高中数学苏教选修1-2课件：2.1.1第2课时类比推理

第2课时类比推理学习目标导航1•结合实例，理解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理.（重点\难点）2.区别归纳推理与类比推理，了解合情推理的合理性.（易混点）［基础•初探］教材整理1类比推理阅读教材P34“例1”以上部分，完成下列问题.根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也竺或週5像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法.其思维过程为: I观察、比较IT联想、类推IT猜测新的结论I。

微体验1.判断正误：(1)类比推理是特殊到特殊的推理.()(2)类比推理的结论一定正确.() 【答案】(1)7⑵X2•对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想:正四面体的内切球切于四面各正三角形的.【导学号：97220011] 【解析】“边的中点”类比为“各面的中心”.【答案】中心教材整理2合情推理阅读教材P35”练习”以上部分，完成下列问题.1.合情推理的含义根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程称为合情推理.归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理.2•合情推理的特点(1)合情推理的结论超越了前提所包容的范围，带有猜想的成分，因此推理所得的结论未必正确；(2)合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供证明的思路利方向的作用.-------- 0微体验0 --------如图2-1-9所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n>l, 个点，每个图形总的点数记为如则a6= __________ , a n=*_______ (n>b /i^N).0000000 00000 00 000000000000000n=2n=3n=4n=5图2-1-9【解析】依据图形特点，可知第5个图形中三角形各边上各有6个点, 因此“6=3X6-3=15.由“=2,3,4,5,6的图形特点归纳得给=3炉3（〃＞1,胆N）.【笞条】15 3n-3［质疑•手记］预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问1: ____________________________________________解惑：_____________________________________________疑问2： ____________________________________________解惑：_____________________________________________疑问3： ____________________________________________在等差数列｛如中,若〃io=O,则有等式〃i+〃2 a n =a[-\~a 2+・・・+〃19.心＜19, “WN ）成立•类比上述性质，相应地，在等比数列｛仇｝中，若 饲=1，则有什么样的等式成立？阶段2E8WW 分组讨论疑难细究 类型1 ►数列中的类比推理＞例【精彩点拨】在等差数列与等比数列的类比中，等差数列中的和类比等比数列中的积,差类比商,积类比幕.【自主解劄在等差数列如中，"10=0,•••〃1+〃2 + ・'・+给+・・・+〃19 = 0,即〃1+〃2+・・・+给=-〃19-〃18"'5+1・又由如0 = 0,得〃］+ “］9二〃2 + "18二…二〃“ + ^20-/i= 〃”+］+ 〃］9・"=2〃］0二0, • •〃］ = -〃］9，〃2 =・〃18，…，”19叨=・覘+1，•••〃1+〃2 + ・・・+〃" = 〃1+〃2+八・+〃19・"，右〃9 = 0，同理可得〃1+〃2+…+给=〃1+〃2+…+"17说, 相应的，在等比数列｛九｝中，若加=1，则可得0］仇…仇=如2"力17•血＜17，名师區1•有关数列的类比推理必须寻找合适的类比对象，从等差、等比数列的定义、性质、通项公式与前〃项和公式探求，充分挖掘事物的本质及内在联系.2.类比推理的一般步骤为：（1）找岀两类对象之间可以确切表述的相似性（或一致性）；（2）用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得岀一个猜想；（3）检验这个猜想.［再练一题］1若数列是等差数列，则有数列你/+"卄：4"%詢) r t也是等差数列•类比上述性质，相应地：若数列{c…}(neN*)是等比数列，且c“>0,则数列d,=_______ (”GN*)也是等比数列.【解析】和类比积，高类比开方，因此妒勺C|-C2-C3，,,,-C…【答案】Ci・C2・C3・・・・・C〃如图2-1-10所尔，在平面上，设九，论九分别是AA5C三条边上的高，P为AABC内任意一点，P到相应三边的距离分别为类型2►类比推理在几何中的应用＞例C仇，卩決Pc，可以证明此结论，通过类比写岀在空间中的类似结论，并加以证明.【精彩点劇三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某-面为底面的高.•'△PBC +S △刊 c+^PAB =^ABC^ S APBC+S △刊 C +S △刊 BS HABC【自主解答】 S AABC 'jBC-h aA类比上述结论得岀以下结论：如图所示,在四面体仙CD中，设九，加, h加分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P为该四面体内任意一点，P 到相应四个面的距离分别为仇,Pb，Pc，P"石6 8^.^ H辛f + + 82^ +・倉；£ 仝 壇上—乞旱f —eMCD ’£XDa/svi名师區1•一般地，平面图形与空间图形类比如下:平面图形占小\线边长面积线线角三角形空间图形线面面积体积二面角四面体2.类比推理的一般步骤⑴找岀两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论.［再练一题］2.在上例中,若MBC的边长分别为〃，b, c,其对角分别为A, B, C,那么由a=bcos C+c・cos B可类比四面体的什么性质？【解】在如图所示的四面体中，Si，S2, S3, S分别表示△刊从APBC,猜想S=Si・cos a+S2・cos Sy cos y.APCA, MBC的面积,Ba, B，卩依次表示平面刊B,平面PBC,平面PCA与底面ABC所成二面角的大小.［探究共研型］探究1鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的.因此，它们在形状上也应该类似, “锯子”应该是齿形的.你认为该过程为归纳推理还是类比推理？【提示】类比推理.猜想S=Si・cos a+S2・cos Sy cos y.探究2在计算"1X2+2X3+…+〃（〃+1）”时，有如下方法: 先改写第k 项：綿:+1）二広伙+1）伙+2）-伙-1敝+1）］,由此得1X2=^（1X2X3-OX1X2）,2X3吕（2X3X4-1X2X3）,〃（〃+1）=亍［〃（〃 +1 ）（〃+2）-（〃-1 +1）］,相加得lX2+2X3+・・・+〃（卄1）=神+1）（〃+2）.类比上述方法，请你计算“1X3+2X4+…+灾+2）” ,其结果写成关于〃的一次因式的积的形式为【提示】1X3=&X(1X2X9-OX1X7),2X4=*X(2X3X11-1X2X9),3X5=*X(3X4X13-2X3X11),"(〃+2)=§["("+1 )(2〃+7)-(〃-1 )n(2n+5)],各式相加，得1X3+2X4+3X5+…+"(〃+2)=子(“+1)(2”+7).已知椭圆具有性质：若M, N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点，当直线PM PN的斜率仏力R PN都存在时，那么kpM2 2与畑V之积是与点P的位置无关的定值，试写出双曲线》点=1（〃>0, 0>0）具有类似特征的性质，并加以证明.【精彩点拨】双曲线与椭圆类比椭圆中的结论2 2【自主解答】类似性质：若M, N为双曲线》点=1(">0, b>0)上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM, PN的斜率你护kpN 都存在时，那么与你“之积是与点P的位置无关的定值.证明如下：设点M, P的坐标分别为(m, n), (x, y),则N(-m, -n).因为点M(加，“)是双曲线上的点，>2 ,2所以，二严2-/.同理# =尹2-於I 2 2 2 2丿、M PA A V—“兀+〃厂『训2—代2训名师區1•两类事物能进行类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征.2•进行类比推理时，首先，找岀两类对象之间可以确切表达的相似特征；然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想.［再练一题］3.三角形的面积为S=*/+b+c）门“、b、c为三角形的边长，厂为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为____ •【解析】blBC的内心为0,连结0A, OB, 0C（图略），将分割为二个小二角形’这二个小三角形的髙都是/*,底边长分别为"，b, c；类比：设四面体A-BCD的内切球球心为0,连结04, OB, 0C, 0D,将四面体分割为四个以0为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r,所以有y=js[+S2 +S3+S4）/:【答案】亍（Si+Sz+Ss+SJHSi，S2, S3, S4为四个面的面积，/为内切球的半径）［构建•体系］合情推理|—_____________ P定义匚类比推理一ZZ思维过程•体验落实评价［课堂回馈即时达标）1•在平面上，若两个正三角形的边长的比为1 : 2,则它们的面积比为1 : 4, 类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1：2,则它们的体积比为【解析】由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1 ：2,则它们的体积之比为1 ： 8.【答案】1：82.正方形的面积为边长的平方，则在立体几何中，与之类比的图形是 ----------- ，结论是_______ .【导学号：97220012] 【杏条】正方体正方体的体积为棱长的立方上30列｛阳中，若九是｛如的前〃项和.可类比得到的结论是___単也成等比数列，且公比为4叫类比上述结论，相应地，在公差为3的等差数【解析】因为等差数列｛如的公差d二3,所以©30*20)-©20$0)二(“21 + “22 〃30卜@ 11 + 〃12 “20) =10〃+10〃+・・・ + 10〃= 100Q300,10个同理可得：(54O-53O)-(53O-52O)=3OO,所以数列520-S10, SaSM，S40-S30是等差数列，且公差为300.即结论为：数列%510, S30-S20, S40-S30也是等差数列，且公差为300.跆菜】数列S20-S1O，S30-S20，S40-S30也是等差数列，且公差为300 4•类比圆的下列特征，找出球的相关特征.(1)平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆;(2)平面内不共线的3个点确定一个圆;(3)圆的周长与面积可求.【解】⑴在空间中，与定点距离等于定长的点的集合是球;(2)空间中不共面的4个点确定一个球；(3)球的表面积与体积可求.我还有这些不足：(1) ___________________⑵___________________ 我的课下提升方案；(1) ___________________(2) __________________学业分层测评（四）点击图标进入…。