电路基础含有耦合电感的电路分析

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9.1 耦合电感的伏安关系式
当电感线圈中的电流随时间变化时，在线圈两端将产 生感应电压，称为自感电压。当自感电压与电流处于 关联参考方向时，根据电磁感应定律，自感电压与线 圈中电流的关系可表示为：
d di u L dt dt
9.1.1耦合电感
在实际电路中，常常遇到一些相邻线圈的现象。如收音 机、电视机中使用的中低频变压器（中周）振荡线圈等。 当任意一个线圈中通过电流时，必然会在其自身线圈中 产生自感磁通，同时自感磁通的一部分也必然会穿过相 邻线圈。载流线圈之间磁通相互作用的物理现象称为磁 耦合或互感现象。具有磁耦合的线圈称为耦合电感线圈 或互感线圈。
两个耦合线圈的磁链可表示为：
1 L1i1 Mi2 2 L2 i2 Mi1
两个耦合线圈之间的耦合紧密程度，可以用耦合系数表示， 其定义为两个线圈的互感磁链与自感磁链的比值的几何平 均值。即 12 21 k · 11 22 将自感磁链和互感磁链的表达式带入上式，得
9.1.2 耦合电感的电路模型以及伏安关系
两个电感线圈组成耦合电感元件后，作为一个整体，必须由 L1 、L2、M三个参数来描述其特征。其电路模型如图所示，其 中L1 L2为自感系数，M为互感系数，“●”表示同名端。
a c a c
+
b
d
b
d
图 9 3 耦合电感的电路模型
为反映互感磁链对线圈中磁场的增强或削弱作用，电路模 型中引入同名端标记方式。即两个线圈带有相同“●”标 记的端点为同名端，如（a）图中ac、bd为同名端，ad、bc 为异名端；（ b ）图中 ad 、 bc 为同名端， ac 、 bd 为异名端。
a c a c
+
b
d
b
d
图 9 3 耦合电感的电路模型
利用同名端判定耦合线圈中磁场增强或削弱的方法如下： 当电流i1 、 i2分别从同名端流进（或流出）各自线圈时， 磁 场相互增强；当电流i1 、 i2 分别从两个异名端流进（或流出） 各自线圈时，磁场相互减弱。两个耦合线圈同名端可根据线 圈绕向和相对位置进行判断，也可通过实验方法确定。
第9章 含有耦合电感的电路分析
本章内容 9. 1耦合电感的伏安关系式 9. 2含有耦合电感电路的分析 9. 3 空心变压器 9. 4 理想变压器的伏安关系式 9. 5 含理想变压器电路的分析 9. 6 理想变压器的实现
本章重点：
互感线圈同名端的判定 互感电压表达式正负号的确定 有互感的电路的计算 理想变压器
每个耦合线圈中的磁链就等于自感 磁链与互感磁链两部分的代数和。 设N1线圈中的磁链为Ψ1， N2线圈中 的磁链为Ψ2，则有：
Φ 21
i1
i2
2
N1
N2 2' Φ 12 Φ 11
图 9 2 互感线圈
Φ 22
1 11 12 2 21 22
如果互感磁链与自感磁链方向一致，表明自感磁链与互感磁 链互相增强，则互感磁链取“+”号，如果互感磁链与自感 磁链方向相反，表明自感磁链与互感磁链互相削弱，则互感 磁链取“-”号。 当周围空间是各向同性的线性磁介质时，每一种磁链都与产 生它的电流成正比。即:
9.1.3耦合电感的相量形式
d 1 di1 di2 u1 L1 M dt dt dt d 2 di di u2 L2 2 M 1 dt dt dt
例9-1 如图所示耦合线圈，写出其端口的伏安关系式。
di1 di2 u1 L1 M dt dt
di2 di1 u2 L2 M dt dt
图 9 4 耦合线圈
i1 + u1 _ • L1
M
i2
L2 •
+ u2 _
di 1 di 2 u1 L1 M dt dt
di 1 di 2 u2 M L2 dt dt
a c
a
c
&# 9 3 耦合电感的电路模型
1 L1i1 Mi2 2 L2 i2 Mi1
1 L1i1 Mi2 2 L2 i2 Mi1
1 L1i1 Mi2 2 L2 i2 Mi1
据电磁感应定律得耦合电感的伏安关系式 ：
k
M L1 L2
对于耦合线圈而言，每个线圈的互感磁链总是小于或等于自感 磁链的，因此k≤1，则 M L1L2 当k=1时，称耦合线圈为全耦合状态，最紧密无漏磁现象，互 感系数最大；当k=0时，称耦合线圈为无耦合状态，线圈间互 不影响。 k的大小与线圈结构、相对位置以及周围的磁介质有关，即使 L1、L2确定，仍可通过调整或改变其相互位置，改变互感的 大小。
如图所示为两个具有互感的线圈N1， N2。设线圈N1，N2中的电流分别为 i1和i2 ，根据右手定则就可以判 1 定电流变化产生的磁通方向和相 互交链情况。电流 i1产生穿过自 身线圈的磁链Ψ11称为自感磁链， 穿过线圈N2产生的磁链Ψ21称为互 1' 感磁链。同理Ψ22 也为自感磁链， Ψ12 也称为互感磁链。
11 L1i1
12 M 12 i2
22 L2 i2
21 M 21i1
其中M12 、 M21称为互感系数，简称互感。单位为（Henry） （亨利）。 当只有两个线圈存在耦合时，可以证明M12= M21 =M，为常 数。其大小表明一个线圈中的电流在另一个线圈中建立磁场 的能力。M越大，能力越强。
d 1 di di L1 1 M 2 dt dt dt d 2 di di u2 L2 2 M 1 dt dt dt u1
u1 u11 u12 u2 u22 u21
上式表明： 1. 两个耦合线圈作为二端口元件，其端口电压为自感电压与 互感电压的代数和。 2. 自感电压与本线圈电流有关，其正负号取决于各线圈本身 的电压电流是否关联参考方向。若关联，则为正；非关联， 则为负。 3. 互感电压与另一个线圈的电流有关，其正负与互感线圈的 同名端位置及各自线圈的电流方向有关。如果互感电压“+” 极性端子与产生它的电流流进的端子为一对同名端，互感电 压前应取“+”号，反之应取“-”号。