小学数学《约数与倍数》练习题

小学数学《约数与倍数》练习题一、 约数的概念与最大公约数0被排除在约数与倍数之外1． 求最大公约数的方法①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以(231,252)3721=⨯=；②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：2181239632，所以(12,18)236=⨯=；③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．例如，求600和1515的最大公约数：151********÷=L ；6003151285÷=L ；315285130÷=L ；28530915÷=L ；301520÷=L ；所以1515和600的最大公约数是15．2． 最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n ． 3． 求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个分数的分子的最大公约数b ；b a即为所求． 二、倍数的概念与最小公倍数1. 求最小公倍数的方法①分解质因数的方法；例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以[]22231,252237112772=⨯⨯⨯=；②短除法求最小公倍数； 例如：2181239632，所以[]18,12233236=⨯⨯⨯=； ③[,](,)a b a b a b ⨯=．2. 最小公倍数的性质①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a ；求出各个分数分母的最大公约数b ；b a 即为所求．例如：35[3,5]15[,]412(4,12)4== 注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：[]()1,414,4232,3⎡⎤==⎢⎥⎣⎦ 三、最大公约数与最小公倍数的常用性质1． 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。

如果m 为A 、B 的最大公约数，且A ma =，B mb =，那么a b 、互质，所以A 、B 的最小公倍数为mab，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：①A B ma mb m mab⨯=⨯=⨯，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；②最大公约数是A、B、A B-及最小公倍数的约数．+、A B2．两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。

即(,)[,]⨯=⨯，此性质比较简单，学生比较容易掌握。

a b a b a b3．对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数例如：567210⨯⨯=，210就是567的最小公倍数b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍例如：678336÷=⨯⨯=，而6,7,8的最小公倍数为3362168性质（3）不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。

最大公约数与最小公倍数【例 1】144、324、600各有多少约数？他们共同的约数有哪些？其中最大的是哪一个？【例 2】现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？【拓展】10个非零不同自然数的和是1001，则它们的最大公约数的最大值是多少？【例 3】用1~9这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数，求这些数的最大公约数．【例 4】已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？【例 5】已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数．【例 6】已知正整数a、b之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么a、b中较大的数是多少？【例 7】已知自然数A、B满足以下2个性质：（1）A、B不互质（2）A、B的最大公约数与最小公倍数之和为35。

那么A+B的最小值是多少？【巩固】两个整数A、B的最大公约数是C，最小公倍数是D，并且已知C不等于1，也不等于A或B，C+D=187，那么A+B等于多少？【例 8】有两个自然数，它们的和等于297，它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693，这两个自然数的差是．【例 9】甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少?【巩固】a>b>c是3个整数.a,b,c的最大公约数是15；a,b的最大公约数是75；a,b的最小公倍数是450；b,c的最小公倍数是1050.那么c是多少?【例 10】N为自然数，且1N+，2N+、……、9N+与690都有大于l的公约数．N的最小值为多少？约数倍数的应用【例 11】把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问：能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？【例 12】有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，三样水果各多少？【例 13】(西城区13中入学试题)一次考试，参加的学生中有17得优，13得良，12得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满50人，那么得差的学生有多少人？【例 14】马鹏和李虎计算甲、乙两个两位数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积473；李虎把甲数的十位数字看错了，得乘积407，那么甲、乙两数的乘积应是______.【例 15】有一些小朋友排成一行，从左面第一人开始每隔2人发一个苹果；从右面第一人开始每隔4人发一个桔子，结果有10个小朋友苹果和桔子都拿到.那么这些小朋友最多有多少人？练习1 100个非0自然数的和等于2006，那么它们的最大公约数最大可能值是（）。

练习2 已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120，求这两个数．练习3 两个自然数的和是125，它们的最大公约数是25，试求这两个数．练习4 教师节那天，某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨，用来慰问退休的教职工，问用这些果品，最多可以分成多少份同样的礼物(同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼此相等)？在每份礼物中，苹果、桔子、鸭梨各多少个？练习5 一次考试，参加的学生中有17得优，14得良，13得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满100人，那么得差的学生有多少人？约数个数定理与约数和定理1．求任一整数约数的个数一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。

如:1400严格分解质因数之后为32257⨯⨯，所以它的约数有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24个。

(包括1和1400本身)约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌握。

难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。

2．求任一整数的所有约数的和一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。

如：33=⨯⨯⨯，所以21000所有约数的和为2100023572323++++++++=(1222)(13)(1555)(17)74880此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记忆即可。

约数个数问题【例 16】数160的约数个数是多少？它们的和是多少？它们的积呢?【例 17】求在1到100中，恰好有10个约数的所有自然数.【巩固】在1到100中，恰好有6个约数的数有多少个？【例 18】一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数之和为10，那么此数为几？【例 19】有一个自然数，它的个位是零，它共有8个约数，这个数最小可能是多少？【例 20】求所有能被30整除，且恰有30个不同约数的自然数．【例 21】自然数N有45个正约数。

N的最小值为。

【巩固】在有12个约数的数中，最小的一个正整数是多少？【例 22】已知A是一个有12个约数的合数，8A、10A有24个约数，12A有40个约数，求15A有多少个约数？【铺垫】已知偶数A不是4的整数倍，它的约数的个数为12，求4A的约数的个数.【例 23】能被2145整除且恰有2145个约数的数有个．【巩固】1001的倍数中，共有个数恰有1001个约数．【例 24】 如果一个自然数的2004倍恰有2004个约数，这个自然数自己最少有多少个约数？约数倍数综合运用【例 25】 筐里有300个桃子，如果不是一次全部拿出，也不一个一个地拿，要求每次的个数同样多，拿到最后正好不多不少，问共有多少种不同的拿法？【例 26】 设A 共有9个不同的约数，B 共有6个不同的约数，C 共有8个不同的约数，这三个数中的任何两个都不整除，则这三个数之积的最小值是多少？【例 27】 已知A 数有7个约数，B 数有12个约数，且A 、B 的最小公倍数[],1728A B =，则B = ．【例 28】 已知m n 、两个数都是只含质因数3和5，它们的最大公约数是75，已知m 有12个约数，n有10个约数，求m 与n 的和．【巩固】A 、B 两数都只含有质因数3和2，它们的最大公约数是18．已知A 有12个约数，B 有8个约数，那么A B +=______．【例 29】 要使129m n ⨯这个积是56的倍数，并要使m n +最小，则___,___m n ==．【例 30】 自然数n 是48的倍数，但不是28的倍数，并且n 恰好有48个约数(包括1和它本身)，那么n 的最小值是多少？练习1 24有多少个约数？这些约数的和是多少？练习2 在三位数中，恰好有9个约数的数有多少个？练习3 已知A 有12个约数，9A 有24个约数，15A 有36个约数，5A 有多少个约数？练习4 能被210整除且恰有210个约数的数有 个．练习5 ,a b 两数的最大公约数是12，已知a 有8个约数，b 有9个约数，求a 和b 。