电路学：第10章 耦合电感和变压器电路分析-1
电路课件耦合电感电路
100 t 50 V 0 t 1 s d i 1 u ( t ) R i L 100 t 150 V1 t 2 s 1 1 d t 0 2 t
10.2 含有耦合电感电路的计算
1. 耦合电感的串联
（1） 顺接串联 i + + R1 L1 u1 M – +* u L2 R2 u2 – –
I I1 I 2
（2） 异名端为共端的T型去耦等效
I
1
1
j M *
I
2
2 * jL2
jL1
1 j(L1＋M)
I
1
I
2
2 j(L2＋M) －jM 3
3
I
I
U j L j M I j ω ( L M ) I j M I 1 2 13 1 1I 1
：磁链 =N
当线圈周围无铁磁物质(空心线圈)时，与i 成正比,当只 有一个线圈时： 当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链与互 磁链的代数和：
L i L 为自感系数，单位亨 ( H) 。 1 11 1 1 称 1
L i M i
1 11 12 1 1 12 2
2 (L L ) 1 2
当
L1=L2 时 , M=L L=
4M
顺接
0
反接
I
R1
在正弦激励下： +
+
U
*
1
j M j L1 R2 – +
耦合电感与变压器(1)
j L2 •
U2 –
–
U ( R1 R2 ) I jω( L1 L2 – 2M ) I
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相量图： (a) 顺接
R1 j L1
I+
+
U 1 *•
j M
j L2
* •
–+
U2 –
U
–
(b) 反接
•
jM I
•
U•
U2
•
R2 I
•
jL2 I
•
jM I
•
U •1
•
R1 I jL1 I
•
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2. 耦合系数
用耦合系数k 表示两个线圈磁耦合的紧密 程度。
k=1 称全耦合: 漏磁 F s1 =Fs2=0
满足：
F11= F21 ，F22 =F12
def
k
M
1
L1L2
k M M 2 (Mi1)(Mi2 ) 12 21 1
L1L2
L1L2
L1i1L2i2
11 22
注意耦合系数k与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关。
i1
M
i2
+
**
+
u1
L1
L2 u2
–
–
I1
+
j L1
U1
+
– jMI2 –
•
•
•
U1 jL1 I1 jM I 2
•
•
•
U 2 jL2 I 2 jM I1
I2
j L2 +
+
U2
j M I 1
–
–
第10章含有耦合电感的电路分析
例i
1*
*2
* 1
2
3
1'
2' 1'
2'*
3'
(2)当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入 时，将会引起另一线圈相应同名端的电位升高。
同名端的实验确定
+
R S 1i i *
1'
2 *
+
V
2'
–
如图电路，当闭合开关 S 时，i 增加，
di dt
0,
u22'
M
di dt
0
电压表正偏。
+ u11 – + u21 – – u31 +
意 义：若电流i1由N1的“ • ”端流入，则在N2中产 生的互感电压u21的正极在N2的“• ”端。
11 L1
L2
i1 +
N1 u11
– i2 +
N2 u21
–
21
电路模型
i1
M
+
*
u1 _
L1
i2
*
+
L2
_u2
确定同名端的方法
(1)当两个线圈中电流同时由同名端流入(或流出)时， 两个电流产生的磁场相互增强。
L2
di2 dt
写 出 图 示 电 路 电 压、 电 流 关 系 式
2) 用CCVS表示的耦合电感电路
ห้องสมุดไป่ตู้
i1
M
+
*
u1 _
L1
i2
*
+
L2
_u2
天津理工电路习题及答案第十章含耦合电感电路
第十章 耦合电感和变压器电路分析一 内容概述1 互感的概念及VCR ：互感、同名端、互感的VCR 。
2 互感电路的分析方法：①直接列写方程：支路法或回路法； ②将互感转化为受控源； ③互感消去法。
3 理想变压器：①理想变压器的模型及VCR ； ②理想变压器的条件；③理想变压器的阻抗变换特性。
本章的难点是互感电压的方向。
具体地说就是在列方程时，如何正确的计入互感电压并确定“＋、－”符号。
耦合电感1）耦合电感的伏安关系耦合电感是具有磁耦合的多个线圈 的电路模型，如图10-1(a)所示，其中L 1、 L 2分别是线圈1、2的自感，M 是两线圈之 间的互感，“．”号表示两线圈的同名端。
设线圈中耦合电感两线圈电压、电流 选择关联参考，如图10-1所示，则有：dtdiM dt di L )t (u dt di M dt di L )t (u 12222111±=±=若电路工作在正弦稳态，则其相量形式为： .1.2.2.2.1.1I M j I L j U I M j I L j U ωωωω±=±=其中自感电压、互感电压前正、负号可由以下规则确定：若耦合电感的线圈电压与电流的参考方向为关联参考时，则该线圈的自感电压前取正号(如图10-l (a)中所示)t (u 1的自感电压)，否则取负号；若耦合电感线圈的线圈电压的正极端与该线圈中产生互感电压的另一线圈的电流的流入端子为同名端时，则该线圈的互感电压前取正号(如图10-l (a)所示中)t (u 1的互感电压)，否则取负号(如图10-1(b)中所示)t (u 1的互感电压)。
2）同名端当线圈电流同时流人(或流出)该对端钮时，各线圈中的自磁链与互磁链的参考方向一致。
2 耦合电感的联接及去耦等效 1） 耦合电感的串联等效两线圈串联如图10-2所示时的等效电感为：M 2L L L 21eq ±+= （10-1）图10-1（10-1）式中M前正号对应于顺串，负号对应于反串。
《电路》邱关源第五版课后习题答案解析
电路答案——本资料由张纪光编辑整理（C2-241内部专用）第一章 电路模型和电路定律【题1】：由U A B =5V 可得：I AC .=-25A ：U D B =0：U S .=125V 。
【题2】：D 。
【题3】：300；-100。
【题4】：D 。
【题5】：()a i i i =-12；()b u u u =-12；()c ()u u i i R =--S S S ；()d ()i i R u u =--S SS 1。
【题6】：3；-5；-8。
【题7】：D 。
【题8】：P US1=50 W ；P U S 26=- W ；P U S 3=0；P I S 115=- W ；P I S 2 W =-14；P I S 315=- W 。
【题9】：C 。
【题10】：3；-3。
【题11】：-5；-13。
【题12】：4（吸收）；25。
【题13】：0.4。
【题14】：3123I +⨯=；I =13A 。
【题15】：I 43=A ；I 23=-A ；I 31=-A ；I 54=-A 。
【题16】：I =-7A ；U =-35V ；X 元件吸收的功率为P U I =-=-245W 。
【题17】：由图可得U E B =4V ；流过2 Ω电阻的电流I E B =2A ；由回路ADEBCA 列KVL 得 U I A C =-23；又由节点D 列KCL 得I I C D =-4；由回路CDEC 列KVL 解得；I =3；代入上 式，得U A C =-7V 。
【题18】：P P I I 12122222==；故I I 1222=；I I 12=； ⑴ KCL ：43211-=I I ；I 185=A ；U I I S =-⨯=218511V 或16.V ；或I I 12=-。
⑵ KCL ：43211-=-I I ；I 18=-A ；U S =-24V 。
第二章 电阻电路的等效变换【题1】：[解答]I =-+9473A =0.5 A ；U I a b .=+=9485V ； I U 162125=-=a b .A ；P =⨯6125. W =7.5 W；吸收功率7.5W 。
10-耦合电感与变压器解析
（u11与i1关联） （右手螺旋定则）
2、互感与互感电压
11 21
N1 i1 N2
+
u11
–
+
u21
–
线圈 1 中通入电流 i1 时，在线圈 1 中产生磁通 (magnetic flux)，同时，有部分磁通穿过临近线圈2，这部分磁通称为 互感磁通 21 。两线圈间有磁的耦合。 产生磁通的施感电流的线圈位置 该磁通所在线圈位置
M * i1 M * i1 * + u21 –
di 1 u21 M dt
* –
u21 +
di 1 u21 M dt
端口电压、自感电压和互感电压的符号判断
1、判断电流与同名端的关系 电流都流入(流出)同名端， u 1 互感电压取正号，否则取负 号； 2、自感电压取正号； u2 3、判断电感端口电压与电流 的参考方向 关联：端口电压取正号； 非关联：端口电压取负号。
I 1
jL1
I 2
+
jL I jM I U 1 1 1 12 2
U 1
_ 1’
jL2 U _
2
jL I jM I U 2 2 2 21 1
第十章 耦合电感与变压器
重点 1、互感的概念及意义
2、具有耦合电感的正弦交流电路计算
3、理想变压器的变量关系
难点
利用相量图进行复杂电路的分析
10-1
互 感
耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收 音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流电源 里使用的变压器等都是耦合电感元件，熟悉这类多 端元件的特性，掌握包含这类多端元件的电路问题 的分析方法是非常必要的。
第十章 含有耦合电感电路
§10.3
二、分析方法
1、方程法分析
空心变压器
在正弦稳态情况下，空心变压器电路的回路方程为：
令
Z11 R1 jL1
Z 22 R2 jL2 Z
称为原边回路阻抗
称为副边回路阻抗
§10.3
则上述方程简写为：
空心变压器
从上列方程可求得原边和副边电流：
§10.3
2、等效电路法分析
，求：原、副边电流 I 1
I2
§10.3
空心变压器
例10-9 全耦合互感电路如图（a）所示，求电路初级端 ab 间的等效阻抗。
例 10 — 9 图 （ a ）
例 10 — 9 图（ b ）
§10.3
空心变压器
例10-10、已知L1=L2=0.1mH , M =0.02mH , R1=10Ω , C1=C2=0.01μF , ω=106rad/s, U s 10 0 V 问：R2=？时能吸收最大功率,并求最大功率。
例 10-3 图（a）
例 10-3 图（b）
§10.2
例10-4
含有耦合电感电路的计算
图（a）为有耦合电感的电路，试列写电路的回路电流方程。
电路的开路电压。
§10.2
含有耦合电感电路的计算
例10-6 图（a）为有互感的电路，若要使负载阻抗 Z 中的电 流 i =0 ，问电源的角频率为多少？
第十章 含有耦合电感电路
§10.1 §10.2 §10.3 §10.4 互感 含有耦合电感电路的计算 空心变压器 理想变压器
§10.1
一、互感
互感
两个靠得很近的电感线圈之间有磁的耦合，如图所示，当 线圈1中通电流i1时，不仅在线圈1中产生磁通φ11，同时，有 部分磁通φ21穿过临近的线圈2；同理，若在线圈2中通电流i2 时，不仅在线圈2中产生磁通φ22，同时，有部分磁通φ12穿 过线圈1，φ12和φ21称为互感磁通。
电路第10章---含有耦合电感的电路讲解
§10.1 互感耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件，熟悉这类多端元件的特性，掌握包含这类多端元件的电路问题的分析方法是非常必要的。
1. 互感两个靠得很近的电感线圈之间有磁的耦合，如图10.1所示，当线圈1中通电流 i 1 时，不仅在线圈1中产生磁通f 11，同时，有部分磁通 f 21 穿过临近线圈2，同理，若在线圈2中通电流i 2 时，不仅在线圈2中产生磁通f 22，同时，有部分磁通 f 12 穿过线圈1，f 12和f 21称为互感磁通。
定义互磁链：图 10.1ψ12 = N 1φ12 ψ21 = N 2φ21当周围空间是各向同性的线性磁介质时，磁通链与产生它的施感电流成正比，即有自感磁通链：互感磁通链：上式中 M 12 和 M 21 称为互感系数，单位为（H ）。
当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链与互磁链的代数和：需要指出的是：１）M 值与线圈的形状、几何位置、空间媒质有关，与线圈中的电流无关，因此，满足M12 =M21 =M２）自感系数L 总为正值，互感系数 M 值有正有负。
正值表示自感磁链与互感磁链方向一致，互感起增助作用，负值表示自感磁链与互感磁链方向相反，互感起削弱作用。
2. 耦合因数工程上用耦合因数k 来定量的描述两个耦合线圈的耦合紧密程度，定义一般有：当k =1 称全耦合，没有漏磁，满足f11 = f21，f22 = f12。
耦合因数k 与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关。
3. 耦合电感上的电压、电流关系当电流为时变电流时，磁通也将随时间变化，从而在线圈两端产生感应电压。
根据电磁感应定律和楞次定律得每个线圈两端的电压为：即线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压。
在正弦交流电路中，其相量形式的方程为注意：当两线圈的自感磁链和互感磁链方向一致时，称为互感的“增助”作用，互感电压取正；否则取负。
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同名端用标志‘.’或‘*’等表示。注意：同 名端不一定满足递推性，故当多个线圈时有 时必需两两标出。 在要V根C据R电中流u参M1 考 方M向ddi和t2 同到名底端取来正确还定是：取负，
当自磁链与互磁链的参考方向一致时取正号， 不一致时取负号。或者说，根据同名端，电 流在本线圈中产生的自感电压与该电流在另 一个线圈中产生的互感电压极性是相同的。
用符号 k表示，即 由于:
k 12 21 11 22
11 L1i1, 21 Mi1, 22 L2i2 , 12 Mi2
得:
k M
L1L2
k 1
当k＝1时称为全耦合，此时一个线圈中电流 产生的磁通全部与另一线圈铰链，互感达到 最大值，即；
若线圈电流变化，则自磁链，互磁链也随之变 化。由电磁感应定律，线圈两端会产生感应电 压，若电压与电流采取关联参考方向，则：
耦合电感伏安关系(VCR)表达式：
u1
d1
dt
d11
dt
d12
dt
uL1
uM1
L1
di1 dt
M
di2 dt
u2
d2
dt
d22
dt
d21
dt
uL2
uM 2
L2
di2 dt
M
di1 dt
第二步：按要求(消去假设的变量)改变相 应互感电压的符号。
例 列写伏安关系式，电路模型如下图。
a-
i1
M
i2
-c
u1
uL1
uM1
L1
di1 dt
M
di2 dt
u1
b+
L*1
L *2
i u2
+d
u2
uL2
uM 2
L2
di2 dt
M
di1 dt
a- 1 M i2 - c
故电路模型也可以用 受控源的形式表示：
(1) 指绕法相同的一对端Fra bibliotek；ab
a、b是同名端
(2)起相同作用的一对端钮；
当线圈电流同时流入(或流出)该对端钮时， 各线圈中产生的磁通方向一致的这对端钮。
或者说:(a)同名端就是当电流分别流入线 圈时，能使磁场加强的一对端钮；
(b)同名端就是当电流分别流入线圈时，能 使电压增加的一对端钮；
(c)产生自感电压与互感电压极性相同的 一对端钮。
12
其中 11 表示线圈1电流在
i1 I
22
11
i2
本线圈中产生的磁链，称
为自感磁链；类此有22 ；
12 表示线圈2的线圈电流
在线圈1中产生的磁链，称
21
为互感磁链，类此有
。
21
图中显示自磁链与互磁链的参考方向一致； 若线圈2改变绕向，如下图所示，则自磁链 与互磁链参考方向将不一致。因此，穿过一
耦合电感：指多个线圈(这里先介绍两个线 圈)相互之间存在磁场的联系。
它是耦合线圈的理想化模型。
复习：单个线圈(电感、或称自感)的VCR：
磁链=匝数乘磁通： N
自感=磁链比电流： L N
若v、i方向关联， 由电磁感应定律：
i
i
u d L di
dt
dt
1.耦合电感的伏安关系
设两线圈的电压和电流参考方向均各自关联。 由图，磁通方向与电流方向符合右手法则。
规则：法1：若耦合电感线圈电压与电流的参 考方向为关联参考方向时，自感电压前取正号， 否则取负号；若耦合电感线圈的电压正极性端 与另一线圈的电流流入端为同名端时，则该线 圈的互感电压前取正号，否则取负号。
或：法2：第一步：总认为电压、电流方向 关联(假设电压或电流的参考方向)，这时， 自感电压总是正的,互感电压总是同一符号；
耦合电感的电路符号：
a+ i1 M i2 + c a+ i1 M i2 + c
u1
L*1
* L2
u2
u1
L*1
L*2
u2
b-
- d b-
-d
VCR中互感电压取+ VCR中互感电压取－
(当各线圈的电压、电流方向关联时只有这两 种可能。)
在绕法无法知道的情况下，同名端的测定：
(1)直流法
K aM c
M
di1 dt
)i2
dt
1 2
L1i12
1 2
L2i2 2
Mi1i2
0
无源元件
也可以用其VCR和上式代入下式来验证
dw(t) dt p(t) u1i1 u2i2
4. 耦合线圈的耦合系数
工程上为了定量地描述两个耦合线圈的耦合
紧密程度，把两个线圈的互感磁链与自感磁
链的比值的几何平均值定义为耦合系数，并
u2
-d
耦合电感的相量(模型)形式为
U1 jL1I1 jMI2 U 2 jL2I2 jMI1
jL1, jL2
自感阻抗
jM
互感阻抗
据此可画出相应的相量模型图
3. 耦合电感的储能
t
t
w(t ) u1i1dt u2i2dt
t
(L1
di1 dt
M
di2 dt
)i1dt
t
(L2
di2 dt
线圈的总磁1链2 有两种可能，分别表示为：
i1
22
i2 1 11 12 L1i1 M12i2
I
11
2 22 21 L2i2 M21i1
21
式 单中 位亨L1(利 )i11H1 ,
L2
22
i2
称为自感系数，
式中M1
12
i2
,M2
21
i1
称为互感系数，
单位亨(利)H
且M12 M21 M
根据其VCR，
+ US-
L1
L2
+
v um2
正偏，a,c同名端
- 反偏，a,d同名端
bd
(2)交流法
原图电源改为正弦电源，开关移去，
aM c
直流电压表改为交流电
+
+ 压表，bd端连接。
U S
-
L1
L2
v um2根据其VCR的相量形式 同样能判定其同名端。
-
bd
根据同名端标记，根据线圈电流和电压的参考 方向，就可以直接列写耦合电感伏安关系。其
式中， uL1 uL2 为自感电压， uM1 uM2 互感电压，
取正号或负号；可见，耦合电感是一种动态、 有记忆的四端元件。(与电感有类似的特性)
耦合电感的VCR中有三个参数：L1、L2和M。
2.耦合线圈的同名端
耦合线圈自磁链和互磁链的参考方向是否 一致，不仅与线圈电流的参考方向有关， 还与线圈的绕向及相对位置有关，后者不 便画出，故引入同名端的概念。
第10章 耦合电感和变压器电路分析
无源元件有：R、L、C
R： 耗能、静态、无记忆；
L、C：储能、动态、有记忆；
它们都是二端元件。本章介绍两种四端元件: （1）耦合电感：具有电感的特性； （2）理想变压器：是静态、无记忆,但不耗能。 受控源也是四端元件，它与将要介绍的耦合电 感均属耦合元件。
10.1 耦合电感元件
u
L 1
1 M di2
+ dt
b
L
2 di
M1 dt
u2
+d
当两线圈的电流、电压参考方向关联时， 相应耦合电感的电路模型为：
a+ i1 M i2 + c a+ i1 M i2 + c
u L1 1 M di2
b-
dt
L2
M di1 dt
u2 u1
- d b-
L1
M di2 dt
L2
M di1 dt