试验数据误差处理
试验的误差和数据处理基本要求
错误所引起的，如标度看错、记录写错，这种错误应完全避免。
由上可见，实验时的系统误差可以设法消除，错误可以避免，但在任何测量中偶然误
差总是存在的。所以我们不能以任何一次的观察值作为测量的结果，为了使测量的结果具有
较大的可靠性、常取多次测量的算术平均值。设N1、N2……NK是各次的测量值，测量次数
是K，则其算术平均值N为：
3
△R=±1Ω
(6)乘除运算法则,各数所保留的有效数字只需和其中有效数字位数最小的相同。所得结
果的有效数字也与原数中有效数字最小者相同。
例如 I=32.8±0.1mA
ρI= 0.1 = 0.3% 32.8
R=210.2±0.1Ω
ρR= 0.1 ≈ 0.05% 210.22
计算 E=IR
ρE=0.3%+0.05%=0.35%
E 的相对误差已达千分之三,故 E 的有效数字只有三位.
E=32.8×210=6.89×103mV
(7)测量值与常数相乘所得结果与测定值的有效数字相同。
在计算过程中应严格遵守有效数字运算规则，如果乘除数中最少的有效数字是四位，
则可用四位对数表运算。
4、实验结果的表示法
化学实验结果的表示法常用的有二种方式：(1)列表法，(2)作图法。 (1)列表法 做完实验后，所得的大量数据，应该尽可能地列表整齐地规律地表达出来，使得全部 数据能一目了然，便于处理运算，便于检查而减少差错。 利用列表法表达实验数据时，最常见的是列出自变量和因变量间的相应数值，每一表 格都应有简明完备的名称，在表的每一档上，都应详细地写上名称，数量单位。自变量的选 择可以是时间、温度、浓度……等等变量。选择时最好能使其数值依次等量的递增。在每一 行中，数字的排列要整齐，位数和小数点要对齐，有效数字和位数应特别注意。 (2)作图法 利用图形来表达化学实验结果时，有许多优点。首先能直接显示出各变量之间的相互 关系，如极大、极小、转折点等；其次能够利用图形作切线，求面积，将数据进行进一步的 处理。因此，作图法的用处极为广泛，作图的步骤及一般规则如下： (i)、选择坐标 以自变量为横坐标，应变量为纵坐标。横、纵坐标的读数一般不一定从 0 开始，视其 具体情况进行选定，以保证图形落于图纸中央。 (ii)、选择比例尺 要能表示出测量值的全部有效数字，以使从作图法求得的量的准确度与测量的准确度 相当，坐标的最小分格应与测量值的最后一位可靠数字相当。比如用 1/10 温度计测量温度， 则最小分格应表示 1/10 度，用有毫米刻度的米尺测压力则最小分格应表示 1/10cm。某些情 况由于图纸的限制或其他原因，作图时降低了测量准确度的，应注明清楚。若作直线，则比 例尺的选择应使其斜率接近 1。 (iii)、画出坐标轴 选定比例尺后，画出坐标轴，在轴旁注明该轴所代表变量的名称及单位。在纵轴之左面 及横轴的下面每隔一定距离写下该处变量的数值，以便作图和读数（注意不应将实验值写于 坐标轴旁）。读数横轴自左至右，纵轴自下而上。
误差理论及实验数据处理
可以设法减小或排除掉的，如对试验机和应变仪等定期校准和检验。又如单向拉伸时由于夹
具装置等原因而引起的偏心问题，可以用试样安装双表或者两对面贴电阻应变片来减少这种
误差。系统误差越小，表明测量的准确度越高，也就是接近真值的程度越好。
偶然误差是由一些偶然因素所引起的，它的出现常常包含很多未知因素在内。无论怎样
差出现的可能性小。
3）随着测量次数的增加，偶然误差的平均值趋向于零。
4）偶然误差的平均值不超过某一限度。
根据以上特性，可以假定偶然误差Δ 遵循母体平均值为零
的高斯正态分布，如图Ⅰ-1 所示。
f (Δ) =
1
− Δ2
e 2σ 2
σ 2π
图Ⅰ-1 偶然误差的正态频率曲线
·97·
材料力学实验指导与实验基本训练
Δ ≤ Δ1 + Δ2 [注]：上述法则对于两个相差甚大的数在相减时是正确的。但是对两个相互十分接近的 数，在相减时有效位数大大减少，上述结论就不适用。在建立运算步骤时要尽量避免两个接 近相等的数进行相减。 2）如果经过多次连乘除后要达到 n 个有效位数，则参加运算的数字的有效位数至少要 有 (n + 1) 个或 (n + 2) 个。例如，两个 4 位有效数的数字经过两次相乘或相除后，一般只能 保证 3 位有效数。 3）如果被测的量 N 是许多独立的可以直接测量的量 x1, x2,", xn 的函数，则一个普遍的 误差公式可表示为下列形式，即
控制实验条件的一致，也不可避免偶然误差的产生，如对同一试样的尺寸多次量测其结果的
分散性即起源于偶然误差。偶然误差小，表明测量的精度高，也就是数据再现性好。
实验表明，在反复多次的观测中，偶然误差具有以下特性：
《试验设计与数据处理》第1章试验数据的误差分析
d p xp x (, n) s
则应将xp从该组试验值
中剔除。
7 10.52 0.066 10.52 0.119
8 10.82 0.366
x 10.45
x 10.40
s= 0.165
s= 0.078
从附录2查取。
(, n)
(1) s (0.05,8) 2.03 0.16 0.320.366 (2) (0.05,7) s 1.94 0.078 0.15220.119
※ 适用场合: 测定次数n >20
※测定次数n <10时，应采用其它准则。如：
格拉布斯准则、狄克逊准则、t检验法等 21
(2) 格拉布斯(Grubbs)准则
序
第一次检验
第二次检验
※ 方法：
号 xi xi x xi xi x
1）计算包括可疑值在内
1 10.29 0.164 10.29 0.111
• 在相同条件下，多次测量同一量时，误差的绝对值和符号 的变化时大时小，时正时负，没有确定的规律；
• 在一次测定中，是不可预知的，但在多次测定中，其误差 的算术平均值趋于零。
※ 随机误差的来源：偶然因素 ※ 随机误差具有一定的统计规律：
(1) 有界性； (2) 正误差和负误差出现的频数大致相等； (3) 绝对值小的误差比大的误差出现的次数多（收敛性）。 (4) 当测量次数n→∞，误差的算术平均值趋于零（抵偿性1）3 。
用来描述试验结果与真值的接近程度，即反映系统误差和随 机误差合成的大小程度。
16
1.5 试验数据误差的估计与检验
※1 随机误差的估计 对试验值精密度高低的判断：
(1) 极差：指一组试验值中最大值与最小值的差值。
分析化学第四章误差与实验数据的处理
x
第三章误差与实验数据的处理
三、随机误差的区间概率
这样，对于任何正态分布，测定值落在区间(u1u2)的概 率 P(U ,U ) 相应地可由标准正态分布算出：
1 2
P(u1 xu2 )
1 2
u2
u1
e
1 u2 2
du
实际应用中，把每个区间的积分结果计算好，列成表供查用。 例1：某标样中Co的标准值为1.75%，σ=0.10，求分析结果大 于2.00 %的概率。
n 1 ( xi x ) n 1 i 1 2
n 1 2 d i n 1 i 1
在上例中,如用S来衡量,则:
2 2 （0.3） （0.2） ...... (0.3) 2 S甲 0.26 10 1
2 2 （0.1 ） （0.7） ..... (0.1) 2 S乙 0.41 10 1
2 1 n u) ( x i n i 1
第三章误差与实验数据的处理
（三）平均值的标准偏差
总体（母体）：一定条件下无限多次测定数据的全体。
样本：随机从总体中抽出的一组测定值。
样本大小（样本容量）：样本中所含测定值的数目。
第三章误差与实验数据的处理
如果从同一总体中随机抽出容量相同的数个样本， 由此可以得到一系列样本的平均值。 m个n次平行测定的平均值： X 1 , X 2 , X 3 , X m
对实验数值误差理论和数据处理
9 平均值的有效数字位数，通常和测量值相同。 当样本容量较大，在运算过程中，为减少舍 入误差，平均值可比单次测量值多保留一位 数。
3.3实验数据的初步整理
3.3.1实验数据的列表整理
1.数据的归类整理 2.数据的分组整理
3.3.2 分布规律判断的基本方法— —统计直方图
1．统计直方图 为了对某个随机变量的分布规律作出判断，
如0.0121×25.64×1.05782,其0.0121为三 位有效数字，故计算结果宜记0.328
5 在所有计算式中，常数π ，e的数值，以及，1/2等 系数的有效数字位数，可以认为无限制，需要几位 就可以取几位。
6 在对数计算中，所取对数位数，应与真数的有效数 字位数相等。例如，pH12.25 和 [H+]=5.6×10-13M;
3.误差与数据处理
3．1 误差及其表示方法
误差来源
设备误差 环境误差 人员误差 方法误差
误差分类
系统误差、 随机误差、 过失误差
(1)系统误差
系统误差是由某种确定的因素造成的，使测定 结果系统偏高或偏低；当造成误差的因素不存 在时，系统误差自然会消失。
当进行重复测量时，它会重复出现。系统误差 的大小，正负是可以测定的，至少在理论上说 是可以测定的，系统误差的最重要特性是它具 有‘‘单向性” 。
对于舍去的数据，在试验报告中应注明舍去的原因或所 选用的统计方法。
1)．4d 法检验
根据测量值的正态分布可知，偏差大于3σ的测量 值出现的概率约为0.3％，此为小概率事件，而 小概率事件在有限次实验中是不可能发生的，如 果发生了则是不正常的。
即偏差大于3σ的测量值在有限次检验中是不可能 的，如果出现则为异常值，为过失所致应舍弃。 (概率不超过5%的事件称为小概率事件)。
实验数据和误差处理
2．精密度：在一组测量中如果数据比较稳定，分散性小，我们就称测量结果是精密的。 测 量(或加工制造或计算)的精密度是由偶然误差来表征和描述的。 偶然误差越小则表示测量 的精密度越高，从而表明测量的重复性就越好。 3．精确度：在测量(或加工制造或计算)中，如果系统误差小，偶然误差也小，则这组测量 的准确度和精密度都越好。这时我们称这组测量的精确度高。所以精确度是由系统误差和偶 然误差两个共同来表征和描述的。
4．或然误差（最可几误差）或然误差的定义为：在一组测量中，若不记正负号，如果 选定一个γ值，则误差大于γ的观测值与误差小于γ的观测值各占总观测次数的 50%这时我 们就把
γ叫做或然误差或最可几误差。也就是说误差落在-γ和+γ之间的观测数占总观测值的一
∫ 半，从下述积分：
Ρ=
1 2π σ
+γ
exp[−
偶然误差的特点是有时大有时小，有时正有时负，方向不一定。产生的原因是多方面的， 是无法控制的。但是用同一台仪器在同样条件下对同一物理量作了多次的测量，若测量的次 数足够多，可以发现偶然误差完全服从统计性的规律，出现误差的正负和大小完全由概率来 决定。当测量的次数无限增大时，偶然误差的算数平均值将趋近于零。因此，多次测量结果 的算数平均值将接近真值。 3．过失误差：它是一种显然与事实不符的误差。产生的原因主要是粗枝大叶过度疲劳和操 作不正确等。例如读错刻度值、记录错误、计算错误等。此类误差无规则可寻，可根据经验、 理论及时判断数据的正负、量级是否正确，这样才能消除过失误差。 四．准确度、精密度和精确度 1．准确度：在一组测量中如果系统误差很小，那么可以说测量结果是相当准确的。测量(或 加工制造或计算)的准确度是由系统误差来表征和描述。系统误差越小则表示测量的准确度 越高。
实验数据的误差与结果处理(精)
7
2.2 实验数据处理及结果评价 2.2.1 数理统计的几个基本概念
1. 总体(universe)（或母体）——分析研究的对象 的全体 2. 样本(swatch)（或子样）——从总体中随机抽取 一部分样品进行测定所得到的一组测定值 3. 个体(individual)——样本中的每个测定值xi 4. 样本容量(capacity of sample)（或样本大小）— 样本中所含个体的数目，用n表示
1 x (79.58 79.45 .... 79.38)% 79.50% 6
s
2018年9月28日7时8分
X
i X
2
n 1
0.09%
SX S / 6 0.04%
14
2.2 实验数据处理及结果评价
2.2.3 置信度与置信区间
偶然误差的正态分布曲线：
对于有限次测定,结果的平均 值与总体平均值 关系为 ： s x t sx x t n
5. 样本平均值
1 x xi n
6. 极差: 表示数据的分散程度
2018年9月28日7时8分
R xmax xmin
8
2.2 实验数据处理及结果评价
2.2.2 少量数据的统计处理 1. 平均偏差
平均偏差又称算术平均偏差，用来表示一组数据的精密度 平均偏差： 相对平均偏差：
1 1 d xi x d i n n
s——有限次测定的标准偏差 n——测定次数
t 值表 ( t——某一置信度下的几率系数)
置信度——真值在置信区间出现的几率 置信区间——以平均值为中心，真值出现的范围 讨论： 1. 置信度不变时: n 增加，t 变小，置信区 间变小 2. n不变时：置信度增加， t变大，置信区 间变大 2. n， t不变时：s增加，置信区间变大，准 确度降低 2018年9月28日7时8分
误差和实验数据的处理
❖误差表示分析结果偏离真值的程度， 而偏差表示数据分散的程度。
14
四、系统误差与随机误差
1、系统误差
又称为可测误差，它是由于分析过程中某些固 定的原因造成的，使分析结果偏低或偏高。 A特点 重复性；单向性；可测性 B产生原因： （1）方法误差（重量分析中，沉淀的溶解损 失、共沉淀现象、灼烧过程中沉淀的分解或挥
4
27
置信度高，置信区间大。区间的 大小反映估计的精度，置信度的 高低说明估计的把握程度。 例5：书p114：17
28
三、 可疑测定值（cutlier）的取舍
在实验中得到一组数据，个别数据离群 较远，这一数据称为异常值、可疑值或极端 值。若是过失造成的，则这一数据必须舍去。 否则异常值不能随意取舍，特别是当测量数 据较少时。
▪σ：无限次测量的标准偏差
▪μ真值：无限次测量的平均值
或总体平均值
▪对于无限次测定，结果落在
μ±σ 范 围 内 的 概 率 是 68.3% ；
落 在 μ±2σ 范 围 内 的 概 率 是
95.5%；落在μ±3σ范围内的概
率是99.7%。
▪ 这种测定值在一定范围内出
现的几率称为置信度p。
y f x
在无系统误差存在的前提下，μ= xT 6
例如：分析濠河水总硬度，依照取样规则， 从濠河中取来供分析用2000mL样品水，这 2000mL样品水是供分析用的总体，如果从 样品水中取出20个试样进行平行分析，得到 20个分析结果，则这组分析结果就是濠河样 品水的一个随机样本，样本容量为20。
7
5、绝对偏差、相对偏差、样本平均偏差 2 2 几率(1-p)称为显著性水平α。
2
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實驗數據誤差處理實驗過程中或是撰寫結報時，同學常常遇到幾個問題：問題(1)不知該如何正確的分析與處理手邊的數據；問題(2)為什麼要學習誤差的處理；問題(3)誤差處理對科學研究的意義為何。
關於問題(1)，我們在以下的文章內，會做詳細的介紹。
而問題(2)，答案是我們希望培養同學們用科學方法處理數據。
至於問題(3)，簡單的說，我們希望以世界通用的數據處理方法，達到科學交流上正確且有效率的溝通。
希望以下介紹，能對同學有所幫助。
何謂誤差？（1）上面的式子，是實驗數據處理會談到的誤差的定義。
先想一想，為什麼我們要從事測量？如果我已經知道待測物理量的真值，我為什麼還要去測它？難道就為了要知道測量的誤差嗎？我們先定義三個名詞：測量值、理論值和真值。
✓「測量值」就是我們做實驗去測量到的物理量。
✓「理論值」就是我們依照既有的物理理論模型及公式推導歸納出來的物理量，是一個推論出來的真值。
✓「真值」就是真正的物理量，也有人廣義的解釋為我們做無限多次實驗，測量到的平均物理量。
那麼誤差和以上介紹的三個名詞，又有什麼關係呢？實驗數據的處理與分析，是想運用統計的方法，讓我們從多次的測量數據中，估算出最接近真值的數據，真值是我們想要獲得的測量結果。
但是我們實驗做不到無限多次的測量，對吧？所以有時候可以用理論值代替真值。
我們也需要藉由誤差分析，讓我們瞭解我們所做量測與理論模型估算之間，有多大的差距，並探討實驗誤差的可能來源。
請找一個舒適的閱讀環境，靜下心來，閱讀以下的文章。
(1).「系統誤差(systematic error)」與「隨機誤差(random error)」系統誤差：所謂測量，就是拿一個標準的測量工具，在此測量工具（例如尺）上含有刻度。
將測量工具和待測物相互比較，我們可判得測量值。
⏹直接測量的物理量，可能的系統誤差來源為：◆測量工具本身所顯示的刻度，因為校正時疏忽，造成不正確。
◆因為環境的因素（例如溫度、壓力等），使得刻度的數值產生變化。
◆人為不正確的操作或使用錯誤的觀測方法。
⏹非直接測量的物理量：◆有可能因為實驗設計錯誤，或實驗設計不滿足理論原理的要求，這種情況也會造成系統誤差，不過這種情況常被很多人忽略。
通常系統誤差會使得所有測量值，都有過高或過低的偏差，且偏差量大致相同，不含機率分佈的因素。
隨機誤差：實驗的基本方法，總是希望控制所有影響的變因，且一次只讓一種變因發生變化。
為了實驗簡便，往往忽略對實驗影響較微小的因素，但實際操作時，不見得盡如人意。
這些不易控制（有時候無法控制）的小變因，便會使測量值產生隨機分佈的誤差。
(2).降低系統誤差的方法：✓儀器造成的→設法改良儀器。
✓環境造成的→設法控制實驗環境。
✓操作不良的→加強訓練自己。
理論上或許可能將儀器誤差完全消除，但是前兩項的改善，並不需要做到最完美的情形。
因為不是儀器越精良、環境越穩定，實驗結果就越好。
要減少系統誤差，我們必須考慮測量值所要求的「精密度」、實驗環境與經費。
所以改善時，應該考慮主要誤差的來源。
如果把所有經費都拿去買最精密的儀器，且假設儀器本身的測量精準度是0.01%，而實驗室環境雖然已經改善至最好，但是在此環境的影響下，我們無論如何也只能使誤差達到1%，則再精密的儀器，也改善不了我們的總誤差，那麼，買高精密的儀器，不過是花冤枉錢罷了！(3).降低隨機誤差的方法：藉由統計的方法，增加測量次數，能最有效率的改善隨機誤差。
以下介紹兩個名詞。
⏹精密度：當多次重複測量時，不同測量值彼此間偏差量的大小。
如果多次測量時，彼此間結果皆很接近，則稱為精密度較高。
⏹準確度：測量值與真值（或公認值）的偏差程度。
公認值通常由廠商提供，那是使用已知較準確且精密度高的實驗儀器，在優良訓練的實驗人員重複操作下，所得出精密度相當高的實驗結果。
但實驗時不見得有所謂公認值存在。
(4).統計分析方法⏹母分佈：每一個待測物理量，我們可以假想存在一個「真值」。
假設只有隨機誤差而完全沒有系統誤差，那麼我們增加同一物理量的測量次數，使隨機誤差大於真值與小於真值的機率分佈一樣，則所有測量值的平均值，將隨著測量次數增加而越接近真值。
當測量次數等於「無窮多次」時，測量值的分佈稱為母分佈。
而「有限次」的測量屬於母分佈的部份樣本，稱為「樣本分佈」。
於是有限次數的算數平均值是我們對於真值所能給（猜）的最好的估計值。
⏹ 算數平均值(mean)x ：nx n x x x x ni in ∑==+++≡121 （2）⏹ 偏差（deviation)：每一個數據與平均值的差值，稱為偏差。
x x d x x d x x d n n -=-=-=,,,2211（3）偏差值有正有負，且所有偏差值的總和必為零。
∑∑=-==+++=0121x n x d d d d i ni i n（4）為了想量化實驗數據的精密度，且解決偏差值總和必為零的情形。
我們可以將偏差值平方後相加，而定義出⏹ 偏差平方的平均值（variance ），或稱為變異數：∑=-=n i ix x n 122)(1σ （5）當然將偏差值取絕對值後相加，也可以顯示實驗的精密度，但是數學計算上採用變異數，比較方便。
∑∑∑∑∑∑-=+-=+-=-=2222222221)2(1)2(1)(1x x nx n x n x n x x x x nx x ni i i i i σ（6）變異數在計算時，可簡化為「平方的平均值減去平均值的平方」。
比直接用公式計算，簡單多了。
⏹ 標準偏差：對於母分佈而言（n→∞）時，取偏差平方的平均值的平方根（與測量值相同單位）定義母分佈的標準偏差（代表實驗數據分佈的精密度）ndnd d d inn ∑=+++=222221 σ （7）n σ稱為「方均根」。
方均根英文為 root （根）mean （均）square （方）。
如果直接利用上面的定義來處理有限次數的測量數據時，會發生矛盾的情形。
例如：對於某一物理待測量，只有測量一個數據，則平均值等於唯一測量值，因此偏差為零。
當然偏差的方均根值必為零。
也就是有最良好的精密度。
那豈不是所有測量皆測一次就夠了？問題出在哪兒呢？因為計算n 個數據的個別偏差時，需先計算平均值。
當有平均值時，只要有n-1個數據便可以算出所有的偏差量。
也就是計算偏差平方的平均值時，數據中的獨立變數僅有n-1個，因此計算平均值時，分母若改為n-1較為合理。
因此定義為121-==∑-n din σσ （8）如此一來只測量一次時，上式中分子分母皆為零，也就是無法確定標準差。
當（n→∞）時，則分母為n 或n-1已經沒有差別了。
工程用計算機上有σn 與σn-1 差別便在於分母。
以上定義的標準差，代表所有測量數據與平均值之間平均的偏差量（也就是每一測量數據的精密度的平均值）。
可是通常我們也關心所計算出平均值的可信度是多少？也就是實驗結果的精密度有多高？平均值的精密度應該要高於個別測量數據的精密度。
我們先寫下依據統計理論所得出的結果。
算數平均值x的統計標準差（standard error of the mean ）)1(2-==∑n n dnix σσ （9）多次實驗測量結果寫為x x σ±（10）也就是測量平均值加上所對應的統計標準差（俗稱測量之不準度：uncertainty ）。
(請注意：實驗結果不見得一定都是平均值。
)標準偏差所代表的意義與運用：通常當測量次數多時，測量數據的隨機分佈滿足「常態分佈 (normal distribution)」或稱「高斯分布(gaussian distribution)」:]2)(exp[2122σπσx x P --= （11）P 是測量值為x 的機率。
(次數少時為二項式分佈）。
如下圖，平均值為50，標準差為10的常態分佈。
測量值出現在σσ->>+x x x範圍內的機率為68.3%。
σσ22->>+x x x 範圍內的機率為95.4%。
（12）σσ33->>+x x x 範圍內的機率為99.7%。
σσ44->>+x x x範圍內的機率為99.994%。
做多次測量時，有時候某些數據與平均值相差較多，若懷疑是因為測量時不小心的觀測錯誤，怎樣判斷該不該捨去那些數據呢？例如：測量某物體長度100次，計算出平均值與標準差後，發現有3組數據落在3倍標準差外，4組落在2倍與3倍之間，其餘皆在平均值與標準差之間。
若採用常態分佈來看這100次的測量結果，由於數據落在2倍標準差外的機率有4.6%。
因此那四組數據的出現是符合常態分佈的。
但是數據落在3倍標準差外的機率應小於千分之三，所以那3組落在3倍標準差外的數據，通常是測量錯誤造成的，可以捨去並重新計算剩餘數據的平均值與標準差，得出所要的測量結果。
平均值的標準差的意義：每次(組）的多次實驗所得平均值都不會相同。
這些平均值也會形成一種分佈。
平均值的標準差便是代表這些不同的平均值的可能差異性（精密度）。
綜合說來，實驗數據的標準差(standard deviation)顯示單一個測量值與平均值間可能偏差的程度。
重複（增加實驗次數）並不會減少其數值。
（單一測量的精密度）平均值的標準差(standard error of the mean)顯示所得平均值的可重覆性程度（結果的精密度）。
如果多組重覆測量所計算出平均值的標準差。
其數值可以藉由增加測量次數而減少，與n 成反比。
因此10000次測量平均值的標準差為100次測量的1/10。
為了增加一位有效位數，測量次數必須由100增加到10000。
誤差傳遞經常一個物理量是經由測量數個物理量，再藉由之間的關係式計算而得出。
例如：動量是由測量質量與速度相乘而得（速度又由測量位移與時間而得）。
當測量時，質量、位移與時間的個別誤差將影響最後結果的誤差。
假設X 代表某一個物理量，由 ,,v u 等測量值所決定。
即),,( v u f X =，而以 ,,v u 分別代表 ,,v u 等分量樣本分佈的平均值。
則平均值),,( v u f X =。
對於某一組測量樣本數據，可以表示為),,( i i i v u f X =則+-∂∂+-∂∂=+-∂∂+-∂∂=-+-∂∂+-∂∂+=-=-)()()()()()()()(),,(])()()()(),,([),,(),,(v v v Xu u u X v v v fu u u f v u f v v vfu u u f v u f v u f v u f X X i v i u i v i u i v i u i （13）算數平均值的標準差+∂∂∂∂+∂∂+∂∂=∂∂∂∂+-∂∂+-∂∂=+-∂∂+-∂∂=-=∑∑∑∞→∞→=∞→v u uv v v u u v u i v i u n i v i u n n i i n X vX u X v X u X v X u X v v v X u u u X nv v v Xu u u X n X X n )()(2)()(])()(2)()()()[(1])()()()[(1)(12222222222122lim lim limσσσσ （14）其中）（稱為協方差 15 e)(covarianc ),)((1,)(1,)(1lim lim lim22222∑∑∑--=-=-=∞→∞→∞→ii i n uv ii n v ii n u v v u u n v v n u u n σσσ如果u 和v （測量物理量）彼此不相關，則協方差為零。