《数理统计》课件 第三章 假设检验

2已知时, 前面已经讨论过 : c u1 / 2
;
n
8
结束
2未知时,
H
成立时有
0
:
T
X
0
S
n ~ t(n 1),
类似前面推导可得 : c t1 / 2 (n 1)
S. n
对于2)此时关心的是是否明显比0大 ?
K0 x 0 c, P x 0 c 0 1 ,
由类似1)推导, 可得 :当
对X
~
N (, 2 ), 2已知,则X
~
N
,
2
n
,
对统计假设
:
H0 : 0; H1 : 1 0 ,
P X 0 c
P
X
c
H
成立
0
P X 0 c 1 P X 0 c .
cn
u1 , c
u1
n
, 拒绝域为K0
X
0
c
u1
n
4
结束
P(犯第I类错误) P X 0 c 0 P(犯第II类错误) P X 0 c 1
P
X 0 c 1
P
X
1
n
u1
1
0
n
u1
1 0
n
u
1
0
n
,
u
1
0
n
u ,u
u
1 0
n
5
结束
•当n固定时,若α0,则β 1,若β 0,则α 1 .当n +, α, β 都 趋于0.
•但样本容量是不可能太大的,一般先限制犯第一类错误的概率 α,利用备择假设确定β的值.若β太大,则增大样本容量使之减小, 通常称1-β 为检验功效,即不犯第二类错误的概率,可用来评价检 验的优劣性.
2.提出拒绝域形式：拒绝域K0的形式一般反映了H1的结论; 3.选择检验统计量：W=W(X1,…,Xn),在给定的α下通过分位点确 定临界值,从而确定拒绝域K0, α一般取0.01,0.05,0.1等;
4.结论：根据样本值x1,…,xn计算检验统计量的值w,若wK0, 拒
绝H0,否则接受H0.
3
结束
c u1 2
2 1
2 2
nm
(3.2.21)
17
结束
2)未知12
,
2 2
,
但
2 1
2 2
2,
Sw2
(n
1)
S
2 X
n
(m 1)SY2 m2
,
T X Y ~ t n m 2,(3.2.23)
Sw
1 1 nm
P
X Y c 1 2
P
T
Sw
c 1 n
1 m
t1 2
n m 2,
c t1 n m 2 Sw 2
1 1. nm
(3.2.24)
18
结束
3)未知
2 1
,
2 2
,
但n
m,
(配对检验)
Z X Y , Z X Y , Z ~ N
1
2
,
2 1
2 2
T Z n ~ t n 1 , (3.2.25)
SZ
SZ2
1 n 1
n i 1
(Zi
Z )2
S
2 X
•假设检验可以分为双侧假设检验和单侧假设检验。双侧假设 检验关心的是总体参数是否有明显变化，而不管是增大或减 少；单侧假设检验关心的是总体参数明显变化的方向。
•总结各种不同假设，又分为已知2和未知2两种情况，得到如
下表3.2.1
10
结束
11
结束
2. 2 的假设检验
以H0 :2= 02, H1 : 202为例进行推导。
四.假设检验的两类错误
•由于抽样的随机性，假设检验作出的判断可能出错，可能发 生的错误有两种：
1。H0成立时否定了H0,称为第I类错误,简称弃真错误; 2。H0不成立时接受了H0,称为第II类错误,简称纳伪错误.
P(犯第I类错误) P
拒绝H0
H
成立
0
P
W K0
H0成立
P(犯第II类错误) P 接受H0 H0不成立 P W K0 H0不成立
未知时, S 2是 2的无偏估计量, H0成立时,
1
P c1
S2
2 0
c2 ,
S2
P
2 0
c1或
S2
2 0
c2
0 c1 c2
拒绝域为K0
S2
2 0
c1或
S2
2 0
c2
H
0成立时,
(n
1)S
2 0
2
~
2 (n 1),
2
P
(n
1)
2 0
S
2
c2 (n
1) ,
2
P
1.96
n
205 20.09 400
H0的拒绝域为K0 x 0 c x 1010 20.9,
由于 x 1010 1250 1010 240 20.09, 拒绝H0.
认为旅游费用比过去有显著差异.
三.假设检验基本步骤
1.设立统计假设：设立原假设H0,备择假设H1，一般将需要充分 理由才能否定的设为原假设;把不能轻易接受的设为备择假设.
1)H0 : 1 2 , H1 : 1 2 .
2)当 0.05时,u u0.05 u0.95 1.65,
临界值c u
12
2 2
1.65
nm
47462 53562 1180.7736, 100 100
拒绝域K0 Px y c 1180.7736,
而x y 28650 29980 1330 c,
2
2
还有其他形式的检验，总结为表3.2.6
23
结束
24
结束
例3.2.5
X ~ N
1
,
2 1
,Y ~ N
2
,
2 2
,n
16, m
13, x
82, y
78,
s
2 X
8, sY2
7.
1) H 0
: 12
22 ,
H1
: 12
2 2
;
1
,
2未知,
0.02
拒绝域K0
P
sX2 sY2
c1
0.41
s2 2.42
1.256 K0,接受H0,认为钢管长度变异性没有显著变化
15
结束
二.两个正态总体参数的假设检验
•许多情况下需要对两个总体的参数进行比较，看是否有明显 差异。
X1, X 2 ,, X n和Y1,Y2 ,,Ym分别来自正态总体
N
(1
,
2 1
),
N
(2
,
2
2
).X
,
Y
,
S
•例3.1.2 超市建在何处;
•例3.1.3 债券面值问题; •例3.1.4 新药疗效问题.
1
结束
二.假设检验基本思想
•例3.1.1 假设H0:与 0无显著差异, H1:与 0有显著差异,记为:
H0 : 0; H1 : 0
P X 0 c
P
X
c
H
成立
0
P
X 0 c
P
~
c1
F
c2 .
(n 1,
m
1),
当H
成立时
0
S
2 X
SY2
~ F (n 1, m 1),
P
S
2 X
SY2
c1或
S
2 X
SY2
c2
P
S
2 X
SY2
c1
P
S
2 X
SY2
c2 ,
P
S
2 X
SY2
c1
P
S
2 X
SY2
c2
2
,
c1 F / 2 (n 1, m 1), c2 F1 / 2 (n 1, m 1). 22
2
P
nS 2
2 0
c2n ,
2
P
nS 2
2 0
c1n
c1
1 n
2 / 2 (n), c2
1 n
2 1
/
2
(n)
常见情况如下表:
13
结束
14
结束
例3.2.2
X ~ N (, 2 ), 未知, 0 2.4, n 25, s 2.7, 0.01.
H0
:
2
2 0
2.42 , H1
:
2
2 0
2.42
2
1
2
(n
1)
2 0.995
(24)
45.56,
2 2
(n
1)
2 0.005
(24)
9.89,
临界值c1
1 n 1
2
(n
2
1)
1 24
9.89
0.41,
c2
1 n 1
2
1
2
(n
1)
1 24
45.56
1.90,
拒绝域K0
s2
:
2.42
c2
1.90或 s2 2.42
c1
拒绝H0,接受H1,认为B地居民年均收入明显高于A地. 21
结束
2.σ2 的假设检验
讨论以下假设形式 :
H0
:
2 1
2 2
,
H1
:
2 1
2 2
,
1
,
2未知,当H
0成立时S
2 X
SY2 , 所以 :
K0
S
2 X
SY2
c1或
S
2 X
SY2
据抽样分布定理
c2 ,
2 2
SX2
S 2 2 1Y
0
•习题三,7.
X ~ N(, 4), H0 : 1; H1 : 2.5, K0 X 2 , n 9.
P
X
2
1
P
X 1 2
9 21 2
9
1.5
1
(1.5)
0.0668.
P
X
2
2.5
P
X
2.5 2
9 2 2.5 2
9
0.75
(0.75) 1 (0.75) 0.2266.
ห้องสมุดไป่ตู้Y2
2S
2 X
,Y
S 2 X ,Y
1 n 1
n
(Xi
i 1
X )(Yi
Y ).(3.2.27)
K0 P x y
c
sZ n
t 1
2
n 1.(3.2.28)
19
结束
20
结束
例3.2.3 (例3.1.2)
X ~ N 1 , 47462 ,Y ~ N 2 ,53562 ,
n m 100, x 28650, y 29980.
(n
1)
2 0
S
2
c1(n 1)
c1
n
1
1
2
/
2
(n
1),
c2
n
1
1
2 1
/
2
(n
1)
12
结束
已知时, S 2
1 n
n i 1
Xi
2是 2的UMVU , S 2与 2很接近,
H0成立时, 拒绝域为K0
H 0成立时,
nS 2
2 0
~
S2
2 0
2 (n),
c1或
S2
2 0
c2
2 X
,
SY2分别为两总体的
样本均值和方差.
1. 的假设检验
讨论以下假设形式： H0 : 1 2 , H1 : 1 2 ,
K0 x y
c, P
X Y
c
H
成立
0
,
16
结束
令P
X Y
c
H
成立
0
P
X Y c 1 2
P
U
X Y
2 1
2 2
nm
c
2 1
2 2
nm
u1 2
,
H0 : 0 50000, H1 : 0 50000
t1 (n 1) t0.95 (119) u0.95 1.65,
c
s n
t1 (n 1)
5000 120
1.65
753.1185,
x 0 51000 50000 1000 753.1185,
拒绝H0 , 接受H1, 认为轮胎寿命显著大于50000km.
x
y
c
t1
2
(m
n
2)sW
1 n
1 m
t1
2
(m
n
2)
结束
1
,
2已知时,
S
2 X
1 n
n
(Xi
i 1
1 )2 , SY2
1 m
m
(Yi 2 )2是
i 1
12 , 22的UMVU , F
S
2 X
SY2
~ F(n, m), 类似推导有 :
拒绝域K0
S
2 X
SY2
c1或
S
2 X
SY2
c2
临界值c1 F (n, m), c2 F1 (n, m).
2已知时 :
K0
x
0
n
u1
;
当 2未知时 : K0 x 0
s n
t1
(n
1) ;
对于3 )与2)一样,有 :当 2已知时 : K0
x 0
n
u1
;
当 2未知时 : K0 x 0
s n
t1
(n
1);
9
结束
例3.2.1
X ~ N (, 2 ), 2未知, n 120, x 51000, s 5000, 0.05.
X 0 / n
c
n
.
cn
u1 , c 2
u1 2
.
n
当 X 0 c时, 拒绝H0 ,
称 (x1, , xn ) x 0 c 为拒绝域, 用K0表示,
(x1, , xn ) x 0 c 为接受域, 用K1表示.
X 称为检验统计量.
2
结束
例3.1.1
0.05,u1 u0.975 1.96, c u0.975 2
X ~ N (, 2 ), X1, X 2, , X n是其样本, 讨论和 2假设检验.
1. 的假设检验 讨论以下假设形式:
1) H0 : 0 , H1 : 0; 2) H0 : 0 , H1 : 0; 3) H0 : 0 , H1 : 0;
对于1) K0 x 0 c, P x 0 c 0 ,
第三章 假设检验
•假设检验是统计推断重要内容之一. •分为参数假设检验和非参数假设检验.
•参数假设检验是对已知分布形式中的未知参数的假设检验; •非参数假设检验分布函数形式或总体分布的性质进行假设检 验.
3.1 问题的提法和基本概念
一.假设检验问题
•针对问题先提出假设,再通过样本检验提出的假设,如不能以 给定的显著性水平拒绝假设,则认为原假设成立. •例3.1.1 旅游费用是否显著上涨;
6
结束
X ~ N(,4), H0 : 1; H1 : 2.5, K0 X 2 ,n未定.
P
X
2
1
P
X 2/
1 n
2 1 2/ n
n 2
1
n 2
0(n
).
PX
2
2.5
P
X 2
/
2.5 n
2 2/
2.5 n
n 4
n 4
0(n
)
7
结束
3.2 参数假设检验 •只介绍正态总体参数假设检验,分为单个正态总体和两个正态 总体. 一.单个正态总体参数假设检验
F0.01(15,12)
1 F0.99 (12,15)
0.272
sX2 sY2
c2
F0.99(15,12) 4.01,
而 sX2 sY2
64 49
1.306
K0
,
接受H
0
,
认为
2 1
,
22无明显差异.
25
结束
2)H0 : 1 2 , H1 : 1 2 ;
2 1
2 2
,
拒绝域K0