小学奥数竞赛常考知识点：约数与倍数
小学奥数经典专题点拨：约数与倍数
约数与倍数【约数问题】例1 用1155个同样大小的正方形拼成一个长方形，有______种不同的拼法。
（上海市第五届小学数学竞赛试题）讲析：不论拼成怎样的长方形，它们的面积都是1155。
而长方形的面积等于长乘以宽。
所以，只要将1155分成两个整数的积，看看有多少种方法。
一般来说，约数都是成对地出现。
1155的约数共有16个。
16÷2=8（对）。
所以，有8种不同的拼法。
例2 说明：360这个数的约数有多少个？这些约数之和是多少？（全国第三届“华杯赛”决赛第一试试题）讲析：将360分解质因数，得360=2×2×2×3×3×5=23×32×5。
所以，360的约数个数是：（3+1）×（2+1）×（1+1）=24（个）这24个约数的和是：例3 一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积。
这个数当然有许多约数是两位数，这些两位的约数中，最大的是几？（全国第一届“华杯赛”决赛第一试试题）讲析：这个数是2×2×2×2×2×3×3×3×5×5×7。
把两位数从99、98、……开始，逐一进行分解：99=3×3×11； 98=2×7×7；97是质数； 96=2×2×2×2×2×3。
发现，96是上面数的约数。
所以，两位数的约数中，最大的是96。
例4 有8个不同约数的自然数中，最小的一个是______。
（北京市第一届“迎春杯”小学数学竞赛试题）讲析：一个自然数N，当分解质因数为：因为8=1×8=2×4=2×2×2，所以，所求自然数分解质因数，可能为：27，或23×3，或2×3×5，……不难得出，最小的一个是24。
奥数专题数论-约数倍数附答案
(数论问题约数倍数)1、 五年级数论问题：约数倍数难度：中难度答：2、五年级数论问题：约数倍数难度：中难度答3、 五年级数论问题：约数倍数难度：中难度答：一个数乘2是4的倍数，乘3是9的倍数，乘4是16的倍数，乘5是25的倍数，乘6是36的倍数，乘7是49的倍数，乘8是64的倍数，乘9是81的倍数.这个数最小是？甲、乙两个自然数的最大公约数是7，并且甲数除以乙数所得的商是l 81.乙数是_____. 幼儿园有糖115颗、饼干148块、桔子74个，平均分给大班小朋友，结果糖多出7颗，饼干多出4块，桔子多出2个．这个大班的小朋友最多有几个人？4、五年级数论问题：约数倍数难度：中难度爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。
”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？答：5、五年级数论问题：约数倍数难度：中难度/高难度两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，试求这两个数的差．答：（数论问题）1、五年级数的约数倍数答案：解答：依题意，这个数同时是2、3、4、5、6、7、8、9的倍数.因此，这个数最小是2，3，4，5，6，7，8，9的最小公倍数，即[2，3，4，5，6，7，8，9]=5×7×8×9=2520.2、五年级数的约数倍数答案：解答：由(甲，乙)=7，且甲：乙=89，得乙数=7×8=56..3、五年级数的约数倍数答案：解答：根据题意不难看出，这个大班小朋友的人数是115-7=108，148-4=144，74-2=72的最大公约数．所以，这个大班的小朋友最多有36人．4、五年级数的约数倍数答案：解答：爷爷和小明的年龄随着时间的推移都在变化，但他们的年龄差是保持不变的。
爷爷的年龄现在是小明的7倍，说明他们的年龄差是6的倍数；同理，他们的年龄差也是5，4，3，2，1的倍数。
由此推知，他们的年龄差是6，5，4，3，2的公倍数。
(小学奥数)约数与倍数(一)
1. 本講主要對課本中的：約數、公約數、最大公約數；倍數、公倍數、最小公倍數性質的應用。
2. 本講核心目標：讓孩子對數字的本質結構有一個深入的認識，例如：（1）約數、公約數、最大公約數；倍數、公倍數、最小公倍數的內在關係；（2）整數唯一分解定理：讓學生自己初步領悟“任何一個數字都可以表示為...⨯⨯⨯☆☆☆△△△的結構，而且表達形式唯一”一、 約數、公約數與最大公約數概念(1)約數:在正整數範圍內約數又叫因數,整數a 能被整數b 整除，a 叫做b 的倍數，b 就叫做a 的約數；(2)公約數:如果一個整數同時是幾個整數的約數，稱這個整數為它們的“公約數”；(3)最大公約數：公約數中最大的一個就是最大公約數；(4)0被排除在約數與倍數之外1． 求最大公約數的方法①分解質因數法：先分解質因數，然後把相同的因數連乘起來．例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以(231,252)3721=⨯=；②短除法：先找出所有共有的約數，然後相乘．例如：2181239632，所以(12,18)236=⨯=； ③輾轉相除法：每一次都用除數和餘數相除，能夠整除的那個餘數，就是所求的最大公約數．用輾轉相除法求兩個數的最大公約數的步驟如下：先用小的一個數除大的一個數，得第一個餘數；再用第一個餘數除小的一個數，得第二個餘知識點撥教學目標5-4-1.約數與倍數（一）數；又用第二個餘數除第一個餘數，得第三個餘數；這樣逐次用後一個餘數去除前一個餘數，直到餘數是0為止．那麼，最後一個除數就是所求的最大公約數．(如果最後的除數是1，那麼原來的兩個數是互質的)．例如，求600和1515的最大公約數：15156002315÷=；6003151285÷=；315285130÷=；28530915÷=；301520÷=；所以1515和600的最大公約數是15．2． 最大公約數的性質①幾個數都除以它們的最大公約數，所得的幾個商是互質數；②幾個數的公約數，都是這幾個數的最大公約數的約數；③幾個數都乘以一個自然數n ，所得的積的最大公約數等於這幾個數的最大公約數乘以n ．3． 求一組分數的最大公約數先把帶分數化成假分數，其他分數不變；求出各個分數的分母的最小公倍數a ；求出各個分數的分子的最大公約數b ；b a即為所求． 4． 約數、公約數最大公約數的關係（1）約數是對一個數說的；（2）公約數是最大公約數的約數，最大公約數是公約數的倍數二、倍數的概念與最小公倍數(1)倍數:一個整數能夠被另一整數整除，這個整數就是另一整數的倍數(2)公倍數:在兩個或兩個以上的自然數中，如果它們有相同的倍數，那麼這些倍數就叫做它們的公倍數(3)最小公倍數：公倍數中最小的那個稱為這些正整數的最小公倍數。
小学奥数数论竞赛常考知识点：约数与倍数
小学奥数数论竞赛常考知识点：约数与倍数
约数与倍数约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b 就叫做a的约数。
公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数;其中的一个，叫做这几个数的公约数。
公约数的性质：1、几个数都除以它们的公约数，所得的几个商是互质数。
2、几个数的公约数都是这几个数的约数。
3、几个数的公约数，都是这几个数的公约数的约数。
4、几个数都乘以一个自然数m，所得的积的公约数等于这几个数的公约数乘以m。
例如：12的约数有1、2、3、4、6、12;18的约数有：1、2、3、6、9、18;那么12和18的公约数有：1、2、3、6;那么12和18的公约数是：6，记作(12，18)=6;求公约数基本方法：1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。
3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的公约数。
公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
12的倍数有：12、24、36、48……;18的倍数有：18、36、54、72……;那么12和18的公倍数有：36、72、108……;那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36;最小公倍数的性质：1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
2、两个数公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数;2、分解质因数的方法
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六年级奥数约数与倍数(一)学生版
1. 六年级奥数约数与倍数〈一〉学生版2. 本讲核心目标：让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识, 例如：〈1〉约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系； 〈2〉整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...⨯⨯⨯☆☆☆△△△的结构,而且表达形式唯一”一、 约数、公约数与最大公约数概念〈1〉约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数a 能被整数b 整除,a 叫做b 的倍数,b 就叫做a 的约数；〈2〉公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数,称这个整数为它们的“公约数”； 〈3〉最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数；〈4〉0被排除在约数与倍数之外1． 求最大公约数的方法⒈分解质因数法：先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来．例如：2313711=⨯⨯,22252237=⨯⨯,所以(231,252)3721=⨯=；⒉短除法：先找出所有共有的约数,然后相乘．例如：2181239632,所以(12,18)236=⨯=；3.辗转相除法：每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数,得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数,得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数,得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数,直到余数是0为止．那么,最后一个除数就是所求的最大公约数．〈如果最后的除数是1,那么原来的两个数是互质的〉．例如,求600和1515的最大公约数：151********÷=；6003151285÷=；315285130÷=；28530915÷=；301520÷=；所以1515和600的最大公约数是15．2． 最大公约数的性质⒈几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数；⒉几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数；3.几个数都乘以一个自然数n ,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以知识点拨教学目标5-4-1.约数与倍数（一）n ．3． 求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数,其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个分数的分子的最大公约数b ；b a即为所求． 4． 约数、公约数最大公约数的关系〈1〉约数是对一个数说的；〈2〉公约数是最大公约数的约数,最大公约数是公约数的倍数二、倍数的概念与最小公倍数〈1〉倍数:一个整数能够被另一整数整除,这个整数就是另一整数的倍数〈2〉公倍数:在两个或两个以上的自然数中,如果它们有相同的倍数,那么这些倍数就叫做它们的公倍数〈3〉最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。
五年级奥数专题 约数、倍数、完全平方数(学生版)
学科培优数学“约数、倍数、完全平方数”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲中的知识点并不难理解,对于约数、最大公约数；倍数、最小公倍数的定义我们在学校的课本上都已经学习过,所以重点在于一些性质的应用,完全平方数在考试中经常出现,所以对于平方差公式还有一些主要性质一定要记住.知识梳理一、最大公约数与最小公倍数的常用性质(1)两个自然数分别除以它们的最大公约数,所得的商互质。
即若(,),(,),=⨯=⨯那么(,)1a b=A a a bB b a b(2)两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。
即(,)[,]⨯=⨯a b a b a b(3)对于任意3个连续的自然数,如果三个连续数的奇偶性为a)奇偶奇,那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数b)偶奇偶,那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍二、约数个数与所有约数的和(1)求任一整数约数的个数：一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。
(2)求任一整数的所有约数的和：一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后,将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和,然后再将这些得到的和相乘,乘积便是这个合数的所有约数的和。
三、完全平方数常用性质1.主要性质●完全平方数的尾数只能是0,1,4,5,6,9。
不可能是2,3,7,8。
●在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
●完全平方数的约数个数是奇数,约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
●若质数p整除完全平方数2a,则p能被a整除。
2.一些推论●任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
●一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
●自然数的平方末两位只有：00,01,21,41,61,81,04,24,44,64,84,25,09,29,49,69,89,16,36,56,76,96。
(完整版)约数和倍数(小学奥数)
（十六）约数和倍数例1.边长1米的正方体2100个，堆成了一个实心的长方体，它的高是10米，长、宽都大于高。
问长方体的长与宽的和是几米？例2.正整数a乘以120，得到一个完全平方数，a的最小值是多少？例3.有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子钟响铃又亮灯。
问：下一次响铃又亮灯是几点钟？例4.四个小孩的年龄依次相差1岁，他们年龄的乘积是5040，他们的年龄和是多少岁？例5.一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积。
这个数有许多约数是两位数，这些两位的约数中，最大的是几？例6.两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是420。
已知其中一个自然数是42，那么另一个自然数是多少？例7. 说明：360这个数的约数有多少个？这些约数的和是多少？例8.求100以内恰好有8个约数（包括1和它本身）的所有自然数。
例9.已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。
例10.在100以内与77互质的所有奇数之和是多少？练习1. 求720的所有约数的个数。
2. 正整数a乘以378，得到的最小完全平方数是多少？3. 能被2，3，4，5，6，7，8，9，10这九个数整除的最大的六位数是多少？4. 50以内最小质数与最大质数之和是多少？5. 将长为6厘米、宽为4厘米、高为8厘米的长方体积木，叠成最小的正方体，最少要用积木多少块？6. 长96厘米、宽72厘米的长方形白纸裁成同样大小的正方形且无剩余，至少可以裁成多少块？7. 求50以内约数最多的自然数。
8.小红每隔5分钟发一封电子邮件，小明每隔9分钟发一封电子邮件，小丽每隔12分钟发一封电子邮件，今天上午8点三人同时发出电子邮件，下一次同时发电子邮件是什么时间？9. A，（A＋4），（A＋6），（A＋10），（A＋12），（A＋16），（A＋22）均为质数，那么A是多少？10. 求5040的所有约数的和。
约数和倍数重点
★约数（因数）、倍数相关重点1、整除：如果a÷b是两个整数相除，而且商也是整数而没有余数（除数b不能为0）我们就说a能被b 整除或b能整除a在整数中，0是一个特殊的数。
0乘以任何数等于0，所以0是任何非零自然数的倍数，任何非零自然数都是零的约数。
2、约数（因数）、倍数：如果a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。
如：a÷b=c或b×c=a（a、b、c都是整数，b不等于0）则：a是b和c的倍数，b是c和a的约数★一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。
★一个数的倍数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
3、关于2、3、5的倍数的特征：⑴一个数，个位上的数字如果是0、2、4、6、8，这个数一定能被2整除。
⑵一个数，个位上的数字如果是0、5，这个数一定能被5整除。
⑶一个数的各位数字之和是三的倍数，这个数就一定能被3整除。
4、约数、公约数、公倍数：约数：一个数的因数就是它的约数。
★公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数（或公因数）。
★最大公约数：几个数的公约数中最大的一个就是几个数的最大公约数。
★公倍数：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数。
★最小公倍数：几个数的公倍数中最小的一个就是这几个数的最小公倍数。
(没有最大公倍数）☆成倍数关系的两个数，最大公约数是小数，最小公倍数是大数。
5、质数、互质数：质数：只有1和它本身两个因数的数叫质数（或素数）。
互质数：只有公约数1的两个数，叫做互质数★如果两个数是互质数，那么它们的最小公倍数就是它们的乘积。
★如果两个数成倍数关系，那么它们的最小公倍数就是较大的数。
★分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
这叫做分数的基本性质（分数的基本性质源于除法的：被除数和除数同时乘以或除以相同的数，<0除外>商不变。
）6、最简分数：分子和分母只有公约数1的分数叫做最简分数。
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小学奥数竞赛常考知识点：约数与倍数约数与倍数
约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做
a的约数。
公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数;其中的一个，叫做这几个数的公约数。
公约数的性质：
1、几个数都除以它们的公约数，所得的几个商是互质数。
2、几个数的公约数都是这几个数的约数。
3、几个数的公约数，都是这几个数的公约数的约数。
4、几个数都乘以一个自然数m，所得的积的公约数等于这几个数
的公约数乘以m。
例如：12的约数有1、2、3、4、6、12;
18的约数有：1、2、3、6、9、18;
那么12和18的公约数有：1、2、3、6;
那么12和18的公约数是：6，记作(12，18)=6;
求公约数基本方法：
1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。
3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的公约数。
公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
12的倍数有：12、24、36、48……;
18的倍数有：18、36、54、72……;
那么12和18的公倍数有：36、72、108……;
那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36;
最小公倍数的性质：
1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
2、两个数公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数;2、分解质因数的方法。