考点16 三角函数性质——2021年高考数学专题复习讲义
2021高考一轮复习 第十六讲 三角函数的图象与性质
2021高考一轮复习 第十六讲 三角函数的图象与性质一、单选题（共12题；共24分）1.将函数 f(x)=sin2x 的图象向右平移 π6 个单位得到 g(x) ，下列关于 g(x) 的说法正确的是（ ） A. x =π12 是对称轴 B. 在 [0,π2] 上单调递增C. 在 [0,π3] 上最大值为1 D. 在 [−π3,0] 上最小值为 −1 【答案】 D【考点】正弦函数的单调性，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换2.已知函数 f(x)=sinωx +√3cosωx(ω>0) 的图象关于直线 x =π8 对称，则 ω 的最小值为（ ） A. 13 B. 23 C. 43 D. 83 【答案】 C【考点】正弦函数的奇偶性与对称性3.已知函数 y =sin(ωx +π3)(ω>0) 在区间 (−π6,π3) 上单调递增，则 ω 的取值范围是（ ）A. (0,12]B. [12,1]C. (13,23]D. [23,2] 【答案】 A【考点】正弦函数的单调性4.已知函数 f(x)=cos x2−√3sin x2 的图象为C ，为了得到关于原点对称的图象，只要把C 上所有的点（ ） A. 向左平移 π3 个单位 B. 向左平移 2π3个单位 C. 向右平移 π3 个单位 D. 向右平移 2π3个单位【答案】 A【考点】余弦函数的奇偶性与对称性，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换5.函数 f(x)=2sin (wx +φ)(w >0,x ∈R) 的部分图象如图所示，则该函数图象的一个对称中心是（ ）A. (π3,0)B. (−2π3,0) C. (−4π3,0) D. (4π3,0)【答案】 C【考点】正弦函数的奇偶性与对称性，由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式 6.下列函数中，周期为1的奇函数是( )A. y=1-2sin 2πxB. y=sin (2πx +π3) C. y=tan π2x D. y=sinπxcosπx【答案】 D【考点】二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式，正弦函数的奇偶性与对称性，正切函数的周期性 7.下列函数中，最小正周期为π的偶函数是（ ）A. y =sin2xB. y =cos x2 C. sin2x +cos2x D. y =1−tan 2x 1+tan 2x【答案】 D【考点】函数奇偶性的判断，二倍角的余弦公式，三角函数的周期性及其求法，同角三角函数间的基本关系8.已知函数 f(x)=√3sin(2x +φ)+cos(2x +φ) 为R 上的奇函数，且在 [π4,π2] 上单调递增，则 φ 的值可能是（ ） A. −2π3B. −π6C. π3D. 5π6 【答案】 D【考点】正弦函数的单调性9.函数 y =sin(2x +π4) 的最小正周期是（ ）A. πB. 2πC. π2 D. π4 【答案】 A【考点】三角函数的周期性及其求法10.函数 f(x)=cosx(1+√3tanx) 的最小正周期为（ ）A. 2πB. πC. 32π D. 12π 【答案】 A【考点】三角函数的周期性及其求法11.函数 y =cos 2x +sin x −1 的值域为（ ）A. (−∞,14] B. [0,14] C. [−2,14] D. [−2,0] 【答案】 C【考点】二次函数在闭区间上的最值，正弦函数的定义域和值域12.把函数 y =sin(x +π6) 图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移 π3 个单位，那么所得图象的一个对称中心为（ ）A. (π3,0) B. (π4,0) C. (π12,0) D. (0,0) 【答案】 D【考点】正弦函数的奇偶性与对称性，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换二、多选题（共2题；共6分）13.函数f（x）＝cos（2x +π6）的图象的一条对称轴方程为（）A. x =π6 B. x= 5π12C. x =11π12D. x= −2π3【答案】B,C【考点】余弦函数的奇偶性与对称性14.将函数f(x)=√3cos(2x+π3)−1的图象向左平移π3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列关于函数g(x)的说法正确的是（）A. 最大值为√3，图象关于直线x=π12对称 B. 图象关于y轴对称C. 最小正周期为πD. 图象关于点(π4,0)对称【答案】B,C,D【考点】余弦函数的奇偶性与对称性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换三、填空题（共3题；共4分）15.若函数f(x)=2sin(2x+φ)(0<φ<π2)的图象过点(0,√3)，则函数f(x)在[0,π]上的单调减区间是________．【答案】(π12,7π12)(或[π12,7π12])【考点】正弦函数的单调性16.函数f(x)=2sin(2x−π6)−m，若f(x)≤0在x∈[0,π2]上恒成立，则m的取值范围是________;若f(x)在x∈[0,π2]上有两个不同的解，则m的取值范围是________. 【答案】m≥2；1≤m＜2【考点】函数恒成立问题，正弦函数的图象，函数的零点与方程根的关系17.不等式sin2x−cos2x≥0的解集为________．【答案】[kπ+π4,kπ+3π4]，k∈Z【考点】二倍角的余弦公式，余弦函数的单调性四、解答题（共3题；共35分）18.已知函数f(x)=sinx−2√3cos2x2+√3（1）求f(π)的值；（2）求函数y=|f(x)|的单调递增区间.【答案】（1）解：化简得f(x)=sinx−√3cosx=2sin(x−π3)，所以f(π)=2sin2π3=√3（2）解：由于y=2|sin(x−π3)|，故kπ⩽x−π3⩽π2+kπ，k∈Z，解得函数y=|f(x)|的单调递增区间为[kπ+π3,kπ+5π6]，k∈Z【考点】两角和与差的正弦公式，二倍角的余弦公式，正弦函数的单调性19.已知函数f(x)=2√3cos2x+sin(π−2x)．（1）求函数f(x)的最小正周期．（2）求函数f(x)在[0,π2]上的单调区间．【答案】（1）解：∵f(x)=2√3cos2x+sin(π−2x)=√3(cos2x+1)+sin2x=sin2x+√3cos2x+√3=2sin(2x+π3)+√3，∴函数f(x)的最小正周期为2π2=π．（2）解：当x∈[0,π2]时，2x+π3∈[π3,4π3]，∴令π3≤2x+π3≤π2，得0≤x≤π12．令π2≤2x+π3≤4π3，得π12≤x≤π2．∴函数f(x)在[0,π2]上的单调增区间是[0,π12]，单调减区间是[π12,π2]．【考点】二倍角的余弦公式，三角函数的积化和差公式，正弦函数的单调性，正弦函数的周期性20.已知函数f(x)=sinxcosx+√32(cos2x−sin2x).（1）求f(π6)的值；（2）求f(x)的单调递增区间；（3）求f(x)的最大值.【答案】（1）解：由题意可得f(x)=sinxcosx+√32(cos2x−sin2x)=12sin2x+√32cos2x=sin(2x+π3)，所以f(π6)=sin(2×π6+π3)=sin2π3=√32；（2）解：由−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ,k∈Z，解得−5π12+kπ≤x≤π12+kπ,k∈Z，所以f(x)的单调递增区间为[−5π12+kπ，π12+kπ](k∈Z)；)，（3）解：由（1）得f(x)=sin(2x+π3所以f(x)的最大值为1.【考点】三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的单调性，三角函数的最值。
考点16 三角函数性质——2021年高考数学专题复习讲义
考点16 三角函数性质【思维导图】【常见考法】考点一：周期1．函数2()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为 。
2．函数tan y x ω=（其中0>ω）的最小正周期是2π，则ω= 。
3．在下列四个函数，①sin y x =②cos 2y x =③2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭④2tan 10y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为 。
4．函数22cos sin 44y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期为 。
5．给出四个函数（1）)cos sin y x xx x =+-；（2）44sin cos y x x =-；（3）sin y x =；（4）sin 2cos2y x x =+.其中最小正周期为π的函数个数为 。
6．已知函数()2tan 1tan xf x x=-，则函数()f x 的最小正周期为 。
考点二：定义域1．函数y =的定义域是 。
2．函数π3tan 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域是 。
3．求函数 y =的定义域 。
4．函数()ln(sin cos )f x x x =-+的定义域为 。
考点三：单调性1．函数sin 4y x =-+⎪⎝⎭的一个单调递减区间是 。
A ．3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2．函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间为 。
3．函数y =的单调递增区间是 。
4．已知0>ω，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是 。
5．若()cos f x x x =在[],a a -上是减函数,则实数a 的取值范围是 。
6．已知函数()2cos (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围 。
2021届新高考版高考数学一轮复习课件：三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式(讲解部分)
即3sin2x-5sin
x-2=0,解得sin
x=-
1 3
(sin
x=2舍去).这时cos2x=1-
-
1 3
2
=
8 9
,tan2x=
sin2x = 1 ,
cos2 x 8
故6sin
x+4tan2x-3cos2(π-x)=6sin
x+4tan2x-3cos2x=6×
-
1 3
+4×
1-3×
8
8=-
1.平方关系: sin2α+cos2α=1 .
2.商数关系:tan
α=
sin α cos α
α
π 2
kπ,k
Z
.
三、诱导公式
函数 角
正弦
余弦
正切
-α
-sin α
cos α
-tan α
π-α
sin α
-cos α
-tan α
π+α
-sin α
-cos α
tan α
2π-α
-sin α
cos α
-tan α
考点清单
考点 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式
一、三角函数的概念 1.任意角的概念 (1)我们把角的概念推广到任意角,任意角包括正角、负角、零角.正角:按 ① 逆时针 方向旋转形成的角;负角:按② 顺时针 方向旋转形成的角; 零角:如果一条射线③ 没有作任何旋转 ,我们称它形成了一个零角. (2)终边相同的角:与α终边相同的角可表示为④ {β|β=α+2kπ,k∈Z} . 2.弧度与角度的互化 (1)1弧度的角:长度等于⑤ 半径长 的弧所对的圆心角.
2021高考数学复习资料 学案 三角函数的图象与性质专题
三角函数的性质与图像一、知识要点 1、周期函数的定义对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内任意一个值时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数.非零常数T 叫做这个函数的周期，周期函数的周期不唯一，,,0kT k z k ∈≠都是它的周期，所有周期中最小的正数就叫做它的最小正周期.2、sin ,cos ,tan y x y x y x ===正弦函数余弦函数正切函数的图象与性质3、复合函数的单调性设()y f u =，()u g x =[,]x a b ∈，[,]u m n ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在[,]a b 上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数.如下表：4、使用周期公式，必须先将解析式化为sin()y A x h ωϕ=++或cos()y A x h ωϕ=++的形式；正弦余弦函数的最小正周期是2T πϖ=，正切函数的最小正周期公式是T πϖ=；注意一定要注意加绝对值.5、sin()y A wx h φ=++（或cos()y A wx h φ=++）图象的作法有两种： （1）描点法（五点法），先列表，令0x ωϕ+=,2π, π, 32π,2π，求出对应的五个x 的值和五个y 值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到sin()y A wx h φ=++在一个周期的图像，最后把这个周期的图像以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数sin()y A wx h φ=++的图像.（2）图像变换法：一般先把函数sin y x =的图像通过左右平移得到函数sin()y x φ=+的图像，再把函数sin()y x φ=+的图像通过横坐标的伸缩变换得到函数sin()y wx φ=+，再把函数sin()y wx φ=+通过纵坐标的伸缩变换得到函数sin()y A x ωϕ=+的图像，最后把函数sin()y A x ωϕ=+的图像通过上下平移得到函数sin()y A wx h φ=++的图像. 6、三角函数图像的变换（平移变换和上下变换） 平移变换：左加右减，上加下减把函数()y f x =向左平移φ(0)φ>个单位，得到函数()y f x φ=+的图像 把函数()y f x =向右平移φ(0)φ>个单位，得到函数()y f x φ=-的图像 把函数()y f x =向上平移φ(0)φ>个单位，得到函数()y f x φ=+的图像 把函数()y f x =向下平移φ(0)φ>个单位，得到函数()y f x φ=-的图像 伸缩变换：①把函数()y f x =图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的w 1倍得()y f x ω=(01)ω<< ②把函数()y f x =图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的w1倍得()y f x ω=(1)ω>③把函数()y f x =图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的ϖ倍得()y f x ω=(1)ω> ④把函数()y f x =图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的ϖ倍得()y f x ω=(01)ω<< 7、用“五点法”作正余弦函数的图象要注意必须先将解析式化为sin()y A x h ωϕ=++或cos()y A x h ωϕ=++的形式.三角函数图像的变换的方式并不是唯一的，可以有多种变换方式.可以先左右平移，再伸缩，后上下.也可以先伸缩，再左右平移，后上下.但是三角函数图像的变换一般先选择左右平移，再进行其它变换.这样容易理解，计算也简单. 二、典型例题 【方法讲评】【例1】(10分，每一问5分)已知函数())cos()(0,0)f x x x πωφωφφω=+-+<<>为偶函数，且函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为.2π（Ⅰ）求()8πf 的值；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间.【例2】(10分，每一问5分)已知函数()2sincos 442f x =． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值；（Ⅱ）令π()3g x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由．【例3】(10分，每一问5分)已知函数x x f sin 2sin 2cos )(22+-=. （I ）求函数)(x f 的最小正周期；（II ）当)4,0(0π∈x 且524)(0=x f 时，求)6(0π+x f 的值. 【例4】(10分，每一问5分)已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x =-+-+（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]ππ-上的值域.【例5】（1）(5分)函数2()sin cos 2f x x x =+的最小正周期为 ．（2）(5分)已知(3sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，设函数23)(-⋅=b a x f .求函数()f x 的周期.【例6】（1）(5分)如果函数()cos 4f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的相邻两个零点之间的距离为6π，则ω的值为（ ）A. 3 B. 6 C. 12 D. 24 （2）(5分)在函数①cos |2|y x =，②|cos |y x =，③cos(2)6y x π=+，④tan(2)4y x π=-中，最小正周期为π的所有函数为 .（请填序号）【例7】(5分)用五点法作出函数3sin(2)y x =+在一个周期的图像【例8】(1)(10分，每一问5分)已知函数22()sin cos 2cos f x x x x x =++,x R ∈.（I ）求函数()f x 的单调增区间；（Ⅱ）函数()f x 的图象可以由函数sin 2y x =（x R ∈)的图象经过怎样的变换得到？ （2）(5分)怎样将函数3sin(2)3y x π=-的图像变换得到函数3sin 2y x =的图像？三、巩固练习1.(5分)函数图象的对称中心是 .2.(5分)已知角φ的终边经过点(4,3)P -，函数()sin()f x wx w φ=+>（0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则()4f π的值为（ ） A ．35 B ．45 C ．35- D ．45-3.(5分)已知函数()sin()2(0)3f x x πωω=++>的图象向右平移3π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（ ）A ．6B ．3C ．83 D ．434.(5分)要想得到函数sin 21y x =+的图象，只需将函数cos2y x =的图象( )A ．向左平移4π个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移4π个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移2π个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移2π个单位长度，再向下平移1个单位长度 5.(5分)已知曲线1:cos C y x =,22:sin(2)3C y x π=+，则下面结论正确的是( ) A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+=x x y 4cos 4sin 2ππ个单位长度，得到曲线2C6.(5分)函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向左平移3π个单位长度，所得图象经过点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭，则ω的最小值是( )A.32 B ．2 C ．1 D.127.(10分，每一问5分)已知函数2()2cos 23sin cos 1f x x x x =+-.（1）求()f x 的周期和单调递增区间；（2）说明()f x 的图象可由sin y x =的图象经过怎样变化得到. 自主提高8.设函数()sin()cos()(0,||)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且为偶函数，求函数的解析式.9.已知函数2π()sin 3sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=++⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．10.设函数2()2sin cos cos 22f x x x x =+． （1）在给出的直角坐标系中画出函数()y f x =在区间[0,]π上的图象； （2）根据画出的图象写出函数()y f x =在[0,]π上的单调区间和最值．11.已知函数()3sin()cos()(0,0)f x x x πωφωφφω=+-+<<>为偶函数，且函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为.2π（Ⅰ）求()8f π的值；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间.。
2021年高考数学三角函数专项知识点总结知识点总结
2021年高考数学三角函数专项知识点总结知识点总结2-1tan2A=(2tanA)/(1-tanA )(注：SinA 是sinA的平方 sin2(A) )三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asin)/2tan (α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos α1-cos2α=2sin α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina=3sina-4sin3acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa=4cos3a-3cosasin3a=3sina-4sin3a=4sina(3/4-sin2a)=4sina[(√3/2)2-sin2a]=4sina(sin260°-sin2a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina_2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]_2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos3a-3cosa=4cosa(cos2a-3/4)=4cosa[cos2a-(√3/2)2]=4cosa(cos2a-cos230°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa_2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]_{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/ 2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin (a/2)=(1-cos(a))/2cos (a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))三角和sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·si nγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-si nα·cosβ·si nγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)两角和差cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)和差化积sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)积化和差sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ = [sin(α+β)-s in(α-β)]/2诱导公式sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (—a)=-tanαsin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinαsin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosαsin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαα) +(cosα) =1(2)1+(tanα) =(secα)(3)1+(cotα) =(cscα)证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα) ,第二个除(cosα) 即可(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证:A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当_+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA) +(cosB) +(cosC) =1-2cosAcosBcosC(8)(sinA) +(sinB) +(sinC) =2+2cosAcosBcosC(9)sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π_2/n)+sin(α+2π_3/n)+……+sin[α+2π_(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π_2/n)+cos(α+2π_3/n)+……+cos[α+2π_(n -1)/n]=0 以及sin (α)+sin (α-2π/3)+sin (α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0小编为大家提供的____年高考数学三角函数专项知识点总结最后祝考生们学习进步。
高中数学三角函数综合复习讲义
高中数学三角函数综合复习讲义1：产生背景：初中锐角三角函数定义：设a是一个任意大小的角，角的终边上任意一点P的坐标是（x,y），它于原点的距离是r（r>0），那么正弦: sinα=y/r余弦: cosα=x/r正切: tanα=y/x余切: cotα=x/y正割: secα=r/x余割: cscα=r/y都是a的函数，这六个函数统称为角a的三角函数。
2：找出结构：[函数]包括定义域，值域，对应法则。
本质:对于定义域内地任一x值在对应法则f(x)下都有值域中唯一的y和x对应，即y=f(x)3：分类：[角的大小]包括：正角三角函数，负角三角函数；[定义域]包括：【0，2π】，【0，2π】之外的[对应法则]包括：正弦: y= sinx余弦: y= cosx正切: y= tanx余切: y= cotx正割: y= secx余割: y= cscx[角的位置]包括:象限角的三角函数，坐标轴上的角的三角函数4：产生的条件：三角函数是在角的集合与实数集合之间建立的一种一一对应的关系。
5：研究概念的性质{特征、用途、作用、功能}基本三角函数的性质：同角的三角函数：倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secαsin 2α＋cos 2α＝1 1＋tan 2α＝sec 2α 1＋cot 2α＝csc 2α诱导公式sin （－α）＝－sinα cos （－α）＝cosα tan （－α）＝－tanαcot （－α）＝－cotαsin （π/2－α）＝cos α cos （π/2－α）＝sin α tan （π/2－α）＝cot α cot （π/2－α）＝tan αsin （π/2＋α）＝cos αcos （π/2＋α）＝－sin α tan （π/2＋α）＝－cot α cot （π/2＋α）＝－tan α sin （π－α）＝sin α cos （π－α）＝－cos α tan （π－α）＝－tan α cot （π－α）＝－cot αsin （π＋α）＝－sin αcos （π＋α）＝－cos α tan （π＋α）＝tan α cot （π＋α）＝cot αsin （3π/2－α）＝－cos α cos （3π/2－α）＝－sin α tan （3π/2－α）＝cot α cot （3π/2－α）＝tan αsin （3π/2＋α）＝－cos α cos （3π/2＋α）＝sin α tan （3π/2＋α）＝－cot α cot （3π/2＋α）＝－tan α sin （2π－α）＝－sin α cos （2π－α）＝cos α tan （2π－α）＝－tan α cot （2π－α）＝－cot α sin （2k π＋α）＝sin αcos （2k π＋α）＝cos α tan （2k π＋α）＝tan α cot （2k π＋α）＝cot α(其中k∈Z)两角和与差的三角函数公式sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ（＋）＝＋（－）＝－（＋）＝－（－）＝＋ =1 ?tan tan tan tan tan αβαβαβ＋（＋）－1? ?tan tan tan tan tan αβαβαβ－（－）＝＋半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α2tanαtan2α＝—————1－tan2αsin3α＝3sinα－4sin3αcos3α＝4cos3α－3cosα3tanα－tan3αtan3α＝——————1－3tan2α万能公式2tan(α/2) 1－tan2(α/2) 2tan(α/2) cosα＝—————— sinα＝—————— tanα＝——————1＋tan2(α/2) 1＋tan2(α/2) 1－tan2(α/2) 三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式sinα＋sinβ＝2sin2βα+cos2βα-sinα－sinβ＝2cos2βα+sin2βα-cosα＋cosβ＝2cos2βα+·cos2βα-cosα－cosβ＝－2sin2βα+·sin2βα-sinα ·cosβ＝21[sin（α＋β）＋sin（α－β）]cosα ·sinβ＝-21[sin（α＋β）－sin（α－β）]cosα ·cosβ＝21[cos（α＋β）＋cos（α－β）]sinα ·sinβ＝－21[cos（α＋β）－cos（α－β）]【三角形边角关系】1.正弦定理：在△ABC 中，∠A , ∠B , ∠C 的对边分別为 a , b , c ，则其中R 为外接圆半径。
2021年高考数学复习精选课件 第三节 三角函数的图象与性质
7 6
又∵y =3 -si12n,x1-2cos2x =3 -sin x -2(1 -sin2x)
=2 + ,
∴当当 sisnisnixnx=x
1= 2 时7 ,ymin = ,
4
-
或8sin
x
=1时,ymax
=2.
1
7
4
8
1
2
栏目索引
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方法技巧 1.三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角函 数线或三角函数的图象来求解. 2.三角函数值域的求法 (1)利用y =sin x和y =cos x的值域直接求; (2)把所给的函数式变换成y =Asin(ωx +φ) +b(或y =A·cos(ωx +φ) +b)的形式 求值域; (3)把sin x或cos x看作一个整体,将原函数转换成二次函数求值域; (4)利用sin x±cos x和sin xcos x的关系将原函数转换成二次函数求值域.
.
答案 解析
设t12=sin2x,1-cos x,那么 - ≤t≤ ,t2 =sin2x +cos2x -2sin xcos x,那么
2
2
sin xcos x = ,
1t2
∴y = - +t +2 = - (t -1)2 +1.
当t =1t时2 ,ym1ax =11;当t = - 时,ymin = - - .
栏目索引
1-1 函数y= s的in 定x 义co域s x为
.
答案
x
|
2k
π 4
x
2k
5π 4
,k
Z
2021高考数学(文)二轮专题复习【统考版】课件：2.1.1 三角函数的图象与性质
A．f(x)＝2sin21x＋π4 B．f(x)＝2sin21x＋34π C．f(x)＝2sin41x＋34π D．f(x)＝2sin2x＋π4
解析：由题图可知，函数图象上两个相邻的最值点分别为最
图象向左平移
π 6
个单位长度后对应的图象的解析式为y＝
sin2x＋π6－π6＝sin2x＋π6. 答案：(2)A
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的解析式的方法 已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采 用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的 周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般 把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的 位置． [警示] 在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周 期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不 是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.
解法二 ∵α是第四象限角，∴sin α<0，cos α>0，∴sin 2α＝
2sin α cos α<0，故选D.
答案：D
2．已知tan α＝3，则sinπ2－α·cos2π＋α的值为(
)
3 A.10
B．－130
3 C.5
D．－35
解析：通解 依题意，sin π2－α ·cos π2＋α ＝－cos αsin α＝ c－osc2oαs＋αssiinn2αα＝1－＋ttaann2αα＝－130，故选B.
移
π 6
个单位长度，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)的解析式为
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7．函数 f x sin x 2 cos x 的值域为
。
8．函数
f
x
cos x
3
0 在0,
上的值域为
1 2
,1
，则
的取值范围是
。
9．函数
f
x
sin
x
3
0 ，当 x 0, 时函数
f
x
的值域为
3 ,1 ，则函数
2
f
x 的最
小正周期的取值范围是
。
10．已知函数 f (x)
3
sin
12
π
B．
6
π
C．
3
5π
D．
12
3．如图是偶函数 f x Asin(x ) A 0, 0, 0 的部分图像， KML 为等腰直角三角
形， KML
90 ，
KL
1 ，则
f
1 6
（
）
A． 3 4
B． 1 4
C． 1 2
D． 3 4
4．函数
f
x sin(x ) 1(
。
6
A．向右平移 个单位
6
B．向右平移 个单位
12
C．向左平移 个单位
6
D．向左平移 个单位
12
3．已知函数
f
x sin x ，
0,
2
图象相邻两条对称轴的距离为
2
，将函数
y f x 的图象向左平移 个单位后，得到的图象关于 y 轴对称，则函数 y f x 的图象
。
0)
个单位长度后得到函数
g(x)
的图象，若函数
g(x) 的图像关于 y 轴对称，则 的最小值为
。
A．
2
B．
3
C．
6
D．
12
如何学好数学
1.圆锥曲线中最后题往往联立起来很复杂导致 k 算不出，这时你可以取特殊值 法强行算出 k 过程就是先联立，后算代尔塔，用下伟达定理，列出题目要求解 的表达式，就 ok 了 2.选择题中如果有算锥体体积和表面积的话，直接看选项面积找到差 2 倍的小的 就是答案，体积找到差 3 倍的小的就是答案，屡试不爽！ 3.三角函数第二题，如求 a(cosB+cosC)/(b+c)coA 之类的先边化角然后把第一题算
f
(x)
cos 2x
π 6 cos(
x)
的最大值为
。
2
4．函数 y 2 cos x (x R) 的最大值为
。
2 cos x
5．函数 f x (1 3 tan x) cos x 的最大值为__________.
6．设当 x 时，函数 f (x) sin x 2 cos x 取得最大值，则 cos ______.
的比如角 A 等于 60 度直接假设 B 和 C 都等于 60°带入求解。省时省力！ 4.空间几何证明过程中有一步实在想不出把没用过的条件直接写上然后得出想 不出的那个结论即可。如果第一题真心不会做直接写结论成立则第二题可以直 接用！用常规法的同学建议先随便建立个空间坐标系，做错了还有 2 分可以 得！ 5.立体几何中第二问叫你求余弦值啥的一般都用坐标法！如果求角度则常规法简 单！ 6.高考选择题中求条件啥的充要和既不充分也不必要这两个选项可以直接排除！ 考到概率超小 7.选择题中考线面关系的可以先从 D 项看起前面都是来浪费你时间的 7.选择题中求取值范围的直接观察答案从每个选项中取与其他选项不同的特殊点 带入能成立的就是答案 8.线性规划题目直接求交点带入比较大小即可（这个看楼下的说用这条要碰运 气，文科可以试试。） 9.遇到这样的选项 A 1/2 B 1 C 3/2 D 5/2 这样的话答案一般是 D 因为 B 可以看 作是 2/2 前面三个都是出题者凑出来的 如果答案在前面 3 个的话 D 应该是 2(4/2).
的取值范围是
。
42
5．若 f x cos x 3 sin x 在a, a上是减函数,则实数 a 的取值范围是
。
6．已知函数
f
(x)
2 cos x
3
(
0)
在
3
, 2
上单调递增，则
的取值范围
。
考点四：对称性
1．函数
y
sin
2
x
3
的图象
A．关于点
3
,
0
对称
C．关于点
4
,
0
。
考点三：单调性
1．函数
y
sin
x
4
的一个单调递减区间是
。
A．
2
,
3 2
B．
4
,
5 4
C．
2
,
2
D．
3 4
,
4
2．函数
y
sin
4
2x
的单调递减区间为
。
3．函数 y tan x 1 的单调递增区间是
。
4．已知
0
，函数
f
(x)
sin( x
)
在(
, )
上单调递减，则
wx
cos
wx
(w
0)
在区间
4
,
3
上恰有一个最大值点和一个最小值点，
则实数 的取值范围是
。
考点七：解析式
1．函数 f (x) Asin( x )( A 0, 0) 的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是 。
A． f (x) 的最小正周期是 2
C．
f
(x)
在
17 12
,
5 12
上单调递增
周期为 的所有函数为
。
4．函数
y
cos2
x
4
sin
2
x
4
的最小正周期为
。
5． 给 出 四 个 函 数 （ 1） y 3 sin x cos x 3 cos x sin x ； （ 2） y sin4 x cos4 x ； （ 3）
y sin x ；（4） y sin 2x cos 2x .其中最小正周期为 的函数个数为 。
m 的值为
。
sin2 x 2 cos2 x
7．设函数
f
(x)
(sin x 1)2 sin2 x 1
的最大值为 M
，最小值为 m
，则 M
m
________.
考点六：值域
1．函数
y
sin
x
π 4
cos
π 4
x
的最大值为
。
2．函数
f
x
sin
x
3
，
x
2
,
3
的值域是
。
3．函数
0，
) 的部分图像如图所示，将
f
x 的图像向右平移 个单位
2
4
长度后得函数 g x 的图像，则 g x
。
A．
sin
2
x
2 3
C．
sin
2
x
3
1
B．
sin
2x
3
D．
sin
2
x
3
1
考点八：图像变换
1．要得到函数
y
sin
2x
的图象，只需要将函数
y
cos
2
x
3
的图象
相消法、错位相减法、倒序相加法等）进行求解。如有其它问题，注意放缩法 证明，还有就是数列可以看成一个以 n 为自变量的函数。 第二题是立体几何题，证明题注意各种证明类型的方法（判定定理、性质定 理），注意引辅助线，一般都是对角线、中点、成比例的点、等腰等边三角形中 点等等，理科其实证明不出来直接用向量法也是可以的。计算题主要是体积， 注意将字母换位(等体积法)；线面距离用等体积法。理科还有求二面角、线面角 等，用建立空间坐标系的方法（向量法）比较简单，注意各个点的坐标的计 算，不要算错。 第三题是概率与统计题，主要有频率分布直方图，注意纵坐标（频率/组距）。求 概率的问题，文科列举，然后数数，别数错、数少了啊，概率=满足条件的个数 /所有可能的个数；理科用排列组合算数。独立性检验根据公式算 K 方值，别算 错数了，会查表，用 1 减查完的概率。回归分析，根据数据代入公式（公式中 各项的意义）即可求出直线方程，注意（x 平均，y 平均）点满足直线方程。理 科还有随机变量分布列问题，注意列表时把可能取到的所有值都列出，别少 了，然后分别算概率，最后检查所有概率和是否是 1，不是 1 说明要不你概率 算错了，要不随机变量数少了。 第四题是函数题，第一步别忘了先看下定义域，一般都得求导，求单调区间时 注意与定义域取交。看看题型，将题型转化一下，转化到你学过的内容（利用 导数判断单调性（含参数时要利用分类讨论思想，一般求导完通分完分子是二 次函数的比较多，讨论开口 a=0、a<0、a>0 和后两种情况下 delt<=0、 delt>0）、求极值（根据单调区间列表或画图像简图）、求最值（所有的极值点 与两端点值比较）等），典型的有恒成立问题、存在问题（注意与恒成立问题的
【思维导图】
考点 16 三角函数性质
【常见考法】
考点一：周期
1．函数
f
(x)
cos2
x
3
的最小正周期为
。
2．函数 y tan x （其中 0 ）的最小正周期是 2 ，则
。
3．在下列四个函数，①
y
sin
x
②
y
cos 2x
③
y
2 sin
2x
3
④
y
2
tan
x
10
中，最小正