高等数学试卷含答案下册

高等数学II 试题
一、填空题每小题3分,共计15分
1．设(,)z f x y =由方程xz
xy yz e -+=确定,则 z
x ∂=
∂ ;
2．函数
23
2u xy z xyz =-+在点0(0,1,2)P --沿方向l = 的方向导数最大;
3．L 为圆周2
2
4x y +=,计算对弧长的曲线积分⎰+L ds
y x 22= ;
4．已知曲线23
,,x t y t z t ===上点P 处的切线平行于平面22x y z ++=,则点P 的坐
标为 或 ;
5．设()f x 是周期为2的周期函数,它在区间(1, 1]-的定义为210
()01x f x x x -<≤⎧=⎨
<≤⎩,则()f x 的傅里叶级数在1x =收敛于 ;
二、解答下列各题每小题7分,共35分
1．设) ,(y x f 连续,
交换二次积分
1
201(,)x I dx f x y dy
-=⎰⎰的积分顺序;
2
．计算二重积分D
,其中D 是由y 轴及圆周22
(1)1x y +-=所围成的在
第一象限内的区域;
3．设Ω
是由球面z =
与锥面z =围成的区域,试将三重积分
222()I f x y z dxdydz
Ω
=++⎰⎰⎰化为球坐标系下的三次积分;
4．设曲线积分[()]()x
L
f x e ydx f x dy
--⎰与路径无关,其中()f x 具有一阶连续导数,且(0)1f =,求()f x ;
5．求微分方程2x
y y y e -'''-+=的通解;
三、10分计算曲面积分
2
y dzdx zdxdy
∑
+⎰⎰,其中∑是球面222
4(0)x y z z ++=≥的上
侧;
四、10分计算三重积分
()x y z dxdydz
Ω
++⎰⎰⎰,其中Ω由22
z x y =+与1z =围成的区
域;
五、10分求
22
1z x y =++在1y x =-下的极值; 六、10分求有抛物面22
1z x y =--与平面0z =所围立体的表面积;
七、10分求幂级数113n n
n x n -∞
=∑的收敛区间与和函数;
高等数学II 试题解答
一、填空题每小题3分,共计15分
1．设(,)z f x y =由方程xz
xy yz e -+=确定,则 z x
∂=∂xz xz
xe y ze
y --++-; 2．函数23
2u xy z xyz =-+在点0(0,1,2)P --沿方向l =4,0,-12 的方向
导数最大; 3．L 为圆周224x y +=,计算对弧长的曲线积分⎰+L ds y x 22=8π;
4．已知曲线23
,,x t y t z t ===上点P 处的切线平行于平面22x y z ++=,则点P 的坐
标为(1,1,1)--或111
(,,)
3927--;
5．设()f x 是周期为2的周期函数,它在区间(1, 1]-的定义为
210()01x f x x x -<≤⎧=⎨
<≤⎩,则()f x 的傅里叶级数在1x =收敛于3
2;
二、解答下列各题每小题7分,共35分
6．设) ,(y x f 连续,
交换二次积分
120
1(,)x
I dx f x y dy
-=⎰⎰
的积分顺序;
解：
1
2011
2
20
10
(,)(,)(,)x y I dx f x y dy dy f x y dx dy f x y dx
--==+⎰⎰
⎰⎰⎰
7
．计算二重积分
D
,其中D 是由y 轴及圆周
22
(1)1x y +-=所围成的在第一象限内的区域;
解：
2sin 220
16
9D
d r dr π
θ
θ==
⎰⎰
8．设Ω
是由球面z =
与锥面z =围成的区域,试将三重积分
222()I f x y z dxdydz
Ω
=++⎰⎰⎰化为球坐标系下的三次积分;
解：
9．设曲线积分[()]()x
L
f x e ydx f x dy
--⎰与路径无关,其中()f x 具有一阶连续导数,
且(0)1f =,求()f x ;
解：[()]x P f x e y =-,()Q f x =-;由[()]()x L f x e ydx f x dy --⎰与路径无关,得x y Q P ''=,
即()()0x
f x f x e '+-=;解微分方程x
y y e '+=,得其通解
1
2x x
y ce e -=+;又(0)1f =,得21=c ;故x
x e e x f 2121)(+=-
10． 求微分方程2x
y y y e -'''-+=的通解;
解：20y y y '''-+=的通解为12()x
y c c x e =+; 设原方程的一个特解*
x
y ce -=,代入原方程,得
1
4c =
;其通解为
三、10分计算曲面积分2
y dzdx zdxdy
∑+⎰⎰,其中∑是球面222
4(0)x y z z ++=≥的上侧;
解：补上
22
1:0 (4)z x y ∑=+≤下侧; 四、10分计算三重积分
()x y z dxdydz
Ω
++⎰⎰⎰,其中Ω由22
z x y =+与1z =围成的区
域;
解：
五、10分求
22
1z x y =++在1y x =-下的极值; 解：222
(1)1222z x x x x =+-+=-+
令420z x '=-=,得12x =;40z ''=>,12x =为极小值点;故22
1z x y =++在1y x =-下的极小值点为11(,)
22,极小值为32;
六、10分求有抛物面22
1z x y =--与平面0z =所围立体的表面积; 解：22
1 (0)z x y z =-->的面积为
平面0z =部分的面积为π;
故立体的表面积为
π
+;
七、10分求幂级数113n n
n x n -∞
=∑的收敛区间与和函数;
解：收敛区间为[3,3)-;设11()3n n n x s x n -∞
==∑,
1111
(())()333n n n n
n n x x xs x n x -∞∞
==''===-∑∑;故⎪⎩⎪⎨
⎧=≠--=0
31
0)
3ln(1
3ln )(x x x x x x s ;。