三角函数的定义，熟练掌握等腰三角形的性质并据此分类讨论是解题的关键．20．〔3分〕〔2017•南岗区一模〕如图，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=30°，点D 是BC上一点，连接AD，过点A作AG⊥AD，点F在线段AG上，延长DA至点E，使AE=AF，连接EG，CG，DF，假设EG=DF，点G在AC的垂直平分线上，则的值为．【分析】过点A作AH⊥BC于点H，过点G作GK⊥BC于K，过点A作AL⊥GK 于点L，取AC中点M，连接GM．首先证明Rt△ADF≌Rt△AGE，△ADH≌△AGL ≌△AGM，推出∠DAH=∠GAM=∠GAL=∠ACG=15°，设AH=a，则CD=AC=2a，CH=a，分别用a表示AB、CG即可解决问题．【解答】解：过点A作AH⊥BC于点H，过点G作GK⊥BC于K，过点A作AL⊥GK于点L，取AC中点M，连接GM．∵AG⊥DE，∴∠DAF=∠EAG=90°在Rt△ADF和Rt△AGE中，，∴Rt△ADF≌Rt△AGE，∴AD=AG，∵∠AHK=∠ALK=∠LKH=90°，∴四边形AHKL是矩形，∴∠DAG=∠HAL=90°，∴∠DAH=∠GAL，∵∠AHD=∠ALG=90°，∴△ADH≌△AGL，∴AH=AL，在Rt△ACH中，∵∠ACH=30°，∴AH=AL=AC=AM，∵AG=AG，∠ALG=∠AMG=90°，∴Rt△AGM≌Rt△AGL，∴∠GAL=∠GAM，∵AL∥BC，∴∠CAL=∠ACH=30°，∴∠GAL=∠GAM=15°，∴∠DAH=∠GAL=15°，∴∠CAD=∠CDA=75°，∴AC=AD，设AH=a，则CD=AC=2a，CH=a，∴LG=DH=CD﹣CH=2a﹣a，∴GK=LK﹣LG=〔﹣1〕a，∵GA=GC，∴∠GAC=∠GCA=15°，∴∠GCK=45°，∴CG=KG=〔﹣〕a，∵AB=AH=a，∴==．故答案为．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、勾股定理、30度角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质的等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．三、解答题21．〔7分〕〔2017•南岗区一模〕先化简，再求代数式〔+x﹣1〕÷的值，其中x=tan30°．【分析】首先把括号内的分式通分相加，把除法转化为乘法，计算乘法即可化简，然后化简x的值，代入求解即可．【解答】解：原式=[+x﹣1]÷=•===．当x=tan30°=时，原式==1﹣．【点评】此题考查了分式的化简求值，正确对所求的分式进行通分、约分是关键．22．〔7分〕〔2017•南岗区一模〕在8×8的正方形网格中，有一个Rt△AOB，点O是直角顶点，点O、A、B分别在网格中小正方形的顶点上，请按照下面要求在所给的网格中画图．〔1〕在图1中，将△AOB先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到△A1O1B1，画出平移后的△A1O1B1；〔其中点A、O、B的对应点分别为点A1，O1，B1〕〔2〕在图2中，△AOB与△A2O2B2是关于点P对称的图形，画出△A2O2B2，连接BA2，并直接写出tan∠A2BO的值．〔其中A，O，B的对应点分别为点A2，O2，B2〕【分析】〔1〕利用网格特点和平移的性质，画出点A、O、B的对应点A1，O1，B1，从而得到△A1O1B1；〔2〕利用网格特点和旋转的性质，画出点A，O，B的对应点A2，O2，B2，从而得到△A2O2B2，然后根据正切的定义求tan∠A2BO的值．【解答】解：〔1〕如图1，△A1O1B1为所作；〔2〕如图2，△A2O2B2为所作，tan∠A2BO=．【点评】此题考查了作图﹣平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．23．〔8分〕〔2017•南岗区一模〕某校团委要组织班级歌咏比赛，为了确定一首喜欢人数最多的歌曲作为每班必唱歌曲，团委提供了代号为A，B，C，D四首备选曲目让学生选择〔每个学生只选课一首〕，经过抽样调查后，将采集的数据绘制如下两幅不完整的统计图，请根据图1，图2所提供的信息，解答以下问题：〔1〕在抽样调查中，求选择曲目代号为A的学生人数占抽样总人数的百分比；〔2〕请将图2补充完整；〔3〕假设该校共有1530名学生，根据抽样调查的结果，估计全校选择曲目代号为D的学生有多少名？【分析】〔1〕根据B的人数及其圆心角占周角的比例可以求得选择曲目代号为A 的学生占抽样总数的百分比；〔2〕根据各项人数之和等于总数可以求得选择C的人数，从而可以将图2补充完整；〔3〕根据D项目人数占总人数的比例可以估计全校选择曲目代号为D的人数．【解答】解：〔1〕由题意可得，本次抽样调查中，总人数为30÷=180人，选择曲目代号为A的学生占抽样总数的百分比为：36÷180×100%=20%．〔2〕由题意可得，选择C的人数有：180﹣36﹣30﹣44=70〔人〕，故补全的图2如以下图所示，〔3〕由题意可得，全校选择此必唱歌曲共有：1530×=374人〕，答：估计全校选择曲目代号为D的学生有374名．【点评】此题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．24．〔8分〕〔2017•南岗区一模〕如图1，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，经过点O的直线与边AB相交于点E，与边CD相交于点F．〔1〕求证：OE=OF；〔2〕如图2，连接DE，BF，当DE⊥AB时，在不添加其他辅助线的情况下，直接写出腰长等于BD的所有的等腰三角形．【分析】〔1〕由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，AB∥CD，则可证得△AOE≌△COF〔ASA〕，继而证得OE=OF；〔2〕证明四边形DEBF是矩形，由矩形的性质和等腰三角形的性质即可得出结论．【解答】〔1〕证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AB∥CD，OB=OD，∴∠OAE=∠OCF，在△OAE和△OCF中，，∴△AOE≌△COF〔ASA〕，∴OE=OF；〔2〕解：∵OE=OF，OB=OD，∴四边形DEBF是平行四边形，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形DEBF是矩形，∴BD=EF，∴OD=OB=OE=OF=BD，∴腰长等于BD的所有的等腰三角形为△DOF，△FOB，△EOB，△DOE．【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．25．〔10分〕〔2017•南岗区一模〕为了响应“足球进校园”的号召，某体育用品商店计划购进一批足球，第一次用6000元购进A品牌足球m个，第二次又用6000元购进B品牌足球，购进的B品牌足球的数量比购进的A品牌足球多30个，并且每个A品牌足球的进价是每个B品牌足球的进价的．〔1〕求m的值；〔2〕假设这两次购进的A，B两种品牌的足球分别按照a元/个，a元/个两种价格销售，全部销售完毕后，可获得的利润不低于4800元，求出a的最小值．【分析】〔1〕设购进A品牌足球m个，根据购进的B品牌足球的数量比购进的A品牌足球多30个，列方程求解；〔2〕根据获得的利润不低于4800元，列不等式求解．【解答】解：〔1〕设购进A品牌足球m个，根据题意可得：，解得：m=120，经检验m=120是原方程的解，所以m的值是120；〔2〕由〔1〕可得：B品牌足球的个数为150个，元/个，=40元/个，A品牌足球和B品牌足球的进价分别为50元/个和40元/个，120a+150×，解得：a≥70，答：a的最小值为70．【点评】此题考查了分式方程的应用，解答此题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．26．〔10分〕〔2017•南岗区一模〕如图1，已知AB为⊙O的直径，点C为的中点，点D在上，连接BD、CD、BC、AD、BC与AD相交于点E．〔1〕求证：∠C+∠CBD=∠CBA；〔2〕如图2，过点C作CD的垂线，分别与AD，AB，⊙O相交于点F、G、H，求证：AF=BD；〔3〕如图3，在〔2〕的条件下，连接BF，假设BF=BC，△CEF的面积等于3，求FG的长．【分析】〔1〕连接AC．由=，推出∠CBA=∠CAB=∠CAD+∠DAB，由=，=，推出∠DCB=∠DAB，∠CBD=∠CAD，推出∠DCB+∠CBD=∠CAD+∠DAB=∠CAB=∠CBA．〔2〕只要证明△ACF△BCD，即可推出AF=BD．〔3〕由△ACK≌△CNM，推出AK=CM，由△ACF≌△BCD，推出CF=CD，△AFK 是等腰直角三角形，推出AK=FK=FM=CM，在Rt△AKC中，tan∠CAK==3，作EN⊥CH于N，在Rt△NCE中，由∠HCB=∠CAK，推出tan∠NCE==3，设CN=m，EN=3m=NF，由S△CEF=•CF•EN=×〔m+3m〕×3m，推出m=，推出CF=4m=2，推出CM=FM=FK=AK=，AF=2，由=，推出∠DCB=∠DAB=∠ACK，过G作GQ⊥AF于Q，在Rt△AQG中，tan∠FAB==，设QG=x，AQ=3x，FQ=x，可得4x=2，得x=，再根据FG=QG即可解决问题．【解答】〔1〕证明：连接AC，在⊙O中，∵C为的中点，∴=，∴∠CBA=∠CAB=∠CAD+∠DAB，∵=，=，∴∠DCB=∠DAB，∠CBD=∠CAD，∴∠DCB+∠CBD=∠CAD+∠DAB=∠CAB=∠CBA．〔2〕证明：连接AC．∵AB是直径，∴∠ACB=90°=∠ACF+∠FCB，∵CD⊥CH，∴∠DCH=90°=∠FCB+∠DCB，∴∠ACF=∠DCB，∵=，∴AC=BC，在△ACF和△BCD中，，∴△ACF≌△BCD，∴AF=BD．〔3〕解：作BM⊥CH于M，AK⊥CH于K．∴∠ACK+∠CAK=90°，∠AKC=∠BMC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACK+∠KCB=90°，∴∠CAK=∠KCB，∵AC=BC，∴△ACK≌△CNM，∴AK=CM，∵CB=BF，BM⊥CF，∴CM=FM=AK，∵△ACF≌△BCD，∴CF=CD，∵∠FCD=90°，∴∠CFD=∠CDF=45°=∠AFK，∴△AFK是等腰直角三角形，∴AK=FK=FM=CM，在Rt△AKC中，tan∠CAK==3，作EN⊥CH于N，在Rt△NCE中，∵∠HCB=∠CAK，∴tan∠NCE==3，设CN=m，EN=3m=NF，∴S=•CF•EN=×〔m+3m〕×3m=3，△CEF∴m=，∴CF=4m=2，∴CM=FM=FK=AK=，∴AF=2，∵=，∴∠DCB=∠DAB=∠ACK，过G作GQ⊥AF于Q，在Rt△AQG中，tan∠FAB==，设QG=x，AQ=3x，FQ=x，∴4x=2，∴x=，∴FG=x=．【点评】此题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题．27．〔10分〕〔2017•南岗区一模〕如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴相交于点A，B〔4，0〕，与y轴相交于点C，直线y=﹣x+3经过点C，与x轴相交于点D．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕点P为第一象限抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点E，PE与线段CD相交于点G，过点G作y轴的垂线，垂足为点F，连接EF，过点G作EF 的垂线，与y轴相交于点M，连接ME，MD，设△MDE的面积为S，点P的横坐标为t，求S与t的函数关系式；〔3〕在〔2〕的条件下，过点B作直线GM的垂线，垂足为点K，假设BK=OD，求：t值及点P到抛物线对称轴的距离．【分析】〔1〕求出点C坐标，利用待定系数法转化为方程组解决问题．〔2〕分两种情形①当0＜t＜时，P〔t，﹣t+t+3〕，②当＜t＜3时，分别求出OM的长即可解决问题．〔3〕如图2中，过点C作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线，两直线交于点Q，延长MK与CQ交于点N，延长KM与x轴交于点Z，Rt△KBN≌Rt△QBN，推出∠KNB=∠QNB，由NQ∥OB，推出∠QNB=∠NBO=∠KNB，推出ZN=ZB，设EG交CQ于H，由△HNG≌△FGE，推出CH=OE=t=GH，HN=GE=3﹣t，推出CN=3﹣t+3=3，推出NQ=BD=1=NK，设ZK=m，则ZB=ZN=m+1，在Rt△KZB中，〔m+1〕2=m2+32，推出m=4，推出ZB=5，于tan∠GZB=，tan∠GEF=，可得=，求出t即可解决问题．【解答】解：〔1〕对于直线y=﹣x+3，令x=0得y=3，∴C〔0，3〕，把B〔4，0〕，C〔0，3〕的坐标代入y=﹣x2+bx+c得，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+3．〔2〕如图1中，当0＜t＜时，P〔t，﹣t+t+3〕，∵FG⊥OC，GE⊥OD，CO⊥OD，∴四边形FOGE是矩形，∴OE=FG=t，GE=GD=3﹣t，∵MG⊥FE，FG⊥GE，∴∠GEF+∠GFE=90°，∠GFE+∠FGM=90°，∴∠GEF=∠FGM，在Rt△FGE中，tan∠FEG==，∴在Rt△FGM中，tan∠FGM==，∴FM=，∴OM=FO﹣FM=〔3﹣t〕﹣=，∴S=•DE•OM=×〔3﹣t〕×=，当＜t＜3时，S=•DE•OM=•DE•〔FM﹣OF〕=．综上所述，S=．〔3〕如图2中，过点C作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线，两直线交于点Q，延长MK与CQ交于点N，延长KM与x轴交于点Z，∵CQ∥BO，BQ∥CO，∴四边形COBQ是平行四边形，∵∠COB=90°，∴四边形COBQ是矩形，∴∠CQB=90°=∠BKN，CO=BQ=3，对于直线y=﹣x+3，令y=0得x=3，∴D〔0，3〕，∴OD=OC=BQ=3，∵BK=OD，∴BK=BQ，∵BN=BN，∴Rt△KBN≌Rt△QBN，∴∠KNB=∠QNB，∵NQ∥OB，∴∠QNB=∠NBO=∠KNB，∴ZN=ZB，设EG交CQ于H，∵OC=OB，∴∠OCD=∠ODC，∵CQ∥OB，∴∠QHG=∠HEO=90°，∠HCD=∠CDO，∴∠OCD=∠HCD，∵GF⊥OC，GH⊥CH，∴GH=GF，∵GM⊥EF，GH⊥HN，∴∠GEM+∠MGE=90°，∠HGN+∠HNG=90°，∵∠HGN=∠MGE，∴∠GEM=∠HNG，∵∠GFO=∠FOE=∠OEG=90°，∴∠GEF=90°=∠GHN，∴△HNG≌△FGE，∴CH=OE=t=GH，HN=GE=3﹣t，∴CN=3﹣t+3=3，∴NQ=BD=1=NK，设ZK=m，则ZB=ZN=m+1，在Rt△KZB中，〔m+1〕2=m2+32，∴m=4，∴ZB=5，∴tan∠GZB=，tan∠GEF=，∴=，∴t=，∵抛物线的对称轴x=，∴点P到抛物线的对称轴的距离为﹣=．【点评】此题考查二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法、矩形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会圆分类讨论的思考思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用方程的思想解决问题，属于中考压轴题．参与本试卷答题和审题的老师有：2300680618；星期八；sd2011；Ldt；知足长乐；CJX；冀承真；王学峰；张其铎；sks；zcx；神龙杉；曹先生；三界无我；弯弯的小河；zhjh；gsls；家有儿女；1987483819〔排名不分先后〕菁优网2017年4月30日。