2018年全国中考数学真题汇编：全等三角形
全等三角形一、选择题1．（2018•四川成都•3 分）如图，已知，添加以下条件，不能判定的是（）A. B.C. D.【答案】C【考点】三角形全等的判定【解析】【解答】解：A、∵∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，BC=CB∴△ABC≌△DCB，因此 A不符合题意；B、∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB∴△ABC≌△DCB，因此 B不符合题意；C、∵∠ABC=∠DCB，AC=DB，BC=CB，不能判断△ABC≌△DCB，因此 C符合题意；D、∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB∴△ABC≌△DCB，因此 D不符合题意；故答案为：C【分析】根据全等三角形的判定定理及图中的隐含条件，对各选项逐一判断即可。
2 （2018年江苏省南京市•2 分）如图，AB⊥CD，且 AB=CD．E、F是 AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若 CE=a，BF=b，EF=c，则 AD的长为（）A．a+c B．b+c C．a﹣b+c D．a+b﹣c【分析】只要证明△ABF≌△CDE，可得 AF=CE=a，BF=DE=b，推出 AD=AF+DF=a+（b﹣c）=a+b ﹣c；【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠AFB=∠CED=90°，∠A+∠D=90°，∠C+∠D=90°，∴∠A=∠C，∵AB=CD，∴△ABF≌△CDE，∴AF=CE=a，BF=DE=b，∵EF=c，∴AD=AF+DF=a+（b﹣c）=a+b﹣c，故选：D．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．3．（2018·山东临沂·3 分）如图，∠ACB=90°，AC=BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点 D、E，AD=3，BE=1，则 DE的长是（）A．B．2 C．2 D．【分析】根据条件可以得出∠E=∠ADC=90°，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出 BE=DC，就可以求出 DE的值．【解答】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E=∠ADC=90°，∴∠EBC+∠BCE=90°．∵∠BCE+∠ACD=90°，∴∠EBC=∠DCA．在△CEB和△ADC中，，∴△CEB≌△ADC（AAS），∴BE=DC=1，CE=AD=3．∴DE=EC﹣CD=3﹣1=2故选：B．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，学会正确寻找全等三角形，属于中考常考题型．4（2018·台湾·分）如图，五边形 ABCDE中有一正三角形 ACD，若AB=DE，BC=AE，∠E=115°，则∠BAE的度数为何？（）A．115 B．120 C．125 D．130【分析】根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等，进而得出∠B=∠E，利用多边形的内角和解答即可．【解答】解：∵正三角形 ACD，∴AC=AD，∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°，∵AB=DE，BC=AE，∴△ABC≌△AED，∴∠B=∠E=115°，∠ACB=∠EAD，∠BAC=∠ADE，∴∠ACB+∠BAC=∠BAC+∠DAE=180°﹣115°=65°，∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125°，故选：C．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等．5. （2018•广西桂林•3分）如图，在正方形 ABCD中，AB=3，点 M在 CD的边上，且 DM=1，Δ AEM与Δ ADM关于 AM所在的直线对称，将Δ ADM按顺时针方向绕点 A旋转 90°得到Δ ABF，连接 EF，则线段 EF的长为（）A. 3B.C.D.【答案】C【解析】分析：连接 BM.证明△AFE≌△AMB得 FE=MB，再运用勾股定理求出 BM的长即可.详解：连接 BM，如图，由旋转的性质得：AM=AF.∵四边形 ABCD是正方形，∴AD=AB=BC=CD，∠BAD=∠C=90°,∵Δ AEM与Δ ADM关于 AM所在的直线对称，∴∠DAM=∠EAM.∵∠DAM+∠BAM=∠FAE+∠EAM=90°,∴∠BAM=∠EAF,∴△AFE≌△AMB∴FE=BM.在 Rt△BCM中，BC=3，CM=CD-DM=3-1=2,∴BM=∴FE= .故选 C.点睛：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．6.(2018四川省眉山市 2分) 如图，在 ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点 E，F为 DC的中点，连结 EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S；④∠CFE=3∠DEF,四边形DEBC=2S△EFB其中正确结论的个数共有（）。
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，平行四边形的性质【解析】【解答】解：①∵四边形 ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD=BC，AD∥BC,∴∠CFB=∠ABF，又∵CD=2AD，F为 CD中点，∴CF=DF=AD=BC，∴∠CFB=∠CBF，∴∠ABF=∠CBF，∴BF平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABF，故①正确.②延长 EF交 BC于点 G，∵AD∥BC,∴∠D=∠FCG,在△DEF和△CGF中，∵,∴△DEF≌△CGF（ASA），∴EF=FG，又∵BE⊥AD，AD∥BC,∴∠AEB=∠EBC=90°，∴△BEG为直角三角形，又∵F为 EG中点，∴EF=BF，故②正确.③由②知△DEF≌△CGF，∴S△DEF=S△CGF ，∴S四DEBC=S△BEG，又∵F为 EG中点，∴S△BEF=S△BGF ，∴S△BEG=2S△BEF ，即 S四DEBC=2S△BEF，故③正确.④设∠FEB=x，由②知 EF=BF,∴∠FBE=∠FEB=x，∴∠BFE=180°-2x，又∵∠BED=∠AED=∠EBC=90°，∴∠DEF=∠CBF=90°-x，∵CF=BC,∴∠CFB=∠CBF=90°-x，故④正确.故答案为:D.【分析】①根据平行四边形的性质得AB∥CD，AD=BC，AD∥BC,根据平行线的性质得∠CFB=∠ABF，由中点定义结合已知条件得 CF=DF=AD=BC，根据等边对等角得∠CFB=∠CBF，等量代换即可得∠ABF=∠CBF，从而得①正确.②延长 EF交 BC于点 G，根据平行线的性质得∠D=∠FCG,根据全等三角形的判定 ASA得△DEF ≌△CGF，再由全等三角形的性质得EF=FG，根据平行线的性质和垂直定义得∠AEB=∠EBC=90°，故△BEG为直角三角形，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半即知②正确.③由②知△DEF≌△CGF，根据全等三角形的定义得 S△DEF=S△CGF ，S 四DEBC=S△BEG ，又 F 为EG中点得 S△BEF =S△BGF ，故 S△BEG=2S△BEF ，即 S四DEBC=2S△BEF ，得③正确.④设∠FEB=x，由②知EF=BF,根据等边对等角得∠FBE=∠FEB=x，由三角形内角和得∠BFE=180°-2x，根据三角形内角和和等边对等角得∠CFB=∠CBF=90°-x，由∠CFE=∠CFB+∠BFE，代入数值化简即可得④正确.二.填空题1. （2018·广东广州·3分）如图9，CE是平行四边形ABCD的边A B的垂直平分线，垂足为点O，CE与D A的延长线交于点E，连接A C，BE，DO，DO 与A C 交于点F，则下列结论：①四边形ACBE是菱形；②∠ACD=∠BAE③AF：BE=2：3 ④其中正确的结论有________。
（填写所有正确结论的序号）【答案】①②④【考点】三角形的面积，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：①∵CE是平行四边形ABCD的边AB的垂直平分线，∴AO=BO,∠AOE=∠BOC=90°,BC∥AE，AE=BE，CA=CB，∴∠OAE=∠OBC，∴△AOE≌△BOC（ASA），∴AE=BC，∴AE=BE=CA=CB，∴四边形ACBE是菱形，故①正确.②由①四边形ACBE是菱形，∴AB平分∠CAE，∴∠CAO=∠BAE，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴BA∥CD，∴∠CAO=∠ACD，∴∠ACD=∠BAE.故②正确.③∵CE垂直平分线AB，∴O为AB中点，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴BA∥CD，AO= AB= CD，∴△AFO∽△CFD，∴= ，∴AF:AC=1:3,∵AC=BE，∴AF:BE=1:3,故③错误.④∵·CD·OC,由③知AF:AC=1:3,∴,∵= × CD·OC= ,∴= + = = ,∴故④正确.故答案为：①②④.【分析】①根据平行四边形和垂直平分线的性质得 AO=BO,∠AOE=∠BOC=90°,BC∥AE，AE=BE，CA=CB，根据ASA得△AOE≌△BOC，由全等三角形性质得AE=CB，根据四边相等的四边形是菱形得出①正确.②由菱形性质得∠CAO=∠BAE，根据平行四边形的性质得 BA∥CD，再由平行线的性质得∠CAO=∠ACD，等量代换得∠ACD=∠BAE；故②正确.③根据平行四边形和垂直平分线的性质得BA∥CD，AO= AB= CD，从而得△AFO∽△CFD，由相似三角形性质得= ，从而得出AF:AC=1:3,即AF:BE=1:3,故③错误.④由三角形面积公式得·CD·OC, 从③知AF:AC=1:3, 所以= + = = ,从而得出故④正确.2. （2018·广东深圳·3分）如图，四边形ACFD是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且点E、A、B三点共线，AB=4，则阴影部分的面积是________．【答案】8【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质【解析】【解答】解：∵四边形ACFD是正方形，∴∠CAF=90°，AC=AF，∴∠CAE+∠FAB=90°，又∵∠CEA和∠ABF都是直角，∴∠CAE+∠ACE=90°，∴∠ACE=∠FAB，在△ACE和△FAB中，∵,∴△ACE≌△FAB（AAS），∵AB=4，∴CE=AB=4，= ·AB·CE= ×4×4=8.∴S阴影=S△ABC故答案为：8.【分析】根据正方形的性质得∠CAF=90°，AC=AF，再根据三角形内角和和同角的余角相等得∠ACE=∠FAB，由全等三角形的判定AAS得△ACE≌△FAB，由全等三角形的性质得CE=AB=4，根据三角形的面积公式即可得阴影部分的面积.3. （2018·四川宜宾·3分）如图，在矩形ABCD 中，AB=3，CB=2，点E为线段A B上的动点，将△CBE沿C E 折叠，使点B落在矩形内点F 处，下列结论正确的是①②③（写出所有正确结论的序号）①当E为线段AB中点时，AF∥CE；②当E为线段AB中点时，AF= ；③当 A、F、C三点共线时，AE= ；④当 A、F、C三点共线时，△CEF≌△AEF．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；KB：全等三角形的判定；LB：矩形的性质．【分析】分两种情形分别求解即可解决问题；【解答】解：如图 1中，当 AE=EB时，∵AE=EB=EF，∴∠EAF=∠EFA，∵∠CEF=∠CEB，∠BEF=∠EAF+∠EFA，∴∠BEC=∠EAF，∴AF∥EC，故①正确，作 EM⊥AF，则 AM=FM，在 Rt△ECB中，EC= = ，∵∠AME=∠B=90°，∠EAM=∠CEB，∴△CEB∽△EAM，∴= ，∴= ，∴AM= ，∴AF=2AM= ，故②正确，如图 2中，当 A、F、C共线时，设 AE=x．则 EB=EF=3﹣x，AF= ﹣2，在 Rt△AEF中，∵AE2=AF2+EF2，∴x2=（﹣2）2+（3﹣x）2，∴x= ，∴AE= ，故③正确，如果，△CEF≌△AEF，则∠EAF=∠ECF=∠ECB=30°，显然不符合题意，故④错误，故答案为①②③．【点评】本题考查翻折变换、全等三角形的性质、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．4.（2018·浙江衢州·4分）如图，在△ABC和△DEF中，点 B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是AB=ED （只需写一个，不添加辅助线）．【考点】三角形全等的判定方法【分析】根据等式的性质可得 BC=EF，根据平行线的性质可得∠B=∠E，再添加 AB=ED可利用 SAS判定△ABC≌△DEF．【解答】解：添加 AB=ED．∵BF=CE，∴BF+FC=CE+FC，即 BC=EF．∵AB∥DE，∴∠B=∠E．在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS）．故答案为：AB=ED．【点评】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．5. （2018•湖南省永州市•4 分）一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边 AB、CE相交于点 D，则∠BDC= 75° ．【分析】根据三角板的性质以及三角形内角和定理计算即可；【解答】解：∵∠CEA=60°，∠BAE=45°，∴∠ADE=180°﹣∠CEA﹣∠BAE=75°，∴∠BDC=∠ADE=75°，故答案为 75°．【点评】本题考查三角板的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．三.解答题1. （2018年江苏省泰州市•8分）如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点 O．求证：OB=OC．【分析】因为∠A=∠D=90°，AC=BD，BC=BC，知 Rt△BAC≌Rt△CDB（HL），所以 AB=CD，证明△ABO与△CDO全等，所以有 OB=OC．【解答】证明：在 Rt△ABC和 Rt△DCB中，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），∴∠OBC=∠OCB，∴BO=CO．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．2. （2018•山东滨州•13分）已知，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点 D为 BC的中点．（1）如图①，若点 E、F分别为 AB、AC上的点，且 DE⊥DF，求证：BE=AF；（2）若点 E、F分别为 AB、CA延长线上的点，且 DE⊥DF，那么 BE=AF吗？请利用图②说明理由．【分析】（1）连接 AD，根据等腰三角形的性质可得出 AD=BD、∠EBD=∠FAD，根据同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可证出△BDE≌△ADF（ASA），再根据全等三角形的性质即可证出 BE=AF；（2）连接 AD，根据等腰三角形的性质及等角的补角相等可得出∠EBD=∠FAD、BD=AD，根据同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可证出△EDB≌△FDA（ASA），再根据全等三角形的性质即可得出 BE=AF．【解答】（1）证明：连接 AD，如图①所示．∵∠A=90°，AB=AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∠EBD=45°．∵点 D为 BC的中点，∴AD= BC=BD，∠FAD=45°．∵∠BDE+∠EDA=90°，∠EDA+∠ADF=90°，∴∠BDE=∠ADF．在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE=AF；（2）BE=AF，证明如下：连接 AD，如图②所示．∵∠ABD=∠BAD=45°，∴∠EBD=∠FAD=135°．∵∠EDB+∠BDF=90°，∠BDF+∠FDA=90°，∴∠EDB=∠FDA．在△EDB和△FDA中，，∴△EDB≌△FDA（ASA），∴BE=AF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、补角及余角，解题的关键是：（1）根据全等三角形的判定定理 ASA证出△BDE≌△ADF；（2）根据全等三角形的判定定理 ASA证出△EDB≌△FDA．3 （2018•山东菏泽•6分）如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出 DF与 AE的数量关系，并证明你的结论．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【分析】结论：DF=AE．只要证明△CDF≌△BAE即可；【解答】解：结论：DF=AE．理由：∵AB∥CD，∴∠C=∠B，∵CE=BF，∴CF=BE，∵CD=AB，∴△CDF≌△BAE，∴DF=AE．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．4．（2018·湖南省衡阳·6分）如图，已知线段 AC，BD相交于点 E，AE=DE，BE=CE．（1）求证：△ABE≌△DCE；（2）当 AB=5时，求 CD的长．【解答】（1）证明：在△AEB和△DEC中，，∴△AEB≌△DEC（SAS）．（2）解：∵△AEB≌△DEC，∴AB=CD，∵AB=5，∴CD=5．5．（2018·湖北省武汉·8分）如图，点 E、F在 BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与 DE 交于点 G，求证：GE=GF．【分析】求出 BF=CE，根据 SAS推出△ABF≌△DCE，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论．【解答】证明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，∴BF=CE，在△ABF和△DCE中∴△ABF≌△DCE（SAS），∴∠GEF=∠GFE，∴EG=FG．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．6．（2018·湖北省宜昌·11分）在矩形 ABCD中，AB=12，P是边 AB上一点，把△PBC 沿直线 PC折叠，顶点 B的对应点是点 G，过点 B作 BE⊥CG，垂足为 E且在 AD上，BE交 PC于点F．（1）如图 1，若点 E是 AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；（2）如图 2，①求证：BP=BF；②当 AD=25，且 AE＜DE时，求 cos∠PCB的值；③当 BP=9时，求 BE•EF 的值．【分析】（1）先判断出∠A=∠D=90°，AB=DC再判断出 AE=DE，即可得出结论；（2）①利用折叠的性质，得出∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC，进而判断出∠GPF=∠PFB 即可得出结论；②判断出△ABE∽△DEC，得出比例式建立方程求解即可得出AE=9，DE=16，再判断出△ECF∽△GCP，进而求出 PC，即可得出结论；③判断出△GEF∽△EAB，即可得出结论．【解答】解：（1）在矩形 ABCD中，∠A=∠D=90°，AB=DC，∵E是 AD中点，∴AE=DE，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS）；（2）①在矩形 ABCD，∠ABC=90°，∵△BPC沿 PC折叠得到△GPC，∴∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC，∵BE⊥CG，∴BE∥PG，∴∠GPF=∠PFB，∴∠BPF=∠BFP，∴BP=BF；②当 AD=25时，∵∠BEC=90°，∴∠AEB+∠CED=90°，∵∠AEB+∠ABE=90°，∴∠CED=∠ABE，∵∠A=∠D=90°，∴△ABE∽△DEC，∴，设 AE=x，∴DE=25﹣x，∴，∴x=9或 x=16，∵AE＜DE，∴AE=9，DE=16，∴CE=20，BE=15，由折叠得，BP=PG，∴BP=BF=PG，∵BE∥PG，∴△ECF∽△GCP，∴，设 BP=BF=PG=y，∴，∴y= ，∴BP= ，在 Rt△PBC中，PC= ，cos∠PCB= = ；③如图，连接 FG，∵∠GEF=∠BAE=90°，∵BF∥PG，BF=PG，∴▱BPGF是菱形，∴BP∥GF，∴∠GFE=∠ABE，∴△GEF∽△EAB，∴，∴BE•EF=AB•GF=12×9=108．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．7.（2018·山东泰安·11分）如图，△ABC 中，D是 AB上一点，DE⊥AC 于点 E，F是 AD的中点，FG⊥BC 于点 G，与 DE交于点 H，若 FG=AF，AG平分∠CAB，连接 GE，CD．（1）求证：△ECG≌△GHD；（2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论．（3）若∠B=30°，判定四边形 AEGF是否为菱形，并说明理由．【分析】（1）依据条件得出∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，依据 F是 AD的中点，FG∥AE，即可得到 FG是线段 ED 的垂直平分线，进而得到 GE=GD，∠CGE=∠GDE，利用 AAS即可判定△ECG≌△GHD；（2）过点 G作 GP⊥AB 于 P，判定△CAG≌△PAG，可得 AC=AP，由（1）可得 EG=DG，即可得到 Rt△ECG≌Rt△GPD，依据 EC=PD，即可得出 AD=AP+PD=AC+EC；（3）依据∠B=30°，可得∠ADE=30°，进而得到 AE= AD，故AE=AF=FG，再根据四边形 AECF是平行四边形，即可得到四边形 AEGF是菱形．【解答】解：（1）∵AF=FG，∴∠FAG=∠FGA，∵AG 平分∠CAB，∴∠CAG=∠FGA，∴∠CAG=∠FGA，∴AC∥FG，∵DE⊥AC，∴FG⊥DE，∵FG⊥BC，∴DE∥BC，∴AC⊥BC，∴∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，∵F 是 AD的中点，FG∥AE，∴H 是 ED的中点，∴FG 是线段 ED的垂直平分线，∴GE=GD，∠GDE=∠GED，∴∠CGE=∠GDE，∴△ECG≌△GHD；（2）证明：过点 G作 GP⊥AB 于 P，∴GC=GP，而 AG=AG，∴△CAG≌△PAG，∴AC=AP，由（1）可得 EG=DG，∴Rt△ECG≌Rt△GPD，∴EC=PD，∴AD=AP+PD=AC+EC；（3）四边形 AEGF是菱形，证明：∵∠B=30°，∴∠ADE=30°，∴AE= AD，∴AE=AF=FG，由（1）得 AE∥FG，∴四边形 AECF是平行四边形，∴四边形 AEGF是菱形．【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了菱形的判定、全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质的综合运用，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等是解决问题的关键．8. （2018·新疆生产建设兵团·8分）如图，▱ABCD的对角线 AC，BD相交于点 O．E，F是AC上的两点，并且 AE=CF，连接 DE，BF．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）若 BD=EF，连接 FB，DF．判断四边形 EBFD的形状，并说明理由．【分析】（1）根据 SAS即可证明；（2）首先证明四边形 EBFD是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是菱形即可证明；【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AE=CF，∴OE=OF，在△DEO 和△BOF 中，∴△DOE≌△BOF．（2）解：结论：四边形 EBFD是菱形．理由：∵OD=OB，OE=OF，∴四边形 EBFD是平行四边形，∵BD=EF，∴四边形 EBFD是菱形．【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9 （2018·四川宜宾·6分）如图，已知∠1=∠2，∠B=∠D，求证：CB=CD．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【分析】由全等三角形的判定定理 AAS证得△ABC≌△ADC，则其对应边相等．【解答】证明：如图，∵∠1=∠2，∴∠ACB=∠ACD．在△ABC与△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（AAS），∴CB=CD．【点评】考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．10. （2018·四川自贡·12分）如图，已知∠AOB=60°，在∠AOB的平分线 OM上有一点 C，将一个 120°角的顶点与点 C重合，它的两条边分别与直线 OA、OB相交于点 D、E．（1）当∠DCE绕点 C旋转到 CD与 OA垂直时（如图 1），请猜想OE+OD与 OC的数量关系，并说明理由；（2）当∠DCE绕点 C旋转到 CD与 OA不垂直时，到达图 2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DCE 绕点 C 旋转到 CD 与 OA 的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图 3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段 OD、OE与 OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．【分析】（1）先判断出∠OCE=60°，再利用特殊角的三角函数得出 OD= OC，同OE= OC，即可得出结论；（2）同（1）的方法得 OF+OG= OC，再判断出△CFD≌△CGE，得出 DF=EG，最后等量代换即可得出结论；（3）同（2）的方法即可得出结论．【解答】解：（1）∵OM是∠AOB的角平分线，∴∠AOC=∠BOC= ∠AOB=30°，∵CD⊥OA，∴∠ODC=90°，∴∠OCD=60°，∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=60°，在 Rt△OCD中，OD=OE•cos30°= OC，同理：OE= OC，∴OD+OD= OC；（2）（1）中结论仍然成立，理由：过点 C作 CF⊥OA于 F，CG⊥OB于 G，∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=60°，∴∠FCG=120°，同（1）的方法得，OF= OC，OG= OC，∴OF+OG= OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点 C是∠AOB的平分线 OM上一点，∴CF=CG，∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG，∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，∴OD+OE= OC ；（3）（1）中结论不成立，结论为：OE﹣OD= OC，理由：过点 C作 CF⊥OA于 F，CG⊥OB于 G，∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=60°，∴∠FCG=120°，同（1）的方法得，OF= OC，OG= OC，∴OF+OG= OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点 C是∠AOB的平分线 OM上一点，∴CF=CG，∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG，∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，∴OE﹣OD= OC．【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的定义和定理，全等三角形的判定和性质，特殊角的三角函数直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．11.（2018•湖北黄冈•8 分）如图，在口 ABCD 中，分别以边 BC，CD 作等腰△BCF，△CDE，使 BC=BF，CD=DE，∠CBF＝∠CDE，连接 AF，AE.（1）求证：△ABF≌△EDA；（2）延长 AB与 CF相交于 G，若 AF⊥AE，求证 BF⊥BC.（第 20题图）【考点】平行四边形、全等三角形，等腰三角形.【分析】（1）先证明∠ABF＝∠ADE，再利用 SAS证明△ABF≌△EDA；（2）要证 BF⊥BC，须证∠FBC＝90°，通过 AF⊥AE挖掘角的量的关系。
2018年全国各地中考数学真题汇编：三角形(四川专版)(解析卷)
2018年全国各地中考数学真题汇编（四川专版）三角形参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．（2018•成都）如图，已知∠ABC=∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（）A．∠A=∠D B．∠ACB=∠DBC C．AC=DB D．AB=DC解：A、∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合AAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；B、∠ABC=∠DCB，BC=CB，∠ACB=∠DBC，符合ASA，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；C、∠ABC=∠DCB，AC=BD，BC=BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC ≌△DCB，故本选项正确；D、AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合SAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；故选：C．2．（2018•自贡）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（）A．8 B．12 C．14 D．16解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE=BC，∴△ADE∽△ABC，∵=，∴=，∵△ADE的面积为4，∴△ABC的面积为：16，故选：D．3．（2018•泸州）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB中点，且AE+EO=4，则▱ABCD的周长为（）A．20 B．16 C．12 D．8解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，∵AE=EB，∴OE=BC，∵AE+EO=4，∴2AE+2EO=8，∴AB+BC=8，∴平行四边形ABCD的周长=2×8=16，故选：B．4．（2018•内江）已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为（）A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：9解：已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9，故选：D．5．（2018•泸州）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）A．9 B．6 C．4 D．3解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：ab=×8=4，∴4×ab+（a﹣b）2=25，∴（a﹣b）2=25﹣16=9，∴a﹣b=3，故选：D．6．（2018•南充）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点，若BC=2，则EF的长度为（）A．B．1 C．D．解：∵∠ACB=90°，D为AB的中点，∴CD=BD=AD，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60°，∴△CBD为等边三角形，∴CD=BC=2，∵E，F分别为AC，AD的中点，∴EF=CD=1，故选：B．7．（2018•达州）如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为（）A．B．2 C．D．3解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，∴∠NBA=∠NBE，∠BNA=∠BNE，在△BNA和△BNE中，∴△BNA≌△BNE，∴BA=BE，∴△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），∴MN是△ADE的中位线，∵BE+CD=AB+AC=19﹣BC=19﹣7=12，∴DE=BE+CD﹣BC=5，∴MN=DE=．故选：C．二．填空题（共3小题）8．（2018•乐山）如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，连结CE，则∠BCE的度数是22.5度．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAB=∠BCA=45°；△ACE中，AC=AE，则：∠ACE=∠AEC=（180°﹣∠CAE）=67.5°；∴∠BCE=∠ACE﹣∠ACB=22.5°．故答案为22.5．9．（2018•南充）如图，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F．若AD=1，BD=2，BC=4，则EF=．解：∵DE∥BC，∴∠F=∠FBC，∵BF平分∠ABC，∴∠DBF=∠FBC，∴∠F=∠DBF，∴DB=DF，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，即，解得：DE=，∵DF=DB=2，∴EF=DF﹣DE=2﹣，故答案为：10．（2018•广安）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC=1，则OF= 2．解：作EH⊥OA于H，∵∠AOE=∠BOE=15°，EC⊥OB，EH⊥OA，∴EH=EC=1，∠AOB=30°，∵EF∥OB，∴∠EFH=∠AOB=30°，∠FEO=∠BOE，∴EF=2EH=2，∠FEO=∠FOE，∴OF=EF=2，故答案为：2．三．解答题（共16小题）11．（2018•成都）由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东70°方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛C位于它的北偏东37°方向．如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin37°≈0.6，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）解：由题意得：∠ACD=70°，∠BCD=37°，AC=80海里，在直角三角形ACD中，CD=AC•cos∠ACD=27.2海里，在直角三角形BCD中，BD=CD•tan∠BCD=20.4海里．答：还需航行的距离BD的长为20.4海里．12．（2018•泸州）如图，EF=BC，DF=AC，DA=EB．求证：∠F=∠C．证明：∵DA=BE，∴DE=AB，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠C=∠F．13．（2018•自贡）如图，在△ABC中，BC=12，tanA=，∠B=30°；求AC和AB的长．解：如图作CH⊥AB于H．在Rt△BCH中，∵BC=12，∠B=30°，∴CH=BC=6，BH==6，在Rt△ACH中，tanA==，∴AH=8，∴AC==10，∴AB=AH+BH=8+6．14．（2018•泸州）如图，甲建筑物AD，乙建筑物BC的水平距离AB为90m，且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，从E（A，E，B在同一水平线上）点测得D点的仰角为30°，测得C点的仰角为60°，求这两座建筑物顶端C、D间的距离（计算结果用根号表示，不取近似值）．解：由题意知：BC=6AD，AE+BE=AB=90m在Rt△ADE中，tan30°=，sin30°=∴AE==AD，DE=2AD；在Rt△BCE中，tan60°=，sin60°=，∴BE==2AD，CE==4AD；∵AE+BE=AB=90m∴AD+2AD=90∴AD=10（m）∴DE=20m，CE=120m∵∠DEA+∠DEC+∠CEB=180°，∠DEA=30°，∠CEB=60°，∴∠DEC=90°∴CD===20（m）答：这两座建筑物顶端C、D间的距离为20m．15．（2018•遂宁）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∵DE=BF，∴AE=CF，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．16．（2018•内江）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AE=CF，并且∠AED=∠CFD．求证：（1）△AED≌△CFD；（2）四边形ABCD是菱形．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C．在△AED与△CFD中，∴△AED≌△CFD（ASA）；（2）由（1）知，△AED≌△CFD，则AD=CD．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．17．（2018•遂宁）如图，某测量小组为了测量山BC的高度，在地面A处测得山顶B的仰角45°，然后沿着坡度为i=1：的坡面AD走了200米达到D处，此时在D处测得山顶B的仰角为60°，求山高BC（结果保留根号）．解：作DF⊥AC于F．∵DF：AF=1：，AD=200米，∴tan∠DAF=，∴∠DAF=30°，∴DF=AD=×200=100，∵∠DEC=∠BCA=∠DFC=90°，∴四边形DECF是矩形，∴EC=BF=100（米），∵∠BAC=45°，BC⊥AC，∴∠ABC=45°，∵∠BDE=60°，DE⊥BC，∴∠DBE=90°﹣∠BDE=90°﹣60°=30°，∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBE=45°﹣30°=15°，∠BAD=∠BAC﹣∠1=45°﹣30°=15°，∴∠ABD=∠BAD，∴AD=BD=200米，在Rt△BDE中，sin∠BDE=，∴BE=BD•sin∠BDE=200×=100，∴BC=BE+EC=100+100（米）．18．（2018•乐山）如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BC=BD．证明：∵∠ABD+∠3=180°∠ABC+∠4=180°，且∠3=∠4，∴∠ABD=∠ABC在△ADB和△ACB中，，∴△ADB≌△ACB（ASA），∴BD=BC．19．（2018•内江）如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱AC的高为11米，灯杆AB 与灯柱AC的夹角∠A=120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE长为18米，从D，E两处测得路灯B的仰角分别为α和β，且tanα=6，tanβ=，求灯杆AB的长度．解：过点B作BF⊥CE，交CE于点F，过点A作AG⊥AF，交BF于点G，则FG=AC=11．由题意得∠BDE=α，tan∠β=．设BF=3x，则EF=4x在Rt△BDF中，∵tan∠BDF=，∴DF===x，∵DE=18，∴x+4x=18．∴x=4．∴BF=12，∴BG=BF﹣GF=12﹣11=1，∵∠BAC=120°，∴∠BAG=∠BAC﹣∠CAG=120°﹣90°=30°．∴AB=2BG=2，答：灯杆AB的长度为2米．20．（2018•南充）如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．求证：∠C=∠E．证明：∵∠BAE=∠DAC，∴∠BAE﹣∠CAE=∠DAC﹣∠CAE，即∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，∵，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠C=∠E．．（2018•眉山）知识改变世界，科技改变生活．导航装备的不断更新极大方便了人们的出行．如图，某校组织学生乘车到黑龙滩（用C表示）开展社会实践活动，车到达A地后，发现C地恰好在A地的正北方向，且距离A地13千米，导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至B地，再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达C地，求B、C两地的距离．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）解：如图，作BD⊥AC于点D，则∠BAD=60°、∠DBC=53°，设AD=x，在Rt△ABD中，BD=ADtan∠BAD=x，在Rt△BCD中，CD=BDtan∠DBC=x×=x，由AC=AD+CD可得x+x=13，解得：x=﹣3，则BC===x=×（4﹣3）=20﹣5，即BC两地的距离为（20﹣5）千米．22．（2018•广安）如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上一点，连接AM，延长AD 至点E，使得AE=AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F，求证：AB=EF．证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=90°，AD∥BC，（2分）∴∠EAF=∠BMA，∵EF⊥AM，∴∠AFE=90°=∠B，（4分）在△ABM和△EFA中，∵，∴△ABM≌△EFA（AAS），（5分）∴AB=EF．（6分）23．（2018•宜宾）某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱AB、CD均垂直于地面，点E在线段BD上，在C点测得点A的仰角为30°，点E的俯角也为30°，测得B、E间距离为10米，立柱AB高30米．求立柱CD的高（结果保留根号）解：作CH⊥AB于H，则四边形HBDC为矩形，∴BD=CH，由题意得，∠ACH=30°，∠CED=30°，设CD=x米，则AH=（30﹣x）米，在Rt△AHC中，HC==（30﹣x），则BD=CH=（30﹣x），∴ED=（30﹣x）﹣10，在Rt△CDE中，=tan∠CED，即=，解得，x=15﹣，答：立柱CD的高为（15﹣）米．24．（2018•广安）据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．小强用所学知识对一条笔直公路上的车辆进行测速，如图所示，观测点C到公路的距离CD=200m，检测路段的起点A位于点C的南偏东60°方向上，终点B位于点C的南偏东45°方向上．一辆轿车由东向西匀速行驶，测得此车由A处行驶到B处的时间为10s．问此车是否超过了该路段16m/s的限制速度？（观测点C离地面的距离忽略不计，参考数据：≈1.41，≈1.73）解：由题意得：∠DCA=60°，∠DCB=45°，在Rt△CDB中，tan∠DCB=，解得：DB=200，在Rt△CDA中，tan∠DCA=，解得：DA=200，∴AB=DA﹣DB=200﹣200≈146米，轿车速度，答：此车没有超过了该路段16m/s的限制速度．25．（2018•达州）在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度．用测角仪在A处测得雕塑顶端点C的仰角为30°，再往雕塑方向前进4米至B 处，测得仰角为45°．问：该雕塑有多高？（测角仪高度忽略不计，结果不取近似值．）解：如图，过点C作CD⊥AB，交AB延长线于点D，设CD=x米，∵∠A=30°，AD=AB+BD=4+x，∴tanA=，即=，解得：x=2+2，答：该雕塑的高度为（2+2）米．26．（2018•资阳）如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成30°角，线段AA1表示小红身高1.5米．（1）当风筝的水平距离AC=18米时，求此时风筝线AD的长度；（2）当她从点A跑动9米到达点B处时，风筝线与水平线构成45°角，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离CF=10米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C1D．解：（1）∵在Rt△ACD中，cos∠CAD=，AC=18、∠CAD=30°，∴AD====12（米），答：此时风筝线AD的长度为12米；（2）设AF=x米，则BF=AB+AF=9+x（米），在Rt△BEF中，BE===18+x（米），由题意知AD=BE=18+x（米），∵CF=10，∴AC=AF+CF=10+x，由cos∠CAD=可得=，解得：x=3+2，则AD=18+（3+2）=24+2，∴CD=ADsin∠CAD=（24+2）×=12+，则C1D=CD+C1C=12++=+，答：风筝原来的高度C1D为（+）米．。
2018年中考数学试题分类汇编解析考点全等三角形
2021中考数学试题分类汇编：考点全等三角形一．选择题〔共9小题〕1．〔2021•安顺〕如图，点D，E分别在线段，上，与相交于O点，，现添加以下的哪个条件仍不能判定△≌△〔〕A．∠∠C B．C．D．【分析】欲使△≌△，，可根据全等三角形判定定理、、添加条件，逐一证明即可．【解答】解：∵，∠A为公共角，A、如添加∠∠C，利用即可证明△≌△；B、如添，利用即可证明△≌△；C、如添，等量关系可得，利用即可证明△≌△；D、如添，因为，不能证明△≌△，所以此选项不能作为添加的条件．应选：D．2．〔2021•黔南州〕以下各图中a、b、c为三角形的边长，那么甲、乙、丙三个三角形和左侧△全等的是〔〕A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙【分析】根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△全等，甲与△不全等．【解答】解：乙和△全等；理由如下：在△和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：，所以乙和△全等；在△和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：，所以丙和△全等；不能判定甲与△全等；应选：B．3．〔2021•河北〕：如图，点P在线段外，且，求证：点P在线段的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，那么作法不正确的选项是〔〕A．作∠的平分线交于点CB．过点P作⊥于点C且C．取中点C，连接D．过点P作⊥，垂足为C【分析】利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论．【解答】解：A、利用判断出△≌△，∴，∠∠90°，∴点P在线段的垂直平分线上，符合题意；C、利用判断出△≌△，∴，∠∠90°，∴点P在线段的垂直平分线上，符合题意；D、利用判断出△≌△，∴，∴点P在线段的垂直平分线上，符合题意，B、过线段外一点作线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意；应选：B．4．〔2021•南京〕如图，⊥，且．E、F是上两点，⊥，⊥．假设，，，那么的长为〔〕A．B．C．a﹣D．﹣c【分析】只要证明△≌△，可得，，推出〔b﹣c〕﹣c；【解答】解：∵⊥，⊥，⊥，∴∠∠90°，∠∠90°，∠∠90°，∴∠∠C，∵，∴△≌△，∴，，∵，∴〔b﹣c〕﹣c，应选：D．5．〔2021•临沂〕如图，∠90°，．⊥，⊥，垂足分别是点D、E，3，1，那么的长是〔〕A．B．2 C．2D．【分析】根据条件可以得出∠∠90°，进而得出△≌△，就可以得出，就可以求出的值．【解答】解：∵⊥，⊥，∴∠∠90°，∴∠∠90°．∵∠∠90°，∴∠∠．在△和△中，，∴△≌△〔〕，∴1，3．∴﹣3﹣1=2应选：B．6．〔2021•台湾〕如图，五边形中有一正三角形，假设，，∠115°，那么∠的度数为何？〔〕A．115 B．120 C．125 D．130【分析】根据全等三角形的判定和性质得出△与△全等，进而得出∠∠E，利用多边形的内角和解答即可．【解答】解：∵正三角形，∴，∠∠∠60°，∵，，∴△≌△，∴∠∠115°，∠∠，∠∠，∴∠∠∠∠180°﹣115°=65°，∴∠∠∠∠65°+60°=125°，应选：C．7．〔2021•成都〕如图，∠∠，添加以下条件，不能判定△≌△的是〔〕A．∠∠D B．∠∠C．D．【分析】全等三角形的判定方法有，，，，根据定理逐个判断即可．【解答】解：A、∠∠D，∠∠，，符合，即能推出△≌△，故本选项错误；B、∠∠，，∠∠，符合，即能推出△≌△，故本选项错误；C、∠∠，，，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△≌△，故本选项正确；D、，∠∠，，符合，即能推出△≌△，故本选项错误；应选：C．8．〔2021•黑龙江〕如图，四边形中，，5，∠∠90°，那么四边形的面积为〔〕A．15 B．12.5 C．14.5 D．17【分析】过A作⊥，交的延长线于E，判定△≌△，即可得到△是等腰直角三角形，四边形的面积与△的面积相等，根据S×5×5=12.5，即可得出结论．△【解答】解：如图，过A作⊥，交的延长线于E，∵∠∠90°，∴∠∠180°=∠∠，∴∠∠，又∵∠∠90°，∴∠∠，又∵，∴△≌△，∴，即△是等腰直角三角形，∴四边形的面积与△的面积相等，×5×5=12.5，∵S△∴四边形的面积为12.5，应选：B．9．〔2021•绵阳〕如图，△和△都是等腰直角三角形，，，△的顶点A在△的斜边上，假设，，那么两个三角形重叠局部的面积为〔〕A．B．3C．D．3【分析】如图设交于O，连接，作⊥于M，⊥于N．想方法求出△的面积．再求出与的比值即可解决问题；【解答】解：如图设交于O，连接，作⊥于M，⊥于N．∵∠∠90°，∴∠∠，∵，，∴△≌△，∴∠∠45°，，∵∠45°，∴∠∠∠90°，在△中，2，∴2，×2×2=2，∴S△∵平分∠，⊥于M，⊥于N，∴，∵，2×=3﹣，∴S△应选：D．二．填空题〔共4小题〕10．〔2021•金华〕如图，△的两条高，相交于点F，请添加一个条件，使得△≌△〔不添加其他字母及辅助线〕，你添加的条件是．【分析】添加，根据三角形高的定义可得∠∠90°，再证明∠∠，然后再添加可利用判定△≌△．【解答】解：添加，∵△的两条高，，∴∠∠90°，∴∠∠90°，∠∠90°，∴∠∠，在△和△中，∴△≌△〔〕，故答案为：．11．〔2021•衢州〕如图，在△和△中，点B，F，C，E在同一直线上，，∥，请添加一个条件，使△≌△，这个添加的条件可以是〔只需写一个，不添加辅助线〕．【分析】根据等式的性质可得，根据平行线的性质可得∠∠E，再添加可利用判定△≌△．【解答】解：添加，∵，∴，即，∵∥，∴∠∠E，在△和△中，∴△≌△〔〕，故答案为：．12．〔2021•绍兴〕等腰三角形中，顶角A为40°，点P在以A为圆心，长为半径的圆上，且，那么∠的度数为30°或110°．【分析】分两种情形，利用全等三角形的性质即可解决问题；【解答】解：如图，当点P在直线的右侧时．连接．∵，∠40°，∴∠∠70°，∵，，，∴△≌△，∴∠∠40°，∴∠∠﹣∠30°，当点P′在的左侧时，同法可得∠′=40°，∴∠P′40°+70°=110°，故答案为30°或110°．13．〔2021•随州〕如图，在四边形中，5，且＞，8．给出以下判断：①垂直平分；②四边形的面积•；③顺次连接四边形的四边中点得到的四边形可能是正方形；④当A，B，C，D四点在同一个圆上时，该圆的半径为；⑤将△沿直线对折，点A落在点E处，连接并延长交于点F，当⊥时，点F到直线的距离为．其中正确的选项是①③④．〔写出所有正确判断的序号〕【分析】依据5，，可得是线段的垂直平分线，故①正确；依据四边形的面积，故②错误；依据，可得顺次连接四边形的四边中点得到的四边形是正方形，故③正确；当A，B，C，D四点在同一个圆上时，设该圆的半径为r，那么r2=〔r ﹣3〕2+42，得，故④正确；连接，设点F到直线的距离为h，由折叠可得，四边形是菱形，5，4，依据S△××××，可得，进而得出，再根据S△梯形﹣S△，即可得到，故⑤错误．【解答】解：∵在四边形中，5，，∴是线段的垂直平分线，故①正确；四边形的面积，故②错误；当时，顺次连接四边形的四边中点得到的四边形是正方形，故③正确；当A，B，C，D四点在同一个圆上时，设该圆的半径为r，那么r2=〔r﹣3〕2+42，得，故④正确；将△沿直线对折，点A落在点E处，连接并延长交于点F，如下图，连接，设点F到直线的距离为h，由折叠可得，四边形是菱形，5，4，∴3，∵S△××××，∴，∵⊥，∥，∴⊥，，∵S△梯形﹣S△，∴×5〔5+5+〕×﹣×5×，解得，故⑤错误；故答案为：①③④．三．解答题〔共23小题〕14．〔2021•柳州〕如图，和相交于点C，∠∠E，．求证：△≌△．【分析】依据两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等进展判断．【解答】证明：∵在△和△中，，∴△≌△〔〕．15．〔2021•云南〕如图，平分∠，．求证：△≌△．【分析】根据角平分线的定义得到∠∠，利用定理判断即可．【解答】证明：∵平分∠，∴∠∠，在△和△中，，∴△≌△．16．〔2021•泸州〕如图，，，．求证：∠∠C．【分析】欲证明∠∠C，只要证明△≌△〔〕即可；【解答】证明：∵，∴，在△和△中，，∴△≌△〔〕，∴∠∠F．17．〔2021•衡阳〕如图，线段，相交于点E，，．〔1〕求证：△≌△；〔2〕当5时，求的长．【分析】〔1〕根据，，∠和∠是对顶角，利用证明△≌△即可．〔2〕根据全等三角形的性质即可解决问题．【解答】〔1〕证明：在△和△中，，∴△≌△〔〕．〔2〕解：∵△≌△，∴，18．〔2021•通辽〕如图，△中，D是边上一点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于F，且，连接．〔1〕求证：△≌△；〔2〕假设，试判断四边形的形状，并证明你的结论．【分析】〔1〕由∥得∠∠，继而结合∠∠、即可判定全等；〔2〕根据，且是边上的中线可得∠90°，由四边形是矩形可得答案．【解答】证明：〔1〕∵E是的中点，∴，∵∥，∴∠∠，∠∠，∴△≌△〔〕；〔2〕连接，∵∥，，∴四边形是平行四边形，∵△≌△，∴四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∴四边形是矩形．19．〔2021•泰州〕如图，∠∠90°，，、相交于点O．求证：．【分析】因为∠∠90°，，，知△≌△〔〕，所以，证明△与△全等，所以有．【解答】证明：在△和△中，∴△≌△〔〕，∴∠∠，∴．20．〔2021•南充〕如图，，，∠∠．求证：∠∠E．得到∠∠E．【解答】解：∵∠∠，∴∠﹣∠∠﹣∠，即∠∠，在△和△中，∵，∴△≌△〔〕，∴∠∠E．21．〔2021•恩施州〕如图，点B、F、C、E在一条直线上，，∥，∥，交于O．求证：与互相平分．【分析】连接，，判定△≌△〔〕，可得，依据∥，即可得出四边形是平行四边形，进而得到与互相平分．【解答】证明：如图，连接，，∵，∴，又∵∥，∥，∴∠∠，∠∠，在△和△中，，∴△≌△〔〕，∴，又∵∥，∴四边形是平行四边形，∴与互相平分．22．〔2021•哈尔滨〕：在四边形中，对角线、相交于点E ，且⊥，作⊥，垂足为点F ，与交于点C ，∠∠．〔1〕如图1，求证：；〔2〕如图2，是△的中线，假设2，，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△面积的2倍．【分析】〔1〕由⊥、⊥知∠∠∠∠，根据∠∠∠得出∠∠即可得； 〔2〕设，先得出22a 、、、2a ，据此知S △2a 2=2S △，证△≌△得2a ，再分别求出S △、S △、S △，从而得出答案．【解答】解：〔1〕∵∠∠，∠∠，∴∠∠，∵⊥、⊥，∴∠∠∠∠，∴∠∠，∴；〔2〕设，那么22a，，∴S△••2a•2，∵是△的中线，∴，∵、⊥，∴2a，那么S△••〔22a〕•2a2=2S△；在△和△中，∵，∴△≌△〔〕，∴2a，∴S△••〔2a〕•22a2，S△••〔2a〕•22a2，S△••〔〕•22a2，综上，面积等于△面积的2倍的三角形有△、△、△、△．23．〔2021•武汉〕如图，点E、F在上，，，∠∠C，与交于点G，求证：．【分析】求出，根据推出△≌△，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论．【解答】证明：∵，∴，∴，在△和△中∴△≌△〔〕，∴∠∠，∴．24．〔2021•咸宁〕：∠．求作：∠A'O'B'，使∠A'O′B'=∠〔1〕如图1，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C、D；〔2〕如图2，画一条射线O′A′，以点O′为圆心，长为半径间弧，交O′A′于点C′；〔3〕以点C′为圆心，长为半径画弧，与第2步中所而的弧交于点D′；〔4〕过点D′画射线O′B'，那么∠A'O'B'=∠．根据以上作图步骤，请你证明∠A'O'B′=∠．【分析】由根本作图得到′D′′C′，′D′，那么根据““可证明△≌△【解答】证明：由作法得′D′′C′，′D′，在△和△O′C′D′中，∴△≌△O′C′D′，∴∠∠C′O′D′，即∠A'O'B′=∠．25．〔2021•安顺〕如图，在△中，是边上的中线，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接．〔1〕求证：；〔2〕假设⊥，试判断四边形的形状，并证明你的结论．【分析】〔1〕连接，由证明△≌△，得出，即可得出答案；〔2〕根据平行四边形的判定得出平行四边形，求出，根据菱形的判定得出即可；【解答】〔1〕证明：连接，∵E为的中点，∴，∵∥，∴∠∠，在△和△中，，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴，∵为中线，∴，∴；〔2〕四边形的形状是菱形，理由如下：∵，∥，∴四边形是平行四边形，∵⊥，∴∠90°，∵为中线，∴，∴平行四边形是菱形；26．〔2021•广州〕如图，与相交于点E，，．求证：∠∠C．【解答】证明：在△和△中，，∴△≌△〔〕，∴∠∠C〔全等三角形对应角相等〕．27．〔2021•宜宾〕如图，∠1=∠2，∠∠D，求证：．【分析】由全等三角形的判定定理证得△≌△，那么其对应边相等．【解答】证明：如图，∵∠1=∠2，∴∠∠．在△与△中，，∴△≌△〔〕，∴．28．〔2021•铜仁市〕：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，，，，求证：∥．【分析】可证明△≌△，得出∠∠B，即可得出∥；【解答】证明：∵，∴，在△和△中，，∴△≌△〔〕∴∠∠B，∴∥；29．〔2021•温州〕如图，在四边形中，E是的中点，∥，∠∠B．〔1〕求证：△≌△．〔2〕当6时，求的长．【分析】〔1〕利用即可证明；〔2〕首先证明四边形是平行四边形，推出即可解决问题；【解答】〔1〕证明：∵∥，∴∠∠，∵E是中点，∴，∵∠∠B，∴△≌△．〔2〕解：∵△≌△，∴，∵∥，∴四边形是平行四边形，∴，∵6，∴3．30．〔2021•菏泽〕如图，∥，，．请写出与的数量关系，并证明你的结论．【分析】结论：．只要证明△≌△即可；【解答】解：结论：．理由：∵∥，∴∠∠B，∵，∴，∵，∴△≌△，∴．31．〔2021•苏州〕如图，点A，F，C，D在一条直线上，∥，，．求证：∥．【分析】由全等三角形的性质判定△≌△，那么对应角∠∠，故证得结论．【解答】证明：∵∥，∴∠∠D，∵，∴．∴在△与△中，，∴△≌△〔〕，∴∠∠，∴∥．32．〔2021•嘉兴〕：在△中，，D为的中点，⊥，⊥，垂足分别为点E，F，且．求证：△是等边三角形．【分析】只要证明△≌△，推出∠∠C，推出，又，即可推出；【解答】证明：∵⊥，⊥，垂足分别为点E，F，∴∠∠90°，∵D为的中点，∴，在△和△中，，∴△≌△，∴∠∠C，∴，∵，∴，∴△是等边三角形．33．〔2021•滨州〕，在△中，∠90°，，点D为的中点．〔1〕如图①，假设点E、F分别为、上的点，且⊥，求证：；〔2〕假设点E、F分别为、延长线上的点，且⊥，那么吗？请利用图②说明理由．【分析】〔1〕连接，根据等腰三角形的性质可得出、∠∠，根据同角的余角相等可得出∠∠，由此即可证出△≌△〔〕，再根据全等三角形的性质即可证出；〔2〕连接，根据等腰三角形的性质及等角的补角相等可得出∠∠、，根据同角的余角相等可得出∠∠，由此即可证出△≌△〔〕，再根据全等三角形的性质即可得出．【解答】〔1〕证明：连接，如图①所示．∵∠90°，，∴△为等腰直角三角形，∠45°．∵点D为的中点，∴，∠45°．∵∠∠90°，∠∠90°，∴∠∠．在△和△中，，∴△≌△〔〕，∴；〔2〕，证明如下：连接，如图②所示．∵∠∠45°，∴∠∠135°．∵∠∠90°，∠∠90°，∴∠∠．在△和△中，，∴△≌△〔〕，∴．34．〔2021•怀化〕：如图，点A．F，E．C在同一直线上，∥，，∠∠D．〔1〕求证：△≌△；〔2〕假设点E，G分别为线段，的中点，连接，且5，求的长．【分析】〔1〕根据平行线的性质得出∠∠C，进而利用全等三角形的判定证明即可；〔2〕利用全等三角形的性质和中点的性质解答即可．【解答】证明：〔1〕∵∥，∴∠∠C，在△与△中，∴△≌△〔〕；〔2〕∵点E，G分别为线段，的中点，∴，∵5，∴10，∵△≌△，∴10．35．〔2021•娄底〕如图，四边形中，对角线、相交于点O，且，，过O点作⊥，分别交、于点E、F．〔1〕求证：△≌△；〔2〕判断四边形的形状，并说明理由．【分析】〔1〕首先证明四边形是平行四边形，再利用证明△≌△；〔2〕结论：四边形是菱形．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；【解答】〔1〕证明：∵，，∴四边形是平行四边形，∴∥，∴∠∠，在△和△中，，∴△≌△．〔2〕解：结论：四边形是菱形，∵△≌△，∴，∵，∴，∵∥，∴四边形是平行四边形，∵，⊥，∴，∴四边形是菱形．36．〔2021•桂林〕如图，点A、D、C、F在同一条直线上，，，．〔1〕求证：△≌；〔2〕假设∠55°，∠88°，求∠F的度数．【分析】〔1〕求出，根据推出△≌△．〔2〕由〔1〕中全等三角形的性质得到：∠∠，进而得出结论即可．【解答】证明：〔1〕∵，，且∴在△和△中，∴△≌△〔〕〔2〕由〔1〕可知，∠∠∵∠55°，∠88°∴∠180°﹣〔∠∠B〕=180°﹣〔55°+88°〕=37°∴∠∠37°。
2018年湖南各地中考数学真题汇编：三角形(含答案)
2018年全国各地中考数学真题汇编（湖南专版）三角形一．填空题（共10小题）1．（2018•湘潭）如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD=．2．（2018•衡阳）将一副三角板如图放置，使点A落在DE上，若BC∥DE，则∠AFC的度数为．3．（2018•湘潭）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程为．4．（2018•邵阳）如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF．写出图中任意一对相似三角形：．5．（2018•张家界）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B的度数为．6．（2018•岳阳）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是步．7．（2018•娄底）如图，P是△ABC的内心，连接PA、PB、PC，△PAB、△PBC、△PAC 的面积分别为S1、S2、S3．则S1S2+S3．（填“＜”或“=”或“＞”）8．（2018•郴州）如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为cm．（结果用π表示）9．（2018•永州）一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB、CE相交于点D，则∠BDC=．10．（2018•娄底）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE=3cm，则BF=cm．二．解答题（共14小题）11．（2018•衡阳）如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE=DE，BE=CE．（1）求证：△ABE≌△DCE；（2）当AB=5时，求CD的长．12．（2018•长沙）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）13．（2018•株洲）如图为某区域部分交通线路图，其中直线l1∥l2∥l3，直线l与直线l1、l2、l3都垂直，垂足分别为点A、点B和点C，（高速路右侧边缘），l2上的点M位于点A的北偏东30°方向上，且BM=千米，l3上的点N位于点M的北偏东α方向上，且cosα=，MN=2千米，点A和点N是城际线L上的两个相邻的站点．（1）求l2和l3之间的距离；（2）若城际火车平均时速为150千米/小时，求市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要多少小时？（结果用分数表示）14．（2018•湘潭）随着航母编队的成立，我国海军日益强大．2018年4月12日，中央军委在南海海域隆重举行海上阅兵，在阅兵之前我军加强了海上巡逻，如图，我军巡逻舰在某海域航行到A处时，该舰在观测点P的南偏东45°的方向上，且与观测点P的距离PA为400海里；巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间后，到达位于观测点P的北偏东30°方向上的B处，问此时巡逻舰与观测点P的距离PB为多少海里？（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到1海里）．15．（2018•衡阳）一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆C出发，沿北偏东30°的方向行走2000米到达石鼓书院A处，参观后又从A处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆南偏东45°方向的雁峰公园B处，如图所示．（1）求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离；（2）若这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在15分钟内能否到达宾馆？16．（2018•邵阳）某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，坡角∠ABD为30°；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度，（结果精确到0．lm．温馨提示：sin15°≈0.26，cosl5°≈0.97，tan15°≈0.27）17．（2018•岳阳）图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM=60°．（1）求点M到地面的距离；（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：≈1.73，结果精确到0.01米）18．（2018•常德）图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD=2米，且两扇门的大小相同（即AB=CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，≈1.4）19．（2018•张家界）2017年9月8日﹣10日，第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行，来自全球11个国家的16名选手参加了激烈的角逐．如图，某选手从离水平地面1000米高的A点出发（AB=1000米），沿俯角为30°的方向直线飞行1400米到达D点，然后打开降落伞沿俯角为60°的方向降落到地面上的C点，求该选手飞行的水平距离BC．20．（2018•湘西州）如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE、CE．（1）求证：△ADE≌△BCE；（2）若AB=6，AD=4，求△CDE的周长．21．（2018•郴州）小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC=30米，求无人机飞行的高度AD．（精确到0.01米．参考数据：≈1.414，≈1.732）22．（2018•怀化）已知：如图，点A，F，E，C在同一直线上，AB∥DC，AB=CD，∠B=∠D．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若点E，G分别为线段FC，FD的中点，连接EG，且EG=5，求AB的长．23．（2018•娄底）如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼BC高达452m，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼DE高340m，为了测量高楼BC上发射塔AB 的高度，在楼DE底端D点测得A的仰角为α，sinα=，在顶端E点测得A的仰角为45°，求发射塔AB的高度．24．（2018•湘西州）如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C．经测量，C位于A的北偏东60°的方向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB=10km．（1）求景点B与C的距离；（2）为了方便游客到景点C游玩，景区管委会准备由景点C向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号）2018年全国各地中考数学真题汇编（湖南专版）三角形参考答案与试题解析一．填空题（共10小题）1．（2018•湘潭）如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD=30°．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC．又点D是边BC的中点，∴∠BAD=∠BAC=30°．故答案是：30°．2．（2018•衡阳）将一副三角板如图放置，使点A落在DE上，若BC∥DE，则∠AFC的度数为75°．解：∵BC∥DE，△ABC为等腰直角三角形，∴∠FBC=∠EAB=（180°﹣90°）=45°，∵∠AFC是△AEF的外角，∴∠AFC=∠FAE+∠E=45°+30°=75°．故答案为：75°．3．（2018•湘潭）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程为x2+32=（10﹣x）2．解：设AC=x，∵AC+AB=10，∴AB=10﹣x．∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AC2+BC2=AB2，即x2+32=（10﹣x）2．故答案为：x2+32=（10﹣x）2．4．（2018•邵阳）如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF．写出图中任意一对相似三角形：△ADF∽△ECF．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥CE，∴△ADF∽△ECF．故答案为△ADF∽△ECF．5．（2018•张家界）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B的度数为15°．解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，∴∠BAD=150°，AD=AB，∵点B，C，D恰好在同一直线上，∴△BAD是顶角为150°的等腰三角形，∴∠B=∠BDA，∴∠B=（180°﹣∠BAD）=15°，故答案为：15°．6．（2018•岳阳）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是步．解：如图1，∵四边形CDEF是正方形，∴CD=ED，DE∥CF，设ED=x，则CD=x，AD=12﹣x，∵DE∥CF，∴∠ADE=∠C，∠AED=∠B，∴△ADE∽△ACB，∴，如图2，四边形DGFE是正方形，过C作CP⊥AB于P，交DG于Q，设ED=x，S△ABC=AC•BC=AB•CP，12×5=13CP，CP=，同理得：△CDG∽△CAB，∴，∴，x=，∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是（步），故答案为：．7．（2018•娄底）如图，P是△ABC的内心，连接PA、PB、PC，△PAB、△PBC、△PAC 的面积分别为S1、S2、S3．则S1＜S2+S3．（填“＜”或“=”或“＞”）解：过P点作PD⊥AB于D，作PE⊥AC于E，作PF⊥BC于F，∵P是△ABC的内心，∴PD=PE=PF，∵S1=AB•PD，S2=BC•PF，S3=AC•PE，AB＜BC+AC，∴S1＜S2+S3．故答案为：＜．8．（2018•郴州）如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为12πcm．（结果用π表示）解：设底面圆的半径为rcm，由勾股定理得：r==6，∴2πr=2π×6=12π，故答案为：12π．9．（2018•永州）一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB、CE相交于点D，则∠BDC=75°．解：∵∠CEA=60°，∠BAE=45°，∴∠ADE=180°﹣∠CEA﹣∠BAE=75°，∴∠BDC=∠ADE=75°，故答案为75°．10．（2018•娄底）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC 于点F，DE=3cm，则BF=6cm．解：在Rt△ADB与Rt△ADC中，，∴Rt△ADB≌Rt△ADC，∴S=2S△ABD=2×AB•DE=AB•DE=3AB，△ABC=AC•BF，∵S△ABC∴AC•BF=3AB，∵AC=AB，∴BF=3，∴BF=6．故答案为6．二．解答题（共14小题）11．（2018•衡阳）如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE=DE，BE=CE．（1）求证：△ABE≌△DCE；（2）当AB=5时，求CD的长．（1）证明：在△AEB和△DEC中，，∴△AEB≌△DEC（SAS）．（2）解：∵△AEB≌△DEC，∴AB=CD，∵AB=5，∴CD=5．12．（2018•长沙）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，∵AB⊥CD，sin30°=，BC=80千米，∴CD=BC•sin30°=80×（千米），AC=（千米），AC+BC=80+40≈40×1.41+80=136.4（千米），答：开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4千米；（2）∵cos30°=，BC=80（千米），∴BD=BC•cos30°=80×（千米），∵tan45°=，CD=40（千米），∴AD=（千米），∴AB=AD+BD=40+40≈40+40×1.73=109.2（千米），∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC﹣AB=136.4﹣109.2=27.2（千米）．答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米．13．（2018•株洲）如图为某区域部分交通线路图，其中直线l1∥l2∥l3，直线l与直线l1、l2、l3都垂直，垂足分别为点A、点B和点C，（高速路右侧边缘），l2上的点M位于点A的北偏东30°方向上，且BM=千米，l3上的点N位于点M的北偏东α方向上，且cosα=，MN=2千米，点A和点N是城际线L上的两个相邻的站点．（1）求l2和l3之间的距离；（2）若城际火车平均时速为150千米/小时，求市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要多少小时？（结果用分数表示）解：（1）过点M作MD⊥NC于点D，∵cosα=，MN=2千米，∴cosα===，解得：DM=2（km），答：l2和l3之间的距离为2km；（2）∵点M位于点A的北偏东30°方向上，且BM=千米，∴tan30°===，解得：AB=3（km），可得：AC=3+2=5（km），∵MN=2km，DM=2km，∴DN==4（km），则NC=DN+BM=5（km），∴AN===10（km），∵城际火车平均时速为150千米/小时，∴市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要=小时．14．（2018•湘潭）随着航母编队的成立，我国海军日益强大．2018年4月12日，中央军委在南海海域隆重举行海上阅兵，在阅兵之前我军加强了海上巡逻，如图，我军巡逻舰在某海域航行到A处时，该舰在观测点P的南偏东45°的方向上，且与观测点P的距离PA为400海里；巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间后，到达位于观测点P的北偏东30°方向上的B处，问此时巡逻舰与观测点P的距离PB为多少海里？（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到1海里）．解：在△APC中，∠ACP=90°，∠APC=45°，则AC=PC．∵AP=400海里，∴由勾股定理知，AP2=AC2+PC2=2PC2，即4002=2PC2，故PC=200海里．又∵在直角△BPC中，∠PCB=90°，∠BPC=60°，∴PB==2PC=400≈565.6（海里）．答：此时巡逻舰与观测点P的距离PB约为565.6海里．15．（2018•衡阳）一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆C出发，沿北偏东30°的方向行走2000米到达石鼓书院A处，参观后又从A处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆南偏东45°方向的雁峰公园B处，如图所示．（1）求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离；（2）若这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在15分钟内能否到达宾馆？解：（1）作CP⊥AB于P，由题意可得出：∠A=30°，AP=2000米，则CP=AC=1000米；（2）∵在Rt△PBC中，PC=1000，∠PBC=∠BPC=45°，∴BC=PC=1000米．∵这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，∴他到达宾馆需要的时间为=10＜15，∴他在15分钟内能到达宾馆．16．（2018•邵阳）某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，坡角∠ABD为30°；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度，（结果精确到0．lm．温馨提示：sin15°≈0.26，cosl5°≈0.97，tan15°≈0.27）解：在Rt△ABD中，∠ABD=30°，AB=10m，∴AD=ABsin∠ABD=10×sin30°=5，在Rt△ACD中，∠ACD=15°，sin∠ACD=，∴AC==≈≈19.2m，即：改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度约为19.2米．17．（2018•岳阳）图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM=60°．（1）求点M到地面的距离；（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：≈1.73，结果精确到0.01米）解：（1）如图，过M作MN⊥AB于N，交BA的延长线于N，Rt△OMN中，∠NOM=60°，OM=1.2，∴∠M=30°，∴ON=OM=0.6，∴NB=ON+OB=3.3+0.6=3.9；即点M到地面的距离是3.9米；（2）取CE=0.65，EH=2.55，∴HB=3.9﹣2.55﹣0.65=0.7，过H作GH⊥BC，交OM于G，过O作OP⊥GH于P，∵∠GOP=30°，∴tan30°==，∴GP=OP=≈0.404，∴GH=3.3+0.404=3.704≈3.70＞3.5，∴货车能安全通过．18．（2018•常德）图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD=2米，且两扇门的大小相同（即AB=CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，≈1.4）解：作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，如图所示．∵AB=CD，AB+CD=AD=2，∴AB=CD=1．在Rt△ABE中，AB=1，∠A=37°，∴BE=AB•sin∠A≈0.6，AE=AB•cos∠A≈0.8．在Rt△CDF中，CD=1，∠D=45°，∴CF=CD•sin∠D≈0.7，DF=CD•cos∠D≈0.7．∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴BE∥CM，又∵BE=CM，∴四边形BEMC为平行四边形，∴BC=EM，CM=BE．在Rt△MEF中，EF=AD﹣AE﹣DF=0.5，FM=CF+CM=1.3，∴EM=≈1.4，∴B与C之间的距离约为1.4米．19．（2018•张家界）2017年9月8日﹣10日，第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行，来自全球11个国家的16名选手参加了激烈的角逐．如图，某选手从离水平地面1000米高的A点出发（AB=1000米），沿俯角为30°的方向直线飞行1400米到达D点，然后打开降落伞沿俯角为60°的方向降落到地面上的C点，求该选手飞行的水平距离BC．解：如图，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∠ADE=30°，∠CDF=30°，在Rt△ADE中，AE=AD=×1400=700，DE=AE=700，∴BE=AB﹣AE=1000﹣700=300，∴DF=300，BF=700，在Rt△CDF中，CF=DF=×300=100，∴BC=700+100=800．答：选手飞行的水平距离BC为800m．20．（2018•湘西州）如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE、CE．（1）求证：△ADE≌△BCE；（2）若AB=6，AD=4，求△CDE的周长．（1）证明：在矩形ABCD中，AD=BC，∠A=∠B=90°．∵E是AB的中点，∴AE=BE．在△ADE与△BCE中，（2）由（1）知：△ADE≌△BCE，则DE=EC．在直角△ADE中，AE=4，AE=AB=3，由勾股定理知，DE===5，∴△CDE的周长=2DE+AD=2DE+AB=2×5+6=16．21．（2018•郴州）小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC=30米，求无人机飞行的高度AD．（精确到0.01米．参考数据：≈1.414，≈1.732）解：∵∠EAB=60°，∠EAC=30°，∴∠CAD=60°，∠BAD=30°，∴CD=AD•tan∠CAD=AD，BD=AD•tan∠BAD=AD，∴BC=CD﹣BD=AD=30，∴AD=15≈25.98．22．（2018•怀化）已知：如图，点A，F，E，C在同一直线上，AB∥DC，AB=CD，∠B=∠D．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若点E，G分别为线段FC，FD的中点，连接EG，且EG=5，求AB的长．证明：（1）∵AB∥DC，∴∠A=∠C，在△ABE与△CDF中，∴△ABE≌△CDF（ASA）；（2）∵点E，G分别为线段FC，FD的中点，∴ED=CD，∵EG=5，∴CD=10，∵△ABE≌△CDF，∴AB=CD=10．23．（2018•娄底）如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼BC高达452m，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼DE高340m，为了测量高楼BC上发射塔AB 的高度，在楼DE底端D点测得A的仰角为α，sinα=，在顶端E点测得A的仰角为45°，求发射塔AB的高度．解：作EH⊥AC于H，则四边形EDCH为矩形，∴EH=CD，设AC=24x，在Rt△ADC中，sinα=，∴AD=25x，由勾股定理得，CD==7x，∴EH=7x，在Rt△AEH中，∠AEH=45°，∴AH=EH=7x，由题意得，24x=7x+340，解得，x=20，则AC=24x=480，∴AB=AC﹣BC=480﹣452=28，答：发射塔AB的高度为28m．24．（2018•湘西州）如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C．经测量，C位于A的北偏东60°的方向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB=10km．（1）求景点B与C的距离；（2）为了方便游客到景点C游玩，景区管委会准备由景点C向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号）解：（1）如图，由题意得∠CAB=30°，∠ABC=90°+30°=120°，∴∠C=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=30°，∴∠CAB=∠C=30°，∴BC=AB=10km，即景点B、C相距的路程为10km．（2）过点C作CE⊥AB于点E，∵BC=10km，C位于B的北偏东30°的方向上，∴∠CBE=60°，在Rt△CBE中，CE=km．。
2018年全国各地中考数学试题《三角形》专题汇编(word版)
⎩ ⎨ ⎩ 2018 年全国各地中考数学试题《三角形》专题汇编解答题1.2018 年四川宜宾 18．（6 分）如图，已知∠1=∠2，∠B =∠D ，求证：CB =CD ． 【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】由全等三角形的判定定理 AAS 证得△ ABC ≌△ADC ，则其对应边相等．【解答】证明：如图，∵∠1=∠2， ∴∠ACB =∠ACD ． 在△ ABC 与△ ADC 中，⎧∠B = ∠D ⎪∠ACB = ∠ACD ， ⎪ AC = AC∴△ABC ≌△ADC （AAS ）， ∴CB =CD ．【点评】考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共 角，必要时添加适当辅助线构造三角形．2. 2018•南充 18．（6 分）如图，已知 AB =AD ，AC =AE ，∠BAE =∠DAC 求证：∠C =∠E ．【考点】KD ：全等三角形的判定与性质． 【专题】14 ：证明题；553：图形的全等．【分析】由∠BAE =∠DAC 可得到∠BAC =∠DAE ，再根据“SAS ”可判断△ BAC ≌△DAE ，根据全等的性质即可得到∠C =∠E ． 【解答】解：∵∠BAE =∠DAC ，∴∠BAE ﹣∠CAE =∠DAC ﹣∠CAE ，即∠BAC =∠DAE ， 在△ ABC 和△ ADE 中，⎧ A B = AD ⎪∠BAC = ∠ADE ⎪ AC = AE∴△ABC ≌△ADE （SAS ）， ∴∠C =∠E ．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判断三角形全等的方法有“SS S ”、“SA S ”、“ASA ”、“AA S ”； 全等三角形的对应角相等，对应边相等．3.2018•泸州 18．（6 分）如图，EF =BC ，DF =AC ，DA =EB ．求证：∠F =∠C ． 【考点】KD ：全等三角形的判定与性质． 【专题】552：三角形．．⎨【分析】欲证明∠F =∠C ，只要证明△ ABC ≌△DEF （SSS ）即可；【解答】证明：∵DA =BE ， ∴DE =AB ，在△ ABC 和△ DEF 中，AB DEAC DF BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DEF （SSS ）， ∴∠C =∠F ．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考基 础题目．4.2018 重庆 B 卷 19.如图，AB// CD ， △ EFG 的顶点 F ，G 分别落在直线 AB ，CD 上，GE 交 AB 于点 H ， GE 平分∠FGD.若∠EFG=90°，∠E=35°，求∠EFB 的度数. 【答案】20°【考点】直角三角形性质、平行线的性质以及三角形外角的定理.【 解 析 】【 分 析 】 由 ∠EFG=90° ， ∠E=35° ， 可 得 ∠EGF=55° ， 再 由 GE 是 ∠FGD 的 平 分 线 推 出 ∠EGD=∠EGF=55°，然后由 AB ∥CD 可得∠EHB=∠EGD=55°，再由三角形外角的性质得出结论. 【详解】：在△ EFG 中，∵∠EFG=90°，∠E=35°∴∠EGF=55°. ∵GE 平分∠FGD ， ∴∠EGD=∠EGF=55° ∵AB ∥CD∴∠EHB=∠EGD=55°. ∴∠EFB=∠EHB －∠E=20°.【点评】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理，利用平行线性质、角平分线性质以及三角形外角 定理求角度.5.2018 重庆 A 卷 19. 如图，直线 AB //CD ，BC 平分∠ABD ，∠1=54°，求∠2 的度数. 【答案】72°【解析】∵ AB //CD ，∠1=54°∴ ∠ABC =∠1=54° ∵ BC 平分∠ABD∴ ∠DBC =∠ABC =54°∴ ∠ABD=∠ABC +∠DBC =54°+54°=108° ∵ ∠ABD +∠CDB =180° ∴ ∠CDB =180°-∠ABD=72° ∵ ∠2=∠CDB ∴ ∠2=72°， 【点评】本题考查了平行线的性质，利用平行线性质以及角平分线性质求角度.6.2018陕西18.如图，AB ∥CD ，E 、F 分别为AB 、CD 上的点，且EC ∥BF ，连接AD ，分别与EC 、BF 相交与点G 、 H ，若AB ＝CD ，求证：AG ＝DH ．证明：∵AB ∥CD ，∴∠A ＝∠D ∵CE ∥BF ，∴∠AHB ＝∠DGC 在∆ABH 和∆DCG 中， ⎪⎧∠A ＝∠D ∵⎨∠AHB ＝∠DGC ⎩⎪AB ＝CD ∴∆ABH ≌∆DCG (AAS )，∴AH ＝DG ∵AH ＝AG ＋GH ，DG ＝DH ＋GH ，∴AG ＝HDA EBGHCF7.2018 年四川乐山 19．如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BC=BD ． 【分析】根据 ASA 证明△ ADB ≌△ACB ，可得结论．【解答】证明：∵∠ABD+∠3=180°∠ABC+∠4=180°，且∠3=∠4，∴∠ABD=∠ABC 在△ ADB 和△ ACB 中12AB ABABD ABC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADB ≌△ACB （ASA ）， ∴BD=CD ．【点评】本题考查了三角形外角的性质、三角形全等的性质和判定，熟练掌握三角形全等的判定是关键．8.2018 年山东省菏泽 17．（6 分）如图，AB ∥CD ，AB=CD ，CE= B F ．请写出 DF 与 AE 的数量关系， 并证明你的结论．【考点】KD ：全等三角形的判定与性质．所有【分析】结论：DF=AE ．只要证明△ CDF ≌△BAE 即可；【解答】解：结论：DF=AE ． 理由：∵AB ∥CD ， ∴∠C=∠B ， ∵CE=BF ，∴CF=BE ，∵CD=AB ， ∴△CDF ≌△BAE ， ∴DF=AE ．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常 考题型．9.2018 年云南 16．（6.00 分）如图，已知 AC 平分∠BAD ，AB=AD ．求证：△ ABC ≌△AD C ．⎨ ⎩ ⎨ ⎩ 【分析】根据角平分线的定义得到∠BAC=∠DAC ，利用 SAS 定理判断即可． 【解答】证明：∵AC 平分∠BAD ， ∴∠BAC=∠DAC ， 在△ ABC 和△ ADC 中，AB AD BAC DAC AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△ADC ．【点评】本题考查的是全等三角形的判定、角平分线的定义，掌握三角形全等的 SAS 定理是解题的关键． 10.2018•武汉 18．（8 分）如图，点 E 、F 在 BC 上，BE =CF ，AB =DC ，∠B =∠C ，AF 与 DE 交于点 G ， 求证：GE =GF ．【考点】KD ：全等三角形的判定与性质． 【专题】14 ：证明题．【分析】求出 BF =CE ，根据 SAS 推出△ ABF ≌△DCE ，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论． 【解答】证明：∵BE =CF ， ∴BE +EF =CF +EF ， ∴BF =CE ，在△ ABF 和△ DCE 中⎧ A B = DC ⎪∠B = ∠C ⎪BF = CE∴△ABF ≌△DCE （SAS ）， ∴∠GEF =∠GFE ， ∴EG =FG ．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解 题的关键．11．2018 广西柳州（6.00 分）如图，AE 和 BD 相交于点 C ，∠A=∠E ，AC=EC ．求证：△ ABC ≌△EDC ．【分析】依据两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等进行判断． 【解答】证明：∵在△ ABC 和△ EDC 中，⎧∠A = ∠E ⎪AC = EC ⎪∠ACB = ∠ECD∴△ABC ≌△EDC （AS A ）．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．⎨ ⎩ ⎨ ⎩ 12.2018 广西桂林 21. 如图，点 A 、D 、C 、F 在同一条直线上， AD=CF ，AB=DE ，BC=EF. (1)求证：ΔABC ≌DEF ； (2)若∠A=55°，∠B=88°，求∠F 的度数.【答案】（1）证明见解析；（2）37°【解析】分析：（1）先证明 AC=DF ，再运用 SSS 证明△ ABC ≌△DEF ；（2）根据三角形内角和定理可求∠ACB=37°，由（1）知∠F=∠ACB ，从而可得结论. （1）∵AC=AD+DC ， DF=DC+CF ，且 AD=CF ∴AC=DF在△ ABC 和△ DEF 中，⎧ A B = DE ⎪BC = EF ⎪ AC = DF∴△ ABC ≌△DEF （SSS ）（2）由（1）可知，∠F=∠ACB ∵∠A=55°，∠B=88°∴∠ACB=180°－（∠A+∠B ）=180°－（55°+88°）=37° ∴∠F=∠ACB=37°点睛：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注 意：AAA 、SS A 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应 相等时，角必须是两边的夹角．13.2018•广州 18．（9 分）如图，AB 与 CD 相交于点 E ，AE=CE ，DE=BE ． 求证：∠A =∠C ．【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】三角形．【分析】根据 AE =EC ，DE =BE ，∠AED 和∠CEB 是对顶角，利用 SAS 证明△ ADE ≌△CBE 即可．【解答】证明：在△ AED 和△ CEB 中，⎧ A E = CE ⎪∠AED = ∠CEB ， ⎪DE = BE∴△AED ≌△CEB （SAS ），∴∠A=∠C （全等三角形对应角相等）．【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质这一知识点的理解和掌握，此题难度不大，要求学 生应熟练掌握．14.2018 徐州巿 21．（7.00 分）（A 类）已知如图，四边形 ABCD 中，AB=BC ，AD=CD ， 求证：∠A=∠C ．（B 类）已知如图，四边形 ABCD 中，AB= B C ，∠A=∠C ，求证：AD=CD ． 【分析】（A 类）连接 AC ，由 AB=AC 、AD=CD 知 ∠BAC=∠BCA 、∠D A C=∠DCA ，两等式相加即可得； （B 类）由以上过程反之即可得． 【解答】证明：（A 类）连接 AC ， ∵AB=AC ，AD=CD ，∴∠BAC=∠BCA ，∠D A C=∠DCA ，∴∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA ，即∠A=∠C ； （B 类）∵AB=AC ， ∴∠BAC=∠BCA ，又∵∠A=∠C ，即∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠D C A ， ∴∠DAC=∠DCA ， ∴AD=CD ． 【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等角对等边、等边对等角的性质．15.2018 年江苏苏州 21．（6.00 分）如图，点 A ，F ，C ，D 在一条直线上， AB ∥DE ，AB=DE ，AF=DC ．求证：BC ∥EF ．【分析】由全等三角形的性质 SAS 判定△ABC ≌△DEF ，则对应角∠ACB=∠DFE ，故证得结论． 【解答】证明：∵AB ∥DE ， ∴∠A=∠D ， ∵AF=DC ， ∴AC=DF ．∴在△ABC 与△DEF 中，AB DE A D AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△DEF （SAS ），∴∠ACB=∠DFE ， ∴BC ∥EF ．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全 等的条件，属于中考常考题型．16．2018•泰州（8 分）如图，∠A=∠D=90°，AC=DB ，AC 、DB 相交于点 O求证：OB=OC ．⎨⎩ 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】三角形．【分析】因为∠A=∠D=90°，AC= B D ，BC= B C ，知 Rt △ B AC ≌Rt △ C D B （HL ），所以 AB= C D ，证明△ A BO与△CDO 全等，所以有 OB=OC ．【解答】证明：在 Rt △ABC 和 Rt △DCB 中BD AC BC CB =⎧⎨=⎩∴Rt △ABC ≌Rt △DCB （HL ），∴∠OBC=∠OCB ， ∴BO=CO ．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相 等的重要工具．关键．17.2018 常州 21.如图，把△ABC 沿 BC 翻折得△DBC ，（1）连接 AD ，则 BC 与 AD 的位置关系？ 【考点】全等三角形的判定与性质.【专题】三角形. 【分析】连接 AD 交 BC 于点 E ，因为把△ABC 沿 BC 翻折得△D B C ，可得△BAC ≌△BD C ，从而得∠1=∠2，再由三角形全等判定 SAS 定理得出△ A BE ≌△D B E ，然后得出 BC ⊥AD ，且 BC 平分 AD. 【解答】连接 AD 交 BC 于点 E ，因为把△ABC 沿 BC 翻折得△DBC ，可得△BAC ≌△BDC ，∴∠1=∠2.在△ABE 和△DBE 中 ，⎧ A B = DB ∵ ⎪∠1 = ∠2 ⎪BE = BE∴△ABE ≌△DBE （S A S ）. ∴∠AEB=∠DEB ，AE=DE. 由∠AEB+∠DEB=180° ∴∠AEB=∠DEB=90°. ∴BC ⊥AD ，且 BC 平分 AD.【点评】本题考查的是全等三角形的判定、角平分线的定义，掌握三角形全等的 SAS 定理是解题的关键． 18.2018 莆田 19.在△ ABC 中，D 是 AB 的中点，E 是 CD 的中点.过的 C 作 CF ∥AB 交 AE 的延长线于点 F ，连接 BF.求证：DB =CF .⎨ ⎩ 【考点】全等三角形的判定与性质、平行线的性质． 【专题】三角形【分析】根据 E 为 CD 的中点，得 CE =DE ，∠AED 和∠CEF 是对顶角，CF ∥AB ，可得∠EDA =∠ECF ，利用 ASA 证明△ ADE ≌△F CE ，可得 AD =FC ，因为 D 为 AB 的中点，可得 AD =BD 即可得出结论． 【解答】证明：∵E 为 CD 的中点，∴CE =DE ，∵∠AED 和∠CEF 是对顶角， ∴∠AED =∠CEF . ∵CF ∥AB ， ∴∠EDA =∠ECF . 在△ EDA 和△ ECF 中，⎧∠EDA = ∠ECF∵ ⎪ED = EC⎪∠AED = ∠FEC∴AD =FC∵D 为 AB 的中点， ∴AD =BD .∴DB =CF .【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，属于简单题型.19..2018•河北 23．（9.00 分）如图，∠A=∠B=50°，P 为 AB 中点，点 M 为射线 AC 上（不与点 A 重合） 的任意点，连接 MP ，并使 MP 的延长线交射线 BD 于点 N ， 设∠BPN=α．（1）求证：△APM ≌△BPN ； （2）当 MN=2BN 时，求 α 的度数；（3）若△BPN 的外心在该三角形的内部，直接写出 α 的取值范围． 【考点】MR ：圆的综合题． 【专题】152：几何综合题．【分析】（1）根据 AAS 证明：△APM ≌△BPN ；（2）由（1）中的全等得：MN=2PN ，所以 PN=BN ，由等边对等角可得结论；（3）三角形的外心是外接圆的圆心，三边垂直平分线的交点，直角三角形的外心在直角顶点上，钝角三角 形的外心在三角形的外部，只有锐角三角形的外心在三角形的内部，所以根据题中的要求可知：△BPN 是 锐角三角形，由三角形的内角和可得结论． 【解答】（1）证明：∵P 是 AB 的中点， ∴PA=PB ，在△APM 和△BPN 中，A B APM BPM PA PB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△APM ≌△BPN ； （2）解：由（1）得：△APM ≌△BPN ， ∴PM=PN ， ∴MN=2PN ， ∵MN=2BN ，∴BN=PN ，∴α=∠B=50°；（3）解：∵△BPN 的外心在该三角形的内部， ∴△BPN 是锐角三角形， ∵∠B=50°，∴40°＜∠BPN ＜90°，即 40°＜α＜90°． 【点评】本题是三角形和圆的综合题，主要考查了三角形全等的判定，利用其性质求角的度数，结合三角形外接圆的知识确定三角形的形状，进而求出角度，此题难度适中，但是第三问学生可能考虑不到三角形 的形状问题，而出错．20.2018 浙江台州 22．（12.00 分）如图，在 Rt △ ABC 中，AC= B C ，∠ACB=90°，点 D ，E 分别在 AC ，BC 上，且 CD=CE ．（1）如图 1，求证：∠CAE=∠CBD ；（2）如图 2，F 是 BD 的中点，求证：AE ⊥CF ；（3）如图 3，F ，G 分别是 BD ，AE 的中点，若 AC=22，CE=1，求△ CGF 的面积．【分析】（1）直接判断出△ ACE ≌△BCD 即可得出结论；（2）先判断出∠BCF=∠CBF ，进而得出∠BCF=∠CAE ，即可得出结论；（3）先求出 BD=3，进而求出 CF=32 ，同理：EG=32，再利用等面积法求出 ME ，进而求出 GM ，最后用面积公式即可得出结论．【解答】解：（1）在△ ACE 和△ BCD 中，AC BCACB ACB CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△BCD ， ∴∠CAE=∠CBD ；（2）如图 2，在 Rt △ BCD 中，点 F 是 BD 的中点，∴CF=BF ，，， ， ∴∠BCF=∠CBF ，由（1）知，∠CAE=∠CBD ， ∴∠BCF=∠CAE ，∴∠CAE+∠ACF=∠BCF+∠ACF=∠BAC=90°， ∴∠AMC=90°，∴AE ⊥CF. （3）如图 3，∵AC=22，∴BC=AC=2 2 ∵CE=1，∴CD=CE=1，在 Rt △ BCD 中，根据勾股定理得，BD= 22CD BC =3， ∵点 F 是 BD 中点，∴CF=DF=12BD=32，同理：EG=12AE= 32连接 EF ，过点 F 作 FH ⊥BC ， ∵∠ACB=90°，点 F 是 BD 的中点，∴FH=12CD=12， ∴S △ CEF =12CE •FH= 12× 1×12= 14由（2）知，AE ⊥CF ，∴S △ CEF =12CF •ME= 12×32ME=34ME ∴34ME=14，∴ME= 13，∴GM=EG ﹣ME=32-13= 76， ∴S △ CFG = 12CF •GM=12×32×76=78．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的中位 线定理，三角形的面积公式，勾股定理，作出辅助线求出△ CFG 的边 CF 上的是解本题的关键．21.2018 浙江宁波 23．（10 分）如图，在△ ABC 中，∠ACB=90°，AC= B C ，D 是 AB 边上一点（点 D与 A ，B 不重合），连结 CD ，将线段 CD 绕点 C 按逆时针方向旋转 90°得 到线段 CE ，连结 DE 交 BC 于点 F ，连接 BE ． （1）求证：△ ACD ≌△BCE ；（2）当 AD=BF 时，求∠BEF 的度数．【分析】（1 ） 由题意 可知：CD=CE ，∠DCE=90°， 由于∠ACB=90°，所以∠ACD=∠ACB ﹣∠D C B ， ∠BCE=∠DCE ﹣∠DCB ，所以∠ACD=∠BCE ，从而可证明△ ACD ≌△BCE （S A S ）⎨ ⎩ （2）由△ ACD ≌△BCE （SAS ）可知：∠A=∠CBE=45°，BE= B F ，从而可求出∠BEF 的度数．【解答】解：（1）由题意可知：CD=CE ，∠DCE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD=∠ACB ﹣∠DCB ，∠BCE=∠DCE ﹣∠DCB ，∴∠ACD=∠BCE ，在△ ACD 与△ BCE 中，⎧ A C = BC ⎪∠ACD = ∠BCE ⎪CD = CE∴△ACD ≌△BCE （SAS ）（2）∵∠ACB=90°，AC=BC ，∴∠A=45°，由（1）可知：∠A=∠CBE=45°，∵AD=BF ，∴BE=BF ，∴∠BEF=67.5°【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与 性质，本题属于中等题型．22.2018 浙江温州 18. ( 10 分 ) 如图，在四边形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，AD//EC ，∠AED=∠B ．（1）求证：△ AED ≌△EBC ．（2）当 AB=6 时，求 CD 的长．【答案】（1）证明 ：∵AD ∥EC∴∠A=∠BEC∵E 是 AB 中点，∴AE=BE∵∠AED=∠B∴△AED ≌△EBC（2）解 ：∵△AED ≌△EBC , ∴AD=EC∵AD ∥EC∴四边形 AECD 是平行四边形∴CD=AE∵AB=6 ,∴CD= 12AB=3. 【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质【解析】【分析】（1）根据二直线平行同位角相等得出∠A=∠BEC ，根据中点的定义得出 AE= B E ，然后由 ASA 判断出△ AED ≌△EBC ；⎩ （2）根据全等三角形对应边相等得出 AD= E C ，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出 四边形 AECD 是平行四边形，根据平行四边形的对边相等得出答案。
2018中考数学专题复习 全等三角形压轴题分类解析(无答案)
三角形综合题归类考点：利用角相等证明垂直1. 已知BE ，CF 是△ABC 的高，且BP=AC ，CQ=AB ，试确定AP 与AQ 的数量关系和位置关系2. 如图，在等腰R t△ABC 中，∠ACB =90°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF ．(1)求证：CD=BF ；(2)求证：AD ⊥CF ；(3)连接AF ，试判断△ACF 的形状.拓展巩固：如图9所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ．3. 如图1，已知正方形ABCD 的边CD 在正方形DEFG 的边DE 上，连接AE ，GC . （1）试猜想AE 与GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论；（2）将正方形DEFG 绕点D 按顺时针方向旋转，使E 点落在BC 边上，如图2，连接AE 和GC .你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.BAC E FQPD A BCDEF图9ABCDE F4.如图1，ABC ∆的边BC 在直线l 上，,AC BC ⊥且,AC BC =EFP ∆的边FP 也 在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP =（1） 在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的 数量关系和位置关系；（2） 将EFP ∆沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交AC 于点Q ,连接 ,AP BQ .猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； （3）将EFP ∆沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长 线于点Q,连结,AP BQ ,你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.等腰三角形（中考重难点之一） 考点1：等腰三角形性质的应用1. 两个全等的含30，60角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，,,E A C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 的中点M ，连结,ME MC ．试判断EMC ∆的形状，并说明理由． MED CBA压轴题拓展：（三线合一性质的应用）已知Rt ABC ∆中，AC BC =，90C ∠=︒，D 为AB 边的中点，90EDF ∠=︒，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．l(1)A B(F) (E)C PABECFPQ (2) lABEC FP l(3)Q当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证12DEF CEF ABC S S S ∆∆∆+=．当EDF ∠绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，DEF S ∆，CEF S ∆，ABC S ∆又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．FEDCBA图1AECF BD图2AECFBD图32. 已知：如图，△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G 。
5.14三角形综合题(第5部分)2018年中考数学试题分类汇编(山东四川word解析版)
第五部分图形的性质5.14 三角形综合题【一】知识点清单三角形综合题【二】分类试题汇编及参考答案与解析一、选择题1．（2018年山东省东营市-第10题-3分）如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，AB=AC．给出下列结论：①BD=CE；②∠ABD+∠ECB=45°；③BD⊥CE；④BE2=2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（）A．①②③④B．②④C．①②③D．①③④【知识考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．【思路分析】只要证明△DAB≌△EAC，利用全等三角形的性质即可一一判断；【解答过程】解：∵∠DAE=∠BAC=90°，∴∠DAB=∠EAC∵AD=AE，AB=AC，∴△DAB≌△EAC，∴BD=CE，∠ABD=∠ECA，故①正确，∴∠ABD+∠ECB=∠ECA+∠ECB=∠ACB=45°，故②正确，∵∠ECB+∠EBC=∠ABD+∠ECB+∠ABC=45°+45°=90°，∴∠CEB=90°，即CE⊥BD，故③正确，∴BE2=BC2﹣EC2=2AB2﹣（CD2﹣DE2）=2AB2﹣CD2+2AD2=2（AD2+AB2）﹣CD2．故④正确，故选：A．【总结归纳】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．2．（2018年四川省绵阳市-第11题-3分）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若的面积为（）A B．3C1D．3【知识考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【思路分析】如图设AB交CD于O，连接BD，作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N．想办法求出△AOB 的面积．再求出OA与OB的比值即可解决问题；【解答过程】解：如图设AB交CD于O，连接BD，作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N．∵∠ECD=∠ACB=90°，∴∠ECA=∠DCB，∵CE=CD，CA=CB，∴△ECA≌△DCB，∴∠E=∠CDB=45°，AE=BD=，∵∠EDC=45°，∴∠ADB=∠ADC+∠CDB=90°，在Rt△ADB中，AB==2，∴AC=BC=2，∴S△ABC=×2×2=2，∵OD平分∠ADB，OM⊥DE于M，ON⊥BD于N，∴OM=ON，∵====，∴S△AOC=2×=3﹣，故选：D．【总结归纳】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法确定线段之间的关系，属于中考选择题中的压轴题．3．（2018年四川省达州市-第8题-3分）如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC 的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为（）A．32B．2 C．52D．3【知识考点】等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理．【思路分析】证明△BNA≌△BNE，得到BA=BE，即△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可．【解答过程】解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，∴∠NBA=∠NBE，∠BNA=∠BNE，在△BNA和△BNE中，∴△BNA≌△BNE，∴BA=BE，∴△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），∴MN是△ADE的中位线，∵BE+CD=AB+AC=19﹣BC=19﹣7=12，∴DE=BE+CD﹣BC=5，∴MN=DE=．故选：C．【总结归纳】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．二、填空题1．（2018年四川省绵阳市-第18题-3分）如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB=．【知识考点】三角形的重心；勾股定理．【思路分析】利用三角形中线定义得到BD=2，AE=，且可判定点O为△ABC的重心，所以AO=2OD，OB=2OE，利用勾股定理得到BO2+OD2=4，OE2+AO2=，等量代换得到BO2+AO2=4，BO2+AO2=，把两式相加得到BO2+AO2=5，然后再利用勾股定理可计算出AB的长．【解答过程】解：∵AD、BE为AC，BC边上的中线，∴BD=BC=2，AE=AC=，点O为△ABC的重心，∴AO=2OD，OB=2OE，∵BE⊥AD，∴BO2+OD2=BD2=4，OE2+AO2=AE2=，∴BO2+AO2=4，BO2+AO2=，∴BO2+AO2=，∴BO2+AO2=5，∴AB==．故答案为．【总结归纳】本题考查了重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了勾股定理．2．（2018年四川省泸州市-第16题-3分）如图，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为．【知识考点】轴对称﹣最短路线问题；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【思路分析】如图作AH⊥BC于H，连接AD．由EG垂直平分线段AC，推出DA=DC，推出DF+DC=AD+DF，可得当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长；【解答过程】解：如图作AH⊥BC于H，连接AD．∵EG垂直平分线段AC，∴DA=DC，∴DF+DC=AD+DF，∴当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长，∵•BC•AH=120，∴AH=12，∵AB=AC，AH⊥BC，∴BH=CH=10，∵BF=3FC，∴CF=FH=5，∴AF===13，∴DF+DC的最小值为13．故答案为13．【总结归纳】本题考查轴对称﹣最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称，解决最短问题，属于中考常考题型．3．（2018年四川省德阳市-第16题-3分）如图，点D为△ABC的AB边上的中点，点E为AD的中点，△ADC为正三角形，给出下列结论，①CB=2CE，②tan∠B=34，③∠ECD=∠DCB，④若AC=2，点P是AB上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d1，d2，则d12+d22的最小值是3．其中正确的结论是（填写正确结论的番号）．【知识考点】角平分线的性质；等边三角形的性质；解直角三角形．【思路分析】由题意可得△BCE是含有30°的直角三角形，根据含有30°的直角三角形的性质可判断①②③，易证四边形PMCN是矩形，可得d12+d22=MN2=CP 2，根据垂线段最短，可得CP的值即可求d12+d22的最小值，即可判断④．【解答过程】解：∵D是AB中点∴AD=BD∵△ACD是等边三角形，E是AD中点∴AD=CD，∠ADC=60°=∠ACD，CE⊥AB，∠DCE=30°∴CD=BD∴∠B=∠DCB=30°，且∠DCE=30°，CE⊥AB∴∠ECD=∠DCB，BC=2CE，tan∠B=故①③正确，②错误∵∠DCB=30°，∠ACD=60°∴∠ACB=90°若AC=2，点P是AB上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d1，d2，∴四边形PMCN是矩形∴MN=CP∵d12+d22=MN2=CP2∴当CP为最小值，d12+d22的值最小∴根据垂线段最短，则当CP⊥AB时，d12+d22的值最小此时：∠CAB=60°，AC=2，CP⊥AB∴CP=∴d12+d22=MN2=CP2=3即d12+d22的最小值为3故④正确故答案为①③④【总结归纳】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质和判定，利用垂线段最短求d12+d22的最小值是本题的关键．三、解答题1．（2018年山东省日照市-第22题-13分）问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，则：AC=12 AB．探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．（1）如图1，连接AB边上中线CE，由于CE=12AB，易得结论：①△ACE为等边三角形；②BE与CE之间的数量关系为．（2）如图2，点D是边CB上任意一点，连接AD，作等边△ADE，且点E在∠ACB的内部，连接BE．试探究线段BE与DE之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，在（2）条件的基础上，线段BE与DE之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论．拓展应用：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等边△ABC，当C点在第一象限内，且B（2，0）时，求C点的坐标．【知识考点】三角形综合题．【思路分析】探究结论：（1）只要证明△ACE是等边三角形即可解决问题；（2）如图2中，结论：ED=EB．想办法证明EP垂直平分线段AB即可解决问题；（3）结论不变，证明方法类似；拓展应用：利用（2）中结论，可得CO=CB，设C（1，n），根据OC=CB=AB，构建方程即可解决问题；【解答过程】解：探究结论（1）如图1中，∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠A=60°，∵AC=AB=AE=EB，∴△ACE是等边三角形，∴EC=AE=EB，故答案为EC=EB．（2）如图2中，结论：ED=EB．理由：连接PE．∵△ACP，△ADE都是等边三角形，∴AC=AD=DE，AD=AE，∠CAP=∠DAE=60°，∴∠CAD=∠PAE，∴△CAD≌△PAE，∴∠ACD=∠APE=90°，∴EP⊥AB，∵PA=PB，∴EA=EB，∵DE=AE，∴ED=EB．（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，同法可证：ED=EB，故答案为ED=EB．拓展应用：如图3中，作AH⊥x轴于H，CF⊥OB于F，连接OA．∵A（﹣，1），∴∠AOH=30°，由（2）可知，CO=CB，∵CF⊥OB，∴OF=FB=1，∴可以假设C（1，n），∵OC=BC=AB，∴1+n2=1+（+2）2，∴n=2+，∴C（1，2+）．【总结归纳】本题考查三角形综合题、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．2．（2018年山东省淄博市-第23题-9分）（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是；位置关系是．（2）类比思考：如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．（3）深入研究：如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．【知识考点】三角形综合题．【思路分析】（1）利用SAS判断出△ACD≌△AEB，得出CD=BE，∠ADC=∠ABE，进而判断出∠BDC+∠DBH=90°，即：∠BHD=90°，最后用三角形中位线定理即可得出结论；（2）同（1）的方法即可得出结论；（3）同（1）的方法得出MG=NG，最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论．【解答过程】解：（1）连接BE，CD相较于H，∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°∴∠CAD=∠BAE，∴△ACD≌△AEB（SAS），∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°，∴∠BHD=90°，∴CD⊥BE，∵点M，G分别是BD，BC的中点，∴MG CD，同理：NG BE，∴MG=NG，MG⊥NG，故答案为：MG=NG，MG⊥NG；（2）连接CD，BE，相较于H，同（1）的方法得，MG=NG，MG⊥NG；（3）连接EB，DC，延长线相交于H，同（1）的方法得，MG=NG，同（1）的方法得，△ABE≌△ADC，∴∠AEB=∠ACD，∴∠CEH+∠ECH=∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE=∠ACD﹣45°+180°﹣∠ACD﹣45°=90°，∴∠DHE=90°，同（1）的方法得，MG⊥NG．【总结归纳】此题是三角形综合题，主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的中位线定理，正确作出辅助线用类比的思想解决问题是解本题的关键．3．（2018年四川省自贡市-第25题-12分）如图，已知∠AOB=60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．【知识考点】几何变换综合题．【思路分析】（1）先判断出∠OCE=60°，再利用特殊角的三角函数得出OD=OC，同OE=OC，即可得出结论；（2）同（1）的方法得OF+OG=OC，再判断出△CFD≌△CGE，得出DF=EG，最后等量代换即可得出结论；（3）同（2）的方法即可得出结论．【解答过程】解：（1）∵OM是∠AOB的角平分线，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=30°，∵CD⊥OA，∴∠ODC=90°，∴∠OCD=60°，∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=60°，在Rt△OCD中，OD=OE•cos30°=OC，同理：OE=OC，∴OD+OD=OC；（2）（1）中结论仍然成立，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=60°，∴∠FCG=120°，同（1）的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG，∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG，∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，∴OD+OE=OC；（3）（1）中结论不成立，结论为：OE﹣OD=OC，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=60°，∴∠FCG=120°，同（1）的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG，∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG，∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，∴OE﹣OD=OC．【总结归纳】此题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的定义和定理，全等三角形的判定和性质，特殊角的三角函数直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．4．（2018年四川省阿坝州/甘孜州-第27题-10分）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E分别在AB，BC上，∠EAD=∠EDA，点F为DE的延长线与AC的延长线的交点．（1）求证：DE=EF；（2）判断BD和CF的数量关系，并说明理由；（3）若AB=3，BD的长．【知识考点】三角形综合题．【思路分析】（1）只要证明EA=ED，EA=EF即可解决问题；（2）结论：BD=CF．如图2中，在BE上取一点M，使得ME=CE，连接DM．想办法证明DM=CF，DM=BD即可；（3）如图3中，过点E作EN⊥AD交AD于点N．设BD=x，则DN=，DE=AE=，由∠B=45°，EN⊥BN．推出EN=BN=x+=，在Rt△DEN中，根据DN2+NE2=DE2，构建方程即可解决问题；【解答过程】（1）证明：如图1中，∵∠BAC=90°，∴∠EAD+∠CAE=90°，∠EDA+∠F=90°，∵∠EAD=∠EDA，∴∠EAC=∠F，∴EA=ED，EA=EF，∴DE=EF．（2）解：结论：BD=CF．理由：如图2中，在BE上取一点M，使得ME=CE，连接DM．∵DE=EF．∠DEM=∠CEF，EM=EC．∴△DEM≌△FEC，∴DM=CF，∠MDE=∠F，∴DM∥CF，∴∠BDM=∠BAC=90°，∵AB=AC，∴∠DBM=45°，∴BD=DM，∴BD=CF．（3）如图3中，过点E作EN⊥AD交AD于点N．∵EA=ED，EN⊥AD，∴AN=ND，设BD=x，则DN=，DE=AE=，∵∠B=45°，EN⊥BN．∴EN=BN=x+=，在Rt△DEN中，∵DN2+NE2=DE2，∴（）2+（）2=（）2解得x=1或﹣1（舍弃）∴BD=1．【总结归纳】本题考查三角形综合题、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．5．（2018年四川省乐山市-第25题-12分）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别在BC、AC边上，连结BE、AD交于点P，设AC=kBD，CD=kAE，k为常数，试探究∠APE的度数：（1）如图1，若k=1，则∠APE的度数为；（2）如图2，若k=试问（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出∠APE 的度数．（3）如图3，若k=D、E分别在CB、CA的延长线上，（2）中的结论是否成立，请说明理由．【知识考点】三角形综合题．【思路分析】（1）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出△FAE≌△ACD，得出EF=AD=BF，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论；（2）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出△FAE∽△ACD，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论；（3）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出△ACD∽△HEA，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论；【解答过程】解：（1）如图1，过点A作AF∥CB，过点B作BF∥AD相交于F，连接EF，∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90°，四边形ADBF是平行四边形，∴BD=AF，BF=AD，∵AC=BD，CD=AE，∴AF=AC，∵∠FAC=∠C=90°，∴△FAE≌△ACD，∴EF=AD=BF，∠FEA=∠ADC，∵∠ADC+∠CAD=90°，∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EHD，∵AD∥BF，∴∠EFB=90°，∵EF=BF，∴∠FBE=45°，∴∠APE=45°，故答案为：45°．（2）（1）中结论不成立，理由如下：如图2，过点A作AF∥CB，过点B作BF∥AD相交于F，连接EF，∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90°，四边形ADBF是平行四边形，∴BD=AF，BF=AD，∵AC=BD，CD=AE，∴，∵BD=AF，∴，∵∠FAC=∠C=90°，∴△FAE∽△ACD，∴=，∠FEA=∠ADC，∵∠ADC+∠CAD=90°，∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EMD，∵AD∥BF，∴∠EFB=90°，在Rt△EFB中，tan∠FBE=，∴∠FBE=30°，∴∠APE=30°，（3）（2）中结论成立，如图3，作EH∥CD，DH∥BE，EH，DH相交于H，连接AH，∴∠APE=∠ADH，∠HEC=∠C=90°，四边形EBDH是平行四边形，∴BE=DH，EH=BD，∵AC=BD，CD=AE，∴，∵∠HEA=∠C=90°，∴△ACD∽△HEA，∴，∠ADC=∠HAE，∵∠CAD+∠ADC=90°，∴∠HAE+∠CAD=90°，∴∠HAD=90°，在Rt△DAH中，tan∠ADH==，∴∠ADH=30°，∴∠APE=30°．【总结归纳】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，构造全等三角形和相似三角形的判定和性质．6．（2018年四川省攀枝花市-第23题-12分）如图，在△ABC中，AB=7.5，AC=9，S△ABC=814．动点P从A点出发，沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向B点匀速运动，动点Q从C点同时出发，以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动，当点P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正△PQM（P、Q、M按逆时针排序），以QC为边在AC上方作正△QCN，设点P运动时间为t秒．（1）求cosA的值；（2）当△PQM与△QCN的面积满足S△PQM=94S△QCN时，求t的值；（3）当t为何值时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．【知识考点】三角形综合题．【思路分析】（1）如图1中，作BE⊥AC于E．利用三角形的面积公式求出BE，利用勾股定理求出AE即可解决问题；（2）如图2中，作PH⊥AC于H．利用S△PQM=S△QCN构建方程即可解决问题；（3）分两种情形①如图3中，当点M落在QN上时，作PH⊥AC于H．②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．分别构建方程求解即可；【解答过程】解：（1）如图1中，作BE⊥AC于E．∵S△ABC=•AC•BE=，∴BE=，在Rt△ABE中，AE==6，∴coaA===．（2）如图2中，作PH⊥AC于H．∵PA=5t，PH=3t，AH=4t，HQ=AC﹣AH﹣CQ=9﹣9t，∴PQ2=PH2+HQ2=9t2+（9﹣9t）2，∵S△PQM=S△QCN，∴•PQ2=וCQ2，∴9t2+（9﹣9t）2=×（5t）2，整理得：5t2﹣18t+9=0，解得t=3（舍弃）或．∴当t=时，满足S△PQM=S△QCN．（3）①如图3中，当点M落在QN上时，作PH⊥AC于H．易知：PM∥AC，∴∠MPQ=∠PQH=60°，∴PH=HQ，∴3t=（9﹣9t），∴t=．②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．同法可得PH=QH，∴3t=（9t﹣9），∴t=，综上所述，当t=s或s时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．【总结归纳】本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、勾股定理锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．。
2018年全国用苏科版中考数学复习高频集训(6) 以全等三角形为背景的中档计算题与证明题
[高频集训(六) 以全等三角形为背景的中档计算题与证明题]类型一全等三角形开放探究1．【2016·怀化】如图G6－1，已知AD＝BC，AC＝BD．(1)求证：△ADB≌△BCA；(2)OA与OB相等吗？若相等，请说明理由．图G6－12．【2017·莱芜】己知△ABC与△DEC是两个大小不同的等腰直角三角形．(1)如图G6－2①所示，连接AE、DB．试判断线段AE和DB的数量和位置关系，并说明理由；(2)如图②所示，连接DB，将线段DB绕D点顺时针旋转90°到DF，连接AF，试判断线段DE和AF的数量和位置关系，并说明理由．图G6－23．【2015·潜江、天门】我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图G6－3，四边形ABCD 是一个筝形，其中AB＝CB，AD＝CD．请你写出与筝形ABCD的角或者对角线有关的一个结论，并证明你的结论．图G6－3类型二全等三角形图形变换探究性问题4．如图G6－4所示，在直角坐标系中，点A的坐标是(0，3)，点C是x轴上的一个动点，点C在x轴上移动时，始终保持△ACP是等边三角形．当点C移动到点O时，得到等边三角形AOB(此时点P与点B重合)．(1)点C在移动的过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时(如图G6－4所示)，求证：△AOC≌△ABP；由此你发现什么结论？(2)求点C在x轴上移动时，点P所在函数图象的表达式．图G6－45．【2017·赤峰】△OPA和△OQB分别是以OP、OQ为直角边的等腰直角三角形，点C、D、E分别是OA、OB、AB的中点．(1)当∠AOB＝90°时，如图G6－5①，连接PE、QE，直接写出EP与EQ的大小关系；(2)将△OQB绕点O逆时针方向旋转，当∠AOB是锐角时，如图②，(1)中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明；(3)仍将△OQB绕点O旋转，当∠AOB为钝角时，延长PC、QD交于点G，使△ABG为等边三角形，如图③，求∠AOB的度数．图G6－56．一节数学课后，老师布置了一道课后练习：如图G6－6，已知在Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BO⊥AC于点O．点P、D分别在AO和BC上，PB＝PD，DE⊥AC于点E．求证：△BPO≌△PDE．(1)理清思路，完成解答．本题证明的思路可以用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程；(2)特殊位置，证明结论．若BP平分∠ABO，其余条件不变，求证：AP＝CD；(3)知识迁移，探索新知．若P是一个动点，当点P运动到OC的中点P′时，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D′，请直接写出CD′与AP′的数量关系．(不必写解答过程)图G6－6参考答案1．【解析】 (1)根据SSS 定理推出全等即可；(2)根据全等得出∠OAB＝∠OBA ，根据等角对等边即可得到结论． 解：(1)证明：在△ADB 和△BCA 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝BC ，AB ＝BA ，BD ＝AC ，∴△ADB ≌△BCA. (2)OA ＝OB.理由：∵△ADB≌△BCA， ∴∠ABD ＝∠BAC， ∴OA ＝OB.2．解：(1)AE ＝DB ，AE ⊥DB.理由：由题意可知，CA ＝CB ，CE ＝CD ，∠ACE ＝∠BCD＝90°， ∴Rt △ACE ≌Rt △BCD. ∴AE ＝DB.延长DB 交AE 于点M ，∵Rt △ACE ≌Rt △BCD ， ∴∠AEC ＝∠BDC.又∵∠AEC＋∠EAC＝90°，∴∠BDC ＋∠EAC＝90°， ∴在△AMD 中，∠AMD ＝180°－90°＝90°， ∴AE ⊥DB.(2)DE ＝AF ，DE ⊥AF.理由：设ED 与AF 相交于点N ，由题意可知，BE ＝AD. ∵∠EBD ＝∠C ＋∠BDC＝90°＋∠BDC， ∠ADF ＝∠BDF＋∠BDC＝90°＋∠BDC， ∴∠EBD ＝∠ADF，又∵DB＝DF ，∴△EBD≌△ADF. ∴DE ＝AF ，∠E ＝∠FAD， ∵∠E ＝45°，∠EDC ＝45°， ∴∠FAD ＝45°.∴∠AND ＝90°. ∴DE ⊥AF.3．解：(1)∠DAB＝∠DCB；(2)BD 平分∠ADC 和∠ABC；(3)DB⊥AC，DB 平分AC.结论(1)的证明：在△ABD 和△CBD 中， ∵AB ＝CB ，AD ＝CD ，DB ＝DB ，∴△ABD ≌△CBD ，∴∠DAB ＝∠DCB. 结论(2)的证明：同上△ABD≌△CBD， ∴∠ADB ＝∠CDB，∠ABD ＝∠CBD. 即BD 平分∠ADC 和∠ABC.结论(3)的证明：∵AD＝CD ，∴点D 在线段AC 的垂直平分线上．同理点B 在线段AC 的垂直平分线上，∴DB ⊥AC ，DB 平分AC.4．【解析】 (1)根据△AOB 与△ACP 都是等边三角形，得到AO ＝AB ，AC ＝AP ，∠CAP ＝∠OAB＝60°.∠CAP ＋∠PAO＝∠OAB＋∠PAO.从而∠CAO＝∠PAB.证明出△AOC≌△ABP.从这两个三角形的全等关系可以判断出点P 在过点B 且与AB 垂直的直线上；(2)由△AOB 是等边三角形，求出点A 和点B 的坐标，当点C 移动到使点P 在y 轴上时，得到点P 的坐标，根据待定系数法求出一次函数的表达式．解：(1)证明：∵△AOB 与△ACP 都是等边三角形， ∴AO ＝AB ，AC ＝AP ，∠CAP ＝∠OAB＝60°， ∴∠CAP ＋∠PAO＝∠OAB＋∠PAO， ∴∠CAO ＝∠PAB. ∴△AOC ≌△ABP.结论：点P 在过点B 且与AB 垂直的直线上或PB⊥AB 或∠ABP＝90°. (2)点P 所在函数图象是过点B 且与AB 垂直的直线．∵△AOB 是等边三角形，A(0，3)，∴B ⎝⎛⎭⎪⎫3 32，32. 当点C 移动到使点P 在y 轴上时，得P(0，－3)．设点P 所在直线的函数表达式为y ＝kx ＋b ，把P 、B 两点的坐标代入，得 ∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，3 32k ＋b ＝32，解得⎩⎨⎧k ＝3，b ＝－3，所以点P 所在函数图象的表达式为y ＝3x －3.5．解：(1)EP ＝EQ.连接OE.∵∠AOB＝90°，E 是AB 的中点， ∴OE ＝AE.又∵OP＝AP ，∴PE 垂直平分OA ， ∵C 为OA 中点，∴点C 在PE 上． ∵∠OPA ＝90°，∴∠OPE ＝12∠OPA＝45°.同理可证∠OQE＝45°.∴EP ＝EQ.(2)成立．∵△OPA 是等腰直角三角形，点C 是OA 的中点， ∴OC ＝PC ，∠PCA ＝90°.∵点C 、D 、E 分别是OA 、OB 、AB 的中点， ∴CE ∥OD ，OC ∥DE.∴四边形ODEC 是平行四边形，∠ACE ＝∠AOD＝∠EDB. ∴OC ＝DE.∴PC ＝DE.同理可证CE ＝DQ ，∠BDQ ＝90°. ∴∠PCE ＝∠EDQ. ∴△PCE ≌△EDQ. ∴EP ＝EQ. (3)连接OG.∵△OPA 是等腰直角三角形，点C 是OA 的中点， ∴OC ＝PC ，∠PCA ＝90°.∴PC 垂直平分OA.∵点G 在PC 上，∴AG ＝OG.同理可证QD 垂直平分OB ，∴BG ＝OG. ∴∠GAO ＝∠GOA，∠GOB ＝∠GBO，∵△ABG 为等边三角形，∴∠AGB ＝60°.∵四边形AOBG 的内角和为360°，∠AOB ＝∠GOA＋∠GOB，∴∠AOB 的度数＝12(四边形的内角和－∠AGB 的度数)＝12(360°－60°)＝150°.6．【解析】 (1)先利用等腰三角形的性质与判定证∠3＝∠4，再根据AAS 证△BPO≌△PDE 即可； (2)先证∠ABP＝∠4，再根据AAS 证明△ABP≌△CPD，即可得出答案； (3)设OP ＝PC ＝x ，求出AP ＝3x ，CD ＝2x 即可得到答案． 解：(1)证明：∵PB＝PD ，∴∠PBD ＝∠2. ∵AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，∴∠C ＝45°.∵BO ⊥AC 于点O ，∴∠1＝45°，∴∠1＝∠C＝45°. ∵∠3＝∠PBD－∠1，∠4＝∠2－∠C， ∴∠3＝∠4.又∵BO⊥AC ，DE ⊥AC ，∴∠BOP ＝∠PED＝90°. ∵PB ＝PD ，∴△BPO ≌△PDE.(2)证明：由(1)可得∠3＝∠4.∵BP 平分∠ABO， ∴∠ABP ＝∠3，∴∠ABP ＝∠4. 又∵∠A＝∠C，PB ＝PD ， ∴△ABP ≌△CPD ， ∴AP ＝CD.(3)CD′与AP′的数量关系是CD′＝23AP′. 理由如下：设OP ＝PC ＝x(如图)，则AO ＝OC ＝2x ＝BO ，AP ＝2x ＋x ＝3x ，由(1)知BO ＝PE ，∴PE ＝2x ，∴CE ＝2x －x ＝x.∵∠E＝90°，∠ECD ＝∠ACB＝45°，∴DE ＝x ，由勾股定理得CD ＝2x ，即AP ＝3x ，CD＝2x，∴CD′与AP′的数量关系是CD′＝23 AP′.。
全国2018年中考数学真题汇总(含答案)
全国2018年中考数学真题汇总（含答案）图形初步、相交线、平行线(20题)一、选择题1.若一个角为，则它的补角的度数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】一个角为，则它的补角的度数为:故答案为：C.【分析】根据补角的定义，若两个角之和为180°，则这两个角互为补角，即可求解。
2.如图，直线a，b被直线c所截，那么∠1的同位角是（）A. ∠2B. ∠3C. ∠4D. ∠5【答案】C【解析】解：∵直线a，b被直线c所截，∴∠1的同位角是∠4故答案为：C【分析】两条直线被第三条直线所截，位于两条直线的同一侧，第三条直线的同旁，呈“F”形的角是同位角，即可得出答案。
3.如图，直线AB∥CD，则下列结论正确的是（）A. ∠1=∠2B. ∠3=∠4C. ∠1+∠3=180°D. ∠3+∠4=180°【答案】D【解析】：如图，∵AB∥CD，∴∠3+∠5=180°，又∵∠5=∠4，∴∠3+∠4=180°，故答案为：D．【分析】根据二直线平行，同旁内角互补得出∠3+∠5=180°，根据对顶角相等及等量代换得出∠3+∠4=180°，4.如图是正方体的表面展开图，则与“前”字相对的字是（）A. 认B. 真C. 复D. 习【答案】B【解析】观察正方形的展开图，可得出与“前”字相对的字是“真”.【分析】观察正方形的展开图，可得出答案。
5.如图,将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中与互余的是（）A. 图①B. 图②C. 图③D. 图④【答案】A【解析】：图①，∠α+∠β=180°﹣90°，互余；图②，根据同角的余角相等，∠α=∠β；图③，根据等角的补角相等∠α=∠β；图④，∠α+∠β=180°，互补．故答案为：A．【分析】根据平角的定义，同角的余角相等，等角的补角相等和邻补角的定义对各小题分析判断即可得解．6.如图，直线被所截，且，则下列结论中正确的是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】：∵a∥b，∴∠3=∠4.故答案为：B.【分析】根据两直线平行，同位角相等，由此即可得出答案.7.如图，点D在△ABC的边AB的延长线上，DE∥BC，若∠A＝35°,∠C＝24°,则∠D的度数是（）。
2018年 中考数学 精选题---全等三角形(含答案)
2018年中考数学精选题作业本全等三角形一、选择题:1.如图,△ABC中,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD与BE相交于F,若BF=AC,则∠ABC大小是（）A．40°B．45°C．50°D．60°2.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，若BC=7，则AE的长为（）A．4 B．5 C．6 D．74.如图，△ABC≌△DEF，DF和AC，FE和CB是对应边.若∠A=100°，∠F=47°，则∠DEF等于( )A．100°B．53°C．47°D．33°5.如图，若△ABC≌△DEF，则∠E等于（）A．30°B． 50°C．60°D．100°6.如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（）A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC7.下列说法正确的是（）A．形状相同的两个三角形全等B．面积相等的两个三角形全等C.完全重合的两个三角形全等D．所有的等边三角形全等8.如图，P是∠AOB平分线上一点，CD⊥OP于F，并分别交OA．OB于CD，则CD（）P点到∠AOB两边距离之和．A．小于B．大于C．等于D．不能确定二、填空题：9.如图，在△ABC中，AB=AC，BE、CF是中线，则由可得△AFC≌△AEB．10.如图所示，△AOB≌△COD，∠AOB=∠COD，∠A=∠C，则∠D的对应角是__________，图中相等的线段有__________.11.如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3= .12.如图，△ABC≌△DCB，A．B的对应顶点分别为点D、C，如果AB=7cm，BC=12cm，AC=9cm，DO=2cm，那么OC的长是cm．13.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是18cm2，AC=8cm，DE=2cm，则AB的长是．14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点．若AC=8，则CP的长为．15.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEO的度数是．16.如图所示，有一块三角形的镜子，小明不小心弄破裂成1、2两块，现需配成同样大小的一块．为了方便起见，需带上块，其理由是．三、解答题：17.如图，在△ABC中，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，AE=CE，AB与CF有什么位置关系？证明你的结论．18.如图,已知在四边形ABCD中,E是AC上一点,∠1=∠2,∠3=∠4.求证：∠5=∠6．19.如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．20.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A．B两点的坐标分别为A（0，m）、B（n，0），且|m﹣n﹣3|+=0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P的运动时间为t秒．（1）求OA．OB的长；（2）连接PB，设△POB的面积为S，用t的式子表示S；（3）过点P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．参考答案1.B2.C3.D．4.D5.D6.B7.C8.B9.填SAS．10.答案为：∠OBA，OA=OC、OB=OD、AB=CD11.答案为：135°．12.答案为：713.答案为：10cm．14.答案为：．15.答案为：100°．16.答案为：第1，利用SAS得出全等三角形，即可配成与原来同样大小的一块．17.解：AB∥CF．证明如下：∵∠AED与∠CEF是对顶角，∴∠AED=∠CEF，在△ADE和△CFE中，∵DE=FE，∠AED=∠CEF，AE=CE，∴△ADE≌△CFE．∴∠A=∠FCE．∴AB∥CF．18.证明：∵，∴△ADC≌△ABC（ASA）．∴DC=BC．又∵，∴△CED≌△CEB（SAS）．∴∠5=∠6．19.证明：因为∠CEB=∠CAB=90°所以：ABCE四点共元又因为：∠ABE=∠CBE 所以：AE=CE 所以：∠ECA=∠EAC取线段BD的中点G，连接AG，则：AG=BG=DG所以：∠GAB=∠ABG而：∠ECA=∠GBA 所以：∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB而：AC=AB 所以：△AEC≌△AGB所以：EC=BG=DG 所以：BD=2CE20.解：（1）∵|m﹣n﹣3|+=0，且|m﹣n﹣3|≥0，≥0∴|m﹣n﹣3|==0，∴n=3，m=6，∴点A（0，6），点B（3，0）；（2）连AP=t，OP=|6﹣t|，∴S=0.5OPOB=1.5|6﹣t|；（t≥0）（3）作出图形，∵∠OAB+∠OBA=90°，∠OAB+∠OPE=90°，∴∠OBA=∠OPE，∴只要OP=OB，即可求证△EOP≌△AOB，∴AP=AO+OP=9，∴t=9．。
【2018中考数学真题+分类汇编】三期21全等三角形试题含解析396【2018数学中考真题分项汇编系列】
全等三角形一.填空题1. （2018·湖北荆州·3分）已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线．作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；③画射线OC．射线OC即为所求．上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是．【解答】解：由作法①知，OM=ON，由作法②知，CM=CN，∵OC=OC，∴△OCM≌△OCN（SSS），故答案为：SSS．二.解答题1.（2018·云南省昆明·6分）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2．求证：BC=DE．【分析】根据ASA证明△ADE≌△ABC；【解答】证明：（1）∵∠1=∠2，∵∠DAC+∠1=∠2+∠DAC∴∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，，∴△ADE≌△ABC（ASA）∴BC=DE，【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等2.（2018·云南省·6分）如图，已知AC平分∠BAD，AB=AD．求证：△ABC≌△ADC．【分析】根据角平分线的定义得到∠BAC=∠DAC，利用SAS定理判断即可．【解答】证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC．【点评】本题考查的是全等三角形的判定、角平分线的定义，掌握三角形全等的SAS定理是解题的关键．3.（2018·浙江省台州·12分）如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD=CE．（1）如图1，求证：∠CAE=∠CBD；（2）如图2，F是BD的中点，求证：AE⊥CF；（3）如图3，F，G分别是BD，AE的中点，若AC=2，CE=1，求△CGF的面积．【分析】（1）直接判断出△ACE≌△BCD即可得出结论；（2）先判断出∠BCF=∠CBF，进而得出∠BCF=∠CAE，即可得出结论；（3）先求出BD=3，进而求出CF=，同理：EG=，再利用等面积法求出ME，进而求出GM，最后用面积公式即可得出结论．【解答】解：（1）在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD，∴∠CAE=∠CBD；（2）如图2，在Rt△BCD中，点F是BD的中点，∴CF=BF，∴∠BCF=∠CBF，由（1）知，∠CAE=∠CBD，∴∠BCF=∠CAE，∴∠CAE+∠ACF=∠BCF+∠ACF=∠BAC=90°，∴∠AMC=90°，∴AE⊥CF；（3）如图3，∵AC=2，∴BC=AC=2，∵CE=1，∴CD=CE=1，在Rt△BCD中，根据勾股定理得，BD==3，∵点F是BD中点，∴CF=DF=BD=，同理：EG=AE=，连接EF，过点F作FH⊥BC，∵∠ACB=90°，点F是BD的中点，∴FH=CD=，∴S△CEF=CE•FH=×1×=，由（2）知，AE⊥CF，∴S△CEF=CF•ME=×ME=ME，∴ME=，∴ME=，∴GM=EG﹣ME=﹣=，∴S△CFG=CF•GM=××=．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的中位线定理，三角形的面积公式，勾股定理，作出辅助线求出△CFG的边CF上的是解本题的关键．4. （2018•呼和浩特•6分）如图，已知A.F、C.D四点在同一条直线上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若EF=3，DE=4，∠DEF=90°，请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度．（1）证明：∵AB∥DE，∴∠A=∠D，∵AF=CD，∴AF+FC=CD+FC，即AC=DF，∵AB=DE，∴△ABC≌△DEF．（2）如图，连接AB交AD于O．在Rt△EFD中，∵∠DEF=90°，EF=3，DE=4，∴DF==5，∵四边形EFBC是菱形，∴BE⊥CF，'∴EO==，∴OF=OC==，∴CF=，∴AF=CD=DF﹣FC=5﹣=．5. （2018•乐山•9分）如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BC=BD．证明：∵∠ABD+∠3=180°∠ABC+∠4=180°，且∠3=∠4，∴∠ABD=∠ABC在△ADB和△ACB中，，∴△ADB≌△ACB（ASA），∴BD=CD．6. （2018•广安•6分）如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上一点，连接AM，延长AD至点E，使得AE=AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F，求证：AB=EF．【分析】根据AAS证明△ABM≌△EFA，可得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=90°，AD∥BC，（2分）∴∠EAF=∠BMA，∵EF⊥AM，∴∠AFE=90°=∠B，（4分）在△ABM和△EFA中，∵，∴△ABM≌△EFA（AAS），（5分）∴AB=EF．（6分）【点评】本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定，熟练掌握三角形全等的判定是关键．7.（2018·辽宁大连·9分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E.F在AC上，且AF=CE．求证：BE=DF．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OD=OB．∵AE=CF，∴OE=OF．在△BEO和△DFO中，，∴△BEO≌△DFO，∴BE=DF．8.（2018·江苏镇江·6分）如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC．（1）求证：△ABE≌△ACF；（2）若∠BAE=30°，则∠ADC=75 °．【解答】（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠ACF，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（SAS）；（2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE=30°，∴∠BAE=∠CAF=30°，∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACD，∴∠ADC==75°，故答案为：75．。