§3齐次线性方程组解的结构
4.3_齐次线性方程组解的结构
1 ,2 ,,t 称为齐次线性方程组Ax 0的 基础解系,
如果
11 ,2 ,,t是Ax 0的一组解;
21 ,2 ,,t是线性无关的;
即
3 Ax 0的任一解都可由 1 ,2 ,,t 线性表出.
X k11 k22 ktt (＊)
例1(1)
x1 x 2 x 3 x 4 0, 2 x1 5 x 2 3 x 3 2 x 4 0, 7x 7x 3x x 0 1 2 3 4 的基础解系与通解.
解 对系数矩阵 A作初等行变换，变为行标准形，有
求齐次线性方程组
1 1 1 1 A 2 5 3 2 7 7 3 1
1 3 解： A 2 1
3 1 10 初等行变换 0 0 7 4 0
1 0 0 0
0 0 1 0 0 1 0 0
0 0 1 0
r A 3 n,
所以只有零解。
2 3 7 7 5 4 即得基础解系 , , 1 2 7 7 1 0 0 1
2 3 x1 7 7 对应有 及 , x2 5 4 7 7
四、思考与练习
思考题:
设B是一个三阶非零矩阵， 它的每一列是 齐次线性方程组 x1 2 x2 2 x3 0 2 x1 2 x2 x3 0 3 x x x 0 1 2 3 的解, 求的值和 B
解:
B 0, B的列向量是齐次方程组 的解， 则该方程组有非零解。 所以该方程组
并由此得到通解 2 3 7 7 x1 x2 C 5 C 4 ,(C , C R ). 1 2 x3 7 7 1 2 1 0 x4 0 1
齐次线性方程组解的结构(精)
齐次线性方程组解的结构
在学习齐次线性方程组解的结构之前，我们先来学习一下概念：向量空间.
线性方程组的向量表示
设有齐次线性方程组，记：
,，
则方程组可写成向量形式： Ax=0.
若为此方程组的解，则称为该方程组的解向量.
定义：若S为此线性方程组的全体解向量的集合，可以证明有：
（1）若，则；（2）若，则.
所以集合S是一个向量空间，我们称S为该齐次线性方程组的解空间.
对于齐次线性方程组，其向量方程形式为：Ax=0，
它的解向量可用通式表示为：
=1，
，(其右端的都是解向量：若取k
1
其余的k为0，即可看出ξ
为解向量，...。
)
1
故我们可以说，Ax=0的解向量为某n-r个线性无关的解向量的线性组合。
（注：
对此我们不加证明）
定义：齐次线性方程组的任何n-r个线性无关的解向量都称为此齐次方程组的一组基础解系.
注：这任意n-r个线性无关的解向量是齐次线性方程组解空间中的一个最大线性无关组。
是解空间的一个基。
设为方程组的一个基础解系，则方程组的解可表示为：
，其中k
1，k
2
，...，k
n-r
为任意实数.这个式子称为方
程组的通解。
例：求解方程组：
解：因为，故原方程的解向量可由任意3-2=1个线性无关的解向量的线性组合表示.
通过解方程可知为此方程组的一解向量,故原方程组的通解为：(k为任意实数。
线性方程组解的结构
齐次线性方程组解的结构
齐次线性方程组Ax =0的两个解向量的和仍是解向量.
齐次线性方程组Ax =0的一个解向量乘以常数k 仍为解向量.
注：解向量的任意线性组合仍为解向量.
基础解系是齐次方程组解向量组的最大线性无关组. 而一个向量组的最大线性无关组不唯一, 同一向量组的不同最大线性无关组所含向量个数相同, 这样齐次线性方程组Ax =0的基础解系所含向量个数是唯一确定的.
齐次线性方程组(2)的系数矩阵A 的秩R (A )=r <n 时，方程组有基础解系，并且基础解系含有n -r 个解向量.
齐次线性方程组(2)的系数矩阵A 的秩R (A )=r <n 时，任意的n -r 个线性无关的解向量都是它的基础解系.
非齐次线性方程组解的结构
非齐次方程组(1)的任意两个解向量的差是对应齐次方程组(2)的解向量.
非齐次方程组(1)的任意一个解向量与对应齐次方程组(2)的任意一个解向量的和仍为非齐次方程组(1)的解向量。
设γ0是非齐次方程组(1)的一个解向量，α1, α2, …, αn -r 是对应齐次方程组(2)的一个基础解系，则非齐次方程组(1)的解的一般形式为：
,k k k r n r n --++++=αααγγ 22110
其中R (A )= r , k 1, k 2, …, k n -r 为任意常数.
非齐次线性方程组Ax =b 全部解向量(称为非齐次通解，或称一般解)可以表示为某个已知解向量(特解)加上对应的齐次线性方程组Ax =0的全部解向量(齐次通解) .。
齐次线性方程组解的结构
crn kn 1kr 2 0kn
kn 0kr 1 0kr 2 1kn
于是
k1
k2
M
kr 1 1
kr 22
L
knnr
kn
因此方程组的每一个解向量，都可以由这nr个解向量
ξ1 ,ξ2 ,L ,ξnr 线性表示，
所以
ξ1 ,ξ2 ,L ,ξnr是方程组的基础解系.
a21 x1
a22
x2
L LL
a2n xn
b2 ,
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
（2）
称为非齐次线性方程组(
b1 ,b2 ,L ,bm 不全为0).
如果把它的常数项都换成0，就得到相应的齐次线性方程组，称它为非齐次线性方程组(2)的导出方程组， 简称导出组.
定理 3 （非齐次线性方程组解的结构定理）如果非齐次线性方程组有 解，那么它的一个解与其导出方程组的解之和是非齐次线性方 程组的一个解，非齐次线性方程组的任意解都可以写成它的一 个特解与其导出方程组的解之和。
11
则
x
1
21
称为方程组(1) 的解向量，它也是向量方程的解．
n1
Ax 0.
就是该显方然程齐组次的线一性个方解程，组这总个是解有叫解做，零解，若方程组还x有1其他解0，, x那2么这些0解,L就叫,做x非n零解.0
方程组 Ax 有非0零解的充要条件是
齐次线性方程组的解有如下的性质
。
LL
xr cr ,r1xr 1 L crn xn .
xr1 1 0 0
取
xr 2
0, 1,
, 0,
xn
0 0
1
可得 从而得到(1)的n-r个解
线性代数—线性方程组解的结构
r ( A) = r ( A ) = 2 < n = 4 ,
为自由未知量， 所以有无穷多解。 所以有无穷多解。 选 x3 , x4 为自由未知量，
16
0 1 4 − 3 5 − 2 → 0 − 7 5 − 9 0 , 选 x3 , 5 0 0 0 0 0 0
为自由未知量， x4 为自由未知量，
第五节
1
回顾： 回顾：
线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条件是
r(A = r(A) . )
其中 A = ( A, b) 为增广矩阵。 为增广矩阵。 在有解的情况下， 在有解的情况下，
当 r ( A) = n 时有唯一解； 时有唯一解；
时有无穷多解； 当 r ( A) < n 时有无穷多解；自由未知量个数为 n − r (A) .
1 2 1 −1 1 1 4 −3 5 −2 解 A = 3 − 2 1 − 3 4 → 0 −7 5 −9 5 1 4 − 3 5 − 2 0 −14 10 −18 10
1 4 − 3 5 − 2 →0 − 7 5 − 9 5 , 0 0 0 0 0
1 1 5 −9 导出组的基础解系： 导出组的基础解系： ξ 1 = , ξ 2 = , 7 0 0 7 6 7 −5 7 所以全部解为 x = ξ 0 + k 1ξ 1 + k 2ξ 2 , ξ 特解： 特解： 0 = , 0 k1 ,k2 任意。 任意。 0
1 3 A= 0 5
1 1 1
1 1 1 1 1 1 2 1 1 − 3 0 − 1 − 2 − 2 − 6 → 0 1 2 2 6 1 2 2 6 0 − 1 − 2 − 2 − 6 4 3 3 − 1
3-4齐次线性方程组解的结构
所谓齐次线性方程组解的结构就是它的基础解系的线 所谓齐次线性方程组解的结构就是它的基础解系的线 齐次线性方程组解的结构 性组合： η = k1η1 + k2η2 + ⋯ + ktηt 性组合：
也即： 也即：基础解系的所有线性组合构成了齐次线性方程组 的解集合（全部解） 的解集合（全部解） 。 的基础解系（ 【注 3】 η1 ,η 2 ,⋯ ,ηt 是 Ax = 0 的基础解系 含有 t 】 若 （
b1,r + 2 ⋯ b1n b2,r + 2 ⋯ b2 n ⋮ ⋮ br ,r + 2 ⋯ brn 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ 0 0 0
信息系 刘康泽
x1 = − b1,r +1k1 − b1, r + 2 k2 − ⋯ − b1n kn − r x = − b k − b k −⋯ − b k 2, r +1 1 2, r + 2 2 2n n−r 2 ⋯⋯⋯ xr = − br ,r +1k1 − br , r + 2 k2 − ⋯ − brn kn − r 即有： 即有： k1 xr +1 = xr + 2 = k2 ⋯⋯⋯ x = kn− r n
设 矩阵， 【定理】 A 是 m × n 矩阵，r ( A) = r < n ， Ax = 0 定理】 则 的基础解系中含有 n − r 个解向量 η1 ,η 2 ,⋯ ,η n − r ，且解的 结构为： 构为：
η = k1η1 + k2η2 + ⋯ + kn − rηn − r 。
上式就是 结构，也叫做 通解。 上式就是 Ax = 0 的解的结构，也叫做 Ax = 0 的通解。
齐次线性方程组的解的结构
(2)
其中 cii 0, i 1,, r, r n . (2)可变形为
c11 x1 c1r xr c1,r 1 xr 1 c1n xn crr xr cr ,r 1
这里 xr 1 , xn是自由未知量。 分别取 ( xr 1, xn ) 为 (1,0,,0),,(0,0,,1), 由(3)得(1)的解为
1 2 0 0
1 2 0 0
1 6 0 0
故原方程组等价于
x1 x2 x3 x4 x5 x1 x2 x3 x4 x5 0 即 x2 2 x3 2 x4 6 x5 x2 2 x3 2 x4 6 x5 0
x1 x2 x3 x4 x5 0 例 求齐次线性方程组 3 x1 2 x2 x3 x4 3 x5 0 的解集。 x2 2 x3 2 x4 6 x5 0 5 x1 4 x2 3 x3 3 x4 x5 0
解：
1 3 0 5 1 2 1 4 1 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 2 2 6 0 1 1 3 0 0 2 6 0 1 2 2 6 0 1 2 2 6 3 1 0 0
齐次线性方程组解的结构
关于齐次线性方程组
a11 x1 a1n xn 0 a x a x 0 1n n s1 1
(1)
有以下结论
1)它一定有解，因为零向量 0 (0, , 0) 为解； 2)两个解 1 (b1 ,, bn ),2 (c1 ,, cn ) 的和
从而基础解系为
1 (1, 2,1,0,0),2 (1, 2,0,1,0),3 (5, 6,0,0,1)
线性代数齐次线性方程组解的结构
线性代数齐次线性方程组解的结构线性代数中，齐次线性方程组是由一系列未知数的线性方程组成，其中所有方程的右边都为零。
齐次线性方程组的解的结构是线性无关的向量的线性组合，它们构成了解空间。
首先，考虑一个例子：```2x+3y-z=04x-y+2z=03x+2y=0```我们可以将这个齐次线性方程组写成矩阵的形式：```23-14-12320xyz```将这个矩阵进行行变换，得到阶梯形矩阵如下：```0-7400-2xyz```由阶梯形矩阵可知，z是自由变量，而x和y是基础变量。
基础变量是由自由变量表示的。
因此，解的结构可以用自由变量和基础变量的关系表示。
设z=k，则有：```-7y+4z=0-2z=0```由此可得到z=0.5k，y=-0.5k。
最后，带入原方程组得到x=0.25k。
因此，解的结构可以表示为：```x=0.25ky=-0.5k```可以看出，解是一个形如k倍数的向量，其中k为任意实数。
这说明齐次线性方程组的解空间是一个无限维空间，其中解向量是在基础解向量上的线性组合。
总结起来，齐次线性方程组解的结构可以通过以下步骤得到：1.将方程组写成矩阵形式；2.将矩阵进行行变换，得到阶梯形矩阵；3.根据阶梯形矩阵的形式，确定基础变量和自由变量；4.根据自由变量和基础变量的关系，得到解的表达式。
需要注意的是，齐次线性方程组的解空间要么是一个零向量，要么是一个由基础解向量生成的无限维空间。
这就是齐次线性方程组解的结构。
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§3齐次线性方程组解的结构
齐次线性方程组是指系数矩阵为零矩阵的线性方程组。
其一般形式为：a₁₁x₁+a₁₂x₂+...+a₁ₙxₙ=0
a₂₁x₁+a₂₂x₂+...+a₂ₙxₙ=0
...
aₙ₁x₁+aₙ₂x₂+...+aₙₙxₙ=0
其中，aₙ(1≤n≤m,1≤i≤n)是方程组的系数。
对于齐次线性方程组，我们可以运用矩阵和向量的线性代数理论来推
导其解的结构。
首先，我们将齐次线性方程组的系数矩阵记为A，行向量
xT=(x₁,x₂,...,xₙ)，则方程组可表示为Ax=0。
根据矩阵乘法的定义，我们有
A·xT=(a₁₁x₁+a₁₂x₂+...+a₁ₙxₙ,a₂₁x₁+a₂₂x₂+...+a₂ₙxₙ,...,aₙ₁x₁+a ₙ₂x₂+...+aₙₙxₙ)=bT
其中，bT是m维零向量。
这样，我们可以将齐次线性方程组的解的结构转化为求解矩阵A的零
空间结构。
我们知道，零空间是矩阵A对应的齐次方程Ax=0的解的集合，也称
为核空间。
零空间可以通过对系数矩阵A进行行变换化简，得到其对应的
阶梯形矩阵U，进而求解。
接下来，我们来看零空间的结构。
假设U是矩阵A的阶梯形矩阵，其形式如下：
a₁₁a₁₂a₁₃...a₁ₙ...a₁ₙ
0a₂₂a₂₃...a₂ₙ...a₂ₙ
00a₃₃...a₃ₙ...a₃ₙ
...
000aₙₙ...aₙₙ
0000...aₙₙ
其中，aᵢⱼ(1≤i≤p≤m,j>i)是U的主对角元素。
通过行变换，我们可以将U化简为如下形式：
100...0...a₁ₙ₋ₙ₊₁a₁ₙ₋ₙ₊₂...a₁ₙ
010...0...a₂ₙ₋ₙ₊₁a₂ₙ₋ₙ₊₂...a₂ₙ
001...0...a₃ₙ₋ₙ₊₁a₃ₙ₋ₙ₊₂...a₃ₙ
...
000...1...aₙₙ₋ₙ₊₁aₙₙ₋ₙ₊₂...aₙₙ
000...0...00 0
其中，aᵢ(p<i≤n)是自由变量。
我们可以看出，自由变量的个数等于未知数的个数减去主元的个数。
自由变量可以取任意实数，因此我们可以得到如下结论：
当自由变量的个数为k时，齐次线性方程组有n-k个基础解向量，可以表示为：
x=c₁v₁+c₂v₂+...+cₙvₙ
其中，v₁,v₂,...,vₙ是自由变量对应的基础解向量，c₁,c₂,...,cₙ是任意实数。
另外，我们还可以将基础解向量整理成矩阵形式，称为齐次线性方程组的基础解系。
至此，我们可以总结出齐次线性方程组解的结构如下：
1.如果齐次线性方程组有非零解存在，那么它一定有无穷多解；
2.齐次线性方程组的解的个数等于未知数的个数减去主元的个数；
3.齐次线性方程组的解可以表示为基础解系的线性组合，其中基础解系的个数等于自由变量的个数。
总之，齐次线性方程组的解的结构丰富多样，在线性代数的研究中有着重要的应用。
对于具体的齐次线性方程组，我们可以通过高斯消元法等方法求解其基础解系，并进一步研究解的结构和性质。