四年级奥数之数的整除特征(上)
小学小升初奥数知识：数的整除
小学小升初奥数知识：数的整除小学小升初奥数知识集锦：数的整除导语：下面是小编为您收集整理的数的整除相关知识，欢迎阅读!1.整除的概念在小学书中所学的自然数和零，都是整数。
同学们都知道，如果一个整数a除以一个自然数b，商是整数而且没有余数(或者说余数为零)，就叫做a能被b整除，或者b整除a，记作a│b。
这时a叫做b 的倍数，b叫做a的约数。
例如，3│15表示15能被3整除，或者3整除15;也可以说15是3的倍数，3是15的约数。
由整数概念可知，整除必须同时满足三个条件：(1)被除数是整数，除数是自然数;(2)商是整数;(3)没有余数。
这三个条件只要有一个不满足，就不能叫整除。
例如，16÷5=3.2，商不是整数，所以不能说5整除16。
又如，10÷2.5=4，除数不是自然数，所以不能说10能被2.5整除。
2.整除的性质(1)如果两个整数都被同一个自然数整除，那么它们的和、差(大减小)也都能被这个自然数整除。
换句话说，同一个自然数的两个倍数之和、差(大减小)仍是这个自然数的倍数。
例如，18与42都能被6整除，那么18与42的和60、差24也都能被6整除;即从6│18及6│42可知6│(18+42)、6│(42-18)。
(2)如果甲数整除乙数，乙数整除丙数，那么甲数整除丙数。
即如果丙数是乙数的倍数，乙又是甲数的倍数，那么丙数是甲数的倍数。
例如，7│28，28│84，那么就有7│84。
(3)如果甲数整除乙数，那么甲数就整除乙数与任一整数的乘积。
也就是说如果乙数是甲数的倍数，那么乙数的任一倍数也是甲数的倍数。
例如，13│39，39×4=156，因此13│156。
(4)如果甲数能被丙数整除，而乙数不能被丙数整除，那么甲数与乙数的和、差都不能被丙数整除。
即如果甲数是丙数的倍数，乙数不是丙数的倍数，那么甲数与乙数的和、差(大减小)都不是丙数的倍数。
例如，6整除48，6不整除35，所以6不整除83(48+35=83)，也不整除13(48-35=13)。
数的整除特征
如：22，33
22÷11=2(整除）
33÷11=3(整除）
如：23，34
23÷11=2.090909(不能整除）
34÷11=3.090909(不能整除）
13的整除特征
若一个整数的个位数字截去，再从余下 的数中，加上个位数的4倍，如果差是13 的倍数，则原数能被13整除。
如：665 665÷13=15(整除） 如：14 14÷13=1.07692308(不能整除）
除）
7的整除特征
被7整除若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中， 减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7 整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需 要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直 到能清楚判断为止。
如：133 13－3×2＝7 ， 7÷7=1(整除） 如：12 12÷7=1.741857(不能整除）
数的整除特征
研究内容： 2、3、5、7、9、11、13等数的整除特征 同学们，你们有没有在做题时遇到除数是2、
3、5、7、9、11、13的情况呢？如果有， 是不是很难算呢？那么今天就让我们来 揭开他们的秘密吧！
2的整除特征
被2整除的数是偶数。 如：2，4，6，8 2÷2=1(整除） 4÷2=2(整除） 6÷2=3(整除） 8÷2=4(整除） 如：3，5 3÷2=1.5(不能整除） 5÷2=2.5(不能整
小测试
200÷2 21÷3 55÷5 147÷7 46÷9 67÷11 123÷13
答案是前四个可以，后三个不行。
你都算对了吗？
除）
3的整除特征
被3整除的数必须各个位数上的数加起来 为3的倍数。
如：147＝1+4＋7＝12 147÷3=49(整除） 如：136＝1＋3＋6＝10 136÷3=45.33333333.......(不能整除）
小学奥数 数的整除之四大判断法综合运用(一)
5-2-1.数的整除之四大判断法综合运用（一）教学目标1.了解整除的性质；2.运用整除的性质解题；3.整除性质的综合运用.知识点拨一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。
【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b ｜a，且d｜c，那么bd｜ac；例题精讲模块一、2、5系列【例 1】975935972⨯⨯⨯□，要使这个连乘积的最后4个数字都是0，那么在方框内最小应填什么数？【考点】整除之2、5系列【难度】2星【题型】填空【例 2】从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？【考点】整除之2、5系列【难度】4星【题型】解答【例 3】把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？【考点】整除之2、5系列【难度】4星【题型】解答【例 4】11个连续两位数的乘积能被343整除，且乘积的末4位都是0，那么这11个数的平均数是多少？【考点】整除之2、5系列【难度】4星【题型】解答【例 5】201202203300⨯⨯⨯⨯的结果除以10，所得到的商再除以10……重复这样的操作，在第____次除以10时，首次出现余数.【考点】整除之2、5系列【难度】5星【题型】填空【关键词】学而思杯，5年级，第7题【例 6】用1～9这九个数字组成三个三位数(每个数字都要用)，每个数都是4的倍数。
小学奥数—数的整除之四大判断法综合运用
小学奥数—数的整除之四大判断法综合运用小学奥数是培养学生数学思维能力、观察能力和逻辑推理能力的重要方式之一、在小学奥数中，数的整除是一个重要的概念和技巧。
数的整除是指一个数能够整除另一个数，即一个数可以被另一个数整除，这在小学中学习，通常会讲解四大判断法，即整除的特征判断法、整除的除数判断法、整除的因子判断法和整除的位数判断法。
本文将综合运用这四大判断法，解决一些与数的整除相关的问题。
首先，整除的特征判断法是指整数n能够被整数m整除的充要条件是n的特征之积能够被m的特征之积整除。
这个特征指的是数的各位数字之和。
例如，对于一个数234，它的特征就是2+3+4=9、如果一个数的特征之积能够被另一个数的特征之积整除，那么这个数就能被另一个数整除。
例如，对于一个数36，它的特征之积是3×6=18，而另一个数9的特征之积是9，18能够被9整除，所以36能够被9整除。
其次，整除的除数判断法是指一个整数n是否能够被一个整数m整除的充要条件是n能够被m的约数整除。
这个方法利用了约数的概念。
约数是指一个数能够整除另一个数的整数。
例如，对于一个数15，它的约数有1、3、5、15，这些数都能够整除15，所以15能够被1、3、5、15整除。
如果一个数能够被另一个数的约数整除，那么这个数就能被另一个数整除。
再次，整除的因子判断法是指整数n是否能够被一个整数m整除的充要条件是m是n的因子。
这个方法利用了因子的概念。
因子是指一个数能够整除另一个数的整数。
例如，对于一个数21，它的因子有1、3、7、21，这些数都能够整除21，所以21能够被1、3、7、21整除。
如果一个数是另一个数的因子，那么这个数就能被另一个数整除。
最后，整除的位数判断法是指一个整数n是否能够被一个整数m整除的充要条件是n的位数能够被m的位数整除。
这个方法利用了位数的概念。
位数是指一个数的十进制表示中，不含小数点的位数。
例如，对于一个数5678，它的位数是4，而另一个数28的位数是2，4能够被2整除，所以5678能够被28整除。
(完整版)数的整除特征一
例4比较难，要重点引导探索，理解分析思考的过程，渗透有序、分类等数学思想方法。培养学生思维的完整性。
课时教学流程
授课时间年月日
师生活动
课堂变化及处理
主要环节的效果
一、复习整除特征
说明：2的倍数还可以说能被2整除，或有因数2.
逐个讨论
当个位是2时，876□232，根据能被11整除的数的特征，中间的□
应该填8，得到的数是8768232
依次推算当个位是4、6、8、0时，□中应填几可以被11整除。写出所有答案。
练习：一个六位数35□79□是88的倍数，那么这个数除以88所得的商是多少？
提示：88=11*8，根据能被8、11整除的特征所确定出□内所填数，再求出商。
理解如何“分解数，分类讨论，求出所有符合条件的数。”
导学策略
创设情境，自学课本，了解一些特殊数整除的特征
合作探究、讨论交流，学会如何分析、判断、推算。
练习巩固，举一反三。
使用教材的构想
学生已学过2、3、5倍数的数的特征，能判断简单的数。先让学生自学教材，了解能被其它一些特殊数整除的特征，教师要适当举例解释这些特征。
②若一个整数的十位和个位数字组成的两位数是4或25的倍数，则这个数能被4或25整除；
③若一个整数的百位、十位和个位数字组成的三位数是8或125的倍数，则这个数能被8或125整除。
（2）若一个整数各位上数字和能被3或9整除，则这个数能被3或9整除。
（3）“截尾法”。若一个数的末三位数与末三位之前的数字组成的数相减之差（大数减小数）能被7、11或13整除，则这个数一定能被7、11或13整除；
小学四年级奥数竞赛班作业第51讲：数的整除特征(一)
数的整除特征练习题一．夯实基础：1.一个三位数等于它的各位数字之和的42倍，这个三位数是多少？2.将1996加一个整数，使所得的和能被9与11整除，加的整数要尽可能小，那么所加整数是多少？3.一个五位数恰好等于它各位数字之和的2009倍，则这个五位数是多少？4.一个非零自然数是99的倍数，但各位数字之和不是18的倍数，求这样的数中最小的是几？5.如果一个六位数2000a b能被26整除，所有．．这样的六位数是二．拓展提高：6.多位数A由数字1、3、5、7、9组成，每个数字都可以重复出现但至少出现一次，而且A可以被A中任意一个数字整除.求这样的A的最小值.7.某个七位数1993□□□能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少?8.一个非零自然数是99的倍数，但各位数字之和不是18的倍数，求这样的数中最小的是几？9.六位数2008能同时被9和11整除.这个六位数是多少？10.用1，9，8，8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数?三. 超常挑战11.包含0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字的十位数称为“十全数”，如果某个“十全数”同时满足下列要求：（1）它能分别被1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12整除；（2）它与2004的和能被13整除.那么这样的“十全数”中最小的是多少？12.在523后面写出三个数字，使所得的六位数被7、8、9整除．那么这三个数字的和是多少？13.把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末53位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？14.11个连续两位数的乘积能被343整除，且乘积的末4位都是0，那么这11个数的平均数是多少？四．杯赛演练：15.（迎春杯试题）用4,5,6,7,8,9组成一个没有重复数字的六位数，并且这个六位数能被667整除，求这个六位数除以667的商是多少？答案： 1. 42()33()abc a b c abc a b c =++⇒⇒++，所以99912617126abc k k ⎡⎤=⇒≤≤=⎢⎥⎣⎦经试验当6k =时，75642(756)abc ==⨯++2. (911)21199683⨯⨯-=3. 设这个五位数的各位数字之和为a ，则这个五位数为2009a ，则920089a a ⇒又100009999954920092009a a ≤≤⇒≤≤，所以9,18,27,36,45a =，将上述5个值依次尝试，只有18a = 时，200936162a =4. 显然这个数不可能是一位数、二位数，如果是三位数，则其各位数字之和均为18，不合题意，所以这个数至少是四位数.假设这个数是四位数，设其为abcd ，9999299abcd ab cd ⇒+≤⨯，当299ab cd +=⨯时显然不合题意，当99ab cd +=时，显然不存在进位，于是9,918b d a c a b c d +=+=⇒+++=，矛盾.所以这个数至少是五位数，假设这个数是五位数，设其为a b c d e ，999999999207abcde a bc de =++≤++=，所以99a bc de ++=或198， 若99a bc de ++=，同上面分析，必须有进位，考虑极端情况，取10989abcde =； 若198a bc de ++=，显然得不到比10989更小的数.5. 26200022000,132000a b a b a b ⇒，经试验得520000,420004,3200086. 至少5位，由于31357925++++=，所以数字和至少增加2，为使其尽量小，位数应尽量小，增加的数也应尽量小，取极端情况251127++=，可满足3A 且9A ，又5A ，所以个位是5，依次考虑：1113795,1113975,1117395,1117935…，经用被7整除试验，得1117935符合要求7. 方法一：利用整除特征因为这个数能被5整除，所以末位只能是0或5，又能被2整除，所以其末位为偶数，所以只能是0．在满足以上条件的情况下，还能被4整除，那么末两位只能是20、40、60或80． 又因为还能同时被9整除，所以这个数的数字和也应该是9的倍数，1993A20，1993B40，1993C60，1993D80的数字和分别为24A +，26B +，28C +，30D +，对应的A 、B 、C 、D 只能是3，1，8，6．即末三位可能是320，140，860，680．而只有320，680是8的倍数，再验证只有1993320，1993680中只有1993320是7的倍数．因为有同时能被2，4，5，7，8，9整除的数，一定能同时被2，3，4，5，6，7，8，9这几个数整除，所以1993320为所求的这个数．显然，其末三位依次为3，2，0．方法二：采用试除法一个数能同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，而将这些数一一分解质因数：，所以这个数一定能被32235789572520⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=整除．用1993000试除，1993000252079÷=，余2200可以看成不足25202200320-=，所以在末三位的方格内填入320即可，或用1993999进行试除，19939992520791679÷=，所以19939996791993320-=能被2520整除，所以1993320为所求的这个数．8. 显然这个数不可能是一位数、二位数，如果是三位数，则其各位数字之和均为18，不合题意，所以这个数至少是四位数.假设这个数是四位数，设其为abcd ，9999299abcd ab cd ⇒+≤⨯，当299ab cd +=⨯时显然不合题意，当99ab cd +=时，显然不存在进位，于是9,918b d a c a b c d +=+=⇒+++=，矛盾.所以这个数至少是五位数，假设这个数是五位数，设其为a b c d e ，999999999207abcde a bc de =++≤++=，所以99a bc de ++=或198， 若99a bc de ++=，同上面分析，必须有进位，考虑极端情况，取10989abcde =； 若198a bc de ++=，显然得不到比10989更小的数.9. 为便于表示，设这个六位数为2008a b ，它能同时被9和11整除，所以能被99整除，28991,7a b a b +=⇒==，所以这个六位数是12008710. 现在要求被11除余8，我们可以这样考虑：这样的数加上3后，就能被11整除了．所以我们得到“一个数被11除余8”的判定法则：将偶位数字相加得一个和数，再将奇位数字相加再加3，得另一个和数，如果这两个和数之差能被11整除，那么这个数是被11除余8的数；否则就不是．要把1，9，8，8排成一个被11除余8的四位数，可以把这4个数分成两组，每组2个 数字．其中一组作为千位和十位数，它们的和记作A ；另外一组作为百位和个位数，它 们之和加上3记作B ．我们要适当分组，使得能被11整除．现在只有下面4种分组法： 偶位 奇位⑴ 1，8 9，8⑵ 1，9 8，8⑶ 9，8 1，8⑷ 8，8 1，9经过验证，只有第⑴种分组法满足前面的要求：189A =+=，98320B =++=，11B A -=能被11整除．其余三种分组都不满足要求．根据判定法则还可以知道，如果一个数被11除余8，那么在奇位的任意两个数字互换，或者在偶位的任意两个数字互换得到的新数被11除也余8．于是，上面第⑴种分组中，1和8任一个可以作为千位数，9和8中任一个可以作为百位数．这样共有4种可能的排法：1988，1889，8918，8819．11.能被10整除，说明个位为0，为了使这个十位数尽可能小，就不妨假设它依次为1234560,123450abc abcd，经试验都不行，再假设它为12340abcd，经试验得这个数最小为123475968012.7、8、9的最小公倍数是504，所得六位数应被504整除÷=，所以所得六位数是524000344523656-=，或5240005041039344-=．因此三个数字的和是17或8．52365650452315213.1到10的乘积里会出现25⨯和10两次末尾添零的情况，估算从200开始，是408149++=个0，还要扩大至220时再增加4个0，所以最小的数应该是220，而最大应该是224．343=，由于在11个连续的两位数中，至多只能有2个数是7的倍数，所以其14.因为37中有一个必须是49的倍数，那就只能是49或98．又因为乘积的末4位都是0，所以这连续的11个自然数至少应该含有4个因数5．连续的11个自然数中至多只能有3个是5的倍数，至多只能有1个是25的倍数，所以其中有一个必须是25的倍数，那么就只能是25、50或75．所以这11个数中应同时有49和50，且除50外还有两个是5的倍数，只能是40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50，它们的平均数即为它们的中间项45．15.4+5+6+7+8+9=39，是3的倍数，所以这个六位数一定可以被3整除又这个六位数能被667整除，所以这个六位数是3×667=2001的倍数即一个三位数乘以2002得到这个六位数所以这个六位数的前三位是后三位的2倍，所以这个六位数是956478956478÷667=1434，即商是1434.。
四年级奥数第一讲 数的整除问题
第一讲数的整除问题一、基本概念和知识：1、整除：定义：一般地，如果a，b，c为整数，且a÷b=c，我们就说，a能被b整除（或者说b 能整除a）。
用符号“b| a”表示。
2、因数和倍数：如果a能被b整除，即a÷b=c由a÷b=c得：a=b×c，我们就说b（c）是a的因数（或约数），a是b（c）的倍数.提醒：一个数的因数个数是有限的，最小因数是１，最大因数是它本身。
练习：写出下面每个数的所有的因数：1的因数：__________________； 7的因数：__________________；2的因数：__________________； 8的因数：__________________；3的因数：__________________； 9的因数：__________________；4的因数：__________________； 10的因数：__________________；5的因数：__________________； 11的因数：__________________；6的因数：__________________； 12的因数：__________________；公因数（公约数）：几个自然数公有的因数，叫做这几个自然数的公因数（公约数）。
如：3和4的公因数是：___________，6和8的公因数是：___________，3、质数与合数：在上面的题目中，我们发现，1只有1个因数，有些数只有2个因数，还有些数有很多因数。
根据因数的多少，我们可以把大于1的自然数分为两类：质数与合数。
（１）质数：一个数，如果只有１和它本身两个因数，这样的数叫做质数（素数）。
（２）合数：一个数，除了１和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
（３）0和１既不是质数，也不是合数。
、请写出20以内的所有质数：_____________________________________________________注意：最小的质数是____，质数里面除了______是偶数外，其它都是______数。
四年级奥数： 4,8,9整除的数的特征
四年级奥数：4,8,9整除的数的特征我们在三年级已经学习了能被2,3,5整除的数的特征,这一讲我们将讨论整除的性质,并讲解能被4,8,9整除的数的特征.数的整除具有如下性质：性质 1 如果甲数能被乙数整除,乙数能被丙数整除,那么甲数一定能被丙数整除.例如,48能被16整除,16能被8整除,那么48一定能被8整除.性质2 如果两个数都能被一个自然数整除,那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除.例如,21与15都能被3整除,那么21＋15及21-15都能被3整除. 性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除,那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除.例如,126能被9整除,又能被7整除,且9与7互质,那么126能被9×7＝63整除.利用上面关于整除的性质,我们可以解决许多与整除有关的问题.为了进一步学习数的整除性,我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：（1）一个数的个位数字如果是0,2,4,6,8中的一个,那么这个数就能被2整除.（2）一个数的个位数字如果是0或5,那么这个数就能被5整除.（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除,那么这个数就能被3整除.（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除,那么这个数就能被4（或25）整除.（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除,那么这个数就能被8（或125）整除.（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除,那么这个数就能被9整除.其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容,（4）（5）（6）是本讲要学习的内容.因为100能被4（或25）整除,所以由整除的性质1知,整百的数都能被4（或25）整除.因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和,所以由整除的性质2知,只要这个数的后两位数能被4（或25）整除,这个数就能被4（或25）整除.这就证明了（4）.类似地可以证明（5）.（6）的正确性,我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法.837＝800＋30＋7＝8×100＋3×10＋7＝8×（99＋1）＋3×（9＋1）＋7＝8×99＋8＋3×9＋3＋7＝（8×99＋3×9）＋（8＋3＋7）.因为99和9都能被9整除,所以根据整除的性质1和性质2知,（8x99＋3x9）能被9整除.再根据整除的性质2,由（8＋3＋7）能被9整除,就能判断837能被9整除.利用（4）（5）（6）还可以求出一个数除以4,8,9的余数：（4‘）一个数除以4的余数,与它的末两位除以4的余数相同.（5＇）一个数除以8的余数,与它的末三位除以8的余数相同.（6＇）一个数除以9的余数,与它的各位数字之和除以9的余数相同.例1在下面的数中,哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？234,789,7756,8865,3728.8064.解：能被4整除的数有7756,3728,8064；能被8整除的数有3728,8064；能被9整除的数有234,8865,8064.例2在四位数56□2中,被盖住的十位数分别等于几时,这个四位数分别能被9,8,4整除？解：如果56□2能被9整除,那么5＋6＋□＋2＝13＋□应能被9整除,所以当十位数是5,即四位数是5652时能被9整除；如果56□2能被8整除,那么6□2应能被8整除,所以当十位数是3或7,即四位数是5632或5672时能被8整除；如果56□2能被4整除,那么□2应能被4整除,所以当十位数是1,3,5,7,9,即四位数是5612,5632,5652,5672,5692时能被4整除.到现在为止,我们已经学过能被2,3,5,4,8,9整除的数的特征.根据整除的性质3,我们可以把判断整除的范围进一步扩大.例如,判断一个数能否被6整除,因为6＝2×3,2与3互质,所以如果这个数既能被2整除又能被3整除,那么根据整除的性质3,可判定这个数能被6整除.同理,判断一个数能否被12整除,只需判断这个数能否同时被3和4整除；判断一个数能否被72整除,只需判断这个数能否同时被8和9整除；如此等等.例3从0,2,5,7四个数字中任选三个,组成能同时被2,5,3整除的数,并将这些数从小到大进行排列.解：因为组成的三位数能同时被2,5整除,所以个位数字为0.根据三位数能被3整除的特征,数字和2＋7＋0与5＋7＋0都能被3整除,因此所求的这些数为270,570,720,750.例4五位数能被72整除,问：A与B各代表什么数字？分析与解：已知能被72整除.因为72＝8×9,8和9是互质数,所以既能被8整除,又能被9整除.根据能被8整除的数的特征,要求能被8整除,由此可确定B＝6.再根据能被9整除的数的特征,的各位数字之和为A＋3＋2＋9＋B＝A＋3－f－2＋9＋6＝A＋20,因为l≤A≤9,所以21≤A＋20≤29.在这个范围内只有27能被9整除,所以A＝7.解答例4的关键是把72分解成8×9,再分别根据能被8和9整除的数的特征去讨论B和A所代表的数字.在解题顺序上,应先确定B所代表的数字,因为B代表的数字不受A的取值大小的影响,一旦B代表的数字确定下来,A所代表的数字就容易确定了.例5 六位数是6的倍数,这样的六位数有多少个？分析与解：因为6＝2×3,且2与3互质,所以这个整数既能被2整除又能被3整除.由六位数能被2整除,推知A可取0,2,4,6,8这五个值.再由六位数能被3整除,推知3＋A＋B＋A＋B＋A＝3＋3A＋2B能被3整除,故2B能被3整除.B可取0,3,6,9这4个值.由于B可以取4个值,A 可以取5个值,题目没有要求A≠B,所以符合条件的六位数共有5×4＝20（个）.例6要使六位数能被36整除,而且所得的商最小,问A,B,C各代表什么数字？分析与解：因为36＝4×9,且4与9互质,所以这个六位数应既能被4整除又能被9整除.六位数能被4整除,就要能被4整除,因此C可取1,3,5,7,9.要使所得的商最小,就要使这个六位数尽可能小.因此首先是A尽量小,其次是B尽量小,最后是C尽量小.先试取A=0.六位数的各位数字之和为12＋B＋C.它应能被9整除,因此B＋C＝6或B＋C＝15.因为B,C应尽量小,所以B＋C＝6,而C只能取1,3,5,7,9,所以要使尽可能小,应取B＝1,C＝5.当A=0,B=1,C＝5时,六位数能被36整除,而且所得商最小,为150156÷36＝4171.练习41．6539724能被4,8,9,24,36,72中的哪几个数整除？2．个位数是5,且能被9整除的三位数共有多少个？3．一些四位数,百位上的数字都是3,十位上的数字都是6,并且它们既能被2整除又能被3整除.在这样的四位数中,最大的和最小的各是多少？4．五位数能被12整除,求这个五位数.5．有一个能被24整除的四位数□23□,这个四位数最大是几？最小是几？6．从0,2,3,6,7这五个数码中选出四个,可以组成多少个可以被8整除的没有重复数字的四位数？7．在123的左右各添一个数码,使得到的五位数能被72整除.8．学校买了72只小足球,发票上的总价有两个数字已经辨认不清,只看到是□67.9□元,你知道每只小足球多少钱吗？答案练习41.4,9,36.2.10个. 提示：百位与十位的数字和为4或13.3.9366；1362.4.42972.5.8232；2232.提示：先由能被8整除判断出个位数是2.6.16个.提示：6320,3720,2360,2760,6032,3072,2736,7632, 7320,6720,7360,3760,7032,6072,2376,3672.7.11232.8.5.11元. 提示：□679□应能被72整除.。
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本讲主线 1. 整除中尾数系，和系的判定. 2. 整除中因数分析法.
1. 尾数系: (2, 5) 看末一位； (4, 25)看末两位； (8, 125)看末三位；
2. 和系: (3, 9) 判断一个数能否被3整除，只要判断该
数的数字和能否被3整除。
【例1】(★★)自然数：14， 35， 80， 152， 650， 434， 4375， 9064， 24125 中，请问： (1) 能被2整除的有__________，能被4整除的有________，能被8整除 的有_______。 (2) 能被5整除的有__________，能被25整除的有________，能被125整 除的有_____。
72＝8×9 4. 逐一满足法。
【今日讲题】 例2，例3，例5
【讲题心得】 ___________________________________________ __________________________________________。
【家长评价】
____________________________________________ ____________________________________________ ________________________________________。
【例3】(★★★)四位数 29能同时被3和5整除，求所有满足条件的四位 数。
【例4】(★★★)两个四位数 A275和275B 相乘，要使它们的乘积能被72整除， 求A和B.
【例2】(★★)有如下9个三位数：452、387、228、975、525、882、715、775、 837.这些数中哪些能被3整除？哪些能被9整除？哪些能同时被2和3整除？
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【例5】(★★★★)在所有各位数字互不相等的四位数中，能被45整除的数的最 小是多少？
【超常大挑战】 (★★★★★)一个各位数互不相同的四位数能被9整除，把它的个位数字去掉 后剩下一个三位数，这个三位数能被4整除。这个四位数最大是多少？
数的整除特征（上）
1. 和系: 3、9 —数字和 3. 因数分解的方法：
本讲答案
• 例1：详见视频
• 例2：详见视频 • 例3：2190、2490、2790、2295、2595、2895 • 例4： A＝4、B＝2 • 例5：最小四位数1035 • 超常大挑战： 最大四位数9846
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