【数学】湖南省长郡中学2019-2020学年高二上学期入学考试试题
长郡中学高二数学分班考试试题及参考答案
（1）求 f ( π) ； 6
（2）求 f (x) 在 [ π , π ] 上的取值范围． 22
23．（本小题满分 8 分）如图，在体积为 2 的圆锥 PO 中，已知圆 O 的直径 AB 2 , 3
动点 P 在直线 2x 4 y 3 0 上，
…………5 分
由已知 PM 的最小值就是 PO 的最小值，
而 PO 的最小值为 O 到直线 2x 4 y 3 0 的距离 d 3
5
，
…………6 分
10
x12
y12
9 20
2x1 4 y1 3 0
累加之，得 an a1 n 2 1，
…………2 分
∴ a n n2 ，而 a1 1 12 ，即 a1 也满足上式, ∴ a n n2 （ n N * ）．
…………4 分
（2）当 n 1 时， T1
1 a1
1，∴1T1
211；
…………5 分
当 n 2 时，
由已知易得
AOD A 1 90 45 .
……………4 分
2
（2）在 ABC 中 OD BC ，故 PDO 为异面直线 PD, BC 所成的角。 ………5 分
在圆锥 PO 中可求 PO 2 ， DO 2 ， 2
………7 分
故在 RtPDO 中， tan PDO PO 2 .即所求的正切值为 2 ．………8 分 DO
21．（本小题满分 6 分）已知函数 f (x) 2x 1, g(x) x 2 2x 1 （1）设集合 A {x | f (x) 7}，集合 B {x | g(x) 4}，求 A B ； （2）设集合 C {x | f (x) a} ，集合 D {x | g(x) x2} ，若 D C ，求 a 的取值范围．
2019-2020年湖南省长沙市长郡中学高二上学期数学期末试卷(理科)【答案版】
25．（ 8 分）已知函数
．
（ 1）若 f （1）=0，求函数 f（x）的单调递减区间； （ 2）若关于 x 的不等式 f（x）≤ ax﹣ 1 恒成立，求整数 a 的最小值．
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2016-2017 学年湖南省长沙市长郡中学高二上学期数学期末试卷（理 科）
参考答案与试题解析
A．2
B．4
C．﹣ 2
D．﹣ 4
【解答】 解：∵平面 α的法向量为（ 1，﹣ 2， 2），
平面 β的法向量为（ 2，λ，4）， α∥ β，
∴
，
解得 λ＝﹣ 4． 故选： D． 4．（3 分）下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y=± 2x 的是（ ）
A．x2﹣ =1
B． ﹣y2=1
C． ﹣x2=1
的最大值为
．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 40 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程 .
21．（ 8 分）在数列 { an} 中， a1=1，当 n≥2 时，
．
（ 1）求 a2， a3，a4； （ 2）猜想数列 { an} 的通项 an，并证明你的结论． 22．（ 8 分）已知 m＞0，p：（x+2）（x﹣6）≤ 0，q： 2﹣m≤x≤2+m． （ 1）若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数的取值范围； （ 2）若 m=5，“ｐ∧q”为真命题， “ｐ∨ q”为假命题，求实数 x 的取值范围． 23．（8 分）在如图所示的多面体中， EF⊥平面 AEB，AE⊥ EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，
A．x2﹣ =1
B． ﹣y2=1
C． ﹣x2=1
D．y2﹣ =1
5．（3 分） “α＝”是“ sin α”＝的（ A．充分必要条件 C．必要而不充分条件
【数学】湖南省长郡中学2019-2020学年高二上学期入学考试试题
a弗第2019—2020号中友为二%我人学考或数学得分: __________________ ：本试卷分第I型选择题》和第II卷（II：选择踊》两部分，共8页.时段：120分林.满分100分.| 第I卷一，选择题；本大题共15个小题,每小题3分,共45分.焉I. 2师在班级大）名学生中,依次抽取学号为5,10・15,20,25,30.3—5,: 50的学生进行作业检套.这种抽样方法是（）1 A.随机抽样B.分层抽样C.系统抽样 D.以上都不是；★2.若某几何体的三视图如图所示，则该儿㈤TK:豕何体杓最长校的校长为（）// I 1 \A.#B.府c.y5【）.263,% S.为等差数列《。
・）的前〃项和，储+1>5。
〈监十］（，£\・工的最大值是与13. S.的最小值是灰CS.的显比值是Sr 【）.，的臬小俏是S.L如图是某学校举行的运动会I,七传评委为照体操噢目打出的分故的茎川统计图•去掉一个疑许分和一个最低分后,所剩数据的平均效和方8 4 4 6 4 7弟分别为（> 9 3A.B4wl. 84 K 81,1.6C 85.1.6 D. 85• I★ 5.四面体P-ABC的三的对桎分别相等•且长度依次为2辰5.5•则该四而体的外接球的衣而枳为< >r>. 29RR 28x数学试电《长理版'第1页ui?g近1数学试题（K 师板）第2文《共8负）★ 6.若阳”一。
一。
一。
>‘ 一8上总存在点A •使得OA 则实数。
的 取值於幽是（）A.（—3 •一]）U （】，3） K （-3.3）C.[-l.l] LX [-3,-l]U[l,3]★n 在锐角:角形ABC 申，已知分别|）A,B.C 的对边，旦疆■2a/n 3,a = 4,则△4HC 面模的鼓大值为 《〉A .z./r a iTT csW "16" 8.若〃是两条异面宜线/上外的一点，则 （ >A.过点〃有fl 仅有-条汽线与/皿都平行B.过京产自且仅仃一条直线与/、m 都联AC.过点P 有且仅有一条宜线与l 、m 都相交 D,过点P 有n 仅有•条直线与八8都异面★9.巳知U 也改列SC 是公比不等于】的等比数列,且上叫一心。
长郡中学2019-2020学年高二上学期第一次模块检测数学试题(解析版)
长郡中学2019-2020学年度高二第一学期第一次模块检测数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟．满分100分．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分．1. 命题“()0000,ln 1x x x ∃∈+∞=+，”的否定是（ ） A. ()0000,ln 1x x x ∃∈+∞≠+， B. ()0,ln 1x x x ∀∉+∞≠+，C. ()0,ln 1x x x ∀∈+∞≠+，D. ()0000,ln 1x x x ∃∉+∞≠+，【答案】C 【解析】 【分析】按规则写出存在性命题的否定即可.【详解】命题“()0000,ln 1x x x ∃∈+∞=+，”的否定为“()0,ln 1x x x ∀∈+∞≠+，”， 故选C.【点睛】全称命题的一般形式是：x M ∀∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∃∈⌝.存在性命题的一般形式是x M ∃∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∀∈⌝.2. 设x ∈R ，则“213x -≤”是“311x ≥+”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】分别解不等式213x -≤和311x ≥+，然后判断能否从213x -≤推出311x ≥+，再判断能否从311x ≥+推出213x -≤，最后根据定义选出正确答案.【详解】213321312,x x x -≤⇒-≤-≤⇒-≤≤332110012111x x x x x -≥⇒-≥⇒≤⇒-<≤+++，显然能从12x -<≤推出12x -≤≤，不能从12x -≤≤推出12x -<≤，也就是说能从311x ≥+推出213x -≤，但不能从213x -≤推出311x ≥+，所以213x -≤是311x ≥+的必要不充分条件，故本题选B. 【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断，正确求解不等式的解集，根据定义进行判断是解题的关键. 3. 已知一组数据123,,,n x x x x ⋯，的平均数为5，方差为2，则数据131x +，231x +，…，31n x +的平均数x 与方差2s 三分别为（ ） A. 15x =，26s = B. 16x =，27s = C. 16x =，218s = D. 16x =，219s =【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数与方程的计算公式推导即可. 【详解】由题,()12315n x x x x n ++⋯+=,()()()22212155...52n x x x n ⎡⎤-+-++-=⎣⎦. 故()()12312311313131313n n x x x x x x x x x n n n=+++++⋯++=++⋯++⎡⎤⎣⎦ ()12313135116n x x x x n =⨯++⋯++=⨯+=.即16x =.()()()222212131163116...3116n s x x x n ⎡⎤=+-++-+++-⎣⎦()()()2221219595...95n x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦()()()222121955...518n x x x n ⎡⎤=⨯-+-++-=⎣⎦.即218s =故选：C【点睛】不同主要考查了平均数与方差的公式运用,需要根据题意列出每个数值变化后对应的表达式,与原平均数与方差的关系推导可得.属于基础题.4. 为了检验某厂生产的取暖器是否合格，先从500台取暖器中取50台进行检验，用随机数表抽取样本，将500台取暖器编号为001，002，…，500.下图提供了随机数表第7行至第9行的数据： 82 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54若从表中第7行第4列开始向右依次读取3个数据，则抽出第4台取暖器的编号为 A. 217 B. 206 C. 245 D. 212【答案】B 【解析】 【分析】从第7行第4列开始向右依次读取3个数据，重复的去掉后可得.【详解】由题意，根据简单的随机抽样的方法，利用随机数表从第7行的第4列开始向右读取，依次为217，157，245，217，206，由于217重复，所以第4台取暖器的编号为206．选B. 【点睛】本题考查随机数表，属于基础题.5. 已知函数2()6f x x x =--，在区间[6,4]-内任取一点0x ，使0()0f x ≥的概率为（ ）A.13B.25C.12D.34【答案】C 【解析】 【分析】先求出0,0x x -则的取值范围，再利用几何概型相关公式即可得到答案.【详解】由()0f x ≥得(3)(2)0x x -+，故3x ≥或2x -≤，由064x -≤≤，故062x -≤≤-或034x ≤≤，故使0,0x x -则的概率为411102P +==. 【点睛】本题主要考查几何概型的相关计算，难度一般. 6.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为A. 35B. 20C. 18D. 9【答案】C 【解析】试题分析：模拟算法：开始：输入3,2,1,312,0n x v i i ====-=≥成立； 1224v =⨯+=，211,0i i =-=≥成立； 4219v =⨯+=，110,0i i =-=≥成立；92018v =⨯+=，011,0i i =-=-≥不成立，输出18v =.故选C.考点：1.数学文化；2.程序框图.7. 已知命题p ：若x y <，则22x y <；命题q ：若x y >，则x y -<-；在命题：①p q ∧；②p q ∨；③()p q ⌝∧；④()p q ∨⌝中真命题是（ ） A. ①③B. ①④C. ②③D. ②①【答案】C 【解析】 【分析】先分别判断命题,p q 的真假,再判断两个命题或且非的真假即可.【详解】对命题p ,当2,1x y =-=-时满足x y <,但22x y <不成立.故命题p 为假命题. 对命题q ,由不等式的性质可知命题q 为真命题.故①p q ∧为假命题；②p q ∨为真命题；③()p q ⌝∧为真命题；④()p q ∨⌝为假命题. 故选：C【点睛】本题主要考查了命题真假的判定以及命题的或且非的真假判定.属于基础题. 8. 将八位数(8)135化为二进制数为（ ） A. ()21110101 B. ()21010101C. ()21011101D. ()21111001【答案】C 【解析】 【分析】进位制之间的转化一般要先化为十进制数，再化为其它进位制数，先将8进制数转化为十进制数，再由除K 取余法转化为二进制数，选出正确选项． 【详解】135（8）=1×82+3×81+5×80=93（10）． 利用“除2取余法”可得 93（10）=1011101（2）． 故选C ．【点睛】本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k 取余法”的方法步骤是解答本题的关键，属于基础题．9. 从1,2,3,4,5中任取三个数，则这三个数能构成三角形的概率为（ ） A.15B.310C.25D.12【答案】B 【解析】【详解】从1,2,3,4,5中任取三个数，取法总数为：3510C = 这三个数能构成三角形的情况有：()()()2,3,42,4,53,4,5，， ∴这三个数能构成三角形的概率为：310故选B10. 在ABC ∆中，角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，已知60,1A b ︒==，ABC ∆则ABC∆外接圆的直径为（ ）A.81B.C.3D.3【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形面积公式求得c ；利用余弦定理求得a ；根据正弦定理求得结果. 【详解】由题意得：113sin sin 60224ABC S bc A c ∆====4c = 由余弦定理得：2222cos 1168cos6013ab c bc A =+-=+-=a ∴=由正弦定理得ABC ∆外接圆的直径为：2sin sin 603a A ==本题正确选项：D 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的综合应用问题，考查学生对于基础公式和定理的掌握情况.11. “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是A. 2B. 3C. 10D. 15【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式以及几何概型概率公式分别计算概率，解方程可得结果. 【详解】设阴影部分的面积是s ，由题意得2400s=1010005s ∴=，选C. 【点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．12. 设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =，112n n n a S S ++=，则n S = A. 32n - B.132n - C. 21n - D. 121n -【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列中11n n n a S S ++=-，化简表达式，再同时除以1n n S S +即可得到等差数列；求出1nS 的通项公式后，再取倒数即可得到n S 的表达式．【详解】由已知得1112n n n n n a S S S S +++=-=，两边同时除以1n n S S +，得1112n nS S +-=-， 故数列1{}n S 是以1为首项，2-为公差的等差数列，则()112132n n n S =--=-，所以132n S n=-． 【点睛】本题考查了数列求和公式的综合应用，等差数列通项公式的用法，属于基础题．13. 《高中数学课程标准》(2017 版)规定了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图(如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优)，则下面叙述正确的是（ ）(注:雷达图(Radar Chart)，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图(Spider Chart)，可用于对研究对象的多维分析)A. 甲的数据分析素养高于乙B. 甲的数学建模素养优于数学抽象素养C. 乙的六大素养中逻辑推理最差 D. 乙的六大素养整体水平优于甲 【答案】D 【解析】 【分析】根据雷达图，依次判断每个选项的正误得到答案.【详解】根据雷达图得甲的数据分析素养低于乙，所以A 错误 根据雷达图得甲的数学建模素养等于数学抽象素养，所以B 错误 根据雷达图得乙的六大素养中数学建模和数学抽象最差，所以C 错误根据雷达图得乙整体为27分，甲整体为22分，乙的六大素养整体水平优于甲，所以D 正确 故答案选D【点睛】本题考查了雷达图，意在考查学生解决问题的能力.14. 在数列{}n a 中，若10a =，12n n a a n +-=，则23111na a a +++的值 A.1n n- B.1n n+ C.11n n -+ D.1n n + 【答案】A【解析】分析：由叠加法求得数列的通项公式(1)n a n n =-，进而即可求解23111na a a +++的和. 详解：由题意，数列{}n a 中，110,2n n a a a n +=-=， 则112211()()()2[12(1)](1)n n n n n a a a a a a a a n n n ---=-+-++-+=+++-=-，所以1111(1)1==---n a n n n n所以231111111111(1)()()12231n n a a a n n n n-+++=-+-++-=-=-，故选A. 点睛：本题主要考查了数列的综合问题，其中解答中涉及到利用叠加法求解数列的通项公式和利用裂项法求解数列的和，正确选择方法和准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.15. 若1路、2路公交车均途经泉港一中校门口，其中1路公交车每10分钟一趟，2路公交车每20分钟一趟，某生去坐这2趟公交车回家，则等车不超过5分钟的概率是（ ） A.18B.35C.58D.78【答案】C 【解析】 【分析】设1路车到达时间为x 和2路到达时间为y ．（x ，y ）可以看做平面中的点，利用几何概型即可得到结果. 【详解】设1路车到达时间为x 和2路到达时间为y ．（x ，y ）可以看做平面中的点，试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{（x ，y ）|0≤x ≤10且0≤y ≤20}，这是一个长方形区域，面积为S ＝10×20＝200A 表示某生等车时间不超过5分钟，所构成的区域为a ＝{（x ，y ）|0≤x ≤5或0≤y ≤5}， 即图中的阴影部分，面积为S ′＝125， 代入几何概型概率公式，可得 P （A ）'12552008S S === 故选C【点睛】解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分．16. 已知,x y 满足约束条件50503x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则36z x y =+的最大值为__________．【答案】57 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线36z x y =+，观察直线在x 轴的截距取最大值时的最优解，再将最优解代入目标函数可得出目标函数的最大值. 【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：平移直线36z x y =+，当直线36z x y =+经过可行域的顶点()3,8A 时，该直线在x 轴上的截距取最大值，此时，z 取最大值，即max 336857z =⨯+⨯=，故答案为57.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线结合在坐标轴上的截距取最值时，找最优解求解，考查数形结合数学思想，属于中等题．17. 若以连续掷两次骰子分别得到的点数,m n 作为P 的坐标，则点P 落在圆2216x y +=内的概率_________. 【答案】29【解析】基本事件总数为116636C C =，且每种结果出现的可能性都相等．记事件A 为“点(,)P m n 落在圆2216x y +=内”，则事件A 所包含的基本事件为(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)、、、、、、、，共8个，故82()369P A ==． 18. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据如下表所示，由最小二乘法求得回归直线方程ˆ0.654yx =+．由于后期没有保存好，导致表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为__________．零件数x /个 10 2030 40 50 加工时间 62758189【答案】53 【解析】 【分析】根据回归直线方程经过样本中心点(),x y ,设所求数据的值为m ,再分别求解,x y 代入ˆ0.654yx =+求解即可.【详解】设所求数据的值为m ,则()11020304050305x =++++=,()()116275818930755y m m =++++=+. 故()0.1307563054m +=⨯+,解得53m =. 故答案为：53【点睛】本题主要考查了回归直线方程经过样本中心点(),x y 的知识点,属于基础题. 19. 已知0m >，0n >，且2m n +=，则21n m n+的最小值为________. 【答案】52【解析】 【分析】由2m n +=，可得21221222n n m n n m m n m n m n ++=+=++，然后利用基本不等式可求出最小值. 【详解】因为2m n +=，所以2122n n m n m n m n ++=+211522222n m m n =++≥+=，当且仅当43m =，23n =时取等号.【点睛】利用基本不等式求最值必须具备三个条件： ①各项都正数； ②和（或积）为定值； ③等号取得的条件.20. 如图1，线段AB 的长度为a ，在线段AB 上取两个点C ，D ，使得14AC DB AB ==，以CD 为一边在线段AB 的上方做一个正六边形，然后去掉线段CD ．得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段EF 作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第n 个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为n S ，现给出有关数列{}n S 的四个命题： ①数列{}n S 是等比数列； ②数列{}n S 是递增数列；③存在最小的正数a ，使得对任意的正整数n ，都有2019n S >； ④存在最大的正数a ，使得对任意的正整数n ，都有2019n S <． 其中真命题的序号是__________．（请写出所有真命题的序号） 【答案】②④ 【解析】 【分析】先分析12,S S 、23,S S 、34,S S 的关系,再归纳出关于{}n S 的递推公式,进而累加求和求出{}n S 的通项公式进行分析即可. 【详解】由题,1S a =.图2中正六边形的边长为2a,所以 211422aS S S a =+⨯=+,图3中最小正六边形的边长为4a,所以 32244aa S S S =+⨯=+,图4中最小正六边形的边长为8a,所以 433482a aS S S =+⨯=+…由此类推, ()13,22n n n aS S n ---=≥,即{}n S 为递增数列,且不是等比数列,故①错误,②正确.又()()()112211...n n n n n S S S S S S S S ---=-+-++-+1341212 (2122212)n n n a a a a a a a a ---⎛⎫- ⎪⎝⎭=++++++=+- ()114152,2n a a a n n N +-⎛⎫=+-<≥∈ ⎪⎝⎭,又15S a a =<,所以存在最大的正数20195a =,使得对任意的正整数n ,都有2019n S <.故③错误,④正确. 故答案为：②④【点睛】本题主要考查了根据图形的变化规律,求解通项公式与累加求和的方法.需要根据题意先找出前几个图形间的关系,再推导出第n 的图形与第1n -的图形间的关系,从而得出递推公式进行求解.属于中档题.三、解答题：本大题共5个小题，每小题8分，共40分．21. 某生产企业对其所生产的甲、乙两种产品进行质量检测，分别各抽查6件产品，检测其重量的误差，测得数据如下（单位：mg ）： 甲：13 15 13 8 14 21 乙：15 13 9 8 16 23 （1）画出样本数据的茎叶图；（2）分别计算甲、乙两组数据的方差并分析甲、乙两种产品的质量（精确到0.1）． 【答案】（1）见解析（2）214.7S ≈甲，224.7S ≈乙，甲产品质量好，较稳定． 【解析】 【分析】（1）根据题目中的数据，画出茎叶图即可； （2）利用公式计算甲乙的平均数与方差即可．【详解】（1）根据题目中的数据，画出茎叶图如图所示；（2）根据茎叶图得出，甲的平均数是81313141521146+++++=，乙的平均数是8913151623142+++++=；甲的方差是216s =甲[（﹣6）2+（﹣1）2+（﹣1）2+02+12+72]14.7≈． 乙的方差是216s =乙[（﹣6）2+（﹣5）2+（﹣1）2+12+22+92]≈24.7． 甲产品质量好，较稳定.【点睛】本题考查了画茎叶图与求平均数与方差的问题，是基础题目． 22. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且满足cos a C b =-. (Ⅰ)求角A 的大小； (Ⅱ)若6B π=，4b =，求BC 边上的中线AM 的长.【答案】（Ⅰ）π6A =； （Ⅱ）AM =【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意结合正弦定理边化角，求得cos A 的值即可确定∠A 的大小； (Ⅱ)易知△ABC 为等腰三角形，利用余弦定理可得AM 的长. 【详解】（Ⅰ）因为cos a C b =，由正弦定理可得sin cos sin A C B C =-， 因为()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，所以cos sin 2A C C =， 因为sin 0C ≠，所以cos A =，π6A = ．（Ⅱ）由π6A B ==，则2π3C =，所以4BC AC ==，AB =2BM =， 由余弦定理可得2222cos 28AM BM AB BM AB B =+-⋅=，所以AM =【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理． 23. 在等比数列{}n a 中，3429,954a a a =+=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若(21)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）13-=n n a （2）3nn S n =⋅【解析】 【分析】（1）将已知条件化为1a 和q 后，联立解出1a 和q 后即可得到通项公式； （2）根据错位相减法可得结果.【详解】（1）因为3429,954a a a =+=，所以213119,954,a q a q a q ⎧=⎨+=⎩解得11,3.a q =⎧⎨=⎩故{}n a 的通项公式为1113n n n a a q --==. （2）由（1）可得1(21)3n n b n -=+⋅， 则22135373(21)3(21)3n n n S n n --=+⨯+⨯++-⋅++⋅，① 2313335373(21)3(21)3n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，②①-②得2312323232323(21)3n nn S n --=+⨯+⨯+⨯+⋯+⨯-+⋅.所以13(13)232(21)313n n n S n ---=+⨯-+⨯-2n S -23n n =-⋅故3nn S n =⋅.【点睛】本题考查了等比数列通项公式基本量的计算，考查了错位相减法求数列的和，属于中档题. 24. 每年10月中上旬是小麦的最佳种植时间，但小麦的发芽会受到土壤、气候等多方面因素的影响.某科技小组为了解昼夜温差的大小与小麦发芽的多少之间的关系，在不同的温差下统计了100颗小麦种子的发芽数，得到了如下数据：（1）请根据统计的最后三组数据，求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（2）若由（1）中的线性回归方程得到的估计值与前两组数据的实际值误差均不超过两颗，则认为线性回归方程是可靠的，试判断（1）中得到的线性回归方程是否可靠；（3）若100颗小麦种子的发芽率为n 颗，则记为%n 的发芽率，当发芽率为%n 时，平均每亩地的收益为10n 元，某农场有土地10万亩，小麦种植期间昼夜温差大约为9C ︒，根据（1）中得到的线性回归方程估计该农场种植小麦所获得的收益.附：在线性回归方程y bx a =+中，1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑.【答案】（1）5572ˆyx =+（2）见解析（3）7950万元 【解析】 【分析】（1）先进行数据处理：每个温差值减去12，每个发芽数减去86，得到新的数据表格，求出11ˆ,,,ˆy bx a ，的值，最后求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（2）根据线回归方程，分别计算当8x =时，当10x =时，它们的估计值，然后判断（1）中得到的线性回归方程是否可靠；（3）当9x =时，根据线性回归方程计算出ˆy的值，然后计算出发芽率以及收益. 【详解】数据处理12x -；86y -. （1）此时：10x =，11y =，14301511302ˆb+-⨯⨯==+-⨯，11ˆˆ51012a yb x =-⋅=-⨯=， ∴586(12)2ˆ1yx -=-+，∴5572ˆy x =+. （2）当8x =时：ˆ77y=，797722-=≤符合，当10x =时：ˆ82y=，828112-=≤符合， 前两组数据均符合题意，该回归直线方程可靠.（3）当9x =时，ˆ79.5y=. 发芽率79.5%79.5%100n ==，∴79.5n =. 收益：79.51010⨯⨯（万亩）7950=（万元）. 种植小麦收益为7950万元.【点睛】本题考查了求线性回归方程，以及用数据检验线性回归方程是否可靠，考查了应用线性回归方程估计收益问题，考查了数学应用能力.25. 某大学就业部从该大学2018年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行了问卷调查，其中有一项是他们的月薪情况，经调查统计发现，他们的月薪收入在3000元到10000元之间，根据统计数据得到如下的频率分布直方图：若月薪落在区间()22x s x s -+，的左侧，则认为该大学本科生属“就业不理想”的学生，学校将联系本人，咨询月薪过低的原因，从而为本科毕业生就业提供更好的指导意见．其中x s 、分别为样本平均数和样本标准差，计算可得s ≈1500元（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．（1）现该校2018届大学本科毕业生张茗的月薪为3600元，试判断张茗是否属于“就业不理想”的学生？ （2）为感谢同学们对这项调查工作的支持，该校利用分层抽样的方法从样本的前3组中抽出6人，各赠送一份礼品，并从这6人中再抽取2人，各赠送某款智能手机1部，求获赠智能手机的2人中恰有1人月薪不超过5000元的概率；（3）位于某省的一高校2018届某专业本科毕业生共200人，现他们决定于2019年元旦期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用．假定这200人与所抽取样本中的100人月薪分布情况相同，并用样本频率进行估计，现有两种收费方案： 方案一：按每人一个月薪水的10%收取；方案二：月薪高于样本平均数的毎人收取800元，月薪不低于4000元但低于样本平均数的每人收取400元，月薪低于4000元的不收取任何用． 问：哪一种收费方案最终总费用更少？ 【答案】（1）见解析；（2）35；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）6650x =，23650x s -=，经比较可知张茗属于就业不理想的学生；（2）月薪不超过5000的有3人，超过5000的有3人，从6人中抽2人共有15种，其中符合恰有1人月薪不超过5000的有9种，由古典概型概率公式可得；（3）方案一收取133000元，方案二收取108000元，经比较可知方案二符合题意． 【详解】（1）x =3500×1000×0.00005+4500×1000×0.00010+5500×1000×0.00015+6500×1000×0.00030+7500×1000×0.00020+8500×1000×0.00015+9500×1000×0.00005=6650，x -2s=6650-3000=3650＞3600，所以张茗属于“就业不理想“的学生．（2）第一组有1000×0.00005×100=5人，第二组有1000×0.00010×100=10人，第三组有1000×0.00015×100=15人，所以按照分层抽样抽6人时，第一组抽1人，记为A ，第二组抽2人，记为B ，C ，第三组抽3人，记为D ，E ，F ，从这6人中抽2人共有15种：（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（A ，E ），（A ，F ），（B ，C ），（B ，D ），（B ，E ），（B ，F ），（C ，D ），（C ，E ），（C ，F ），（D ，E ），（D ，F ），（E ，F ）．其中恰有一人月薪不超过5000元的有9种：（A ，D ），（A ，E ），（A ，F ），（B ，D ），（B ，E ），（B ，F ），（C ，D ），（C ，E ），（C ，F ）． 根据古典概型概率公式可得P=915=35． （3）同一组中的数据用该组区间的中点值作代表可得：方案一：月薪在3000-4000之间的收取1000×0.00005×200×3500×0.1=3500； 月薪在4000-5000之间的收取1000×0.00010×200×4500×0.1=9000； 月薪在5000-6000之间的收取1000×0.00015×200×5500×0.1=16500； 月薪在6000-7000之间的收取1000×0.00030×200×6500×0.1=39000； 月薪在7000-8000之间的收取1000×0.00020×200×7500×0.1=30000； 月薪在8000-9000之间的收取1000×0.00015×200×8500×0.1=25500； 月薪在9000-10000之间的收取1000×0.00005×200×9500×0.1=9500； 共收取133000元．方案二：月薪高于6650的收取800×200×1000×（0.00020+0.00015+0.00005）=64000； 月薪不低于4000但低于6650的收取400×200×1000×（0.00010+0.00015+0.00030）=44000；共收取108000．故方案二最终总费用更少．【点睛】本题考查了频率分布直方图中平均数的计算，考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
长郡中学高二入学考试理科数学考试试题及参考答案
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湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高二上学期入学考试数学试题含答案
（ ）根据频率分布直方图估计这 位男生身高的中位数；
（ ）用分层抽样的方法在身高为 内抽取一个容量为 的样本，从样本中任意抽取 位男生，求这两位男生身高都在 内的概率．
23.已知数列 的前 项和为 ，且 对任意 都成立.
（Ⅰ）求 值；
（Ⅱ）证明数列 是等比数列，并求出数列 的通项公式；
（Ⅲ）设 ，求数列 的前 项和 .
24.已知两个定点A（0，4），B（0，1），动点P满足|PA|＝2|PB|，设动点P 轨迹为曲线E，直线l：y＝kx﹣4.
（1）求曲线E的轨迹方程；
（2）若l与曲线E交于不同的C、D两点，且 （O为坐标原点），求直线l的斜率；
（3）若k＝1，Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM、QN，切点为M、N，探究：直线MN是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷
三、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．）
16.某中学高二年级甲班的学生共有25名女生和35名男生，现以简单随机抽样的方法从甲班全班同学中推选5名学生代表甲班参加全校演讲比赛，则甲班中某女生被抽到的概率是________．
17.已知函数 （ ，且 ）的图像恒过定点 ，则 __________．
C. 有最大值， 有最大值D. 有最小值， 有最小值
二、多项选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得3分，有选错的得0分，部分选对得1分）
11.下列关于函数 的说法中正确的是（）
A. 为奇函数
B. 上单调递减
C. 不等式 的解集为
D. 不等式 的解集为
12.如图，在正四棱柱 中， ， ， 分别为 ， 的中点，异面直 与 所成角的余弦值为 ，则（）
长郡高二入学考试数学(文科)答案
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二填空题
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长郡中学学年度高二第一学期入学考试
数学!文科"参考答案
一#选择题
长郡高二入学考试数学(文科)
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文科数学!长郡版"!!#
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