等比数列公式及推导
高考数学之等比数列及函数
十、两角和差
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan3a = tan a·tan(π/3+a)· tan(π/3-a)
九、三角和
sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
Sn-qSn=(1-q)Sn=a1-a(n+1)
a(n+1)=a1qn
Sn=a1(1-qn)/(1-q)（q≠1）
三、倍角公式
Sin2A=2SinA?CosA
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1
tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）
（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A））
十四、诱导公式
sin(-α) = -sinα
cos(-α) = cosα
tan (—a)=-tanα
sin(π/2-α) = cosα
cos(π/2-α) = sinα
sin(π/2+α) = cosα
cos(π/2+α) = -sinα
等比数列基本的5个公式
等比数列基本的5个公式
等比数列是指数列中，任意两个相邻项的比值相等的数列。
在等比数列中，通常会用到以下五个基本的公式来求解问题：
1.第n项公式：
设等比数列的首项为a₁，公比为q，则第n项的值可表示为：
aₙ=a₁×q^(n-1)
2.前n项和公式：
设等比数列的首项为a₁，公比为q，前n项和的值可表示为：
Sₙ=a₁×(1-q^n)/(1-q)
3.公比与比值的关系：
公比q等于任意两个相邻项的比值：
q=aₙ/aₙ₊₁
4.通项公式的推导：
根据公比和比值的关系，可得到通项公式的推导过程：
aₙ₊₁=aₙ×q
将第n项公式代入可得：
aₙ₊₁=(a₁×q^(n-1))×q
化简得到通项公式：
aₙ₊₁=a₁×q^n
5.等比数列的性质之一：
当公比q在-1到1之间（不包括-1和1）时，等比数列的前n项和存在有限值。
这个有限值可以根据前n项和公式计算得到。
这些公式是解决等比数列问题的基础，在实际运用中常常会结合具体问题进行推导和运用。
需要注意的是，在使用这些公式时，要注意对问题进行分析和理解，确保正确使用公式求解。
等比数列公式及推导
等比数列公式及推导
等比数列公式就是在数学上求一定数量的等比数列的和的公式。
另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。
等比数列公式
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
（1）等比数列的通项公式是：
若通项公式变形为
(n∈N*),当q>0时，则可把a n看作自变量n的函数，点(n,a n)是曲线
上的一群孤立的点。
（2)任意两项a m，a n的关系为
（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：
k∈{1,2,…,n}
（4）等比中项：当r满足p+q=2r时，那么则有
，即a r为a p与a q的等比中项。
等比数列求和公式
求和公式
求和公式推导公比为q，。
等比数列和等差数列公式
等比数列：是一种特殊数列。
它的特点是：从第2项起，每一项与前一项的比都是一个常数。
称为公比，符号为q。
公比公式根据等比数列的定义可得：通项公式我们可以任意定义一个等比数列这个等比数列从第一项起分别是，公比为q，则有：a2 = a1q，a3 = a2q = a1q2，a4 = a3q = a1q3，，以此类推可得，等比数列的通项公式为：a n = a n − 1q = a1q n − 1，求和公式对于上面我们所定义的等比数列，即数列。
我们将所有项进行累加。
于是把称为等比数列的和。
记为：如果该等比数列的公比为q，则有：（利用等比数列通项公式）(1) 先将两边同乘以公比q，有：(1)式减去该式，有：(q − 1)S n = a1− a1q n (2)然后进行一定的讨论当时，而当q = 1时，由(2)式无法解得通项公式。
但我们可以发现，此时：= na1∙综上所述，等比数列的求和公式为：∙经过推导，可以得到另一个求和公式：当q≠1时（更正：分母为1-q）当时, 等比数列无限项之和由于当及n 的值不断增加时,q n的值便会不断减少而且趋于0,因此无限项之和:（更正：分母为1-q）性质如果数列是等比数列，那么有以下几个性质：∙证明：当时，∙对于，若，则证明：∵∴∙等比中项：在等比数列中，从第二项起，每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项。
即等比数列中有三项，，，其中，则有∙在原等比数列中，每隔k项取出一项，按原来顺序排列，所得的新数列仍为等比数列。
∙也成等比数列。
等差数列等差数列是数列的一种。
在等差数列中，任何相邻两项的差相等。
该差值称为公差。
例如数列就是一个等差数列。
在这个数列中，从第二项起，每项与其前一项之差都等于2，即公差为2。
通项公式如果一个等差数列的首项标为，公差标为，那么该等差数列第项的表达式为：.等差数列的任意两项之间存在关系：等差中项给定任一公差为的等差数列。
从第二项开始，前一项加后一项的和的値为该项的两倍。
等比数列的前n项和公式的推导方法
等比数列是指一个数列中任意两个相邻的数之比都是一个常数，这个常数称为公比。
等比数列在数学中有着重要的地位，而等比数列的前n项和公式是研究等比数列的一个重要内容。
下面我们将围绕这个主题进行详细的探讨和推导。
一、等比数列的定义1. 一个数列{a1, a2, a3, ...}称为等比数列，如果存在一个常数r，使得对于任意正整数n，有an/an-1=r。
2. 等比数列的通项公式是an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
3. 2, 6, 18, 54, ...是一个等比数列，首项为2，公比为3。
二、等比数列的前n项和公式的推导1. 首先考虑公比r等于1的情况，此时等比数列就是一个普通的等差数列。
等差数列的前n项和公式是Sn = n*(a1+an)/2。
2. 当公比r不等于1时，我们来推导等比数列的前n项和公式。
3. 设等比数列的前n项和为Sn，则有Sn = a1 + a1*r + a1*r^2 + ... + a1*r^(n-1)。
4. 乘以公比r，得到r*Sn = a1*r + a1*r^2 + a1*r^3 + ... + a1*r^n。
5. 两式相减，得到(1-r)Sn = a1*(1-r^n)。
6. 可以解得Sn = a1*(1-r^n)/(1-r)，这就是等比数列的前n项和公式。
7. 对于等比数列2, 6, 18, 54, ...，首项a1=2，公比r=3，前5项和为S5 = 2*(1-3^5)/(1-3) = 242。
三、等比数列的前n项和公式的应用1. 等比数列的前n项和公式在实际问题中有着广泛的应用。
2. 在财务领域中，等比数列的前n项和公式可以用来计算贷款每期的偿还金额，以及计算存款的本利和。
3. 在工程领域中，等比数列的前n项和公式可用于计算复利增长，评估工程投资的收益情况。
4. 在数学建模中，等比数列的前n项和公式也是常用的工具，可以用来描述和解决许多实际问题。
四、总结等比数列的前n项和公式是等比数列重要的性质之一，它的推导和应用都具有重要的意义。
等比数列前n项和公式推导
记数列{an}为等比数列，公比为q，其前n项和为Sn，则有：（1）公比q=1时，Sn=.
（2）公比q≠1时，Sn==。
如下图所示。
等比数列的前n项和公式
一、等比数列定义
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列（geometric progression）。
这个常数叫做等比数列的公比(common ratio)。
二、推导过程
因为当等比数列的公比等于1和公比不等于1的前n项和公式不同，所以，求一个等比数列的前n项时常常需要分“公比为1”和“公比不为1”两种情况分类讨论。
1、当“公比为1”时，前n项和公式的推导过程如下图所示。
公比为1的前n项和公式推导过程
2、当“公比不为1”时，前n项和公式的推导过程如下图所示。
公比不为1的前n项和公式推导过程
三、注意事项&知识点小结
因为等比数列求和公式中，公比等于1和公比不等于1的前n项和所适用的求和公式不同，所以求等比数列的前n项和时，往往需要对其公比是否等于1进行分类讨论。
等比数列前n项和性质
等比数列前n项和性质等比数列是数学中常见的数列之一，它的每一项与前一项的比例是相等的。
在等比数列中，我们可以推导出前n项和的性质。
本文将探讨等比数列的定义、前n项和的计算公式以及性质。
一、等比数列的定义等比数列是指一个数列中每一项与前一项的比例都是相等的数列。
若数列的首项为a，公比为r，则等比数列的通项公式可以表示为an =a * r^(n-1)，其中a为首项，r为公比。
二、前n项和的计算公式接下来，我们将推导出等比数列前n项和的计算公式。
设等比数列的首项为a，公比为r，数列的前n项和为Sn。
我们要找出Sn的计算公式。
首先，我们可以观察到：S1 = aS2 = a + arS3 = a + ar + ar^2S4 = a + ar + ar^2 + ar^3...Sn-1 = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-2)Sn = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-2) + ar^(n-1)接下来，我们将Sn两次相减，以找到计算Sn的公式：Sn - Sn-1 = (a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-2) + ar^(n-1)) - (a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-2))通过消去相同的项，我们可以得到：Sn - Sn-1 = ar^(n-1)再进一步整理，我们可以得到：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)这就是等比数列前n项和的计算公式。
三、前n项和的性质通过上述公式，我们可以得出等比数列前n项和的性质如下：1. 当公比r等于1时，等比数列变为等差数列。
此时，前n项和Sn 等于每一项的平均值a与项数n的乘积，即Sn = a * n。
2. 当公比r大于1时，随着项数n的增加，前n项和Sn将无限趋近于无穷大。
此时，Sn的计算公式为Sn = a * (r^n - 1) / (r - 1)。
3. 当公比r小于1且大于0时，随着项数n的增加，前n项和Sn将无限趋近于一个有限值。
等比数列求和公式有哪些
等比数列求和公式有哪些高中数学的等比数列求和公式还有哪些同学知道呢?如果不知道，请往下看。
下面是由小编小编为大家整理的“等比数列求和公式有哪些”，仅供参考，欢迎大家阅读。
1)等比数列：a(n+1)/an=q, n为自然数。
(2)通项公式：an=a1*q^(n-1);推广式：an=am·q^(n-m);(3)求和公式：Sn=n*a1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-a1q^n)/(1-q)=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即a-aq^n)(前提：q不等于 1)(4)性质：①若 m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则am·an=ap*aq;②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列.(5)“G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”.(6)在等比数列中，首项A1与公比q都不为零.注意：上述公式中A^n表示A的n次方。
首项a1,公比qa(n+1)=an*q=a1*q^(n )Sn=a1+a2+..+anq*Sn=a2+a3+...+a(n+1)qSn-Sn=a(n+1)-a1S=a1(q^n-1)/(q-1)1、等比数列的意义：一个数列，如果任意的后一项与前一项的比值是同一个常数，即：A(n+1)/A(n)=q (n∈N*)，这个数列叫等比数列，其中常数q 叫作公比。
如：2、4、8、16......2^10 就是一个等比数列，其公比为2，可写为(A2)的平方=(A1)x(A3)。
等比数列求和公式：Sn=n×a1 (q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)=a1(q^n-1)/(q-1)(q为公比，n为项数)等比数列求和公式推导：Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q=a2+a3+a4+...+a(n+1)Sn-q*Sn=a1-a(n+1)(1-q)Sn=a1-a1*q^nSn=(a1-a1*q^n)/(1-q)Sn=(a1-an*q)/(1-q)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)3、数学：数学(mathematics)，是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种。
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等比数列公式及推导
等比数列公式就是在数学上求一定数量的等比数列的和的公式。
另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
（1）等比数列的通项公式是：
若通项公式变形为
n∈N*,当q>0时，则可把an看作自变量n的函数，点n,an是曲线
上的一群孤立的点。
（2任意两项am，an的关系为
（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：
k∈{1,2,…,n}
（4）等比中项：当r满足p+q=2r时，那么则有
，即ar为ap与aq的等比中项。
求和公式
求和公式推导
公比为q，
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