小学奥数第9讲 约数与倍数(含解题思路)
小学数学认识和运用倍数和约数的知识点总结
小学数学认识和运用倍数和约数的知识点总结数学是一门非常重要的学科，对于小学生的学习和成长起着至关重要的作用。
倍数和约数是数学中的基本概念，掌握了倍数和约数的知识，可以帮助小学生更好地理解和应用数学。
一、倍数的认识和运用倍数是指一个数可以被另一个数整除，换句话说，如果一个数能够整除另一个数，那么这个数就是另一个数的倍数。
例如，4是2的倍数，因为4能够被2整除。
1.寻找倍数寻找一个数的倍数时，我们可以不断地将这个数与其他数相乘，直到得到我们想要的倍数为止。
例如，要找到10的倍数，我们可以不断将10与其他数相乘，如10、20、30、40等。
2.判断倍数判断一个数是否为另一个数的倍数时，我们需要判断这个数能否被另一个数整除。
如果可以整除，那么这个数就是另一个数的倍数，否则就不是。
例如，要判断15是否是3的倍数，我们可以计算15÷3，如果结果是一个整数，那么15就是3的倍数。
3.应用场景倍数在日常生活中有许多应用场景，比如计算时间、计算距离等。
例如，我们可以通过计算时间的倍数来确定某个事件发生的具体时刻，比如3倍于12点就是3点，2倍于30分钟就是1小时。
二、约数的认识和运用约数是指能够整除一个数的所有因数，换句话说，如果一个数能够被其他数整除，那么这个数就是这些数的约数。
例如，数8的约数有1、2、4、8。
1.寻找约数寻找一个数的约数时，我们可以将这个数与其他数相除，如果余数为0，那么这个数就是被除数的约数。
例如，要寻找20的约数，我们可以将20与1、2、3、4等数相除，如果除法运算的余数为0，那么这些数就是20的约数。
2.判断约数判断一个数是否为另一个数的约数时，我们需要判断这个数能否整除另一个数。
如果可以整除，那么这个数就是另一个数的约数，否则就不是。
例如，要判断6是否是12的约数，我们可以计算12÷6，如果结果是一个整数，那么6就是12的约数。
3.应用场景约数在数学问题求解中起着重要的作用。
小学奥数约数与倍数
小学奥数约数与倍数本讲中的知识点并不难理解，对于约数、最大公约数；倍数、最小公倍数的定义我们在学校的课本上都已经学习过，所以重点在于一些性质的应用，完全平方数在考试中经常出现，所以对于平方差公式还有一些主要性质一定要记住.本讲力求实现的一个核心目标是让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识，即所谓的整数唯一分解定理，教师可以在课前让学生练习几个两位或三位整数的分解，然后帮学生做一个找规律式的不完全归纳，让学生自己初步领悟“原来任何一个数字都可以表示为...☆☆☆△△△的结构”一、约数的概念与最大公约数0被排除在约数与倍数之外 1．求最大公约数的方法①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．例如：2313711=??，22252237=??，所以(231,252)3721=?=；②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：2181239632，所以(12,18)236=?=；③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．例如，求600和1515的最大公约数：151********÷=L ；6003151285÷=L ；315285130÷=L ；28530915÷=L ；301520÷=L ；所以1515和600的最大公约数是15．2．最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n ．3．求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个分数的分子的最大公约数b ；b a 即为所求．二、倍数的概念与最小公倍数知识点拨教学目标5-3约数与倍数1. 求最小公倍数的方法①分解质因数的方法；例如：2313711=??，22252237=??，所以[]22231,252237112772==；②短除法求最小公倍数；例如：2181239632，所以[]18,12233236==；③[,](,)a b a b a b ?=． 2. 最小公倍数的性质①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a ；求出各个分数分母的最大公约数b ；b a即为所求．例如：35[3,5]15[,]412(4,12)4== 注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：[]()1,414,4232,3??== 三、最大公约数与最小公倍数的常用性质1．两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。
小学数学认识和运用倍数和约数的知识点总结
小学数学认识和运用倍数和约数的知识点总结在小学数学的学习中，倍数和约数是一个重要的概念。
理解和掌握倍数和约数的相关知识，对于同学们解决数学问题、提高数学思维能力有着很大的帮助。
接下来，让我们一起深入学习一下这部分的内容。
一、倍数和约数的定义倍数：如果整数 a 除以整数 b（b≠0），所得的商是整数且没有余数，我们就说 a 是 b 的倍数，b 是 a 的约数。
约数：又称因数，如果整数 a 能被整数 b 整除（b≠0），那么 a 就叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的约数。
例如，12÷3 ＝ 4，我们就说 12 是 3 的倍数，3 是 12 的约数。
二、倍数和约数的特点1、一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
比如 6 的倍数有 6、12、18、24、30……，可以一直写下去，无穷无尽。
2、一个数的约数的个数是有限的，最小的约数是 1，最大的约数是它本身。
以 18 为例，它的约数有 1、2、3、6、9、18，一共 6 个。
3、倍数和约数是相互依存的，不能单独说某个数是倍数或约数，应该说谁是谁的倍数，谁是谁的约数。
比如不能单独说 6 是倍数，而应该说 6 是 3 的倍数。
三、找倍数和约数的方法1、找一个数的倍数可以用这个数分别乘以 1、2、3、4……所得的积就是这个数的倍数。
例如，找 7 的倍数，就可以计算 7×1 ＝ 7，7×2 ＝ 14，7×3 ＝21……所以 7、14、21 等都是 7 的倍数。
2、找一个数的约数可以从 1 开始，一对一对地找。
比如找 16 的约数，从 1 开始，1×16 ＝ 16，2×8 ＝ 16，4×4 ＝ 16，所以 16 的约数有 1、2、4、8、16。
四、常见数的倍数特征1、 2 的倍数特征个位上是 0、2、4、6、8 的数都是 2 的倍数。
例如 10、12、14 等都是 2 的倍数。
小学数学点知识归纳约数与倍数的计算
小学数学点知识归纳约数与倍数的计算在小学数学学习中，约数和倍数是非常重要的概念。
掌握了约数和倍数的计算方法，可以帮助我们解决很多数学问题。
本文将对约数和倍数的计算进行归纳总结，帮助大家更好地理解和应用。
一、约数的计算约数是指能够整除某个数的所有正整数。
比如，数值12的约数有1、2、3、4、6和12。
那么，如何计算一个数的约数呢？1、首先，我们需要列举数值的所有正整数。
2、然后，逐一尝试能否整除该数值，如果可以整除，则是该数值的约数。
3、最后，将所有能够整除该数值的正整数列举出来即可。
举个例子，我们来计算数值36的约数：36÷1=36，36÷2=18，36÷3=12，36÷4=9，36÷5不整除，36÷6=6，36÷7不整除……以此类推。
最终得到36的所有约数为1、2、3、4、6、9、12、18和36。
值得注意的是，每个数值都有两个特殊的约数，即1和它本身。
这是因为所有的数值都能够被1整除，同时每个数值都能够被其本身整除。
二、倍数的计算倍数是指某个数值的整数倍数。
比如，数值5的倍数有5、10、15、20等等。
那么，如何计算一个数的倍数呢？1、首先，我们需要确定一个基数，即要计算倍数的数值。
2、然后，将基数乘以1、2、3、4……依此类推，得到的结果就是基数的倍数。
举个例子，我们来计算数值7的倍数：7×1=7，7×2=14，7×3=21，7×4=28，7×5=35……以此类推。
可以看出，7的倍数就是7的基数乘以各个正整数。
三、约数和倍数的关系约数与倍数之间有着密切的关系。
一个数的倍数可以看作是这个数的约数乘以某个整数。
比如，数值6的约数有1、2、3和6，可以发现，6的倍数就是6的约数乘以某个整数。
比如，6的倍数有6、12、18等，其中6×1=6，2×6=12，3×6=18。
倍数和约数的计算
倍数和约数的计算倍数和约数是数学中基本的概念，用来描述数与数之间的关系。
倍数是指一个数可以被另一个数整除，而约数是指能够整除某个数的所有正整数。
在日常生活和数学问题中，计算倍数和约数都是非常常见的操作。
下面将详细介绍倍数和约数的计算方法。
一、倍数的计算倍数是指一个数可以被另一个数整除，也就是说这个数是另一个数的整数倍。
计算倍数的方法非常简单，只需要用一个数除以另一个数，如果结果是整数，则说明该数是另一个数的倍数。
例如，计算10的倍数可以采用以下方法：10 ÷ 5 = 2，得到结果是整数，说明10是5的倍数。
10 ÷ 3 = 3.33，得到结果不是整数，说明10不是3的倍数。
通过这种简单的除法运算，就可以得到一个数是否是另一个数的倍数。
需要注意的是，任何一个数都是其本身的倍数，即任何数除以自身都等于1。
例如，5 ÷5 = 1，说明5是5的倍数。
因此，在计算倍数时，除数为自身的数一定是其倍数。
除此之外，如果一个数可以同时被两个以上的数整除，那么这个数就是这些数的公倍数。
求两个数的公倍数可以采用以下方法：首先计算两个数的倍数，在倍数集合中找到相同的数，这个数就是它们的公倍数。
例如，求12和15的公倍数可以得到：倍数集合：12, 24, 36, 48, ...倍数集合：15, 30, 45, 60, ...公倍数：60因此，12和15的公倍数是60。
二、约数的计算约数是指能够整除某个数的所有正整数。
计算约数的方法也很简单，只需要找出能够整除该数的所有正整数。
例如，计算12的约数可以采用以下方法：12 ÷ 1 = 12，得到结果是整数，因此1是12的约数。
12 ÷ 2 = 6，得到结果是整数，因此2是12的约数。
12 ÷ 3 = 4，得到结果是整数，因此3是12的约数。
12 ÷ 4 = 3，得到结果是整数，因此4是12的约数。
12 ÷ 6 = 2，得到结果是整数，因此6是12的约数。
(完整版)小学奥数第9讲约数与倍数(含解题思路)
9、约数与倍数【约数问题】例1 用1155个同样大小的正方形拼成一个长方形，有______种不同的拼法。
（上海市第五届小学数学竞赛试题）讲析:不论拼成怎样的长方形，它们的面积都是1155。
而长方形的面积等于长乘以宽.所以，只要将1155分成两个整数的积，看看有多少种方法。
一般来说，约数都是成对地出现。
1155的约数共有16个。
16÷2=8（对）。
所以，有8种不同的拼法。
例2 说明：360这个数的约数有多少个？这些约数之和是多少？（全国第三届“华杯赛”决赛第一试试题)讲析：将360分解质因数，得360=2×2×2×3×3×5=23×32×5。
所以，360的约数个数是：（3+1）×（2+1）×（1+1）=24（个）这24个约数的和是：例3 一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积。
这个数当然有许多约数是两位数，这些两位的约数中，最大的是几?(全国第一届“华杯赛”决赛第一试试题）讲析：这个数是2×2×2×2×2×3×3×3×5×5×7。
把两位数从99、98、……开始，逐一进行分解：99=3×3×11； 98=2×7×7；97是质数； 96=2×2×2×2×2×3。
发现，96是上面数的约数.所以,两位数的约数中,最大的是96.例4 有8个不同约数的自然数中，最小的一个是______。
（北京市第一届“迎春杯"小学数学竞赛试题）讲析：一个自然数N，当分解质因数为:因为8=1×8=2×4=2×2×2，所以,所求自然数分解质因数，可能为：27,或23×3，或2×3×5，……不难得出，最小的一个是24。
解决简单的约数与倍数问题
解决简单的约数与倍数问题在数学中，约数与倍数问题是我们经常遇到的一类基础题目，它们不仅对于数学知识的掌握有重要意义，还对我们的逻辑思维和解决问题的能力起到了锻炼作用。
本文将介绍一些解决简单的约数与倍数问题的方法和技巧。
一、约数问题解决方法约数问题指的是寻找一个数的所有约数或特定的约数。
首先我们需要明确什么是约数，约数即能够整除目标数的数。
比如对于数10而言，它的约数包括1、2、5和10。
那么如何找到一个数的约数呢？1. 列举法列举法是最常见的一种找约数的方法。
我们可以从小到大，依次尝试每个数是否可以整除目标数。
比如对于数12而言，我们可以从1开始，依次尝试1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12，最后得到12的约数为1、2、3、4、6、12。
2. 因数分解法因数分解法是另一种常用的找约数的方法。
我们首先对目标数进行因式分解，然后根据分解的结果确定约数。
比如对于数20而言，它可以因式分解为2 * 2 * 5，那么它的约数包括1、2、4、5、10和20。
二、倍数问题解决方法倍数问题指的是寻找一个数的所有倍数或特定的倍数。
我们首先需要明确什么是倍数，倍数即目标数的整数倍。
比如对于数6而言，它的倍数包括6、12、18、24等等。
那么如何找到一个数的倍数呢？1. 乘法法乘法法是最直观的一种找倍数的方法。
我们可以将目标数乘以一个自然数，从而得到它的倍数。
比如对于数8而言，它的倍数可以依次得到8、16、24、32等等。
2. 公倍数法公倍数法是用来寻找两个及以上数的公倍数的方法。
我们首先需要找到这些数的倍数，然后找到它们的共同倍数。
比如对于数3和4而言，它们的倍数分别是3、6、9和4、8、12，那么它们的公倍数即为6和12。
三、解决问题的技巧解决约数与倍数问题的关键在于灵活运用数学知识和逻辑思维。
以下是一些常见的解决问题的技巧：1. 利用数的性质比如对于偶数而言，它必定是2的倍数，而奇数则不是；对于任意一个数而言，它必定是1的倍数和自身的倍数。
小升初奥数第9节：倍数与因数
倍数与约数 教学目的 1，让孩子了解语言的精密与数学的联系。
2，掌握做题方法教学内容知识点一、最大公约数与最小公倍数的常用性质(1)两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。
即若11(,),(,),a a a b b b a b =⨯=⨯则11(,)1a b =(2)两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。
即(,)[,]a b a b a b ⨯=⨯注：(,)a b 表示两个数的最大公约数，[,]a b 表示两个数的最小公倍数(3)对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数例如：567210⨯⨯=，210就是567的最小公倍数b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍例如：678336⨯⨯=，而6,7,8的最小公倍数为3362168÷=二、约数个数与所有约数的和(1)求任一合数约数的个数：一个合数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。
如:1400严格分解质因数之后为32257⨯⨯，所以它的约数有(31)(21)(11)43224+⨯+⨯+=⨯⨯=个。
(包括1和1400本身)(2)求任一合数的所有约数的和：一个合数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。
如：33210002357=⨯⨯⨯，所以21000所有约数的和为2323(1222)(13)(1555)(17)74880++++++++=三、求几个分数的最小公倍数和最大公约数(1)求几个分数的最小公倍数求一组分数的最小公倍数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最小公倍数作为新分数的分练习：设A共有9个不同的约数，B共有6个不同的约数，C共有8个不同的约数，这三个数中的任何两个都不整除，则这三个数之积的最小值是多少？题型二：约数的和例1：有4个不同的自然数,它们的和是1111,它们的最大公约数最大能是多少?练习：10个非零不同自然数的和是1001，则它们的最大公约数的最大值是多少？例2：两个自然数的和是50,它们的最大公约数是5,则这两个数的差等于多少？练习：有两个自然数,它们的和等于297,它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693.这两个自然数的差等于多少?题型三：最小公倍数和最大公约数例1：甲乙两数最小公倍数是60，最大公约数是6，已知甲数是12，求乙数.练习：甲数和乙数的最大公约数是6最小公倍数是90.如果甲数是18,那么乙数是多少？例2：已知甲数的12倍与乙数的15倍的最大公约数是1440，那么甲数和乙数的最大公约数最小可以是多少？练习：已知自然数A、B满足以下2个性质：（1）A、B不互质（2）A、B的最大公约数与最小公倍数之和为35。
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9、约数与倍数
【约数问题】
例1 用1155个同样大小的正方形拼成一个长方形，有______种不同的拼法。
（上海市第五届小学数学竞赛试题）
讲析：不论拼成怎样的长方形，它们的面积都是1155。
而长方形的面积等于长乘以宽。
所以，只要将1155分成两个整数的积，看看有多少种方法。
一般来说，约数都是成对地出现。
1155的约数共有16个。
16÷2=8（对）。
所以，有8种不同的拼法。
例2 说明：360这个数的约数有多少个？这些约数之和是多少？
（全国第三届“华杯赛”决赛第一试试题）
讲析：将360分解质因数，得
360=2×2×2×3×3×5=23×32×5。
所以，360的约数个数是：（3+1）×（2+1）×（1+1）=24（个）
这24个约数的和是：
例3 一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积。
这个数当然有许多约数是两位数，这些两位的约数中，最大的是几？
（全国第一届“华杯赛”决赛第一试试题）
讲析：这个数是2×2×2×2×2×3×3×3×5×5×7。
把两位数从99、98、……开始，逐一进行分解：
99=3×3×11； 98=2×7×7；
97是质数； 96=2×2×2×2×2×3。
发现，96是上面数的约数。
所以，两位数的约数中，最大的是96。
例4 有8个不同约数的自然数中，最小的一个是______。
（北京市第一届“迎春杯”小学数学竞赛试题）
讲析：一个自然数N，当分解质因数为：
因为8=1×8=2×4=2×2×2，
所以，所求自然数分解质因数，可能为：
27，或23×3，或2×3×5，……
不难得出，最小的一个是24。
【倍数问题】
例1 6枚1分硬币叠在一起与5枚2分硬币一样高，6枚2分硬币叠在一起与5枚5分硬币一样高，如果分别用1分、2分、5分硬币叠成的三个圆柱体一样高，这些硬币的币值为4元4角2分，那么这三种硬币总共有______枚。
（上海市第五届小学数学竞赛试题）
讲析：因为6枚1分的硬币与5枚2分的一样高，所以36枚1分的硬币与30枚2分的一样高。
6枚2分的硬币与5枚5分的一样高，所以30枚2分的硬币与25枚5分的一样高。
因此，36枚1分的硬币高度等于30枚2分的高度，也等于25枚5分的高度。
它们共有：
1×36+2×30+5×25=221（分）。
4元4角2分=442（分），442÷221=2。
所以，1分的硬币共36×2=72（枚），2分的硬币共30×2=60（枚），5分的硬币共25×2=50（枚），即总共有182枚。
例2 从1、2、……、11、12中至多能选出______个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2倍。
（1990年全国小学数学奥林匹克初赛试题）
讲析：1、3、5、7、9、11是奇数，不可能是任何整数的2倍。
剩下的数
有2、4、6、8、10、12六个数，且6是3的2倍，10是5的2倍。
如取2，则4、8、12就都不能取；如取4，则2、8不能取，故只可取12；如取8，则2、
4不能取，故只可取8。
所以至多能选取8个数。
例3 小明的两个衣服口袋中各有13张卡片，每张卡片上分别写着1、2、3、……13。
如果从这两个口袋中各拿出一张卡片来计算它们所写两数的乘积，可以得到许多不相等的乘积，那么，其中能被6整除的乘积共有______个。
（北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题）
讲析：因为6=2×3，所以能被6整除的因数中，至少含有一个2和一个3。
当一边取6，另一边取1、2、……、13时均成立，有13个积；
当一边取7、8、9、10、11、12、13，另一边取12时，有7个积；
当一边取10，另一边取9时，有1个积。
所以，不相等的乘积中，被6整除的共有：
13+7+1=21（个）。
例4 设a与b是两个不相等的自然数。
如果它们的最小公倍数是72，那么
a与b之和可以有______种不同的值。
（北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题）
讲析：因为72=23×32，它共有约数
（3+1）×（2+1）=12（个）
这12个约数，每个约数与72的最小公倍数都是72，a、b之和有12种不
同的值；
当a=22×32=36时，b可取23=8或23×3=24，a、b之和有2种不同的值；
当a=23×3=24时，b可取32=9或2×32=18，a、b之和有2种不同的值。
当a=2×32=18时；b可取23=8，a、b之和有1种不同的值。
所以，满足条件的a与b之和共有17种不同的值。