中考数学根与系数关系培优练习含答案
中考数学根与系数关系培优练习
阅读与思考
根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，是由16世纪的法国数学家韦达所发现的．韦达定 理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在： 1．求方程中字母系数的值或取值范围； 2．求代数式的值；
3．结合根的判别式，判断根的符号特征； 4．构造一元二次方程； 5．证明代数等式、不等式．
当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找 到这些字母间的关系，然后再结合已知条件进行求解或求证，这是利用根与系数的关系解题的基本思路，需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的关系解题时，必须满足判别式△≥0．
例题与求解
【例1】设关于x 的二次方程22(4)(21)10m x m x -+-+=(其中m 为实数)的两个实数根的倒数和为
s ，则s 的取值范围是_________.
【例2】 如果方程2
(1)(2)0x x x m --+=的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么，实数m 的取
值范围是_________.
A ．01m ≤≤
B ．34m ≥
C ．314m <≤
D ．3
14
m ≤≤
【例3】已知α，β是方程2
780x x -+=的两根，且αβ>．不解方程，求22
3βα
+的值．
【例4】 设实数,s t 分别满足22199910,99190s s t t ++=++=并且1st ≠，求41
st s t
++的值．
【例5】（1）若实数,a b 满足2
58a a +=，2
58b b +=，求代数式11
11
b a a b --+--的值； （2）关于,,x y z 的方程组32236
x y z a
xy yz zx ++=??
++=?有实数解(,,)x y z ，求正实数a 的最小值；
（3）已知,x y 均为实数，且满足17xy x y ++=，2266x y xy +=，求432234x x y x y xy y ++++的值．
【例6】 ,,a b c 为实数，0ac <，且2350a b c ++=，证明一元二次方程2
0ax bx c ++=有大于
3
5
而小于1的根．
能力训练
A 级
1．已知m ，n 为有理数，且方程2
0x mx n ++=有一个根是52-，那么m n += ． 2．已知关于x 的方程2
30x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为 ． 3．当m = 时，关于x 的方程22
8(26)210x m m x m -+-+-=的两根互为相反数； 当 时，关于x 的方程2
2
240x mx m -+-=的两根都是正数；当 时，关于m
的方程2
3280x x m ++-=有两个大于2-的根．
4．对于一切不小于2的自然数n ．关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两根记为
,n n a b (2)n ≥则
22332007200711
1
(2)(2)(2)(2)
(2)(2)
a b a b a b ++
+
=------ ．
5．设12,x x 是方程222(1)(2)0x k x k -+++=的两个实根，且12(1)(1)8x x ++=，则k 的值为（ ）
A ．31-或
B ．3-
C ．1
D ．1
2
k ≥的一切实数 6．设12,x x 是关于x 的一元二次方程2
2x x n mx ++-=的两个实数根，且1210,30x x x <-<，则 （ ）
A ．12m n >??>?
B ．12m n >??
C ．12m n ?
D ．12m n
7．设12,x x 是方程2
20x x k +-=的两个不等的实数根，则22122x x +-是（ ） A ．正数 B ．零 C ．负数 D ．不大于零的数
8．如图，菱形ABCD 的边长是5，两对角线交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程
22(21)30x m x m +-++=的根，那么m 的值是（ ）
A ．3-
B ．5
C ．53-或
D ．53-或
9．已知关于x 的方程：2
2
(2)04
m x m x --=． （1）求证：无论m 取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若这个方程的两个根是12,x x ，且满足212,x x =+求m 的值及相应的
12,x x ．
10．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程2
430kx x +-=的两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；
（2）是否存在这样的实数k ，使1212
3
222x x x x +-=成立？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．
11．如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，过C 点作CD ⊥AB 于D ，设AD ＝m ，BD ＝n ，且AC 2：BC 2
＝2：1；又关于x 的方程012)1(24
12
2=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值．
D
B
A
C
12．已知,m n 是正整数，关于x 的方程2
()0x mnx m n -++=有正整数解，求,m n 的值．
B 级
1．设1x ，2x 是二次方程032
=-+x x 的两根，则32
12419x x -+= ．
2．已知1ab ≠，且有25199580a a ++=及2
8199550b b ++=则
a
b
= ． 3．已知关于x 的一元二次方程2
610x x k -++=的两个实数根是12,x x ，且22
1224x x +=，则
k = ．
4．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程2
2x ax a ++=的两个实数根，则1221(2)(2)x x x x --的最大值为 ．
5．如果方程210x px ++=（p ＞0）的两根之差为1，那么p 等于（ ）
A ．2
B ．4
C ．3
D ．5
6．已知关于x 的一元二次方程2
210x mx m -+-=的两个实数根分别是12,x x ，且22127x x +=，则
212()x x -的值是 ( )
A ．1
B ．12
C ．13
D ．25
7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是 ( ) A ．
23 B ．2
5
C ．5
D ．2 8．设213a a +=，2
13b b +=且a b ≠，则代数式
2
211
a b
+的值为（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11
9．已知,a b 为整数，a b >，且方程233()40x a b x ab +++=的两个根,αβ满足关系式
(1)(1)(1)(1)ααββαβ+++=++．试求所有整数点对(,)a b ．
10．若方程2
310x x ++=的两根,αβ也是方程62
0x px q -+=的两根，其中,p q 均为整数，求,p q 的
值．
11.设,a b 是方程2310x x -+=的两根，c ，d 是方程2
420x x -+=的两根，已知
a b c d
M b c d c d a d a b a b c
+++=++++++++．求证：
（1）
2222
77a b c d M b c d c d a d a b a b c +++=-++++++++； （2）
3333
4968a b c d M b c d c d a d a b a b c
+++=-++++++++．
12．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的一元二次方程222(2)310x m x m m +-+-+=有两个不相等实数根12,x x ．
（1）若22126x x +=，求m 的值；
（2）求221212
11mx mx x x +
--的最大值．
13．已知关于x 的一元二次方程2
0x cx a ++=的两个整数根恰好比方程2
0x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值．
根与系数的关系
例1. 15
2
s ≥-
且3,5s s ≠-≠ 例2. C 提示: 设三根为121,,x x ,则121x x -< 例 3. 设22
3,A βα
=
+22
3,B αβ=
+ 31004A B += ① 85
174
A B -=- ② 解由① ②联立的 方程组得 1
(4038517)8
A =-
例 4. 0,s ≠故第一个等式可变形为211
()99()190,s s ++= 又
1
1,,st t s
≠∴是一元二次方程
299190x x ++=的两个不同实根, 则11
99,19,t t s s
+=-=即199,19.st s t s +=-=
故
41994519st s s s
t s
++-+==- 例5. (1) 当a b =时, 原式=2; 当a b ≠时, 原式=-20, 故原式的值为2或-20 (2) 由方程组得232,326(6),x y a z x y z az +=-=-+易知3,2x y 是一元二次方程
22()6(6)0t a z t z az --+-+=的两个实数根,0∴?≥, 即2223221440z az a -+-≤,
由z 为实数知,22'(22)423(144)0,a a ?=--??-≥ 解得23,a ≥故正实数a 的最小值为23
(3) xy 与x y +是方程217660m m -+=的两个实根,解得11,
6x y xy +=??=?
或
6,
()xy 11.x y +=??
=?
舍原式=()()2
22222212499x y x y xy x y +-++=．
例6 解法一：∵ac ＜0，2=40b ac ?-＞，∴原方程有两个异号实根，不妨设两个根为x 1，x 2，且x 1<0 由韦达定理得x 1+ x 2=b a -，12c x x a =，由2350b b c ++=， 得2+350 b c a a ?+?=，即()12122350 x x x x - ++=，解得1213253 x x x -=-，假设235x ≤ ，则11323 553 x x --≤，由10x ＜推得103--≥不成立，故235x ＞ ；假设21x ≥，则1132 153 x x --≥，由10x ＜推得132053x --≥ ＞，矛盾．故21x ＜，综上所述 23 15x ＜＜．解法二：设()2f x ax bx c =++，由条件得( ) 1253 b a c =-+， 得( ) 33331 310 255555 55f a b c a a c c a ??-=++=-++= ? ???， ()( )( ) 1132533f a b c a a c ? ?=++=- -- -? ? ．若a ＞0，0c ＜，则305f ?? ? ??? ＜，()10f ＞；若a ＜0， 0c ＞，则305f ?? ? ???＞，()10f ＜．∴0ac ＜时，总有()3105f f ?? ? ??? .＜，故原方程必有一根介于3 5与1之间． A 级 1．3 2．2 3．-2 m ＞2 0＜m ≤1 83 提示：12x -＞，22x -＞与124x x +-＞，124x x ?＞不等价． 4．10013 4016- 提示：由条件得2n n a b n +=+，22n n a b n ?=-，则()()()222 1n n a b n n --=-+，则()()21 1112221n a b n n ??=-- ?--+?? ． 5．C 6．C 7．A 8．A 9．提示：（1）()2=2120m ?-+＞ （2）2124m x x =-≤0，m =4或m =0． 10．（1）4 3 k - ＞且0k ≠ （2）存在k =4 11．由题意得2m n =，224840n m n --+＜．当n =1时，m =2；当n =2时，m =4． 12．设方程两根为1x ，2x ，则1212 , .x x mn x x m n +=??=+?∵m ，n ，1x ，2x 均为正 整数，设121x x ≥≥，1m n ≥≥，则()1212x x x x mn m n +-=-+，即有()()()()1211112x x m n --+--=，则 ()()()()12112,1,0,110,1,2.x x m n ?--=?? --=?? ∴123,2,5, 2,2,1,5,2,3,1,2,2. x x m n =??=??=??=?故5,2,3,1;2; 2.m m m n n n ===??????===??? B 级 1．0 提示：由条件得21130x x +-=，22 230x x +-=，∴2113x x =-，2 223x x =-，∴()3 211111111333343x x x x x x x x =-=-+=-+=-， ∴原式=()()121212434319431241944x x x x x x ---+=--++=++．又∵121x x +=-,∴原式=0． 2．85 3．5 4．638- 提示：()2=240a ?-+＞，原式=2 963632488a ? ?---- ?? ?≤． 5．D 6．C 7．B 8．B 9．()231αβαβ+-=，由根与系数关系得()241a b ab +-=，即()2 1a b -=，a -b =1．又由0?≥得()2 316a b ab +≥，从而()24a b +≤．由a -b =1，()2 4a b +≤，得满足条件的整数点对（a ，b ）是（1,0） 或（0，-1）． 104 4 47αβ+=，66 2 248p αβαβ-==-，()224422 7q αβαβαβ-==-． 11．a +b =3,c +d =4,ab =1,cd =2,a +b +c +d =7,222219a b c d +++=． (1)原式= ()()()()7a a b c d a b c d d a b c d d a b c a a b c d a b c b c d +++-+++++-+++=-++++++…+ 77777.b c d b c d M c d a d a b a b c + -+-+-=-++++++ （2）原式= ()() ()() 2222a a b c d a b c d d a b c d d a b c b c d a b c +++-+++++-+++=++++…+ ()()22227774968M a b c d M --+++=-． 12．（1）5172m -=． （2）原式=()()() 222 1212122 1212352312122m x x x x x x m m m x x x x ??+-+????=-+=-- ?-++? ?． ∵11m -≤≤,∴当m =-1时，22 1212 11mx mx x x +--的最大值为10． 13．设20x ax b ++=的两根分别为,αβ（其中,αβ为整数且αβ≤），则方程20x cx a ++=的两根分别为1,1αβ++，又∵,(1)(1)a a αβαβ+=-++=，两式相加，得2210αβαβ+++=，即(2)(2)3αβ++=，从而21 23αβ+=??+=?， 或2321αβ+=-??+=-?，解得12αβ=-??=?，或53αβ=-??=-?，∴0 12 a b c =??=-??=-?，或8 156 a b c =?? =?? =?，∴3a b c ++=-或29． 精心整理北京市朝阳区普通中学2018届初三中考数学复习 一元二次方程的根与系数的关系专题复习练习题 1．设α，β是一元二次方程x2＋2x－1＝0的两个实数根，则αβ的值是( ) A．2B．1C．－2D．－1 2 3 4.p，q 5．) 6.2的值为( A．－1B．9C．23D．27 7.已知一元二次方程的两根之和是3，两根之积是－2，则这个方程是( ) A．x2＋3x－2＝0B．x2＋3x＋2＝0 C．x2－3x－2＝0D．x2－3x＋2＝0 8.已知m，n是关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0的两个解，若(m－1)(n－1)＝－ 6，则a的值为( ) A．－10B．4C．－4D．10 9.菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO，BO的长分别是关于x的方程x2＋(2m－1)x＋m2＋3＝0的根，则m的值为( ) A．－3B．5C．5或－3D．－5或3 10.2 x1x2 11. 12.＋n＝ 13. 14. 15. 16. 17. (1)求m的取值范围； (2)当x12＋x22＝6x1x2时，求m的值． 18.关于x的方程kx2＋(k＋2)x＋＝0有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0.若存在，求出k的值；若 不存在，说明理由． 19.不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积． (1)x2＋2x＋1＝0; (2)3x2－2x－1＝0； (3)2x2＋3＝7x2＋x; 2 20. (1) (2) 21. (1) (2) 10. 11. 13.10 14.10－400 15.m>1/2 16.x2－10x＋9＝0 17.解：(1)∵原方程有两个实数根，∴Δ＝(－2)2－4(m－1)≥0，整理得：4－4m＋4 3.已知21、x x 是一元二次方程0144k 2=++-k kx x 的两个实数根，且2122 1-+x x x x 的值为整数，则整数k 的最大值为____________ 4.若关于x 的一元二次方程023222=-+++m m mx x 有两个实数根21、x x ，则1x （21x x +）+2 x 2的最小值为_________________ 5.若k>1，关于x 的方程012)14(222=-++-k x k x 的根的情况是（ ） A.有一个正根和一负根 B.有两个正根 C.有两个负根 D.没有实数根 6.关于x 的一元二次方程0122=+++k x x 的两实根1x 2121- 12.已知关于x的方程x2-（2k-3）x+k2+1=0． 问：（1）当k为何值时，此方程有实数根； （2）若此方程的两实数根x1、x2，满足|x1|+|x2|=3，求k的值． 13.当m是什么整数时，关于x的一元二次方程x2-4mx+4m2-4m-5=0与 mx2-4x+4=0的解都是整数？ 14.已知等腰△ABC的一边长a=4，另两边b、c的长恰好是方程x2-（2k+2）x+4k=0的两个根．求△ABC的周长． 15. 已知α，β分别是方程x2＋x-1=0的两个根，求2α5+5β3的值 1、韦达定理（根与系数的关系） 韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么 1212,b c x x x x a a +=-= 说明：定理成立的条件0?≥ 练习题 一、填空： 1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = . 2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = . 5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = . 6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 . 7、以13+，13-为根的一元二次方程是 . 8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 . 9、以23+和23-为根的一元二次方程是 . 10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 . 11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += . 12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 . 13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = . 14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 . 中考数学辅导之—一元二次方程根与系数之间关系 从暑假开始,我们系统学习了一元二次方程解法及一元二次根判别式和一元二次方程根与系数之间关系.本次,我们全面复习前面所学内容,下次,我们将学习几何中第六章解直角三角形. 一、基本内容 1.一元二次方程含义:含有一个未知数,且未知数次数最高是2整式方程叫一元二次方程. 2.一般形式:ax 2+bx+c=0(a ≠0) 3.解法: ①直接开平方法:形如x 2=b(b ≥0)和(x+a)2=b(b ≥0)形式可直接开平方.如(3x-1)2=5两边开平方得: 513±=-x 513±=x 3 51,35121-=+=∴x x ②配方法:例:01232=--x x 解:1232=-x x 31322=- x x 9 13191322+=+-x x 94)31(2=-x 3 231±=-x 3231±=x 3 1,121-==∴x x 此类解法在解一元二次方程时,一般不用.但要掌握,因为很多公式推导用这种方法. ③公式法:)0(2)0(02≥??±-=≠=++a b x a c bx ax 的求根公式是 ④因式分解法:方程右边为零.左边分解成(ax+b)(cx+d)形式,将一元二次方程转化成ax+b=0,cx+d=0形式,变成两个一元一次方程来解. 4.根判别式:△=b 2-4ac b 2-4ac>0 方程有两个不相等实根. b 2-4ac=0 方程有两个相等实根. b 2-4ac<0 方程无实根. b 2-4a c ≥0 方程有实根. 有三种应用: ①不解方程确定方程根情况. ②利用方程根条件(如有两个不相等实根,无实根,有实根等) 利用Δ建立不等式求m 或k 取值范围. ③证明Δ必小于零,或Δ必大于零来证明方程无实根或一定有实根,将Δ化成完全平方式,叙述不论m(或k)无论取何值,一定有Δ>0或Δ<0来证. 一元二次方程培优综合练习 1、关于 x 的代数式x2mx m 8 是一个完全平方式．求m 的值． 2、Rt△ABC中，C=90°，a,b是方程 x25x 3 0 的两个根，求Rt△ABC 的斜边上的中线的长． 3、已知△ABC中， AB=AC= m ,BC= n ． 求证：关于x 的方程4x28mx n20 一定有两个不相等的实数根． 4、已知a、b、c是△ABC的三边长，且关于 2 2 有两个x 的方程b x 1 2ax c( x 1) 0 相等的实数根． 求证：△ABC 是直角三角形． 5、 已知 a 、b 、c 是 △ABC 的三边长，方程 a 2 b 2 c 2 x 2 2 a b c x 3 0 有两个相 等的实数根． 求证： △ABC 是正三角形． 、已知 a 、b 、c 是 △ABC 的三边长， a 、 b 是方程 x 2 ( c 4) x 4c 8 0 的两根． 6 ①判断 △ABC 的形状． ②若 5a 3c ，求 a 、 b 、c 的长． 7、梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， AB=AD ， 8s 梯形 ABCD =13s △ ABC ，梯形的高 5 3 AE = ，且 2 1 + 1 =13． AD BC 40 ①求 B 的度数． ②设 M 为对角线 AC 上的一点， DM 的延长线与 BC 相交于一点 F ，当 s △ ABC = 25 3 时， 8 求CF 和DF 的长． 8、已知关于 x 的方程x2 2 a 1 x b 2 2 a 2014 b3的值． 0 有两个相等的实数根．求 2 2 1 1 的值． 、已知 a b ，且满足 a 3a 1 0 ， b 3b 1 0 ．求 9 a2 1 b2 1 10、已知关于x 的一元二次方程m 1 x22mx m 30 有两个不相等的实数根，且这两个实数根不互为相反数． ①求 m 的取值范围． ②当 m 在取值范围内取最小偶数时，方程的两根为x1 ,x2，求 3x12 14x2的值． 11、已知关于x 的方程mx22m 1 x m 2 0( m0) ． ①求证：这个方程有两个不相等的实数根． ②如果这个方程的两个实数根分别是x1 ,x2，且x1 3 x2 3 5m ，求m的值． 一元二次方程根与系数的关系习题 主编：闫老师 [准备知识回顾]： 1、一元二次方程 ) 0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为 )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 。 2、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式为：ac b 42-=? （1） 当0>?时，方程有两个不相等的实数根。 （2） 当0=?时，方程有两个相等的实数根。 （3） 当0 在分解二次三项式c bx ax ++2的因式时，如果可用公式求出方程 )0(02≠=++a c bx ax 的两个根21x x 和，那么))((212x x x x a c bx ax --=++．如果 方程)0(02≠=++a c bx ax 无根,则此二次三项式c bx ax ++2不能分解. [基础运用] 例1：已知方程02)1(32=+--x k x 的一个根是1，则另一个根是 ， =k 。 解： 变式训练： 1、已知1-=x 是方程0232=++k x x 的一个根，则另一根和k 的值分别是多少？ 2、方程062=--kx x 的两个根都是整数，则k 的值是多少？ 例2：设21x x 和是方程03422=-+x x ，的两个根，利用根与系数关系求下列各式的值： （1）2 22 1x x + （2）)1)(1(21++x x （3）2 11 1x x + （4）221)(x x - 一元二次方程的根与系数的关系教学案（一） 一、素质教育目标 （一）知识教学点： 掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用． （二）能力训练点： 培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力． （三）德育渗透点： 1．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律； 2．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神． 二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1．教学重点：根与系数的关系及其推导． 2．教学难点：正确理解根与系数的关系． 3．教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系． 三、教学步骤 （一）明确目标 一元二次方程x2-5x+6=0的两个根是x1=2，x2=3，可以发现x1＋x2=5恰是方程一次项系数-5的相反数，x1x2＝6恰是方程的常数项．其它的一元二次方程的两根也有这样的规律吗？这就是本节课所研究的问题，利用一元二次方程的一般式和求根公式去推导两根和及两根积与方程系数的关系——一元二次方程根与系数的关系．（二）整体感知 一元二次方程的求根公式是由系数表达的，研究一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程的两根的和，两根的积与系数的关系．它是以一元二次方程的求根公式为基础．学了这部分内容，在处理有关一元二次方程的问题时，就会多一些思想和方法，同时，也为今后进一步学习方程理论打下基础． 本节先由发现数字系数的一元二次方程的两根和与两根积与方程系数的关系，到引导学生去推导论证一元二次方程两根和与两根积与系数的关系及其应用．向学生渗透认识事物的规律是由特殊到一般，再由一般到特殊，培养学生勇于探索、积极思维的精神．（三）重点、难点的学习及目标完成过程 1．复习提问 （1）写出一元二次方程的一般式和求根公式． （2）解方程①x2-5x＋6＝0，②2x2＋x-3＝0． 观察、思考两根和、两根积与系数的关系． 在教师的引导和点拨下，由学生得出结论，教师提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？ 2．推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系． 设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根． 1 专题一 根的判别式及根与系数的关系 2019年下期九年级培优 唐国栋 知识提炼 1、一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的根的判别式：ac b 42-=?，用来判断一元二次方程的实根的个数。当0>?时，方程有 的实数根；当?=0时，方程有 的实数根；当0++?x x x x ，那么实数m 的取值范围是 。 例4（全国联赛)已知t 是实数，若b a ,是关于一元二次方程0122=-+-t x x 的两个非负实根，则()()1122--b a 的最小值是 。 例5(北京市) 已知关于x 的一元二次方程04222=-++k x x 有两个不相等的实数根. （1）求k 的取值范围； （2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值. 一元二次方程根与系数的 关系培优练习 Last revision on 21 December 2020 一元二次方程培优综合练习 1、关于x 的代数式28x mx m +++是一个完全平方式．求m 的值． 2、Rt ABC △中，°=90C ∠，,a b 是方程2530x x -+=的两个根，求Rt ABC △的斜边上的中线的长． 3、已知ABC △中，AB=AC=m ,BC=n ． 求证：关于x 的方程22480x mx n -+=一定有两个不相等的实数根． 4、已知a b c 、、是ABC △的三边长，且关于x 的方程()2212(1)0b x ax c x --++=有两个相等的实数根． 求证：ABC △是直角三角形． 5、已知a b c 、、是ABC △的三边长，方程()()2222230a b c x a b c x ++++++=有两个相等的实数根． 求证：ABC △是正三角形． 6、已知a b c 、、是ABC △的三边长， a b 、是方程2(4)480x c x c -+++=的两根． ①判断ABC △的形状． ②若53a c =，求a b c 、、的长． 7、梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD ，8=13ABC ABCD s s △梯形，梯形的高 = 2AE ，且1113+=40 AD BC ． ①求B ∠的度数． ②设M 为对角线AC 上的一点，DM 的延长线与BC 相交于一点F ，当 ABC s △时，求CF 和DF 的长． 8、已知关于x 的方程()()2 22120x a x b ---+=有两个相等的实数根．求20143 a b +的值． 1 《一元二次方程根与系数的关系》专练 知识归纳： 1.一元二次方程概念ax 2+bx +c =0(a ≠0) 2.解法①直接开平方法②配方法③公式法④因式分解法 3.根的判别式△=b 2 -4ac4.根与系数关系1x + 2x =a b - , 1x ·2x = a c 基础部分： 1若关于x 的二次方程(m +1)x 2-3x +2=0有两 个相等的实数根，则m =______. 2设方程 0432=-+x x 的两根分别为1x ，2 x ，则 1x + 2x =______，1x ·2x =_______ = +2 22 1x x _______, ()2 21x x -=________, 1212 13x x x x ++=_________ 3 若方程x 2-5x +m =0的一个根是1，则m =________ 4 两根之和等于－3，两根之积等于－7的最简系数的一元二次方程是________ 5 已知方程2x 2+(k -1)x -6=0的一个根为2，则k =_______ 6若关于x 的一元二次方程mx 2+3x-4=0有实数根，则m 的值为______ 7方程kx 2+1=x-x 2无实根，则k 8如果x 2-2(m+1)+m 2+5是一个完全平方公式，则m= 。 9若方程x 2+mx-15=0的两根之差的绝对值是8，则m= 。 10若方程x 2-x+p=0的两根之比为3，则p= 。 11在实数范围内分解因式：x 2-2x-1= 12方程 ()()1231=+-x x 化为02 =++c bx ax 形式后，a 、 b 、 c 的值为 （A ）1，–2，-15 （B ）1，-2，15 （C ）-1，2，15 （D ）–1，2，–15 13方程 ()() 02322 =-+x x 的解的个数是 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 14方程02 =++c bx ax 的两个根是x 1，x 2，则c bx ax ++2分解因式的结果是 （A ）()()212x x x x c bx ax --=++ （B ）()()212 x ax x ax c bx ax --=++ （C ）()()212 x x x x a c bx ax ++=++ （D ）()()212 x x x x a c bx ax --=++ 15方程() 03122 2=+--m x m x 的两个根是互为相反数，则 m 的值是 （A ）1±=m （B ）1-=m （C ）1=m （D ）0=m 16若方程2x （kx －4）－x 2+6=0没有实数根，则k 的最小整数值是 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 17一元二次方程一根比另一根大8，且两根之和为6，那么这个方程是 A 、x 2－6x －7=0 B 、x 2－6x +7=0 C 、x 2+6x －7=0 D 、x 2+6x +7=0 18若方程x 2+px+q=0的两根之比为3∶2，则p,q 满足的关系式是 （A ）3p 2=25q （B ）6p 2=25q （C ）25p 2=3q (D) 25p 2=6q 19方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根之和为m ，两根平方和为n ，则 c bm an ++2 1 21 的值为 A 、0 B 、m 2+n 2 C 、m 2 D 、n 2 20若一元二次方程的两根x 1、x 2满足下列关系：x 1x 2+x 1+x 2+2=0,x 1x 2-2x 1-2x 2+5=0. 则这个一元二次方程是（ ） A 、x 2+x+3=0 B 、x 2-x-3=0 C 、x 2-x+3=0 D 、x 2+x-3=0 解方程：1、04)22 1 (2=-+x 2、0662 =++x x 3、06)32(5)32(2 =+---x x 4、22 )3(4)23(-=+x x 5、06122 =+-x x 6、34124)3(2-+=-x x 综合部分: 1.方程 0132=--x x 的两个根是x 1,x 2，求代数式 1 11221+++x x x x 的值。 2.已知21,x x 是一元二次方程01322 =-+x x 的两根，求以 2121,x x x x ?+为根的方程。 3、一元二次方程()02122 =++--k x k kx ,当 k 为何值时, 方程有两个不相等的实数根？ .已知关于x 的方程0122 =-++m x x (1)若1是方程的一个根，求m 的值(2)若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围 中考数学辅导之—一元二次方程根与系数之间的 关系 我们系统的学习了一元二次方程的解法及一元二次根的判别式和一元,从暑假开始我们将学习几何,二次方程根与系数之间的关系.本次,我们全面复习前面所学内容,下次. 中的第六章解直角三角形一、基本内容的整式方程叫一元且未知数的次数最高是1.一元二次方程含义:含有一个未知数,2. 二次方程20) +bx+c=0(a一般形式:ax≠2.: 3.解法22如=b(b≥0)0)和(x+a)的形式可直接开平方:①直接开平方法形如 x.=b(b≥2: 两边开平方得(3x-1)=551?51??,?x?x5?x53?13x?1??21332 :② 配方法:例03x??2x?11222解:1?2x3x??xx?3311212?xx??? 939321412??x?(x)??3393121?,xx????x?121333因 为很多公式的推导用这种方,.但要掌握此类解法在解一元二次方程时,一般不用. 法?b??2)??0(?0axbx??c?0(a?)的求根公式是x:③公式法a2将一元二次方程转,:方程右边为零.左边分解成(ax+b)(cx+d)的形式④因式分解法. 变成两个一元一次方程来解化成ax+b=0,cx+d=0的形式,2-4ac =b根的判别式:△4.2. 方程有两个不相等实根b-4ac>0 2-4ac=0 方程有两个相等实根. b2-4ac<0 方程无实根. b2-4ac≥0 b方程有实根. 有三种应用: ①不解方程确定方程的根的情况. ②利用方程的根的条件(如有两个不相等实根,无实根,有实根等) 利用Δ建立不等式求m或k的取值范围. ③证明Δ必小于零,或Δ必大于零来证明方程无实根或一定有实根,将Δ化成完 全平. 来证<0Δ或>0Δ一定有,无论取何值k)或m(叙述不论,方式 cb2. +bx+c=0(a≠0)的根,则5.根与系数间的关系,某x,x是ax?x,x?x?x??212121aa: 应用. 求方程中m或k的值或另一根①不解方程,. 求某些代数式的值②不解方程,. 的取值范围m或k③利用两根的关系,求方程中. 使它与原方程有某些关系④建立一个方程,. ⑤一些杂题 : 二、本次练习: 填空题(一)22mx??x3mx?2x?m m=____. 1.关于x是一元二次方程的方程,则2常数化成一元二次方程的形式是____.其一次项系数是 2.将方程4x____,-kx+k=2x-1____. 项是222x=____. 则代数式(x+2)+(x-2)的值相等的值与8(x,-2)3.522 +( )=(x- )4.x?x 22k=____. 21.2.4 一元二次方程根与系数的关系(第二课时) 导学探究 1．一元二次方程的一般形式是_______________. 2. 一元二次方程的求根公式是______________________. 3. 判别式与一元二次方程根的情况： 4. 一元二次方程ax 2 +bx +c =0(a ≠0)有两个实数根x 1，x 2与系数a,b,c 的关系是什么？ 典例探究 1．已知一元二次方程两根的关系求参数或参数的范围 总结： 已知一元二次方程两根x1，x2的不等关系求原方程中的字母参数时，一般考虑韦达定理和根的判别式，尤其是根的判别式不要忘记，这是保证方程有根的基本条件. 练1．已知x1，x2是关于x 的一元二次方程x 2 ﹣（2k+1）x+k 2 +2k=0的两个实数根，且x1，x2满足x 1?x 2﹣x 12﹣x 22≥0，求k 的取值范围. 【例2】（2015?丹江口市一模）已知关于x 的方程x 2 ﹣2（m+1）x+m 2 ﹣3=0 （1）当m 取何值时，方程有两个实数根？ （2）设x 1、x 2是方程的两根，且（x 1﹣x 2）2 ﹣x 1x 2=26，求m 的值． 总结： 1. 一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）根的情况与判别式△的关系如下： 24b ac -是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，设2=4b ac ?-，则 （1）当0?＞时，__________________________________； （2）当=0?时，___________________________________ （3）当0?＜时，原方程____________________________. 【例1】已知关于x 的方程2 120,3 x kx --=设方程的两个根为x 1,x 2，若12122()x x ,x x +>求k 的取值范围. 如果x 1，x 2是一元二次方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)的两个实数根，则有 1212,b c x x x x a a +=-?=．这是著名的韦达定理. 一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案） 一．选择题（共22小题） 1．（2014?宜宾）若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（） A．x2+3x﹣2=0 B．x2﹣3x+2=0 C．x2﹣2x+3=0 D．x2+3x+2=0 2．（2014?昆明）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，则x1?x2等于（） A．﹣4 B．﹣1 C．1D．4 3．（2014?玉林）x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？则正确的结论是（） A．m=0时成立B．m=2时成立C．m=0或2时成立D．不存在 4．（2014?南昌）若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（） A．10 B．9C．7D．5 5．（2014?贵港）若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则b+c的值是（）A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．﹣1 6．（2014?烟台）关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是（） A．﹣1或5 B．1C．5D．﹣1 7．（2014?攀枝花）若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（） A．α+β=﹣1 B．αβ=﹣1 C．α2+β2=3 D．+=﹣1 8．（2014?威海）方程x2﹣（m+6）x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，则m的值是（）A．﹣2或3 B．3C．﹣2 D．﹣3或2 9．（2014?长沙模拟）若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2=0的一个根是﹣2，则另一个根是（）A．2B．1C．﹣1 D．0 10．（2014?黄冈样卷）设a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2012 B．2013 C．2014 D．2015 11．（2014?江西模拟）一元二次方程x2﹣2x﹣3=0与3x2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于（） A．﹣6 B．6C．3D．﹣3 12．（2014?峨眉山市二模）已知x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的两个实数根，则的最大值是（） A．19 B．18 C．15 D．13 13．（2014?陵县模拟）已知：x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，则a、b的值分别是（） A．a=﹣3，b=1 B．a=3，b=1 C．a=﹣，b=﹣1 D．a=﹣，b=1 14．（2013?湖北）已知α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为（）A．﹣1 B．9C．23 D．27 一元二次方程的根与系数的关系 教学目的 1．使学生掌握一元二次方程根与系数的关系(即韦达定理)，并学会初步运用． 2．培养学生分析、观察以及利用求根公式进行推理论证的能力． 教学重点、难点 重点：韦达定理的推导和初步运用． 难点：定理的应用． 教学过程 一、复习提问 1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式应如何表述？ 2．上述方程两根之和等于什么？两根之积呢？ 二、新课讲解 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为 由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系：(又称“韦达定理”) 如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根是x 1，x2，那么 例1已知方程5x2＋k x－6＝0的一个根是2，求它的另一根及k的值． 讲解例1 例2利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2＋3x－1＝0两根的(1)平方和；(2)倒数和． 三、学生练习 1．下列各方程两根之和与两根之积各是什么？ (1)x2－3x－18＝0；(2)x2＋5x＋4＝5； (3)3x2＋7x＋2＝0；(4)2x2＋3x＝0． 2．方程5x2＋kx－6＝0两根互为相反数，k为何值？ 3．方程2x2＋7x＋k＝0的两根中有一个根为0，k 为何值？ 4、已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数． 提示：这是一道“根与系数的关系定理”的应用题，要注意此类题的解题步骤：(1)运用定理构造方程； (2)解方程求两根； (3)得出所欲求的两个数． 四、课堂小结 1．本节课主要学习了一元二次方程根与系数关系定理，应在应用过程中熟记定理． 2．要掌握定理的四个应用：一是不解方程直接求方程的两根之和与两根之积；二是已知方程一根求另一根及系数中字母的值．三是已知方程求两根的各种代数式的值；四是已知两根的代数式的值，构造新方程； 五、布置作业： 1、本节不留书面作业。 2、探究性作业：课本55页探索。 一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练 一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。 例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？ 分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。 解：∵方程（1）有两个不相等的实数根， ∴ 解得； ∵方程（2）没有实数根， ∴ 解得； 于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是 其中，的整数值有或 当时，方程（1）为，无整数根； 当时，方程（1）为，有整数根。 解得： 所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。 总结：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出 ，这也正是解答本题的基本技巧。 二、判别一元二次方程两根的符号。 例1：不解方程，判别方程两根的符号。 分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若 判定根的正负，则需要确定或的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。 解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0 ∴方程有两个不相等的实数根。 设方程的两个根为， ∵＜0 ∴原方程有两个异号的实数根。 总结：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。 三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。 例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。 分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。 解法一：把代入原方程，得： 即 解得 当时，原方程均可化为： ， 九年级数学数学专题04 根与系数关系 阅读与思考 根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，是由16世纪的法国数学家韦达所发现的．韦达定 理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在： 1．求方程中字母系数的值或取值范围； 2．求代数式的值； 3．结合根的判别式，判断根的符号特征； 4．构造一元二次方程； 5．证明代数等式、不等式． 当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找 到这些字母间的关系，然后再结合已知条件进行求解或求证，这是利用根与系数的关系解题的基本思路，需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的关系解题时，必须满足判别式△≥0． 例题与求解 【例1】设关于x 的二次方程2 2 (4)(21)10m x m x -+-+=(其中m 为实数)的两个实数根的倒数和为 s ，则s 的取值范围是_________. 【例2】 如果方程2 (1)(2)0x x x m --+=的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么，实数m 的取 值范围是_________. A ．01m ≤≤ B ．34m ≥ C ．314m <≤ D ．3 14 m ≤≤ 【例3】已知α，β是方程2 780x x -+=的两根，且αβ>．不解方程，求22 3βα +的值． 【例4】 设实数,s t 分别满足22 199910,99190s s t t ++=++=并且1st ≠，求41 st s t ++的值． 【例5】（1）若实数,a b 满足2 58a a +=，2 58b b +=，求代数式11 11 b a a b --+ --的值； （2）关于,,x y z 的方程组32236 x y z a xy yz zx ++=?? ++=?有实数解(,,)x y z ，求正实数a 的最小值； （3）已知,x y 均为实数，且满足17xy x y ++=，2 2 66x y xy +=，求4 3 2 2 3 4 x x y x y xy y ++++的值． 【例6】 ,,a b c 为实数，0ac <0++=，证明一元二次方程2 0ax bx c ++=有大于 1的根． 能力训练 A 级 1．已知m ，n 为有理数，且方程2 0x mx n ++=2，那么m n += ． 2．已知关于x 的方程2 30x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为 ． 3．当m = 时，关于x 的方程2 2 8(26)210x m m x m -+-+-=的两根互为相反数； 当 时，关于x 的方程2 2 240x mx m -+-=的两根都是正数；当 时，关于m 一元二次方程根与系数的关系（附答案） 评卷人得分 一．选择题（共6小题） 1．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（） A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根 C．没有实数根D．无法确定 2．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1 D．m＜﹣1 3．关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．没有实数根D．不能确定 4．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值是（）A．2 B．4 C．5 D．6 5．若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α+β的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣2 D． 6．已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，则常数c的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．3 评卷人得分 二．填空题（共1小题） 7．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p，q，且p2﹣pq+q2=18，则的值为． 评卷人得分 三．解答题（共8小题） 8．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2，求该矩形的对角线L 的长． 9．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）若该方程的一个根为1，求a的值； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 10．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣2（x﹣m）=0（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程一个根为3，求m的值． 11．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0． （1）当a=﹣11时，解这个方程； （2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值范围； （3）若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a的值． 12．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根．（1）是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=﹣成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由； （2）求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值； （3）若k=﹣2，λ=，试求λ的值． 13．已知关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）若x1+x2=x1x2+2，求k的值． 14．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0． （1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）设x1、x2是方程的两根，且x12+x22=22+x1x2，求实数m的值． 2013根与系数关系应用 一．填空题（共30小题） 1．（2012?泸州）设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两个实数根，则x12+x22+4x1x2的值为_________．2．（2012?鄂州）设x1、x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两个实根，且，则a= _________． 3．（2011?苏州）已知a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个实数根，则代数式（a﹣b）（a+b﹣2）+ab的值等于_________． 4．（2011?德州）若x1，x2是方程x2+x﹣1=0的两个根，则x12+x22=_________． 5．（2010?雅安）已知一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根为x1、x2，且x1x2（x1+x2）=3，则m的值是 _________． 6．（2010?芜湖）已知x1、x2为方程x2+3x+1=0的两实根，则x13+8x2+20=_________． 7．（2010?成都）设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值为_________． 8．（2009?天津）若分式的值为0，则x的值等于_________． 9．（2008?鄂州）已知α，β为方程x2+4x+2=0的二实根，则α3+14β+50=_________． 10．（2007?芜湖）已知2﹣是一元二次方程x2﹣4x+c=0的一个根，则方程的另一个根是_________．11．（2007?宿迁）设x1，x2是方程x（x﹣1）+3（x﹣1）=0的两根，则|x1﹣x2|=_________．12．（2006?株洲）已知a、b是关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k（k+1）=0的两个实数根，则a2+b2的最小值是_________．13．（2006?日照）已知，关于x的方程x2+=1，那么x++1的值为_________．14．（2006?南充）如果α、β是一元二次方程x2+3x﹣1=0的两个根，那么α2+2α﹣β的值是_________． 15．（2001?甘肃）如果二次三项式3x2﹣4x+2k在实数范围内总能分解成两个一次因式的乘积，则k的取值范围是_________． 16．（2001?东城区）若2x2﹣5x+﹣5=0，则2x2﹣5x﹣1的值为_________． 17．（2000?辽宁）已知α，β是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则α2+αβ+2α的值为_________． 18．（1999?温州）若m、n是关于x的方程x2+（p﹣2）x+1=0的两实根，则代数式（m2+mp+1）（n2+np+1）的值等于_________． 专题04 根与系数关系 阅读与思考 根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，是由16世纪的法国数学家韦达所发现的．韦达定 理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在： 1．求方程中字母系数的值或取值范围； 2．求代数式的值； 3．结合根的判别式，判断根的符号特征； 4．构造一元二次方程； 5．证明代数等式、不等式． 当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找 到这些字母间的关系，然后再结合已知条件进行求解或求证，这是利用根与系数的关系解题的基本思路， 需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的 关系解题时，必须满足判别式△≥0． 例题与求解 【例1】设关于x 的二次方程22(4)(21)10m x m x -+-+=(其中m 为实数)的两个实数根的倒数和为 s ，则s 的取值范围是_________. 【例2】 如果方程2(1)(2)0x x x m --+=的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么，实数m 的取 值范围是_________. A ．01m ≤≤ B ．34m ≥ C ．314m <≤ D ．314 m ≤≤ 【例3】已知α，β是方程2780x x -+=的两根，且αβ>．不解方程，求 223βα+的值． 【例4】 设实数,s t 分别满足22199910,99190s s t t ++=++=并且1st ≠，求 41st s t ++的值． 【例5】（1）若实数,a b 满足258a a +=，258b b +=，求代数式 1111b a a b --+--的值； （2）关于,,x y z 的方程组32236 x y z a xy yz zx ++=??++=?有实数解(,,)x y z ，求正实数a 的最小值； （3）已知,x y 均为实数，且满足17xy x y ++=，2266x y xy +=，求432234x x y x y xy y ++++的值． 【例6】 ,,a b c 为实数，0ac <，且2350a b c ++=，证明一元二次方程2 0ax bx c ++=有大于35 而小于1的根． 能力训练 A 级 1．已知m ，n 为有理数，且方程20x mx n ++=有一个根是52-，那么m n += ． 2．已知关于x 的方程230x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为 ． 3．当m = 时，关于x 的方程22 8(26)210x m m x m -+-+-=的两根互为相反数； 当 时，关于x 的方程22240x mx m -+-=的两根都是正数；当 时，关于m届中考复习《一元二次方程的根与系数的关系》专题测试含答案
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