偏微分方程数值解52059
4
常微分方程的数值解
大气科学中
常微分方程和偏微分方程的关系
1. 大气行星边界层(近地面具有湍流运动特性的大 气薄层,1—1.5km), 埃克曼（V.W.Ekman）（瑞典） 螺线的导出；
2. 1963年，美国气象学家Lorenz在研究热对流的 不稳定问题时，使用高截断的谱方法，由 Boussinesq流体的闭合方程组得到了一个完全确 定的三阶常微分方程组，即著名的Lorenz系统。
3. Charney, Fjortoft, and Von Neumann(1950), 借助于Princeton大学的的计算机(ENIAC)，利 用一个简单的正压涡度方程 （C.G.Rossby,1940精）选P对PT 500mb的天气形式作3 了24小时预报---成功；
The Electronic Numerical Integ精ra选toPrPaTnd Computer (ENIAC).
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Franceshini 将Navier-Stokes方程截断为五维的
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2.差分格式求解 将积分方程通过差分方程转化为代数方程求
解，一般常用递推算法。
在常微分方程差分法中最简单的方法是 Euler方法，尽管在计算中不会使用，但从 中可领悟到建立差分格式的技术路线，下 面将对其作详细介绍:
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差分方法的基本思想“就是以差商 代替微商”
考虑如下两个Taylor公式：
2. Curtis F.Gerald and Patrick O., Applied Numerical Analysis, Person Education, Inc., 2004.
3. Eugenia Kalnay, Atmospheric Modeling, Data Assimilation and Predictability, the press Syndicate of the University of Cambridge,2003.
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Lorenz系统
dx / dt = a (y - x) dy / dt = x (b - z) - y dz / dt = xy - c z
其中，a=10,(Prandtl number); b=28(Rayleigh number); c=8/3; (x,y,z)_0=(0.01;0.01;1e-10)
4. Arieh Iserles, A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations, Cambridge University Press,1996.
5. 李荣华，冯国忱. 微分方程数值解. 北京：人民教育出版社，1980. 6. 徐长发，李红. 实用偏微分方程数值解法. 华中科技大学出版社，2003. 7. 沈桐立，田永祥等. 数值天气预报. 北京：气象出版社，2007.
偏微分方程数值解 (Numerical Solution of
Partial Differential Equations)
主讲：王曰朋
eduwyp@
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1
参考数目
1. George J. Haltiner, Roger Terry Williams, Numerical Prediction and Dynamic 2. Meteorology(2nd Edition), the United States of America, 1979.
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2
数值天气预报—PDE数值解
1. 挪威气象学家V.Bjerknes（1904）提出数值预 报的思想：通过求解一组方程的初值问题可以 预报将来某个时刻的天气—思想；
2. L.F.Richardson(1922)：开创了利用数值积分 进行预报天气的先例，由于一些原因（如，计 算稳定性问题“Courant,1928”）并没有取得预 期的效果—尝试；
• 有限差分法是常微分方程中数值解法中通 常有效 的方法；
• 建立差分算法的两个基本的步骤：
1. 建立差分格式，包括：a. 对解的存在域剖分； b. 采用不同的算法可得到不同的逼近误差—截断 误差（相容性）；c.数值解对真解的精度—整体 截断误差（收敛性）；d.数值解收敛于真解的速 度；e. 差分算法—舍人误差（稳定性）.
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对经典的初值问题
从（1）得到：
u(ti)u(ti1)hu(ti)O(h)
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从（2）得到：
u(ti)u(ti1)hu(ti)O(h)
从（1）-（2）得到：
u(ti)u(ti1)2 hu(ti1)O (h2)
从（1）+（2）得到：
u (ti)u (ti 1) 2 u h (2 ti) u (ti 1 ) O (h 2)
u ( t h ) u ( t ) u ( t ) h 1 u ( t ) h 2 1 u ( t ) h 3 L 1 u ( n ) ( t ) h n O ( h n 1 ) （1）
2 ! 3 !
n !
u ( t h ) u ( t ) u ( t ) h 2 1 ! u ( t ) h 2 3 1 ! u ( t ) h 3 L n 1 ! u ( n ) ( t ) h n O ( h n 1 ) （2）
截谱模型如下：
ìïïïïïïïïïíïïïïïïïïî
x1¢=
x
¢
2
=
x
¢
3
=
x
¢
4
=
x
¢
5
=
-
2 x1 + 4 x2 x3 + 9 x2 + 3 x1x3 5 x3 - 7 x1x2 + 5 x4 - x1x6 x5 - 3 x1x4
4 x4x5 Re
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欧拉法—折线法
• 常微分方程能直接进行积分的是少数，而多数是 借助于计算机来求常微分方程的近似解；
第十章 偏微分方程数值解法
第十章 偏微分方程数值解法偏微分方程问题，其求解十分困难。
除少数特殊情况外，绝大多数情况均难以求出精确解。
因此，近似解法就显得更为重要。
本章仅介绍求解各类典型偏微分方程定解问题的差分方法。
§1 差分方法的基本概念1.1 几类偏微分方程的定解问题椭圆型方程：其最典型、最简单的形式是泊松（Poisson ）方程),(2222y x f yu x u u =∂∂+∂∂=∆ 特别地，当0),(≡y x f 时，即为拉普拉斯（Laplace ）方程，又称为调和方程2222=∂∂+∂∂=∆yux u u Poisson 方程的第一边值问题为⎪⎩⎪⎨⎧Ω∂=Γ=Ω∈=∂∂+∂∂Γ∈),(),(),(),(),(2222y x y x u y x y x f y ux u y x ϕ 其中Ω为以Γ为边界的有界区域，Γ为分段光滑曲线，ΓΩ称为定解区域，),(y x f ，),(y x ϕ分别为Ω，Γ上的已知连续函数。
第二类和第三类边界条件可统一表示为),(),(y x u u y x ϕα=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂Γ∈n 其中n 为边界Γ的外法线方向。
当0=α时为第二类边界条件， 0≠α时为第三类边界条件。
抛物型方程：其最简单的形式为一维热传导方程220(0)u ua a t x∂∂-=>∂∂ 方程可以有两种不同类型的定解问题：初值问题⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=+∞<<-∞>=∂∂-∂∂x x x u x t x u a tu )()0,(,0022ϕ初边值问题221200,0(,0)()0(0,)(),(,)()0u ua t T x l t x u x x x lu t g t u l t g t t Tϕ⎧∂∂-=<<<<⎪∂∂⎪⎪=≤≤⎨⎪==≤≤⎪⎪⎩其中)(x ϕ，)(1t g ，)(2t g 为已知函数，且满足连接条件)0()(),0()0(21g l g ==ϕϕ边界条件)(),(),(),0(21t g t l u t g t u ==称为第一类边界条件。
第6章_偏微分方程数值解法
u ( x, 0) = sin( x) ， u (0, t ) = 0, u (π , t ) = 0
利用线上法数值求解 u ( x, t ) 随时间的演化关系 解：取 Δx = π /15 ，计算程序：demo_MOL.m，和结果见右图。
对于 a > 0 ，波从 k − 1 点过来， k − 1 点状态已变化， k + 1 点状态还未变化。差分只能 uk − uk −1 。同样意
n n
义可分析 a < 0 情况。见图 6.1.1。迎风格式的精度为 O(Δt , Δx) ，稳定性条件为 Δt < Δx / | a | 。
% Upwind_Method L = 15;dx = 0.1;dt = 0.05;a = -1.; x =[-L+dx:dx:0]';n=length(x); %Initial value u1=zeros(1,n-20);u2=ones(1,10);u3 = zeros(1,10); u = [u1 u2 u3]';r = a*dt/dx; u0 = u; plot(x,u','LineWidth',2);axis([-15 0 -1 2]);pause(1); for t=dt:dt:10. u(1:n-1) = (1+r)*u(1:n-1)-r*u(2:n); % u(2:n-1)=0.5*((1.-r)*u(3:n)… % +(1.+r)*u(1:n-2)); % Lax scheme hold off;plot(x,u,'LineWidth',2); axis([-15 0 -1 2]);pause(0.05) end hold on; plot(x,u0','r','LineWidth',2);axis([-15 0 -1 2]); xlabel('position');ylabel('u(x,t)'); legend('传播的波','初始方波'); title('Upwind')
偏微分方程数值解(双曲方程书稿)word精品文档14页
双曲型方程的有限差分法线性双曲型方程定解问题： （a ）一阶线性双曲型方程()0=∂∂+∂∂xux a t u （b ）一阶常系数线性双曲型方程组0=∂∂+∂∂xt uA u 其中A ，s 阶常数方程方阵，u 为未知向量函数。
（c ）二阶线性双曲型方程（波动方程）()022=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂-∂∂x u x a x t u()x a 为非负函数（d ）二维，三维空间变量的波动方程0222222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂y u x u t u 022222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-∂∂z u y u xu t u §1 波动方程的差分逼近 1.1 波动方程及其特征线性双曲型偏微方程的最简单模型是一维波动方程：（1.1） 22222x u a t u ∂∂=∂∂ 其中0>a 是常数。
（1.1）可表示为：022222=∂∂-∂∂x u a t u ，进一步有 0=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂u x a t x a t由于x a t ∂∂±∂∂当a dt dx ±=时为()t x u ,的全导数（=dt du dt dx x u t u ⋅∂∂+∂∂xua t u ∂∂±∂∂=）,故由此定出两个方向（1.3）adx dt 1±= 解常微分方程（1.3）得到两族直线（1．4） 1C t a x =⋅+ 和 2C t a x =⋅- 称其为特征。
特征在研究波动方程的各种定解问题时，起着非常重要的作用。
比如，我们可通过特征给出（1.1）的通解。
（行波法、特征线法） 将（1.4）视为),(t x 与),(21C C 之间的变量替换。
由复合函数的微分法则212211C uC u x C C u x C C u x u ∂∂+∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ xC C u C u C x C C u C u C x u ∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=∂∂2212121122 222122212212C u C C u C C u C u ∂∂+∂∂∂+∂∂∂+∂∂= 2222122122C uC C u C u ∂∂+∂∂∂+∂∂= 同理可得a t t a t C -=∂∂-=∂∂1，a tC=∂∂2 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂212211C u C u a t C C u t C C u t u t C C u C u a C u t C C u C u a C t u ∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⋅∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⋅∂∂=∂∂2122112122 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂-∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂∂-=21222222221222C C u C u a C u C C u a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂-∂∂=22221221222C u C C u C u a 将22x u ∂∂和22tu∂∂代入（1.1）可得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂-∂∂22221221222C u C C u C u a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂+∂∂=22221221222C u C C u C u a 即有0212=∂∂∂C C u求其对2C 的积分得：()11C f C u=∂∂ 其中()1C f 是1C 的任意可微函数。
偏微分方程数值解PPT课件
从（1）得到：
u(ti)u(ti1)hu(ti)O(h)
精选
14
从（2）得到：
u(ti)u(ti1)hu(ti)O(h)
从（1）-（2）得到：
u(ti)u(ti1)2 hu(ti1)O (h2)
从（1）+（2）得到：
u (ti)u (ti 1) 2 u h (2 ti) u (ti 1 ) O (h 2)
精选
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对经典的初值问题
du
dt
f (t,u )
u ( 0 ) u 0
t (0,T)
满足Lipschitz条件
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常微分方程的数值解
大气科学中
常微分方程和偏微分方程的关系
1. 大气行星边界层(近地面具有湍流运动特性的大 气薄层,1—1.5km), 埃克曼（V.W.Ekman）（瑞典） 螺线的导出；
2. 1963年，美国气象学家Lorenz在研究热对流的 不稳定问题时，使用高截断的谱方法，由 Boussinesq流体的闭合方程组得到了一个完全确 定的三阶常微分方程组，即著名的Lorenz系统。
2. Curtis F.Gerald and Patrick O., Applied Numerical Analysis, Person Education, Inc., 2004.
3. Eugenia Kalnay, Atmospheric Modeling, Data Assimilation and Predictability, the press Syndicate of the University of Cambridge,2003.
ìïïïïïïïïïíïïïïïïïïî
x1¢=
x
¢
第5章偏微分方程值解ppt课件
t
t nt , x ix , y jy , z kz
总目录
本章目录
5.1
5.2
5.3
5.4
5.2 基本离散化公式
以3对于二阶偏导，我们可以通过对泰勒展开式处 理技术得到下面离散化计算公式：
2u t 2 2u x 2 2u y 2 2u z 2
总目录
本章目录
5.1
5.2
5.3
5.4
5.3 几种常见偏微分方程的离散化计算
例下面介绍3种迭代格式： 1 u (u u u u (1)同步迭代： 4 1 u (u u u u (2)异步迭代： 4 1 u u u ) u (u 4 (3)超松弛迭代：
（5-4） (计算实例VB程序见课本)
总目录
本章目录
5.1
5.2
5.3
5.4
5.3 几种常见偏微分方程的离散化计算
2、一维流动传热传导方程的混合问题 一维流动传热传导方程的混合问题：
2 u u 2 u b f (u, t ) a 2 t x x u t 0 (x), u 0 x x l u x 0 μ1(t)
u
x0
1 (t ),u xt 2 (t )
为初值条件 为边值条件
当该波动方程只提初值条件时，称此方程为波动 方程的初值问题，二者均提时，称为波动方程的 混合问题。
总目录 本章目录
5.1
5.2
5.3
5.4
5.3 几种常见偏微分方程的离散化计算
t t
x
0
x
0
l
(a)初值问题
偏微分方程的数值解方法及源程序
如果偏微分方程定解问题的解存在，唯一且连续依赖于定解数据（即出现在方程 和定解条件中的已知函数） ，则此定解问题是适定的。可以证明，上面所举各种定解问 题都是适定的。 §2 偏微分方程的差分解法 差分方法又称为有限差分方法或网格法， 是求偏微分方程定解问题的数值解中应用 最广泛的方法之一。它的基本思想是：先对求解区域作网格剖分，将自变量的连续变化 区域用有限离散点（网格点）集代替；将问题中出现的连续变量的函数用定义在网格点 上离散变量的函数代替； 通过用网格点上函数的差商代替导数， 将含连续变量的偏微分 方程定解问题化成只含有限个未知数的代数方程组（称为差分格式） 。如果差分格式有 解， 且当网格无限变小时其解收敛于原微分方程定解问题的解， 则差分格式的解就作为 原问题的近似解（数值解） 。因此，用差分方法求偏微分方程定解问题一般需要解决以 下问题： （i）选取网格； （ii）对微分方程及定解条件选择差分近似，列出差分格式； （iii）求解差分格式； （iv）讨论差分格式解对于微分方程解的收敛性及误差估计。 下面我们只对偏微分方程的差分解法作一简要的介绍。 2.1 椭圆型方程第一边值问题的差分解法 以 Poisson 方程（1）为基本模型讨论第一边值问题的差分方法。 考虑 Poisson 方程的第一边值问题（3）
（8）
∂u ∂u +a =0 ∂t ∂x
物理中常见的一维振动与波动问题可用二阶波动方程
2 ∂ 2u 2 ∂ u =a ∂t 2 ∂x 2
（9）
（10）
描述，它是双曲型方程的典型形式。方程（10）的初值问题为
2 ⎧ ∂ 2u 2 ∂ u ⎪ 2 =a ∂t ∂x 2 ⎪ ⎪ ⎨u ( x,0) = ϕ ( x) ⎪ ∂u ⎪ = φ ( x) ⎪ ⎩ ∂t t =0
偏微分方程数值解_图文_图文
估计误差
这种误差称为“局部截断误差”，如图。
局部截断误差是以点 的精确解 而产生的误差。
为出发值，用数值方法推进到下一个点
2.整体截断误差—收敛性
整体截断误差是以点 的初始值 为出发值，用数值方法推进i+1步到点
，所得的近似值 与精确值
的偏差：
称为整体截断误差。
特例，若不计初始误差，即 则
即 3.舍入误差—稳定性
五、线性多步（Linear Multistep Method）法
1. 预备知识：插值多项式
插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况， 估算出函数在其他点处的近似值。
从几何上理解：对一维而言，已知平面上n＋1个不同点，要寻找一条n次多项式 曲线通过这些点。插值多项式一般常见的是拉格朗日插值多项式。
把
代入 中，有
经比较得到
取 为自由参数： 从而得到不同的但都是二阶的R-K方法，对应的有中点法、Heun（亨）法 以及改进的Euler法。
基于相同的过程，通过比较五次Taylor多项式，得到更加复杂的结果，给出了包含 13个未知数的11个方程。得到多组系数，其中常用的是以下四阶R-K法：
改进的Euler法、R-K法以及解析解的比较：
是待定的系数。
Euler法就是
的R-K法。
其系数的确定如下：将 展开成 的幂级数，并与微分方程的精确解
在点 的Taylor展开式相比较，使两者的前
项相同，这样确定的R-K法，
其局部截断误差为
，根据所得关于待定系数的方程组，求出它们的值后
代入公式，就成为一个 阶R-K方法。
例题 以二阶R-K法为例说明上述过程
2. Curtis F.Gerald and Patrick O., Applied Numerical Analysis, Person Education, Inc., 2004.
偏微分方程数值解
8.Solve菜单 Solve PDE 对当前的几何结构实体 CSC、三角形网格和图形解偏微分方 程。
Parameters…打开PDE对话框，输入解 PDE的参数。 Expeort Solution… 输出PDE方程的解 矢量u。如果可行，将计算特征值1输 出到主工作区间。
Parameters…打开对话框，可以输入解
在MATLAB的命令窗口中输入pdetool命令， 然后单击回车键，就将显示PDE图形界面，如图：
PDE Toolbox 菜单
1.File 菜单 New 更新或建立一个新的几何结果实体模型 Constructive Soild Geometry(CSG), 并取名为 Untitled。 Open … 从硬盘装载M文件。 Save 将在GUI内完成的成果储存到一个M文件 中。
PDE Specifficatiom…打开一个对话框，输入偏微分方程
类型和应用参数。参数的维数决定于偏微分方程的维数。
如果选择专业应用模式，那么特殊偏微分方程和参数将 代替标准偏微分方程系数。每一个参数c、a、f和d皆可 作为有效的MATLAB表达式，以作为计算三角形单元质 量中心的参数值。下面的变量是很有用的。
二阶线性偏微分方程的分类
自变量多于一个微分方程称为偏微分方程。 一般的二阶线性方程总可以写成如下的形状：
若二阶偏导数项的系数 满足： 则称方程在点
则称方程在点
则称方程在点
在区域G中某点
为双曲型的； 为抛物型的； 为椭圆型的。
二阶偏微分方程的解法的方法主要有两大类，其中 每一类又包含若干种方法。
第一类是解析法 分为分离变量法、保角变换法、镜像法和格林函 数法等。
前处理
网格剖分
取定沿x轴和y轴方向的步长 和 ，
第十章偏微分方程的数值解.doc
第十章偏微分方程的数值解第十章偏微分方程的数值解求解偏微分方程问题非常困难。
除了少数特殊情况，在大多数情况下很难找到准确的解决方案。
因此，近似解更重要。
本章只介绍求解各种典型偏微分方程定解问题的差分方法。
(1)差分方法的基本概念 1.1几种偏微分方程固定解的椭圆方程；最典型和最简单的形式是泊松方程。
特别是，在那个时候，它是拉普拉斯方程，也称为调和方程。
泊松方程的第一个边值问题是一个有边界的有界区域，一条分段光滑曲线，称为固定解区域，以及已知的连续函数。
第二类和第三类边界条件可以统一表示为边界的外法线方向。
当时，这是第二种边界条件，当时，这是第三种边界条件。
抛物线方程:在最简单的形式中，一维热传导方程可以有两种不同类型的定解:初值问题初边值问题在初边值问题中，是一个已知的函数，满足连接条件，边界条件称为第一类边界条件。
第二个和第三个边界条件在其中。
当时，它是第二类边界条件，否则它被称为第三类边界条件。
双曲线方程:的最简单形式是一阶双曲线方程。
物理学中常见的一维振动和波动问题可以用二阶波动方程来描述，二阶波动方程是双曲方程的一种典型形式。
方程的初值问题是一个边界条件，一般有三种类型。
最简单的初边值问题是1.2差分法。
差分法的基本概念也称为有限差分法或网格法。
它是求解偏微分方程定解问题数值解最广泛使用的方法之一。
其基本思想是:首先，对求解区域进行网格划分，用一组有限离散点(网格点)代替自变量的连续变化区域。
问题中出现的连续变量的函数被定义在网格点上的离散变量的函数所代替。
通过用网格点上函数的差商代替导数，将具有连续变量的偏微分方程的固定解问题转化为只有有限个未知数的代数方程(称为差分格式)。
当网格为无穷大时，如果差分格式有解，并且其解收敛于原微分方程的解，则差分格式的解作为原问题的近似解(数值解)。
因此，在用差分法求偏微分方程的定解时，通常需要解决以下问题:(1)选择网格；(2)选择微分方程和固定解条件的差分逼近，列出差分格式；(3)求解差分方案；(4)讨论微分方程差分格式解的收敛性和误差估计。
偏微分方程数值解
ei1u(ti1)ui1h 22u()O (h2)
局部截断误差是以点 t i 的精确解 u ( t i ) 为出发值，用数值方法推进到下一个点
t i 1 而产生的误差。
20
2.整体截断误差—收敛性
整体截断误差是以点 t 0 的初始值 u 0 为出发值，用数值方法推进i+1步到点
t i 1 ，所得的近似值u i 1 与精确值u ( t i 1 ) 的偏差： i1u(ti1)ui1
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2.差分格式求解 将积分方程通过差分方程转化为代数方程求
解，一般常用递推算法。
在常微分方程差分法中最简单的方法是 Euler方法，尽管在计算中不会使用，但从 中可领悟到建立差分格式的技术路线，下 面将对其作详细介绍:
13
差分方法的基本思想“就是以差商 代替微商”
考虑如下两个Taylor公式：
x2
9 x2 3 x1x3
x3
5 x3 7 x1x2
x4
5 x4 x1x6
x5
x5 3 x1x4
4 x4x5 Re
11
欧拉法—折线法
• 常微分方程能直接进行积分的是少数，而多数是 借助于计算机来求常微分方程的近似解；
• 有限差分法是常微分方程中数值解法中通 常有效 的方法；
• 建立差分算法的两个基本的步骤： 1. 建立差分格式，包括：a. 对解的存在域剖分； b. 采用不同的算法可得到不同的逼近误差—截断 误差（相容性）；c.数值解对真解的精度—整体 截断误差（收敛性）；d.数值解收敛于真解的速 度；e. 差分算法—舍人误差（稳定性）.
ui1ui hf(ti,ui)
预估
u i 1 u i h /2 [f( ti,u i) f( ti 1 ,u i 1 ) ] 校正