10-11 高等数学1试题(A卷)及解答
10-11-3高等数学A期末考试试卷(A)参考答案及评分标准
共 2 页 第 1 页10-11-3高数A 期末试卷（A ）参考答案及评分标准11.6.21一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)1. 4；2. 2；3. 224()t f t π；4. π-；5. 4π；6. 2，3；7. i π；8. 12；9.2-，0. 二. 计算下列各题(本题共4小题，每小题7分，满分28分)10．解 点(1,1,1)处切线的方向向量{1,2,2}{2,2,5}{14,9,2}=-⨯-=-a ，（4分）切线方程为1111492x y z ---==-.（3分）（或223022550x y z x y z --+=⎧⎨-+-=⎩（7分）） 11．解22201d cos d cos d 2xyy x x x x y x x ===⎰⎰⎰⎰⎰.（3+2+2分） 12．解 由sin ,2sin y x y x ==(0)x π≤≤所围成的区域记为D ，利用Green 公式得2sin 220sin 033(1)d d d d d sin d 24x xCDy x xy y y x y y x x ππσπ++=-=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ñ.（3+2+2分） 13. 解 补两个面2211:1x y S z ⎧+≤⎨=⎩，2224:2x y S z ⎧+≤⎨=⎩ ，分别取下侧和上侧，（1分）由12,,S S S 所围成的区域记为Ω，利用Gauss 公式得()d d ()d d Sy x z y z x z y x y -∧+-∧⎰⎰12()d (1)d d (2)d d 0S S y x v x y x y x y x y Ω=+--∧--∧=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.（3+3分）三（14）．（本题满分8分）解1()n n a a ∞=∑未必收敛，例11n a n =+，10n a n ≤<，而111n n ∞=+∑发散；（2分）1()(1)nn n b a ∞=-∑未必收敛，例111(1)sin 2n n a n n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，10n a n ≤<，而11(1)n n n ∞=-∑收敛，11sin n n ∞=∑发散，故1(1)11(1)sin 2n nn n n ∞=-⎛⎫+- ⎪⎝⎭∑发散；（2分）1()n c ∞=11n a n =+，10n a n ≤<，而1n ∞=发散；（2分）21()(1)n n n d a ∞=-∑必定收敛，2210n a n ≤<，共 2 页 第 2 页而211n n ∞=∑收敛，所以21(1)n n n a ∞=-∑绝对收敛，故21(1)n n n a ∞=-∑收敛. （2分） 四（15）。
1011高数A一补考试题及解答
f x dx f x .
知识点：不定积分和导数的关系， 分析 微分运算与求不定积分的运算是互逆的. d d[ f ( x )dx] f ( x )dx f ( x )dx f ( x ) dx
F ( x )dx F ( x ) C
key : A
分析 利用函数的一阶导数和二阶导数符号判断函数 的单调性和凹凸性.
key : D
5.
下列等式正确的是
( A)
A .
d ( B) f x dx f x C ; dx ( D)
df x f x C ;
b a
(C ) d f x dx f x dx;
2 2
5 2 3 x 4. ( x 1) dx 3 x xC 1 5
5.
0
1 x
1 dx _______ . 2 2
二、 选择题（每小题2分，共10分）
1. “数列有界{xn }? 是“数列极限 lim xn 存在”的 C . n
( A) 充分必要条件;
2e x sin x .
四、计算题（每小题8分，共16分）
1. 设y e cos x, 求y.
x
x x 解： y e cos x e sin x
x x x x y e cos x e sin x e sin x e cos x.
2e x sin x .
证明： 设 f ( x ) x 3 x 1， f (0) 1，f (1) 1，
由零点定理 x0 (0,1), 使 f ( x0 ) 0.
即方程至少有一个小于1的正实根.
自考全国2020年10月高等数学(一)试题及答案解析
1自考全国2018年10月高等数学（一）试题课程代码：00020一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设函数y=f (x)的定义域为(1，2)，则f (ax)(a<0)的定义域是( ) A.(a a 2,1) B.[a a 1,2)C.(a ，2a)D.(a a ,2] 2.设f (x)=x|x|，则f ′(0)=( )A.1B.-1C.0D.不存在3.下列极限中不能应用洛必达法则的是( ) A.x x x ln lim+∞→ B.x x x 2cos lim ∞→ C.x x x -→1ln lim 1 D.x e x x ln lim -+∞→ 4.设f (x)是连续函数，且⎰=xx x dt t f 0cos )(，则f (x)=( ) A.cos x-xsin xB.cos x+xsin xC.sin x-xcos xD.sin x+xcos x5.设某商品的需求量D 对价格p 的需求函数为D=50-5p，则需求价格弹性函数为( ) A.250-p pB.p p -250C.51p p -250D.51250-p p2 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6．设f (x)=x x+1，则f (f (x))=_______.7．n n n ln )1ln(lim +∞→=_______.8．=--→x a a x a x 1sin)(lim _______. 9．设f ′(0)=1，则=--→t t f t f x 2)()3(lim 0_______. 10．设函数y=x+kln x 在[1，e]上满足罗尔定理的条件，则k=_______.11．曲线y=ln 3x 的竖直渐近线为_______.12．曲线y=xln x-x 在x=e 处的切线方程为_______. 13．⎰-=-2121212dx x _______.14．微分方程xy ′-yln y=0的通解是_______.15．设z=(x+y)exy ，则)0,0(y z∂∂=_______.三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）16．求极限.2cos 124lim 20x x x ---→17．设y=x arc e cot -，求y ′.18．求不定积分⎰-+.282x x dx19．设z=x+y+xy 1，求)1,1(2x y z ∂∂∂.20．设F(u ，v)可微，且v u F F '≠'，z （x ，y ）是由方程F （ax+bz ，ay-bz ）=0(b ≠0)所确定的隐函数，求. y z ∂∂四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）21．设y=ln(1+x+),(11arcsin)22>+++xxxx求y′.22．计算定积分⎰-+102.)2()1ln(dxxx23．计算二重积分I=⎰⎰-Dy dxdye2，其中D是由x=0，y=1及y=x所围成的区域.五、应用题（本大题9分）求由抛物线y=x2和y=2-x2所围成图形的面积，并求此图形绕x轴旋转一周所成立体的体积.六、证明题（本大题5分）设f (x)在[0，1]上连续，且当x∈[0，1]时，恒有f (x)<1.证明方程2x-⎰= xdttf1)(在（0，1）内至少存在一个根.3。
高等数学一考试题及答案
高等数学一考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10题）1. 极限的定义中，当x趋近于a时，函数f(x)的极限为L，意味着：A. 对于任意的正数ε，存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-L|<εB. 对于任意的正数ε，存在正数δ，使得当|x-a|<δ时，|f(x)-L|<εC. 对于任意的正数ε，存在正数δ，使得当x≠a时，|f(x)-L|<εD. 对于任意的正数ε，存在正数δ，使得当x>a时，|f(x)-L|<ε答案：B2. 以下哪个函数是偶函数？A. f(x) = x^2 + xB. f(x) = x^3 - xC. f(x) = cos(x)D. f(x) = sin(x)答案：C3. 积分∫(0 to 1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 3/2答案：A4. 微分方程dy/dx = 2x的通解是：A. y = x^2 + CB. y = 2x^2 + CC. y = x + CD. y = 2x + C答案：A5. 以下哪个级数是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 2 + 3 + 4 + ...D. 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... 答案：D6. 函数f(x) = e^x的导数是：A. e^xB. e^(-x)C. -e^xD. -e^(-x)答案：A7. 以下哪个函数在x=0处有极值？A. f(x) = x^3B. f(x) = x^2C. f(x) = sin(x)D. f(x) = e^x答案：B8. 以下哪个选项是二阶导数？A. f'(x)B. f''(x)C. f'''(x)D. f(x)答案：B9. 以下哪个函数是周期函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = e^xC. f(x) = sin(x)D. f(x) = ln(x)答案：C10. 以下哪个函数是单调递增的？A. f(x) = -x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = e^(-x)D. f(x) = ln(x)答案：B二、填空题（每题3分，共5题）1. 函数f(x) = x^3在x=1处的导数是______。
大一第一学期高数1试题A及答案
2009—2010学年第一学期《高等数学I(一)》课程考试试卷(A 卷)参考答案及评分标准注意：1、本试卷共 3 页； 2、考试时间120分钟3、姓名、学号必须写在指定地方 阅卷负责人签名：一、填空题（共5个小题，每小题2分，共10分）.1.设，则 .()lim 1tt x f x t →+∞⎛⎫=+⎪⎝⎭()0x ≠=)3(ln f 2.设是的一个原函数，则= ．x e xsin +()f x ()f 'x 3.曲线的拐点坐标是 .16623-+=x x y 4.若，则 ．2121A dx x -∞=+⎰A =5． .21lim(2)cos2x x x →-=-二、单项选择题（共10个小题，每小题2分，共20分）.将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中.1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）.()f x []12,-()()()22F x f x f x =++A ．；B ．；C ．；D ．.[]30,-[]31,-112,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦102,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2．是函数的（ ）.3x =1()arctan 3f x x=-A ．连续点；B ．可去间断点；C ．跳跃间断点；D ．第二类间断点.3．当时，与等价，则（ ）.0→x 1ax e -x 2sin a = A ．1 ；B ．2 ；C ． ；D ．.2-214．函数 在处（）.()21sin,00,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩0=x A ．有定义但不连续； B ．连续但不可导； C ．连续且可导；D ．不连续且不可导.5.下列等式中正确的是（ ）．A ．； B .；()()ba d f x dx f x dx =⎰()()()x ad f x dx f x f a dx=-⎰C ．；D . .()()df x dx f x dx=⎰()()f x dx f x '=⎰6．函数（ ）.()21xf x x =+ A ．在内单调增加；B ．在内单调减少；(),-∞+∞(),-∞+∞C ．在内单调增加；D ．在内单调减少.()11,-()11,-7．若可导，且，则（）.()f u ()x y f e = A ．；B ．；()x dy f e dx '=()x x dy f e e dx '= C ．；D ．.()xxdy f e e dx =()xxdy f e e dx '⎡⎤=⎣⎦8．（ ）.20|1|x dx -=⎰A ．0 ；B ．2 ；C ．1 ；D ．.1-9．方程的通解是( ).sin y x '''=A .； B .；21231cos 2y x C x C x C =+++21231sin 2y x C x C x C =+++C .； D ..1cos y x C =+2sin 2y x =10.曲线与该曲线过原点的切线及轴围成的图形的面积为（ ）．xe y =y A ． ；B ．；10()xe ex dx -⎰1(ln ln )ey y y dy -⎰C ．； D ．．1()ex x e xe dx -⎰10(ln ln )y y y dy -⎰题号一二三四五六七八总分得分阅卷人得分阅卷人得分三峡大学 试卷纸 教学班号序号学号姓名………………….………….……答 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………三、解下列各题（每小题6分，共12分）.1．计算.)lim x xx →+∞-2．计算．xx x x 1022lim ⎪⎭⎫⎝⎛-+→四、解下列各题（每小题6分，共12分).1.已知，求．076333=--++y xy x y 2=x dxdy2. 设函数由参数方程所确定，求和.)(x y y =⎩⎨⎧+==tt t y t x sin cos sin ln dx dy22dx y d五、解下列各题（每小题6分，共18分).1. 计算．⎰++dx xx x 221)(arctan 2．计算.204ln(1)limx x t dt x→-⎰3. 计算.220cos x e xdx π⎰阅卷人阅卷人阅卷人得分阅卷人得分三峡大学 试卷纸 教学班号序号学号 姓名………………….………….……答 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………六、（本题10分）.设曲线上任意一点处的切线斜率为,且该曲线经过点，)(x f y =),(y x 2x x y +11,2⎛⎫⎪⎝⎭（1）求函数；)(x f y =（2）求曲线，,所围成的图形绕轴旋转所形成的旋转体的体积．)(x f y =0y =1x =x七、(本题10分).由半径为的圆上，割去一个扇形，把剩下的部分围成一个圆锥，试求割去扇形的中R 心角，使圆锥的容积为最大.S阅卷人得分三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号姓名……………….………….……答 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………参考答案一、填空题1.3；2.sin x e x -3.()2,0-4.1π5. 0二、单项选择题题号12345678910答案DCBCCCBCAA三、解下列各题1. 解：)lim x xx →+∞3分limx =. 6分12=2．． 解：3分xx x x 1022lim ⎪⎭⎫⎝⎛-+→()222202lim 12x xx x x x x x -⋅-→⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭.6分()02lim2x xx x e→-=1e e ==四、解下列各题1. 解：两边分别对求导，得x ，3分22333360dy dy dyy x y x dx dx dx+++-= 当时，，代入上式，得2x =1y =-. 6分23x dy dx==- 2..解： 3分dx dy dydt dx dt=sin sin cos cos sin t t t tt t-++=sin t t = . 6分22dxy d dy dtdx dt'=sin cos cos sin t t t t t +=2sin sin cos cos t t t tt+=五、解下列各题1.．解：⎰++dx x x x 221)(arctan ()222arctan 11x xdx dx x x =+++⎰⎰ 3分()()()22211arctan arctan 21d x x d x x +=++⎰⎰. 6分()()3211ln 1arctan 23x x C =+++2．.解： 3分204ln(1)limx x t dtx→-⎰()232ln 1lim4x x x x→-= .6分220lim 2x x x →-=12=-3..解：2分220cos xe xdx π⎰()22sin xe d x π=⎰222200sin 2sin xx e x e xdx ππ⎡⎤=-⎣⎦⎰()2202cos xe e d x ππ=+⎰2222002cos 4cos xx e e x e xdx πππ⎡⎤=+-⎣⎦⎰5分22024cos x e e xdx ππ=--⎰.6分∴22cos xe xdx π⎰()125e π=-三峡大学 试卷纸 教学班号序号学号姓名………………….………….……答 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………六、解：(1)，即，且当时，， 2分2y y x x '=+2y y x x '-=1x =12y =与之对应的齐次线性微分方程的通解为，y Cx = 令，将其代入非齐次线性方程得，所以，()y u x x =u x '=212u x C =+所以非齐次线性微分方程的通解为，代入初始条件得，312y Cx x =+0C =故所求函数为. 6分312y x =(2) .10分23102x V dx π⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰28π=七、解：设留下的扇形的中心角为，圆锥的高为，底面半径为，则其容积为ϕh r V ，又，213V r h π=2rR πϕ=h =故 4分V =()02ϕπ<<6分3224RV π'=令 得，0V '=ϕ=当时，时，，0ϕ<<0V '>2ϕπ<<0V'<因此为极大值点，又驻点唯一，从而也是最大值点. 8分ϕ=ϕ=即当割去扇形的中心角为时，圆锥的容积最大，2π. 10分3R 八、证明：方程在区间内有唯一实根.4013101xx dt t --=+⎰)1,0( 证明：令，()401311x f x x dt t =--+⎰则，()010f =-< ，()1401121f dt t =-+⎰0>由零点定理知，至少存在一点，使. 4分()0,1ξ∈()0f ξ=由，，()41301f x x'=->+()0,1x ∈知在内单调增加，()f x )1,0(所以方程在区间内有唯一实根. 8分4013101xx dt t --=+⎰)1,0(。
高数A(1)期末考试题参考答案(2013.1.)
高数A(1)(A 卷)期末考试题参考答案一. 填空题(每小题3分，共33分)(1) 1,;e (2) 0,1; (3) 0;22111();28x x o x =+-+ (5)1;4 (6) 1;y x e =+ (7) ;x e C --+ (8) ;2π(9) 1(ln 21);2+ (10) 1;e e- (11) ().x y x C e =+ 二. 计算题(每小题8分，共48分)1. 解. 3311001tan tan sin lim lim 11sin 1sin x x x x x x x x x →→+-⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ (2分) ()3()1()tan sin lim 1(),()1sin x x x x x xx x x ϕϕϕϕ→-⎡⎤=+=⎢⎥+⎣⎦(4分)因为 ()1()lim 1(),x x x e ϕϕ→+= ( 5分)3300()tan sin 1limlim,(1sin )2x x x x x x x x ϕ→→-==+ ( 7分)所以原式.= ( 8分) 解法二. 原式＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛++→x x x x sin 1tan 1ln 1lim exp 30(1分) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+=→3)sin 1ln()tan 1ln(lim exp x x x x ( 3分) ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+=→2203sin 1cos tan 1sec lim exp x x x x x x (4分)⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++-+=→)sin 1)(tan 1(3cos )tan 1(sec )sin 1(lim exp 220x x x x x x x x (5分) e = ( 8分) 解法三. 解. 原式⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→x x x x sin 1tan 1ln 1limexp 3(1分) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-⋅=→x x x x x sin 1sin tan 1lim exp 3( 5分) e = ( 8分)2. 解：3222243sin 2cos 4sin cos cos 2sin ,2cos 4cos 2cos x x x x x xx x x '++⎛⎫== ⎪⎝⎭(3分) 21111ln tan sec 2242224tan 24x x x πππ'⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭( 6分)12cos x=( 7分) 31.cos dy dx x= ( 8分) 3. 解. 方程两边同时对x 求导，得222[sec ()](1)[sec ()](1)x y y x y y ''--⋅-=-⋅- ( 4分)2sin ()y x y '=- ( 5分)2sin()cos()(1)y x y x y y '''=---( 7分)32sin()cos ().x y x y =-- ( 8分)4．解法一.12dx =-⎰( 2分)212⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰ ( 6分)3arcsin(21).2x C =--+ ( 8分)解法二.dx =⎰( 2分)令11sin ,,2222x u u ππ-=-<<( 3分) 则31sin 22dx u du ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭⎰⎰ ( 5分) 31cos 22u u C =-+ ( 6分)3arcsin(21).2x C =--+ ( 8分)5．解. 2(1)0,()t f f t e -'== ( 1分)()112301()()3t f t dt f t d t =⎰⎰ ( 2分) 131301()()33t f t t f t dt '=-⎰ ( 4分)213013t t e dt -=-⎰ ( 5分) ()212016t t d e -=⎰( 6分) 121.6e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭( 8分)6. 解. 齐次方程0y y ''+=的通解为12cos sin .y C x C x =+ ( 3分)211cos cos 222x x =+ ( 4分) 非齐次方程12y y ''+=的特解11.2y *= ( 5分)设非齐次方程1cos 22y y x ''+=的特解为2cos 2sin 2,y A x B x *=+ ( 6分) 代入计算得1,0,6A B =-= 于是得21cos 2.6y x *=- ( 7分) 原方程的通解为1211cos sin cos 2.26y C x C x x =++- ( 8分) 三．解. 抛物线2y x =在点2(,)a a 处的切线方程为22,y ax a =- ( 2分)这条切线与抛物线241y x x =-+-的两个交点的横坐标记为1x 和2x (不 妨设21(),x x > 则1x 和2x 是方程222(2)10x a x a +-+-=的两个根，从而得21212211,2(2),x x a x x a x x ⋅=-+=--= (4分)上述切线与抛物线 241y x x =-+-所围成的平面图形面积 2122(412)x x S x x ax a dx =-+--+⎰( 6分)3224(243)3a a =-+ (8分)122()8[2(1)1](1).S a a a '=-+- ( 9分)令()0S a '=得唯一驻点1,a = (10分)当1a <时，()0;S a '< 当1a >时， ()0,S a '> 所以1a =为极小值点，即最小值点，也就是说，1a =时所围图形面积最小。
大学高数试题（共7套）
第1 页共5页2010-2011学年第一学期考试卷 A课程：高等数学Ⅰ1（90学时）考试形式：闭卷考试一．填空题．填空题((每小题3分,本大题满分15分) 1．设函数îíì>£=1||01||1)(x x x f ，则)]([x f f = . 2．设函数ïîïíì³+<=0202sin )(x ax x xx x f ，当常数=a ____________时时,)(x f 在0x =处连续处连续. .3．曲线x e y 2=上点（0，1）处的切线方程为______ __. 4．曲线53523++-=x x x y 的凹区间为的凹区间为_______ _____. _______ _____. 5．若x e -是)(x f 的原函数，则dx x f x )(ln 2ò = . 二．选择题选择题((每小题3分,本大题满分15分)1. 1. 当当1x ®时，无穷小量x -1是x -1的( ).A. A. 高阶无穷小高阶无穷小; B. B. 低阶无穷小低阶无穷小;C. C. 等价无穷小等价无穷小;D. D. 同阶但不等价无穷小同阶但不等价无穷小. 2．若¥=®)(lim x f ax ，¥=®)(lim x g ax 则必有（）A. ¥=+®)]()([lim x g x f a x ;B. ¥=-®)]()([limx g x f a x ;C. 0)()(1lim=+®x g x f ax ; D. ¥=®)(lim x kf ax ，（0¹k 为常数）3.3.函数函数xx x x f p sin )(3-=的可去间断点个数为（）.A ．1; B. 2; C. 3; D. 1; B. 2; C. 3; D. 无穷多个无穷多个无穷多个. .4.设函数)(x f y =在点0x 处可导,且0)(0¹¢x f ，则xdy y xD -D ®D 0lim 等于（）.A. 0A. 0；；B. -1 B. -1；；C. 1 C. 1；；D. ¥ .5. 5. 设设)(x f 连续，且ò=24)(x x dt t f ，则)4(f = = （（）A. 2A. 2；；B. 4 B. 4；；C. 8 C. 8；；D. 16 . 三．解答下列各题解答下列各题((每小题6分,本大题满分18分)1．)3ln(tan 2x x y ×=，求dy .2．求由方程0)cos(=-+xy e y x 所确定的隐函数()y f x =在0x =处的导数处的导数. .3．设îíì=+=ty tx cos 12，求dx dy 和22dx y d 。
2011高等数学上试卷及答案(Bear)
2011高等数学上试卷及答案(Bear)装订线华南农业大学期末考试试卷（A卷）2011~2012学年第1 学期考试科目：高等数学AⅠ考试类型：（闭卷）考试考试时间：120 分钟学号姓名年级专业题号一二三四总分得分评阅人一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．sin5lim2xxx→=。
2．曲线2x xe ey-+=在点(0,1)处的曲率是。
3．设()f x可导，[]l n()y f x=，则d y= 。
4．不定积分23x x d x-⎰= 。
5．反常积分6xe dx+∞-⎰= 。
二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．设2,01(),,12x xf xx x⎧<≤=⎨<<⎩在点1x=处必定（）A．连续但不可导B．连续且可导C．不连续但可导D．不连续，故不可导2．曲线y x在点4x=处的切线方程是（）A．114y x=-B．112y x=+C．114y x=+D．124y x=+3．下列函数在区间[1,1]-上满足罗尔定理条件的是（）得分得分装订线A．21xB．3x C．x D．211x+4．设()f x为连续函数，则下列等式中正确的是（）A．()()f x d x f x'=⎰B．()()df x d x f x Cd x=+⎰C．()()d f x d x f x=⎰D．()()d f x d x f x d x=⎰5．已知()232ax xd x-=⎰，则a=（）A．1-B．0C．12D．1三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1.求极限()11limxxxe xx e→---。
2. 设函数1s i n2 ,0(),,0x xf xa b x x+≤⎧=⎨+>⎩在点0x=处可导，求,a b的值。
得分1.5CM装订线装订线7．求不定积分321xdxx-⎰。
四、解答题（本大题共 3 小题，每小题7 分，共21 分）1．证明不等式：当0x>时，3sin6xx x>-。
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广州大学2010-2011学年第一学期考试卷课 程：高等数学Ⅰ1（90学时） 考 试 形 式：闭卷考试学院:__________专业班级:__________ 学号:__________ 姓名:_________一．填空题(每小题3分,本大题满分15分)1．设函数1,||1()0,||1x f x x ≤⎧=⎨>⎩，则 )]([x f f = .2．设函数sin 2,0()2,0xx f x x x a x ⎧<⎪=⎨⎪+≥⎩，当常数=a ______时,)(x f 在0x =处连续.3．曲线xe y 2=上点（0，1）处的切线方程为______ __.4．曲线53523++-=x x x y 的凹区间为_______ _____. 5．若xe -是)(xf 的原函数，则dx x f x )(ln 2⎰= .二．选择题(每小题3分,本大题满分15分)1. 当1x →时，无穷小量x -1是x -1的( ).A. 高阶无穷小;B. 低阶无穷小;C. 等价无穷小;D. 同阶但不等价无穷小. 2．若∞=→)(lim x f ax ，∞=→)(lim x g ax 则必有( ).A. ∞=+→)]()([lim x g x f ax ; B. ∞=-→)]()([lim x g x f ax ;C. 0)()(1lim=+→x g x f ax ; D. ∞=→)(lim x kf a x ，(0≠k 为常数).3．函数xx x x f πsin )(3-=的可去间断点个数为( ).A ．1; B. 2; C. 3; D. 无穷多个.4．设函数)(x f y =在点0x 处可导, 则 xdyy x ∆-∆→∆0lim等于( ).A. 0；B. -1；C. 1；D. ∞ .5. 设)(x f 连续，且240()x f t dt x =⎰，则)4(f = ( ).A. 2；B. 4；C. 8；D. 16 .三．解答下列各题(每小题6分,本大题满分18分)1．)3ln(tan 2x x y ⋅=，求dy .2．求由方程0)cos(=-+xy e yx 所确定的隐函数()y f x =在0x =处的导数.3．设⎩⎨⎧=+=ty t x cos 12，求dx dy 和22dx y d .四．解答下列各题(每小题6分,本大题满分12分)1．计算极限13)1232(lim +∞→++x x x x .2．设21cos ,02(),0x x f x xx x ⎧<<⎪=⎨⎪≤⎩，讨论)(x f 在0=x 处的连续性与可导性.五．计算下列积分(每小题6分,本大题满分18分) 1．xdx x 2sin ⎰.2．12dx x. 3．221(1)dx x -⎰.六．(本题满分5分)证明方程015=-+x x 只有一个正根.七．(本题满分5分)设)(x f 在),(+∞-∞内连续，且0()(2)()x F x x t f t dt =-⎰，试证：若)(x f 为偶函数，则)(x F 亦为偶函数.八．(本大题满分12分)设抛物线c bx ax y ++=2通过点（0，0），且当]1,0[∈x 时，0≥y .求c b a ,,的值，使得抛物线c bx ax y ++=2与直线0,1==y x 所围图形的面积为94，且使该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积最小.广州大学2010-2011学年第一学期考试卷高等数学Ⅰ1（90学时A 卷）参考解答与评分标准一．填空题(每小题3分,本大题满分15分)1．设函数⎩⎨⎧>≤=1||01||1)(x x x f ，则 )]([x f f = 1 ),(+∞-∞∈x 。
2．设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=0202sin )(x a x x x x x f ，当常数=a _2___时,)(x f 在0x =处连续.3．曲线xe y 2=上点（0，1）处的切线方程为 12+=x y4．曲线53523++-=x x x y 的凹区间为 ),35(+∞ . 5．若xe -是)(xf 的原函数，则dx x f x )(ln 2⎰= C x +-221.二．选择题(每小题3分,本大题满分15分)1. 当1x →时，无穷小量x -1是x -1的( D ).A. 高阶无穷小;B. 低阶无穷小;C. 等价无穷小;D. 同阶但不等价无穷小.2．若∞=→)(lim x f ax ，∞=→)(lim x g ax 则必有（ D ）A. ∞=+→)]()([lim x g x f ax ; B. ∞=-→)]()([lim x g x f ax ;C. 0)()(1lim =+→x g x f ax ; D. ∞=→)(lim x kf a x ，（0≠k 为常数）3.函数xx x x f πsin )(3-=的可去间断点个数为（ C ）.A ．1; B. 2; C. 3; D. 无穷多个. 4.设函数)(x f y =在点0x 处可导, 则 x dy y x ∆-∆→∆0lim 等于（ A ）.A. 0；B. -1；C. 1；D. ∞ .5. 设)(x f 连续，且⎰=24)(x x dt t f ，则)4(f = （ C ）A. 2；B. 4；C. 8；D. 16 .三．解答下列各题(每小题6分,本大题满分18分)1．)3ln(tan 2x x y ⋅=，求dy .解: xxx x x y 3tan 3)3ln(sec tan 222+⋅⋅=' ………………….………….3分x x x xx 23tan )3ln(cos sin 2+⋅= …………………….…..………..…….4分dx x xx xx dy )tan )3ln(cos sin 2(23+⋅=……………………….…..……….6分2．求由方程0)cos(=-+xy eyx 所确定的隐函数()y f x =在0x =处的导数. 解: 把方程两边分别对x 求导数得0)()sin()1(='+⋅+'++y x y xy y e y x ……………………….…..…….4分当0x =时,0=y ,代入上式得1|0-='=x y …….……….………….…..…….6分3．设⎩⎨⎧=+=t y t x cos 12，求dx dy 和22dx y d 。
解:ttdx dy 2sin -=……………………………………….…..…3分 3224sin cos //)(tt t t dt dx dt dx dy d dx y d --== ……………………….…..…6分四．解答下列各题(每小题6分,本大题满分12分) 1．计算极限13)1232(lim +∞→++x x x x .解: 原式= 12)13(2212)21211(lim +++∞→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++x x x x x …………..……..………..………3分 3e = ……………………….…..………………………………….6分2．设⎪⎩⎪⎨⎧≤<<=0201cos)(2x xx xx x f ，讨论)(x f 在0=x 处的连续性与可导性。
解: 01cos lim )(lim 2==++→→xx x f x x 0lim )(lim 0==--→→x x f x x因此 0)0()(lim 0==→f x f x ，故)(x f 在0=x 处的连续。
………………3分01coslim )0()(lim 200==-++→→xx x x f x f x x1lim )0()(lim 00==---→→x x xf x f x x 因此，)(x f 在0=x 处不可导。
……………………….…..……..6分五．计算下列积分(每小题6分,本大题满分18分)1．xdx x 2sin ⎰. 解：原式x d x 2cos 21⎰-=()dx x x x ⎰⋅--=2cos 2cos 21………………..3分 ⎪⎭⎫⎝⎛--=⎰)2(2cos 212cos 21x xd x x ……………………………4分C x x x ++-=2sin 412cos 21 ………………….……….…..…..6分2．⎰-122221dx x x . 解：令t x sin =，则dt dx cos =……..…………….….…..….................1分⎜⎠⎛⋅=242cos sin cos ππtdt tt原式…………………….………………….…..........2分 ⎰242cot ππtdt = ⎰242)1(csc ππdt t -= ………….……………………..........4分()24cot ππt t --= …………………………….………… …….5分 41π-= ………………………………………….…….......................6分3．⎰-202)1(1dx x .解：1=x 是被积函数的暇点原式⎰-=102)1(x dx ⎰-+212)1(x dx ……………………………..2分 1011⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=x 2111⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+x ……………………………4分 xx -=-→11lim 1x x ----+→11lim 111 ………………………….…….5分 因为 +∞=--→xx 11lim 1 ，所以此反常积分发散。
…………….…..….6分六．(本题满分5分)证明方程015=-+x x 只有一个正根。
证明：设1)(5-+=x x x f ，则)(x f 连续可导，且,0111)1()0(<-=⋅-=⋅f f 由零点存在定理知，在)1,0(内至少存在一点1ξ，使0)(1=ξf 。
即方程有一个正根 ………………3分设2ξ也是方程有的一个根，即0)(2=ξf ，依罗尔定理至少存在一点),(210ξξ∈x 使015)(400=+='x x f ，这是不可能的，可见，方程015=-+x x 只有一个正根。
(5)分七．(本题满分5分)设)(x f 在),(+∞-∞内连续，且dt t f t x x F x⎰-=0)()2()(，试证：若)(x f 为偶函数，则)(x F 亦为偶函数。
证明： dt t f t x x F x⎰---=-0)()2()( ………………….……………….…..….1分令t u -=，则 ………………………………….…..….2分du u f u x x F x)1()()2()(0--+-=-⎰。
du u f u x x⎰--=0)()2( ………………………..……….…..….4分因为 )()(u f u f =- ， 所以 )()()2()(0x F du u f u x x F x=-=-⎰，即)(x F 为偶函数。