【创意版】傅里叶变换性质-傅里叶变换的性质证明.ppt
合集下载
第三章傅里叶变换的性质.ppt
0
f (t)奇函数：X ()
f (t)sin tdt 2
f (t)sin tdt
0
X () 0
R() 0
可见，R()=R(- )为偶函数； X()= -X(- )为奇函数； 若 f (t)是实偶函数，F(j )=R() 必为实偶函数。 若 f (t)是实奇函数，F(j )=jX() 必为虚奇函数。
1 T
(t
T
)
F( j)
T
根据时域微分特性：
( j)2 F ( j) 1 e jT 2 1 e jT ,
0 2
T
TT
T
F(
j )
2
2T
(1
cosT )
4
2T
sin
2 (T
2
)
TSa2 (T
2
)
第三章第1讲
12
频域微分和积分特性
公式：
( jt)n f (t) F (n) ( j) f (0) (t) 1 f (t) F (1) ( j)
表明信号过延程时都了是t0在秒频并谱不搬会移改的变基其础频上谱完的成幅的度。，但是 使其相位变化了 - t0
频移特性： f (t)e j0 t F[ j( 0 )]
表明信号 f (t)乘以 e j0 t，等效于其频谱 F(j)沿频率右移 0
因为： cos 0 t
1 2
(e
j0 t
e
j0 t
)
sin
0t
1 2j
(e
j0 t
经典傅里叶变换讲解ppt课件
)dt
t2 t1
t2 t1
f (t) sin(n1t)dt
6
或
f
(t )
a0 2
(an
n 1
cos n1t
bn
sin n1t)
傅里叶级数的 三角展开式
2
an t2 t1
t2 t1
f (t )cos(n1t )dt
同上式
另一种形式
f
(t )
a0 2
cn
n 1
cos(n1t
n )
t
T 4
,
Fn
T
Sa( n
T
)
1 4
Sa( n
4
)
第一个过零点为n =4 。 Fn 在 2π/ 有 4值1（谱线）
T
f (t)
1
2
o
2
谱线间隔 2π T
1 Fn
4
2
O
T
t
第一个过零点：
Sa(
2
)
0
π 2
2π
23
情况2：
T 8
,
Fn
T
Sa( n
T
)
1 8
Sa( n
8
)
第一个过零点n=8
2
)
21
（2）双边频谱：
1
Fn T
/2
e jn1 tdt
1
e jn1 t
/2
2
sin
n1 2
b
b2 4ac
/ 2
T jn1 / 2 T n1
2a
T
sin
n1 2
n1
2
T
Sa( n1
2
傅里叶ppt课件
t0的 傅 氏 变 换 及 其 t0
积 分 表 达 式 ,其 中 0.
F()f(t)ejtdt
etejtdte(j)tdt 1
0
0
j
j 2 2
f(t)21 F()ejtd21 2 j2ejtd
10cos2t 2sintd
完整编辑ppt
33
因此
0
cost sint
0
2 2
0
0
其中
+
+
A () f() c o sd , B () f() s i nd .
(2.3)
(2.2) 是 f(t) 的傅里叶积分公式的三角形式
f(t) A(),B()
完整编辑ppt
20
傅里叶积分定理：若函数 f(t) 在区间 (,+) 上满足条件
(1) 在任意有限区间满足狄里克雷条件,
完整编辑ppt
40
(5)
F [ej0tf(t)]F(0)
像函数的 位移性质
F[ej0t f(t)] f(t)ej(0)tdt F(0).
完整编辑ppt
41
(6) 卷积定理 原函数的卷积与像函数的乘积间的关系
F[f1(t)]F1(), F[f2(t)]F2()
F [f1 ( t) f2 ( t) ] F 1 ()F 2 ()
kt
l
,
完整编辑ppt
10
偶函数 f(x) 有
f(t)a0
2
+
ak
k1
coskt,
l
ak
1 l
l f ( ) cos k d ,
l
l
bk
1 l
l f ( ) sin k d .
傅里叶变换性质-傅里叶变换的性质证明ppt课件
第 29 页
2Eej24E2Eej2 j 2F 2 F
F 12 2 E ej24 E 2 E e j2
122Eej22ej2
2 E 2 ej4 e j4 2 2 E 2 2jsi4 n 2
2
8E2
s
in 4
2
4
精品4课件2
ESa2
2 4
29
X
例3-7-8
E
2
4 o 4
持续时间短，变化快。信号在频域高频分量增加，频
带展宽，各分量的幅度下降a倍。
此例说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比，
有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则 要以展开频带为代价。
精品课件
9
( 3 ) a 1 f t f t , F F F *
2．例
ut 1 1sgntF 1
22
j
精品课件
5
三．奇偶虚实性
若 f( t) F () ， f( t)则 F ( )
证明：
由定义
F f(t)f(t)e jtd tF ()
可以得到
F f ( t ) f ( t ) e j td t f ( u ) e j u d u F ( )
幅度频谱无变化，只影响相位频谱，
相移 t0左 右
t0 t0
时移加尺度变换
若 f(t)F() 则fatb1Fejab
a a
仿at
1 a
t的证
精品课件
明
过
程
11
六．频移特性
1．性质
若f(t) F()
则ff((tt))e e j j 0t0t F F 00 0为常数号 ，注
2．证明
傅立叶变换ppt课件
信号处理
在信号处理中，傅立叶变换和逆变换 是常用的工具，用于分析信号的频谱 特性和时域特性。
逆变换的计算方法
直接计算法
对于一些简单的函数，可以通过直接计算得到其逆变换。这种方法 需要手动计算，比较繁琐。
查表法
为了方便计算，可以制作一个傅立叶变换和逆变换的表格，通过查 表得到函数的逆变换。这种方法比较快捷，但需要制作表格。
对于非周期信号，傅立叶变换的结果 可能存在频谱泄露现象，需要进行窗 函数处理或加权平均处理。
THANKS
感谢观看
总结词
线性组合的性质
详细描述
傅立叶变换具有线性组合的性质，即对于两个函数的和或差的傅立叶变换，等 于各自傅立叶变换的线性组合。
移位性质
总结词
时间或频率的平移不变性
详细描述
傅立叶变换具有时间或频率的平移不变性，即函数在时间或频率轴上平移一定量 ，其傅立叶变换的结果也相应平移。
微分性质
总结词
频域的微分运算性质
更好地分析和处理信号。
信道容量分析
利用傅立叶变换可以分析信道的传 输特性，从而确定信道的容量。
多载波传输
在多载波传输中，傅立叶变换被用 于将高速数据流分解成多个低速数 据流，以便于在多个载波上传输。
04
CATALOGUE
傅立叶变换的逆变换
逆变换的定义
逆变换
如果一个函数f(t)的傅立叶变换存 在，那么可以找到一个函数F(ω) ，使得f(t) = F(-ω)。这个过程就 是逆傅立叶变换。
MATLAB中傅立叶变换的示例
01
img = imread('image.jpg');
02
img_fft = fft2(double(img));
傅里叶变换的性质PPT课件ppt文档
根据三角函数的运算法则,式(4―6)还可写成式(4―10)。
f (t) c0
n 1
c0
1 2
c
An cos(n 0t n )
An
a
2 n
b
2 n
tan n
an bn
(4―10)
(4―11) (4―12) (4―13)
式(4―6)还可写为如下形式
f (t) c0
n 1
1 2
An{[cos(n 0t n )
T
T 2 0
1 sin(2nft)dt
2 T
1 [cos(2nft)] 2 nft
0 T
2
2 T
1
2 nf
[ cos(2 nft)]
T
2 0
2 (1 n ) n
0,
4
n
n 2,4,6, n 1,3,5,
c2 T
T
2 T
2
f(t)dt0
f(t)4[sin2ft13sin6ft15sin10f
Tn 2
f (t) 1 …
－T 0 T
22
…
2T
t
图4.3 矩形脉冲
考虑到Ω=2π/T,上式也可以写为
Fn
1 nT
sin
n
T
,n
0, 1, 2,
根据式（4―16）可写出该周期性矩形脉冲的指数形
式傅里叶级数展开式为
f (t)
Fne jnt
n
n
1 sin n e jnt n T
图4.4画出了T=4τ的周期性矩形脉冲的频谱。由于
j sin(n 0t n )]
1
n
1 2
[cos(n
傅里叶变换__经典ppt
1
§1 Fourier积分公式 积分公式
1.1 Recall: 在工程计算中, 无论是电学还是力学, 在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随时间 变化的周期函数f 打交道. 例如: 变化的周期函数 T(t)打交道. 例如:
t 具有性质f 称作周期, 具有性质 T(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表 代表 单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹( 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz). , ).
sinc(x)
x
12
前面计算出
1 cn = sinc(ωn ) (n = 0, ±1, ±2,L) 2 2π nπ ωn = nω = n , 可将cn以竖线标在频率图上 = T 2
ω
13
现在将周期扩大一倍, 现在将周期扩大一倍 令T=8, 以f (t)为基础构造 为基础构造 一周期为8的周期函数 的周期函数f 一周期为 的周期函数 8(t)
6
1 合并为： 合并为： cn = T
+∞
∫
fT (t )e −T 2
T 2
−in ωt
dt (n = 0, ±1, ±2,L)
级数化为： 级数化为：
n =−∞
cne in ωt ∑
T 2 1 +∞ = ∑ ∫ fT (τ )e −in ωτ dτ e in ωt T n =−∞ −T 2
19
积分公式与Fourier积分存在定理 1.2 Fourier积分公式与 积分公式与 积分存在定理
− T , T 上满足Dirichlet条件, 设fT (t ) 为T − 周期函数，在 2 2 则 fT (t ) 可展开为Fourier级数: fT (t ) =
傅里叶变换原理PPT课件
根据傅氏积分公式，函数f(t)能取傅立叶积分变换的前提条件是它首 先应绝对可积，即
实际上这个条件非常强，它要求f(t)条件较高，因而一些常见的函数都不 满足这一点.如
34
第34页/共53页
如此以来，较强的条件使得傅立叶变换的应 用受到限制. 为克服这一缺陷，我们把单位脉冲 函数及其傅氏变换应用到其他函数的傅氏变换 中，得到它们的广义傅氏变换. 实际运算时，我 们通常用傅氏逆变换来推证.
15
第15页/共53页
简称傅氏变换,记为 简称傅氏逆变换,记为
F F
还可以将 f(t) 和 F(w)用箭头连接: f(t) F(w) .
16
第16页/共53页
f (t)
o
第17页/共53页
t
17
解:根据定义, 有
这就是指数衰减函数的傅氏变换.
18
第18页/共53页
根据积分表达式的定义,有
注意到
1
2
1 2
1 2
1 2
1, 0,
t0 t0
u(t ).
证毕.
38
第38页/共53页
例3 求
的傅氏逆变换.
解：由定义，有
F 1[d (w w0 )]
1
2
d
(w
w0
)e iw
t
dw
特别地 故 得到
1 e iw0 t .
2
F 1[d (w)]
1
2
.
39
第39页/共53页
于是，有
例4 求正弦函数 f(t)=sinw0 t 的傅氏变换.
基于这种思想，便产生了积分变换.
其主要体现在：
数学上：求解方程的重要工具； 能实现卷积与 普通乘积之间的互相转化.
实际上这个条件非常强，它要求f(t)条件较高，因而一些常见的函数都不 满足这一点.如
34
第34页/共53页
如此以来，较强的条件使得傅立叶变换的应 用受到限制. 为克服这一缺陷，我们把单位脉冲 函数及其傅氏变换应用到其他函数的傅氏变换 中，得到它们的广义傅氏变换. 实际运算时，我 们通常用傅氏逆变换来推证.
15
第15页/共53页
简称傅氏变换,记为 简称傅氏逆变换,记为
F F
还可以将 f(t) 和 F(w)用箭头连接: f(t) F(w) .
16
第16页/共53页
f (t)
o
第17页/共53页
t
17
解:根据定义, 有
这就是指数衰减函数的傅氏变换.
18
第18页/共53页
根据积分表达式的定义,有
注意到
1
2
1 2
1 2
1 2
1, 0,
t0 t0
u(t ).
证毕.
38
第38页/共53页
例3 求
的傅氏逆变换.
解：由定义，有
F 1[d (w w0 )]
1
2
d
(w
w0
)e iw
t
dw
特别地 故 得到
1 e iw0 t .
2
F 1[d (w)]
1
2
.
39
第39页/共53页
于是，有
例4 求正弦函数 f(t)=sinw0 t 的傅氏变换.
基于这种思想，便产生了积分变换.
其主要体现在：
数学上：求解方程的重要工具； 能实现卷积与 普通乘积之间的互相转化.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
如果f(t)中有确定的直流分量，应先取出单独求傅里 变换，余下部分再用微分性质。
优选文档
16
2．频域微分性质
推广 或
优选文档
17
八．时域积分性质
也可以记作：
优选文档
18
证明
因为
综合上述两种情况
优选文档
19
等效脉冲宽度与等效频带宽度
f t f 0
F F 0
O
t
O
f td t
f 0
B
F
d
F 0B
f 0 1
2
F e jt d
t0
F0 f td t
等效脉冲宽
1
2
F
d
2
1
B
优选文档
Bf
度与占有的 等效带宽成
反比。
20
例3-7-2
例3-7-1
相移全通 网络
优选文档
21
例3-7-3
优选文档
22
例3-7-4（时移性质，教材3-2）
求图(a)所示三脉冲信号的
f t
频谱。
E
解：
令f0 t 表示矩形单脉冲
要以展开频带为代价。
优选文档
9
优选文档
10
五．时移特性
幅度频谱无变化，只影响相位频谱，
时移加尺度变换
优选文档
111．性质Biblioteka 六．频移特性2．证明
优选文档
12
3．说明
4．应用
通信中调制与解调，频分复用。
优选文档
13
七．微分性质
时域微分性质
频域微分性质
或
优选文档
14
1．时域微分
注意
优选文档
15
注意
2
02
0
E
2
Sa
0 2
E
2
Sa
0 2
将包络线的频谱一分为二，向左、右各平移 0
F
E
2
0 O
0
0
2
( b ) 矩 形优调选文幅档信 号 的 频 谱
26
例3-7-5
求三角函数的频谱密度函数．
优选文档
27
分析
优选文档
28
X
29
第 页
优选文档
29
X
例3-7-8
解：
优选文档
§4.3 傅里叶变换的性质
优选文档
1
主要内容
对称性质 奇偶虚实性 时移特性 微分性质
线性性质 尺度变换性质 频移特性 时域积分性质
优选文档
2
意义
傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质揭示了 信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。 讨论傅里叶变换的性质，目的在于：
•了解特性的内在联系； •用性质求F(ω)； •了解在通信系统领域中的应用。
信号，其频谱函数F0 ,
F0
E
Sa
2
T
22
Tt
(a)三脉冲信号的波形
F0
E
2
O
(b)
优选文档
23
例3-7-9
方法一：先标度变换，再时延
方法二：先时延再标度变换
优选文档
相同
24
例3-7-6（教材例3-4）
已知矩形调幅信号 f t Gtcos0t ,
f t
其中Gt 为矩形脉冲，脉冲幅度为E，
30
例3-7-9
解：
优选文档
31
例3-7-10
1. 求单位阶跃函数的傅里叶变换 解：
解：
优选文档
32
证明
设f(t)是实函数（为虚函数或复函数情况相似，略）
显然
优选文档
33
证明
优选文档
34
续……
证明
变上限积分用带时移的 单位阶跃的无限积分表 示，成为
交换积分顺序
，
即先求时移的单位阶跃
信号的傅里叶变换
优选文档
3
一．对称性质
1．性质
2． 意义
优选文档
4
二．线性性质
1．性质
2．例
优选文档
5
三．奇偶虚实性
证明： 由定义 可以得到
优选文档
6
四．尺度变换性质
意义 (1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。 (2) a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
优选文档
说明…… 说明…… 说明……
7
3．意义
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。
优选文档
35
……续
优选文档
36
证明
即
优选文档
37
(flash)
优选文档
38
脉冲持续时间增加a倍，变化慢了，信号在频域的频
带压缩a倍。高频分量减少优选，文档幅度上升a倍。
8
（2）a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
持续时间短，变化快。信号在频域高频分量增加，频
带展宽，各分量的幅度下降a倍。
此例说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比，
有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则
E
脉宽为 ,试求其频谱函数。
解：
o
t
2
2
已知矩形脉冲Gt的频谱G 为
(a)矩形调幅信号的波形
G E Sa
因为
2
f
t
1 Gt
e e j0t
j0t
2
根据频移性质，f t频谱F 为
F 1 G 优选文档 1 G
25
2
02
0
频谱图
F 1 G 1 G
优选文档
16
2．频域微分性质
推广 或
优选文档
17
八．时域积分性质
也可以记作：
优选文档
18
证明
因为
综合上述两种情况
优选文档
19
等效脉冲宽度与等效频带宽度
f t f 0
F F 0
O
t
O
f td t
f 0
B
F
d
F 0B
f 0 1
2
F e jt d
t0
F0 f td t
等效脉冲宽
1
2
F
d
2
1
B
优选文档
Bf
度与占有的 等效带宽成
反比。
20
例3-7-2
例3-7-1
相移全通 网络
优选文档
21
例3-7-3
优选文档
22
例3-7-4（时移性质，教材3-2）
求图(a)所示三脉冲信号的
f t
频谱。
E
解：
令f0 t 表示矩形单脉冲
要以展开频带为代价。
优选文档
9
优选文档
10
五．时移特性
幅度频谱无变化，只影响相位频谱，
时移加尺度变换
优选文档
111．性质Biblioteka 六．频移特性2．证明
优选文档
12
3．说明
4．应用
通信中调制与解调，频分复用。
优选文档
13
七．微分性质
时域微分性质
频域微分性质
或
优选文档
14
1．时域微分
注意
优选文档
15
注意
2
02
0
E
2
Sa
0 2
E
2
Sa
0 2
将包络线的频谱一分为二，向左、右各平移 0
F
E
2
0 O
0
0
2
( b ) 矩 形优调选文幅档信 号 的 频 谱
26
例3-7-5
求三角函数的频谱密度函数．
优选文档
27
分析
优选文档
28
X
29
第 页
优选文档
29
X
例3-7-8
解：
优选文档
§4.3 傅里叶变换的性质
优选文档
1
主要内容
对称性质 奇偶虚实性 时移特性 微分性质
线性性质 尺度变换性质 频移特性 时域积分性质
优选文档
2
意义
傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质揭示了 信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。 讨论傅里叶变换的性质，目的在于：
•了解特性的内在联系； •用性质求F(ω)； •了解在通信系统领域中的应用。
信号，其频谱函数F0 ,
F0
E
Sa
2
T
22
Tt
(a)三脉冲信号的波形
F0
E
2
O
(b)
优选文档
23
例3-7-9
方法一：先标度变换，再时延
方法二：先时延再标度变换
优选文档
相同
24
例3-7-6（教材例3-4）
已知矩形调幅信号 f t Gtcos0t ,
f t
其中Gt 为矩形脉冲，脉冲幅度为E，
30
例3-7-9
解：
优选文档
31
例3-7-10
1. 求单位阶跃函数的傅里叶变换 解：
解：
优选文档
32
证明
设f(t)是实函数（为虚函数或复函数情况相似，略）
显然
优选文档
33
证明
优选文档
34
续……
证明
变上限积分用带时移的 单位阶跃的无限积分表 示，成为
交换积分顺序
，
即先求时移的单位阶跃
信号的傅里叶变换
优选文档
3
一．对称性质
1．性质
2． 意义
优选文档
4
二．线性性质
1．性质
2．例
优选文档
5
三．奇偶虚实性
证明： 由定义 可以得到
优选文档
6
四．尺度变换性质
意义 (1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。 (2) a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
优选文档
说明…… 说明…… 说明……
7
3．意义
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。
优选文档
35
……续
优选文档
36
证明
即
优选文档
37
(flash)
优选文档
38
脉冲持续时间增加a倍，变化慢了，信号在频域的频
带压缩a倍。高频分量减少优选，文档幅度上升a倍。
8
（2）a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
持续时间短，变化快。信号在频域高频分量增加，频
带展宽，各分量的幅度下降a倍。
此例说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比，
有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则
E
脉宽为 ,试求其频谱函数。
解：
o
t
2
2
已知矩形脉冲Gt的频谱G 为
(a)矩形调幅信号的波形
G E Sa
因为
2
f
t
1 Gt
e e j0t
j0t
2
根据频移性质，f t频谱F 为
F 1 G 优选文档 1 G
25
2
02
0
频谱图
F 1 G 1 G