newton插值多项式
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6.2 牛顿插值多项式
一阶均差 二阶均差 三阶均差 n阶均差 阶均差
x1 f [ x1 ] f [ x0 , x1 ]
x2 f [ x2 ] f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 , x2 ]
x3 f [ x 3 ]
… …… x f [ xn ]
n
f [ x2 , x3 ]
f [ x1 , x2 , x3 ]
N n ( x ) = a0 + a1 ( x − x0 ) + a2 ( x − x0 )( x − x1 ) + L + an ( x − x0 )( x − x1 )L ( x − xn−1 )
ak ( k = 0,1,L , n) 为待定系数 形如上式的插值 待定系数.
多项式称为牛顿 插值多项式. 多项式称为牛顿(Newton)插值多项式 牛顿 插值多项式 由插值条件 N n ( x j ) = f ( x j ) ( j = 0,1,L , n),
证毕. 证毕.
的离散数据如下表： 例 1 已知 f ( x ) = shx 的离散数据如下表：
xi
0.00
0.20 0.20134
0.30 0.30452
0.50 0.52110
f ( xi ) 0.00000
用 Newton插值多项式 计算 f (0.23) 的近似值并 插值多项式, 插值多项式 估计误差. 估计误差
解 均差计算的结果如下表
xi
0.00 0.20 0.30 0.50
f [ xi ]
0.00000 0.20134 0.30452 0.52110
一阶均差
二阶均差
三阶均差
1.0067 1.0318 1.0829
0.08367 0.17033
x1 f [ x1 ] f [ x0 , x1 ]
x2 f [ x2 ] f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 , x2 ]
x3 f [ x 3 ]
… …… x f [ xn ]
n
f [ x2 , x3 ]
f [ x1 , x2 , x3 ]
N n ( x ) = a0 + a1 ( x − x0 ) + a2 ( x − x0 )( x − x1 ) + L + an ( x − x0 )( x − x1 )L ( x − xn−1 )
ak ( k = 0,1,L , n) 为待定系数 形如上式的插值 待定系数.
多项式称为牛顿 插值多项式. 多项式称为牛顿(Newton)插值多项式 牛顿 插值多项式 由插值条件 N n ( x j ) = f ( x j ) ( j = 0,1,L , n),
证毕. 证毕.
的离散数据如下表： 例 1 已知 f ( x ) = shx 的离散数据如下表：
xi
0.00
0.20 0.20134
0.30 0.30452
0.50 0.52110
f ( xi ) 0.00000
用 Newton插值多项式 计算 f (0.23) 的近似值并 插值多项式, 插值多项式 估计误差. 估计误差
解 均差计算的结果如下表
xi
0.00 0.20 0.30 0.50
f [ xi ]
0.00000 0.20134 0.30452 0.52110
一阶均差
二阶均差
三阶均差
1.0067 1.0318 1.0829
0.08367 0.17033
53第三节 Newton插值多项式
利用N2(x)又可得过前四点的三次牛顿插值多项式 N3( x) N2( x) 0.1970( x 0.40)(x 0.55)(x 0.65)
故 f (0.596) N3(0.596) 0.6319145 f [x0 , , x4 ] 0.0344 可得N3(x)的截断误差
f [x, x0 ,L , xn1] f [x0 , x1,L , xn] f [x, x0,L , xn]( x xn ) 依次把后式代入前式，最后得
f ( x) f ( x0 ) f [x, x0 ]( x x0 ) f ( x0 ) f [ x0 , x1]( x x0 ) f [x, x0 , x1]( x x0 )( x x1 ) f ( x0 ) f [ x0 , x1]( x x0 ) f [x0 , x1, x2 ]( x x0 )( x x1 ) f [x, x0 , x1, x2 ]( x x0 )( x x1 )( x x2 )
1
数学学院 信息与计算科学系
分析“承袭性”，先考察的n=1情形，此时线
性插值多项式记为P1(x), 它满足插值条件 P1(x0)=f(x0), P1(x1)=f(x1), 用(2.1)式的点斜式表示为
P1( x)
f ( x0 )
f
(
x1 ) x1
f( x0
x0 )
(
x
x0
),
它可看成是零次多项式的修正P0(x)=f(x0)，即
则Pn(x)可表示为
Pn( x) a0 a1( x x0 ) L an( x x0 )L ( x xn1),
其中a0,a1,…, an为待定系数，可由条件(3.1)确定. 与 拉格朗日插值不同，这里的Pn(x)是由基函数{1,x-x0, …,(x-x0)…(x-xn-1)}逐次递推得到的. 为了给出系数 ai(i=0,1, …,n)的表达式，需引进差商(即均差)的定义.
第3讲 牛顿插值多项式
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
2,利用差商表的最外一行,构造插值多项式
N n ( x) = f ( x0 ) + f [ x0 , x1 ]( x x0 ) + L + f [ x0 ,L , xn ]( x x0 ) L ( x xn 1 )
例子
2点Newton型插值
f ( x1 ) f ( x 0 ) N 1 ( x ) = f ( x0 ) + ( x x0 ) x1 x 0
n
性质2
数 学 系 Sichuan Agricultural University
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
f n+1 (ξ ) 同样 Nn ( x) 的误差为 Rn ( x) = ( x x0 )L( x xn ) (n + 1)!
另一方面 设 {xi }in=0 Newton插值为Nn ( x) 则有 {xi }in=0 U {a}为Nn+1 (t ) = Nn (t ) + f [ x0 ,L, xn , a](t x0 )L(t xn ) Nn+1 (a) = f (a) ∴ f (a) Nn (a) = f [ x0 ,L, xn , a](a x0 )L(a xn )
f ( x1 ) f ( x0 ) a1 = = f [ x0 , x1 ] x1 x0
1 f ( x2 ) f ( x0 ) a2 = a1 x2 x1 x2 x0 1 ( f [ x2 , x0 ] f [ x1 , x0 ]) = f [ x2 , x1 , x0 ] = x2 x1
i 0 , L , i k 是 0 , L , k 的任意排列
数 学 系 Sichuan Agricultural University
2,利用差商表的最外一行,构造插值多项式
N n ( x) = f ( x0 ) + f [ x0 , x1 ]( x x0 ) + L + f [ x0 ,L , xn ]( x x0 ) L ( x xn 1 )
例子
2点Newton型插值
f ( x1 ) f ( x 0 ) N 1 ( x ) = f ( x0 ) + ( x x0 ) x1 x 0
n
性质2
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DEPARTMENT OF MATHEMATICS
f n+1 (ξ ) 同样 Nn ( x) 的误差为 Rn ( x) = ( x x0 )L( x xn ) (n + 1)!
另一方面 设 {xi }in=0 Newton插值为Nn ( x) 则有 {xi }in=0 U {a}为Nn+1 (t ) = Nn (t ) + f [ x0 ,L, xn , a](t x0 )L(t xn ) Nn+1 (a) = f (a) ∴ f (a) Nn (a) = f [ x0 ,L, xn , a](a x0 )L(a xn )
f ( x1 ) f ( x0 ) a1 = = f [ x0 , x1 ] x1 x0
1 f ( x2 ) f ( x0 ) a2 = a1 x2 x1 x2 x0 1 ( f [ x2 , x0 ] f [ x1 , x0 ]) = f [ x2 , x1 , x0 ] = x2 x1
i 0 , L , i k 是 0 , L , k 的任意排列
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Newton插值算法
Newton 插值的算法实现Lagrange 插值公式结构紧凑，便于理论分析。
利用插值基函数也容易到插值多项式的值。
Lagrange 插值公式的缺点是，当插值节点增加，或其位置变化时，全部插值基函数均要随之变化，从而整个插值公式的结构也发生变化，这在实际计算中是非常不利的。
下面引入的Newton 插值公式可以克服这个缺点。
1、问题描述当n=1时，由点斜式直线方程知，过两点00(,())x f x 和11(,())x f x 的直线方程为1010010()()()()().f x f x N x f x x x x x −=+−−若记 100110()()[,],f x f x f x x x x −=−则可把1()N x 写成10010()()[,]().N x f x f x x x x =+−显然，1()N x 就是一次Lagrange 插值多项式1()L x 。
由于1()y N x =表示通过两点00(,())x f x 和11(,())x f x 的直线，因此一次插值亦称为线性插值。
当n=2时，进而记120121*********[,][,]()()[,],[,,]f x x f x x f x f x f x x f x x x x x x x −−==−−类似地，构造不超过二次的多项式2001001201()()[,]()[,,]()().N x f x f x x x x f x x x x x x x =+−+−−容易检验，这样的2()N x 满足插值条件200211222()(),()(),()().N x f x N x f x N x f x ===因此，2()N x 就是二次Lagrange 插值多项式2()L x 。
二次插值的几何解释是，用通过三点00(,())x f x ，11(,())x f x ，22(,())x f x 的抛物线2()y N x =来近似所考察的曲线()y f x =，因此这类插值亦称为抛物线插值。
牛顿插值法
f [ x, x0 , x1 ,, xk 1 ] f [ x0 , x1,, xk ] f [ x, x0 , x1 ,, xk ](x xk )
因此可得
f ( x) f0 f [ x, x0 ](x x0 )
f0 ( f [ x0 , x1 ] f [ x, x0 , x1 ](x x1 ))(x x0 ) f0 f [ x0 , x1 ](x x0 ) f [ x, x0 , x1 ](x x0 )(x x1 )
为f ( x)关于xi , x j , xk的二阶差商
依此类推
5
f [ xi0 , xi1 ,, xik 1 , xik ]
f [ xi0 , xi1 ,, xik ] f [ xi0 , xi1 ,, xik 2 , xik 1 ] xik xik 1
为f ( x)关于节点 xi0 , xi1 ,, xik1 , xik 的k阶差商
2 f i 2 f i 1 3 2h3 3 f i 3!h 3
20
3 fi 3 2 fi 2 2 fxi 3 3 3!h 3 3 2h
k ( x) ( x x j )
j 0
k 1
f0 f [ x0 , x1 ,, xk ]( x x j )
k 1
n
n
k 1 j 0
为k次多项式
f 0 f [ x0 , x1 ,, xk ] k ( x)
k 1
为f ( x)关于节点 xi 的n次Newton插值多项式
f 0
f 1
f 1 f 2
f 3
2 f0
2 f2
2 f3
3 f0
第一章 第二节 Newton 插值多项式
从而有，
f ( x ) = Pn+1 ( x ) = Pn ( x ) + f ( x, x0 , x1 ,, xn ) n+1 ( x )
因此，对所有 x = xi , i = 0,1,, n ，有
Rn ( x ) = f ( x ) Pn ( x ) = f ( x, x0 ,, xn ) n+1 ( x )
算过的结果不能利用，需要全部重新算起，这在实际计算中
是非常不利的。 由此引入新的插值公式。
二、差商及其性质
1、差商的概念
设在 n + 1 个互异点 x0 , x1 ,L xn上的函数值为已知，我们称
f ( xi , x j ) = f ( xi ) f ( x j ) xi x j , (i j )
为 f (x) 的一阶差商。
一般地，我们把一阶差商的一阶差商
f ( xi , x j , xk ) = f ( xi , x j ) f ( x j , xk ) xi xk ,(i k )
称为 f (x) 的二阶差商。
把 n 1阶差商的一阶差商
f ( x0 , x1 ,, xn ) = f ( x0 , x1 ,, xn 1 ) f ( x1 , x2 , xn ) x0 xn
（2）对称性
即当任意调换 xi 的位置时，不改变差商值，如
f ( x0 , x1 , x2 ) = f ( x1 , x0 , x2 ) = f ( x2 , x1 , x0 )
（3）、若
F ( x) = f ( x) g ( x)
则
F ( xi ,, xi + k ) = f ( xi ,, xr ) g ( xr , xi + k )
ch1.5 牛顿插值多项式
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
( x0 , xn )
5.3 差商与牛顿基本插值多项式
（解一串互异的点xi 0 , xi1 , xi 2 , 上的值 依次为f ( xi 0 ), f ( xi1 ), f ( xi 2 ),，称函数值之差 f ( xi1 ) f ( xi 0 )与自变量之差xi1 xi 0的比值 f ( xi1 ) f ( xi 0 ) xi1 xi 0
ak k !h
k
, (k 0,1, 2,, n)
牛顿向前插值公式
t (t 1) 2 N n ( x0 th) y0 ty0 y0 2! t (t 1) (t n 1) n y0 内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作 n!
余项公式
yk yk 1 yk
2、一阶向前差分（一阶差分）
3、一般地，定义函数f(x)在点 x k处的m阶差 分为：
m y k m1 y k 1 m1 y k
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差分表
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
一般地，由插值条件 N n ( xk ) yk，可得牛顿插 值公式中的系数为： k y 0
t (t 1) (t n) n 1 ( n1) Rn ( x0 th) h f ( ) (n 1)!
( x0 , xn )
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例 从给定的正弦函数表出发计算 sin(0.12)
计截断误差。
，并估
由线性插值有
sin(0.12) N1 (0.12) y0 t y0 0.09983 0.2 0.09884 0.11960
( x0 , xn )
5.3 差商与牛顿基本插值多项式
（解一串互异的点xi 0 , xi1 , xi 2 , 上的值 依次为f ( xi 0 ), f ( xi1 ), f ( xi 2 ),，称函数值之差 f ( xi1 ) f ( xi 0 )与自变量之差xi1 xi 0的比值 f ( xi1 ) f ( xi 0 ) xi1 xi 0
ak k !h
k
, (k 0,1, 2,, n)
牛顿向前插值公式
t (t 1) 2 N n ( x0 th) y0 ty0 y0 2! t (t 1) (t n 1) n y0 内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作 n!
余项公式
yk yk 1 yk
2、一阶向前差分（一阶差分）
3、一般地，定义函数f(x)在点 x k处的m阶差 分为：
m y k m1 y k 1 m1 y k
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差分表
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一般地，由插值条件 N n ( xk ) yk，可得牛顿插 值公式中的系数为： k y 0
t (t 1) (t n) n 1 ( n1) Rn ( x0 th) h f ( ) (n 1)!
( x0 , xn )
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例 从给定的正弦函数表出发计算 sin(0.12)
计截断误差。
，并估
由线性插值有
sin(0.12) N1 (0.12) y0 t y0 0.09983 0.2 0.09884 0.11960
04-23.1求插值多项式的Newton法(1)(ppt)
Newton插值多项式。其中 ak k 0,1, , n 为待定系数。
牛顿(Newton)插值法
Nn(x) a0 a1(x x0) a2(x xo)(x x1)an(x x0)(x x1)(x xn1)
x x0 x1 xn y f(x) f(x0) f(x1) f(xn)
Nn x0 y0
由线性代数可知任何一个不高于n次的多项式都可表示成函数这种形式的多项式称为牛顿newton多项式把它记成的线性组合即因此n次插值多项式可以用newton多项式表示
2.3 求插值多项式的Newton法(1)
2.3.1 求插值多项式的Newton法
x x0 x1 xk xn y y0 y1 yk yn
x x0 x1 xk xn xn 1 y y0 y1 yk yn yn 1
L n x y 0 l0 ( x ) y1 l1 ( x ) y n ln ( x )
L n 1 x y 0 l0 ( x ) y1 l1 ( x ) y n l n ( x ) y n 1l n 1 x
这种形式的多项式称为牛顿(Newton)多项式，把它记成 Nn(x)，即
Nn (x) a0 a1(x x0) a2(x xo)(x x1) an (x x0)(x x1)(x xn1)
因此， n次插值多项式 Pn(x) 可以用Newton多项式 Nn(x) yi (i 0,1,2,,n) 的n次Newton多项式称为
Lagrange插值法当增加节点时所有的基函数都需重新计算， 因此其计算过程不具继承性。
由线性代数可知，任何一个不高于n次的多项式，都可表示成函数
1,x x0,(x x0)(x x1),,(x x0)(x x1)(x xn1)
的线性组合，即
牛顿(Newton)插值法
Nn(x) a0 a1(x x0) a2(x xo)(x x1)an(x x0)(x x1)(x xn1)
x x0 x1 xn y f(x) f(x0) f(x1) f(xn)
Nn x0 y0
由线性代数可知任何一个不高于n次的多项式都可表示成函数这种形式的多项式称为牛顿newton多项式把它记成的线性组合即因此n次插值多项式可以用newton多项式表示
2.3 求插值多项式的Newton法(1)
2.3.1 求插值多项式的Newton法
x x0 x1 xk xn y y0 y1 yk yn
x x0 x1 xk xn xn 1 y y0 y1 yk yn yn 1
L n x y 0 l0 ( x ) y1 l1 ( x ) y n ln ( x )
L n 1 x y 0 l0 ( x ) y1 l1 ( x ) y n l n ( x ) y n 1l n 1 x
这种形式的多项式称为牛顿(Newton)多项式，把它记成 Nn(x)，即
Nn (x) a0 a1(x x0) a2(x xo)(x x1) an (x x0)(x x1)(x xn1)
因此， n次插值多项式 Pn(x) 可以用Newton多项式 Nn(x) yi (i 0,1,2,,n) 的n次Newton多项式称为
Lagrange插值法当增加节点时所有的基函数都需重新计算， 因此其计算过程不具继承性。
由线性代数可知，任何一个不高于n次的多项式，都可表示成函数
1,x x0,(x x0)(x x1),,(x x0)(x x1)(x xn1)
的线性组合，即
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xi f ( xi ) 一阶差商 二阶差商 x0 f ( x0 ) x1 f ( x1 ) x3 f ( x3 ) x 4 f ( x4 )
三阶差商
Newton公式 Newton优点
四阶差商
f [ x0 , x1 ]
x 2 f ( x2 ) f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 , x2 ]
N k 1 ( x) N k ( x) f [ x0 ,, xk , xk 1 ]( x x0 )( x x1 )( x xk )
17
一次Newton插值多项式
N1(x)= f(x0)+f[x0,x1](x-x0)
二次Newton插值多项式
N2(x)= f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)
f [ x0 , x1 , , xn ] f
(n)
( ) n!
7
例 已知 f(x) = x7+ x4+ 3x+ 1 求 f [20, 21, … 27 ] 及 f [20, 21, … 27, 28 ] 分析：本题 f(x)是一个多项式, 故应利用差商的性
质
解: 由差商与导数之间的关系
8
差商的计算-差商表
9
例
已知
xi
f ( xi )
计算三阶差商 解：列表计算
xi
f [1, 2,4,7]
f ( xi )
f [1, 2, 4, 7] 1 / 2
10
二 Newton 插值多项式
根据差商的定义，把
f [ x, x0 ]
x 看成[a,b]上的一点，可得：
f ( x) f ( x0 ) x x0
f [ x2 , x3 ] f [ x1 , x2 , x3 ] f [ x , x , x , x ] 0 1 2 3 f [ x3 , x4 ] f [ x2 , x3 , x4 ] f [ x1 , x2 , x3 , x4 ] f [ x0 , x1, x2 , x3 , x4 ]
第三节 Newton插值多项式
1
Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点时， 全部基函数 li (x) 都需重新计算。
n较大时，计算量非常大,故常用于理论分析。
2
一. 差商的定义及其性质 定义2.1:已知函数f(x)在n+1个互异节点xj( j=0,1,…,n)上 的函数值分别为f(xj)( j=0,1,…, n)
f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 ) ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
6
差商的基本性质
性质3：设 f ( x) 在 [a, b] 存在 n 阶导数，且
x j [a, b] 则 (a, b) ，使得:
Ln ( xi ) N n ( xi ) f ( xi ), i 0,1, , n
由插值多项式的唯一性, Ln ( x ) N n ( x ) ,因而,两个公式
的余项是相等的,即
f ( n1) ( ) f [ x , x0 , x1 , xn ] n ( x ) n ( x) ( n 1)!
N1(x)
18
例 已知x=0, 2, 3, 5对应的函数值为y=1, 3, 2, 5，作 三次Newton插值多项式.如再增加x=6时的函数数 值为6，作四次Newton插值多项式.
解
首先构造差商表
三阶差商 1 3 2 1 -1 -2/3
xi f(xi) 一阶差商 二阶差商 0 2 3
5
5
3/2
(2)
11
(2)式代入（ 1 ）式得： f ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ](x x0 ) f [ x, x0 , x1 ](x x0 )(x x1 ) (3) 为了提高精度，增加节 点x2，则 f [ x, x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x, x0 , x1 , x2 ] x x2 得 f [ x, x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x, x0 , x1 , x2 ](x x2 ) (4)
四次Newton插值多项为
2 3 11 N4 ( x) 1 x x( x 2) x( x 2)( x 3) x( x 2)( x 3)( x 5) 3 10 120
20
(1)
f ( x) f ( x0 ) f [ x, x0 ]( x x0 )
f [ x, x0 ] f [ x0 , x1 ] f [ x, x0 , x1 ] x x1
f [ x, x0 ] f [ x0 , x1] f [ x, x0 , x1]( x x1)
称
f [ x j , x j 1 ] f ( x j ) f ( x j 1 ) x j x j 1
为函数 f ( x) 关于点 x j , x j 1 的一阶差商.
称
f [ x j , x j 1 , x j 2 ]
f [ x j , x j 1 ] f [ x j 1 , x j 2 ] x j x j 2
规定f(xi)为f(x)在点xi处的零阶差商.
4
差商的基本性质
性质1：差商可表示为函数值的线性组合，即：
f [ x0 , x1 ,, xn ]
j 0 n
f (x j ) ( x j x0 )( x j x j 1 )( x j x j 1 )( x j xn )
16
故有差商与导数的关系 f ( n1) ( ) f [ x , x0 , x1 ,...x n ] n 1)!
差商表
其中， 介 于x , x0 , x1 ,...x n的 最 大 值 与 最 小 值 之 。 间
2) 牛顿插值公式的优点是：当增加一个节点时，
只要再增加一项就行了，即有递推式:
13
f ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ](x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ](x x0 )(x x1 ) ... f [ x0 , x1 ,...xn ](x x0 )(x x1 )...(x xn 1 ) f [ x, x0 , x1 ,...xn ](x x0 )(x x1 )...(x xn 1 )(x xn ) N n ( x ) En ( x )
14
其中 Nn ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x xx2 ]( x x0 )( x x1 ) f [ x0 , x1,, xn ]( x x0 )( x xn1 )
Rn ( x) f ( x) Nn ( x) f [ x, x0 , x1 ,, xn ]n1 ( x) f n1 () ( x x0 )( x xn ) (n 1)!
1 f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x1 ) f ( x2 ) [ ] x0 x2 x0 x1 x1 x2
1 f ( x0 ) 1 1 f ( x2 ) [ f ( x1 )( ) ] x0 x2 x0 x1 x0 x1 x1 x2 x1 x2
12
(4)式代入（ 3）式得： f ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ](x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ](x x0 )(x x1 ) f [ x, x0 , x1 , x2 ](x x0 )(x x1 )(x x2 ) 一般的，在节点 x0 , x1 , x2 ,..., xn上有
显然 Nn ( x) 满足插值条件，且次数不超过 n 是插值多项式，其系数为： ,它就
ai f [ x0 , x1 ,, xi ],
i 0,1,, n
我们称 Nn ( x) 为牛顿插值多项式. 15
说明:
1) Ln ( x ) 和 N n ( x ) 均是 n 次多项式,且均满足插值条件:
的二阶差商.
3
为函数 f ( x) 关于点 x j , x j 1 , x j 2
n 阶差商的概念
一般地，称
f [ x0 , x1 ,, xn1 ] f [ x1 , x2 ,, xn ] f [ x0 , x1 ,, xn ] x0 xn
为函数f(x) 关于点
x0 , x1,, xn 的 n 阶差商
可用归纳法证明
性质2：差商关于所含节点是对称的，即：
f [ x0 , x1,, xn ] f [ x1, x0 ,, xn ] f [ xn , xn1,, x 0]
5
例如：
f [ x0 , x1 ] f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 , x2 ] x0 x2
5/6
3/10
三次Newton插值多项式为
2 3 N3 ( x) 1 x x( x 2) x( x 2)( x 3) 3 10
19
增加x4=6，f(x4)=6作差商表 xi f(xi) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商
0
2 3 5 6
1
3 2 5 6 1 -1 3/2 1 -2/3 5/6 -1/6 3/10 -1/4 -11/120
三阶差商
Newton公式 Newton优点
四阶差商
f [ x0 , x1 ]
x 2 f ( x2 ) f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 , x2 ]
N k 1 ( x) N k ( x) f [ x0 ,, xk , xk 1 ]( x x0 )( x x1 )( x xk )
17
一次Newton插值多项式
N1(x)= f(x0)+f[x0,x1](x-x0)
二次Newton插值多项式
N2(x)= f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)
f [ x0 , x1 , , xn ] f
(n)
( ) n!
7
例 已知 f(x) = x7+ x4+ 3x+ 1 求 f [20, 21, … 27 ] 及 f [20, 21, … 27, 28 ] 分析：本题 f(x)是一个多项式, 故应利用差商的性
质
解: 由差商与导数之间的关系
8
差商的计算-差商表
9
例
已知
xi
f ( xi )
计算三阶差商 解：列表计算
xi
f [1, 2,4,7]
f ( xi )
f [1, 2, 4, 7] 1 / 2
10
二 Newton 插值多项式
根据差商的定义，把
f [ x, x0 ]
x 看成[a,b]上的一点，可得：
f ( x) f ( x0 ) x x0
f [ x2 , x3 ] f [ x1 , x2 , x3 ] f [ x , x , x , x ] 0 1 2 3 f [ x3 , x4 ] f [ x2 , x3 , x4 ] f [ x1 , x2 , x3 , x4 ] f [ x0 , x1, x2 , x3 , x4 ]
第三节 Newton插值多项式
1
Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点时， 全部基函数 li (x) 都需重新计算。
n较大时，计算量非常大,故常用于理论分析。
2
一. 差商的定义及其性质 定义2.1:已知函数f(x)在n+1个互异节点xj( j=0,1,…,n)上 的函数值分别为f(xj)( j=0,1,…, n)
f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 ) ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
6
差商的基本性质
性质3：设 f ( x) 在 [a, b] 存在 n 阶导数，且
x j [a, b] 则 (a, b) ，使得:
Ln ( xi ) N n ( xi ) f ( xi ), i 0,1, , n
由插值多项式的唯一性, Ln ( x ) N n ( x ) ,因而,两个公式
的余项是相等的,即
f ( n1) ( ) f [ x , x0 , x1 , xn ] n ( x ) n ( x) ( n 1)!
N1(x)
18
例 已知x=0, 2, 3, 5对应的函数值为y=1, 3, 2, 5，作 三次Newton插值多项式.如再增加x=6时的函数数 值为6，作四次Newton插值多项式.
解
首先构造差商表
三阶差商 1 3 2 1 -1 -2/3
xi f(xi) 一阶差商 二阶差商 0 2 3
5
5
3/2
(2)
11
(2)式代入（ 1 ）式得： f ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ](x x0 ) f [ x, x0 , x1 ](x x0 )(x x1 ) (3) 为了提高精度，增加节 点x2，则 f [ x, x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x, x0 , x1 , x2 ] x x2 得 f [ x, x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x, x0 , x1 , x2 ](x x2 ) (4)
四次Newton插值多项为
2 3 11 N4 ( x) 1 x x( x 2) x( x 2)( x 3) x( x 2)( x 3)( x 5) 3 10 120
20
(1)
f ( x) f ( x0 ) f [ x, x0 ]( x x0 )
f [ x, x0 ] f [ x0 , x1 ] f [ x, x0 , x1 ] x x1
f [ x, x0 ] f [ x0 , x1] f [ x, x0 , x1]( x x1)
称
f [ x j , x j 1 ] f ( x j ) f ( x j 1 ) x j x j 1
为函数 f ( x) 关于点 x j , x j 1 的一阶差商.
称
f [ x j , x j 1 , x j 2 ]
f [ x j , x j 1 ] f [ x j 1 , x j 2 ] x j x j 2
规定f(xi)为f(x)在点xi处的零阶差商.
4
差商的基本性质
性质1：差商可表示为函数值的线性组合，即：
f [ x0 , x1 ,, xn ]
j 0 n
f (x j ) ( x j x0 )( x j x j 1 )( x j x j 1 )( x j xn )
16
故有差商与导数的关系 f ( n1) ( ) f [ x , x0 , x1 ,...x n ] n 1)!
差商表
其中， 介 于x , x0 , x1 ,...x n的 最 大 值 与 最 小 值 之 。 间
2) 牛顿插值公式的优点是：当增加一个节点时，
只要再增加一项就行了，即有递推式:
13
f ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ](x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ](x x0 )(x x1 ) ... f [ x0 , x1 ,...xn ](x x0 )(x x1 )...(x xn 1 ) f [ x, x0 , x1 ,...xn ](x x0 )(x x1 )...(x xn 1 )(x xn ) N n ( x ) En ( x )
14
其中 Nn ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x xx2 ]( x x0 )( x x1 ) f [ x0 , x1,, xn ]( x x0 )( x xn1 )
Rn ( x) f ( x) Nn ( x) f [ x, x0 , x1 ,, xn ]n1 ( x) f n1 () ( x x0 )( x xn ) (n 1)!
1 f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x1 ) f ( x2 ) [ ] x0 x2 x0 x1 x1 x2
1 f ( x0 ) 1 1 f ( x2 ) [ f ( x1 )( ) ] x0 x2 x0 x1 x0 x1 x1 x2 x1 x2
12
(4)式代入（ 3）式得： f ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ](x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ](x x0 )(x x1 ) f [ x, x0 , x1 , x2 ](x x0 )(x x1 )(x x2 ) 一般的，在节点 x0 , x1 , x2 ,..., xn上有
显然 Nn ( x) 满足插值条件，且次数不超过 n 是插值多项式，其系数为： ,它就
ai f [ x0 , x1 ,, xi ],
i 0,1,, n
我们称 Nn ( x) 为牛顿插值多项式. 15
说明:
1) Ln ( x ) 和 N n ( x ) 均是 n 次多项式,且均满足插值条件:
的二阶差商.
3
为函数 f ( x) 关于点 x j , x j 1 , x j 2
n 阶差商的概念
一般地，称
f [ x0 , x1 ,, xn1 ] f [ x1 , x2 ,, xn ] f [ x0 , x1 ,, xn ] x0 xn
为函数f(x) 关于点
x0 , x1,, xn 的 n 阶差商
可用归纳法证明
性质2：差商关于所含节点是对称的，即：
f [ x0 , x1,, xn ] f [ x1, x0 ,, xn ] f [ xn , xn1,, x 0]
5
例如：
f [ x0 , x1 ] f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 , x2 ] x0 x2
5/6
3/10
三次Newton插值多项式为
2 3 N3 ( x) 1 x x( x 2) x( x 2)( x 3) 3 10
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增加x4=6，f(x4)=6作差商表 xi f(xi) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商
0
2 3 5 6
1
3 2 5 6 1 -1 3/2 1 -2/3 5/6 -1/6 3/10 -1/4 -11/120