等比数列 求和公式
等比数列求和公式总结
等比数列求和公式总结
等比数列求和公式是一种经典的数学思想，它可以用来解决许多复杂的问题。
等比数列的求和公式是一个几何级数，这是一种特殊的数列，其中每一项都是公差相等的等比数。
等比数列的求和公式的计算方法是：若a1,a2,a3…an是这个数列中的项，其公比为q，则该数列的求和公式为S=(a1*(1-q^n))/(1-q)，其中n为项数。
等比数列中，每项都是按照一个恒定的公差来增长的，因此在使用求和公式时，求和公式的计算也更加方便。
等比数列的求和公式的计算结果可以通过数学归纳法来证明，也可以用递推的方法来得出结果。
一般情况下，当数列中的每一项都是相同的公差时，等比数列求和公式才能正确计算出数列中总和的值。
等比数列求和公式的计算方法是一种有效的解决数学问题的方法，它可以用来计算出某一特定等比数列中每一项的和。
等比数列求和公式可以用来计算不同步长的等差数列以及等比数列的求和，以及一些其他有关等比数列的计算问题。
等比数列的求和公式还可以用来计算出一段时间内的增长或者减少的数量及其速率。
等比数列求和公式是一种简便的计算方式，它可以帮助我们解决许多繁琐的问题。
此外，等比数列求和公式也有助于我们能够更好地理解等比数列的特点及其应用，帮助我们更有效地利用它们。
因此，等比数列求和公式是一种有效的数学思想，值得经常运用。
它可以帮助我们解决许多复杂的运算题，并且在计算问题时可以提高效率。
等比数列求和公式的计算方法也可以用来解决许多类似的数学
问题，所以它对于解决复杂数学问题具有特别重要的作用。
等比函数求和
等比函数求和：等比数列求和公式为：Sn=n*a1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)（q不等于1）。
说明：
一个数列，如果任意的后一项与前一项的比值是同一个常数，即：A(n+1)/A(n)=q(n∈N*)，这个数列叫等比数列，其中常数q叫作公比。
等比数列：a(n+1)/an=q(n∈N)通项公式：an=a1×q^(n-1)求和公式：Sn=n×a1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q)(q≠1)(q为比值，n 为项数）
等比级数若收敛，则其公比q的绝对值必小于1。
故当n趋向于无穷时，等比数列求和公式中q的n次方趋于0（|q|<1），此时Sn=a1/(1-q)。
q大于1时等比级数发散。
等比数列(又名几何数列):是一种特殊数列。
它的特点是:从第2项起，每一项与前一项的比都是一个常数。
等比数列求和公式
qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-2 +a1qn-1 +a1qn ① - ②得： Sn-qSn=a1-a1 qn
a1 1 q n sn 1 qFra bibliotek证法二：
an a2 a3 q a1 a 2 a n 1
a2 a3 an q a1 a 2 a n 1
2n
1 q n 82 1 q 82 n 1 q
2n
qn 81
q 1
n 1
a1 0, q 1 {a n }是递增数列
a1 n a n 54 a1q 54 q 54 q 2 a1 (1 81) a1 q由 80 得 ： 3 1 q
解： S n 80, S 2 n 6560 q 1
a1 (1 qn ) (1) Sn 80 1 q 2n a ( 1 q ) S 1 6560 (2) 2n 1 q
1 q ( 2 ) (1)得： 82 n 1 q
2 3 n n an an 2 3 6
∴{ an }为等比数列.
an1 2 3 3 n an 23
n1
课堂小结：
(1)等 比数 列前n项 和的 推导 方法 ：
错位相销法；比例的性 质。
( 2 )等 比 数 列 前n项 和 公 式 :
n
a1 (1 q ) ( q 1) Sn 1 q na ( q 1) 1
a2 a5 2 a8
a , a , a 成等差数列。 2 8 5
例5 某商场第1年销售计算机5000台，
如果平均每年的销售量比上一年增加
等比数列求和公式
等比数列求和公式万年历2013年3月6日星期三10:43 癸巳年正月廿五设置闹钟站内搜索支持本站公益活动等比数列等比数列的通项公式等比数列求和公式⑴等比数列：a (n+1)/an=q (n € N)。
(2) 通项公式：an=a1 x q A(n-1);推广式：an=am x qA(n-m);(3) 求和公式：Sn=n*a1 (q=1)Sn=a1(1-qAn)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q 工1)(q 为比值，n 为项数)(4) 性质：①若m、n、p> q € N，且m+ n=p + q,贝Ham*an=ap*aq ;②在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列.③若m、n、q€ N，且m+n=2q，贝U am*an=aqA2(5) "G 是a、b 的等比中项""GA2=ab (G 工0)".(6) 在等比数列中，首项al与公比q都不为零.注意：上述公式中an 表示等比数列的第n 项。
等比数列如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q z 0)。
(1)等比数列的通项公式是：An=A1*q A(n—1)若通项公式变形为an=a1/q*qAn(n € N*),当q> 0时，贝U 可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*qAx上的一群孤立的点。
(2)等比数列求和公式：Sn=nA1(q=1)Sn=A1(1-qAn)/(1-q)=(a1-a1qAn)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q)=a1/(1-q)-a1/(1-q)*qAn ( 即A-AqAn)(前提：q工1)任意两项am, an的关系为an=am • qA(n-m)( 3)从等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式可以推出：al • an=a2 • an-仁a3 • an-2=, =ak • an-k+1 , k €{1,2,, ,n}(4)等比中项：aq • ap=a「A2, ar则为ap, aq等比中项记n n=a1 • a2, an,贝U有n 2n-1=(an)2n-1 , n 2n+1=(an+1)2n+1 另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C 为底，用一个等差数列的各项做指数构造幕Can,则是等比数列。
等比数列的求和公式与性质
等比数列的求和公式与性质等比数列是数学中常见的一种数列形式，它的求和公式以及性质在数学问题的解决过程中非常有用。
本文将介绍等比数列的求和公式与性质。
一、等比数列的求和公式在等比数列中，后一项与前一项的比值常数称为等比数列的公比，用q表示。
若首项为a，公比为q，求和的项数为n时，等比数列的前n项和Sn可以通过以下公式计算得出：Sn = a * [(1 - q^n) / (1 - q)]该公式称为等比数列的求和公式。
其中，a表示首项，q表示公比，n表示项数。
二、等比数列求和公式的推导我们来推导等比数列求和公式的过程。
设Sn为要求的等比数列的前n项和，首项为a，公比为q。
首先，我们将等比数列的前n项与公比q相乘得到新的数列，记为qSn，即：qSn = q * [(aq) + (aq^2) + ... + (aq^n)]（式1）然后，我们将等比数列的前n项与公比q相乘后再减去等比数列本身，记为Sn - (aq)，即：Sn - aqSn = [(aq) + (aq^2) + ... + (aq^n)] - [(aq^(n+1))]（式2）对于等比数列的括号中的每一项，我们将其都乘以公比q，得到：Sn - aqSn = [(aq) + (aq^2) + ... + (aq^n)] - [(aq^(n+1))]（式3）= [(aq) + (aq^2) + ... + (aq^n) + (aq^(n+1))] - [(aq^(n+1))]（式4）我们可以看到，等比数列的求和Sn减去公比q与Sn的乘积aqSn 后，得到的结果就是等比数列的前n项与其下一项aq^(n+1)之和。
进一步整理上述式子，化简得到：Sn - aqSn = (aqSn - aq^(n+1)) - [(aq^(n+1))]（式5）Sn - aqSn = aqSn - 2aq^(n+1)+ aq^(n+1)（式6）Sn - (aqSn) = Sn - (aq^(n+1) - aqSn)（式7）括号内的(aqSn)与Sn相减，得到：Sn - (aqSn) = (Sn - aqSn)（式8）再进一步，将式2与式8相结合，消除公式中的Sn-aqSn，得到：Sn - aqSn = (Sn - aqSn) - (aq^(n+1) - aqSn)（式9）Sn - aqSn = 0 - aq^(n+1)（式10）根据等比数列的定义，Sn - aqSn可以表示为Sn - aqSn = Sn*(1-q)，代入式10中，得到：Sn*(1-q) = 0 - aq^(n+1)（式11）将式11两边的Sn移到一边，得到：Sn = a * [(1 - q^n) / (1 - q)]（式12）经过推导，我们成功地得到了等比数列的求和公式。
等比数列公式求和公式
等比数列公式求和公式等比数列是指数列中相邻两项之比相等的数列。
等比数列的求和公式是指将等比数列的前n项求和的公式。
下面将详细介绍等比数列和求和公式的相关知识。
一、等比数列的定义等比数列是指数列中相邻两项之比相等的数列。
设等比数列的首项为a，公比为r，那么等比数列的通项公式为：an = a * r^(n-1)其中，an表示等比数列的第n项。
二、等比数列的性质1. 等比数列的任意项与首项之比等于公比：a2/a1 = a3/a2 = ... = an/a(n-1) = r2. 等比数列的任意项与末项之比等于公比的n-1次方：an/a1 = r^(n-1)3. 等比数列的前n项和可以通过公式计算得到。
三、等比数列的求和公式等比数列的前n项和可以通过求和公式计算得到。
设等比数列的首项为a，公比为r，前n项和为Sn，则有以下求和公式：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)四、等比数列求和公式的推导下面通过推导，来证明等比数列求和公式的正确性。
计算等比数列的前n项和Sn：Sn = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-1)将Sn乘以公比r：r * Sn = ar + ar^2 + ar^3 + ... + ar^n将等式两边相减：Sn - r * Sn = a - ar^n化简得：Sn * (1 - r) = a * (1 - r^n)再将等式两边除以(1 - r)，得到等比数列的求和公式：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)五、等比数列求和公式的应用等比数列求和公式在数学和实际问题中有着广泛的应用。
通过求和公式，我们可以快速求解等比数列的前n项和，从而简化计算过程。
在金融、工程、物理等领域中，等比数列求和公式也经常被使用。
六、例题解析下面通过一个例题来说明等比数列求和公式的具体应用。
例题：已知等比数列的首项为2，公比为0.5，求该等比数列的前10项和。
等比数列求和公式
1 q n 82 1 q 82 n 1 q
2n
qn 81
q 1
n 1
a1 0, q 1 {a n }是递增数列
a1 n a n 54 a1q 54 q 54 q 2 a1 (1 81) a1 q由 80 得 ： 3 1 q
a1 2, q 3
例4：已知Sn是等比数列{ an }的前n项和， S3 , S9 , S 6成等差数列， 求证：a , a , a 成等差数列。 2 8 5 证明： S 3 , S 9 , S 6成等差数列
S3 S 6 2S9
当 q 1时， S 3 3a1 , S 6 6a1 , S 9 9a1 S3 S 6 2S9 q 1
an1 q 1等比数列的定义： an
2 通项公式： an a1q
n 1
一、知识回顾：
3等比中项：
a , G , b成等比 G ab G ab
2
二、等比数列求和公式 :
2 3 4 63 1+2+2 +2 +2 +…+2 =？
S64=1+2+4+8+…+262+263
① 2 得到： 2S64=2+4+8+16…+263+264 对①、②进行比较. S64=1+2+4+8+…+262+263 2S64=2+4+8+16…+263+264
①
② ① ②
证法一：
Sn=a1+a2+…+ an
等比数列求和公式例题
等比数列求和公式例题等比数列求和公式是求等比数列之和的公式。
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠0。
注：q=1 时，an为常数列。
利用等比数列求和公式可以快速的计算出该数列的和。
1、等比数列求和公式：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)（q≠1)。
通项公式：an=a1×q^(n-1)2、等差数列求和公式：Sn=na1+n(n-1)d/2。
3、文字公式：末项=首项+(项数-1)×公差；项数＝（末项－首项）÷公差+1；首项=末项-(项数-1)×公差；和=(首项+末项)×项数÷2；末项:最后一位数；首项:第一位数等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。
这个常数叫做等差数列的公差。
前n项和公式为: Sn=a1*n+ [n* (n-1)*d]/2或Sn= [n* (al+an)]/2。
等差数列：an=a1+(n-1)d；知道首尾==> Sn = (a1+an)n/2；知道首项==> Sn = [2na1+n(n-1)d]/2；等比数列：an = a1*q^(n-1)Sn = a1(1-q^n)/1-q当-1<q<1时，Sn非零当n趋于无穷，Sn = a1/1-q等差数列求和公式有①等差数列公式an=a1+(n-1)d、②前n项和公式为:Sn=na1 +n(n-1③若公差d= 1时:Sn=(a1+an④若m+n=p+q则:存在am+an=a⑤若m+n=2p则:am+an=2ap,以上n均等差数列是常见数列的一种可以用AP表示，如果一个数列从第二项起，每-项与它的前一项的差等于同一个常数这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差公差常用字母d表示。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
等比数列求和公式
摘要：
一、等比数列的概念与性质
1.等比数列的定义
2.等比数列的性质
二、等比数列的求和公式
1.等比数列求和公式的推导
2.等比数列求和公式的一般形式
3.等比数列求和公式的特殊情况
三、等比数列求和公式的应用
1.求解等比数列的和
2.求解等比数列中的未知项
四、等比数列求和公式的局限性
1.公比为0 或1 的情况
2.求和公式不适用的情况
正文：
一、等比数列的概念与性质
等比数列是指一个数列中，相邻两项的比值恒定的数列。
例如，1, 2, 4, 8, 16 就是一个等比数列，因为2/1=4/2=8/4=16/8=2。
在这个数列中，每一项都是前一项的倍数，且倍数恒定为2。
等比数列具有以下几个性质：
1.首项a1 与公比q 决定了整个数列。
2.若m,n,p 为等比数列的三项，则m*p=n^2。
3.等比数列的任意两项之比都等于其公比。
二、等比数列的求和公式
1.等比数列求和公式的推导
等比数列的前n 项和可以表示为S_n = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中
a1 是首项，q 是公比，n 是项数。
这个公式可以通过数学归纳法推导得出。
2.等比数列求和公式的一般形式
对于任意的等比数列，其求和公式都可以表示为S_n = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)。
3.等比数列求和公式的特殊情况
当公比q=1 时，所有项都相等，求和公式变为S_n = n*a1。
当公比
q=0 时，数列中所有项都为0，求和公式变为S_n = 0。
三、等比数列求和公式的应用
1.求解等比数列的和
已知等比数列的首项a1 和公比q，以及项数n，可以通过求和公式S_n = a1 * (1 - q^n) / (1 - q) 求得等比数列的和。
2.求解等比数列中的未知项
已知等比数列的首项a1 和公比q，以及项数n，可以通过公式a_n = a1 * q^(n-1) 求得等比数列的第n 项。
四、等比数列求和公式的局限性
1.公比为0 或1 的情况
当公比q=0 或1 时，求和公式不适用。
对于公比为0 的情况，数列中所有项都为0，求和无意义。
对于公比为1 的情况，所有项都相等，求和公式变为S_n = n*a1。
2.求和公式不适用的情况
当项数n 趋近于无穷大时，求和公式可能不适用。