误差理论与数据处理实验报告
实验报告中误差分析
实验报告中误差分析实验报告中误差分析实验是科学研究的基础，通过实验可以验证理论，揭示事物的本质。
然而，在实验过程中，误差是不可避免的。
误差是指实际测量值与真实值之间的差异，它可能来自于仪器的精度限制、操作者的技术水平、环境条件的变化等多种因素。
因此，对实验中的误差进行分析和处理是十分重要的。
一、误差的分类误差可以分为系统误差和随机误差两大类。
1. 系统误差：系统误差是由于实验装置、仪器设备或实验条件的固有缺陷而引起的，它在一系列实验中具有一定的规律性。
例如，仪器的刻度不准确、温度的波动、材料的不均匀性等都可能导致系统误差。
系统误差会使得实验结果偏离真实值，并且在多次实验中具有一定的一致性。
2. 随机误差：随机误差是由于种种偶然因素而引起的，它在一系列实验中具有无规律性。
例如，实验者的手颤抖、电路中的噪声干扰等都可能导致随机误差。
随机误差是不可避免的，但可以通过多次实验取平均值的方法来减小其影响。
二、误差的评估在实验中，我们需要对误差进行评估，以确定实验结果的可靠性和准确性。
常用的误差评估方法有以下几种。
1. 绝对误差：绝对误差是指实际测量值与真实值之间的差异。
绝对误差可以通过实验测量值减去真实值来计算得到。
绝对误差越小，说明实验结果越接近真实值。
2. 相对误差：相对误差是指绝对误差与真实值之比。
相对误差可以用来评估实验结果的相对准确性。
相对误差越小，说明实验结果越可靠。
3. 标准偏差：标准偏差是用来评估随机误差的大小的指标。
标准偏差越小，说明随机误差越小，实验结果越可靠。
标准偏差可以通过多次实验取得的数据的方差来计算得到。
三、误差的处理对于实验中的误差，我们可以采取一些方法来进行处理，以提高实验结果的准确性和可靠性。
1. 仪器校准：在进行实验之前，应对使用的仪器进行校准，以确保仪器的准确度和精度。
如果仪器存在明显的偏差，应及时进行调整或更换。
2. 多次测量：通过多次测量取平均值的方法，可以减小随机误差的影响。
误差理论实验报告
《误差理论与数据处理》实验报告实验名称：线性函数的最小二乘法处理一、实验目的线性函数的最小二乘法是解决有关组合测量最佳估计问题的典型的数据处理方法。
本实验要求学生编写最小二乘数据处理程序并对组合测量数据进行处理，求出最佳估计值并进行精度分析。
二、实验原理1.最小二乘法原理指出，最可信赖值应在是残差误差平方和的条件下求得。
2.最小二乘法可以将误差方程转化为有确定解的代数方程组（其方程组的数目正好等于未知数的个数），从而可求解出这些未知参数。
这个有确定解的代数方程组称为最小二乘法的正规方程。
3.线性参数的最小二乘法处理程序为：首先根据具体问题列出误差方程式；再按最小二乘原理，利用求极值的方法将误差方程转化为正规方程；然后求解正规方程，得到代求的估计量；最后给出精度估计。
4.正规方程又转化为残差方程，残差方程可用矩阵方法求出方程的解。
因此可用Matlab求解最小二乘法参数。
5.求出最小二乘法的参数后，还要对参数进行精度估计。
相应的标准差为ttxtxxddd222111，其中ttddd..2211称为不定乘数。
三、实验内容和结果1.程序及流程在MATLAB环境下建立一个命令M-文件，编写解答以下组合测量问题数据处理的程序：现要检定刻线A,B,C,D间的距离x1,x2,x3，采用组合测量方法，直接测量刻线间的各种组合量，得到数据如下测量数据：l1=1.051mm; l2=0.985; l3=1.020mm; l4=2.016mm; l5=1.981mm; l6=3.032mm1.编程求x1,x2和x3的最小二乘估计值；2.对直接测量数据进行精度估计3.对x1,x2和x3的最小二乘估计值进行精读估计。
程序：>> A=[1 0 0;0 1 0;0 0 1;1 1 0;0 1 1;1 1 1]>> A'*A>> C=A'*A>> inv(C)>> l=[1.015;0.985;1.020;2.016;1.981;3.032];>> X=inv(C)*A'*l>> V=l-A*X>> V'*V>> STD1=sqrt(V'*V/3)>> inv(C)>> STDX1=sqrt(0.5)*STD12.实验结果（数据或图表）3.结果分析四、心得体会通过本次实验，我掌握等精度测量线性参数最小二乘法的处理，并能够应用Matlab用矩阵的方法求出拟合方程的参数，及能够对各个参数进行精度估计。
误差理论及实验数据处理
可以设法减小或排除掉的，如对试验机和应变仪等定期校准和检验。又如单向拉伸时由于夹
具装置等原因而引起的偏心问题，可以用试样安装双表或者两对面贴电阻应变片来减少这种
误差。系统误差越小，表明测量的准确度越高，也就是接近真值的程度越好。
偶然误差是由一些偶然因素所引起的，它的出现常常包含很多未知因素在内。无论怎样
差出现的可能性小。
3）随着测量次数的增加，偶然误差的平均值趋向于零。
4）偶然误差的平均值不超过某一限度。
根据以上特性，可以假定偶然误差Δ 遵循母体平均值为零
的高斯正态分布，如图Ⅰ-1 所示。
f (Δ) =
1
− Δ2
e 2σ 2
σ 2π
图Ⅰ-1 偶然误差的正态频率曲线
·97·
材料力学实验指导与实验基本训练
Δ ≤ Δ1 + Δ2 [注]：上述法则对于两个相差甚大的数在相减时是正确的。但是对两个相互十分接近的 数，在相减时有效位数大大减少，上述结论就不适用。在建立运算步骤时要尽量避免两个接 近相等的数进行相减。 2）如果经过多次连乘除后要达到 n 个有效位数，则参加运算的数字的有效位数至少要 有 (n + 1) 个或 (n + 2) 个。例如，两个 4 位有效数的数字经过两次相乘或相除后，一般只能 保证 3 位有效数。 3）如果被测的量 N 是许多独立的可以直接测量的量 x1, x2,", xn 的函数，则一个普遍的 误差公式可表示为下列形式，即
控制实验条件的一致，也不可避免偶然误差的产生，如对同一试样的尺寸多次量测其结果的
分散性即起源于偶然误差。偶然误差小，表明测量的精度高，也就是数据再现性好。
实验表明，在反复多次的观测中，偶然误差具有以下特性：
实验五误差分析
实验五绪论--误差分析【实验目的】1、了解数值计算中的误差种类，及避免误差危害的几种手段，2、深刻体会”数学上恒等，数值上不一定恒等”的含义3、为本课程的学习准备良好的数值思想【实验内容】1、误差的来源与分类2、数值计算中避免误差危害的若干方法3、数值实验举例4、根据要求，完成实验报告中的内容【实验指导】1）误差的来源与分类误差的来源是多方面的，通常误差主要由以下4个方面的因素引起：⑴模型误差vModeling Error ）------ 把实际问题向数学问题转化的过程中，忽略了一些对问题影响不是很大的因素，我们称这种忽略了的因素为模型误差；b5E2RGbCAP（2）观测误差vMeasurement Error）------ 在一般的数学模型中，往往含有比较多的参数，而这些参数的值一般都需要通过观测得到，而观测得到的结果由于受到观测设备、观测方法等因素的影响往往都有误差，我们称这种由于观测引起的误差为观测误差。
p1Ea nqFDPw（3）截断误差＜Truncation Error ）------ 当我们不能得到数学模型的精确解时，通常要用数值方法求它的近似解，其近似解与精确解之间的误差称为截断误差。
例如：在计算机上直接使用公式计算时，会出现无穷过程的计算，不能在有限时间内得到需要的结果，因此，Lrl通常需要将上述无穷过程近似为有穷过程:—，由此可以得到近似的计算结果，这样用数值方法中的有穷过程替代数学模型中的无限过程时，就会产生上述截断误差。
截断误差又称为方法误差。
DXDiTa9E3d（4）舍入误差＜Roundof Error ）------ 由于计算机的字长有限，在使用计算机进行数据处理时，计算机表示的数据或计算结果会与原始数据或理论上的计算结果有差异，这种误差就是舍入误差。
比如说，在计算机上表示时，只能表示成二的形式，这里与的误差就是舍入误差。
RTCrpUDGiT由于误差是不可避免的，我们只能尽可能的减少它对计算结果的影响。
大学物理实验报告数据处理及误差分析
大学物理实验报告数据处理及误差分析部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑力学习题误差及数据处理一、指出下列原因引起的误差属于哪种类型的误差？1．M尺的刻度有误差。
2．利用螺旋测微计测量时，未做初读数校正。
3．两个实验者对同一安培计所指示的值读数不同。
4．天平测量质量时，多次测量结果略有不同。
5．天平的两臂不完全相等。
6．用伏特表多次测量某一稳定电压时，各次读数略有不同。
7．在单摆法测量重力加速度实验中，摆角过大。
二、区分下列概念1．直接测量与间接测量。
2．系统误差与偶然误差。
3．绝对误差与相对误差。
4．真值与算术平均值。
5．测量列的标准误差与算术平均值的标准误差。
三、理解精密度、准确度和精确度这三个不同的概念；说明它们与系统误差和偶然误差的关系。
四、试说明在多次等精度测量中，把结果表示为 <单位）的物理意义。
五、推导下列函数表达式的误差传递公式和标准误差传递公式。
1．2．3．六、按有效数字要求，指出下列数据中，哪些有错误。
1．用M尺<最小分度为1mm）测量物体长度。
3.2cm50cm78.86cm6.00cm16.175cm2．用温度计<最小分度为0.5℃）测温度。
68.50℃31.4℃100℃14.73℃七、按有效数字运算规则计算下列各式的值。
1．99.3÷2.0003=?2．=?3．4．八、用最小分度为毫M的M尺测得某物体的长度为=12.10cm<单次测量），若估计M尺的极限误差为1mm，试把结果表示成的形式。
b5E2RGbCAP九、有n组测量值，的变化范围为2.13 ~ 3.25，的变化范围为0.1325 ~0.2105，采用毫M方格纸绘图，试问采用多大面积的方格纸合适；原点取在何处，比例取多少？p1EanqFDPw十、并排挂起一弹簧和M尺，测出弹簧下的负载和弹簧下端在M尺上的读数如下表：据处理。
长度测量1、游标卡尺测量长度是如何读数？游标本身有没有估读数？2、千分尺以毫M为单位可估读到哪一位？初读数的正、负如何判断？待测长度如何确定？3、被测量分别为1mm，10mm，10cm时，欲使单次测量的百分误差小于0.5%，各应选取什么长度测量仪器最恰当？为什么？DXDiTa9E3d物理天平侧质量与密度1、在使用天平测量前应进行哪些调节？如何消除天平的不等臂误差？2、测定不规则固体的密度时，若被测物体进入水中时表面吸有气泡，则实验所得的密度是偏大还是偏小？为什么？RTCrpUDGiT用拉伸法测量金属丝的杨氏模量1、本实验的各个长度量为什么要用不同的测量仪器测量 ?2、料相同，但粗细、长度不同的两根金属丝，它们的杨氏模量是否相同？3、本实验为什么要求格外小心、防止有任何碰动现象？5PCzVD7HxA精密称衡—分析天平的使用1、如果被测物体的密度与砝码的密度不同，即使它们的质量相等，但体积不同，因而受到空气浮力也不同，便产生浮力误差。
误差理论与数据处理实验报告.
误差理论与数据处理实验报告姓名：黄大洲学号：3111002350班级：11级计测1班指导老师：陈益民实验一 误差的基本性质与处理一、实验目的了解误差的基本性质以及处理方法二、实验原理（1）算术平均值对某一量进行一系列等精度测量，由于存在随机误差，其测得值皆不相同，应以全部测得值的算术平均值作为最后的测量结果。
1、算术平均值的意义：在系列测量中，被测量所得的值的代数和除以n 而得的值成为算术平均值。
设 1l ，2l ，…,n l 为n 次测量所得的值，则算术平均值121...nin i l l l l x n n=++==∑算术平均值与真值最为接近，由概率论大数定律可知，若测量次数无限增加，则算术平均值x 必然趋近于真值0L 。
i v = i l -xi l ——第i 个测量值，i =1,2,...,;n i v ——i l 的残余误差（简称残差）2、算术平均值的计算校核算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余误差代数和性质来校核。
残余误差代数和为：11n niii i v l nx ===-∑∑当x 为未经凑整的准确数时，则有：1nii v==∑01）残余误差代数和应符合：当1n ii l =∑=nx ，求得的x 为非凑整的准确数时，1nii v =∑为零；当1nii l =∑>nx ，求得的x 为凑整的非准确数时，1nii v =∑为正；其大小为求x 时的余数。
当1n ii l =∑<nx ，求得的x 为凑整的非准确数时，1nii v =∑为负；其大小为求x 时的亏数。
2）残余误差代数和绝对值应符合： 当n 为偶数时，1ni i v =∑≤2n A; 当n 为奇数时，1ni i v =∑≤0.52n A ⎛⎫- ⎪⎝⎭式中A 为实际求得的算术平均值x 末位数的一个单位。
（2）测量的标准差测量的标准偏差称为标准差，也可以称之为均方根误差。
1、测量列中单次测量的标准差2222121...nini nnδδδδσ=+++==∑式中 n —测量次数（应充分大）i δ —测得值与被测量值的真值之差211nii vn σ==-∑2、测量列算术平均值的标准差：x nσσ=三、实验内容：1．对某一轴径等精度测量8次，得到下表数据，求测量结果。
误差理论与数据处理-实验报告
误差理论与数据处理-实验报告本实验旨在研究误差理论与数据处理方法。
通过实验可了解如何在实验中处理数据以及如何评定实验误差。
本次实验的主要内容为分别在天平、游标卡尺、万能表等实验仪器上取数，计算出测量数值的平均值与标准偏差，并分析误差来源。
1. 实验步骤1.1 天平测量将一块铁片置于天平盘上，进行三次称量，记录每次的质量值。
将数据带入Excel进行平均值、标准偏差等计算。
1.2 游标卡尺测量1.3 万能表测量2. 实验结果及分析对于天平测量、游标卡尺测量和万能表测量所得的测量值进行平均值、标准偏差的计算，结果如下：表1. 测量数据统计表| 项目 | 测量数据1 | 测量数据2 | 测量数据3 | 平均值 | 标准偏差 || :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: || 天平质量测量 | 9.90g | 9.89g | 9.92g | 9.90g | 0.015g || 游标卡尺测厚度 | 1cm | 1cm | 1cm | 1.00cm | 0.002cm || 万能表测电阻| 575Ω | 577Ω | 578Ω | 577Ω | 1.00Ω |从数据统计表中可以看出，三次实验所得数据相近，平均数与标准偏差较为准确。
天平测量的数据波动较小，标准偏差仅为0.015g，说明该仪器测量精确度较高；游标卡尺测量的数据也相比较准确，标准偏差仅为0.002cm，说明该仪器测量稳定性较好；万能表测量的数据较为不稳定，标准偏差较大，为1.00Ω，可能是由于接线不良，寄生电容等误差较大造成。
3. 实验结论通过本次实验，学生可掌握误差理论与数据处理方法，对实验数据进行统计、分析，得出各项指标，如标准偏差、最大值、最小值等。
在实际实验中，应注重数据精度和测量误差的评估，保证实验数据的准确性和可靠性。
除此之外，应加强对实验仪器的了解，并合理利用其特性，提高实验的成功率和准确性。
分析化学第二章误差与分析数据处理
根据待测组分的性质和含量选择合适的分析 方法。
空白实验
通过扣除空白值来减小误差。
标准化样品分析
使用标准样品对实验过程进行质量控制。
回收率实验
通过添加已知量的标准物质来评估分析方法 的准确性。
04
有效数字及其运算规则
有效数字的定义与表示
01
有效数字是指测量或计算中能够反映被测量大小的部分数字 ，其位数与被测量的精密度有关。
数据统计
计算平均值、中位数、众数等统计量，以反映数据的集 中趋势和离散程度。
实验结果的评价与表达
误差分析
计算误差、偏差、相对误差 等，评估实验结果的可靠性
。
1
精密度与偏差
通过多次重复实验，评估实 验结果的精密度和偏差。
置信区间
根据实验数据，计算结果的 置信区间，反映结果的可靠 性。
结果表达
选择合适的单位和量纲，将 实验结果以表格、图表等形 式表达，便于分析和比较。
02
表示有效数字时，需保留一位不确定位，采用指数或修约的 形式表示。
03
有效数字的表示方法：科学记数法（a x 10^n）或一般表示法。
有效数字的运算规则
加减法
以小数点后位数最少的数字为标准，对 其他数字进行修约，然后再进行运算。
乘方和开方
运算结果的有效数字位数与原数相同。
乘除法
以有效数字位数最少的数为标准，对 其他数字进行修约，然后再进行运算。
THANKS
准确度检验
通过标准物质或标准方法对比，检验分析结 果的准确性。
线性检验
验证测量系统是否符合线性关系，确保数据 在一定范围内准确可靠。
范围检验
评估分析方法在一定浓度或含量范围内的适 用性。
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>> y=chi2pdf(x,5);
>> y2=chi2pdf(x,10);
>> y3=chi2pdf(x,20);
>> plot(x,y)
>> hold on
>> plot(x,y2)
>> hold on
>> plot(x,y3)
6.在同一坐标下画出F分布：F(4,5)F(10，20)和F（50,50）的概率密度曲线，并对之进行比较。
程序：>> x=0:0.001:1;
>> plot(x,sin(2*pi*x),x,cos(2*pi*10*x))
2.用subplot分别在不同的坐标系下作出下列两条曲线，为每幅图形加上标题。
1.正态分布N(0,1)的概率密度函数曲线；
2.反正弦分布的概率密度函数曲线，取a=1。
程序：x=-5:0.01:5;
z=sin(pi*sqrt(x^2+y^2));
mesh(x,y,z);
axis([0 4*pi 0 4*pi -2.5 1]);
3.用MATLAB语言编写命令M-文件和函数M-文件
编写函数M-文件sq.m：用迭代法求x= 的值。求平方根的迭代公式为 迭代的终止条件为前后两次求出的x的差的绝对值小于 。
通过该实验的学习，使学生能灵活应用MATLAB软件解决一些简单问题，能借助MATLAB软件进行曲线或图形的绘制。
二、实验原理
三、实验内容和结果
1.程序及流程
1.MATLAB软件的数组操作及运算练习
设有分块矩阵A=[ ],其中E,R,O,S分别为单位矩阵，随机阵、零阵和对角阵，试通过数值计算验证 =
程序：
A =unifrnd(0,1,1000,1)
bar(A)
plot(A)
4.在同一坐标下滑出标准正态分布，自由度分别为5,10,20的t分布的概率密度曲线，并对之进行比较。
>> bar(A)
>> plot(A)
>> x=-10:0.01:10;
>> y=tpdf(x,5);
>> y1=tpdf(x,10);
程序：function y=sq(a)
err=10^-5;
Xn=a;
Xn1=0.5*(Xn+a/Xn)
while abs(Xn1-Xn)>= err;
Xn=Xn1;
Xn1=0.5*(Xn+a/Xn)
end
y=Xn1;
2.实验结果（数据或图表）
3.结果分析
四、心得体会
1、通过本次实验，我初步学习使用clc、clear指令，观察command window、command history和workspace等窗口的变化结果。明白了两者的区别：Clc：是清除workspace，command window、command history不变化；Clear 清除workspace，command window、command history不变化。
三、实验内容和结程产生500个均值为10，方差为5的正态分布随机数据，求出该组数据的均值、方差并画出其统计直方图和概率密度曲线
r=10+5.*randn(1,500);
bar（r）
plot(r)
2.在同一个坐标下画出正态分布密度N（0,1），N(0,4)和N(10,1)3条曲线的图形，并比较它们之间的差异。
x = [-15:0.001:20];
y1=normpdf(x,0,1);
y2=normpdf(x,0,4);
y3=normpdf(x,10,1);
plot(x,y1)
hold on
plot(x,y2)
hold on
plot(x,y3)
3.利用matlab软件编程产生500个均匀分布随机数据，求出该组数据的均值、方差并画出其统计直方图和概率密度曲线。
2、本次实验掌握了一些基本的运算指令，像数组和矩阵的各种运算符号，尤其要注意两者的区别。例如A*B是指内维相同矩阵相乘，而A.*B是指A数组与B数组对应元素的相乘。同时注意矩阵的左乘和右乘。例如A/B是A右除B，指B矩阵乘以A矩阵的逆；而B/A是A左除B，指Ａ矩阵乘以Ｂ矩阵的逆。
3、此外，本实验要掌握一些标准数组生成函数的使用，例如diag（产生对角行矩阵）、eye（产生单位矩阵）等；还有一些数组操作函数，例如det（求方阵的行列式值），rank（求矩阵的秩）。
>> x=0:0.001:8;
>> y=fpdf(x,4,5);
>> y2=fpdf(x,10,20);
>> y3=fpdf(x,50,50);
>> plot(x,y)
>> hold on
>> plot(x,y2)
>> hold on
>> plot(x,y3)
2、实验结果
r = Columns 1 through 1012.6883 19.1694 -1.2942 14.3109 11.5938 3.4616 7.8320 11.7131 27.8920 23.8472 Columns 11 through 203.2506 25.1746 13.6270 9.6847 13.5737 8.9752 9.3793 17.4485 17.0452 17.0860Columns 21 through 30 13.3575 3.9626 13.5862 18.1512 12.4445 15.1735 13.6344 8.4828 11.4694 6.0636 Columns 31 through 4014.4420 4.2646 4.6556 5.9525 -4.7214 17.1919 11.6260 6.2254 16.8515 1.4424 Columns 41 through 50 9.4888 8.7928 11.5960 11.5643 5.6756 9.8497 9.1756 13.1385 15.4663 15.5464 Columns 51 through 605.681710.3868 3.9294 4.4325 9.9658 17.6632 6.1517 11.8569 8.8721 15.5868 Columns 61 through 704.5547 10.1628 12.7626 15.5031 17.7211 10.4297 2.5420 6.2885 4.6921 21.7523 Columns 71 through 806.9220 13.7404 9.0379 14.4431 6.1758 2.9887 2.8881 12.4410 9.1131 9.0197Columns 81 through 9017.0966 11.4579 10.9891 17.9385 5.9777 13.4831 14.1754 8.7814 11.0784 4.1708Columns 91 through 1004.2602 10.5244 13.6113 22.9275 6.6655 10.9367 9.5875 0.3349 7.8052 1.0266Columns 101 through 11014.2019 5.5598 10.5005 7.2774 11.5176 6.9984 12.4498 13.6968 18.5594 9.0294Columns 111 through 120-0.6918 5.8021 16.7730 4.6392 14.8048 10.6202 17.1835 0.1955 9.0115 3.9608Columns 121 through 13024.5400 14.1261 16.8949 4.7091 7.6569 8.6377 15.4921 8.6106 13.5077 -0.2591Columns 131 through 1408.2308 5.8821 2.1147 12.5399 11.4099 10.1674 3.3316 15.6375 11.7509 8.5047Columns 141 through 15010.1144 8.6900 1.2489 8.5717 5.8432 5.1040 4.2180 7.3322 -0.0132 14.8211Columns 151 through 16012.6003 9.8999 9.8261 6.0092 15.0934 9.3339 6.4273 16.7569 8.8761 7.0549Columns 161 through 1708.5312 5.7604 4.3994 22.6300 18.2775 11.5377 3.7144 5.6727 9.1173 13.9571Columns 171 through 1803.3400 -1.6493 2.7545 11.6676 11.9568 12.2584 9.3486 10.9184 7.6192 14.3101Columns 181 through 1903.1915 12.2751 5.7565 8.3256 12.7639 15.1955 4.4118 16.3033 13.3007 9.6607 Columns 191 through 2009.0239 8.9120 8.4845 10.1152 10.2565 14.1303 17.6349 12.3346 8.9514 13.1260Columns 201 through 21010.9161 4.8512 14.7461 11.5353 10.6759 12.5762 11.3070 5.2926 9.1883 9.2697Columns 211 through 2207.3399 18.4105 5.6214 7.5809 6.4400 4.1289 9.03