关于AR2序列判定的一个充要条件及证明
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第三章 ARMA模型的特性
1.ARMA(2,1)的平稳性 的平稳性 （1）用特征根表示： ）用特征根表示：
λ1 〈1，λ2 〈1
（2）用自回归系数表示： ）用自回归系数表示：
ϕ 2 〈1 ϕ 2 ± ϕ 1 〈1
3.ARMA(2,m)的平稳性 的平稳性
ϕ 2 〈1 〈1 ϕ 2 ± ϕ 1 〈1
4.ARMA(p,q)的平稳性 的平稳性 P阶自回归系数多项式的根都在单位圆外 阶自回归系数多项式的根都在单位圆外 平稳性完全由其自回归部分决定
1.MA(1)
θ1 < 1
2.MA(q)模型的可逆条件是： 模型的可逆条件是： 模型的可逆条件是
MA(q)模型的特征根都在单位圆内 模型的特征根都在单位圆内
λi < 1
必要条件： 必要条件：
θ1 + θ 2 + L + θ q < 1
考察如下MA模型的可逆性 例3.6续:考察如下 续 考察如下 模型的可逆性 (1) xt = ε t − 2ε t −1 (2) xt = ε t − 0.5ε t −1 4 16 (3) xt = ε t − ε t −1 + ε t − 2 5 25 5 25 (4) xt = ε t − ε t −1 + ε t − 2 4 16
∑ϕ
j=0
∞
j 1
at− j =
∑G
j=0
∞
j
at− j
3.AR(1)的滞后算子表达式 的滞后算子表达式源自at Xt = 1 − ϕ1B
4.AR(p)的Green函数递推公式 的 函数递推公式
原理 方法
Φ ( B ) xt = at ⇒ Φ ( B )G ( B )at = at xt = G ( B )at
λ1 〈1，λ2 〈1
（2）用自回归系数表示： ）用自回归系数表示：
ϕ 2 〈1 ϕ 2 ± ϕ 1 〈1
3.ARMA(2,m)的平稳性 的平稳性
ϕ 2 〈1 〈1 ϕ 2 ± ϕ 1 〈1
4.ARMA(p,q)的平稳性 的平稳性 P阶自回归系数多项式的根都在单位圆外 阶自回归系数多项式的根都在单位圆外 平稳性完全由其自回归部分决定
1.MA(1)
θ1 < 1
2.MA(q)模型的可逆条件是： 模型的可逆条件是： 模型的可逆条件是
MA(q)模型的特征根都在单位圆内 模型的特征根都在单位圆内
λi < 1
必要条件： 必要条件：
θ1 + θ 2 + L + θ q < 1
考察如下MA模型的可逆性 例3.6续:考察如下 续 考察如下 模型的可逆性 (1) xt = ε t − 2ε t −1 (2) xt = ε t − 0.5ε t −1 4 16 (3) xt = ε t − ε t −1 + ε t − 2 5 25 5 25 (4) xt = ε t − ε t −1 + ε t − 2 4 16
∑ϕ
j=0
∞
j 1
at− j =
∑G
j=0
∞
j
at− j
3.AR(1)的滞后算子表达式 的滞后算子表达式源自at Xt = 1 − ϕ1B
4.AR(p)的Green函数递推公式 的 函数递推公式
原理 方法
Φ ( B ) xt = at ⇒ Φ ( B )G ( B )at = at xt = G ( B )at
第章 平稳线性ARMA模型AR模型
第章 平稳线性ARMA模型AR模型.ppt
3.1 方法性工具
• 差分运算 • 滞后算子 • 线性差分方程 在正式讨论线性过程之前，我们首先给出相
应的准备工具，介绍延迟算子和求解线性 差分方程，这些工具会使得时间序列模型 表达和分析更为简洁和方便
2
• 一阶差分
差分运算
• 阶差分
• 步差分
3
滞后算子
51
常用AR模型自相关系数递推公式
• AR(1)模型 • AR(2)模型
52
AR模型自相关系数的性质
• 拖尾性 • 呈复指数衰减
53
例3.5:考察如下AR模型的自相关图
54
例3.5—
• 自相关系数按复指数单调收敛到零
55
例3.5:—
56
例3.5:—
• 自相关系数呈现出“伪周期”性
57
例3.5:—
28
29
• 例3.2 设AR(2)模型： 试判别 的平稳性。
解：根据上述关于平稳条件的讨论，可以 通过两种径进行讨论：
30
31
• 下面我们讨论序列的统计特性，关于平稳 的二阶自回归模型AR(2)模型：
32
AR模型的定义
• 具有如下结构的模型称为 阶自回归模 型，简记为
• 特别当 时，称为中心化
• 平稳域判别
• 平稳域
40
AR(1)模型平稳条件
• 特征根 • 平稳域
41
AR(2)模型平稳条件 • 平稳域 • 特征根
42
例3.1平稳性判别
模 型
特征根判别
平稳域判别
(1)
(2)
(3)
(4)
结 论
平稳
非 平稳
3.1 方法性工具
• 差分运算 • 滞后算子 • 线性差分方程 在正式讨论线性过程之前，我们首先给出相
应的准备工具，介绍延迟算子和求解线性 差分方程，这些工具会使得时间序列模型 表达和分析更为简洁和方便
2
• 一阶差分
差分运算
• 阶差分
• 步差分
3
滞后算子
51
常用AR模型自相关系数递推公式
• AR(1)模型 • AR(2)模型
52
AR模型自相关系数的性质
• 拖尾性 • 呈复指数衰减
53
例3.5:考察如下AR模型的自相关图
54
例3.5—
• 自相关系数按复指数单调收敛到零
55
例3.5:—
56
例3.5:—
• 自相关系数呈现出“伪周期”性
57
例3.5:—
28
29
• 例3.2 设AR(2)模型： 试判别 的平稳性。
解：根据上述关于平稳条件的讨论，可以 通过两种径进行讨论：
30
31
• 下面我们讨论序列的统计特性，关于平稳 的二阶自回归模型AR(2)模型：
32
AR模型的定义
• 具有如下结构的模型称为 阶自回归模 型，简记为
• 特别当 时，称为中心化
• 平稳域判别
• 平稳域
40
AR(1)模型平稳条件
• 特征根 • 平稳域
41
AR(2)模型平稳条件 • 平稳域 • 特征根
42
例3.1平稳性判别
模 型
特征根判别
平稳域判别
(1)
(2)
(3)
(4)
结 论
平稳
非 平稳
第3章 平稳线性ARMA模型(2)--AR模型
的条件是对应的特征方程 0
的根的绝对值必须小于1，即满足 1 。
对于平稳的AR(1)模型，经过简单的计算易 得
3.2.2 二阶自回归过程AR(2)
• 当变量当前的取值主要与其前两时期的取 值状况有关，用数学模型来描述这种关系 就是如下的二阶自回归模型AR(2)：
• 引入延迟算子 B 的表达形式为：
(B) 11B 2B2 p B p
AR模型平稳性判别
• 判别原因
• AR模型是常用的平稳序列的拟合模型之一， 但并非所有的AR模型都是平稳的
• 判别方法
• 单位根判别法 • 平稳域判别法
例3.1:考察如下四个模型的平稳性
(1)xt 0.8xt1 t (2)xt 1.1xt1 t
(3)xt xt1 0.5xt2 t
• 满足条件(3.16)和(3.17)式给出的区域
1, 2 2 1 1, 2 1
称为平稳域。对于AR(2)模型平稳域是一个三角
形区域，见下图阴影部分。
• 例3.2 设AR(2)模型：Xt 0.7 Xt1 0.1Xt2 t
试判别 X t 的平稳性。
解：根据上述关于平稳条件的讨论，可以
•
平稳AR(1)模型的方差
Var(xt ) G2jVar(t )
j0
12
j
2
j0
2
1 12
协方差函数
• 在平稳AR(p)模型两边同乘 xtk ,k ，1再求期望
E(xt xtk ) 1E(xt1xtk ) p E(xt p xtk ) E(t xtk )
• 根据
E( t xtk ) 0 ,k 1
本节结构
• 方法性工具 • 线性过程的因果性和可逆性 • AR模型
的根的绝对值必须小于1，即满足 1 。
对于平稳的AR(1)模型，经过简单的计算易 得
3.2.2 二阶自回归过程AR(2)
• 当变量当前的取值主要与其前两时期的取 值状况有关，用数学模型来描述这种关系 就是如下的二阶自回归模型AR(2)：
• 引入延迟算子 B 的表达形式为：
(B) 11B 2B2 p B p
AR模型平稳性判别
• 判别原因
• AR模型是常用的平稳序列的拟合模型之一， 但并非所有的AR模型都是平稳的
• 判别方法
• 单位根判别法 • 平稳域判别法
例3.1:考察如下四个模型的平稳性
(1)xt 0.8xt1 t (2)xt 1.1xt1 t
(3)xt xt1 0.5xt2 t
• 满足条件(3.16)和(3.17)式给出的区域
1, 2 2 1 1, 2 1
称为平稳域。对于AR(2)模型平稳域是一个三角
形区域，见下图阴影部分。
• 例3.2 设AR(2)模型：Xt 0.7 Xt1 0.1Xt2 t
试判别 X t 的平稳性。
解：根据上述关于平稳条件的讨论，可以
•
平稳AR(1)模型的方差
Var(xt ) G2jVar(t )
j0
12
j
2
j0
2
1 12
协方差函数
• 在平稳AR(p)模型两边同乘 xtk ,k ，1再求期望
E(xt xtk ) 1E(xt1xtk ) p E(xt p xtk ) E(t xtk )
• 根据
E( t xtk ) 0 ,k 1
本节结构
• 方法性工具 • 线性过程的因果性和可逆性 • AR模型
第三章 线性平稳过程
慢程度。 G j 是系统动态的真实描述。
• AR(1)的格林函数 AR(1):
X t 1 X t 1 at
1 Xt at (1 1B 12 B2 )at 1j at j 1 1B j 0
从而格林函数为 Gj , j 0,1,
j 1
• 上式是差分方程 X t 1 X t 1 at 的解。它表 明系统是怎样记忆扰动 at 或某一时刻进入系 统的扰动对后继行为的影响程度，是过去扰 动的权重函数。
1接近于1,表明系统的记忆较强；相反，1 接近于0，表明系统的记忆较弱，故格林函 数亦称为记忆函数。 由于格林函数描述了系统的动态性，那么在 随机扰动序列已知的情况下，格林函数就完 全能够确定系统的行为，从而根据已知的扰 动序列和格林函数便可确定系统的响应。
自回归系数多项式
AR • 引进延迟算子， ( p) 模型又可以简记为
( B) X t at
• 自回归系数多项式
(B) 1 1B 2 B p B
2
p
• 自回归辅助方程
( B) 0
（二）AR(p)的可逆性与平稳性
1、AR(p)模型的可逆性
AR(p)模型是无条件可逆的
（3）AR(2)模型平稳条件
• 平稳域
1,2 | 2
1,2 1 1
例 3.3 考察如下模型的平稳性
(1) X t X t 1 0.5 X t 2 at
(2) X t X t 1 0.5 X t 2 at
(1) X t X t 1 0.5 X t 2 at
• 平稳性的Green函数判别法 欲使序列平稳，则格林函数应满足
当j 时，有Gj 0
即：
• AR(1)的格林函数 AR(1):
X t 1 X t 1 at
1 Xt at (1 1B 12 B2 )at 1j at j 1 1B j 0
从而格林函数为 Gj , j 0,1,
j 1
• 上式是差分方程 X t 1 X t 1 at 的解。它表 明系统是怎样记忆扰动 at 或某一时刻进入系 统的扰动对后继行为的影响程度，是过去扰 动的权重函数。
1接近于1,表明系统的记忆较强；相反，1 接近于0，表明系统的记忆较弱，故格林函 数亦称为记忆函数。 由于格林函数描述了系统的动态性，那么在 随机扰动序列已知的情况下，格林函数就完 全能够确定系统的行为，从而根据已知的扰 动序列和格林函数便可确定系统的响应。
自回归系数多项式
AR • 引进延迟算子， ( p) 模型又可以简记为
( B) X t at
• 自回归系数多项式
(B) 1 1B 2 B p B
2
p
• 自回归辅助方程
( B) 0
（二）AR(p)的可逆性与平稳性
1、AR(p)模型的可逆性
AR(p)模型是无条件可逆的
（3）AR(2)模型平稳条件
• 平稳域
1,2 | 2
1,2 1 1
例 3.3 考察如下模型的平稳性
(1) X t X t 1 0.5 X t 2 at
(2) X t X t 1 0.5 X t 2 at
(1) X t X t 1 0.5 X t 2 at
• 平稳性的Green函数判别法 欲使序列平稳，则格林函数应满足
当j 时，有Gj 0
即：
n元二次型正定的充要条件
n元二次型正定的充要条件n元二次型正定的充要条件有两种方式来进行说明：一种是基于矩阵的特征值的判定，另一种是基于二次型的正定性定义的判定。
我们来看基于矩阵特征值的判定方法。
设n元二次型的矩阵表示为A=(aij)，则A的特征值为λ1,λ2,…,λn。
n元二次型正定的充要条件是：A的所有特征值都大于0。
为了更好地理解这个条件，我们需要先回顾二次型的定义。
n元二次型是指一个形如Q(x)=x^T·Ax的二次函数，其中x是一个n维列向量，A是一个n×n的实对称矩阵。
对于任意的非零向量x，我们有Q(x)>0，则称二次型Q(x)正定。
按照这个定义，我们可以推导出n元二次型正定的矩阵表示。
设x 是一个非零向量，则有Q(x)=x^T·Ax>0。
将向量x展开为(x1,x2,…,xn)^T，矩阵A展开为(aij)，则二次型可以写成：Q(x)=∑(i=1)^n ∑(j=1)^n aijxi*xj。
因此，我们有∑(i=1)^n∑(j=1)^n aij(xi*xj)>0，即所有a11, a22, …, ann都大于0。
根据代数学的知识，一个矩阵的特征值是由它的特征方程的解得到的。
特征方程的形式是|A-λE|=0，其中A是矩阵，λ是特征值，E是单位矩阵。
如果一个矩阵的所有特征值都大于0，则它是正定的。
因此，我们可以得出结论：n元二次型正定的充要条件是，它的矩阵表示A的所有特征值都大于0。
接下来，我们来看基于二次型正定性定义的判定方法。
根据定义，n元二次型正定的充要条件是：对于任意非零向量x=(x1,x2,…,xn)^T，有x^T·Ax>0。
考虑到矩阵A是实对称矩阵，我们可以进行特征值分解，将A表示为A=PΛP^T的形式，其中P是正交矩阵，Λ是对角矩阵。
设y=P^Tx，则有x=P·y。
代入二次型的定义中，我们有y^T·(P^T·AP)·y>0，即y^T·Λ·y>0。
第三讲 ARMA模型
24
c , (即Eyt ) ，则有 如果令： = 1-
yt - t t -1 + 2 t -2 +
yt的方差为
0 =E (yt - ) 2 E ( t t -1 + 2 t -2 +
=E ( t ) 2 2 E ( t -1 ) 2 + 4 E ( t -2 ) 2 + =(1+ 2 + 4 + ) 2
可以想象，如果按一定规则的数据 生成过程生成足够多的观测序列（比如 1万次或10万次），然后再求样本均值， 应该可以得到较高精度的结果，从而尽 量捕捉真实过程的特性。
该思想与计量经济学的另一重要概 念不谋而合，即蒙特卡洛模拟。
27
（2）AR (p) 序列的自相关和偏自相关：
●φk截尾性：AR(p)为p阶截尾。
c 1 2 0.5 = 3.414和 0 = =1 2 1- 1- 5 1- 1-0.5
但是，发现模拟数据的均值和方差与理论上的均值 和方差不等。但是，n越大越接近，为什么？
26
程序为： smpl @first @first：选取序列的第一个值 series x=1：令第一个值为1 smpl @first+1 @last：选取第二个值到最后一个值 series x=1+0.5^0.5*x(-1)+0.5*nrnd： 令第二个值到最后一个值为服从正态分布的随机数，
（ 1- L)-1 1 L 2 L2
上式成立条件：|α|<1
（2）
5
（一）ARMA模型的引进
AR：Yt 0 1Yt 1 kYt k t
0 可以不写） 注意：如果假设均值为零， 如果序列在其均值附近波动： Y
c , (即Eyt ) ，则有 如果令： = 1-
yt - t t -1 + 2 t -2 +
yt的方差为
0 =E (yt - ) 2 E ( t t -1 + 2 t -2 +
=E ( t ) 2 2 E ( t -1 ) 2 + 4 E ( t -2 ) 2 + =(1+ 2 + 4 + ) 2
可以想象，如果按一定规则的数据 生成过程生成足够多的观测序列（比如 1万次或10万次），然后再求样本均值， 应该可以得到较高精度的结果，从而尽 量捕捉真实过程的特性。
该思想与计量经济学的另一重要概 念不谋而合，即蒙特卡洛模拟。
27
（2）AR (p) 序列的自相关和偏自相关：
●φk截尾性：AR(p)为p阶截尾。
c 1 2 0.5 = 3.414和 0 = =1 2 1- 1- 5 1- 1-0.5
但是，发现模拟数据的均值和方差与理论上的均值 和方差不等。但是，n越大越接近，为什么？
26
程序为： smpl @first @first：选取序列的第一个值 series x=1：令第一个值为1 smpl @first+1 @last：选取第二个值到最后一个值 series x=1+0.5^0.5*x(-1)+0.5*nrnd： 令第二个值到最后一个值为服从正态分布的随机数，
（ 1- L)-1 1 L 2 L2
上式成立条件：|α|<1
（2）
5
（一）ARMA模型的引进
AR：Yt 0 1Yt 1 kYt k t
0 可以不写） 注意：如果假设均值为零， 如果序列在其均值附近波动： Y
【红对勾】高中数学 1-2-2 充要条件课件 新人教A版选修2-1
所以 c2＝(a2＋b2)r2；
反过来，若 c2＝(a2＋b2)r2，则 a|2c＋| b2＝r 成立， 说明 x2＋y2＝r2 的圆心(0,0)到直线 ax＋by＋c＝ 0 的距离等于 r，即圆 x2＋y2＝r2 与直线 ax＋by＋c ＝0 相切， 故 A 是 B 的充要条件．
[点评] 对于涉及充要条件的判断问题，必须以准 确、完整地理解充要条件的概念为基础，有些问题需 要转化为等价命题后才容易判断．
迁移体验 1 在下列各题中，p 是 q 的什么条件 (指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不 必要条件)?
(1)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩 形；
(2)p：x＝1 或 x＝2，q：x－1＝ x－1； (3)p：在△ABC 中，∠A≠60°，q：sinA≠ 23； (4)p：m>0，q：方程 x2＋x－m＝0 有实根．
[解] 根据题目叙述，画出p、q、r、s的结构简图 如图1所示．
图1
(1)由图易知，s⇒r⇒q，且 q⇒s，∴s 是 q 的充 要条件．
(2)∵r⇒q，q⇒s⇒r，∴r 是 q 的充要条件．
(3)∵q⇒s⇒r⇒p，而 p⇒/ q，∴p 是 q 的必要不
充分条件．
迁移体验2 设甲、乙、丙三个命题，如果甲是乙 的必要条件，丙是乙的充分条件但不是必要条件，那 么( )
[解] (1)当|p|≥2 时，例如 p＝3，则方程 x2＋3x ＋6＝0 无实根，而方程 x2＋px＋p＋3＝0 要有实根， 必有 p≤－2 或 p≥6，可推出|p|≥2，故 A 是 B 的必 要不充分条件．
(2)若圆 x2＋y2＝r2 与直线 ax＋by＋c＝0 相切，圆 心到直线 ax＋by＋c＝0 的距离等于 r，即 r＝ a2|c＋| b2，
反过来，若 c2＝(a2＋b2)r2，则 a|2c＋| b2＝r 成立， 说明 x2＋y2＝r2 的圆心(0,0)到直线 ax＋by＋c＝ 0 的距离等于 r，即圆 x2＋y2＝r2 与直线 ax＋by＋c ＝0 相切， 故 A 是 B 的充要条件．
[点评] 对于涉及充要条件的判断问题，必须以准 确、完整地理解充要条件的概念为基础，有些问题需 要转化为等价命题后才容易判断．
迁移体验 1 在下列各题中，p 是 q 的什么条件 (指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不 必要条件)?
(1)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩 形；
(2)p：x＝1 或 x＝2，q：x－1＝ x－1； (3)p：在△ABC 中，∠A≠60°，q：sinA≠ 23； (4)p：m>0，q：方程 x2＋x－m＝0 有实根．
[解] 根据题目叙述，画出p、q、r、s的结构简图 如图1所示．
图1
(1)由图易知，s⇒r⇒q，且 q⇒s，∴s 是 q 的充 要条件．
(2)∵r⇒q，q⇒s⇒r，∴r 是 q 的充要条件．
(3)∵q⇒s⇒r⇒p，而 p⇒/ q，∴p 是 q 的必要不
充分条件．
迁移体验2 设甲、乙、丙三个命题，如果甲是乙 的必要条件，丙是乙的充分条件但不是必要条件，那 么( )
[解] (1)当|p|≥2 时，例如 p＝3，则方程 x2＋3x ＋6＝0 无实根，而方程 x2＋px＋p＋3＝0 要有实根， 必有 p≤－2 或 p≥6，可推出|p|≥2，故 A 是 B 的必 要不充分条件．
(2)若圆 x2＋y2＝r2 与直线 ax＋by＋c＝0 相切，圆 心到直线 ax＋by＋c＝0 的距离等于 r，即 r＝ a2|c＋| b2，
时间序列整理资料
考试题型：1.判断题（10分）；2.计算题（5题，75分）；3.分析题（1题15分）郑重声明：此资料仅供参考（还有标注为考点，只是我个人的观点，仅供参考）第2章时间序列的预处理1. 计算序列的样本自相关系数。
（考点）n _k _ _（ X t -'X” x t k—x）（k） = _____________ （1）基于全体观察样本计算出来的延迟K自协方差函数的估计值。
n -kn _瓦（x t -x）2（0） - （2）总体方差的估计值。
n _1合~ ?（k）POwk <n 延迟K自相关系数的估计值。
:'k :细）当延迟阶数K远远小于样本容量n时，n _k _ _送（xt —x）（xt*—x）A ..G =亠一n 0 ::: k ::: n二：（x t _ x）2t吕2. 平稳性的检验。
对序列的平稳性有两种检验方法，一种是根据时序图和自相关图显示的特征做出判断的图检验方法；一种是构造检验统计量进行假设检验的方法。
图检验方法：（1）时序图检验：如果观察序列的时序图显示出该序列有明显的趋势性或周期性，那它通常不是平稳序列。
（2）自相关图检验：平稳序列通常具有短期相关性。
该性质用自相关系数来描述就是随着延迟期数K的增加，平稳序列的自相关系数：.-k会很快地衰减向零。
反之，非平稳序列的自相关系数;；衰减向零的速度通常比较慢，这就是我们利用自相关图进行平稳性判断的标准。
3. 纯随机序列首先并不是所有的平稳序列都值得建模，只有那些序列值之间具有密切的相关关系，历史数据对未来的发展有一定影响的序列，才值得我们花时间去挖掘历史数据中的有效信息，用来预测序列未来的发展。
纯随机序列：该序列值彼此之间没有任何相关性，也就是一个没有记忆的序列，过去的行为对将来的发展没有丝毫影响。
我们称之为纯随机序列。
也称为白躁声序列。
简记为：x t~WN（h「2）。
4. 纯随机序列检验（1）假设条件由于序列值之间的变异是绝对的，而相关性是偶然的，所以假设条件如下：原假设：延迟期数小于或等于m期的序列值之间相互独立。
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第 28 卷 第 8 期（上） 2012 年 8 月
赤 峰 学 院 学 报（ 自 然 科 学 版 ） Journal of Chifeng University（Natural Science Edition）
Vol. 28 No. 8 Aug. 2012
关于 AR（2）序列判定的一个充要条件及证明
过来由 Ｙｕｌｅ－Ｗａｌｋｅｒ 方程，我们也可以由自相关系数 ρｋ 解
出相应的 Ｙｕｌｅ－Ｗａｌｋｅｒ 系数 ａ１，ａ２．
ａ１＝
ρ１（１－ρ２） １－ρ１２
，ａ２＝
ρ２－ρ１２ １－ρ１２
从而得到相应的偏相关系数
ａｎ，ｎ＝
ａ２，ｎ＝２ ０，ｎ≥３
从上式看出 ＡＲ（２）模型的偏相关系数是 ２ 后截尾的．综
定，｛Ｘｔ｝的自相关系数满足上述三种结构表明它们分别是特 征方程 Ａ（ｚ）＝１－ａ１ｚ－ａ２ｚ２＝０具有相异实根，相同实根，共轭复 根时的 ＡＲＭＡ（２，１）序列，其特征值分别是（１）λ１－１，λ２－１；（２）λ－１； （３）ｒ－１ｒｉω，ｒ－１ｅ－ｉω，而 ＡＲ（２）是 ＡＲＭＡ（２，１）的特例（即滑动平均参数
，使得：
ρｔ＝ａ１ρｔ－１＋ａ２ρｔ－２，坌ｔ≥２，
如果
ρ１＝
２λ １＋λ２
，则有
ρ１＝
ａ１ １－ａ２
，从而有 ρ１＝ａ１ρ０＋ａ２ρ１．
３）因为 ρｔ＝ｒ－ｔ（ｃ１ｃｏｓωｔ＋ｃ２ｓｉｎωｔ），所以存在
ａ１＝λ１－１＋λ２－１＝
２ｃｏｓω ｒ
，ａ２＝－
１ λ１λ２
＝－
１ ｒ２
使得：
ρｔ＝ａ１ρｔ－１＋ａ２ρｔ－２，坌ｔ≥２，
（１）ρｔ＝ｃ１λ１－ｔ＋ｃ２λ２－ｔ （２）ρｔ＝（１＋ｃｔ）λ－ｔ （３）ρｔ＝ｒ－ｔ（ｃ１ｃｏｓωｔ＋ｃ２ｓｉｎωｔ） 则此序列是 ＡＲ（２）序列的充要条件分别是
（１）ρ１＝
λ１＋λ２ １＋λ１λ２
（２）ρ１＝
２λ １＋λ２
（３）ρ１＝
２ｒｃｏｓω １＋ｒ２
证明 平稳时间序列的特征完全由它的自相关系数决
ａ１ １－ａ２
＝
２λ １＋λ２
３）当特征根为共轭复根 λ１＝ｒｅｉω，λ２＝ｒｅ－ｉω 时
λ１＋λ２＝２ｒｃｏｓω＝－
ａ１ ａ２圯ａ１＝２ｃｏｓω ｒλ１λ２＝ｒ２＝－
１ ａ２
ａ２＝－
１ ｒ２
所以
ρ１＝
ａ１ １－ａ２
＝
２ｒｃｏｓω １＋ｒ２
这样，必要性得证．
下面证明充分性
１）因为 ρｔ＝ｃ１λ１－ｔ＋ｃ２λ２－ｔ，所以存在
根都在单位圆外的充要条件是 ａ１，ａ２ 满足条件
ａ２±ａ１＜１，｜ａ２｜＜１
（３）
由 Ｙｕｌｅ－Ｗａｌｋｅｒ 方程知道，平稳解的自相关系数满足：
ρ０＝１，ρ１＝
ａ１ １－ａ２
ρｋ＝ａ１ρｋ－１＋ａ２ρｋ－２，ｋ≥１．
（４）
从递推公式（４）知，由于 ａ２≠０，不论多么大的 ｋ，总存在
ρｋ≠０，这正是 ＡＲ（２）模型的自相关系数表现出的拖尾性．反
λ１＋λ２＝－
ａ１ ａ２
圯
ａ１＝
λ１＋λ２ λ１λ２
λ１λ２＝－
１ ａ２
ａ２＝－
１ λ１λ２
－ ３７ －
所以
ρ１＝
ａ１ １－ａ２
＝
λ１＋λ２ １＋λ１λ２
２）当特征根为相等的实根 λ１＝λ２＝λ 时，由于
λ１＋λ２＝２λ＝－
ａ１ ａ２
圯
ａ１＝
２ λ
λ１λ２＝λ２＝－
１ ａ２
ａ２＝－
１ λ２
所以
ρ１＝
ａ１＝λ１－１＋λ２－１＝
λ１＋λ２ λ１λ２
，ａ２＝－
１ λ１λ２
使得：
ρｔ＝ａ１ρｔ－１＋ａ２ρｔ－２，坌ｔ≥２，
如果
ρ１＝
λ１＋λ２ １＋λ１λ２
，则有
ρ１＝
ａ１ １－ａ２
，从而有 ρ１＝ａ１ρ０＋ａ２ρ１．
２）因为 ρｔ＝（１＋ｃｔ）λ－ｔ，所以存在
ａ１＝λ－１＋λ－１＝
２ λ
，ａ２＝－
１ λ２
张厚超，杨锦伟
（平顶山学院 数学与信息科学学院，河南 平顶山 467000）
摘 要：本文通过分析 AR (2)模型的自相关系数所满足的差分方程，给出了一个判别 AR (2)序列的充要条件，并探讨了 AR (2)序列与其子序列的关系.
关键词：AR(2)序 列 ；自 相 关 系 数 ；偏 自 相 关 系 数 中图分类号：Ｏ２１１．６１ 文献标识码：A 文章编号：1673- 260X（2012）08- 0037- 02
上，可以看出，尽管可以由偏相关系数的 ２ 后截尾性来判别
平稳序列是否为 ＡＲ（２）序列，但是在计算相应的偏相关系数
时离不开自相关系数的计算，所以为了方便，在这里来探讨
直接由自相关系数的特征来判别平稳序列是否为 ＡＲ （２）序
列．
2 主要结果
定理 1 平稳序列｛Ｘｔ｝的自相关系数满足以下三种情况 时：
ｂ１＝０），ＡＲ（２）与 ＡＲＭＡ（２，１）的自相关系数的递推表达式的差
别仅表现在 ρ１ 的表达式不同，对 ＡＲ（２）模型 Ｘｔ－ａ１Ｘｔ－１－ａ２Ｘｔ－２＝εｔ，ｔ∈Ｚ
由（４），令 ｋ＝１，同时注意到 ρ１＝ρ－１ 有 ρ１＝ａ１ρ０＋ａ２ρ１
所以
ρ１＝
ａ１ １－ａ２
１）当特征根为两个不相等的实根 λ１，λ２ 时，由于
如果
ρ１＝
２ｒｃｏｓω １＋ｒ２
，则有
ρ１＝
ａ１ １－ａ２
，从而有 ρ１＝ａ１ρ０＋ａ２ρ１．
Ａ（ｚ）＝１－ａ１ｚ－ａ２ｚ２≠０，｜ｚ｜≤１．
（１）
称差分方程
Ｘｔ－ａ１Ｘｔ－１－ａ２Ｘｔ－２＝εｔ，εｔ￣ＷＮ（０，σ２），ｔ∈Ｚ
（２）
是一个 ２ 阶自回归模型，简称 ＡＲ（２）模型，满足 ＡＲ（２）模型
（２）的平稳时间序列｛Ｘｔ｝称为平稳解或 ＡＲ（２）序列． 对于上述 ＡＲ（２）模型，特征多项式 Ａ（ｚ）＝１－ａ１ｚ－ａ２ｚ２≠０ 的
1 引言
在时间序列分析中 ＡＲ（ｐ）模型的应用非常广泛，平稳时
间序列的特征完全地由他的自相关函数确定，从理论上讲，
根据平稳时间序列的自相关函数也完全可以判别一个平稳
序列是否为 ＡＲ（ｐ）序列，但是当 ｐ 充分大时，由于 ＡＲ（ｐ）序列
的拖尾性，给我们用自相关函数来判别此序列是否为 ＡＲ（Ｐ）
序列但来不便，故在时间序列分析中通常用偏相关系数来
判别它是否为 ＡＲ（ｐ）序列，这是因为 ＡＲ（ｐ）序列的偏相关系
数的 ｐ 后截尾性是它的固有特性． 但是在时间序列建模中，
由于序列之间的短期相关性，通常建立的模型的阶数较低，
所以对 ＡＲ（２）模型，这里给出 ＡＲ（２）序列判别的一个条件，并
给出证明，这在时间序列分析中是很有用的．
定义 1 实数 ａ１，ａ２（ａ２≠０）使多项式 Ａ（ｚ）的零点都在单位 圆外，即：
赤 峰 学 院 学 报（ 自 然 科 学 版 ） Journal of Chifeng University（Natural Science Edition）
Vol. 28 No. 8 Aug. 2012
关于 AR（2）序列判定的一个充要条件及证明
过来由 Ｙｕｌｅ－Ｗａｌｋｅｒ 方程，我们也可以由自相关系数 ρｋ 解
出相应的 Ｙｕｌｅ－Ｗａｌｋｅｒ 系数 ａ１，ａ２．
ａ１＝
ρ１（１－ρ２） １－ρ１２
，ａ２＝
ρ２－ρ１２ １－ρ１２
从而得到相应的偏相关系数
ａｎ，ｎ＝
ａ２，ｎ＝２ ０，ｎ≥３
从上式看出 ＡＲ（２）模型的偏相关系数是 ２ 后截尾的．综
定，｛Ｘｔ｝的自相关系数满足上述三种结构表明它们分别是特 征方程 Ａ（ｚ）＝１－ａ１ｚ－ａ２ｚ２＝０具有相异实根，相同实根，共轭复 根时的 ＡＲＭＡ（２，１）序列，其特征值分别是（１）λ１－１，λ２－１；（２）λ－１； （３）ｒ－１ｒｉω，ｒ－１ｅ－ｉω，而 ＡＲ（２）是 ＡＲＭＡ（２，１）的特例（即滑动平均参数
，使得：
ρｔ＝ａ１ρｔ－１＋ａ２ρｔ－２，坌ｔ≥２，
如果
ρ１＝
２λ １＋λ２
，则有
ρ１＝
ａ１ １－ａ２
，从而有 ρ１＝ａ１ρ０＋ａ２ρ１．
３）因为 ρｔ＝ｒ－ｔ（ｃ１ｃｏｓωｔ＋ｃ２ｓｉｎωｔ），所以存在
ａ１＝λ１－１＋λ２－１＝
２ｃｏｓω ｒ
，ａ２＝－
１ λ１λ２
＝－
１ ｒ２
使得：
ρｔ＝ａ１ρｔ－１＋ａ２ρｔ－２，坌ｔ≥２，
（１）ρｔ＝ｃ１λ１－ｔ＋ｃ２λ２－ｔ （２）ρｔ＝（１＋ｃｔ）λ－ｔ （３）ρｔ＝ｒ－ｔ（ｃ１ｃｏｓωｔ＋ｃ２ｓｉｎωｔ） 则此序列是 ＡＲ（２）序列的充要条件分别是
（１）ρ１＝
λ１＋λ２ １＋λ１λ２
（２）ρ１＝
２λ １＋λ２
（３）ρ１＝
２ｒｃｏｓω １＋ｒ２
证明 平稳时间序列的特征完全由它的自相关系数决
ａ１ １－ａ２
＝
２λ １＋λ２
３）当特征根为共轭复根 λ１＝ｒｅｉω，λ２＝ｒｅ－ｉω 时
λ１＋λ２＝２ｒｃｏｓω＝－
ａ１ ａ２圯ａ１＝２ｃｏｓω ｒλ１λ２＝ｒ２＝－
１ ａ２
ａ２＝－
１ ｒ２
所以
ρ１＝
ａ１ １－ａ２
＝
２ｒｃｏｓω １＋ｒ２
这样，必要性得证．
下面证明充分性
１）因为 ρｔ＝ｃ１λ１－ｔ＋ｃ２λ２－ｔ，所以存在
根都在单位圆外的充要条件是 ａ１，ａ２ 满足条件
ａ２±ａ１＜１，｜ａ２｜＜１
（３）
由 Ｙｕｌｅ－Ｗａｌｋｅｒ 方程知道，平稳解的自相关系数满足：
ρ０＝１，ρ１＝
ａ１ １－ａ２
ρｋ＝ａ１ρｋ－１＋ａ２ρｋ－２，ｋ≥１．
（４）
从递推公式（４）知，由于 ａ２≠０，不论多么大的 ｋ，总存在
ρｋ≠０，这正是 ＡＲ（２）模型的自相关系数表现出的拖尾性．反
λ１＋λ２＝－
ａ１ ａ２
圯
ａ１＝
λ１＋λ２ λ１λ２
λ１λ２＝－
１ ａ２
ａ２＝－
１ λ１λ２
－ ３７ －
所以
ρ１＝
ａ１ １－ａ２
＝
λ１＋λ２ １＋λ１λ２
２）当特征根为相等的实根 λ１＝λ２＝λ 时，由于
λ１＋λ２＝２λ＝－
ａ１ ａ２
圯
ａ１＝
２ λ
λ１λ２＝λ２＝－
１ ａ２
ａ２＝－
１ λ２
所以
ρ１＝
ａ１＝λ１－１＋λ２－１＝
λ１＋λ２ λ１λ２
，ａ２＝－
１ λ１λ２
使得：
ρｔ＝ａ１ρｔ－１＋ａ２ρｔ－２，坌ｔ≥２，
如果
ρ１＝
λ１＋λ２ １＋λ１λ２
，则有
ρ１＝
ａ１ １－ａ２
，从而有 ρ１＝ａ１ρ０＋ａ２ρ１．
２）因为 ρｔ＝（１＋ｃｔ）λ－ｔ，所以存在
ａ１＝λ－１＋λ－１＝
２ λ
，ａ２＝－
１ λ２
张厚超，杨锦伟
（平顶山学院 数学与信息科学学院，河南 平顶山 467000）
摘 要：本文通过分析 AR (2)模型的自相关系数所满足的差分方程，给出了一个判别 AR (2)序列的充要条件，并探讨了 AR (2)序列与其子序列的关系.
关键词：AR(2)序 列 ；自 相 关 系 数 ；偏 自 相 关 系 数 中图分类号：Ｏ２１１．６１ 文献标识码：A 文章编号：1673- 260X（2012）08- 0037- 02
上，可以看出，尽管可以由偏相关系数的 ２ 后截尾性来判别
平稳序列是否为 ＡＲ（２）序列，但是在计算相应的偏相关系数
时离不开自相关系数的计算，所以为了方便，在这里来探讨
直接由自相关系数的特征来判别平稳序列是否为 ＡＲ （２）序
列．
2 主要结果
定理 1 平稳序列｛Ｘｔ｝的自相关系数满足以下三种情况 时：
ｂ１＝０），ＡＲ（２）与 ＡＲＭＡ（２，１）的自相关系数的递推表达式的差
别仅表现在 ρ１ 的表达式不同，对 ＡＲ（２）模型 Ｘｔ－ａ１Ｘｔ－１－ａ２Ｘｔ－２＝εｔ，ｔ∈Ｚ
由（４），令 ｋ＝１，同时注意到 ρ１＝ρ－１ 有 ρ１＝ａ１ρ０＋ａ２ρ１
所以
ρ１＝
ａ１ １－ａ２
１）当特征根为两个不相等的实根 λ１，λ２ 时，由于
如果
ρ１＝
２ｒｃｏｓω １＋ｒ２
，则有
ρ１＝
ａ１ １－ａ２
，从而有 ρ１＝ａ１ρ０＋ａ２ρ１．
Ａ（ｚ）＝１－ａ１ｚ－ａ２ｚ２≠０，｜ｚ｜≤１．
（１）
称差分方程
Ｘｔ－ａ１Ｘｔ－１－ａ２Ｘｔ－２＝εｔ，εｔ￣ＷＮ（０，σ２），ｔ∈Ｚ
（２）
是一个 ２ 阶自回归模型，简称 ＡＲ（２）模型，满足 ＡＲ（２）模型
（２）的平稳时间序列｛Ｘｔ｝称为平稳解或 ＡＲ（２）序列． 对于上述 ＡＲ（２）模型，特征多项式 Ａ（ｚ）＝１－ａ１ｚ－ａ２ｚ２≠０ 的
1 引言
在时间序列分析中 ＡＲ（ｐ）模型的应用非常广泛，平稳时
间序列的特征完全地由他的自相关函数确定，从理论上讲，
根据平稳时间序列的自相关函数也完全可以判别一个平稳
序列是否为 ＡＲ（ｐ）序列，但是当 ｐ 充分大时，由于 ＡＲ（ｐ）序列
的拖尾性，给我们用自相关函数来判别此序列是否为 ＡＲ（Ｐ）
序列但来不便，故在时间序列分析中通常用偏相关系数来
判别它是否为 ＡＲ（ｐ）序列，这是因为 ＡＲ（ｐ）序列的偏相关系
数的 ｐ 后截尾性是它的固有特性． 但是在时间序列建模中，
由于序列之间的短期相关性，通常建立的模型的阶数较低，
所以对 ＡＲ（２）模型，这里给出 ＡＲ（２）序列判别的一个条件，并
给出证明，这在时间序列分析中是很有用的．
定义 1 实数 ａ１，ａ２（ａ２≠０）使多项式 Ａ（ｚ）的零点都在单位 圆外，即：