PCA算法的原理及其示例
PCA算法原理及实现
PCA算法原理及实现作者：Jones来源：海边的拾遗者众所周知，PCA(principal component analysis)是一种数据降维的方式，能够有效的将高维数据转换为低维数据，进而降低模型训练所需要的计算资源。
以上是比较官方的说法，下面是人话(正常人讲的话)版。
pca就是一种能够有效压缩数据的方法！打个不太准确的例子：我们现在有一个描述人的健康状况的数据：(年龄，身高，体重，地区，血压，心率，肺活量，体温，体脂），也就是说(年龄，身高，体重，地区，血压，心率，肺活量，体温，体脂）这些东西是特征，而这些特征对应的标签是健康状况：健康/亚健康/不健康。
那么pca就是通过一些方法，将这9个特征压缩到只有4个，3个甚至更少的特征(暂且称之为x1, x2, x3, x4)，但是我们仍能用这些特征来准确预测它们对应的健康状况。
在这里补充一下，在数学/机器学习中，我们会把特征抽象为向量，比如上面提到的健康状况的数据：(年龄，身高，体重，地区，血压，心率，肺活量，体温，体脂），我们会抽象为（18, 180, 70, 广东, 100, 80, 5000, 37, 0.1）, 其中地区这一项显得与众特别，毕竟其他的维度都是数值，就它是文字。
我们把这样的维度称为类别，因为它是在有限的选项中选出来的（从世界上所有的地区中取一个），在计算机中表示这样的信息，我们可以有很多方式，但是为了简化难度，这边我就暂且不搞，直接把这一列删掉。
于是乎我们的数据（其实就是向量！）就是（18, 180, 70, 100, 80, 5000, 37, 0.1），值得一提的是，这样的一个数据是属于一个实体的（也就是说这是描述一个人的健康状况的），在机器学习中，我们倾向于将一个实体的数据排成一列，也就是（18, 180, 70, 100, 80, 5000, 37, 0.1）^T（转置）。
本文要介绍的目录为：•使用PCA的必要性•PCA的本质•前置知识的介绍•PCA的数学原理•PCA的思想•PCA的实现使用PCA的必要性前面说了，pca就是将高维（很多列属性）数据转换为低维（较少列）数据的方法，同时保留大部分信息（可以用保留的信息准确预测）。
PCA原理及应用,很详细
PCA原理与应用PCA是Principal ponent analysis的缩写，中文翻译为主元分析/主成分分析。
它是一种对数据进行分析的技术，最重要的应用是对原有数据进行简化。
正如它的名字：主元分析，这种方法可以有效的找出数据中最“主要”的元素和结构，去除噪音和冗余，将原有的复杂数据降维，揭示隐藏在复杂数据背后的简单结构。
它的优点是简单，而且无参数限制，可以方便的应用与各个场合。
因此应用极其广泛，从神经科学到计算机图形学都有它的用武之地。
被誉为应用线性代数最有价值的结果之一。
1、PCA原理从线形代数的角度来看，PCA的目标就是使用另一组基去重新描述得到的数据空间。
而新的基要能尽量揭示原有的数据间的关系，而这个基即最重要的“主元”。
PCA的目标就是找到这样的“主元”，最大程度的去除冗余和噪音的干扰。
设：Y = PX（1）并定义：pi表示P的行向量，xi表示X的列向量，yi表示Y的列向量。
公式1表示不同基之间的转换，在线性代数中，它表示P从X到Y的转换矩阵，在几何上，P对X进行旋转和拉伸得到Y。
将公式1展开：, 列向量可得到yi 表示xi与P中对应列的点积，相当于是在对应向量上的投影。
因此，P的行向量事实上就是一组新的基，P的行向量就是PCA中所谓的“主元”。
为了使得获得Y具有类间方差大，类方差小，冗余信息少的特点，下面将对P 的求解进行分析。
1.1最大化方差假设我们还是将一个空间中的点投影到一个向量中去。
首先，给出原空间的中心点：假设u1为投影向量，投影之后的方差：根据，利用拉格朗日乘子法：对上式求导，使之为0：这是一个标准的特征值表达式了，λ对应的特征值，u对应的特征向量。
上式的左边取得最大值的条件就是λ1最大，也就是取得最大的特征值的时候。
其中，S可以看做X的协方差矩阵。
1.2最小化冗余信息通常在试验中引入了一些不必要的变量，从而造成数据的冗余，对于复杂的情况，需要借助协方差来进行衡量和判断：A,B分别表示不同的观测变量所记录的一组值，在统计学中，由协方差的性质可以得到：，且当且仅当观测变量A，B独立。
PCA降维算法详解以及代码示例
PCA降维算法详解以及代码⽰例转载地址：1. 前⾔PCA ： principal component analysis ( 主成分分析)最近发现我的⼀篇关于PCA算法总结以及个⼈理解的博客的访问量⽐较⾼，刚好⽬前⼜重新学习了⼀下PCA （主成分分析）降维算法，所以打算把⽬前掌握的做个全⾯的整理总结，能够对有需要的⼈有帮助。
⾃⼰再看⾃⼰写的那个关于PCA的博客，发现还是⽐较混乱的，希望这⾥能过做好整理。
本⽂的所有总结参考了Andrew Ng的PCA教程，有兴趣的可以⾃⼰学习。
上⼀篇关于PCA 的博客：，在这篇博客中，有关于我最初在读研的时候关于PCA的认识，但是不是很系统，然后⾥⾯却给出了很多我总结的⽹络上的资料，以及根据我个⼈使⽤的经验总结的感悟，所以还是收到了很多的好评， o(∩∩)o...哈哈，谢谢各位的⽀持。
@copyright by watkins.song ^_^2. PCA的应⽤范围PCA的应⽤范围有：1. 数据压缩1.1 数据压缩或者数据降维⾸先能够减少内存或者硬盘的使⽤，如果内存不⾜或者计算的时候出现内存溢出等问题，就需要使⽤PCA获取低维度的样本特征。
1.2 其次，数据降维能够加快机器学习的速度。
2. 数据可视化在很多情况下，可能我们需要查看样本特征，但是⾼维度的特征根本⽆法观察，这个时候我们可以将样本的特征降维到2D或者3D，也就是将样本的特征维数降到2个特征或者3个特征，这样我们就可以采⽤可视化观察数据。
3. PCA原理简介3.1 基础⼊门这⾥我只给出在需要使⽤PCA的时候需要了解的最基本的PCA的原理，了解这些原理后对于正常的使⽤没有问题，如果想要深⼊了解PCA，需要学习⼀些矩阵分析的知识，更加详细的PCA算法请见wikipedia。
⾸先，我们定义样本和特征，假定有 m 个样本，每个样本有 n 个特征，可以如下表⽰：由简到难，先看⼀下从2D 降维到1D的⽐较直观的表⽰：在上图中，假设只有两个特征x1, x2, 然后需要降维到1D，这个时候我们可以观察途中X所表⽰的样本点基本上分布在⼀条直线上，那么就可以将所有的⽤(x1, x2)平⾯表⽰的坐标映射到图像画出的直线z上，上图中的⿊⾊铅笔线表⽰样本点映射的过程。
pca的原理与应用
PCA的原理与应用1. 简介PCA（Principal Component Analysis）是一种常用的降维技术，通过对高维数据进行线性变换，将其转换为低维空间。
PCA的原理是寻找数据中的主要成分，以最大化数据方差；同时，通过剔除次要成分，可以去除数据中的噪声和冗余信息，提高数据处理效率。
本文将介绍PCA的原理与应用。
2. 原理PCA通过计算数据协方差矩阵的特征向量和特征值，从而确定数据的主要成分。
具体步骤如下：1.标准化数据：对原始数据进行标准化处理，使得每个特征的均值为0，方差为1。
2.计算协方差矩阵：将标准化后的数据计算协方差矩阵，表示数据各个特征之间的相关性。
3.计算特征向量：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。
4.选择主成分：根据特征值的大小，选择主要成分对应的特征向量。
5.数据转换：将原始数据投影到选择的主成分上，得到降维后的数据。
3. 应用3.1 数据压缩PCA可以用于数据压缩，将高维数据转换为低维表示，减少存储和计算的开销。
例如，在图像处理中，可以利用PCA对图像进行降维，减小图像的数据量，提高计算效率。
3.2 特征提取PCA可以用于特征提取，从而用较少的特征变量表示数据，更好地描述数据的本质特征。
在图像识别、语音识别等领域，可以利用PCA提取出关键特征，用于模式匹配和分类识别。
3.3 数据可视化PCA可以将高维数据转换为二维或三维空间，以便进行可视化展示。
通过可视化数据，可以更直观地分析数据之间的关系和结构，发现隐藏在数据背后的规律和趋势。
3.4 去噪与冗余PCA可以通过剔除次要成分，去除数据中的噪声和冗余信息。
在信号处理、图像处理等领域，可以利用PCA对数据进行去噪处理，提高数据的质量和准确性。
3.5 数据预处理PCA也可以用于数据预处理，对原始数据进行降维处理后，再进行后续的分析和建模。
通过减少数据维度，可以简化模型的复杂度，提高模型的训练和预测效率。
pca的原理及应用
PCA的原理及应用1. 什么是PCA主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是一种常用的数据降维技术，用于将高维数据转换为低维数据，同时保留数据的主要信息。
PCA通过线性变换将原始特征空间映射到新的特征空间，新的特征空间中的维度是原始空间的子空间，并且这些新特征是原始特征的线性组合。
2. PCA的原理PCA的主要目标是找到可以最好地保留数据中信息的正交投影。
以下是PCA的具体步骤：1.数据预处理：对原始数据进行标准化处理，使得每个特征具有相同的重要性。
2.计算协方差矩阵：计算数据的协方差矩阵，该矩阵描述了不同特征之间的相关性。
3.计算特征值和特征向量：计算协方差矩阵的特征值和特征向量，特征向量构成了新的特征空间，特征值表示了新特征空间的重要性。
4.选择主成分：根据特征值的大小，选择最重要的特征向量作为主成分。
5.数据转换：通过将原始数据投影到主成分上，将高维数据转换为低维数据。
3. PCA的应用3.1 数据可视化PCA可以用于将高维数据映射到二维或三维空间，从而进行数据可视化。
通过可视化，我们可以更好地理解数据之间的关系，发现潜在的模式或异常。
3.2 特征选择在机器学习中，特征选择是一个重要的步骤。
通过PCA，我们可以选择保留主要信息的主成分，从而减少特征的数量，提高模型的性能和计算效率。
3.3 噪声过滤在实际应用中，数据通常包含各种噪声。
通过PCA，我们可以把噪声所占的成分剔除掉，保留主要的信号部分，从而提高数据的质量。
3.4 维度约简高维数据会带来计算和存储的困难，通过PCA，我们可以将高维数据转换为低维数据，从而减少计算和存储的开销。
3.5 数据压缩通过PCA，我们可以将原始数据通过投影到主成分上进行压缩，从而减少数据的存储空间，同时保留数据的主要信息。
4. 总结PCA是一种常用的数据降维技术，通过线性变换将高维数据转换为低维数据，同时保留数据的主要信息。
PCA(主成分分析)降维算法详解和代码
PCA（主成分分析）降维算法详解和代码PCA的原理：1.中心化数据：对原始数据进行中心化处理，即将每个特征减去其均值，使得数据以原点为中心。
2.计算协方差矩阵：计算中心化后的数据的协方差矩阵。
协方差矩阵描述了不同特征之间的关系和相关性。
3.计算特征值和特征向量：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。
特征值代表每个特征的重要性，特征向量表示特征的方向。
4.选择主成分：根据特征值的大小，选择最大的k个特征值对应的特征向量作为主成分。
5.降维：将原始数据投影到所选主成分上，得到降维后的数据。
投影后的数据保留了最重要的特征，且维度减少。
PCA的代码实现：下面是一个基于Numpy库实现PCA算法的示例代码：```pythonimport numpy as npdef pca(X, k):#中心化数据X = X - np.mean(X, axis=0)#计算协方差矩阵cov = np.cov(X.T)#特征值分解eigvals, eigvecs = np.linalg.eig(cov)#选择主成分idx = np.argsort(eigvals)[::-1][:k]eigvecs = eigvecs[:, idx]#降维X_pca = np.dot(X, eigvecs)return X_pca#测试X = np.random.rand(100, 5) # 生成100个样本，每个样本有5个特征k=2#目标降维维度X_pca = pca(X, k)print(X_pca.shape) # 输出降维后的数据维度```在上述代码中，使用`numpy`库进行了主成分分析的各个步骤。
首先，通过计算均值，对原始数据进行中心化。
然后，使用`cov`函数计算协方差矩阵，并通过`numpy.linalg.eig`函数进行特征值分解。
接下来，通过`argsort`函数对特征值进行排序，选择前k个特征值对应的特征向量作为主成分。
PCA(主成分分析)的原理与应用
PCA(主成分分析)的原理与应用简介主成分分析（PCA）是一种常用的多变量数据降维技术，用于发现数据中的主要模式与关系。
通过PCA，可以将高维数据转换为低维表示，从而减少计算复杂度、去除冗余信息、提取关键特征等。
本文将介绍PCA的基本原理和常见的应用场景。
1. PCA的基本原理PCA的基本思想是通过线性变换将原始数据投影到新的坐标系中，新的坐标系由一组互相正交的基向量构成。
这些基向量被称为主成分，每个主成分都是原始数据的一个线性组合。
通过保留最重要的主成分，可以实现数据降维。
1.1 数据标准化在应用PCA之前，通常需要对原始数据进行标准化处理。
标准化可以使不同特征的数据具有相同的尺度，避免某些特征对PCA结果的影响过大。
常见的标准化方法有均值方差标准化和最大最小值标准化。
1.2 协方差矩阵与特征值分解PCA的核心是通过计算协方差矩阵来确定主成分。
协方差矩阵反映了不同维度之间的相关性。
通过对协方差矩阵进行特征值分解，可以得到特征值和特征向量。
特征值表示了数据在对应特征向量方向上的方差，特征向量则表示了变换后的坐标系中各维度的方向。
1.3 选择主成分在进行特征值分解后，主成分的选择是根据特征值的大小进行的。
通常保留较大的特征值对应的特征向量作为主成分，因为这些特征值表示了数据的主要变化模式。
1.4 重构数据通过选取主成分，可以将原始数据投影到新的坐标系中。
重构数据可以通过将原始数据乘以选取的主成分对应的特征向量来实现。
2. PCA的应用场景PCA有广泛的应用场景，以下列举一些常见的应用领域。
2.1 降维与特征选择在高维数据中，存在大量冗余和噪音信息。
通过使用PCA，可以将高维数据降低到较低的维度，并保留重要的特征，从而提高数据的表示效果和计算效率。
2.2 数据压缩与图像处理PCA在数据压缩和图像处理中也有广泛的应用。
通过PCA，可以用较少的数据表示信息量较大的图像，从而实现图像的压缩和存储。
同时，还可以对图像进行去噪、增强和特征提取等操作。
PCA的原理及详细步骤
一、基本原理主成分分析是数学上对数据降维的一种方法。
其基本思想是设法将原来众多的具有一定相关性的指标X1，X2，…，XP （比如p 个指标），重新组合成一组较少个数的互不相关的综合指标Fm 来代替原来指标。
那么综合指标应该如何去提取，使其既能最大程度的反映原变量Xp 所代表的信息，又能保证新指标之间保持相互无关（信息不重叠）。
设F1表示原变量的第一个线性组合所形成的主成分指标，即11112121...p pF a X a X a X =+++,由数学知识可知，每一个主成分所提取的信息量可用其方差来度量，其方差Var(F1)越大，表示F1包含的信息越多。
常常希望第一主成分F1所含的信息量最大，因此在所有的线性组合中选取的F1应该是X1，X2，…，XP 的所有线性组合中方差最大的，故称F1为第一主成分。
如果第一主成分不足以代表原来p 个指标的信息，再考虑选取第二个主成分指标F2，为有效地反映原信息，F1已有的信息就不需要再出现在F2中，即F2与F1要保持独立、不相关，用数学语言表达就是其协方差Cov(F1, F2)=0，所以F2是与F1不相关的X1，X2，…，XP 的所有线性组合中方差最大的，故称F2为第二主成分，依此类推构造出的F1、F2、……、Fm 为原变量指标X1、X2……XP 第一、第二、……、第m 个主成分。
11111221221122221122...............p p p pm m m mp p F a X a X a X F a X a X a X F a X a X a X =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ 根据以上分析得知：(1) Fi 与Fj 互不相关，即Cov(Fi ，Fj) = 0,并有Var(Fi)=ai ’Σai ，其中Σ为X 的协方差阵(2)F1是X1，X2，…，Xp 的一切线性组合（系数满足上述要求）中方差最大的,……,即Fm 是与F1，F2，……，Fm －1都不相关的X1，X2，…，XP 的所有线性组合中方差最大者。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
PCA算法的原理及其示例
1.数据标准化:将原始数据进行标准化处理，使得其各个特征的方差相等，把数值数据按所有样本居中和缩放为单位的方差。
2.计算协方差矩阵:根据标准化后的数据计算协方差矩阵，该矩阵反映了样本中各个特征之间的相关性。
3.计算特征值和特征向量:对协方差矩阵进行特征值分解，得到所有特征值和相应的特征向量。
4.选择主成分:根据特征值的大小选择一定数量的主成分，将数据投影到这些主成分上，实现降维。
5.重构数据:将降维后的数据通过逆变换重新映射回原始特征空间，得到降维后的数据。
示例：
假设有一个二维的数据集，其中每个样本有两个属性：身高和体重。
我们希望使用PCA算法将数据降维到一维。
步骤1:数据标准化
在对数据进行降维之前，首先需要对数据进行标准化处理。
假设原始数据集为X，其中X=[x1, x2, ..., xn]是一个2xN的矩阵，每一列代表一个样本，行代表属性。
标准化后的数据集X'的计算方式为：X'=(X-μ)/σ，其中μ是每个属性的均值，σ是每个属性的标准差。
步骤2:计算协方差矩阵
协方差矩阵C的计算方式为：C=X'*X'^T。
步骤3:计算特征值和特征向量
对协方差矩阵C进行特征值分解，得到特征值矩阵D和特征向量矩阵V。
特征值矩阵D是一个对角矩阵，对角线上的元素代表每个特征值，特
征向量矩阵V的每一列是对应的特征向量。
步骤4:选择主成分
根据特征值的大小选择主成分。
假设我们希望降维到一维，那么选择
特征值最大的特征向量作为主成分。
步骤5:重构数据
将原始数据集X映射到选择的主成分上，得到降维后的数据。
降维后
的数据集Y的计算方式为：Y=V^T*X'。
至此，我们完成了对数据的降维处理。
总结:
PCA算法通过对数据进行标准化、计算协方差矩阵、特征值和特征向
量的计算、选择主成分和数据重构等步骤，实现了对高维数据的降维。
通
过降维，可以减少数据中的冗余信息，提取出最主要、最具代表性的特征。
降维后的数据更加易于分析和理解。
在实际应用中，PCA算法可用于数据可视化、特征选择、降噪等任务。
例如，在图像处理领域，可以使用PCA算法对图像进行降维，从而减少计
算复杂度；在金融领域，可以使用PCA算法对股票数据进行降维，从而分
析股票之间的相关性。
需要注意的是，PCA算法只适用于线性数据，对于非线性数据效果不佳。
对于非线性数据，可以使用核主成分分析（Kernel PCA）来进行降维。