高一数学讲义 指数运算与指数函数
2024年新高一数学讲义(人教A版2019必修第一册)指数及其运算(解析版)
第14讲指数及其运算模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解n 次方根及根式的概念，掌握根式的性质；能利用根式的性质对根式进行运算；2．理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化；3．了解指数幂由有理数扩充到无理数的过程；理解指数幂的运算性质；能进行指数幂(实数幂）的运算.知识点1根式1、n 次方根的定义与性质（1）定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中1n >，且*n ∈N ．（2）性质：①当n 是奇数时，0,00,0>>⎧⎨<<⎩a x a x ，x；②当n 是偶数，0>a 时，x的有两个值，且互为相反数，记为；0<a 时，x 不存在；③负数没有偶次方根（负数的偶次方根无意义）；④0的任何次方根都是00(,1)n N n +=∈>．2、根式的定义与性质（1n 叫做根指数，a 叫做被开方数．（2）性质：（1n >，且n *∈N）n =a；,,,.⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数n a n a n 知识点2指数幂1、分数指数幂（1）正分数指数幂：规定：mn a=()0,,,1a m n n *>∈>N （2）负分数指数幂：规定：1mn m naa-==()0,,,1a m n n *>∈>N （3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．【要点辨析】分数指数幂的注意事项：①分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂mna 不可理解为mn个a 相乘，它是根式的一种新的写法．在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已．化成分数指数幂的形式时，不要轻易对mn进行约分．③在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如()235-=()345-=就没有意义．2、实数指数幂的运算性质①(0,,)+=>∈r s r s a a a a r s R ．②()=sra rs a (0,,)a r s >∈R ．③()=r ab r r a b (0,0,)a b r >>∈R ．3、无理数指数幂一般地，无理数指数幂a α（0a >，α为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果．（2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．知识点3指数幂运算解题方法与技巧1、指数幂的运算中常用的乘法公式（1）完全平方公式：222()2a b a ab b -=-+；222()2a b a ab b +=++；（2）平方差公式：22()()a b a b a b -=-+；（3）立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++；（4）立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+；（5）完全立方公式：33223()33a b a a b ab b -=-+-；33223()33a b a a b ab b +=+++．2、条件求值问题的解题思路（1）将条件中的式子用待求式表示出来，进而代入化简得出结论；（2）当直接代入不易时，可以从总体上把握已知式和所求式的特点，从而巧妙求解，一般先利用平方差、立方和（差）以及完全平方公式对其进行化简，再用整体代入法来求值；（3）适当应用换元法，能使公式的使用更加清晰，过程更简洁．考点一：根式的概念及辨析例1．（23-24高一上·全国·专题练习）若a 是实数，则下列式子中可能没有意义的是（）AB C D 【答案】D【解析】A.R a ∈有意义；B.R a ∈有意义；C.R a ∈有意义；D.a<0无意义；故选：D【变式1-1】（23-24高一上·全国·课后作业）R a ∈，下列各式一定有意义的是（）A ．2a -B ．14a C ．23a D ．0a【答案】C【解析】对于A ，当0a =时，2a -无意义，A 不是；对于B ，当a<0时，14a 无意义，B 不是；对于C ，23a =C 是；对于D ，当0a =时，0a 无意义，D 不是.故选：C【变式1-2】（2023高一·江苏·a 的取值范围是（）A ．0a ≥B ．1a ≥C ．2a ≥D ．Ra ∈【答案】B有意义，得102R a a -≥⎧⎨-∈⎩，解得1a ≥，所以a 的取值范围是1a ≥.故选：B【变式1-3】（223-24高一下·贵州遵义·月考）若34(12)x --有意义，则实数x 的取值范围为【答案】1(,)2-∞【解析】由34(12)x --120x ->，解得12x <，故答案为：1(,2-∞．考点二：利用根式的性质化简求值例2.（23-24高一上·北京·期中）下列各式正确的是（）A 3=-Bx=C 2=D ．01a =【答案】C【解析】A 3=，故A 错误；B x =，故B 错误；C2=，故C 正确；D ：01a =，当0a ≠时成立，故D 错误；故选：C.【变式2-1】（23-24高一上·贵州贵阳·月考）若0ab <，则化简）A ．-1B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】=a b a b ⎛=+ ⎝因为0ab <，所以,a b 异号，0a b a b +=，所以0a b a b a b a b a b++==，所以，0=.故选：B.【变式2-2】（23-24高一上·全国·+【答案】6-6(446-+=-．【变式2-3】（23-24高一上·甘肃兰州·期中）（多选）若412x<-3的结果可能为（）A ．210x -B ．46x -C ．24x -+D ．410x --【答案】AC 【解析】由题意知412x <-，即4102x-<-，即202x x +>-，故(2)(2)0,2x x x +->∴<-或2x >，3|2|3x =+-3523210,23523352324,2x x x x x x x x x x ----=->⎧=--+-=⎨-+++-=-+<-⎩，故选：AC考点三：根式与分数指数幂互化例3.（23-24高一上·湖南株洲·月考）下列关于nm a -(),m n *∈N 的形式的运算正确的是（）A．538-=B．538-=C．538-=D ．()328--【答案】A【解析】由于5353818-==A 正确，B ，C 错误；()328--=D 错误，故选：A【变式3-1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）（多选）下列各式正确的是（）A ．46a=B 5=-C．(36=D ．23a -=【答案】AC【解析】对于A ：4263a a ==A正确；对于B 5=，故B 错误；对于C：(2636===，故C 正确；对于D：23231aa-==D 错误.故选：AC【变式3-2】（23-24高一上·江西新余·期中）（多选）下列根式与分数指数幂的互化中正确的有（）A ．)130xx -=≠B()120a a =≥C．21320,0)x y x y -=>>D ．3142(0)x x ⎤=->【答案】BC【解析】对选项A ：)130xx -=≠，错误；对选项B()1313220a a a ⎛⎫==≥ ⎪⎝⎭，正确；对选项C22133212(0,0)y x y x y x-==>>，正确；对选项D：33214432(0)x x x⎛⎫==>⎪⎝⎭，错误；故选：BC【变式3-3】（23-24高一上·广东广州·期中）用分数指数幂表示并计算下列各式（式中字母均正数），写出化简步骤.154m⋅【答案】(1)14b；(2)1【解析】（1=111224b b⎛⎫===⎪⎝⎭.（2）154m⋅11111532423651641m m m m mm m+-⋅⋅====⋅.考点四：利用指数幂运算性质化简例4.（23-24高一上·全国专题练习）下列等式一定成立的是（）A．1332a a a⋅=B．11220⋅=a a C．329()a a=D．111362a a a÷=【答案】D【解析】对于A：11311333262a a a a+⋅==，故A错误；对于B：11212221⋅==a a a a，故B错误；对于C：326()a a=，故C错误；对于D：1111132362a a a a÷==，故D正确；故选：D【变式4-1】（23-24高一上·广东江门·期中）102x=，103y=，则10x y+=．【答案】6【解析】102x=Q，103y=，101010236x y x y+∴=⋅=⨯=，故答案为：6．【变式4-2】（23-24高一上·河南·期中）若a b =，则()2312222a b ab ---⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.【答案】1【解析】由题意，0,0a b >>，所以()()231222232246a b ab a b a b -----⎡==⎤⎢⎥⎣⎦，又11322,2a b --===，所以原式6411223222221----⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：1.【变式4-3】（23-24高一上·江西九江·期中）化简或计算下列各式．(1)121121332a b a b ---⎛⎫ ⎪；(2)()10.52332770.02721259-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】(1)1a；(2)0.09【解析】（1）原式2111111111532322132623615661ab a baba aa b⎛⎫⨯--⎪⎝⎭---+--⋅====.（2）原式22333273550.0910001033⨯⎛⎫⎛⎫==+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.考点五：解简单的指数方程例5.（23-24高一·全国·专题练习）方程11416x -=的解为（）A ．2B ．﹣2C ．﹣1D ．1【答案】C 【解析】∵1214416x --==，∴x ﹣1＝﹣2，∴x ＝﹣1．故选：C ．【变式5-1】（22-23高一上·河北沧州·期中）关于x 的方程112250x x +--+=的解的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】B【解析】解：原方程即222502xx ⨯-+=，化简可得()2225220x x ⨯+⨯-=，令2(0)x t t =>，可得22520t t +-=，该方程有且只有一个正根，由于2x t =单调递增，所以t 与x 一一对应，即原方程只有一个解.故选：B .【变式5-2】（23-24高一上·北京顺义·期中）关于x 的方程422x x -=的解为．【答案】1x =【解析】由422x x -=可得()22220x x --=，即()()21220x x+-=，因为20x >，可得22x =，故1x =.所以，方程关于x 的方程422x x -=的解为1x =.故答案为：1x =.【变式5-3】（22-23高三·全国·对口高考）方程(2522xx x -+=的解为．【答案】5x =或12x =【解析】由题意可得(2599222222xxx x x -+⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以25922x x x -+=，即221150x x -+=，解得5x =或12x =，故答案为：5x =或12x =考点六：整体换元法解决条件求值例6.（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知12a a+=，则1122a a -+等于（）A ．2B ．4C ．2±D ．4±【答案】A【解析】112221()2224a a a a-+=++=+=，所以11222a a -+=.故选：A.【变式6-1】（23-24高一上·全国·专题练习）已知11223a a -+=，则33221122a a a a--++的值为．【答案】6【解析】因为11223a a-+=，所以2112223a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即129a a -++=，所以17a a -+=，所以3333112222a aa a --⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111111222222a a a a a a ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+-⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()11122371181a a a a --⎛⎫=++=⨯- ⎝-=⎪⎭，所以332211221863a a a a--+==+．【变式6-2】（23-24高一上·全国·专题练习）已知11223x x -+=，计算：22111227x x x x x x---+-+++.【答案】4【解析】因为11223x x-+=，所以211229x x -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以129x x -++=，所以17x x -+=，所以()2127x x -+=，即22249x x -++=，所以2247x x -+=，所以22111227477473x x x x x x---+--==++++.【变式6-3】（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知11223a a -+=，求下列各式的值：(1)1a a -+；(2)33222232a a a a --+-+-．【答案】(1)7；(2)13【解析】（1）由题意11223a a-+=，所以21112222327a a a a --⎛⎫+=+-=-= ⎪⎝⎭.（2）由题意11223a a -+=，所以()()1111212233222222213371331512744534a a a a a a a a a a a a ------⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⨯--+-⎝⎭⋅⎝⎭==-==+--+++-.一、单选题1．（23-24高一上·青海海南·期中）已知R a ∈，则下列各式一定有意义的是（）A ．2a -B ．13a C ．12a D ．0a 【答案】B【解析】对于A ，由221aa -=可知，0a =时表达式无意义；对于B ，根据幂函数性质可知，R a ∈时，表达式13a 恒有意义；对于C，易知12a =a<0时，表达式无意义；对于D ，当0a =时，0a 无意义；故选：B2．（23-24高一上·陕西咸阳·期末）化简32的结果为（）A ．5BC ．5-D．【答案】A【解析】332232232332555⨯⎛⎫=== ⎪⎝⎭=，故选：A3．（23-24高一上·北京大兴·月考）已知0a >=（）A ．12a B ．32a C ．2a D ．3a 【答案】A12a ==，故选：A4．（23-24高一上·安徽淮南·月考改编）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（）A()120a a =>B．)340xx -=>C．)21320,0x y x y -=>>D ．()32140x x =>【答案】B【解析】对于A()1313220a a a ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，故A 正确；对于B选项，)334410xx x -⎛⎫=> ⎪⎝⎭，故B 错误；对于C，)21321210,0x y x y x-=>>，故C 正确；对于D ，)()33321444320x x x ⎛⎫===> ⎪⎝⎭，故D 正确．故选：B ．5．（23-24高一上·江苏泰州·期中）已知14x x -+=，则22x x -+等于（）A ．6B ．12C ．14D ．16【答案】C【解析】由14x x -+=可得：()2122216x x x x --+=++=，则2214x x -+=.故选：C.6．（23-24高一上·四川德阳·月考）010.256371.586-⎛⎫⨯-++= ⎪⎝⎭（）A ．110B ．109C ．108D ．100【答案】A【解析】原式()11133333112344131442222223221083331210810231-⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯-=⨯+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A.二、多选题7．（23-24高一上·四川成都·期中）以下运算结果等于2的是（）AB ．C ．D【答案】BCD 【解析】对于Aπ44π=-=-，不合题意；对于B ，2=，符合题意；对于C ，()22=--=，符合题意；对于D 22=-=，符合题意.故选：BCD8．（23-24高一上·浙江·月考）已知0a >，0b >，则下列各式正确的是（）A π3=-B 1=C ．m na-=D ．121133332463b ab a b ---⎛⎫÷-=- ⎪⎝⎭【答案】ABD【解析】A 选项：由π30->π3=-，A 选项正确；B ()11111123612312600222221a b b a ab a b ⎛⎫⎛⎫-⨯-+⨯ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎡⎤====⎢⎥⎣⎦，B 选项正确；C 选项：m na-=C 选项错误；D 选项：112121101333333331246663b ab a a b a b b ⎛⎫⎛⎫------- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫÷-=-=-=- ⎪⎝⎭，D 选项正确；故选：ABD.三、填空题9．（22-23高一上·上海奉贤·期末）化简()222a b ⋅=（其中0a >，0b >）．【答案】4ab【解析】()((42222222a b ab ab ⨯⋅=⋅=.故答案为：4ab .10．（23-24高一上·全国·单元测试）方程2129240x x +-⋅+=的解集是．【答案】{1,2}-【解析】令2x t =，则0t >，方程可化为22940t t -+=，解得12t =或4t =，所以，122x=或24x =，解得=1x -或2x =.所以，方程的解集为{1,2}-.故答案为：{1,2}-.11．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知12102α-=，131032β=，则314210βα+=（填数值）【答案】2【解析】()()31131113113142513422342242101010=322222βαβα⎛⎫⎛⎫⨯⨯+-⨯+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：2四、解答题12．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）化简求值：(1)()12120.344⎛⎫+ ⎪⎝⎭(2)20.5231103522216274--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯÷ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；【答案】(1)52；(2)0【解析】（1）()120120.344⎛⎫+ ⎪⎝⎭1293511422⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭.（2）20.5231103522216274--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222364493322220273444-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-÷=-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13．（23-24高一上·辽宁丹东·期中）已知正实数a 满足11221a a --=.(1)求1a a -+的值；(2)求33221122a a a a---+的值.【答案】(1)3；(2)5【解析】（1）将11221a a --=两边平方得121a a -+-=，所以13a a -+=.（2）因为a 是正实数，令1122(0)a a x x -+=>，则2125x a a -=++=，所以x =可得()33111222214a aa a a a ---⎛⎫-=-++= ⎪⎝⎭，所以33221122a a a a---==+。
高一数学+指数函数+课件
在金融、经济、科学计算等领域中，指数函数被广泛应用于描述增长和衰减现象。例如， 复利计算、人口增长、放射性物质的衰变等。
对数函数的应用
在科学、工程和统计学等领域中，对数函数被广泛应用于处理和转换数据。例如，声学中 的分贝计算、测量技术中的对数刻度、以及在信号处理中的频谱分析等。
指数函数与对数函数的相互转换
当底数不同时，不能直接进行加法运 算，需要先统一底数。
举例
$(2^3)^2 = 2^{3 times 2} = 2^6$ ，$2^3 times 3^3 = 2^{3+3} = 2^6$。
指数函数的减法运算
指数函数的减法运算规则
$a^m - a^n = a^m times (1 - a^{n-m})$。
举例
$2^3 - 2^1 = 2^3 times (1 - 2^{-2}) = 8 times (1 - frac{1}{4}) = 8 times frac{3}{4} = 6$。
注意
当底数不同时，不能直接进行减法运算，需要先统一底数。
指数函数的乘法运算
指数函数的乘法运算规则
01
$a^m times a^n = a^{m+n}$。
在实际应用中，我们经常需要将指数函数转换为对数函数，或者将对数函数转换为指数函 数。这可以通过使用反函数的性质来实现，即通过将指数函数的自变量和因变量互换，将 对数函数的自变量和因变量互换，可以得到相应的反函数。
05
指数函数在实际生活中的应用
在金融领域中的应用
复利计算
在储蓄和投资中，复利是一种常见的计算方式，其实质就是指数函 数的应用。通过计算复利，可以评估投资收益和未来财富增长情况 。
02
高一数学指数函数ppt课件
图像法
运算性质法
利用指数函数的运算性质，如乘法公 式和指数法则，推导出奇偶性的判断 方法。例如，若f(x)和g(x)都是奇函数， 则f(x)*g(x)也是奇函数。
通过观察指数函数的图像，判断其是 否关于原点对称或关于y轴对称，从而 确定函数的奇偶性。
06 典型例题解析与 课堂互动环节
典型例题选讲及思路点拨
指数函数的图像关于y轴对称。
当a>1时，函数在定义域内单调递增，图 像上升；当0<a<1时，函数在定义域内单 调递减，图像下降。
指数函数图像特点 函数图像过定点（0,1）。
指数函数性质探讨
指数函数的单调性
01
当a>1时，函数在R上单调递增；当0<a<1时，函数在R上单调
递减。
指数函数的周期性
02
指数函数不是周期函数。
应用举例
$3^4 = (frac{3}{2})^4 times 2^4$
对数转换
当底数不同且难以直接 计算时，可通过对数转 换为相同底数进行计算。
应用举例
比较 $7^{10}$ 和 $10^7$ 的大小，可转 换为比较 $10 times
log7$ 和 $7 times log10$。
复杂表达式化简技巧
利用指数函数构建可持续增长模型，可以预测未来经济发展的趋势和可能遇到的问 题，帮助学生了解经济增长的复杂性和不确定性。
05 指数函数图像变 换与性质变化规 律
平移、伸缩变换对图像影响
平移变换
指数函数图像沿x轴或y轴平移，不改 变函数的形状和周期性，只改变函数 的位置。
伸缩变换
通过改变函数的参数，实现对指数函 数图像的横向或纵向伸缩，从而改变 函数的周期和振幅。
2指数与指数函数 - 中档 - 讲义
指数与指数函数知识讲解一、指数运算1.根式的概念：①定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根．即若a x n =， 则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且，1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n ．②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a nn．2.幂的有关概念①规定：1）∈⋅⋅⋅=n a a a a n(ΛN*；N 个 2）)0(10≠=a a ； 3）∈=-p aap p(1Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N* 且)1>n ． ②性质：1）r a a a a sr s r ,0(>=⋅+、∈s Q ）；2）r a a a s r s r ,0()(>=⋅、∈s Q ）；3）∈>>⋅=⋅r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）． 注：上述性质对r s R ∈、均适用．二、指数函数1.定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数，1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞；3）当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数．2.函数图像：f x () =12( = 2x1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；2）指数函数都以x 轴为渐近线（当10<<a 时，图象向左无限接近x 轴，当1>a 时，图象向右无限接近x 轴）；指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系是：在y 轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小，在y 轴的左侧，图像从下到上相应的底数由大变小．3）无奇偶性，是非奇非偶函数，但对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x x a y a y -==与的图象关于y 轴对称，x x y a y a ==-与的图象关于x 轴对称；log xa y a y x ==与的图象关于直线y x =对称．4）有两个特殊点：零点(0,1)，不变点(1,)a ．5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=⋅-=3函数值的变化特征：典型例题一．选择题（共6小题）1．（2016秋•沙河市校级期末）若指数函数的图象过点（﹣1，2），则此指数函数是（）A．B．y=2x C．y=3x D．y=10x【解答】解：设指数函数的解析式为y=a x，函数过点（﹣1，2），则a﹣1=2，解得：，即函数的解析式为．故选：A．2．（2017秋•城关区校级期中）已知a=0.32；b=0.31.5；c=20.3，则（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞b＞c【解答】解：∵y=0.3x为减函数，2＞1.5＞0，故a=0.32＜b=0.31.5＜0.30=1，∵y=2x为增函数，0.3＞0，故c=20.3＞20=1，故c＞b＞a，故选：C．3．（2016秋•嘉兴期中）函数y=a x在[0，1]上最大值与最小值的和为3，则a=（）A．2 B．C．4 D．【解答】解：根据题意，由y=a x的单调性，可知其在[0，1]上是单调函数，即当x=0和1时，取得最值，即a0+a1=3，再根据其图象，可得a0=1，则a1=2，即a=2，故选：A．4．（2018•长沙一模）设平行于x轴的直线l分别与函数y=2x和y=2x+1的图象相交于点A，B，若函数y=2x的图象上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则这样的直线l（）A．不存在B．有且只有一条C．至少有两条D．有无数条【解答】解：根据题意，设直线l的方程为y=m，∵△ABC是等边三角形，∴点C到直线AB的距离为，∴m﹣2x=，∴m﹣=，解得m=，故而符合条件的直线l只有1条．故选：B．5．y=2|1﹣x|的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：函数y=2|1﹣x|的解析式可化为：y=其函数图象关于直线x=1对称，在区间（1，+∞）上是单调递增故选：B．6．方程|2x﹣1|=b有两个不相等的实数根，则b的取值范围是（）A．b＞1 B．b＜1 C．0＜b＜1 D．0＜b≤1【解答】解：由题意方程|2x﹣1|=b有两个不相等的实数根可转化为两函数y=|2x ﹣1|与y=b有两个交点∵y=|2x﹣1|在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数，且在（﹣∞，0）上值域是（0，1），在（0，+∞）上值域是（0，+∞）∴0＜b＜1故选：C．二．填空题（共4小题）7．（2017秋•大兴区期末）函数y=2x﹣1的值域为{y|y＞﹣1}．【解答】解：由于2x＞0，∴2x﹣1＞﹣1，故函数y=2x﹣1的值域为（﹣1，+∞），故答案为（﹣1，+∞）．8．（2017春•通州区期末）若指数函数f（x）=（a﹣1）x是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是（1，2）．【解答】解：指数函数f（x）=（a﹣1）x是R上的单调减函数，∴0＜a﹣1＜1，解得1＜a＜2；∴实数a的取值范围是（1，2）．故答案为：（1，2）．9．（2017秋•榆阳区校级期中）函数y=（a2﹣3a+3）•a x是指数函数，则a的值为2．【解答】解：由题意得：a2﹣3a+3=1，即（a﹣2）（a﹣1）=0，解得：a=2或a=1（舍），故答案为：2．10．（2017秋•嘉兴期末）若a＞0且a≠1，则函数y=a x﹣1﹣1的图象经过定点（1，0）．【解答】解：∵函数y=a x的图象过点（0，1），而函数y=a x﹣1﹣1的图象是把函数y=a x的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到的，∴函数y=a x﹣1﹣1的图象必经过的点（1，0）．故答案为：（1，0）．三．解答题（共3小题）11．（2015秋•兰考县校级期末）已知函数f（x）=a x﹣1（x≥0）的图象经过点，其中a＞0且a≠1．（1）求a的值；（2）求函数y=f（x）（x≥0）的值域．【解答】解：（1）由题意得所以（2）由（1）得因为函数在[0，+∞）上是减函数所以当x=0时f（x）由最大值所以f（x）max=2所以f（x）∈（0，2]所以函数y=f（x）（x≥0）的值域为（0，2]．12．（2011秋•南岗区校级期中）已知函数f（x）=+4．（1）求函数f（x）的定义域；（2）求函数f（x）的值域．【解答】解：（1）要使函数有意义，只需﹣x2+4x+5≥0，即x2﹣4x﹣5≤0解得{x|﹣1≤x≤5}（4分）（2）令u=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9∴0≤u≤9，∴0≤≤3，（8分）∴y=2u+4，u∈[0，3]的值域为[5，12]（10分）13．（2017•深圳一模）已知函数f（x）=（）ax，a为常数，且函数的图象过点（﹣1，2）．（1）求a的值；（2）若g（x）=4﹣x﹣2，且g（x）=f（x），求满足条件的x的值．【解答】解：（1）由已知得（）﹣a=2，解得a=1．（2）由（1）知f（x）=（）x，又g（x）=f（x），则4﹣x﹣2=（）x，即（）x﹣（）x﹣2=0，即[（）x]2﹣（）x﹣2=0，令（）x=t，则t2﹣t﹣2=0，即（t﹣2）（t+1）=0，又t＞0，故t=2，即（）x=2，解得x=﹣1，满足条件的x的值为﹣1．林老师网络编辑整理林老师网络编辑整理。
高一数学人必修课件指数与指数幂的运算
在不考虑固定资产预计净残值的情况下，根据每年年初固定资产净值和
双倍的直线法折旧率计算固定资产折旧额的一种方法。这种方法前期折
旧额较大，后期较小。
04
指数函数及其性质
指数函数的图像与性质
指数函数的定义
形如$y=a^x$（$a>0$，$aneq 1$）的函数叫做指数函数。
指数函数的图像
指数函数的图像是一条从原点出 发，沿x轴正向或负向无限延伸 的曲线。当$a>1$时，图像上升 ；当$0<a<1$时，图像下降。
高一数学人必修课件 指数与指数幂的运算
汇报人：XX
20XX-01-21
目录
• 指数与指数幂的基本概念 • 指数与指数幂的运算法则 • 指数与指数幂在实际问题中的应用 • 指数函数及其性质 • 指数方程与不等式
01
指数与指数幂的基本概念
指数的定义及性质
指数是正整数时，表示相同因 数的连乘，如a^n = a × a × ... × a（n个a）。
注意运算时底数和指数的范围，以及 运算结果的合理性。
运算规则包括同底数幂相乘、幂的乘 方和积的乘方。
指数函数的定义及性质
指数函数的定义
y = a^x（a > 0且a ≠ 1）是指数函数。
指数函数的性质包括
函数图像过定点（1,1），当a > 1时，函数在R上是增函数；当0 < a < 1时， 函数在R上是减函数。
$A = P(1 + frac{r}{n})^{nt}$，其中$A$表示未来值，$P$表示本金，$r$表示年 利率，$n$表示每年计息次数，$t$表示时间（年）。通过该公式可以计算投资在 复利下的未来值。
连续复利
当计息次数趋于无穷大时，即$n to infty$，复利公式变为$A = Pe^{rt}$，其中 $e$是自然对数的底数。连续复利更适用于连续增长的情境。
高一数学指数函数00ppt课件
在化学中，某些化学反应的速率与反应物的浓度成正比。当反应物浓度较高时，反应速率也较快；反之则较慢。 这种关系可以用指数函数来描述，其中反应速率常数与反应温度、压力等因素有关。
05
指数函数与对数函数关系 探讨
对数函数定义及图像特征回顾
对数函数定义
对于任意正实数a（a≠1），函数y=logax（x>0）叫做对数 函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）。
利用对数运算性质化 简得 $x = 3$。
两边取对数得 $x = log_2 8$。
一元二次指数方程求解
• 定义与性质：一元二次指数方程是指形如 $a^x + b^x = c$ 的方程，其中 $a > 0$，$b > 0$，$c > 0$。
一元二次指数方程求解
求解步骤 观察方程形式，尝试通过换元法将其转化为一元一次或一元二次方程。
高一数学指数函数00ppt课件
contents
目录
• 指数函数基本概念与性质 • 指数运算规则与技巧 • 指数方程求解方法 • 指数函数在生活中的应用举例 • 指数函数与对数函数关系探讨 • 课堂小结与拓展延伸
01
指数函数基本概念与性质
指数函数定义及图像特征
指数函数定义
形如 y = a^x (a > 0, a ≠ 1) 的函 数称为指数函数。
深入探讨了指数函数的四则运算，包 括加法、减法、乘法和除法。
学生自我评价报告分享
01
知识掌握情况
大部分学生表示能够理解和掌握指数函数的基本概念和性质，以及相关
的运算方法。
02
学习困难与挑战
部分学生反映在解决复杂问题和应用指数函数时仍存在一定困难，需要
北师大版高中数学课件必修第1册第三章 指数运算与指数函数
2.
3.1 指数函数的概念＋ 3.2 指数函数的图象和性质
刷基础
3．[江苏镇江 2021 高一期中]已知指数函数 f(x)的图象过点(－2，4)，则 f(6)＝( B )
3
1
4
A.
B.
C.
4
64
3
1 D.
12
解析
1
设
f(x)＝ax(a>0
且
a≠1)，∴f(－2)＝a－2＝4，解得
1 a＝ ，∴f(6)＝
3.1 指数函数的概念＋ 3.2 指数函数的图象和性质
刷基础
6．[宁夏大学附属中学 2021 高一期中]已知 f(x)＝ka－x(k，a 为常数，a>0 且 a≠1)的图象过点 A(0，1)，B(－ 3，8)． (1)求 f(x)的解析式；
f（x）－1
(2)若函数 g(x)＝
，试判断 g(x)的奇偶性并给出证明．
10
解析
103x－2y＝103x＝（10x）3＝33＝27，故选 C. 102y （10y）2 42 16
§2 指数幂的运算性质
刷能力
5．已知 ab＝－5，则 a
A．2 5 C．－2 5
解析
b － ＋b
a
a － 的值是( B )
b
B．0
D．±2 5
由题意知 ab<0，a 故选 B.
b － ＋b
a
a － ＝a
2
6＝
1
.故选
B.
2
64
3.1 指数函数的概念＋ 3.2 指数函数的图象和性质
刷基础
4．[福建福州第三中学 2021 高一期中]以下关于函数 f(x)＝2x 的说法正确的是( D ) A．f(mn)＝f(m)f(n) B．f(mn)＝f(m)＋f(n) C．f(m＋n)＝f(m)＋f(n) D．f(m)f(n)＝f(m＋n)
《指数与指数运算》课件
复合指数函数的图像是连 续的
复合指数函数的图像是单 调递增的
复合指数函数的图像是凸 的
复合指数函数的图像是光 滑的
复合指数函数：指数函数与对数函数的复合 单调性：在定义域内，复合指数函数是单调递增：复合指数函数在解决实际问题中具有广泛的应用，如经济学、生物学等领域
指数运算：指数运算是 数学中最基本的运算之 一，其性质广泛应用于 各种数学问题中。
指数函数与对数函数：指 数函数与对数函数是数学 中最重要的函数之一，其 性质广泛应用于各种数学 问题中。
指数函数与三角函数：指 数函数与三角函数是数学 中最重要的函数之一，其 性质广泛应用于各种数学 问题中。
指数函数是一种特殊的函数，其形 式为y=a^x，其中a为底数，x为指 数。
复利：一种计算利息的方法，将利息计入本金，再计算新的利息
复利公式：A = P(1 + r/n)^(nt)，其中A为终值，P为本金，r为利率，n为计息次数，t为 时间
复利在生活中的应用：投资理财、贷款、信用卡还款等
复利与单利：复利比单利更能体现时间的价值，复利效应在长期投资中更为明显
放射性物质的衰 变：放射性物质 随着时间的推移， 其放射性会逐渐 减弱，这个过程
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指数函数的图像在y轴右侧无限接 近于x轴，但不相交
指数函数的图像在x轴下方，且随 着x的增大，图像逐渐靠近x轴
指数函数的单调性 是指函数值随自变 量x的变化而变化 的趋势
指数函数y=a^x 在定义域内是单 调递增的
当a>1时，指数函 数y=a^x在定义 域内是单调递增的
指数的底数可以是负数
指数的底数可以是零
指数的底数可以是分数
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指数运算和 指数函数要求层次重点 难点幂的运算 C①根式的概念 ②有理指数幂 ③实数指数幂 ④幂的运算 ①分数指数幂的概念和运算性质②无理指数幂的理解③实数指数幂的意义指数函数的概念 B在理解实数指数幂的意义的前提下理解指数函数在理解实数指数幂的意义的前提下理解指数函数指数函数的图象和性质C①对于底数1a >与01a <<时指数函数的不同性质 ②掌握指数函数的图象和运算性质①对于底数1a >与01a <<时指数函数的不同性质 ②掌握指数函数的图象和运算性质 ③掌握指数函数作为初等函数与二次函数、对数函数结合的综合应用问题板块一：指数,指数幂的运算 （一）知识内容1．整数指数⑴ 正整数指数幂：n a a a a =⋅⋅⋅，是n 个a 连乘的缩写（N n +∈），n a 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数，这样的幂叫做正整数指数幂．⑵整数指数幂：规定：01(0)a a =≠，1(0,)n n a a n a-+=≠∈N ． 2．分数指数⑴ n 次方根：如果存在实数x ，使得n x a =(R,1,N )a n n +∈>∈，那么x 叫做a 的n 次方根．高考要求第4讲指数运算与指数函数知识精讲⑵ 求a 的n 次方根，叫做a 开n 次方，称做开方运算．① 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．这时，a 的n表示．② 当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数．正数a 的正、负n0)a >．⑶正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根．负数没有偶次方根．0的任何次方根都是00．n 叫做根指数，a3．根式恒等式：n a =；当na =；当n||a a a ⎧=⎨-⎩0a a <≥．4．分数指数幂的运算法则⑴正分数指数幂可定义为：1(0)na a >0,,,)mm nma a n m n+==>∈N 且为既约分数 ⑵负分数指数幂可定义为：1(0,,,)m nm nmaa n m na-+=>∈N 且为既约分数 5．整数指数幂推广到有理指数幂的运算性质： ⑴(0,,Q)r s r s a a a a r s +=>∈ ⑵()(0,,Q)r s rs a a a r s =>∈ ⑶()(0,0,Q)r r r ab a b a b r =>>∈6．n 次方根的定义及性质：n 为奇数时a =，n 为偶数时a =． 7．m na =m na-=（0a >，,*m n N ∈，且1n >）零的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义．8．指数的运算性质：r s r s a a a +=，()rr r ab a b =（其中,0a b >，,r s ∈R ）9．无理数指数幂⑴ 无理指数幂(0,a a αα>是无理数）是一个确定的实数． ⑵ 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．10．一般地，当0a >，α为任意实数值时，实数指数幂a α都有意义． 对任意实数α，β，上述有理指数幂的运算法则仍然成立．（二）典例分析【例1】求下列各式的值：⑴；⑵⑶⑷)a b<；⑸．⑹238；⑺1225-；⑻512-⎛⎫⎪⎝⎭；⑼341681-⎛⎫⎪⎝⎭．【例2】计算下列各式：⑴⑵111344213243(,0)6a a ba ba b---⎛⎫-⎪⎝⎭>-．【例3】用分数指数幂表示下列各式（其中各式字母均为正数）：⑴；⑶54m⋅．【例4】，则实数a的取值范围是（）A．a∈R B．12a=C．12a>D．12a≤【例5】设ab=c a，b，c的大小关系是（）【例6】设1120082008(N)2n na n-+-=∈，那么)na-的值是（）【例7】若()x f x =，求10001()1001i i f =∑【例8】 已知210x x +-=，求847x x +的值．【例9】 下列判断正确的有①有理数的有理数次幂一定是有理数 ②有理数的无理数次幂一定是无理数 ③无理数的有理数次幂一定是有理数 ④无理数的无理数次幂一定是无理数 A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个板块二：指数函数及其性质（一）知识内容1．指数函数：一般地，函数x y a =(0a >，1a ≠，R)x ∈叫做指数函数． 2．指数函数的图象和性质对比3．x y a =（0a >且1a ≠）的图象特征：1a >时，图象像一撇，过点()0,1，且在y 轴左侧a 越大，图象越靠近y 轴（如图1）； 01a <<时，图象像一捺，过点()0,1，且在y 轴左侧a 越小，图象越靠近y 轴（如图2）； x y a =与x y a -=的图象关于y 轴对称（如图3）．图1 图2 图3（二）主要方法：1．指数方程，指数不等式：常要转化为同底数的形式，在利用指数函数的单调性求解； 2．确定与指数有关的函数的单调性时，常要注意针对底数进行讨论； 3．要注意运用数形结合思想解决问题．（三）典例分析：【例10】 已知1a b c >>>，比较下列各组数的大小：①___bca a ；②1ba ⎛⎫⎪⎝⎭1ca ⎛⎫ ⎪⎝⎭；③11___b ca a ；④__a abc ．【例11】 （2009年江苏卷）已知51a -=函数()x f x a =，若实数m n ，满足()()f m f n >，则m n ，的大小关系为 ．【例12】 图中的曲线是指数函数x y a =的图象，已知a 取4133,,,3105四个值，则相应于曲线1234,,,c c c c 的a 依次为_______________．【例13】 求下列函数的定义域、值域⑴112x y -= ； ⑵3x y -=； ⑶2120.5x x y +-=c 4c 3c 2c 1P 4P 3P 2P 11Oy x板块三：指数函数和其它函数的运算与复合（一）知识内容：复合函数的单调性与奇偶性，重点研究学生熟悉的二次函数的复合，复合函数单调性的判断是重点也是难点．1．和差函数的单调性两个增函数（或减函数）的和仍为增函数（或减函数），一个增函数（或减函数）减去一个减函数（或增函数），结果是一个增（或减）函数． 2．复合函数[()]f g x 的奇偶性、单调性有如下规律：值得注意的是，当且仅当外层函数()f u 的定义域与内层函数()g x 的值域的交集非空时才能构成复合函数[()]f g x ，复合函数奇偶性：两奇才为奇； 复合函数单调性：同增异减（二）典例分析：【例14】 已知2()82f x x x =+-，2()(2)g x f x =-，则()g x 在（ ）A ．(2,0)-上为增函数B ．(0,2)上为增函数C ．(1,0)-上为减函数D ．(0,1)上为减函数【例15】 函数221()3x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调增区间为_________，值域为___________．【例16】 求函数11()1([3,2])42xxf x x ⎛⎫⎛⎫=-+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调区间及其值域．【例17】 求下列函数的单调区间．⑴232xx y a -++=（0a >，且1a ≠）；⑵已知910390x x -⨯+≤，求函数1111()4()542x x y --=-⋅+最值．【例18】 （2007-2008北京四中期中测试）求函数1()423x x f x a +=-⋅+ (R)x ∈的值域．【例19】 已知11()212x f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭．⑴求证：()0f x >；⑵若()()()F x f x t f x t =++-（t 为常数），判断()F x 的奇偶性．【例20】 讨论函数21()21x x f x -=+的奇偶性、单调性，并求它的值域．【例21】 已知函数2()()1x x af x a a a -=--，其中0a >，1a ≠．⑴判断函数()f x 的奇偶性； ⑵判断函数()f x 的单调性，并证明．【例22】 （2008-2009南通一中高三期中考试题）在计算机的算法语言中有一种函数[]x 叫做取整函数（也称高斯函数），它表示x 的整数部分，即[]x 是不超过x 的最大整数．例如：[2]2=，[3.1]3=，[ 2.6]3-=-．设函数21()122x xf x =-+，则函数[()][()]y f x f x =+-的值域为（ ）【例23】 （2008-2009首师大附中高中课改数学模块1水平监测期中考试）因为复杂的函数，往往是由多个简单函数的加、减、乘、除运算得到，或者是多个函数的复合后得到的，比如下列函数：()()()22x f x g x h x x ==，，则()()f x g x ，复合后可得到函数()()2x g f x g =⎡⎤⎣⎦()f g x f ==⎡⎤⎣⎦个函数的自变量的取值，得到的函数称为复合函数；也可以由()()f x g x ，进行乘法运算得到函数()()2x f x g x =．所以我们在研究较复杂的函数时，常常设法把复杂的函数进行逆向操作，把其拆分转化为简单的函数，借助简单函数的性质进行研究．⑴复合函数(){}f h g x ⎡⎤⎣⎦的解析式为 ；其定义域为 ．⑵可判断()()2x f x g x =是增函数，那么两个增函数相乘后得到的新函数是否一定是增函数？若是请证明，若不是，请举一个反例；⑶已知函数()2x f x -=，若()()121f x f x +>-，则x 的取值范围为 ．⑷请用函数()()()()22ln x f x g x h x x k x x ====，，中的两个进行复合，得到三个函数， 使它们分别为偶函数且非奇函数、奇函数且非偶函数、非奇非偶函数．【例24】 设a ∈R ，2()()21xf x a x =-∈+R ，若()f x 为奇函数，求a 的值．【例25】 小明即将进入一大学就读，为了要支付4年学费，小明欲将一笔钱存入银行，使得每年皆有40000元可以支付学费．而银行所提供的年利率为6%，且为连续复利，试求出小明现在必须存入银行的钱的数额．习题1. 比较下列各题中两个值的大小：⑴ 2.51.7，31.7； ⑵ 0.10.8-，0.20.8-； ⑶ 0.31.7， 3.10.9．习题2. （2007年山东潍坊统考）若1a >，0b >，且22b b a a -+=，则b b a a --的值为（ ）A ．6B ．2或2-C ．2-D ．2习题3. 函数()342x x f x =⋅-，求()f x 在[0,)x ∈+∞上的最小值．习题4. 化简：⑴111()()()a b c a b c ab ca bc a b cxxx------⋅⋅ ⑵a b b c c a c a a b b c b c c a a b x x x ------+++⋅⋅．家庭作业习题5. 已知1010()1010x xx xf x ---=+，判断函数的单调性、奇偶性，并求()f x 的值域．习题6. 已知2()()(0,1)2x x af x a a a a a -=->≠-是R 上的增函数，求a 的取值范围．习题1. 函数||()x f x e =（ ）A ．是奇函数，在(,0]-∞上是减函数B ．是偶函数，在(,0]-∞上是减函数C ．是奇函数，在[0,)+∞上是增函数D ．是偶函数，在(,)-∞+∞上是增函数习题2. 方程2x =2-x 的解的个数为______________．习题3. 已知函数|22|x y =-，⑴ 作出函数的图象；⑵ 根据图象指出函数的单调区间；⑶ 根据图象指出当x 取什么值时，函数有最值．月测备选。