基本不等式的证明教学设计
基本不等式教案范文
基本不等式教案范文一、教学目标1.知识与技能目标a.掌握基本不等式的定义和基本性质；b.掌握不等式的加减乘除性质；c.能够解决基本不等式的证明和计算问题。
2.过程与方法目标a.通过例题引导学生发现不等式的性质；b.引导学生进行探究性学习，提高独立解决问题的能力；c.培养学生的逻辑思维和推理能力。
3.情感态度目标a.培养学生的数学思维和抽象思维能力；b.培养学生的合作意识和团队精神；c.培养学生的实际问题解决能力。
二、教学重点1.不等式的加减和乘除性质；2.不等式的证明和计算方法。
三、教学难点1.不等式的证明方法；2.复杂不等式的解决方法。
四、教学方法1.探究教学法：通过解决例题引导学生发现不等式的性质；2.讲授教学法：通过讲解和示范的方式，介绍不等式的性质和解决方法；3.案例分析法：通过分析实际问题的案例，引导学生解决不等式问题。
五、教学过程1.引入a.导入问题：小明计划购买一款手机，他想知道自己有多少钱可以花在手机上。
请问该怎样计算？b.引导学生讨论，并给予提示，引出不等式的概念。
2.探究不等式的性质a.通过解决一些简单的例题，让学生发现不等式的性质。
b.给出以下几个例题：（1）若a>b，b>0，则a+b>b；（2）若a > b，b > 0，则ab > b；（3）若a>b，b>0，则a/b>1c.让学生在小组内讨论，并找出规律。
d.分组展示结果，学生进行交流与讨论。
e.教师总结不等式的加减和乘除性质。
3.不等式证明a.讲解不等式证明的一般方法，包括逆否命题法、反证法等。
b.通过案例讲解不等式证明的具体步骤和技巧。
c.给出以下例题：（1）证明：若a>b，b>0，则a+b>0。
（2）证明：对于任意实数x，都有x>-1c.引导学生运用之前学到的证明方法进行解答，然后进行讨论。
4.解决不等式问题a.讲解不等式的解决方法，包括绝对值法、区间法等。
基本不等式教学设计(多篇)
基本不等式教学设计（多篇）第1篇：基本不等式教学设计基本不等式一、教学设计理念：注重学生自主、合作、探究学习，用新课程理念打造新的教学模式.二、教学设计思路： 1.教学目标确定这节课的目标定位分为三个层面：第一层面：知识与技能层面，①了解两个正数的算术平均数和几何平均数的概念；②要创设几何和代数两个方面的背景，从数形结合的高度让学生了解基本不等式；③引导学生从不同角度去证明基本不等式；④用基本不等式来证明一些简单不等式.第二层面：过程与方法，通过掌握公式的结构特点，适当运用公式的变形，能够提高学生分析问题和解决问题的能力，加强学生的实践能力，渗透数学的思想方法.第三层面：情感、态度与价值观，①通过具体问题的解决，让学生去感受日常生活中存在大量的不等关系，鼓励学生用数学观点进行归纳，抽象，使学生感受到数学美，走进数学，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维方式；②通过问题的解决，激发学生探究精神和科学态度，同时去感受数学的运用性，体会数学的奥妙，数学的简洁美，激发学生学习数学的兴趣.2.教学过程本节课我设计了五个环节：第一个环节：创设情境，引入新课.我设计了两个情境：一个是天平测量的问题，另一个是让学生动手操作折纸试验，从不同的角度体验和理解基本不等式，让学生能够体会数学与生活紧密联系，激发学生学习兴趣，为后面学习作铺垫.第二个环节：探究交流，发现规律.我在问题的情境中，让学生带着不同的数据去比较几何平均数和算术平均数的大小，并通过小组折纸试验，通过这样合作交流的方式让学生初步感受到几何平均数和算术平均数之间的大小关系.第三个环节：启发引导、形成结论.本节课的重要任务就是对基本不等式进行严格的证明，包括了比较法，综合法和分析法，而学生对作差比较法是比较熟悉的，综合法和分析法的过程要加强引导，并组织学生去探究这两种方法之间的关系，并规范证明过程，为今后学习证明方法打下基础.第四个环节：训练小结，巩固深化.学习基本不等式最终的目的体现在它的运用上，首先在例题选择上，注重让学生充分认识和间的关系，给出一般的结论，在练习中我选择了题组形式，目的是与让学生强化对基本不等式成立条件包括等号成立的条件.第五个环节：研究拓展，提高能力.我设计了一道关于例题的变式题，目的是让学生感受到，通过适当的变形将其化为例题中出现的形式，体现化归的思想，最后设计三道思考题，两道进一步巩固化归思想及应用基本不等式的条件，一道需要分类讨论，让学有余力的学生提供更好展示自己能力的机会，得到进一步提高.最后我通过问题式的小结，让学生自行归纳我们这节课当中学到的知识，特别是最后一问中，让学生去总结在使用基本不等式的时候要注意哪些条件.虽然我没有点出“一正二定三相等”这样的结论，但已潜移默化为我们下一节课使用基本不等式求最值问题作了铺垫，起到承前启后的作用.三、本节课重点重点：应用数形结合的思想和日常生活中例子理解基本不等式，并从不同的角度探索不等式的证明过程.难点：灵活使用化归思想把问题转化为运用基本不等式，以及基本不等式成立条件中包括等号成立的条件.在这一节中的主要任务就是让学生从不同的角度去探索基本不等式的证明过程，包括它的成立条件，在这一节课中我的总体想法是通过互动，发现规律，直接猜想，指定验证，得出结论，最后灵活运用这个结论来解决问题.四、本节课亮点：1.积极引导学生自主探究问题，解决问题.2.灵活运用转化与化归的思想.3.实现课堂三大转变：①变教学生学会知识为指导学生会学知识；②变重视结论的记忆为重视学生获取结论的体验和感悟；③变模仿式学习为探究式学习.4.课堂小结采取问题式小结给学生留下满口香.导入新课探究：上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？?（教师用投影仪给出第24届国际数学家大会的会标，并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力，激发学生的学习热情，并增强学生的爱国主义热情）?? 推进新课师同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何找？?【三维目标】：一、知识与技能1.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题2.进一步掌握用基本不等式求函数的最值问题；3.审清题意，综合运用函数关系、不等式知识解决一些实际问题．4.能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题．二、过程与方法本节课是基本不等式应用举例的延伸。
基本不等式教学设计
基本不等式教学设计基本不等式教学设计一、教学目标1.掌握基本不等式的概念和性质；2.学会运用基本不等式解决实际问题；3.培养学生的推理能力和数学应用意识。
二、教学内容1.基本不等式的定义基本不等式是指：对于实数a和b，有in几何意义表示为：在边长为a的正方形内，以对角线为直径的圆与对角线所夹的面积为，因而是正方形面积的最小值；当且仅当a=b时，基本不等式取等号。
2.基本不等式的性质基本不等式具有如下性质：(1) 非负性：对于实数a和b，有，即基本不等式的值域为[0,1]。
(2) 等号成立条件：当且仅当a=b时，即等号成立的条件是a=b。
(3) 传递性：若a≤b，c≤d，那么ac≤bd。
(4) 对称性：对于任意实数x，y，有，即基本不等式关于原点对称。
3.基本不等式的证明方法基本不等式的证明方法有多种，以下是其中两种常用的方法：(1) 利用导数证明基本不等式对于函数f(x)=in几何意义是：在直角坐标系中，以原点为圆心、r为半径的圆的面积是，因而是随r的增大而增大；而围成圆的四条直线段均匀分布在半径r 上，每条线段的长度为2r，因而当且仅当这四条线段等长时，即当且仅当x=2π时，围成圆的四条直线段的总长度最小。
三、教学重点与难点1.教学重点(1) 基本不等式的概念和性质；(2) 利用基本不等式解决实际问题。
2.教学难点(1) 基本不等式的几何解释；(2) 利用基本不等式求最值。
四、教学方法与手段1.教学方法：讲授法、演示法、探究法、合作学习法。
2.教学手段：多媒体辅助教学、板书教学。
五、教学过程设计1.导入新课通过一系列具体的实例，引入基本不等式的概念。
比如，利用长方形的面积与对角线长度之比来引出基本不等式；或者通过等周率的概念来引出基本不等式等等。
2.讲解新课(1) 基本不等式的概念和性质。
通过实例让学生理解基本不等式的几何意义，并推导和证明基本不等式。
引导学生自己发现并总结基本不等式的性质。
(2) 利用基本不等式解决实际问题。
基本不等式教案
基本不等式教案一、教学目标1、知识与技能目标（1）学生能够理解基本不等式的内容及其证明过程。
（2）掌握运用基本不等式求最值的方法和条件。
2、过程与方法目标（1）通过对基本不等式的探究，培养学生观察、分析、归纳和逻辑推理的能力。
（2）引导学生运用基本不等式解决实际问题，提高学生的数学应用意识和能力。
3、情感态度与价值观目标（1）让学生感受数学的简洁美和应用价值，激发学生学习数学的兴趣。
（2）培养学生严谨的治学态度和勇于探索的精神。
二、教学重难点1、教学重点（1）基本不等式的内容及证明。
（2）运用基本不等式求最值的方法和条件。
2、教学难点（1）基本不等式的证明。
（2）运用基本不等式求最值时条件的判断和正确应用。
三、教学方法讲授法、探究法、练习法四、教学过程（一）导入新课通过实际生活中的问题引入，比如：某工厂要建造一个面积为 100 平方米的矩形仓库，仓库的一边靠墙，墙长 16 米，问怎样建造才能使所用材料最省？（二）新课讲授1、基本不等式的推导对于任意两个正实数 a，b，有\（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼），当且仅当 a ＝ b 时，等号成立。
证明：＼＼begin{align}（a b)＾2&＼geq 0\＼a^2 2ab ＋ b^2&＼geq 0\＼a^2 ＋ 2ab ＋ b^2&＼geq 4ab\＼（a ＋ b)＾2&＼geq 4ab\＼a ＋ b&＼geq 2\sqrt{ab}＼end{align}＼当且仅当\（a b ＝ 0\），即\（a ＝ b\）时，等号成立。
2、基本不等式的几何解释以直角三角形为例，直角边为 a，b，斜边为 c，那么\（c ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼）。
对于基本不等式\（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼），可以看作是以 a，b 为直角边的直角三角形的斜边长大于等于以\（＼sqrt{ab}＼）为边长的正方形的对角线长。
《基本不等式的证明及应用》优质课比赛教案
《基本不等式的证明及应用》优质课比赛教案基本不等式的证明及应用教学目标a，b知识目标:探索并了解基本不等式的证明过程，体会证ab,(a,b,0)2明不等式的基本方法，能应用基本不等式解决一些简单问题，渗透数形结合和等价化归等数学思想.能力目标:培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等思维能力.情感目标:培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣.教学重点、难点a，bab,基本不等式()及其证明. a,b,02教学过程一、问题情境1.有一架天平两臂之长略有差异，其他均精确，小王要用它来称一物体的重量，将此物体放在左右两个托盘各称一次，再将称的的数据相加后，除以2所得的结果就认为是物体的真实重量，你认为小王所测量结果是否准确,如果不准确，比真实重量是重还是轻,你能给小王提供一种用这架天平称量此物体真实重量的方法吗,2.引入课题ll设第一次称量时，放物体一边的臂长为,另一边的臂长为,称得物体的重21 a，baA,量为，第二次称得物体的重量为，用小王的方法所得的结果为,这b2样合理吗,事实上，设物体的实际质量为，根据力学原理有 MlM,la， ? 12lM,la， ? 21ll??相乘再除以，可以得到 12M,ab .第 1 页共 5 页a，b问题:A,与M,ab是否相等,若不相等，大小关系又怎样, 2二、学生活动a，baaaba1.对于非负数，，称为、的算术平均数，为、的几何bbb2平均数.2.学生分组讨论.3.学生通过取一些具体数据进行探究.a 30 59 92 70 25 11 20b 39 99 23 99 54 100 2034.21 76.43 46 83.25 36.74 33.17 20 aba，b34.5 79 57.5 84.5 39.5 55.5 20 2a，ba，bab,ab,4.猜想:若，，当时，;当时,;a,0b,0a,ba,b22a，bab,ab当，时，很明显;当时，无意义. a,0b,0ab,02a，bab,5.初步结论:如果，，那么成立. a,0b,02点评:诱发学生深入思考问题，教会学习、研究的方法——从特殊到一般是科学探求未知的有效手段.三、建构数学1.呈现课题:基本不等式的证明.引导学生分析、思考，给出基本不等式的证明，点评有关问题. 2.基本不等式的证明:证法1:(比较法)a，b,ab 2122=[(a)，(b),2ab] 212(a,b),0=. 2证法2:(分析法)a，bab,要证， 22ab,a，b只要证，第 2 页共 5 页只要证 a,2ab，b,0，2(a,b),0 只要证，a，bab, 只要证最后一个不等式成立，所以成立，当且仅当a,b2时取“=”.证法3:(综合法)对于正数a、b有2(a,b),0a，b,2ab,0 ,a，b,2ab,a，b ,, ,ab2点评:(,)由证明过程可以发现，当且仅当时，两个均值相等，并解a,b释“当且仅当”两方面的含义.a (,)强调结论成立的条件: ，都是非负数，并举反例加以说明. b(,)比较法、分析法、综合法都是证明不等式的基本方法.3.通过严格的证明，得到下列结论:a，baab,定理:如果、是正数，那么(当且仅当时取“=”). ba,b2让学生根据右图，尝试给出上述基本不等式的几何解释，并思考这个基本不等式的其他证明方法.a，bab,4.对的几何解释: 2'DD,AB如图，在圆中:为圆的直径，弦ABO2垂足为，，，由射影定理:，CD,AC,CBCAC,aBC,b''CD,AC,CB,abDD,2abDD，则弦;而直径弦.所以AB,a，ba，b,2abab,，变形得:，当点与圆心重合时，即时取等COa,b2号.第 3 页共 5 页点评:抓住时机，渗透数形结合思想，引导学生善于捕捉的暗示信息，从多方位、多角度去理解并掌握所学知识，提升思维的灵活性.5.教师点评:(1)这个基本不等式的几何解释，即“半弦半径”. ,n(2)这个基本不等式可否推广到“个(，)非负数”的情形，n,1n,N有兴趣的同学可以课后查阅有关资料.四、数学运用(一)例题a例1.已知、为正数，试证明下列不等式: bba1(1);(2). ，,2a，,2aab分析:可直接应用基本不等式进行证明，并注意基本不等式的应用条件.证明:(略)16例2.已知函数，，求此函数的最小值. y,x，x,(,2,，,)x，216分析:不能直接使用基本不等式，应将其变形为，并对前(x，2)，,2x，2 两项使用基本不等式.解:(略)点评:(1)在使用基本不等式求函数最值时，常需要将函数形式进行变形，以创造条件使用基本不等式.(2)在利用基本不等式求函数最值时，应注意“一正、二定、三相等”，即必须两个量都是正数(也可是非负数)，才能直接使用基本不等式;要把函数式放缩到常数;等号才能取到.(二)练习3x,f(x),x，1.若，则有_________值为_________，此时________; x,0x 3x,f(x),x，2.若，则有_________值为_________，此时________; x,0x y,0x，y,23.已知，，且，求的最大值; xyx,0y,0xy,14.已知，，且，求的最小值; x，yx,0y,x(x,2)5.已知，求函数的最大值; 0,x,2第 4 页共 5 页26.已知0,x,，求函数的最大值. y,x(2,3x)3做到师生互动;讲练结合. 让学生板演，教师评析.五、回顾小结让学生回顾小结本节课所学内容及主要收获，教师总结.a，b1.基本不等式及其证明. ab,(a,b,0)22.基本不等式的简单应用(证明不等式，求函数最值).六、教学反思1.在建立新知的过程中，教师力求引导、启发，让学生逐步应用所学的知识来分析问题、解决问题，以形成比较系统和完整的知识结构.每个问题在设计时，充分考虑了学生的具体情况，力争提问准确到位，便于学生思考和回答.使思考和提问持续在学生的最近发展区内，学生的思考有价值，对知识的理解和掌握在不断的思考和讨论中完善和加深，但实施落实的可能还不到位，有待改进.2.本节的教学中要求学生对基本不等式在数与形两个方面都有比较充分的认识，特别强调数与形的统一，意图使学生在比较中对基本不等式得以深刻理解.“数形结合”作为一种重要的数学思想方法，不是教师提一提学生就能够掌握并且会用的，只有学生通过实践，意识到它的好处之后，学生才会在解决问题时去尝试使用，只有通过不断的使用才能促进学生对这种思想方法的再理解，从而达到掌握它的目的.3.本课的设计是想通过师生课上的探索、互动学习，达到理解掌握知识的目的.在教师的引导和启发下，学生自己寻找、探求解决问题的途径是本节教学所采用的教学方式.课上学生学习热情很高，师生的互动非常好，出现了很多讨论问题的高潮.学生能够针对教师的问题进行充分的分析和讨论，而且通过讨论，学生对知识点的理解得到了深化，达到了掌握知识的目的.七、课后作业，2，3，4，5题. 教材第91页习题3.4第1第 5 页共 5 页。
《基本不等式的证明》参考教案
2a b +≤的证明 一、教材分析（一）教材所处的地位和作用(0,0)2a b a b +>>”是全日制普通高中新课程标准实验教科书数学必修5“不等式”一章的内容，是在学完不等式性质的基础上对不等式的进一步研究．本节内容具有变通灵活性、应用广泛性、条件约束性等特点，所以本节内容是培养学生应用数学知识，灵活解决实际问题，学数学用数学的好素材，同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，所以有利于培养学生良好的思维品质．（二）教学目标1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣（三）教学重点、难点教学重点：创设代数与几何背景，从不同角度探索基本不等的证明过程； 教学难点：理解“当且仅当a=b 时取等号”的数学内涵（四）教材处理依据新大纲和新教材，本节分为二个课时进行教学．第一课时讲解不等式（两个实数的平方和不小于它们之积的2倍）和基本不等式：(0,0)2a b a b +≤>>及它们的几何解释．掌握应用基本不等式：(0,0)2a b a b +>>解决某些数学问题．第二课时讲解基本不等式：(0,0)2a b a b +>>解决某些实际问题．为了讲好基本不等式这节内容，在紧扣新教材的前提下，对例题作适当的调整，适当增加例题．二、教法分析（－）教学方法为了激发学生学习的主体意识，又有利于教师引导学生学习，培养学生的数学能力与创新能力，使学生能独立实现学习目标．在探索结论时，采用发现法教学；在基本不等式的应用及其条件的教学中采用归纳法；在训练部分，主要采用讲练结合法进行．（二）教学手段根据知识特点，可以结合多媒体教学三、学法指导在教学中，学生始终是主体，教师只是起主导作用，因此在教学中引导学生去观察、发现、分析、解决问题。
《 基本不等式的证明》教学设计
《基本不等式的证明》教学设计【教材分析】不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容。
建立不等观念，处理不等关系与处理等量问题是同样重要的。
而基本不等式是本章重要的一个单元，它是证明不等式、求解某些函数的最大值及最小值的理论依据，在解决数学问题和实际问题中应用广泛。
基本不等式是高中数学的重要内容之一，在高考说明中等级要求为C级。
在不同的章节中都有应用，是培养学生逻辑推理能力和数学应用意识的好素材。
本教材特别强调基本不等式的代数与几何背景以及在求最值中的应用。
【学情分析】学生对函数中求最值，在一元二次不等式中都已经学过接触过有不等式的问题，因此提到不等式最值问题学生也不会陌生。
在两个数的算术平均数和几何平均上，我们可以以两个数的等差中项和等比中项来引用这两个概念。
这样对两个数据形式上就不会陌生，在初步了解大小关系后在给出概念。
但由于学生的基础薄弱，可以预见在探索基本不等式时，寻找不等关系也有一定的困难。
【教学目标】知识目标：1、知道算术平均数和几何平均数的概念并且能求出两个数的算术平均数和几何平均数。
2、理解基本不等式的证明过程。
技能目标：1、掌握基本不等式的取等条件，并能用此方法求函数最大值。
2、通过对基本不等式证明的理解，体会三种证明方法，能准确用三种证明中简单的方法证明其它不等式问题。
3、体会类比的数学思想方法，培养其观察分析问题的能力和总结概括的能力情感目标：通过不等式基本性质的探究过程，培养学生合作交流的思维品质，渗透不等式中的数学美，激发学生学习兴趣，陶冶学生的数学情操。
【教学重点】1、如果a，b是正书，则为a、b的算术平均数；为a、b的几何平均，且有“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”。
即定理，（）（当且仅当时取）2、上面公式中“当且仅当的含义是：当时取等号，即；仅当时取等号，即，综合起来就是的充要条件。
【教学难点】1、不等式求函数最值时的取等条件2、对于公式的变形可求的最大值【教学方法】启发学生探究，多媒体辅助教学【教具准备】多媒体电脑课件【教学过程】一、设置问题情境：（展示并介绍古代弦图）同学们现在看到的是中国古代数学中著名的一副图，叫做弦图。
基本不等式教案
基本不等式教案一、教学目标1. 让学生理解基本不等式的概念和性质。
2. 培养学生运用基本不等式解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学逻辑思维和推理能力的培养。
二、教学内容1. 基本不等式的定义和性质2. 基本不等式的证明方法3. 基本不等式在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 基本不等式的概念和性质的理解2. 基本不等式的证明方法的掌握3. 基本不等式在实际问题中的应用四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解基本不等式的概念和性质。
2. 采用证明法，培养学生掌握基本不等式的证明方法。
3. 采用案例分析法，让学生学会运用基本不等式解决实际问题。
五、教学准备1. 教学PPT2. 教学案例及练习题3. 笔记本和文具【课堂导入】（教师通过引入实际问题或生活实例，引发学生对基本不等式的兴趣，激发学生的学习动机。
）【新课讲解】1. 基本不等式的定义与性质（1）教师讲解基本不等式的定义，解释其意义。
（2）引导学生理解基本不等式的性质，并通过示例进行说明。
2. 基本不等式的证明方法（1）教师讲解基本不等式的证明方法，如综合法、分析法等。
（2）引导学生通过示例掌握基本不等式的证明过程。
【案例分析】1. 教师呈现案例，引导学生运用基本不等式解决实际问题。
2. 学生分组讨论，分享解题思路和答案。
【课堂练习】1. 教师布置练习题，学生独立完成。
2. 教师选取部分学生答案进行点评和讲解。
2. 学生分享自己的学习收获和感悟。
【课后作业】1. 教师布置课后作业，巩固课堂所学知识。
2. 学生独立完成作业，巩固知识点。
六、教学评价1. 通过课堂讲解、案例分析和课后作业，评估学生对基本不等式的理解和掌握程度。
2. 观察学生在解决问题时的思维过程和方法，评价其逻辑思维和推理能力。
3. 收集学生反馈意见，了解教学效果，以便进行教学改进。
七、教学拓展1. 引导学生进一步学习其他不等式，如均值不等式、柯西不等式等。
2. 探讨基本不等式在数学竞赛和实际应用中的重要作用。
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《基本不等式的证明》教学设计
【教材分析】
不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容。
建立不等观念，处理不等关系与处理等量问题是同样重要的。
而基本不等式是本章重要的一个单元，它是证明不等式、求解某些函数的最大值及最小值的理论依据，在解决数学问题和实际问题中应用广泛。
基本不等式是高中数学的重要内容之一，在高考说明中等级要求为C级。
在不同的章节中都有应用，是培养学生逻辑推理能力和数学应用意识的好素材。
本教材特别强调基本不等式的代数与几何背景以及在求最值中的应用。
【学情分析】
学生对函数中求最值，在一元二次不等式中都已经学过接触过有不等式的问题，因此提到不等式最值问题学生也不会陌生。
在两个数的算术平均数和几何平均上，我们可以以两个数的等差中项和等比中项来引用这两个概念。
这样对两个数据形式上就不会陌生，在初步了解大小关系后在给出概念。
但由于学生的基础薄弱，可以预见在探索基本不等式时，寻找不等关系也有一定的困难。
【教学目标】
知识目标：1、知道算术平均数和几何平均数的概念并且能求出两个数的算术平
均数和几何平均数。
2、理解基本不等式的证明过程。
技能目标：1、掌握基本不等式的取等条件，并能用此方法求函数最大值。
2、通过对基本不等式证明的理解，体会三种证明方法，能准确用三种
证明中简单的方法证明其它不等式问题。
3、体会类比的数学思想方法，培养其观察分析问题的能力和总结概括
的能力
情感目标：通过不等式基本性质的探究过程，培养学生合作交流的思维品质，渗透不等式中的数学美，激发学生学习兴趣，陶冶学生的数学情操。
【教学重点】
1、如果a，b是正书，则为a、b的算术平均数；为a、b的几何平均，且有“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”。
即定理，
（）（当且仅当时取）
2、上面公式中“当且仅当的含义是：当时取等号，即
；
仅当时取等号，即，综合起来就是的
充要条件。
【教学难点】
1、不等式求函数最值时的取等条件
2、对于公式的变形可求的最大值
【教学方法】
启发学生探究，多媒体辅助教学
【教具准备】
多媒体电脑课件
【教学过程】
一、设置问题情境：
（展示并介绍古代弦图）
同学们现在看到的是中国古代数学中著名的一副图，叫做弦图。
它是由我国三国时期的数学家赵爽设计的。
早在1300多年以前，这位数学家就巧妙的利用弦图中的面积关系证明了勾股定理，这是世界上最早证明勾股定理的方法之一。
弦图不仅造型美观，而且蕴藏着很多玄机。
（展示24届国际数学家大会会标）
大家现在看到的是2002年在我们北京召开的第24届国际数学家大会的会标。
这个会标设计源于古代弦图。
它的色调明暗相间，使它看上去象一个风车，这不但
象征中国人民的热情好客，同
时也充分展现了中国古代数学对世界所做出的重大贡献。
今天咱们也来研究一下弦图。
问题1．请观察会标图形，图中有哪些特殊的几何图形?它们在面积上有哪些相等关系和不等关系?（让学生分组讨论）
形的角度 (利用多媒体展示会标图形的变化,引导学生发现四个直角三角形的面积之和小于或等于正方形的面积。
)
问题2. 数的角度若设直角三角形的两直角边分别为a、b,应怎样表示这种不等关系?
学生讨论结果：。
问题3．大家看，这个图形里还真有点奥妙。
我们从图中找到了一个不等式。
这里a、b的取值有没有什么限制条件? 不等式中的等号什么时候成立呢？（师生共同探索）
咱们再看一看图形的变化，（教师演示）
（学生发现）a、b为正数，当a=b四个直角三角形都变成了等腰直角三角形，他们的面积和恰好等于正方形的面积，即。
探索结论：我们得到不等式，当且仅当时等号成立。
二、数学建构
问题1：若设直角三角形的两直角边分别为,应怎样表示这种不等关系?如果把它变形，我们能得到什么？
这个不等式就是今天我们要研究的重点内容，我们把
它叫做基本不等式。
我们常把叫做正数的几何平均数，叫做正数的算术平均数。
基本不等式说明两个正数的算术平均数不小于其几
何平均数。
问题2：这个不等式怎么证明呢？请与同学讨论一下。
求证：基本不等式，（）（当且仅当时取）
证法一：
作差
=变形
=判断符号
当且仅当，即时取取等条件
学生容易忽视取等“=”时的情况，出现这种情况可以让学生仔细从证明问题中注意“”号，进而提示学生没有完成。
该过程可以提高学生对问题的细心程度，可以培养学生对周围事物的观察力，善于发现问题的能力。
证法二：
要证
只要证
只要证
只要证
因为最后一个不等式成立，所以成立，当且仅当，即
时取
问题3：本证明方法有什么特点？平时有没有遇到过？
生：从结论出发，逐步反推已知。
在初中几何中遇到过。
有了第一种证明方法此时学生已经不会忽视取“=”条件。
证法2的方法我们称之为“分析”，其特点是从结论出发（出发点让学生总结），形式是“要证……，只要证……只要证……”（形式让学生自己总结），从本质上看，只是对问题做尝
试的探索的过程（即执果索因）。
当证题不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决，特别对于条件简单而结论复杂的题目往往是行之有效的。
探究：对基本不等式再研究
在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。
过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。
你能利用这个图形得出基本不等式
的几何解释吗？（教师演示，学生直观感觉）
易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，
那么ＣD2=ＣA·ＣB
即ＣD=.
这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a=b时，等号成立.
因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”
这正象著名数学家华罗庚说的:数无形时少直观,形无数时难入微,数形结合千般好,数形分离万事非.可见，数与形真的是密不可分呀。
问题4：前面，我们刚刚学习了数列，和在数列中代表什么？
学生：等差中项·等比中项
基本不等式说明两个正数的等差中项不小于他们的等比中项。
三、要点训练
例1 设为正数，证明下列不等式成立：
（1）（2）
注意：
要说明不等式中等号成立的条件。
这两道例题在讲授时以提问学生为主，让学生自己说，老师在前面板书。
练习：课后练习2题
例2 已知函数，，求此函数的最小值。
注意：
要说明什么时候取得最小值。
这是证明基本不等式在函数上的第一个应用，要让学生能够结合基本不等式和函数综合解决最值的问题。
四、课堂练习：练习2题，4题
五、课堂小结：请大家想一想，这节课你有哪些收获？
1．知识：基本不等式
2．思想方法：数形结合，转化与化归数学思想
六、课后作业巩固升华
课本第100页，习题3.4A组1、2
七、板书设计
基本不等式的证明
基本不等式内容证法2 例
1 例2
证法1
八、教学反思
1、导入新课采用学生比较感兴趣的变换的几何图形为背景，并且，配以解说，使学生从方方面面感受弦图的玄妙，容易被学生接受，从而产生兴趣，迅速激发学习动机。
兴趣是驱使学生探究的良方，教学过程中，时刻应注意照顾学生的学习兴趣，推动学生动手动脑去探究。
2、在建立新知的过程中，教师力求引导、启发，让学生逐步应用所学的知识来分析问题、解决问题，以形成比较系统和完整的知识结构。
每个问题在设计时，充分考虑了学生的具体情况，力争提问准确到位，便于学生思考和回答。
使思考和提问持续在学生的最近发展区内，学生的思考有价值，对知识的理解和掌握在不断的思考和讨论中完善和加深。
但实施落实的可能还不到位，有待改进。
3、本节的教学中要求学生对基本不等式在数与形两个方面都有比较充分的认识，特别强调数与形的统一，教学过程从形得到数，又从数回到形，意图使学生在比较中对基本不等式得以深刻理解。
“数形结合”作为一种重要的数学思想方
法，不是教师提一提学生就能够掌握并且会用的，只有学生通过实践，意识到它的好处之后，学生才会在解决问题时去尝试使用，只有通过不断的使用才能促进学生对这种思想方法的再理解，从而达到掌握它的目的。
4、本课的设计是想通过师生课上的探索、互动学习，达到理解掌握知识的目的。
在教师的引导和启发下，学生自己寻找、探求解决问题的途径是本节教学所采用的教学方式。
课上学生学习热情很高，师生的互动非常好，出现了很多讨论问题的高潮。
学生能够针对教师的问题进行充分的分析和讨论，而且通过讨论,学生对知识点的理解得到了深化，达到了掌握知识的目的。
九、对本节教学设计的说明
新课程的理念倡导学生积极主动地探索知识的发生、发展，但这必须是在教师的引领之下，否则学生很容易误入歧途。
教师应该尽力做好学生探究活动的引路人。
在设计这节课的教学时，课堂上采取让学生“自主、合作、探索”的教学方式，教师是学生学习的组织者、引导者和服务者，为了让学生的探究活动积极有效，主要设想以问题立意，始终围绕基本不等式的发现、发展这一中心问题并渗透数型结合、转化与化归思想。
在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大的激发了学生的学习兴趣，这正是新课程所倡导的数学教学理念。