小学奥数教程之-约数与倍数(二) (81) (含答案)
五年级奥数倍数问题讲座及练习答案
五年级奥数倍数问题讲座及练习答案五年级奥数集训专题讲座（三）——倍数问题倍数问题在整个小学阶段中非常重要。
我们主要从“和倍、差倍、和差”这三个方面来研究倍数问题。
为了解决倍数问题，我们需要理解以下数量关系式：①和÷（倍数＋1）=小数，小数×倍数=大数（和—小数=大数）②差÷（倍数—1）=小数，小数×倍数=大数（小数＋差=大数）③（和－差）÷2=小数，小数＋差=大数（和—小数=大数）④（和+差）÷2=大数，大数－差=小数（和—大数=小数）例1：三个筑路队共筑路1360米，甲队筑的米数是乙队的2倍，乙队比丙队多240米，三个队各筑多少米？分析：我们将乙队的米数看作“1”份，甲队筑的米数是2份。
假设丙队多筑240米，三个队共筑了1360+240=1600（米），正好是乙队的4倍。
因此，我们可以使用和倍问题来解答这个问题。
乙队：（1360+240）÷（2+1+1）=400（米），甲队：400×2=800（米），丙队：400－160=240（米）。
答案：甲队筑了800米，乙队筑了400米，丙队筑了240米。
巩固练】：三个植树队植树1900棵，甲队植树的棵数是乙队的2倍，乙队比丙队少植300棵，三个队各植了多少棵？解析：因为甲队植树的棵数是乙队的2倍，我们可以将乙队植树的棵数看作“1”份。
乙队比___少植300棵，即丙队植树的棵数=乙队植树棵数+300棵。
因此，三个队植树的总棵数是乙队的4倍多300棵。
如果我们从植树总数里减去300，则正好是乙队的4倍。
因此，乙队植树棵数=（1900－300）÷（1+1+2）=400（棵），甲队植树棵数=400×2=800（棵），丙队植树棵数=400+300=700（棵）。
答案：甲队植了800棵，乙队植了400棵，丙队植了700棵。
例2：师徒两人加工同样多的一批零件，师傅加工了102个，徒弟加工了40个。
奥数最大公约数与最小公倍 数例题、练习及答案
最大公约数与最小公倍数（一）教学目标：1．通过学生对应用题的条件与问题的全面分析，培养学生发现问题和解决问题的意识。
2．通过比较与辨析，使学生进一步理解和掌握“最大公约数和最小公倍数”应用题的解题规律。
3．培养学生的合作交流意识和创新意识，发展学生的空间观念与想像力。
教学过程：一、基本概念知识1.公约数和最大公约数①如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。
②如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。
在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。
例如：12的约数有：1，2，3，4，6，12; 18的约数有：1，2，3，6，9，18。
自然数的最大公约数通常用符号（）表示，例如，12和18的公约数有：1，2，3，6.其中6是12和18的最大公约数，记作(12，18)=6。
（8，12）=4，（6，9，15）=3。
2.公倍数和最小公倍数 ③如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。
在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。
例如：12的倍数有：12，24，36，48，60，72，84，… 18的倍数有：18，36，54，72，90，…自然数的最小公倍数通常用符号[]表示，例如12和18的公倍数有：36，72，….其中36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。
[8，12]=24，[6，9，15]=90。
3.互质数如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。
常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。
用短除法求若干个数的最大公约数与最小公倍数的区别：求个数的最大公约数：（1）必须每次都用个数的公约数去除；（2）一直除到个数的商互质（但不一定两两互质）；（3）个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积。
求个数的最小公倍数：（1）必须先用（如果有）个数的公约数去除，除到个数没有除去1以外的公约数后，在用个数的公约数去除，除到个数没有除1以外的公约数后，再用个数的公约数去除，如此继续下去，为保证这一条，每次所用的除数均可选质数；（2）只要有两个数（被除数）能被同一数整除，就要继续除，一定要除到个数的商两两互质为止；（3）个数的最小公倍数即为短除式中，所有除数和最后两两互质的商的乘积。
关于约数倍数的小学奥数训练资料
【篇一】 约数与倍数 约数和倍数若整数能够被整除，叫做的倍数，就叫做的约数。
公约数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数;其中的一个， 叫做这几个数的公约数。
公约数的性质 1、几个数都除以它们的公约数，所得的几个商是互质数。
2、几个数的公约数都是这几个数的约数。
3、几个数的公约数，都是这几个数的公约数的约数。
4、几个数都乘以一个自然数，所得的积的公约数等于这几个数 的公约数乘以。
例如 12 的约数有 1、2、3、4、6、12; 18 的约数有 1、2、3、6、9、18; 那么 12 和 18 的公约数有 1、2、3、6; 那么 12 和 18 的公约数是 6，记作 12，18=6; 求公约数基本方法 1、分解质因数法先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
2、短除法先找公有的约数，然后相乘。
3、辗转相除法每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余 数，就是所求的公约数。
公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数;其中最小的 一个，叫做这几个数的最小公倍数。
12 的倍数有 12、24、36、48……; 18 的倍数有 18、36、54、72……; 那么 12 和 18 的公倍数有 36、72、108……; 那么 12 和 18 最小的公倍数是 36，记作[12，18]=36; 最小公倍数的性质 1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
2、两个数公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
求最小公倍数基本方法 1、短除法求最小公倍数;2、分解质因数 的方法【篇二】 例题解析 已知、为正整数，且满足-+=2+，其中、分别是与的公约数和最 小公倍数，求所有这样的数对，≥ 考点约数与倍数 分析此题需分类讨论，①当是的倍数时，设=是正整数解方程 -2=3;②当不是的倍数时，令=，=，，互质，则=解方程-1=-1-1 即可 解答解①当是的倍数时，设=是正整数 则由原方程，得 • -+=2+， ∵≠0， ∴-+1=2+， ∴-2=3， 当=1 时，=5，=5;当=3 时，=9，=3; =9、=3；=5、=5 ②当不是的倍数时，令=，=，，互质，则=，代入原式 得 2-+=2+，即-1=-1+1 当=1 时，+=2，可求得=1，=1，此时不满足条件; 当>1 时，≥2-1=+-1≥>-1-1 此时，-1=-1+1 不满足条件; 综上所述，满足条件的数对有 =9、=3；=5、=5 点评本题主要考查的是公约数与最小公倍数由于两个数的乘积 等于这两个数的公约数与最小公倍数的积即，×[，]=×所以，求两 个数的最小公倍数，就可以先求出它们的公约数，然后用上述公式求 出它们的最小公倍数【篇三】 练习 128 的约数之和是多少? 2 一个两位数，十位数字减个位数字的差是 28 的约数，十位数 字与个位数字的积是 24 这个两位数是多少? 3 两个自然数的和是 50，它们的公约数是 5，则这两个数的差是 多少? 4 用长是 9 公分、高是 7 公分的长方形木块叠成一正方体，至少 需要这种长方体木块多少块? 5 张师傅以 1 元钱 3 个苹果的价格买苹果若干个，又以 2 元钱 5个苹果的价格将这些苹果卖出，如果他要赚得 10 元钱利润，那么他 必须卖出苹果多少个?6 一个公共汽车站，发出五路车，这五路车为每隔 3、5、9、15、 10 分钟发一次，第一次同时发车以后，多少分钟又同时发第二次?7 饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，每只猴子可得 12 粒;如只分给第二群，每只猴子可得 125 粒;如只分给第三群，每只猴 子可得 20 粒，那么平均给三群猴子，每只猴可得花生多少粒?8 一块长 48 公分、宽 42 公分的布。
【教育资料】五年级奥数题及答案：约数倍数问题(高等难度)学习精品
五年级奥数题及答案：约数倍数问题(高等难度)
结合目前学生的学习进度，查字典数学网为大家准备了小学五年级奥数题，希望小编整理奥数题约数倍数问题(高等难度)，可以帮助到你们!一分耕耘一分收获!奥数习题万变不离其宗，相信大家平时多动脑、多练习、多积累，掌握学习方法与技巧，通过自己的努力，一定能够取得优异的成绩!
约数倍数：(高等难度)
若 a , b , c 是三个互不相等的大于0的自然数，且a + b + c = 1155 ，则它们的最大公约数的最大值为()，最小公倍数的最小值为()，最小公倍数的最大值为()
约数倍数答案：
解答：165、660、57065085
1) 由于a + b + c = 1155，而
1155=3×5×7×11。
令a=mp，b=mq，c=ms.m 为a，b，c的最大公约数，则p+q+s最小取7。
此时m=165.
2) 为了使最小公倍数尽量小，应使三个数的最大公约数m
尽量大，并且使A，B，C的最小公倍数尽量小，所以应使m=165，A=1，B=2，C=4，此时三个数分别为165，330，660，它们的最小公倍数为660，所以最小公倍数的最小值为660。
3) 为了使最小公倍数尽量小，应使三个数两两互质且乘积尽量大。
当三个数的和一定时，为了使它们的乘积尽量大，应使它们尽量接近。
由于相邻的自然数是互质的，所以可以令1155=384+385+386，但是在这种情况下384和386有公约数2，而当1155=383+385+387时，三个数两两互质，它们的最小公倍数为383×385×387=57065085，即最小公倍数的最大值为57065085。
约数倍数小学奥数题及解析
约数倍数小学奥数题及解析
约数倍数小学奥数题及解析
数学是一门基础学科，但对于学好其它课程也起着非常重要的作用，为大家特别提供了小学奥数题及解析，希望对大家的学习有所帮助!
若a,b,c是三个互不相等的大于0的自然数，且a+b+c=1155，则它们的最大公约数的最大值为()，最小公倍数的最小值为()，最小公倍数的最大值为()
解答：165、660、57065085
1)由于a+b+c=1155，而1155=3×5×7×11。
令a=mp，b=mq，c=ms.m为a，b，c的最大公约数，则p+q+s最小取7。
此时m=165.
2)为了使最小公倍数尽量小，应使三个数的'最大公约数m尽量大，并且使A，B，C的最小公倍数尽量小，所以应使m=165，A=1，B=2，C=4，此时三个数分别为165，330，660，它们的最小公倍数为660，所以最小公倍数的最小值为660。
3)为了使最小公倍数尽量小，应使三个数两两互质且乘积尽量大。
当三个数的和一定时，为了使它们的乘积尽量大，应使它们尽量接近。
由于相邻的自然数是互质的，所以可以令1155=384+385+386，但是在这种情况下384和386有公约数2，而当1155=383+385+387时，三个数两两互质，它们的最小公倍数为383×385×387=57065085，即最小公倍数的最大值为57065085。
小学奥数数论问题解析：约数与倍数
小学奥数数论问题解析：约数与倍数小学奥数数论问题解析：约数与倍数奥数注重学生分析、解决问题能力的培养，有它独特的解题思路和方法，快来做做奥数题来锻炼自己吧!下面是小编为大家收集到的奥数数论问题解析约数与倍数，供大家参考。
约数与倍数已知x、y为正整数，且满足xy-( x+y )=2p+q，其中p、q分别是x与y的最大公约数和最小公倍数，求所有这样的数对(x，y ) (x≥y )考点：约数与倍数.分析：此题需分类讨论，①当x是y的倍数时，设x=ky(k是正整数).解方程k(y-2)=3;②当x不是y的倍数时，令x=ap，y=bp，a，b 互质，则q=abp.解方程abp-1=(a-1)(b-1)即可.解答：解：①当x是y的倍数时，设x=ky(k是正整数).则由原方程，得kyy-(ky+y)=2y+ky，∵y≠0，∴ky-(k+1)=2+k，∴k(y-2)=3，当k=1时，x=5，y=5;当k=3时，x=9，y=3;②当x不是y的倍数时，令x=ap，y=bp，a，b互质，则q=abp，代入原式得：abp2-(ap+bp)=2p+abp，即abp-1=(a-1)(b+1)当p=1时，a+b=2，可求得a=1，b=1，此时不满足条件;当p>1时，abp≥2ab-1=ab+(ab-1)≥ab>(a-1)(b-1)此时，abp-1=(a-1)(b+1)不满足条件;综上所述，满足条件的数对有点评：本题主要考查的`是最大公约数与最小公倍数.由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积.即(a，b)×[a，b]=a×b.所以，求两个数的最小公倍数，就可以先求出它们的最大公约数，然后用上述公式求出它们的最小公倍数.。
奥数讲义数论专题：约数与倍数
华杯赛数论专题：约数与倍数基础知识：1. 如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数.如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。
在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数. 自然数a、b、c的最大公约数通常用符号（a，b，c）表示.例如:（8，12）＝4，（6，9，15）＝3.2. 互质定义：如果两个或几个数的最大公约数为1，则称这两个或几个数互质.3.如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数.在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数. 自然数a、b、c的最小公倍数通常用符号[a，b，c]表示.例如:[8，12]＝24，[6，9，15]＝90.4.约数个数公式、约数和公式.5.求最大公约数和最小公倍数的基本方法：（1）分解质因数法:将每个数分解质因数，观察这些数中包含哪些质因数，①找公共部分，并将这些数的公共部分相乘，所得乘积即为这组数的最大公约数；②观察这些质因数的最高次方，并相乘，所得乘积即为这组数的最小公倍数.（2）辗转相除法: 两数为a、b的最大公约数（a，b）的步骤如下：用b除a，得a ＝bm......x（0≤x）. 若x＝0，则（a，b）＝b；若x≠0，则再用x除b，得b＝xn......y （0≤y）.若y＝0，则（a，b）＝x，若y≠0，则继续用y除x,则继如此下去，直到能整除为止.其最后一个非零除数即为（a，b）.（3）两个数的最大公约数与它们的最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积：（a，b）×[a，b] ＝a×b.例题：例1.360有多少个约数？【答案】24【解答】，所以360共有24个约数.例2. 一个数是6的倍数，但它的约数之和与6互质，这个数最小是.【答案】36【解答】这个数可以表示成，与6互质，所以x≥2，y≥2，故最小数为.例3.甲、乙两个自然数的乘积比甲数的平方小1988，那么满足上述条件的自然数有几组？【答案】6组【解答】，由此得a和a－b的值为1988的互补因子.1988有（1＋1）×（1＋1）×（2＋1）＝12个约数，所以答案为6组.例4.已知将自然数84的全部约数的乘积分解质因数为，那么△＋◇＋□等于.【答案】24【解答】，它有3×2×2＝12个约数.这些约数可以分成两两一组，使得同一组的两个数的乘积就是84，因此所有这些约数的乘积就是 .所以△＋◇＋□＝12＋6＋6＝24.例5.两数乘积为2800，而且已知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1.那么这两个数分别是 .【答案】175和16【解答】，两数的约数个数相差1，则两数约数的个数必为一奇一偶.而一个数的约数个数为奇数，它必为完全平方数，它可能是1、、、、、，经试验只有这个平方数取，另一个数为时，分别有5、6个约数.所以这两个数分别为175和16.例6.三位数A的所有奇约数之和是403，那么A最大可能是多少？【答案】900【解答】先考虑A的奇数部分B，利用奇偶分析可知B有奇数个约数，所以B是完全平方数，又403＜21×21，所以B只可能是、……可得B＝225. 那么A最大是225×4＝900.例7.一个正整数是2004的倍数，且恰有24个约数是偶数，那么这个数最多有个约数是奇数.【答案】12【解答】2004是4的倍数，所以偶约数至少是奇约数的2倍，所以为12个.例8.小文买红蓝两种笔各1支用了17元，两种笔的单价都是整元，并且红笔比蓝笔贵.小张打算用35元来买这两种笔（允许全部买其中一种），可是他无论怎样买都不能恰好把35元用完，问红笔、蓝笔每支各多少元？【答案】红笔每支13元，蓝笔每支4元【解答】35＝5×7，两种笔的单价不能是5元和7元（否则35元可全部用完）；由于不是5元和7元，那么也不是17－5＝12（元）和17－7＝10（元）；17元可用完，而35元不能用完，那么笔价不会是35－17＝18（元）的约数：1、2、3、6、9、18，当然也不会是17－1＝16、17－2＝15、17－3＝14、17－6＝11、17－9＝8，故笔价又排除了：1、2、3、6、8、9、11、14、15、16.综上所述，只有4和13未被排除，而4＋13＝17，所以红笔每支13元，蓝笔每支4元.例9.求15708和6468的最大公约数、最小公倍数.【答案】924,109956【解析】方法一：方法二：15708＝6468×2＋2772 6468＝2772×2＋9242772＝924×3例10.1007、10017、100117、1001117和10011117的最大公约数是 .【答案】53【解析】因为1007×10－10017＝53，所以最大公约数肯定是53或1.因为1007＝53×19，而且数列中每个数都是前一个数的10倍减去53，所以只要前一个数是53的倍数那么后一个数就也是53的倍数，因此数列中每个数都是53的倍数.例11.已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？【答案】147或105【解析】要求这两个数的和，我们可先求出这两个数各是多少.设这两个数为a、b，a＜b.因为这两个数的最大公约数是21，故设a＝21m，b＝21n，且（m，n）＝1.因为这两个数的最小公倍数是126，所以126＝21×m×n，于是m×n＝6，因此，这两个数的和为21＋126＝147，或42＋63＝105.所以这两个数的和为147或105.例12.已知自然数A、B满足以下两个性质：（1）A、B不互素；（2）A、B的最大公约数与最小公倍数之和为35.那么A+B的最小值是多少？【答案】25【解析】A、B的最大公约数一定是它们最小公倍数的约数.因为A、B的最大公约数与最小公倍数的和是35，所以35是两数最大公约数的倍数.它们的最大公约数可能是5或7.如果A、B的最大公约数是5，则A、B的最小公倍数是30，此时有A＝5、B＝30或A＝10、B＝15；如果A、B的最大公约数是7，则A、B的最小公倍数是28，此时有A＝7，B＝28.所以A＋B的最小值为10＋15＝25.例13.两个数的最小公倍数比它们的最大公约数的3倍多15，请写出这两个数的所有可能值.【答案】1和18， 2和9， 3和24， 5和30，10和15， 15和60【解析】设两个数a、b，则[a,b]＝3×（a,b）＋15，且15是（a,b）的倍数，故a和b可以为1和18， 2和9， 3和24， 5和30，10和15， 15和60.例14. 三位数☆◇☆与四位数☆☆◇◇的最大公约数是22，那么☆＋◇＝.【答案】6【解析】两个数的最大公约数是22，☆☆◇◇是11的倍数，所以◇是偶数，22是☆◇☆的约数，☆是偶数，◇＝2☆，所以◇＝4，☆＝2，所以◇＋☆＝6.例15.试用2，3，4，5，6，7六个数字组成两个三位数，使这两个三位数与540的最大公约数尽可能大？【答案】324、756【解析】因为，而2，3，4，5，6，7中只有一个5，因此这六个数字组成的两个三位数中不会有公约数5，所以这两个三位数与540的最大公约数只可能为，再进行试验，108×2＝216，216中1不是已知数字，108×3＝324，还剩5，6，7三个数字，而108×7＝756，于是问题得到解决.例16.定义表示a和b的最大公约数，那么使得和同时成立的三位数a= .【答案】237【解析】根据题意：是21的倍数，所以a是3的倍数，a除以7余6，a＋63是60的倍数，a除以4余1，a除以5余2，所以a＝60×4－3=237.例18.已知a与b，a与c，b与c的最小公倍数分别是60，90和36。
小学奥数-精讲-约数与倍数PPT
问答互动环节设计思路
自动评分
利用课件的自动评分功能，对学生的测验结果进行客观评价。
反馈与建议
根据学生的测验成绩和表现，提供针对性的反馈和建议，帮助学生改进学习方法。
设计测验题目
根据教学目标和内容，设计合理的测验题目，检验学生学习效果。
测验反馈机制构建策略
导航菜单优化建议
清晰明了
确保导航菜单清晰明了，方便学生快速找到所需内容。
例2
答案揭秘
第一群只数:5、10、15……
第二群只数:4、8、12……
第三群只数:3、6、9……
三群总只数:12、24、36……
60÷12=5 120÷24=5……
花生总数:60、120、180 ……
答:每只猴子可得5粒花生。
举一反三
练习1
用945个同样大小的正方形拼成一个长方形,有______种不同的拼法。
图片选择与处理
为图片添加必要的标注和说明文字，帮助观众更好地理解和记忆图片内容。
图片标注与说明
将多张图片进行排版和组合，形成具有逻辑关系和视觉冲击力的图表或画廊效果。
图片排版与组合
图片编辑与美化方法
选用通用的音频视频格式，确保课件能够在不同设备和平台上正常播放。
音频视频格式选择
对音频视频素材进行必要的剪辑、合并、添加字幕等处理，提高课件的观赏性和实用性。
从第一次同时发车到第二次同时发车 的时间是3,5,9,15和10的最小公倍数。
规 律 总 结
练习2
9,15和10的最小公倍数是90, 所以3,5,9,15和10的最小公倍数也是90。 从第一次同时发车后90 分钟又同时发第二次车。
参 考 答 案
方法
应用
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【例 2】 有一个电子钟，每走 9 分钟亮一次灯，每到整点响一次铃．中午 12 点整，电子钟响铃又亮灯．问： 下一次既响铃又亮灯是几点钟？
【考点】公倍数与最小公倍数综合 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，试题，第 10 题 【解析】因为电子钟每到整点响铃，所以我们只要考虑哪个整点亮灯就行了．从中午 12 点起，每 9 分钟亮一
2． 最大公约数的性质
①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数； ②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数； ③几个数都乘以一个自然数 n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以 n ．
3． 求一组分数的最大公约数
先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数 a；求出各个分数的分子的 最大公约数 b； b 即为所求．
四、求约数个数与所有约数的和
1． 求任一整数约数的个数
一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加 1 后所得的乘积。 如:1400 严格分解质因数之后为 23 × 52 × 7 ，所以它的约数有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24 个。(包括 1 和 1400 本身) 约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过 的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌 握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有 多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。
2． 求任一整数的所有约数的和
一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从 1 加至这个质因数的最 高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。
如： 21000 = 23 × 3× 53 × 7 ，所以 21000 所有约数的和为 (1 + 2 + 22 + 23 )(1 + 3)(1 + 5 + 52 + 53 )(1 + 7) =74880 此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记 忆即可。
三、最大公约数与最小公倍数的常用性质
1． 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。 如果 m 为 A 、 B 的最大公约数，且 A = ma ， B = mb ，那么 a、b 互质，所以 A 、 B 的最小公倍数为 mab ，
所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：
① A × B = ma × mb = m × mab ，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积； ②最大公约数是 A 、 B 、 A + B 、 A − B 及最小公倍数的约数． 2． 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。 即 (a,b) ×[a,b] = a × b ，此性质比较简单，学生比较容易掌握。
为所求．例如： [ 3= , 5 ] = [3,5] 15 4 12 (4,12) 4
注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：
12= , 34
[1, 4] (= 2, 3)
4
4． 倍数、公倍数、最小公倍数的关系
（1）倍数是对一个数说的； （2）最小公倍数是公倍数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数
1． 求最大公约数的方法
①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来． 例如： 231 = 3× 7 ×11， 252 = 22 × 32 × 7 ，所以 (231, 252) = 3× 7 = 21 ；
2 18 12 ②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如： 3 9 6 ，所以 (12,18) = 2 × 3 = 6 ；
知，花生总粒数是 12，15，20 的公倍数，其最小公倍数是 60．花生总粒数是 60，120，180，…,那 么：第一群猴子只数是 5，10，15，… ；第二群猴子只数是 4，8，12，… ；第三群猴子只数是 3， 6，9，… ；所以，三群猴子的总只数是 12，24，36，…因此，平均分给三群猴子，每只猴子所得 花生粒数总是 5 粒． 【答案】5 粒
1. 求最小公倍数的方法
①分解质因数的方法；
例如： 231 = 3× 7 ×11， 252 = 22 × 32 × 7 ，所以 [231, 252] = 22 × 32 × 7 ×11 = 2772 ；
②短除法求最小公倍数； 2 18 12
例如： 3 9 6 ，所以 [18,12] = 2 × 3× 3× 2 = 36 ；
【考点】公倍数与最小公倍数综合 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】从题目中可以知道，木棍锯成的段数，比锯的次数大 1；而锯的次数并不一定是三种刻度线的总和，
a
4． 约数、公约数最大公约数的关系
5-4-2.约数与倍数（二）.题库
教师版
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（1）约数是对一个数说的； （2）公约数是最大公约数的约数，最大公约数是公约数的倍数
二、倍数的概念与最小公倍数
(1)倍数:一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数 (2)公倍数:在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，那么这些倍数就叫做它们的公倍数 (3)最小公倍数：公 倍 数 中 最 小 的 那 个 称 为 这 些 正 整 数 的 最 小 公 倍 数 。
【巩固】加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成 6 个零件,第二道工序每名工 人每小时可完成 10 个零件,第三道工序每名工人每小时可完成 15 个零件.要使加工生产均衡,三道工 序最少共需要多少名工人?（假设这三道工序可以同时进行）
【考点】公倍数与最小公倍数综合 【难度】3 星 【题型】填空 【解析】为了使生产均衡,则三道工序每小时生产的零件个数应相等,设第一、二、三道工序上分别有 a 、 b 、
如果有 5 个连续奇数，这 5 个连续奇数中最多有 2 个 3 的倍数，1 个 5 的倍数，1 个 23 的倍数，所 以必然有一个数不是 2、3、5、23 的倍数，即与 690 没有大于 l 的公约数． 所以 9 个数中有 5 个偶数，则 N + 1 、 N + 3 、 N + 5 、 N + 7 、 N + 9 是偶数，剩下的 4 个奇数中， 有 2 个 3 的倍数，1 个 5 的倍数，1 个 23 的倍数．可知 4 个奇数中 N + 2 、N + 8 是 3 的倍数，还有 N + 4 、 N + 6 一个是 5 的倍数，一个是 23 的倍数，那么这两个数最小只能为 23 和 25，故 N + 4 =23 ，得 N = 19 ．故 N 的最小值为 19． 【答案】19
c 个工人,有 6=a 1= 0b 1= 5c k ,那么 k 的最小值为 6,10,15 的最小公倍数,即 [6,10,15] = 30 ．所以 a = 5 ,
b = 3 , c = 2 ,则三道工序最少共需要 5 + 3 + 2 =10 名工人． 【答案】10 名工人
【例 5】 在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成 10 等份，第二种刻度线把木棍分成 12 等份，第三种刻度线把木棍分成 15 等份，如果沿每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？
【例 3】 甲、乙两人同时从 A 点背向出发，沿 400 米的环形跑道行走，甲每分钟走 80 米，乙每分钟走 50 米，两人至少经过多长时间才能在 A 点相遇？
【考点】公倍数与最小公倍数综合 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】甲、乙走一圈分别需要 5 分钟和 8 分钟，因此他们要是在 A 点再次相遇，两人都要走整圈数，所以
例题精讲
模块一、倍数
【例 1】 N 为自然数，且 N + 1 ， N + 2 、……、 N + 9 与 690 都有大于 l 的公约数． N 的最小值为多少？ 【考点】倍数 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】走美杯，六年级，初赛，第 8 题 【解析】 690 = 2 × 3× 5 × 23 ，连续 9 个数中，最多有 5 个是 2 的倍数，也有可能有 4 个是 2 的倍数．
32 ③[a,b] = a × b ．
(a, b)
2. 最小公倍数的性质
①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数． ②两个互约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．
3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤
先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数 a ；求出各个分数分母的最大公约数 b ；b 即 a
知识点拨
一、 约数、公约数与最大公约数概念
(1)约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数 a 能被整数 b 整除，a 叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的约数； (2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”； (3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数； (4)0 被排除在约数与倍数之外
5-4-2.约数与倍数（二）
教学目标
1. 本讲主要对课本中的：约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数性质的应用。 2. 本讲核心目标：让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识， 例如：（1）约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系；
（2）整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为 △☆ × △☆ × ...× △☆ 的结构， 而且表达形式唯一”
次灯，要过多少个 9 分钟才到整点呢？由于 1 小时＝60 分钟，这个问题换句话说就是：9 分钟的多 少倍是 60 分钟的整数倍呢？即求 9 分和 60 最小公倍数．9 和 60 的最小公倍数是 180．这就是说，