S
（2）这个判断是正确的，S
△PBC +S
△PAD
=24；（3）有，S
△PBC
+S
△PAD
=2
3、如图，平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴，y 轴分别交于A(3,0),B(0,3
)
两点，点C 为线段AB 上的一动点，过点C 作CD⊥x 轴于点D 。 (1) 写直线AB 的解析式； (2) 若S 梯形OBCD ＝
3
3
4，求点C 的坐标；
(3) 在第一象限内是否存在点P ，使得以P ，O ，B 为顶点
的三角形与△OBA 相似。若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在；请说明理由。
解：（1）直线AB 解析式为：y=
3
3-
x+
3
（2）∵
233OB OA 21S AOB
=⨯=∆,OBCD S 梯形＝33
4，∴
6
3
S ACD =∆
由OA=
3
OB ，得∠BAO＝30°，AD=
3
CD 。
∴ACD S ∆＝21
CD×AD＝
2
CD 2
3＝
6
3
，可得CD ＝3
3。
∴AD=1，OD ＝2．∴C（2，
3
3）。
（3）当∠OBP＝Rt∠时，如图
①若△BOP∽△OBA，则∠BOP＝∠BAO=30°，BP=3
OB=3，
∴1P （3，
3
3）。
② 若△BPO ∽△OBA ，则∠BPO ＝∠BAO=30°,OP=3
3OB=1，
∴2P （1，3）。 当∠OPB＝Rt∠时，
③ 过点P 作OP⊥BC 于点P(如图)，此时△PBO∽△OBA， ∠BOP＝∠BAO＝30°。过点P 作PM⊥OA 于点M 。 在Rt△PBO 中，BP ＝2
1OB ＝
2
3，OP ＝
3
BP ＝2
3。
∵ 在Rt△P MO 中，∠OPM＝30°， ∴ OM＝2
1OP ＝4
3；PM ＝
3OM ＝4
3
3．∴3P （
4
3，4
33）．
④ 若△POB∽△OBA(如图)，则∠OBP=∠BAO＝30°，∠POM＝30°。
∴PM＝
3
3
OM ＝
4
3
。∴4P （4
3，
4
3）（由对称性也可得到点4P 的坐标）。
当∠OPB＝Rt∠时，点P 在x 轴上，不符合要求。
综合得，符合条件的点有四个，分别是：1P （3,3
3
）,2P （1,
3
）,3
P （
4
3,4
33）,4P （4
3,
4
3）。
4、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=90°，BC=16，CD=12，DA=21。动点P 从点D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2个单位长度的速度运动；动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长度的速度向点B 运动。点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动。设运动的时间为t （秒）。
（1）设△BPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式； （2）当t 为何值时，以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形是 等腰三角形？
（3）当线段PQ 与线段AB 相交于点O ，且2AO=OB 时， 求∠BQP 的正切值；
（4）是否存在时刻t ，使得PQ ⊥BD ？若存在，求出t 的 值；若不存在，请说明理由。
解：（1）首先0≤t ≤16，如图，过点P 作PM ⊥BC ，垂足为M ， 则四边形PDCM 为矩形，PM=DC=12。∵QB=16-t ， ∴S=12×（16-t ）÷2=96-t ，0≤t ≤16。
（2）设△BPQ 是等腰三角形，分三种情况：①PQ=BQ ，
在Rt △PMQ 中，PQ 2=t 2+122=BQ 2=（16-t ）2，解得t=3.5；②BP=BQ ，在Rt △PMB 中，BP 2=（16-2t ）2+122=BQ 2=（16-t ）2，即3t 2-32t+144=0，无解。③PB=PQ ，由PB 2=PQ 2，得t 2+122=(16-2t)2+122，整理得3t 2-64t+256=0,解得
16,31621==
t t （不合题意，舍去）。综上可知，答案为t=3.5或316秒。
（3）如图，由△OAP ∽△OBQ ，得
21
==OB AO BQ AP .
