《算法设计与分析基础(第3版)》部分习题答案
算法分析与设计基础答案11章
This file contains the exercises, hints, and solutions for Chapter 11 of the book ”Introduction to the Design and Analysis of Algorithms,” 3rd edition, by A. Levitin. The problems that might be challenging for at least some students are marked by B; those that might be difficult for a majority of students are marked by I
算法设计与分析第三版第四章课后习题答案
算法设计与分析第三版第四章课后习题答案4.1 线性时间选择问题习题4.1问题描述：给定一个长度为n的无序数组A和一个整数k，设计一个算法，找出数组A中第k小的元素。
算法思路：本题可以使用快速选择算法来解决。
快速选择算法是基于快速排序算法的思想，通过递归地划分数组来找到第k小的元素。
具体步骤如下： 1. 选择数组A的一个随机元素x作为枢纽元。
2. 使用x将数组划分为两个子数组A1和A2，其中A1中的元素小于等于x，A2中的元素大于x。
3. 如果k等于A1的长度，那么x就是第k小的元素，返回x。
4. 如果k小于A1的长度，那么第k小的元素在A1中，递归地在A1中寻找第k小的元素。
5. 如果k大于A1的长度，那么第k小的元素在A2中，递归地在A2中寻找第k-A1的长度小的元素。
6. 递归地重复上述步骤，直到找到第k小的元素。
算法实现：public class LinearTimeSelection {public static int select(int[] A, int k) { return selectHelper(A, 0, A.length - 1, k);}private static int selectHelper(int[] A, int left, int right, int k) {if (left == right) {return A[left];}int pivotIndex = partition(A, left, righ t);int length = pivotIndex - left + 1;if (k == length) {return A[pivotIndex];} else if (k < length) {return selectHelper(A, left, pivotInd ex - 1, k);} else {return selectHelper(A, pivotIndex + 1, right, k - length);}}private static int partition(int[] A, int lef t, int right) {int pivotIndex = left + (right - left) / 2;int pivotValue = A[pivotIndex];int i = left;int j = right;while (i <= j) {while (A[i] < pivotValue) {i++;}while (A[j] > pivotValue) {j--;}if (i <= j) {swap(A, i, j);i++;j--;}}return i - 1;}private static void swap(int[] A, int i, int j) {int temp = A[i];A[i] = A[j];A[j] = temp;}}算法分析：快速选择算法的平均复杂度为O(n)，最坏情况下的复杂度为O(n^2)。
(陈慧南 第3版)算法设计与分析——第2章课后习题答案
因此 T (n) (n 2 ) （3） a 28, b 3, f n cn3
nlogb a nlog3 28 n3.033 ，则 f (n) c n 2 (nlogb a - ) ，其中可取 =0.04 。符合主定理
的情况 1 ，因此 T (n) (n3.033 )
21 21 当 n n0 时， f n g n ，所以 f n = g n 2 2
（2） f n n 2 logn ， g n n log 2 n
2 当 n 4 时， f n n 2 logn n 2 ， g n n log 2 n n 。因此可取 n0 4, c 1 ，当
g n
（1） f n 20n logn ， g n n+ log 3 n
f n 20n logn 21n ， g n n+ log 3 当 n 3 时， logn n log3 n 2n n 因此
因此可取 n0 3, c
f n g n ，所以 f n = g n
2-12 将下列时间函数按增长率的非递减次序排列
3 2
n
， log n ， log 2 n ， n log n ， n ! ， log(log(n)) ， 2 n ， n1 log n ， n 2
答： n1 log n
f ( n ) ( n m )
证明：
f (n) am nm am1nm1 a1n a0 F (n) am n m am1 n m1
a1 n a0
由 F (n) 单调性易知，存在 nt 0 ，使得 F (n) 取 n 1 ，且 nt0 nt ， F (nt0 ) 0 ，则 当 n nt0 时， F (n) 0 即： f (n) am n m am1 n m1
算法设计与分析习题解答
算法设计与分析习题解答第一章作业1.证明下列Ο、Ω和Θ的性质1）f=Ο(g)当且仅当g=Ω(f)证明：充分性。
若f=Ο(g)，则必然存在常数c1>0和n0，使得?n≥n0，有f≤c1*g(n)。
由于c1≠0，故g(n) ≥ 1/ c1 *f(n)，故g=Ω(f)。
必要性。
同理，若g=Ω(f)，则必然存在c2>0和n0，使得?n≥n0，有g(n) ≥ c2 *f(n).由于c2≠0，故f(n) ≤ 1/ c2*f(n)，故f=Ο(g)。
2）若f=Θ(g)则g=Θ(f)证明：若f=Θ(g)，则必然存在常数c1>0，c2>0和n0，使得?n≥n0，有c1*g(n) ≤f(n) ≤ c2*g(n)。
由于c1≠0，c2≠0，f(n) ≥c1*g(n)可得g(n) ≤ 1/c1*f(n)，同时，f(n) ≤c2*g(n)，有g(n) ≥ 1/c2*f(n)，即1/c2*f(n) ≤g(n) ≤ 1/c1*f(n)，故g=Θ(f)。
3）Ο(f+g)= Ο(max(f,g))，对于Ω和Θ同样成立。
证明：设F(n)= Ο(f+g)，则存在c1>0，和n1，使得?n≥n1，有F(n) ≤ c1 (f(n)+g(n))= c1 f(n) + c1g(n)≤ c1*max{f,g}+ c1*max{f,g}=2 c1*max{f,g}所以，F(n)=Ο(max(f,g))，即Ο(f+g)= Ο(max(f,g))对于Ω和Θ同理证明可以成立。
4）log(n!)= Θ(nlogn)证明：由于log(n!)=∑=ni i 1log ≤∑=ni n 1log =nlogn ，所以可得log(n!)= Ο(nlogn)。
由于对所有的偶数n 有，log(n!)= ∑=ni i 1log ≥∑=nn i i 2/log ≥∑=nn i n 2/2/log ≥(n/2)log(n/2)=(nlogn)/2-n/2。
(陈慧南 第3版)算法设计与分析——第7章课后习题答案
③ 其余元素
w[0][2] q[2] p[2] w[0][1] 15
k 1: c[0][0] c[1][2] c[0][2] min k 2 : c[0][1] c[2][2] w[0][2] 22 r[0][2] 2
17000
s[0][2]
0
m[1][3]
min
k k
1: m[1][1] m[2][3] 2 : m[1][2] m[3][3]
p1 p2 p4 p1 p3 p4
10000
s[1][3]
2
m[1][3]
min
k k
0 : m[0][0] m[1][3] 1: m[0][1] m[2][3]
第七章课后习题
姓名：赵文浩 学号：16111204082 班级：2016 级计算机科学与技术 7-1 写出对图 7-19 所示的多段图采用向后递推动态规划算法求解时的计算过程。
3
1
3
1
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5
0
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7
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7
解析：
V 5 cost(5,8) 0 d (5,8) 8
V4
cos t(4, 6) minc(6,8) cos t(5,8) 7 cos t(4, 7) minc(7,8) cos t(5,8) 3
k 1: c[0][0] c[1][3] c[0][3] min k 2 : c[0][1] c[2][3] w[0][3] 25
算法设计与分析基础习题参考答案
习题5..证明等式gcd(m,n)=gcd(n,m mod n)对每一对正整数m,n都成立.Hint:根据除法的定义不难证明:如果d整除u和v, 那么d一定能整除u±v;如果d整除u,那么d也能够整除u的任何整数倍ku.对于任意一对正整数m,n,若d能整除m和n,那么d一定能整除n和r=m mod n=m-qn；显然，若d 能整除n和r，也一定能整除m=r+qn和n。
数对(m,n)和(n,r)具有相同的公约数的有限非空集，其中也包括了最大公约数。
故gcd(m,n)=gcd(n,r)6.对于第一个数小于第二个数的一对数字,欧几里得算法将会如何处理?该算法在处理这种输入的过程中,上述情况最多会发生几次?Hint:对于任何形如0<=m<n的一对数字,Euclid算法在第一次叠代时交换m和n, 即gcd(m,n)=gcd(n,m)并且这种交换处理只发生一次..对于所有1≤m,n≤10的输入, Euclid算法最少要做几次除法?(1次)b. 对于所有1≤m,n≤10的输入, Euclid算法最多要做几次除法?(5次)gcd(5,8)习题1.(农夫过河)P—农夫 W—狼 G—山羊 C—白菜2.(过桥问题)1,2,5,10---分别代表4个人, f—手电筒4. 对于任意实系数a,b,c, 某个算法能求方程ax^2+bx+c=0的实根,写出上述算法的伪代码(可以假设sqrt(x)是求平方根的函数)算法Quadratic(a,b,c)描述将十进制整数表达为二进制整数的标准算法a.用文字描述b.用伪代码描述解答：a.将十进制整数转换为二进制整数的算法输入：一个正整数n输出：正整数n相应的二进制数第一步：用n除以2，余数赋给Ki(i=0,1,2...)，商赋给n第二步：如果n=0，则到第三步，否则重复第一步第三步：将Ki按照i从高到低的顺序输出b.伪代码算法 DectoBin(n).n]中i=1while n!=0 do {Bin[i]=n%2;n=(int)n/2;i++;}while i!=0 do{print Bin[i];i--;}9.考虑下面这个算法,它求的是数组中大小相差最小的两个元素的差.(算法略)对这个算法做尽可能多的改进.算法 MinDistance(A[0..n-1])n-1]a.应用该算法对列表”60,35,81,98,14,47”排序b.该算法稳定吗?c.该算法在位吗?解:a. 该算法对列表”60,35,81,98,14,47”排序的过程如下所示:b.该算法不稳定.比如对列表”2,2*”排序c.该算法不在位.额外空间for S and Count[]4.(古老的七桥问题)习题1.请分别描述一下应该如何实现下列对数组的操作,使得操作时间不依赖数组的长度.a.删除数组的第i个元素(1<=i<=n)b.删除有序数组的第i个元素(依然有序)hints:a. Replace the ith element with the last element and decrease the array size of 1b. Replace the ith element with a special symbol that cannot be a value of the array’s element., 0 for an array of positive numbers ) to mark the ith position is empty. (“lazy deletion”)习题1欧几里得算法的时间复杂度欧几里得算法, 又称辗转相除法, 用于求两个自然数的最大公约数. 算法的思想很简单, 基于下面的数论等式gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)其中gcd(a, b)表示a和b的最大公约数, mod是模运算, 即求a除以b的余数. 算法如下:输入: 两个整数a, b输出: a和b的最大公约数function gcd(a, b:integer):integer;if b=0 return a;else return gcd(b, a mod b);end function欧几里得算法是最古老而经典的算法, 理解和掌握这一算法并不难, 但要分析它的时间复杂度却并不容易. 我们先不考虑模运算本身的时间复杂度(算术运算的时间复杂度在Knuth的TAOCP中有详细的讨论), 我们只考虑这样的问题: 欧几里得算法在最坏情况下所需的模运算次数和输入的a和b的大小有怎样的关系?我们不妨设a>b>=1(若a<b我们只需多做一次模运算, 若b=0或a=b模运算的次数分别为0和1), 构造数列{un}: u0=a, u1=b, uk=uk-2 mod uk-1(k>=2), 显然, 若算法需要n次模运算, 则有un=gcd(a, b), un+1=0. 我们比较数列{un}和菲波那契数列{Fn}, F0=1<=un, F1=1<=un-1, 又因为由uk mod uk+1=uk+2, 可得uk>=uk+1+uk+2, 由数学归纳法容易得到uk>=Fn-k, 于是得到a=u0>=Fn, b=u0>=Fn-1. 也就是说如果欧几里得算法需要做n次模运算, 则b必定不小于Fn-1. 换句话说, 若 b<Fn-1, 则算法所需模运算的次数必定小于n. 根据菲波那契数列的性质, 有Fn-1>n/sqrt(5), 即b>n/sqrt(5), 所以模运算的次数为O(lgb)---以b为底数 = O(lg(2)b)---以2为底数，输入规模也可以看作是b的bit位数。
算法设计与分析基础课后习题答案(中文版)
Program算法设计与分析基础中文版答案习题1.15..证明等式gcd(m,n)=gcd(n,m mod n)对每一对正整数m,n都成立.Hint:根据除法的定义不难证明:●如果d整除u和v, 那么d一定能整除u±v;●如果d整除u,那么d也能够整除u的任何整数倍ku.对于任意一对正整数m,n,若d能整除m和n,那么d一定能整除n和r=m mod n=m-qn；显然，若d能整除n和r，也一定能整除m=r+qn和n。
数对(m,n)和(n,r)具有相同的公约数的有限非空集，其中也包括了最大公约数。
故gcd(m,n)=gcd(n,r)6.对于第一个数小于第二个数的一对数字,欧几里得算法将会如何处理?该算法在处理这种输入的过程中,上述情况最多会发生几次?Hint:对于任何形如0<=m<n的一对数字,Euclid算法在第一次叠代时交换m和n, 即gcd(m,n)=gcd(n,m)并且这种交换处理只发生一次.7.a.对于所有1≤m,n≤10的输入, Euclid算法最少要做几次除法?(1次)b. 对于所有1≤m,n≤10的输入, Euclid算法最多要做几次除法?(5次)gcd(5,8)习题1.21.(农夫过河)P—农夫W—狼G—山羊C—白菜2.(过桥问题)1,2,5,10---分别代表4个人, f—手电筒4. 对于任意实系数a,b,c, 某个算法能求方程ax^2+bx+c=0的实根,写出上述算法的伪代码(可以假设sqrt(x)是求平方根的函数)算法Quadratic(a,b,c)//求方程ax^2+bx+c=0的实根的算法//输入:实系数a,b,c//输出:实根或者无解信息If a≠0D←b*b-4*a*cIf D>0temp←2*ax1←(-b+sqrt(D))/tempx2←(-b-sqrt(D))/tempreturn x1,x2else if D=0 return –b/(2*a)else return “no real roots”else //a=0if b≠0 return –c/belse //a=b=0if c=0 return “no real numbers”else return “no real roots”5.描述将十进制整数表达为二进制整数的标准算法a.用文字描述b.用伪代码描述解答：a.将十进制整数转换为二进制整数的算法输入：一个正整数n输出：正整数n相应的二进制数第一步：用n除以2，余数赋给Ki(i=0,1,2...)，商赋给n第二步：如果n=0，则到第三步，否则重复第一步第三步：将Ki按照i从高到低的顺序输出b.伪代码算法DectoBin(n)//将十进制整数n转换为二进制整数的算法//输入：正整数n//输出：该正整数相应的二进制数，该数存放于数组Bin[1...n]中i=1while n!=0 do {Bin[i]=n%2;n=(int)n/2;i++;}while i!=0 do{print Bin[i];i--;}9.考虑下面这个算法,它求的是数组中大小相差最小的两个元素的差.(算法略) 对这个算法做尽可能多的改进.算法MinDistance(A[0..n-1])//输入:数组A[0..n-1]//输出:the smallest distance d between two of its elements习题1.31.考虑这样一个排序算法,该算法对于待排序的数组中的每一个元素,计算比它小的元素个数,然后利用这个信息,将各个元素放到有序数组的相应位置上去.a.应用该算法对列表”60,35,81,98,14,47”排序b.该算法稳定吗?c.该算法在位吗?解:a. 该算法对列表”60,35,81,98,14,47”排序的过程如下所示:b.该算法不稳定.比如对列表”2,2*”排序c.该算法不在位.额外空间for S and Count[] 4.(古老的七桥问题)习题1.41.请分别描述一下应该如何实现下列对数组的操作,使得操作时间不依赖数组的长度. a.删除数组的第i 个元素(1<=i<=n)b.删除有序数组的第i 个元素(依然有序) hints:a. Replace the i th element with the last element and decrease the array size of 1b. Replace the ith element with a special symbol that cannot be a value of the array ’s element(e.g., 0 for an array of positive numbers ) to mark the i th position is empty. (“lazy deletion ”)第2章 习题2.17.对下列断言进行证明:(如果是错误的,请举例) a. 如果t(n )∈O(g(n),则g(n)∈Ω(t(n)) b.α>0时,Θ(αg(n))= Θ(g(n)) 解:a. 这个断言是正确的。
第2章 算法分析基础(《算法设计与分析(第3版)》C++版 王红梅 清华大学出版社)
3
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2.1.2 算法的渐近分析
常见的时间复杂度：
Ο(1)＜(log2n)＜(n)＜(nlog2n)＜(n2)＜(n3)＜…＜(2n)＜(n!)
多项式时间，易解问题
算
法
指数时间，难解问题
设 计 与
分
析
（
第
时间复杂度是在不同数量级的层面上比较算法
版 ）
清
华
大
学
时间复杂度是一种估算技术（信封背面的技术）
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2.1.2 算法的渐近分析
3
每条语句执行次数之和 = 算法的执行时间 ＝ 每条语句执行时间之和
基本语句的执行次数 for (i = 1; i <= n; i++)
单位时间
算
法
设
计
与
执行次数 × 执行一次的时间
分 析 （
第
for (j = 1; j <= n; j++)
版 ）
x++;
指令系统、编译的代码质量
算法设计：面对一个问题，如何设计一个有效的算法
算
法
设
检
指
验
导
评
计 与 分 析 （ 第 版
改
估
） 清
进
华 大
学
出
版
算法分析：对已设计的算法，如何评价或判断其优劣
社
3
Page 3
2.1.1 输入规模与基本语句
如何度量算法的效率呢？
事后统计：将算法实现，测算其时间和空间开销
缺点：（1）编写程序实现算法将花费较多的时间和精力 （2）所得实验结果依赖于计算机的软硬件等环境因素
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作业一
学号：______ 姓名：________
P135
2.
a.为一个分治算法编写伪代码，该算法同时求出一个n元素数组的最大元素和
最小元素的值。
解：算法：EXTREMUM(A[m..n],EXTREMUM_MAX, EXTREMUM_MIN)
//递归调用EXTREMUM函数来找出数组A[m..n]的最大元素和
最小元素。
//输入：数值数组A[m..n]
//输出：最大值EXTREMUM_MAX和最小值EXTREMUM_MIN
if(m=n) //只有一个元素
EXTREMUM_MAX←A[m];
EXTREMUM_MIN←A[n];
else
if n−m=1 //有两个元素
if A[m]≤A[n]
EXTREMUM_MAX←A[n]; EXTREMUM_MIN←A[m]; else
EXTREMUM_MAX←A[m]; EXTREMUM_MIN←A[n]; else
EXTREMUM(A[m..(m+n)/2],EXTREMUM_MAX_01,
EXTREMUM_MIN_01);
EXTREMUM(A[(m+n)/2..n],EXTREMUM_MAX_02,
EXTREMUM_MIN_02);
if EXTREMUM_MAX_01< EXTREMUM_MAX_02
EXTREMUM_MAX = EXTREMUM_MAX_02;
If EXTREMUM_MIN_02< EXTREMUM_MIN_01
EXTREMUM_MIN = EXTREMUM_MIN_02;
b. 假设n=2k,为该算法的键值比较次数建立递推关系式并求解。
解：C(n)=C(2k)=2C(2k−1)+2
=2[2C(2k−2)+2]+2
=22[2C(2k−3)+2]+22+2=2k−1C(2)+2k−1+2k−2+...+2
=3n
2
−2
c.将该算法与解决同样问题的蛮力法做一个比较
蛮力法时间时间复杂度为2n-2，分治算法的为3n/2-2,虽然都属于Θ(n)级别，但是分治算法速度要比蛮力算法快。
5.1.3
a.为一个分治算法编写伪代码，该算法用来计算指数函数a n的值，其中a>0, n
是一个正整数。
//该算法使用分治法来计算a n
Pow(a,n)
If n = 1
return a
else
p←pow(a,n/2);
If n mod 2 = 1
return p*p*a;
else
return p*p;
b.建立该算法执行的乘法次数的递推关系式并求解
C(n)=C(n
2
)+2,C(1)=0
C(n)=C(n
2
)+2=C(
n
4
)+2+2=C(
n
n
)+2∗log2n=2∗log2n
c.将该算法与解决同样问题的蛮力法做一个比较
蛮力法时间复杂度为n，分治法为2∗log2n,分治法速度明显要高于蛮力法。
5.2
3.举例说明快速排序不是一个稳定的排序算法
解：从小到大的快速排序：问题中给出的数据为从大到小，每次选择第一个数作中间值。
例：数据9,7,6,7,10,7,7,3,2,1，当选择第一个数我中间操作数时，9和第 4个7交换，元素7的稳定性就乱了。
6.4
11.任选一种语言实现三种高级排序算法——合并排序，快速排序和堆排序，然
后针对规模为n=103，104，105，106的数组研究它们的性能。
对于每种规模，再考虑以下三种情况：
a.[1..n]区间内的整数所构成的随机生成文件。
b.整数1，2，…，n的升序文件。
c.整数n,n−1,…,1的降序文件。
合并排序：
图1.1
合并排序算法效率分析：
合并排序算法时间复杂度为O（NLogN），运行效率比较高，是一个稳定的排序算法。
N=106时，时间也在1s左右。
快速排序：
图2.1 1000量级
图2.2 10000量级
图2.3 100000量级
图2.4 1000000量级
快速排序算法效率分析。
对于数据规模n<=104，程序能在1S内运行出来，对于n=105程序运行随机数据能在1S内运行出来，如果数据具有一定的顺序，则运行速度大大下降，对于n=106的数据，程序运行不出来。
对于快排，平均复杂度为O（NLogN），最坏情况为O（N2）。
堆排序。
运行结果：
堆排序算法复杂度分析
对N个元素建堆的时间复杂度为O(N)，删除堆顶元素的时间复杂度为
O(logN)，尽管随着元素的不断删除，堆的调度越来越小，但是总的而言，删除堆所有元素的时间复杂度为O(NlogN)
故堆排序的时间复杂度为O(NlogN)，空间复杂度为O(1)
其实，堆排序是一个非常稳定的算法，最坏和平均情况下的时间复杂度都为
O(NlogN)
此外，对于堆排序而言，数据的初始顺序对它的复杂度没有影响。
不管数组初始时就是有序的还是逆序的，它都会先建堆，变成了堆序的性质。