最新微分几何(第三版)梅向明黄敬之编[1]

合集下载

微分几何梅向明黄敬之编第二章课后题答案

第二章曲面论§ 1曲面的概念1.求正螺面7 ={ u cosv ,u sinv, bv }的坐标曲线.解 u-曲线为 r={u cosv o ,u sin v o ,bv o }= {0,0 , bv °} + u { cosv o , sin v °,0}，为曲线的直母线；v- 曲线为?={u o cosv , U o sinv,bv }为圆柱螺线.2 .证明双曲抛物面r ={ a (u+v ) , b (u-v ) ,2uv }的坐标曲线就是它的直母线。

证 u-曲线为 r={ a (u+v o ) , b (u- v o ) ,2u v o }={ a v °, b v °,0}+ u{a,b,2 v o }表示过点{ a v °, b v °,0} 以{a,b,2 v o }为方向向量的直线；v-曲线为 r = {a ( u o +v ) , b ( u o -v ) ,2 u o v } = {a u °, bu o ,0 } +v{a,-b,2 u o }表示过点(a u o , bu o ,0)以｛a,-b,2 u o ｝为方向向量的直线3. 求球面r=｛acos ；：sin , a cos' sin :, asi n ；：｝上任意点的切平面和法线方程。

解 r 、={—asin 、：cos ；—asin ；sin 「，acos ：} , r .：={—acos ； sin :, acos L cos ,0}即 xcos : cos + ycos : sin + zsin 二-a = 0 x - a cos 、： cos : _ y - a cos ：： sin : _ z - a sin 二 cos 、： cos ： cos 、： sin ' sin 二2 24 .求椭圆柱面务•岭=1在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面a bx 「a cos 、： cos ‘ 任意点的切平面方程为 -a sincos :-a cos 二 sin :y -a cos ；： sin ‘ -asin 二 sin : z - a s in 9 a cos^ = 0法线方程为§2曲面的第一基本形式1. 求双曲抛物面r ={ a (u+v ) , b (u-v ) ,2uv }的第一基本形式解 r u ={a,b,2v}, g 二{a,-b,2u}, E =打=a 2 b 2 4v 2,F = r u r v = a 2- b 24uv, G = r v 2二 a 2b 24u 2,1 = (a 2b 24v 2)du 22(a 2-b 24uv)dudv (a 2b 24u 2)dv 2。

微分几何

第一章向量函数4学时
第二章曲线的概念4学时
第三章空间曲线12学时
第四章曲面的概念4学时
第五章曲面的第一基本形式8学时
第六章曲面的第二基本形式12学时
第七章直纹面和可展曲面6学时
第八章曲面论的基本定理8学时
第九章曲面上的测地线10学时
第十章常高斯曲率的曲面4学时
如果总课时数少于70，可以只讲授第一至第八章。
第八节高斯曲率的几何意义
教学要求
领会：理解曲面第二基本形式，曲面上曲线的曲率、曲面的渐进（线）方向、共扼方向、主方向和曲率线，主曲率、Gauss曲率和平均曲率等的意义。
掌握：曲面的第二基本形式，曲面上曲线的曲率、曲面的渐进（线）方向、共扼方向、主方向和曲率线，主曲率、Gauss曲率和平均曲率，曲面的局部结构等基本概念及它们的相关运算。
第一章向量函数4学时第二章曲线的概念4学时第三章空间曲线12学时第四章曲面的概念4学时第五章曲面的第一基本形式8学时第六章曲面的第二基本形式12学时第七章直纹面和可展曲面6学时第八章曲面论的基本定理8学时第九章曲面上的测地线10学时第十章常高斯曲率的曲面4学时如果总课时数少于70可以只讲授第一至第八章
教学目的
引入正则参数曲面，曲面的切平面，切向量，法线，单位法向量等概念，为进一步学习曲面论作好铺垫。
主要内容
第一节简单曲面及其参数表示
第二节光滑曲面曲面的切平面和法线
第三节曲面上的曲线族和曲线网
教学要求
掌握：简单曲面的参数表示；简单曲面及其上面曲线族（网）的特征；曲面的法线、切面的求法。
第五章曲面的第一基本形式
第二节空间曲线的基本三棱形
第三节空间曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式
第四节空间曲线在一点邻近的结构

微分几何(版)【梅向明黄敬之编】课后题答案[]

§4.直纹面和可展曲面1. 证明曲面r =}32,2,31{2432v u u uv u v u +++是可展曲面.证法一：已知曲面方程可改写为r =},2,{432u u u +v }32,,31{2u u ，令()a u r =},2,{432u u u ，()b u r =}32,,31{2u u ，则r =()a u r + v ()b u r ，且()b u r ≠0，这是直纹面的方程，它满足(',,')a b b r r r =23226412334013u u u u u u =0 ,所以所给曲面为可展曲面. 证法二：证明曲面的高斯曲率为零.（略）2.证明曲面r={cosv-(u+v)sinv, sinv+(u+v)cosv,u+2v}是可展曲面.证法一：曲面的方程可改写为 r =()a v r + u ()b v r ，其中()a v r={cosv-vsinv, sinv+vcosv, 2v}，()b v r ={-sinv, cosv,1} ，易见()b v r≠0，所以曲面为直纹面，又因为(',,')a b b r rr =2sin cos 2cos sin 2sin cos 1cos sin 0v v v v v v v v v v ------=0，所以所给曲面为可展曲面. 证法二：证明曲面的高斯曲率为零.（略）3．证明正螺面r={vcosu,vsinu,au+b}(a ≠0)不是可展曲面.证法一：原曲面的方程可改写为 r =()a u r + v ()b u r ，其中()a u r={0,0,au+b},()b u r ={cosu,sinu,0}.易见()b u r ≠0, 所以曲面为直纹面, 又因为(',,')a b b r r r=00cos sin 0sin cos 0au u u u -=a ≠0.故正螺面不是可展曲面.证法二：证明曲面的高斯曲率为零.（略）4．证明挠曲线的主法线曲面与副法线曲面不是可展曲面.证挠曲线（C ）:()a a s =r r 的主法线曲面为 1():()()s r a s v s β=+r r r,因为(,,)a ββr r r &&=(,,)0αβκατγτ-+=≠r r r r ，故1():()()s r a s v s β=+r r r 不是可展曲面.挠曲线（C ）:()a a s =r r 的副法线曲面为 2():()()S r a s v s γ=+r r r ，因为(,,)a γγ=r r r &&(,,)0αγτβτ-=≠r r r ，故2():()()S r a s v s γ=+r r r不是可展曲面.5.求平面族{}απ：xcos α+ysin α-zsin α-1=0 的包络.解 cos sin cos 0sin cos cos 0F x y z F x y z ααααααα=+-=⎧⎨=-+-=⎩，即c o s ()s i n 1s i n()c o s 0x y z x y z αααα+-=⎧⎨-+-=⎩ ，将此两式平方后相加得 22()1x y z +-= .这就是所求的包络面.6．求平面族2222a x ay z a +=的包络.解从222202220a F a x ay z a F ax y ⎧=++-=⎨=+-=⎩中消去参数a ，则得所求的包络面为2(1)20y axz --=.7．证明柱面、锥面、任意曲线的切线曲面是可展曲面.证柱面1()S 的方程可写为 r =()a u r + v 0b r ，（0b r ≠0 为常向量）因为(',,')a b b r r r =0(',,0)0a b =rr .故1()S 是可展曲面.锥面2()S 的方程可写为 r =0a r + v ()b u r （0a r 为常向量），因为(',,')a b b r r r =(0,,')b b r r =0，故2()S 是可展曲面. 曲线（C ）:()a a s =r r 的切线曲面为 3():()()S r a s v s α=+r r r .因为(',,')a b b r rr =(,,')0ααα=r r r ，故3():()()S r a s v s α=+r r r是可展曲面. 8．证明0uu uv r r ==r r的曲面(S):r=r(u,v)r r 是柱面.证法：因为uu r 0=r ，所以()u r b v =r r ，又因为0uv r =r ，因此00u r b =≠r rr 为固定向量.从而积分得0(,)()r u v a v ub =+r r r.故曲面(S):r=r(u,v)r r 是柱面. §5 曲面的基本定理1．平面上取极坐标系时，第一基本形式为2222ds d d ρρθ=+，试计算第二类克氏符号kij Γ.解因为21,0,E F G ρ===，所以1211111120,0,0222E E E EG EρθθΓ==Γ=-=Γ==， 2121222221,,0222G G G GEGρρθρρΓ==Γ=-=-Γ==. 2．证明高斯曲率det()j i K μ=. 证因为d e t ()d e t ()d e t ()d e t ()j kjkjk ji i ki k i kL g L g L g μ=-∑=-=，而1()()kj kjg g -=，所以1det()det()kjkj g g =，从而22det()det()/det()ji ik kj LN ML g EG F μ-==-，故det()j i K μ=.3．证明平均曲率12121()2H μμ=-+. 证因为121211211222121211122122()k k k k kkL g L g L g L g L g L g μμ+=-∑-∑=-+++=-22221121111122122()(2)/()g g g gL L L L LG MF NE EG F g g g g--+=--+-=2H -，所以12121()2H μμ=-+. 5．对于3R 中的空间曲面来说，()ll l ijk j jk k ij R K g g δδ=--其中K 是曲面的高斯曲率.证因为121211221221,,R Kg g g g g g =-=-所以121211221221()R K g g g g =--，又1212211212212121,0(mijk R R R R R m i =-=-===或j=k),从而()mijk mj ik mk ij R K g g g g =--上式两边分别与ml g 相乘并关于m 从1到2求和，则得[()()ml ml ml mijkmj ik mk ij g R K g g g g g g =--=()l l j ik k ij K g g δδ--,而,ml l mijk ijk g R R =故得()ll l ijk j jk k ij R K g g δδ=--.注在解题过程中省略了求和号∑. 6．证明以下公式： ⑴ 22122212221112111211221211121[()()()]v u K E=Γ-Γ+ΓΓ+ΓΓ-ΓΓ-Γ；⑵ 221112[))]K v u ∂∂=-∂∂；⑶ 112212[))]K u v ∂∂=-∂∂；⑷对于曲面上的等温坐标网有222()ds du dv λ=+，求证21[(ln )(ln )]uu vv K λλλ=-+；⑸ 对于曲面上的半测地坐标网有222ds du Gdv =+，求证K =证 ⑴ 高斯公式mijk ij mk ik mj R L L L L =-的两边分别与mk g 相乘并关于m 从1到2求和,再注意到l mk i j k mi j k R g R =及lijk R 的定义，可得()()l l ijp l p lmk ik ij pk ik pj ij mk ik mj kj p mg L L L L u u ∂Γ∂Γ-+∑ΓΓ-ΓΓ=∑-∂∂,今取i=1,j=1,k=2,l=2, 则有2212221222111211121122121112()()()v u Γ-Γ+ΓΓ+ΓΓ-ΓΓ-Γ=2112121()m m m mg L L L L ∑-=12221112121111221221()()g L L L L g L L L L -+-=22222()()Eg LN M LN M KE EG F-=-=- 故 22122212221112111211221211121[()()()]v u K E=Γ-Γ+ΓΓ+ΓΓ-ΓΓ-Γ. ⑵ 因为1212R K g =，所以2221221112112111212121121211g R g R g R g R R g K gααα=∑=+==-，又因为222221211121121112()p p p p p Ru v∂Γ∂Γ=-+∑ΓΓ-ΓΓ∂∂，所以22122212221112111112112212111221g K v u ∂Γ∂Γ=-+ΓΓ+ΓΓ-ΓΓ-ΓΓ∂∂=222211112112212()v u ∂Γ∂Γ-+ΓΓ+Γ∂∂-221122112121111121112()2()ΓΓ+Γ+ΓΓ-ΓΓ ①而212212Γ+Γ=211211Γ+Γ=② 22221111121112112[11,1]2[12,1]g g u v ∂∂Γ-Γ=Γ-Γ∂∂=2211112112112()2()k k k k k kg g ∑ΓΓ-∑ΓΓ= 12212212121111121112111212121111111212112()2()2()g g g g g Γ+ΓΓ-Γ+ΓΓ=ΓΓ-ΓΓ，即12122211111112121112111112()()g g g u v∂∂ΓΓ-ΓΓ=Γ-Γ∂∂ ③ 于是将②，③代入①可得：.2222221112111111121211111()g g g K v u g u v ∂Γ∂Γ∂∂=-+ΓΓ+Γ-Γ∂∂∂∂221112K ∴=ΓΓ221211221112[))]v u ΓΓ∂∂=-∂∂因此命题得证.⑶ 因为1212R K g =，所以2111222122121212121222g R g R g R R g K gααα=∑===-，又因为111112122212212221()p p p p p Rv u∂Γ∂Γ=-+∑ΓΓ-ΓΓ∂∂，所以11112121121222212222111221222121222212()()2()g K u v∂Γ∂Γ=-+ΓΓ+Γ-ΓΓ+Γ+ΓΓ-ΓΓ∂∂ ①而212221Γ+Γ=211211Γ+Γ=② 1121212222212222222121222()g g g v u∂∂Γ-Γ=ΓΓ-ΓΓ∂∂ 即12121122222122221221222212()()g g g v u∂∂ΓΓ-ΓΓ=Γ-Γ∂∂ ③ 于是将②，③代入①并整理得：112212[))]Ku v∂∂=-∂∂⑷因为E=G=2λ,F=0,所以2211][()()][(ln)(ln)]u vu v u v uu vvKλλλλλλλλ=+=-+=-+因此命题得证.⑸因为E=1， F=0, G=G（u，v），所以]0]u v uuK=+=+=因此命题得证.7．如果曲面的第一基本形式为222222()du dvdsu v c+=++，计算克氏符号kijΓ.解因为2221,0()E G Fu v c===++，所以111222,2uE uE u v c-Γ==++212111212222222222,,222v v uE E Gv v uG u v c E u v c G u v c--Γ=-=Γ==Γ==++++++，1222222uG uE u v cΓ=-=++，2222222vG vG u v c-Γ==++.8．求证第一基本形式为222222()du dvdsu v c+=++的曲面有常高斯曲率 .证因为2221,0()E G Fu v c===++，所以]u vK=+=-()22222222222222()2()[]()()v c u u c vu v cu v c u v c-+--+-+++++++=4c故所给曲面有常高斯曲率 .9．求以E=1,F=0,G=1,L=-1,M=0,N=0为第一、第二类基本量的曲面.解由已知条件和kijΓ的定义易知kijΓ=0，所以所求曲面的基本方程是,0,0,0,uu uv vvu u vr n r rn r n=-==⎧⎨==⎩，从第一式和第四式可得0uuu ur r+=，所以()cos()sin()r a v u b v u c v=++，再由第二式得'sin'cos0a ub u-+=，因此,a b是常向量，于是从第三式得(,c dv ed e=+为常向量），从而所求的方程为cos sinr a u b u dv e=+++，而sin cos,u vr a u b u r d=-+=，所以2222sin cos2sin cos1u ur r a u b u ab u u=+-=，因此221,0,a b ab===又sin cos0u vr r ab u bd u=-+=，所以0,ad bd==再注意到1v vr r dd==，于是,,,a b d可以分别作为x,y,z轴上的单位向量，故所求曲面可表示为{cos,sin,}r u u v e=+，因此所求曲面是半径为1的圆柱面.10．证明不存在曲面，使E=G=1,F=0,L=1,M=0,N=-1.证若存在曲面满足题设条件，则所给E,F,G,L,M,N 必须满足在正交坐标网下的G —C —M 公式，但2]01u v LN M EG -+=≠=-，所以不满足高斯公式，故不存在满足题设条件的曲面.§6 曲面上的测底线1．求正交网的坐标曲线的测地曲率. 解因为坐标网是正交的，所以F=0，故g d k ds θθθ=，而对u-曲线来说，θ=0，故gu k = 对v-曲线来说，θ=222n gκκκ=+2π ，所以gv k =2．证明球面r ={acosucosv,acosusinv,asinu}上曲线的测地曲率sin ,n d udvds dsθκ=- 其中θ表示曲线与经线的交角.证易求出E=2a , F=0,G=2a 2cos u ,因此g d k ds θθθ==221ln(cos )sin 2d a u ds a u θθ∂+∂=sin sin cos d u ds a u θθ-，而1cos dv sin ds a u θθ==，故 sin g d dv k u ds ds θ=-. 3．求位于半径为R 的球面上半径为a 的圆的测地曲率.解法一：因为sin ,(,)n n κκθθβ=±=∠，而1,sin a R κθ==，所以n κ=. 解法二：半径为a 的圆的曲率为1a κ=，圆上每一点处的法曲率1n Rκ=±，由222n g κκκ=+知，2222222g n R a R a κκκ-=-= ，所以g κ= .解法三：任何球面上的圆都可以通过建立适当的曲纹坐标网使其成为纬圆，过不妨求半径为a 的纬圆的测地曲率.由1题知所求即为v-线的测地曲率：gv k =Γ因为所考虑纬圆的半径为a，所以cos ,sin R u a u ==所以v g Raκ=-4．求位于正螺面r={ucosv,usin,av}上的圆柱螺线00():{cos ,sin ,}C r u v u v av =（0u =常数）的测地曲率.解易计算出E=1，F=0，G=22a u +，而（C ）是一条v-曲线：u=0u ,于是由22221ln()2gv a u uu a u κ∂+===∂+，可知（C ）的测地曲率为0220gv u a u κ=+. 5．设曲面(S)上曲率线(C)，(C)上的点不是抛物点.证明(C)在点P 的测地曲率的绝对值等于在(S)的球面映射下(C)的象在对应点的测地曲率与(C)在点P 的法曲率之积的绝对值.分析本题是一个综合应用题，可利用球面像和测地曲率及曲率线等概念，罗德里格定理，默尼埃定理证之.证设所给曲面(S)上曲率线(C)的方程为r =)(s r，它的球面像()C 的方程为()r n s =，注意到曲率线的定义及罗德里格定理，则有n n dn dn ds dr ds ds ds ds ds ds ds dsακκα===-=-，其中s 是()C 的弧长，即(1)n ds ds αεαεκ==±=-，所以1nds ds αεαακ==- ，又因为(C)的点都不是(S)抛物点，即K ≠0,所以||Kn n K =，（n 为(S)的球面像（S ）的单位法向量），从而有测地曲率的定义可得11()()g g n n k n n αααακκκ=⨯=±⨯=±，即||||gg nκκκ= ，即||||g g n κκκ= .6．若曲面(S)(,)r r u v =上曲线(C):u = u(t),v = v(t),t 为曲线(C)上的任意参数，试导出测地曲率g k 的计算公式.解由于(,,)g r r n κκβε== ，而222',''()ds ds d sr r r r r dt dt dt ==+ ，所以()22332','',[(())](,,)()|'|g ds ds d s dsr r n r r r n r r n r dt dt dt dtκ=⨯+==，所以3(','',)/|'|g r r n r κ=，又'i i i du r r dt =∑， 22,''i j iij i i j i du du d u r r r dt dt dt=∑+∑ = 22,,,i j i j kkijk ij k i j k i j k du du du du d u r Ln r dt dt dt dtdt ∑Γ+∑+∑ ，从而(','',)(''')r r n r r n =⨯= [1222222122,,()(i j i jij ij i j i j du d u du du du d u du du dt dt dt dt dt dt dt dt +∑Γ-+∑Γ|'|ij du r g =，由此得到：1222222122,,2[()()]()i j i jg ij ij i j i j ij du d u du du du d u du du dt dtdt dt dt dt dt dt g dt dtκ=+∑Γ-+∑Γ. 7．求证旋转曲面的子午线是测地线，而平行圆仅当子午线的切线平行于旋转轴时才是测地线 . 证设旋转曲面为(S)，{()cos ,()sin ,()}(()0)r t t t t ϕθϕθψϕ=，则易计算出E='2'22,0,F G ϕψϕ+==,于是子午线（t —曲线）的测地曲率为'2'21ln()02gt k ϕψϕθ∂+==-=∂，故子午线是测地线.又平行圆（θ-曲线）的测地曲率为2g k θ=== .所以0g k θ=的充要条件是'()0t ϕ= ，即{'()cos ,'()sin ,'()}{0,0,'()}t r t t t t ϕθϕθψψ== 故平行圆仅当子午线的切线平行于旋转轴时才是测地线 . 8．求证 ⑴ 如果测地线同时为渐近线，则它是直线；⑵如果测地线同时为曲率线，则它是一平面曲线.证 ⑴因为所给曲线是测地线，所以0g k =；又因为所给曲线是渐近线，所以0n k =，而222n gk k k =+ ，所以k=0，故所给曲线是直线. ⑵ 方法一：因所给曲线既是测地线又为曲率线，所以沿此曲线有n ‖β，n ‖α，而γαβ=⨯，所以,n γα=±⨯从而()(0)0n n k n γααβ=±⨯+⨯=±-⨯+=，又γτβ=-，所以0τ=，故所给曲线是平面曲线.方法二：因所给曲线是测地线，所以沿此曲线有n ‖β，所以β‖dn ，又因曲线是曲率线，所以dn ‖dr ‖α ，所以()κατγ-+‖α ，所以0τ=，故所给曲线是平面曲线.方法三：因所给曲线是测地线，所以该曲线的主法线重合于曲面的法线；因为是曲率线，所以沿此曲线曲面的法线曲面是可展曲面.从而该曲线的主法线曲面是可展曲面，而挠曲线的主法线曲面不是可展曲面，因此该曲线一定是平面曲线.方法四：设Γ是测地线，所以Γ的主法向量β‖n （曲面的单位法向量），所以Γ的副法向量γ⊥n ；即曲线Γ在每点处的副法向量与曲面在该点的法向量成定角，因Γ是曲率线，所以由P 114习题14知，曲线Γ是平面曲线.9．已知曲面的第一基本形式22()v du dv I =+，证明它上面的测地线是uv 平面上的抛物线. 证因为E=G=v,F=0,所以测地线的微分方程化为1,2d dv tg du v du θθ== ，于是2dv tg d vθθ= ，积分后得12cos v h θ=（常数），由此得tg θ= .将此式代入第二式得du = ，积分后得002(u u u =±=常数），即2220()4()u u h v h -=- .故测地线在uv 平面上的表示为抛物线.10．求正螺面r={ucosv,usin,av}上的测地线.解易计算出E=1，F=0，G=22a u +，所以测地线的微分方程化为22,d u dv tg du a u du θθθ=-=+，对第一式积分得sin h =（常数）.于是tg θ=，将此式代入第二式并积分，则得所求测地线为v h = .11．利用刘维尔公式证明：⑴平面上的测地线为直线；⑵圆柱面上的测地线为圆柱螺线.证 ⑴方法一：由于曲面的第一基本形式可写为22du dv I =+，所以由利乌维公式可知，平面上的测地线的微分方程为0,0,d d dv tg du dv duθθθ===，于是有θ=常数，v utg c θ=+，故测地线为直线.方法二：取平面直角坐标系xoy ，平面方程为{,,0}r x y =，可得1,0,1E F G ===，所以 22dx dy I =+.由刘维尔公式，对平面上的测地线有：g d d ds ds θθκθθ== = 0 所以测地线的（相对曲率）r d k dsθ== 0 ，所以测地线是直线. 方法三：如方法二得0d dsθ=，所以0θθ=是常数，所以 0000cos ,cos ,sin ,sin dx dy x s y s ds dsθθθθ==== 即测地线方程是0v u K ⎧⎫⎪=+=⎬⎪⎭00cos sin x s y s θθ=⎧⎨=⎩ ，所以测地线是直线. ⑵ 证法一：设圆柱面为{cos ,sin ,}r a u a u v =，则易计算2,0,1E a F G ===.所以测地线的微分方程为g d d ds ds θθκθθ== = 0，,du dv ds ds θθ== ，所以θ=常数，0,0,d d dv atg du dv duθθθ===，()v atg u c θ=+，即圆柱面上的测地线为{cos ,sin ,}.r a u a u bu c =+.其中b atg θ=，这正是圆柱面上的圆柱螺线.因此得证.证法二：设圆柱面为{cos ,sin ,}r a u a u v =，则易计算2,0,1E a F G ===.所以测地线的微分方程为,gd dds dsdu dvds dsθθκθθθθ⎧===⎪⎪⎨⎪==⎪⎩所以0001cos,sindu dvds a dsθθθθ===是常数，，0102cos,sinu S C v s Caθθ=+=+ .所以测地线为：001102cos cos{cos(),sin(),sin}r a s C a s C s Ca aθθθ=+++（C1,C2为常数）.因为0{s i n}rθ'=…，…，与z周成定角，所以测地线为圆柱螺线：θ=时为112{cos(),sin(),}s sr a C a C Ca a=++是纬圆；02πθ=时为112{cos,sin,}r a C a C s C=+是直母线.12．证明：若曲面上非直线的所有测地线均为平面曲线，则它必为曲率线.证法一：因为所给曲面曲线是非直线的测地线，所以沿此曲线有nβ=±，从而()nκατγ=±-+，又因为曲线是平面曲线，所以0τ=，从而nκα=±.因此由罗德里格定理可知曲线的切线方向为主方向，故所给曲线为曲率线.证法二：设曲面上非直线的曲线Γ为测地线且为平面曲线.因为Γ为测地线，所以它的主法线是曲面的法线，又因Γ为平面曲线，所以Γ的主法线曲面是可展曲面，于是曲面沿Γ的法线组成曲面是可展曲面，所以Γ为曲率线.13．如果曲面上引进半测地坐标网，222(,)ds du G u v dv=+.求证：1[gds d tgκ-= .证明因为E=1，F=0，G=(,)G u v，所以根据Liouville公式有sin2ugGd dds ds Gθθκθθθ==+，而dvdsθ=，dvduθθ==，从而1[gdtgdsκ-=+故得1[gds d tgκ-= .14．给出曲面的第一基本形式为222(,)ds du G u v dv=+，如果此曲面上的测地线与u-曲线交于角α时，求证ddvα=证因为E=1，F=0，G=(,)G u v，所以与u-曲线交于角α的测地线应满足微分方程组sin2cosuGdds Gdudsdvdsααααααα⎧==-⎪⎪⎪==⎨⎪⎪=⎪⎩于是有ddvα=，故有ddv uα=-∂.15．证明：若曲面上两族测地线交于定角，则曲面是可展曲面.证法一：取一族测地线为u-曲线，与其正交的测地平行线为v-曲线，在曲面上建半测地坐标网，则曲面的第一基本形式可写为222(,)ds du G u v dv=+，由于两族测地线交于定角（设为ϑ），所以对另一族测地线来说应有0sin02uGdds Gθθθ==-=，所以0Gu∂=∂，这说明G仅与v有关，于是曲面的第一基本形式可写为222()ds du G v dv=+，作参数变换,u u v==，则曲面的第一基本形式化为22du dvI=+，这与平面的第一基本形式一致.因此所给曲面与平面是等距的，故为可展曲面.证法二：同上得到曲面的第一基本形式为222()ds du G v dv=+，所以曲面的高斯曲率v uK⎧⎫⎪=+=⎬⎪⎭，所以曲面为可展曲面.证法三：同17题利用高斯--泼涅公式证明曲面的高斯曲率处处为零，从而曲面为可展曲面.16．求半径为R的球面上测地三角形三内角之和.解任给半径为R的球面上的一个测地三角形∆，设其边缘为G∂，所围成的区域为G，则有高斯--泼涅公式可知31()2iiGKdσπαπ=+-=∑⎰⎰，其中iα（i=1,2,3）是∆的三个内角，而曲面的高斯曲率K=21R，所以3211()2iiGdRσπαπ=+-=∑⎰⎰，故得3211iiSRαπ∆==+∑，其中s∆是测地三角形∆的面积.17．利用高斯--泼涅公式证明若曲面(S)上存在两族交于定角的测地线，则它的高斯曲率处处为零.证不妨选取题设中的两族交于定角（设为α）的测地线为坐标曲线.若(S)在一点P处的高斯曲率K（P）≠0，不妨设K（P）> 0,则由K的连续性可知，存在点P的一个充分小的邻域G使得K(P)>0(P∈G).不妨设G是由两条u-曲线和两条v-曲线所围成，则由高斯--泼涅公式可知()()2GKdσπααπααπ+-++-+=⎰⎰，从而可知0GKdσ=⎰⎰，这与K(P)>0，从而上式左边大于零矛盾，因此命题得证.注：如果不对证题方法有特殊要求，则用15题中的证明方法也可.18．若曲面(S)的高斯曲率处处小于零，则曲面(S)上不存在围成单连通区域的光滑闭测地线.证若不然，则(S)上存在围成单连通区域G 的光滑闭测地线（C ），于是由高斯--泼涅公式可得2G Kd σπ=⎰⎰.因为K<0,所以0GKd σ⎰⎰，这与上式右边的20π相矛盾，因此命题得证.19．设,a b 是沿曲面上曲线（C ）的向量场，f 是定义在（C ）上的数量函数，证明下列绝对微分的运算性质：⑴ ()D a b Da Db +=+； ⑵ ()()D fa df a fDa =+；⑶ ()()d ab Da b aDb =+ .证⑴ ()()[()][()][()]D a b d a b nd a b n da nda n db ndb n Da Db +=+-+=-+-=+⑵ ()()[()]()[()]D fa d fa nd fa n df a fda n df a fda n =-=+-+()[()]()df a f da nda n df a fDa =+-=+⑶ ()()[(()][()]d ab da b adb Da nda n b a Db ndb n =+=+++=()Da b aDb + .20．设(),()a s b s 是曲面上曲线():()C r r s =的两个平行向量场，证明ab =常数，并由此证明当曲面上一点处二向量沿曲面上曲线作勒维—其维塔平行移动时，他们的长度和夹角不变.证 ⑴ 因为()()d ab Da b aDb =+，且(),()as bs 是沿():()C r r s =的两个平行向量场，即0,0Da Db ==，所以()0,d ab =故ab =常数.⑵ (),()a s b s 是沿():()C r r s =的两个平行向量场，所以由⑴可知2a aa ==常数，2b bb ==常数，ab =常数.故||a =常数，||b =常数，cos (,)||||ab a b a b ∠==常数，因此命题得证.。

大学所有课程课后答案

我为大家收集了大学所有课程的课后答案，这里只列出了一部分，要想找到更多的答案，请到查找。

资料打开方法：按住 Ctrl键，在你需要的资料上用鼠标左键单击资料搜索方法：Ctrl+F 输入关键词查找你要的资料【数学】∙01-08数值分析清华大学出版社第四版课后答案∙01-08微分几何第三版梅向明黄敬之主编课后答案∙01-07高等代数与解析几何陈志杰主编第二版课后答案∙01-07高等代数第三版北京大学数学系主编高等教育出版社出版课后答案∙01-07数学分析陈纪修主编第二版课后答案∙01-07数学分析华东师大第三版课后答案∙12-27高等数学同济大学出版社第五版课后答案∙12-08积分变换(第四版)东南大学数学系张元林编高等教育出版社课后答案∙11-30微积分复旦大学出版社曹定华主编课后答案∙11-21人大－吴赣昌－高等数学/微积分（经管类）课后答案∙11-09概率统计简明教程同济版课后答案∙11-09复变函数钟玉泉课后答案∙11-09微积分范培华章学诚刘西垣中国商业出版社课后答案∙11-09线性代数同济大学第四版课后答案∙11-08概率论与数理统计浙大版盛骤谢式千课后答案∙11-08复变函数西安交通大学第四版高等教育出版社课后答案∙11-07离散数学教程肖新攀编著课后习题答案∙11-07离散数学（第三版）清华大学出版社（耿素云，屈婉玲，张立昂）课后习题答案∙11-04高等数学同济大学出版社第六版课后答案∙10-27高等数学北大版课后答案∙【通信/电子/电气/自动化】∙01-08信号与线性系统分析吴大正第4版课后答案∙01-08信号与系统刘泉主编课后答案∙01-08信号与系统奥本海姆英文版课后答案∙01-08数字信号处理吴镇扬高等教育出版社课后答案∙01-08通信原理樊昌信第六版国防大学出版社课后答案∙01-08通信原理北京邮电大学课后答案∙12-10数字逻辑第四版(毛法尧著) 高等教育出版社∙12-10数字逻辑第二版(毛法尧著) 高等教育出版社课后答案∙12-08电路第五版邱关源罗先觉高等教育出版社课后答案∙12-03数字信号处理教程(程佩青第二版) 清华大学出版社课后答案∙12-02数字信号处理教程程佩青（第三版）清华大学出版社课后答案∙11-09模拟电子技术基础童诗白第三版习题答案∙11-09数字电子技术基础阎石第五版课后答案∙11-06信号与系统郑君里主编第二版课后答案∙11-06信号与系统哈工大课后答案∙10-31模拟电子技术基础(第四版童诗白、华成英主编)习题答案∙10-29模拟电路康华光【计算机/网络/信息】∙01-08数据结构(C语言版) 李春葆主编课后答案∙12-05计算机网络教程第五版谢希仁电子工业出版社课后答案∙11-09c程序设计谭浩强主编清华大学出版社习题答案及上机指导∙10-26C语言程序设计教程习题参考答案∙10-26MATLAB程序设计与应用（第二版）刘卫国主编实验答案【经济/金融/营销/管理/电子商务】∙01-06现代西方经济学(宏观）尹伯平主编课后答案∙01-06现代西方经济学(微观经济学) 宋承先主编第3版笔记和课后习题详解∙01-06微观经济学:现代观点范里安主编第5版课后答案∙01-05微观经济学平狄克主编第4和5版笔记和课后习题详解∙01-05宏观经济学曼昆主编第五版课后答案∙01-05宏观经济学多恩布什主编课后习题答案∙01-05企业会计学赵惠芳主编课后答案∙12-05市场调研与预测习题与实例陈启杰上海财经大学出版社课后答案∙11-28西方经济学高鸿业第四版(微观宏观)课后答案∙11-10中级财务会计刘兵初宜红山东人民出版社课后答案∙11-09经济法概论课后答案∙11-08中级财务会计（第二版）刘永泽东北财经大学课后答案【物理/光学/声学/热学/力学】∙01-19机电传动控制华中科技大学出版社邓星钟主编课后答案∙01-05量子力学张永德主编课后答案∙01-04量子力学导论曾谨言著第二版课后答案∙01-04量子力学曾谨言著高等教育出版社第三版第一卷课后答案∙01-04量子力学教程周世勋著高等教育出版社课后答案∙01-04量子力学教程曾谨言著课后答案∙01-04电动力学郭硕鸿主编第三版课后答案∙01-04理论力学卢圣治著课后答案∙01-03理论力学周衍柏著第二版课后答案∙11-09普通物理学程守洙江之咏第五版习题分析与解答∙11-09物理学马文蔚(第五版) 习题分析与解答∙11-09大学基础物理学.2版.清华.张三慧习题答案∙11-06大学物理学赵近芳主编第二版课后答案【土建/机械/车辆/制造/材料】∙01-08机械设计基础(第五版) 高等教育出版社课后答案∙01-07材料力学单辉祖主编课后答案∙01-06材料力学刘鸿文主编哈工大第四版课后答案∙11-11机械原理第六版课后答案【化学/环境/生物/医学/制药】∙01-03高分子化学潘祖仁著第四版课后答案∙01-03物理化学辅导与习题详解第五版傅献彩著∙01-02物理化学南开大学第五版课后答案∙01-02物理化学周亚平天津大学第四版课后答案∙01-02分析化学武汉大学第四版思考题答案∙01-02分析化学武汉大学第四版课后答案∙01-02基础有机化学邢其毅著课后答案∙01-01有机化学莫里森著课后答案∙12-31有机化学（第四版）高鸿宾著课后答案∙12-31有机化学(汪小兰著) 课后答案∙12-31无机化学第三版武汉大学吉林大学编高等教育出版社课后答案∙12-31中级无机化学(朱文祥著) 高等教育出版社课后答案∙12-31无机化学第三版(宋天佑著) 高等教育出版社课后答案∙12-30生物化学解题指导与测验张楚富高等教育出版社课后答案∙12-30生物化学简明教程第四版(张丽萍著) 高等教育出版社课后答案∙12-30生物化学原理(张洪渊著) 科学出版社课后答案∙12-30生物化学第三版(沈同王镜岩著) 高等教育出版社课后答案∙10-31有机化学第三版(胡宏纹著) 高等教育出版社课后答案∙10-29有机化学第四版答案曾昭琼主编高等教育出版社【法学/哲学/心理学/政治学】∙12-29实验心理学杨治良版练习题及答案07年心理学考研∙12-29《心理学》考试题库及答案程素萍浙江大学出版社∙12-29教育心理学第三版(皮连生著) 上海教育出版社课后答案∙12-04毛邓三（2007 华中科技大学版）(毛邓三编写组著) 高等教育出版社课后答案∙11-07毛邓三课后简答题答案∙10-29逻辑学参考答案∙10-26思想道德修养与法律基础罗国杰主编高教版课后答案∙10-26毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论(吴树青等著) 高等教育出版社课后答案∙10-25马克思主义基本原理概论左伟清华南理工大学出版社课后答案∙10-25毛邓三思考题课后答案【英语/文学/史学/外语/教育】∙01-30step_by_step 2000 第四册听力答案课后答案∙01-30step_by_step 2000 第三册听力答案课后答案∙01-30step_by_step 2000 第二册听力答案课后答案∙01-30step_by_step 2000 第一册听力答案课后答案∙01-09大学体验英语综合教程第四册课后答案及课文翻译∙01-09大学体验英语综合教程第三册课后答案及课文翻译∙01-09大学体验英语综合教程第二册课后答案及课文翻译∙01-09大学体验英语综合教程第一册课后答案及课文翻译∙01-09新视野大学英语第五册课后答案∙01-09新视野大学英语第四册课后答案及课文翻译∙01-09新视野大学英语第三册课后答案及课文翻译∙01-09新视野大学英语第二册课后答案及课文翻译∙01-09新视野大学英语第一册课后答案及课文翻译∙01-05文学理论童庆炳主编修订二版课后答案∙01-05语言学教程胡壮麟主编课后答案[适合背诵]∙11-08中国近代史纲要沙健孙高等教育出版社课后答案∙11-07全新版大学英语综合教程第四册课后答案及课文翻译∙11-07全新版大学英语综合教程第三册课后答案及课文翻译∙11-06全新版大学英语综合教程第二册课后答案及课文翻译∙11-06全新版大学英语综合教程第一册课后答案及课文翻译∙11-06新世纪大学英语综合教程3 课后答案∙11-06新世纪大学英语综合教程2 课后答案∙11-06新世纪大学英语综合教程1 课后答案∙10-25新编大学英语（第一册）习题答案第二版∙10-25新编大学英语(第二册)习题答案∙10-25新编大学英语（第三册）习题答案10-25新编大学英语(第四册)课文翻译及课后习题答案。

大学教材课后题答案网站

大学教材部分答案参考网站 (供大家学习)1、C 程序设计第三版 (谭浩强著) 清华大学出版社课后答案/bbs/viewthread.php?tid=80&fromuid=92、复变函数与积分变换第四版 (张元林西安交大著) 高等教育出版社课后答案/bbs/viewthread.php?tid=612&fromuid=9C 语言程序设计教程第三版(谭浩强张基温著) 高等教育出版社课后答案[khdaw_lxywyl]/bbs/viewthread.php?tid=79&fromuid=9C 语言程序设计教程第二版 (谭浩强张基温著) 高等教育出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=256&fromuid=9离散数学（第三版）(耿素云屈婉玲张立昂著) 清华大学出版社课后答案【khdaw_ricardo】/bbs/viewthread.php?tid=293&fromuid=9耿国华数据结构课后答案/bbs/viewthread.php?tid=103&fromuid=9严蔚敏《数据结构(c 语言版)习题集》答案/bbs/viewthread.php?tid=102&fromuid=9谭浩强C++程序设计习题答案/bbs/viewthread.php?tid=420&fromuid=9《微机原理与接口技术》清华（冯博琴吴宁）版课后答案/bbs/viewthread.php?tid=707&fromuid=9数据库系统概论 (王珊萨师煊著) 清华大学出版社课后答案/bbs/viewthread.php?tid=991&fromuid=9C 程序设计第二版 (谭浩强著) 课后答案/bbs/viewthread.php?tid=47&fromuid=9清华大学《数据结构》习题+课后答案/bbs/viewthread.php?tid=249&fromuid=9《数学物理方法》（梁昆淼第二版）习题解答谢希仁版《计算机网络教程》课后答案/bbs/viewthread.php?tid=203&fromuid=9《计算机网络第四版》答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=340&fromuid=9数据结构习题集（C 版）答案/bbs/viewthread.php?tid=374&fromuid=9计算机操作系统 (汤子赢著) 西安电子科技大学课后答案/bbs/viewthread.php?tid=1083&fromuid=9离散数学 (左孝凌著) 上海科学技术文献出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=466&fromuid=9近世代数基础 (刘绍学著) 高等教育出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=177&fromuid=9计算机组成原理习题＆答案唐朔飞高等教育出版社【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=984&fromuid=9计算机网络（第4 版）清华（Andrew S.Tanenbaum）版答案（中文版）【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=201&fromuid=9《常微分方程》王高雄高等教育出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=567&fromuid=9数学分析（陈传璋版）习题答案下载/bbs/viewthread.php?tid=714&fromuid=9计算机算法设计与分析(第 3 版) (王晓东著) 电子工业出版社课后答案【khdaw_ricardo】/bbs/viewthread.php?tid=3162&fromuid=9《计算机系统结构》清华第2 版习题解答(chm)【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=1303&fromuid=9《编译原理》课后习题答案/bbs/viewthread.php?tid=175&fromuid=9《计算机网络》(第三版) (Andrew S.Tanenbaum 著) 清华大学出版社课后答案《软件工程》课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=896&fromuid=9C++语言程序设计(第3 版) (郑莉著) 清华大学出版社课后答案/bbs/viewthread.php?tid=988&fromuid=9计算机操作系统第三版 (汤子瀛哲凤屏汤小丹著) 西安电子科技大学出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=691&fromuid=9微型计算机接口技术及应用【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=375&fromuid=9常微分方程 (王高雄)第三版高等教育出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=2563&fromuid=9编译原理第三版 (陈火旺著) 国防工业出版社课后答案/bbs/viewthread.php?tid=1476&fromuid=9《常微分方程》(王高雄版)习题答案/bbs/viewthread.php?tid=489&fromuid=9大学计算机基础教程答案/bbs/viewthread.php?tid=379&fromuid=980x86 汇编语言程序设计 (沈明美温冬禅著) 清华大学出版社课后答案/bbs/viewthread.php?tid=523&fromuid=9IBM-PC 汇编语言程序设计课后习题答案 (美明温冬婵著) 清华大学出版社课后答案/bbs/viewthread.php?tid=370&fromuid=9数学分析 (华东师范大学数学系著) 高等教育出版社课后答案/bbs/viewthread.php?tid=238&fromuid=9李春葆：数据结构习题与解析-C 语言版/bbs/viewthread.php?tid=1005&fromuid=9visual basic 示例程序、实验答案下载/bbs/viewthread.php?tid=508&fromuid=9汇编语言 (王爽著) 课后答案清华版《编译原理》课后答案/bbs/viewthread.php?tid=228&fromuid=9离散数学（高等教育出版社）耿素云屈婉玲【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=1224&fromuid=9离散数学及其应用 (傅彦顾小丰著) 电子工业出版社课后答案/bbs/viewthread.php?tid=233&fromuid=9《计算机网络》机械工业出版社（James F.Kurose, Keith W.Ross）答案【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=730&fromuid=9计算机网络(第5 版)课后习题答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=2981&fromuid=9常微分方程课后习题答案(华东师范版)/bbs/viewthread.php?tid=172&fromuid=9《Visual FoxPro 程序设计教程》课后习题答案(刘卫国主编)/bbs/viewthread.php?tid=232&fromuid=9有关《计算机组成原理》相关课后答案发布/bbs/viewthread.php?tid=3565&fromuid=9《计算机组成原理》课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=505&fromuid=9C 程序设计第三版 (谭浩强著) 清华大学出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=3690&fromuid=9离散数学教程 (耿素云屈婉玲王捍贫著) 北京大学出版社课后答案/bbs/viewthread.php?tid=36&fromuid=9数据库系统概念答案【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=759&fromuid=9数据库系统概论答案清华版【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=337&fromuid=9所有有关《操作系统》的答案发布和一些版本的答案求助【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=3320&fromuid=9/bbs/viewthread.php?tid=2653&fromuid=9数据库系统概论(第四版)王珊、萨师煊【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=2291&fromuid=9数学分析答案复旦陈纪修【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=328&fromuid=9《数据库系统概论》课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=219&fromuid=9数据库系统概论-第四版-高教版-王珊-封面看内图【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=2344&fromuid=9计算机组成原理课后答案(白中英版)/bbs/viewthread.php?tid=173&fromuid=9所有《数据结构》版本课后答案发布/bbs/viewthread.php?tid=4310&fromuid=9《数值分析》（第４版）李庆扬编清华大学出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=3596&fromuid=9《数学分析》（第三版）华东师范大学高等教育出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=7192&fromuid=9数学分析复旦大学陈传章/bbs/viewthread.php?tid=448&fromuid=9近世代数基础 (张禾瑞著) 课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=269&fromuid=9《计算机组成与结构》王爱英(第四版)答案/bbs/viewthread.php?tid=4836&fromuid=9《软件工程导论》张海潘第五版清华大学出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=7159&fromuid=9所有有关《数据库系统概论》的答案发布和一些有关数据库版本的答案求助【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=3321&fromuid=9离散数学耿素云屈婉玲高等教育出版社课后习题参考答案【khdaw】C++语言程序设计（第3 版）（郑莉版）郑莉清华大学出版社【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=1106&fromuid=9目前最完整的数据结构1800 题包括完整答案（word 版本）/bbs/viewthread.php?tid=1244&fromuid=9《操作系统》（中国铁道出版社，刘振鹏，李亚平，王煜，张明）习题答案/bbs/viewthread.php?tid=348&fromuid=9机械工业版《c++程序设计语言》题解下载/bbs/viewthread.php?tid=254&fromuid=9《数字逻辑》（第二版）鲍家元毛文林高教出版课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=1081&fromuid=9《Visual FoxPro 及其应用系统开发》(简明版)谭浩强清华大学出版【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=1362&fromuid=9《数据结构题集》严蔚敏 (C 语言版)答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=3319&fromuid=9《计算机组成原理与汇编语言程序设计》教材答案【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=1233&fromuid=9计算机网络第二版 (吴功宜著) 清华大学出版社课后答案/bbs/viewthread.php?tid=4403&fromuid=9计算机网络谢希仁第五版电子工业出版社课后参考答案【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=6495&fromuid=9复变函数与积分变换第四版西安交大课后答案/bbs/viewthread.php?tid=2181&fromuid=9《数学物理方法》学习指导【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=1142&fromuid=9数值分析【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=1521&fromuid=9信息论与编码学习辅导及习题详解/bbs/viewthread.php?tid=1903&fromuid=9/bbs/viewthread.php?tid=3048&fromuid=9VB 高教版课后答案/bbs/viewthread.php?tid=250&fromuid=9实变函数与泛函分析课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=1332&fromuid=9《微机系统原理与接口技术》课后答案【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=1304&fromuid=9清华版编译原理课后答案(chm)【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=1302&fromuid=9计算机网络教程谢希仁版/bbs/viewthread.php?tid=1082&fromuid=9数值分析第四版 (李庆扬王能超易大义著) 清华大学出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=8086&fromuid=9耿国华数据结构---C 语言的描课后大部分习题答案西安电大学出版社【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=2015&fromuid=9新版汇编语言程序设计 (钱晓捷著) 电子工业出版社课后答案/bbs/viewthread.php?tid=692&fromuid=9《计算机组成原理》唐朔飞第二版高等教育出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=9774&fromuid=9计算机组成原理白中英第四版课后答案【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=3419&fromuid=9IBM-PC 汇编语言程序设计（第2 版） (沈美明温冬婵编著著) 清华出版社课后答案/bbs/viewthread.php?tid=3497&fromuid=9初等数论答案严士健高教版【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=2360&fromuid=9计算机组成原理唐朔飞版高等教育出版社（部分答案）【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=3422&fromuid=9西电汤操作系统第三版【khdaw_cola】计算机应用基础 (不详著) 不详课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=262&fromuid=9数学模型（第三版）习题参考解答/bbs/viewthread.php?tid=4879&fromuid=9微型计算机原理与接口技术 (冯博琴著) 清华出版课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=2617&fromuid=9离散答案（王元元张桂蕓编著）科学出版社【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=1100&fromuid=9《C 程序设计》谭浩强（第三版）清华大学出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=2608&fromuid=9C++ 程序设计(第二版)高等教育出版课件例题源代码及习题答案/bbs/viewthread.php?tid=1751&fromuid=9计算机网络教程第五版 (谢希仁著) 电子工业出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=11354&fromuid=9计算机网络第4 版 (谢希仁著) 电子工业出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=225&fromuid=9软件工程导论第五版 (张海藩著) 清华大学出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=7449&fromuid=9数据结构教程（第2 版）李春葆答案/bbs/viewthread.php?tid=3334&fromuid=9数值分析 (未知著) 华中科技大课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=3525&fromuid=9数据结构（C 语言版） (严蔚敏吴伟民米宁著) 清华大学出版社课后答案/bbs/viewthread.php?tid=2067&fromuid=9泛函分析讲义－习题解答张恭庆、林源渠北大版【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=3139&fromuid=9近世代数基础 (张禾瑞著) 课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=3510&fromuid=9【khdaw_ricardo】/bbs/viewthread.php?tid=11229&fromuid=9白中英《计算机组成原理_试题、题解与题库》电子书（超星版）/bbs/viewthread.php?tid=1085&fromuid=9电子工业版《vb 语言程序设计》习题答案/bbs/viewthread.php?tid=107&fromuid=9C++ 程序设计教程(第二版) (钱能著) 清华大学出版课后答案/bbs/viewthread.php?tid=2503&fromuid=9计算机应用基础理论习题参考答案/bbs/viewthread.php?tid=116&fromuid=9数学模型第三版 (姜启源谢金星叶俊著) 高等教育出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=1972&fromuid=9Java 编程思想.第四版.课后练习答案/bbs/viewthread.php?tid=1846&fromuid=9《Java2 实用教程》（第三版）清华（耿祥义张跃平）版课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=6922&fromuid=9中文原版《编译原理》课后答案机械工业出版社李建中编/bbs/viewthread.php?tid=1847&fromuid=9计算机组成原理（教师用书）附带答案蒋本珊清华大学出版社【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=9254&fromuid=9《积分变换》张元林第四版东南大学答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=5074&fromuid=9《马克思主义基本原理概论》课后答案（很全哦）（2008 年修订版）【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=6053&fromuid=9<计算机操作系统教程>清华大学第二版/第三版张尧学课后习题答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=9091&fromuid=9<计算机网络教程> 谢希仁第二版人民邮电出版社课后答案【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=4862&fromuid=9/bbs/viewthread.php?tid=7785&fromuid=9vfp 数据库课后题答案/bbs/viewthread.php?tid=231&fromuid=9单片机基础第3 版李广第朱月秀冷祖祁编著北京航空航天大学出版社【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=4271&fromuid=9电工学第六版 (秦曾煌著) 高等教育出版社课后答案【khdaw_ricardo】/bbs/viewthread.php?tid=11241&fromuid=9《数据通信与计算机网络》高传善(第二版)高等教育出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=6610&fromuid=9《计算机组成原理》唐朔飞第4，5 章课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=1144&fromuid=9软件工程导论第五版 (张海藩著) 清华大学出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=13716&fromuid=9初等数论第三版 (闵嗣鹤著) 高等教育出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=1508&fromuid=9《数据库系统概论》王珊萨师煊（第四版）高等教育出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=5249&fromuid=9计算机数值方法 (施吉林著) 高等教育出版社课后答案/bbs/viewthread.php?tid=3903&fromuid=9离散数学耿素云屈婉玲课后答案/bbs/viewthread.php?tid=7839&fromuid=9数据结构---C 语言描述答案（耿国华）高教版【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=2094&fromuid=9软件工程导论课后答案/bbs/viewthread.php?tid=5172&fromuid=9数据结构(殷人昆主编)【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=3077&fromuid=9《c 程序设计语言》英文第2 版课后答案严蔚敏数据结构例题算法代码/bbs/viewthread.php?tid=1031&fromuid=9国防科学技术大学计算机学院离散数学课后习题答案/bbs/viewthread.php?tid=100&fromuid=9计算机网络-自顶向下方法与Internet 特色第三版英文课后答案【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=2495&fromuid=9《计算机组成原理》白中英第三版课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=3423&fromuid=9数据结构（C++版）王红梅，胡明，王涛版课后答案【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=4426&fromuid=9清华版编译原理【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=1027&fromuid=9微机原理与接口技术-基于IA-32 处理器和32 为汇编语言 (钱晓捷著) 机械工业出版社课后答案【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=5668&fromuid=9《离散数学》左孝凌,刘永才上海科学技术文献出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=5236&fromuid=9网络操作系统课后答案/bbs/viewthread.php?tid=430&fromuid=9《点集拓扑讲义》高教（熊金城）版课后答案【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=6441&fromuid=9数学分析第二版 (陈传章著) 高等教育出版社课后答案【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=2442&fromuid=9软件工程【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=3072&fromuid=9操作系统教程第4 版 (张钟秀著) 高等教育出版社课后答案/bbs/viewthread.php?tid=7703&fromuid=9信息论与编码技术--冯桂林其伟陈东华--清华大学出版社【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=3332&fromuid=9编译原理课程设计报告（词法，语法等）【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=2514&fromuid=9微机原理与接口技术楼顺天，周佳社科学出版社【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=5304&fromuid=9《单片机原理及接口技术》梅丽凤清华大学出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=5538&fromuid=9数据库系统概论_王珊、萨师煊第四版（chm 格式）【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=6403&fromuid=9数字逻辑答案第三版(华中科大欧阳星明)/bbs/viewthread.php?tid=6833&fromuid=9算法导论（英文版）答案【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=2792&fromuid=9数学物理方法第三版 (梁昆淼著) 高等教育出版社课后答案/bbs/viewthread.php?tid=2398&fromuid=9微型计算机原理与接口技术 (周荷琴吴秀清著) 课后答案/bbs/viewthread.php?tid=4086&fromuid=9《工程数学概率统计简明教程(同济大学应用数学系)》课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=7219&fromuid=9复变函数答案【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=6557&fromuid=9复变函数与积分变换 (马柏林著) 复旦大学课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=14749&fromuid=9计算机操作系统教程（第二版）左万历周长林【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=1690&fromuid=9计算机组成原理（唐朔飞）答案高等教育出版社【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=8804&fromuid=9信息论与编码陈运电子工业出版社【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=2828&fromuid=9计算机网络英文原版（第4 版）【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=3239&fromuid=9《数据库系统概念》（第五版影印版）高级教育出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=5283&fromuid=9离散数学 (王义和著) 哈尔滨工业大学出版社课后答案【khdaw_ricardo】/bbs/viewthread.php?tid=5724&fromuid=9IBM-PC 汇编语言程序设计（沈美明2 版）【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=5203&fromuid=9《C 程序设计解题与上机指导》谭浩强第二版清华大学出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=1551&fromuid=9《组合数学》第四版机械工业出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=4346&fromuid=9《计算机英语（第2 版）》参考译文与习题解答【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=2963&fromuid=9C 语言程序设计教程杨路明北京邮电大学出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=10074&fromuid=9《数据库系统及应用》崔魏（第二版）高等教育出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=2482&fromuid=9编译原理第三板 (陈火旺刘春林著) 国防工业课后答案/bbs/viewthread.php?tid=7680&fromuid=9《SQL SERVER 2005 数据库开发与实现》微软公司课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=1335&fromuid=9信号与线性系统管致中第4 版答案/bbs/viewthread.php?tid=6729&fromuid=9《计算机算法基础》（第三版）华中科技大4、5、6、8 章课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=4348&fromuid=9计算机系统结构第二版清华大学出版社课后答案/bbs/viewthread.php?tid=5370&fromuid=9《visual basic》课后作业答案【khdaw_lxywyl】常微分方程（张禾瑞）第三版【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=1654&fromuid=9《数学分析》陈传璋课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=2217&fromuid=9高等几何梅学明高教版【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=5698&fromuid=9数学分析高教出版社第二版复旦数学系主编/bbs/viewthread.php?tid=3025&fromuid=9编译原理第三版西北工业大学出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=5614&fromuid=9数值分析数值计算方法曾金平湖南大学出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=9628&fromuid=9C 语言程序设计 (何钦铭颜晖著) 浙江科学技术出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=14395&fromuid=9计算机网络第四版【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=1084&fromuid=9数据结构课后答案（高等教育出版社唐策善版）)【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=5994&fromuid=9微型计算机技术及应用答案/bbs/viewthread.php?tid=6013&fromuid=9实变函数论第三版(江泽坚吴智泉纪友清著) 高等教育出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=11505&fromuid=9《微积分》人教版课后课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=5190&fromuid=9严蔚敏《数据结构(c 语言版)习题集》答案/bbs/viewthread.php?tid=6170&fromuid=9微型计算机原理与接口技术 (邹逢兴著) 清华大学出版社课后答案【khdaw_cola】数据结构习题答案+耿国华主编【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=7218&fromuid=9《数据库系统概论》王珊萨师煊（第四版）课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=6054&fromuid=9计算机组成与结构第四版 (王爱英著) 清华大学出版社课后答案【khdaw_ricardo】/bbs/viewthread.php?tid=11208&fromuid=9《数据结构习题集》答案严蔚敏【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=6552&fromuid=9概率论与数理统计 (同济大学应用数学系著) 高等教育出版社课后答案/bbs/viewthread.php?tid=9101&fromuid=9立体几何大题30 题（有详细答案）[整理]人教版/bbs/viewthread.php?tid=333&fromuid=9计算机答案合集（组成原理，操作系统...）/bbs/viewthread.php?tid=5204&fromuid=9《应用概率统计》（张国权）版科学出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=7334&fromuid=9《C 程序设计》谭浩强编习题答案【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=7836&fromuid=9数据结构（C 语言版）习题答案/bbs/viewthread.php?tid=5200&fromuid=9编译原理 (陈火旺著) 国防工业出版社课后答案/bbs/viewthread.php?tid=2978&fromuid=9微机原理与接口技术第三章 (郭兰英赵祥模著) 清华出版社课后答案_khdaw/bbs/viewthread.php?tid=7347&fromuid=9计算机网络第二版） (冯博琴陈文革著) 高等教育出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=5989&fromuid=9《数据结构》清华大学答案+例程+ppt 课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=9713&fromuid=9软件工程第二版 (张海藩著) 人民邮电出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=10940&fromuid=9计算机专业英语课后答案【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=7258&fromuid=9数值计算课后答案曾喆昭文卉编著【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=2538&fromuid=9计算机组成与结构(第4 版)习题解答（上）【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=6286&fromuid=9数据结构(c 语言版)习题集答案/bbs/viewthread.php?tid=6096&fromuid=9vb 程序设计（第四版）课后习题答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=2994&fromuid=9汇编语言（清华大学出版社）【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=3421&fromuid=9离散数学答案修订版 (耿素云屈婉玲著) 高等教育出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=15917&fromuid=9《编译原理》蒋立源课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=4518&fromuid=9《数字逻辑》（第二版）华中科技大学出版社（欧阳星明）版课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=7332&fromuid=9严蔚敏数据机构实习报告部分答案【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=1036&fromuid=9数值分析部分答案/bbs/viewthread.php?tid=3523&fromuid=9《数字图像处理》（第二版）英文版习题答案（全）【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=5854&fromuid=9C 程序设计(第二版)谭浩强习题解答清华大学出版社课后答案【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=5679&fromuid=9微分几何梅向明第三版黄敬之高等教育出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=9287&fromuid=9c++语言基础教程 (吕凤葛著) 清华大学出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=14461&fromuid=9求《数值分析》第五版答案/bbs/viewthread.php?tid=6704&fromuid=9微分几何第三章、第四章 (梅向明著) 高等教育出版社课后答案/bbs/viewthread.php?tid=4721&fromuid=9《计算机组成原理》白中英（第四版•立体化教材）课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=5281&fromuid=9数值分析/bbs/viewthread.php?tid=4245&fromuid=9c 程序设计 (谭浩强著) 清华大学出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=7611&fromuid=9《数据库原理》课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=4345&fromuid=9数据结构/bbs/viewthread.php?tid=1624&fromuid=9现代微机原理与接口技术 (杨全胜著) 电子工业出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=11531&fromuid=9《计算机系统组成与体系结构》人民邮电出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=2852&fromuid=9求数值分析（第４版）李庆扬编/bbs/viewthread.php?tid=6580&fromuid=9java2 实用教程（第三版）【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=7256&fromuid=9数据结构答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=2066&fromuid=9人工智能原理及其应用王万森电子工业出版社（2-7 章）【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=9145&fromuid=9JAVA 大学实用教程第二版 (耿祥义张跃平著) 电子工业出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=15805&fromuid=9Visual C++面向对象编程教程(第2 版) (王育坚著) 清华大学出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=14404&fromuid=9清华大学出版社计算机网络第4 版中文答案【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=8080&fromuid=9计算机网络第四版 (潘爱民译著) 清华大学出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=15080&fromuid=9初等数学研究学习指导 (叶立军著) 华东师范大学出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=13939&fromuid=9《复变函数论》张锦豪邱维元版高等教育出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=5919&fromuid=9算法导论原书第二版 (潘金贵顾铁成李成法著) 机械工业出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=12100&fromuid=9张禾瑞的＜＜近世代数基础＞＞的答案/bbs/viewthread.php?tid=1540&fromuid=9c++程序设计/bbs/viewthread.php?tid=5608&fromuid=9《概率论与统计学》浙大出版社（复习指南）课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=4871&fromuid=9计算机基础课后答案(浙江科学出版社)/bbs/viewthread.php?tid=2014&fromuid=9《C 语言程序设计》张世禄，潘大志，冯天敏电子工业出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=2568&fromuid=9C 语言程序设计(洪维恩)课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=1955&fromuid=9《计算机组成原理》白中英第四版科学出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=6433&fromuid=9微机原理与接口技术第 4 版 (周荷琴，吴秀清著) 中国科学技术大学出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=15151&fromuid=9数值计算课后答案（清华大学出版）/bbs/viewthread.php?tid=5246&fromuid=9java 程序设计【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=7541&fromuid=9《高等数值分析》清华大学出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=5692&fromuid=9数据与计算机通信（第七版） William Stallings 等【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=5201&fromuid=9数值方法第二版 (金一庆陈越著) 机械工业出版社课后答案/bbs/viewthread.php?tid=11539&fromuid=9高等代数北师大高教第三版张和瑞【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=8607&fromuid=9微波技术与天线(第二版) 王新稳李萍李延平编电子工业出版社【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=6534&fromuid=9数据结构（陈慧南编 C＋＋描述）南京邮电大学课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=9506&fromuid=9四川大学出版社编的离散数学教程答案【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=7402&fromuid=9计算机组成原理（白中英版）【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=3243&fromuid=9现代微型计算机与接口教程课后答案杨文显主编寿庆余副主编【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=7964&fromuid=9C 语言程序设计 3-5 章部分程序题答案杨路明北京邮电大学出版社【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=8775&fromuid=9《操作系统》汤子赢西安电子科技大学答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=6055&fromuid=9数据库原理与应用教程第二版陈志泊人民邮电出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=9933&fromuid=9数据结构与算法分析（C++ 第二版）Clifford A. Shaffer 电子工业出版社【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=9211&fromuid=9《程序设计基础》练习题及答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=2801&fromuid=9《多媒体技术基础(第2 版)》林福宗清华大学出版社课后参考答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=9299&fromuid=9计算机专业英语(含课文、译文、模拟试题、专业英语习题、答案)【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=9364&fromuid=908 版考研概率复习指南答案/bbs/viewthread.php?tid=509&fromuid=9计算机网络（第4 版） (Andrew S.Tanenbaum 著) 清华大学出版社课后答案/bbs/viewthread.php?tid=11361&fromuid=9计算机图形学王汝传 1－4 章人民邮电出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=10000&fromuid=9计算机网络教程（第3 版）习题答案【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=7777&fromuid=9c++语言程序设计（实验部分）第 3 版(郑莉著) 清华大学出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=15124&fromuid=9数字信号处理学习指导与题解 (丁美玉高西全王军宁著) 电子工业出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=15168&fromuid=9计算机网络第五版 (谢希仁著) 电子工业出版社课后答案/bbs/viewthread.php?tid=16108&fromuid=9数学物理方程与特殊函数第三版完整 (东南大学数学系王元明著) 高等教育出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=17311&fromuid=9《操作系统概念》英文版高等教育出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=3491&fromuid=9计算机网络第二版蔡开裕朱培栋徐明（国防科技大学版）【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=9239&fromuid=9《C++语言程序设计教程》吕凤翥人民邮电出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=8119&fromuid=9电工学第七版下册 (秦曾黄著) 高等教育出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=19778&fromuid=9vfp 表修复工具/bbs/viewthread.php?tid=73&fromuid=9C++语言基础教程吕凤翥人民邮电出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=10016&fromuid=9数据库及其应用教材课后习题答案_【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=9530&fromuid=9Turbo C 错误信息表/bbs/viewthread.php?tid=70&fromuid=9《微机原理及汇编技术》课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=5684&fromuid=9复变函数答案第四版 (余家荣著) 高等教育出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=17004&fromuid=9Java 程序设计(第二版) (朱喜福著) 人民邮电出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=10576&fromuid=9计算机专业英语教程译文（第 4 版） (金志权等主编著) 电子工业出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=14170&fromuid=9数据结构习题/bbs/viewthread.php?tid=4344&fromuid=9《计算机英语》第２版全书翻译及课后答案_【khdaw_lxywyl】。

数学与统计学院本科生课程建设一览表-东北师范大学数学与统计学院

李训经.控制论基础,高等教育出版社, 2003.
索伯列夫空间
蔡守峰、刁怀安、孙佳宁、盛中平
邵勇译.数学软件入门,高等教育出版社, 2003.
编写中
（盛中平）
陶剑
概率统计
（8）
概率论基础（ZG）
高巍、郭建华、刘红、宋海燕、陶剑、杨青山
Mood A. M., Gray F. A., and Boes D. C. Introduction to the Theory of Statistics, McGraw-Hill Book Company, 1974.
张同君.竞赛数学,高等教育出版社, 2007.
教育实习（ZY）
陈亮、刁怀安、韩继伟、李淑文、秦德生、孙佳宁、曾志军
教育见习（ZY）
郭民、韩继伟、李淑文、秦德生、沈广艳、孙佳宁、孙雪楠
裴东河
几何拓扑
（5）
解析几何
陈亮、李宾、裴东河、王勇、沈广艳
1.丘维生.解析几何（第二版），北京大学出版社，1996
2.吕林根.解析几何（第四版），高教出版社,2006
胡果荣、宋海燕、朱文圣
孙山泽.抽样调查,北京大学出版社, 2004.
袁岗华
运筹与控制
偏微分方程（XL）
雷沛东、柳絮、袁岗华、赵宏亮
陈祖墀.偏微分方程（第三版）,中国科学技术出版社, 2008.
运筹学（XL）
刁怀安、曾志军
何坚勇.《运筹学基础》,清华大学出版社, 2000年7月.
控制论基础（XL）
高忆先、雷沛东、李亚军、林萍、柳絮、赵宏亮、曾志军
陈维桓.微分流形初步,高等教育出版社, 1998.
数学思想方法（XL）
新编（史宁中）
代数拓扑学
沈广艳、裴东河、王勇

《微分几何》教学大纲

《微分几何》课程教学大纲课程名称：《微分几何》课程编码：074112303适用专业及层次：数学与应用数学（本科）课程总学时：72学时课程总学分：4一、课程的性质、目的与任务等。

1、微分几何简介及性质微分几何是高等院校数学和数学教育各专业主要专业课程之一，是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。

古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间----流形。

微分几何与拓扑学等其他数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。

本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程。

2、教学目的：通过本课程的教学，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，分析和解决初等微分几何问题，并为进一步学习微分几何的近代内容打下良好的基础。

3、教学内容与任务：本课程主要应用向量分析的方法，研究一般曲线和曲面的局部理论，同时还采用了张量的符号讨论曲面论的基本定理和曲面的内蕴几何内容，并且讨论了属于整体微分几何的高斯崩尼（Gauss-Bonnet）公式。

重点让学生把握理解本教材的前二章。

二、教学内容、讲授大纲与各章的基本要求第一章曲线论教学要点：本章主要研究内容为向量分析，曲线的切线，法平面，曲线的弧长参数表示，空间曲线的基本三棱形，曲率和挠率的概念和计算，曲线论的基本公式和基本定理，从而对空间曲线在一点邻近的形状进行研究，同时对特殊曲线特别是一般螺线和贝特朗曲线进行研究。

通过本章的教学，使学生理解和熟记有关概念，掌握理论体系和思想方法，能够证明和计算有关问题教学时数：22学时。

教学内容：第一节向量函数1.1 向量函数的极限1.2 向量函数的连续性1.3 向量函数的微商1.4 向量函数的泰勒（TayLor）公式1.5 向量函数的积分第二节曲线的概念2.1 曲线的概念2.2 光滑曲线、曲线的正常点2.3 曲线的切线和法面2.4 曲线的弧长、自然参数第三节空间曲线3.1 空间曲线的密切平面3.2 空间曲线的基本三棱形3.3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式3.4 空间曲线在一点邻近的结构3.5 空间曲线论的基本定理3.6 一般螺线考核要求：1、理解向量函数的极限、连续性、微商、泰勒（TayLor）公式和积分等概念，能推导和熟记有关公式，并能使用它们熟练地进行运算。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

微分几何(第三版)梅向明黄敬之编[1]第一章曲线论§2 向量函数5. 向量函数«Skip Record If...»具有固定方向的充要条件是«Skip Record If...»× «Skip Record If...»= «Skip Record If...»。

分析：一个向量函数«Skip Record If...»一般可以写成«Skip Record If...»=«Skip RecordIf...»«Skip Record If...»的形式，其中«Skip Record If...»为单位向量函数，«Skip Record If...»为数量函数，那么«Skip Record If...»具有固定方向的充要条件是«Skip Record If...»具有固定方向，即«Skip Record If...»为常向量，（因为«Skip Record If...»的长度固定）。

证对于向量函数«Skip Record If...»，设«Skip Record If...»为其单位向量，则«Skip RecordIf...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»，若«Skip Record If...»具有固定方向，则«Skip Record If...»为常向量，那么«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»×«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»（«Skip Record If...»×«Skip Record If...»）=«Skip Record If...»。

反之，若«Skip Record If...»×«Skip Record If...»=«Skip Record If...»，对«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»求微商得«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip RecordIf...»+«Skip Record If...»«Skip Record If...»，于是«Skip Record If...»×«Skip Record If...»=«Skip Record If...»（«Skip Record If...»×«Skip Record If...»）=«Skip Record If...»，则有 «Skip Record If...» = 0 或«Skip Record If...»×«Skip Record If...»=«Skip Record If...»。

当«Skip Record If...»= 0时，«Skip Record If...»=«Skip Record If...»可与任意方向平行；当«Skip Record If...»«Skip Record If...»0时，有«Skip Record If...»×«Skip Record If...»=«Skip Record If...»，而（«Skip Record If...»×«Skip Record If...»«Skip Record If...»=«Skip Record If...»-(«Skip Record If...»·«Skip Record If...»«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»，（因为«Skip Record If...»具有固定长， «Skip Record If...»·«Skip Record If...»= 0），所以 «Skip Record If...»=«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»为常向量。

所以，«Skip Record If...»具有固定方向。

6．向量函数«Skip Record If...»平行于固定平面的充要条件是（«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»）=0 。

分析：向量函数«Skip Record If...»平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»·«Skip Record If...» = 0 ，所以我们要寻求这个向量«Skip Record If...»及«Skip Record If...»与«Skip Record If...»，«Skip Record If...»的关系。

证若«Skip Record If...»平行于一固定平面π，设«Skip Record If...»是平面π的一个单位法向量，则«Skip Record If...»为常向量，且«Skip Record If...»·«Skip Record If...» = 0 。

两次求微商得«Skip Record If...»·«Skip Record If...» = 0 ，«Skip Record If...»·«Skip Record If...» = 0 ，即向量«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»垂直于同一非零向量«Skip Record If...»，因而共面，即（«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»）=0 。

反之, 若（«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»）=0，则有«Skip Record If...»×«Skip Record If...»=«Skip Record If...»或«Skip Record If...»×«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»。

若«Skip Record If...»×«Skip Record If...»=«Skip Record If...»，由上题知«Skip Record If...»具有固定方向，自然平行于一固定平面，若«Skip Record If...»×«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»，则存在数量函数«Skip Record If...»、«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»= «Skip Record If...»+«Skip Record If...»«Skip Record If...»①令«Skip Record If...»=«Skip Record If...»×«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»⊥«Skip Record If...»。